有空气阻力抛射体的运动(matlab)

考虑空气阻力的抛射体的运动****（天水师范学院物理与信息科学学院）摘要：在力学中涉及许多复杂的计算问题，例如非线性问题，对其求解有时是很困难的MATLAB是一种科学计算软件，主要适用于矩阵运算及控制和信息处理领域的分析设计，它使用方便，输入简捷，运算高效，内容丰富，将MATLAB引入物理教学，利用可视化的功能，可对物理学中抽象、不易理解的部分进行计算机模拟，从而使教学生动具体。

以提高学生的学习兴趣和积极性，得到明显的教学效果关键词：MATLAB软件；力学；空气阻力；质点轨迹；抛射体From the air resistance of the projectiles****（College of Physics and Information Science,Tianshui Normal University）Summary： in mechanics of many complex calculations, for example, the solution of the nonlinear is sometimes very difficult MATLAB is a scientific terms, mainly applied to the matrix multiplication and control the field of analysis and information processing, it is easy to use and operation of input, efficient, informative, will be introduced in physics teaching, using MATLAB visual features, but for physics in the abstract, is not easy to understand a part of the computer models, so teaching is a specific.Keywords：MATLAB software ； mechanics the particle ； air resistance ； track ；projectiles引言：在力学中涉及许多复杂的计算问题，例如非线性问题，对其求解有时是很困难的，MATLAB正是处理非线性问题的很好工具，既能进行数值计算，又能绘制有关曲线，非常方便。

基于MATLAB重力加速度抛体运动的分析报告摘要本报告使用MATLAB软件对重力加速度下的抛体运动进行模拟和分析。

通过定义初始条件和物理参数，利用MATLAB编程实现抛体运动的数值模拟，并绘制运动轨迹图和速度矢量图。

同时，对不同初始条件下的抛体运动进行分析，探究初速度、初始仰角和重力加速度对运动轨迹的影响。

一、引言重力加速度是地球上所有物体所受的重力作用所产生的加速度，约为9.8m/s²。

在重力加速度的作用下，抛体运动是常见的自然现象，如投篮、扔石头等。

研究抛体运动不仅有助于理解物体的运动规律，还可为实际应用提供理论支持。

二、模拟方法本报告采用MATLAB编程实现重力加速度下的抛体运动模拟。

首先定义初始条件，包括初速度v0、初始仰角θ和抛出点距离地面的高度h。

然后，通过已知的物理公式，计算出物体的运动轨迹。

使用MATLAB的绘图功能，将运动轨迹绘制成图形。

三、模拟结果与分析1.不同初速度下的抛体运动设定初始仰角θ=45°，高度h=10m，改变初速度v0进行模拟。

在图1中，蓝色表示v0=5m/s，红色表示v0=10m/s，绿色表示v0=15m/s。

可以看出，随着初速度的增加，抛体的射程也相应增加。

图1 不同初速度下的抛体运动轨迹图（请在此处插入不同初速度下的抛体运动轨迹图）2. 不同初始仰角下的抛体运动设定高度h=10m，初速度v0=10m/s，改变初始仰角θ进行模拟。

在图2中，蓝色表示θ=30°，红色表示θ=45°，绿色表示θ=60°。

可以看出，随着初始仰角的增加，抛体的射高也相应增加。

图2 不同初始仰角下的抛体运动轨迹图（请在此处插入不同初始仰角下的抛体运动轨迹图）3. 重力加速度的影响根据物理学原理，重力加速度会对抛体的运动产生影响。

设定初始仰角θ=45°，初速度v0=10m/s，高度h=10m，改变重力加速度进行模拟。

在图3中，蓝色表示g=9.8m/s²，红色表示g=4.9m/s²，绿色表示g=14.7m/s²。

用matlab 研究抛体运动2. 用matlab 研究抛体运动2.1 引论MATLAB 语言是一种集数值计算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能的高级语言。

使用MATLAB 模拟物理现象为我们解决问题提供了一种新的方法，利用其方便的数值计算和作图功能，可以方便的模拟一些物理过程。

对于处理非线性问题，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，方便实用，基于其功能强大，界面友善，语言自然，交互性强等优点，已成为教学和科研中最基础的软件之一，利用其解决复杂的数值计算问题，可以减少工作量，节约时间，图形绘制问题，真实直观，可以加深理解，提高工作效率将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所作的运动，它的初速度不为零，可分为平抛运动和斜抛运动。

物理上提出的“抛体运动”是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力。

抛体运动加速度恒为重力加速度，相等的时间内速度变化量相等，并且速度变化的方向始终是竖直向下的。

2.2抛体运动及应用 2.2.1、 实验设计思路 1、理论分析一般的处理方法是将其分解为水平方向和竖直方向，平抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动，斜抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛运动，在任意方向上分解有正交分解和非正交分解两种情加速度及位移等进行相应分析。

无论怎样分解，都必须把运动的独立性和独立作用原理结合进行系统分解，即将初速度、受力情、加速度及位移等进行相应分析。

斜抛运动： 水平方向速度αcos 0v v x= （1）竖直方向速度gt v v y -=αsin 0 （2）水平方向位移 tx v αcos 0= （3）竖直方向位移 2021cos gtt y v -=α （4）平抛运动： 水平方向速度v v x 0=（5）竖直方向速度gtv y = (6)水平方向位移tx v 0= (7)竖直方向位移221gtv y = (8)合速度t g vv vv y xt 42202241+=+=（9）合速度方向与水平夹角β：v v v gt tg x y 0==β (10)合位移yxs 22+=(11)位移方向与水平夹角α：02v gttg ss xy==α (12)设某一抛射体的初速度为0v ，抛射角为θ，将其运动在X,Y 轴上进行正交分解，水平方向速度0cos x v v θ= (13) 竖直方向0sin y v v gt θ=- (14) 质点的坐标(,)x y 是0()cos()x t t v θ= (15)201()sin 2y t t gt v θ=- (16)从上两式消去t ，便得质点的轨迹运动方程2220tan 2cos gx y x v θθ=-t (17)抛射体能达到的最大高度为220sin 2H gvθ= (18)其到达最大高度所需时间为0sin T gv θ= (19)空中飞行时间为0sin 22t T gv θ== (20)抛射体的最大射程为20sin 2X gvθ= (21)它跟初速度0v 和抛射角θ有关，在抛射角θ不变的情况下，射程x 与20v 成正比，所以射程随初速度的增大而增大。

内弹道是指射程较短的导弹或火箭弹在飞行过程中受到大气阻力和重力等作用的飞行轨迹。

内弹道理论研究的是导弹或火箭弹在发射后到离开大气层再进入大气层末时的飞行过程。

内弹道包括导弹或火箭弹在发射后的加速、稳定、制导、飞行以及飞行过程中的动力学性能仿真等诸多内容。

内弹道有着复杂的飞行特性和动力学方程，在实际工程中需要进行准确的计算和仿真。

内弹道的计算中，龙格库塔（Runge-Kutta）法是一种常用的数值积分方法，在求解微分方程等领域有着广泛的应用。

龙格库塔法是由数学家奥特翁格（C. W. Runge）和马丁庫塔（M. W. J. Kutta）于1900年提出的，用于求解常微分方程初值问题，其优点是精度较高，适用范围广。

在内弹道计算中，可以利用龙格库塔法对导弹或火箭弹的飞行轨迹进行数值模拟和计算，得到较为准确的飞行轨迹数据。

在实际工程中，为了方便进行内弹道的计算，可以使用Matlab等数学建模和仿真软件。

Matlab是一种常用的科学计算软件，具有强大的数值计算和仿真功能，可以用于内弹道计算中的龙格库塔法数值模拟。

在Matlab中，可以编写相应的程序，利用龙格库塔法对导弹或火箭弹的飞行过程进行仿真和计算，得到准确的飞行轨迹和动力学性能数据。

内弹道计算是导弹或火箭弹研究设计中的重要内容，龙格库塔法是一种常用的数值积分方法，Matlab是一种常用的科学计算软件，它们的应用能够有效地进行内弹道的计算和仿真，为导弹或火箭弹的研制提供重要的技术支持。

随着技术的不断发展，内弹道计算已经成为导弹或火箭弹研究设计中不可或缺的一部分。

在内弹道计算中，龙格库塔法是一种常用的数值积分方法，可以对导弹或火箭弹的飞行轨迹进行数值模拟和计算，提供准确的飞行轨迹数据。

而Matlab作为一种强大的科学计算软件，对于内弹道的计算和仿真也有着重要的应用价值。

在实际工程中，使用Matlab编写程序，利用龙格库塔法对导弹或火箭弹的飞行轨迹进行数值模拟和计算，将为导弹或火箭弹的研制提供重要的技术支持。

基于MATLAB机器人抛物运行轨迹建模分析李振【摘要】以第十七全国大学生机器人大赛为背景,要求参赛两组选手在规定的时间内,将绣球投掷到设定的圆环,从圆环中顺利通过,最终落到一个圆盘内。

针对该问题,通过对绣球运动过程中各个阶段的受力分析,建立合适的机器人抛物运行轨迹仿真模型。

运动伯努利方程在得出绣球运动的数学模型,并在MATLAB中进行求解运算,求得了其大致的抛物轨迹,并对该轨迹进行分析。

【期刊名称】《科技与创新》【年(卷),期】2019(000)001【总页数】3页(P119-121)【关键词】机器人;伯努利方程;受力分析;轨迹分析【作者】李振【作者单位】[1]河北工程大学机械与装备工程学院,河北邯郸056038【正文语种】中文【中图分类】TP242随着我国现代科学技术的不断发展，随之而来的出现了很多关于各高校大学生对机器人设计和创新的问题。

诸如动力学的探讨、相关临界值的确定、控制变量、模拟估计、碰撞过程分析以及运动轨迹的仿真等[1]。

本文以全国大学生机器人大赛为背景，要求机器人抛一绣球抛射点高1.3 m，飞行途中穿过一个中心高3.4 m，直径为0.8 m的圆环，最终使得绣球能落入9.7 m远、0.3 m高、直径为1.2 m、围栏高0.2 m的圆盘内，并保证绣球不能从圆盘中弹出[2]。

经分析将绣球运动过程划分为上升段、下降段两个阶段，对每一个阶段进行绣球的受力分析，将绣球轨迹最高点和落地点作为分界点，求出轨迹方程，求出其临界状态得到问题合理的解答。

在具体模型中，我们利用matlab软件对所求轨迹方程进行了模拟，在程序中选取了几个合理的初速度、初始角度。

绣球材料我们选取化学纤维（腈纶）进行模拟，内容物为塑料泡沫材质，选取固定的阻力系数λ=0.3、弹性系数k=1.2进行求解。

由于求解较为复杂，我们求出了几组近似解以及轨迹图作为问题的结论。

由于机器人抛射绣球，绣球抛射点高1.3 m，飞行途中穿过一个中心高3.4 m、直径0.8 m的圆环，最终使绣球落入9.7 m远、0.3 m高、直径1.2 m、围栏高0.2 m的圆盘内，并保证绣球不能圆盘中弹出其中圆环的位置在绣球下落的过程中穿过，落入圆盘中。

MATLAB 在抛体运动中的探讨[摘要]计算机在大学物理中的应用已有二十多年的历史，MATLAB 语言是一种集数值计算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能的高级语言。

使用MATLAB 模拟物理现象为我们解决问题提供了一种新的方法，利用其方便的数值计算和作图功能，可以方便的模拟一些物理过程。

对于处理非线性问题，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，方便实用，基于其功能强大，界面友善，语言自然，交互性强等优点，已成为教学和科研中最基础的软件之一，利用其解决复杂的数值计算问题，可以减少工作量，节约时间，图形绘制问题，真实直观，可以加深理解，提高工作效率。

[关键词]MATLAB 语言 抛体运动 空气阻力 力学 图形绘制一、 问题的提出MATLAB 自推向市场以来，得到了广泛的应用和发展，在各高等院校中已经成为线性代数、自动控制理论、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真、图像处理等诸多课程的基本教学工具，成为大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能，尤其在自动控制理论，是最具影响力、最有活力的软件。

MATLAB 提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其它程序和语言接口的功能。

对于抛体运动问题，通常需要联立方程组，以及模拟它的路径，运动过程中不同的时间对应不同的位置，利用数学去计算很繁琐，手工绘图误差大，利用MATLAB 可以很好地解决数值计算，模拟抛体运动的路径。

二、 抛体运动的介绍抛体运动：将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所作的运动，它的初速度不为零，可分为平抛运动和斜抛运动。

物理上提出的“抛体运动”是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力。

抛体运动加速度恒为重力加速度，相等的时间内速度变化量相等，并且速度变化的方向始终是竖直向下的。

一般的处理方法是将其分解为水平方向和竖直方向，平抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动，斜抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛运动，在任意方向上分解有正交分解和非正交分解两种情加速度及位移等进行相应分析。

用Matlab进行抛射体飞行轨迹研究性教学
曾安平
【期刊名称】《宜宾学院学报》
【年(卷),期】2007(007)006
【摘要】本文通过Matlab在抛射体质心飞行轨迹研究中的应用,对用Matlab进行研究性物理教学进行了有益的探索,提高了教学效果.
【总页数】3页(P45-47)
【作者】曾安平
【作者单位】四川化工职业技术学院,四川,泸州,646000
【正文语种】中文
【中图分类】O4-39
【相关文献】
1.两种空气阻力模型的抛射体飞行轨迹研究 [J], 闵永林;陈池
2.基于 MATLAB 与 VC 混编的靶弹飞行轨迹设计 [J], 倪原;田华
3.基于Matlab的抛射体运动轨迹分析 [J], 高彩云
4.基于MATLAB/Simulink的飞行轨迹生成器设计 [J], 高少婷
5.应用模糊变权的启发式搜索进行飞行轨迹优化 [J], 胡昱;高金源
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

实验报告一PPT 注记实验一通过实践教给学生学会绘图、计算并对实验结果做一定的思考，火炮在拿破伦时代被称为战神，弹道数据的计算是很多人关心的问题。

抛射曲线的参数方程可以回归到二阶常微分方程初值问题，是伽利略关于无阻力的抛射体运动的数学模型。

网络上有关资料的数据表明这个模型过于理想化，数学实验所计算出的最大射程偏大（原因是没有考虑空气阻力）。

如果有“集结号”一些网上资料可以下载给学生浏览，增加一些武器常识。

一、根据模型绘图对每一确定的发射角α，抛射曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-⨯=⨯=20021sin cos gt t v y t v x αα 第一个绘图程序：v0=515;alpha=45*pi/180;T=2*v0*sin(alpha)/9.8;t= T(0:16) /16;x=v0 *t *cos(alpha);y=v0 *t *sin(alpha) -0.5*9.8*t.^2;plot(x,y,x,y,’r*’)Xmax=x(17)是对一条曲线绘图。

发射角控制了飞行时间T ，也控制了初速度的方向。

如果有30个不同的发射角，就会有30个不同的飞行时间和30个不同的初速度方向，命令diag()可以实现用两个对角矩阵存放30个初速度的分量；用列向量左乘行向量t=(0:16)'*T/16实现30个不同发射角对应的抛射体的飞行时刻。

下面程序alpha=pi*(1:30)/60;v0=100;g=9.8;T=2*v0*sin(alpha)/g;t=(0:16)'*T/16;X=v0*t*diag(cos(alpha));Y=v0*t*diag(sin(alpha))-g*t.^2/2;plot(X,Y ,'k ')是对30条曲线绘图，其中数据的构造用对角矩阵右乘的实现初速度的分配。

由于要用程序编辑器，建议放在后面一些。

二、实验原理中的三个公式导出当初始速度不变时落点仅与发射角有关。

利用Matlab 软件分析空气中做平抛运动小球的轨迹摘要：分析在做平抛实验中物体实际运行的轨迹与理论轨迹出现差异的原因，并通过计算推导，借助Matlab 软件将这种差异表征出来关键词：Matlab ，轨迹1、问题引出在人民教育出版社高中物理必修2的第五章曲线运动第3节实验课：研究平抛运动中，在第14页参考案例一中，有这样的叙述：“钢球从斜槽上滚下，重钢水平槽飞出后做平抛运动，每次都使钢球在斜槽上同一位置滚下，钢球在空中做平抛运动的轨迹就是一定的。

设法用铅笔妙处小球经过的位置。

通过多次试验，在竖直白纸上记录钢球所经过的多个位置，连起来就得到钢球做平抛运动的轨迹”。

细心的同学在做实验时发现钢球运动的轨迹与理论轨迹有差别，一般的解释是由于空气阻力的影响。

但空气阻力是如何影响运动轨迹的？空气阻力对运动轨迹的影响有多大？这方面的研究鲜有所见，为此，笔者采取信息技术对这一问题进行探讨。

2、Matlab 简介Matlab 是Mathworks 公司推出的一套高性能数值计算和可视化软件，它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，在系统建模和仿真、科学和工程绘图及应用程序开发等方面有着广泛应用，Matlab 已经由简单的矩阵计算软件分析发展成为通用性极高、带有多种实用工具的运算操作平台。

3、方程推导假设一小钢球在空气中做平抛运动，初速度为v 0，所受的阻力与速率成正比：f = -kv ，k 称为阻力系数。

在此实验中，小球的质量m=0.1kg,初速度V 0=2m/s,空气阻力系数k=0.5。

如图所示，小球受到重力mg ，方向竖直向下；空气阻力f ，方向与速度方向相反。

根据牛顿第二定律可列出直角坐标方程22d d ,d d x x m k t t =-22d d d d y y m mg k t t=-由于Vx = dx/dt ，Vy = dy/dt ，上式可化为 分离变量得 积分得 当t = 0时，Vx = V0，Vy = 0，可得Cx = -V0，Cy = -g ，因此当t = 0时，x = 0，y = 0，积分上式可得这是小球的运动方程，也是以时间t 为参数的轨道方程。