八年级趣味数学竞赛题

第04练几何最短路径问题或折叠中的应用一、单选题1．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，则最短的爬行距离是（）A．10 B．14 C．106D．130【答案】A【解析】【分析】把长方体展开，根据两点之间线段最短得出最短路线AG，根据勾股定理，即可求出AG长度；【详解】把长方体展开有三种情况：当蜘蛛从A出发到EF上再到G时，如下图所示=，5BC cm∴==，FG BC cm5∴=+=，BG cm5611()在Rt ABG中，22+=；311130()AG cm当蜘蛛从A出发到BF上再到G时，如下图所示3AB cm =，5BC cm =，358()AG cm ∴=+=，6BF cm =，6CG BF cm ∴==，在Rt ABG 中，228610()AG cm =+=，当蜘蛛从A 出发到EH 上再到G 时，如下图所示6=AE cm ，=3EF cm 5=FG cm ，∴AF=9cm ，在Rt AFG 中，2295106()=+=AG cm ，13010610>>．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握两点之间线段最短是解题的关键．2．如图，圆柱的高为4cm ，底面半径为3πcm ，在圆柱下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B 处的食物，已知四边形ADBC 的边AD 、BC 恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（ ）cm ．A ．5B ．5πC ．3+4πD ．3+8π【解析】【分析】如图，先把圆柱体沿着直线AC 剪开，得到矩形如图示：可得线段AB 的长度为所求的最短距离，再利用勾股定理可得答案.【详解】解：把圆柱体沿着直线AC 剪开，得到矩形如下：则线段AB 的长度为所求的最短距离.由题意得圆柱的高为：4,cm 底面半径为3cm π，1134,=2=3,22AC BC C ππ∴==⨯⨯底面圆 2222345,AB AC BC ∴=+=+=所以蚂蚁至少要爬行5cm 路程才能吃到食物.故选：A【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，弄懂圆柱展开图是长方形，根据两点之间线段最短是解题的关键．3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是20dm,3dm,2dm ，A 和B 是这个台阶相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到B 处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A ．25dmB ．26dmC ．24dmD ．27dm【答案】A【解析】【分析】 先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，宽为（2+3）×3dm ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为x dm ，由勾股定理得：x 2=202+[（2+3）×3]2=252， 解得x =25．故选：A ．【点睛】本题的是平面展开-最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题4．如图所示折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，已知CD =1，∠B =30︒，则AC 的长是（ ）A ．1B ．2C 3D ．3【答案】C【解析】【分析】 由三角形的内角和可得60BAC ∠=︒，由折叠可得，30B BAD ∠=∠=︒，继而求出30CAD ∠=︒，再根据含30度角的直角三角形的性质可得22AD CD ==，再利用勾股定理求解即可．【详解】90,30C B ∠=︒∠=︒，60BAC ∴∠=︒，由折叠可得，30B BAD ∠=∠=︒，30CAD ∴∠=︒，在Rt ACD △中，1CD =，22AD CD ∴==， 由勾股定理得223AC AD CD =-=，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°， AB ＝5，AC ＝3，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当∠DEB 是直角时，DF 的长为（ ）．A ．5B ．3C ．32D ．34【答案】C【解析】【分析】 如图，由题意知90AED C ∠=∠=︒，3AE AC ==，DE CD =，90AED DEB ∠=∠=︒，可知A EB 、、三点共线，E 与F 重合，在Rt ABC 中，由勾股定理得22BC AB AC =-，求BC 的值，设DF DE CD x ===，4BD x =-，在Rt BDE 中，由勾股定理得222BE BD DE =-，计算求解即可．【详解】解：如图，∵DEB ∠是直角∴90DEB ∠=︒由题意知90AED C ∠=∠=︒，3AE AC ==，DE CD =∴90AED DEB ∠=∠=︒∴A E B 、、三点共线∴E 与F 重合在Rt ABC 中，由勾股定理得224BC AB AC =-=设DF DE CD x ===，4BD x =-在Rt BDE 中，由勾股定理得222BE BD DE =-即()22224x x =--解得32x = ∴DF 的长为32故选C ．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于明确A E B 、、三点共线，E 与F 重合．6．如图，Rt ABC 中，90,4,6B AB BC ∠=︒==，将ABC 折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，折痕交AC 于点M ，交BC 于点N ，则线段CN 的长为（ ）.A ．73B ．83C ．3D ．103【答案】D【解析】【分析】由折叠的性质可得DN =CN ，根据勾股定理可求DN 的长，即可得出结果．【详解】解：∵D 是AB 中点，AB =4，∴AD =BD =2，∵将△ABC 折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，∴DN=CN，∴BN=BC-CN=6-DN，在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，∴DN2=（6-DN）2+4，∴DN=103，∴CN=DN=103，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换、折叠的性质、勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．二、填空题7．长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是_________．【答案】25cm【解析】【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：只要将长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：∵长方体的宽为10，高为20，点B与点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB22221520BD AD+=+；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB=22222510529BD AD+=+=；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=2222305537AC BC+=+=；∵25529537<<∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm，故答案为：25cm．【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可，正确掌握勾股定理及长方体的不同展开方式是解题的关键．8．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32πm的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为_____m．（边缘部分的厚度忽略不计）【答案】20【解析】【分析】要求滑行的最短距离，需将该U 型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：如图是其侧面展开图：AD =1322ππ=16（m ）， AB =CD =15m ．DE =CD -CE =15-3=12（m ），在Rt △ADE 中，AE =2222161220AD DE +=+=（m ）．故他滑行的最短距离约为20m ．故答案为：20．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题就是把U 型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．9．如图，海上救援船要从A 处到海岸l 上的M 处携带救援设备，再回到海上C 处对故障船实施救援，使得行驶的总路程AM CM +为最小．已知救援船和故障船到海岸l 的最短路径分别为AB 和CD ，20BD =海里，60AMB ∠=°，救援船的平均速度是25节（1节=1海里/小时），则这艘救援船从A 处最快到达故障船所在C 处的时间为 ________小时．【答案】1.6【解析】【分析】作A 关于BD 的对称点Q ，连接CQ 即可，求出AM ＋CM ＝QC ，根据勾股定理求出CQ 即可．【详解】解：作A 关于BD 的对称点Q ，连接CQ ，交BD 于M ，则此时点M 为所求；∴AM ＋CM ＝QM ＋CM ＝CQ ，过Q 作QR ⊥CD ，交CD 的延长线于R ，则四边形BQRD 是矩形，所以BD ＝QR ，BQ ＝DR ，∵A 、Q 关于BD 对称，∴AB ＝BQ ＝DR ，∵∠AMB ＝60°，30A ∴∠=︒ ∴223AB AM BM BM -∴BM 3，AM ＝2BM ，CM ＝2MD ∴AM ＋CM ＝2BD ＝2×20＝40（海里），即CQ ＝40（海里），∵救援船的速度是25节（1节＝1海里/小时），∴这艘救援船最快4025＝1.6（小时）到达故障船． 故答案为：1.6．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，能找出点M 的位置是解此题的关键． 10．如图，在Rt ABC 中，90,3,4B AB BC ∠=︒==．将ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B '重合，AE 为折痕，则EB C '的周长为__________．【答案】6【解析】【分析】首先利用勾股定理求出AC=5，根据折叠得到B’C=2，求出三角形的周长．【详解】解：R t△ABC中，∠B=90°，∴AC=2222+=+=,AB BC345由折叠知AB’=AB=3，∴B’C=AC-AB’=5-3=2，∴△B’EC的周长为B’C+EC+B’E=B’C+EC+BE=B’C+CB=2+4=6，故答案为6．【点睛】本题考查折叠的性质以及勾股定理，解决问题的关键是分清折叠前后的对应的关系．11．如图，小明将一张正方形纸片对折，使得AB与CD重合，折痕为EF，展开后再沿BH 折叠，使得点C刚好落在折痕EF上的C′处，若CH=1cm，则BC= _____cm．3【解析】【分析】连接CC′，证明△BCC′是等边三角形，再由折叠的性质得到∠HBC=∠HBC′=30°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可解决问题．【详解】解：如图，连接CC ′，由折叠的性质知，折痕为EF 是BC 的垂直平分线，∴BC ′=CC ′，又由折叠的性质知，BC = BC ′，∠HBC =∠HBC ′，∴BC ′=CC ′=BC ，∴△BCC ′是等边三角形，∴∠C ′BC =60°，∴∠HBC =∠HBC ′=30°，在Rt △HBC 中，∠HBC =30°，CH =1cm ，∴HB =2cm ，∴BC =2222213BH CH -=-=（cm ），故答案为：3．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．12．如图，CD 是△ABC 的中线，将△ACD 沿CD 折叠至A CD '△，连接AA '交CD 于点E ，交CB 于点F ，点F 是A E '的中点．若EDA '△的面积为12，8A B '=，则点F 到AC 的距离为______．【答案】365【解析】【分析】过点F 作FH ⊥AC 于点H ，由翻折的性质可知S △AA 'D =24，由D 为AB 的中点，则S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通过AAS证明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE 中，由勾股定理求出AC的长，最后通过面积法即可求出FH的长．【详解】解：如图，过点F作FH⊥AC于点H，根据翻折的性质得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，∵CD是△ABC的中线，∴CD=BD，∴AD=BD=A'D，∴∠AA'B=90°，又∵S△A'DE=12，∴S△ADE=12，∴S△ADA'=24，又∵D为AB的中点，∴S△AA'B=2S△AA'D=48，即12×AA′×A′B＝48，∴AA'=12，又∵F为A'E的中点，∴A'F=EF，在△A'BF与△ECF中，A F EFCFE BFACEF BA F'=⎧⎪∠='⎨⎪∠=∠'⎩，∴△A'BF≌△ECF（AAS），∴CE=A'B=8，∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，∴EF=3，AF=9，在Rt△CAE中，由勾股定理得：CA=22AE CE+=10，在△CAF中，CA•HF=AF•CE，∴HF=9810⨯=365，即点F到AC的距离为365，故答案为：365．【点睛】本题主要考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用等积法求垂线段的长是解题的关键．三、解答题13．如图，是用棱长为1cm的两个正方体拼成的新几何体，求一只蚂蚁从顶点A出发沿着新几何体的表面爬行到顶点B的最短路程是多少cm？【答案】22cm【解析】【分析】根据两点之间线段最短，将组合体图形转化为平面图形，进而勾股定理求解即可【详解】解：如图，将组合体的上底面展开，点B到了点B'的位置，蚂蚁沿A D B→→所在的直线运动到B'路程最短，∴22222222AB AC B C'=++若按以下方式展开，则2AB'=+=1310>1022即蚂蚁从顶点A出发到顶点B的最短路程是22cm．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将立体图形转化为平面图形是解题的关键．14．吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处；（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处．【答案】（1）蚂蚁需要爬行的最短路径长为55；（2）蚂蚁需要爬行的最短路径长为234；（3）蚂蚁需要爬行的最短路径长为52．【解析】【分析】（1）根据正方体的侧面展开图，利用勾股定理求出AC1的长即可得答案；（2）分横向展开和竖向展开两种情况，分别利用勾股定理求出AC1的长，比较即可得答案；（3）画出圆柱侧面展开图，利用勾股定理求出AC的长即可得答案．【详解】（1）正方体的侧面展开图如图所示：AC 1为蚂蚁需要爬行的最短路径长，∵正方体的棱长为5cm ，∴AC =10，CC 1=5，∴AC 1=22221105AC CC +=+=55cm ．∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为55cm ．（2）分两种情况：①如图，当横向展开时：AC =10，CC 1=6，∴AC1=22221106AC CC +=+=234cm ，②如图，当竖向展开时：AD =11，DC 1=5，∴AC1=22221115AD DC +=+=146cm ，∵234＜146，∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为234cm ．（3）圆柱侧面展开图如图所示：∵圆柱底面周长为10cm ，高为5cm ，∴BC =5，AB =5，∴AC =222255AB BC +=+=52cm ，∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为52cm ．【点睛】本题考查立体图形的侧面展开图及勾股定理，熟记各立体图形的侧面展开图是解题关键． 15．如图直角三角形纸片中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，沿点B 的直线折叠这个三角形，使点C 在AB 边上的点E 处，折痕为BD ．（1）求△ADE 的周长；（2）求DE 的长．【答案】（1）8；（2）83【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得BE =BC =8，DE =CD ，则AE =AB -BE =2，即可得到△ADE 的周长=AD +AE +DE =AD +DE +AE =AC +AE =8；（2）设CD =DE =x ，则AD =AC -CD =6-x ，由折叠的性质可知∠DEB =∠C =90°，则∠DEA =90°，即可得到222AD AE DE =+，则()22262x x -=+，由此求解即可．【详解】解：（1）由折叠的性质可知，BE =BC =8，DE =CD ，∴AE =AB -BE =2，∴△ADE 的周长=AD +AE +DE =AD +DE +AE =AC +AE =8；（2）设CD =DE =x ，则AD =AC -CD =6-x ，由折叠的性质可知∠DEB =∠C =90°，∴∠DEA =90°，∴222AD AE DE =+，∴()22262x x -=+， 解得83x =， ∴83DE =． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质． 16．矩形ABCD 在平面直角坐标系的位置如图所示，F 为AB 上一点，将BCF △沿CF 折叠，使点B 恰好落在AD 与y 轴的交点E 处．连接CE ，若,AE AB 的长满足24(8)0AE AB -+-=．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求点D 的坐标；(3)在平面内是否存在点P ，使以E ，F ，C ，P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A （-4,8）B （-4,0）(2)D （6,8）(3)P 1（2,-3）、P 2（10,3）、P 3（-10,13）【解析】【分析】（1）通过算术平方根、平方数的非负性求出AE 、AB 的值；（2）设未知边，通过勾股定理构建等式，再求出未知边，从而求出坐标；（3）分三种情况讨论：CF 作对角线；CE 作对角线；EF 作对角线．(1)24(8)0AE AB --=得：AE -4=0且AB -8=0∴AE =4AB =8∴A （-4,8）B （-4,0）(2)解：设AE 为x ，根据勾股定理有：()22284x x --=解得：x =3设ED 为y ，根据勾股定理有：()22284y y +=+ 解得：y =6∴D （6,8）(3)∵点E 到点F ：（0-4,8-3）=F （-4,5）∴P 1=（6-4,0-3）=（2,-3）∵点F 到点E ：（—4+4,5+3）=E （0,8）∴P 2=（6+4,0+3）=（10,3）∵点C 到点E ：（6-6,0+8）=E （0,8）∴P 3=（-4-6,5+8）=（-10,13）【点睛】本题考查直角坐标系和勾股定理、动点问题，掌握相应知识和技能是本题关键． 17．如图是三个全等的直角三角形纸片，且::3:4:5AC BC AB =，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为123,,S S S ．(1)若3AC =，求1S 的值．(2)若1213S S +=，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时3S 的值是多少？【答案】(1)32(2)①36；②367【解析】【分析】 （1）设DE =CE =x ，则BE =4-x ，依据S △ABE =12AB ×DE =12BE ×AC ，即可得到x 的值，进而得出S 1的值．（2）①如图1，依据S△ABE=12AB×DE=12BE×AC，即可得到DE=32x，进而得出S1=32x2；如图2，依据S△ABN=12AB×HN=12AN×BC，即可得到EN=43x，进而得出S2=x2，再根据S1+S2=13，即可得到x2=6，进而得出单个直角三角形纸片的面积．②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，所以BF=BC-CF=4x-3x=x，则S3=13S△CMF=13S△ACM，所以S3=17ABCS，即可求解．(1)解：∵AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，AC＝3，∴BC＝4，AB＝5，由折叠可得，DE＝CE，∠ADE＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，设DE＝CE＝x，则BE＝4﹣x，∵S△ABE＝12AB×DE＝12BE×AC，∴AB×DE＝BE×AC，即5x＝3（4﹣x），解得x＝32，∴S1＝12BD×DE＝13222⨯⨯＝32．(2)解：由AC：BC：AB=3：4：5，可设AC=3x，BC=4x，AB=5x，①如图1，由折叠可得，AD=AC=3x，BD=5x-3x=2x，DE=CE，∠ADE=∠C=90°，∵S△ABE=12AB×DE=12BE×AC，∴AB×DE=BE×AC，即5x×DE=（4x-DE）×3x，解得DE=32 x，∴S1=12BD×DE=12×2x×32x=32x2；如图2，由折叠可得，BC=BH=4x，HN=CN，∴AH=x，AN=3x-HN，∵S△ABN=12AB×HN=12AN×BC，∴AB×HN=AN×BC，即5x×HN=（3x-HN）×4x，解得HN=43 x，∴S 2=12AH ×HN =12×x ×43x =23x 2， ∵S 1+S 2=13，∴32x 2+23x 2=13， 解得x 2=6，∴S △ABC =12×3x ×4x =6x 2=36．答：单个直角三角形纸片的面积是36；②如图3，由折叠可得，AC =CF =3x ，∴BF =BC -CF =4x -3x =x ，∴S 3=13S △CMF =13S △ACM ， ∴S 3=17ABC S =367， 答：此时S 3的值为367． 【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度．18．如图，M ，N 分别为锐角AOB ∠边OA ，OB 上的点，把AOB ∠沿MN 折叠，点O 落在AOB ∠所在平面内的点C 处．(1)如图1，点C 在AOB ∠的内部，若20CMA ∠=︒，50CNB ∠=︒，求AOB ∠的度数．(2)如图2，若45AOB ∠=︒，2ON =C 在直线OB 上方，CM 与OB 交于点E ，且MN ME =，求折痕MN 的长．(3)如图3，若折叠后，直线MC OB ⊥，垂足为点E ，且5OM =，3ME =，求此时ON 的长．【答案】(1)35O ∠=︒(2)2MN =(3)52ON =或10 【解析】【分析】（1）根据折叠知，()1180802OMN CMN CMA ∠=∠=︒-∠=︒，65ONM ∠=︒根据三角形内角和定理即可求得答案；（2）根据MN ME =，由等边对等角可得ENM MEN ∠=∠，设OMN CMN x ∠=∠=度，根据三角形内角和为180°，建立一元一次方程解方程求解即可求得30OMN ∠=︒，过N 作NH OM ⊥于H ，根据勾股定理求得1NH =，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得MN 的长；（3）①当点C 在OB 上方时，②当点C 在OA 下方时，设ON x =，则4NE OE ON x =-=-，勾股定理求解即可；(1)由折叠知，()1180802OMN CMN CMA ∠=∠=︒-∠=︒， 同理得65ONM ∠=︒，∴18035OMN ONM AOB =︒-∠-∠=∠︒.(2)如图，∵MN ME =，∴ENM MEN ∠=∠，设OMN CMN x ∠=∠=度，∵45AOB ∠=︒，∴(45)ENM MEN x ∠=∠=+度，∴()245180x x ++=，解得30x =，即30OMN ∠=︒，过N 作NH OM ⊥于H ，∵2ON =∴1NH =，∴2MN =.(3)当点C 在OB 上方时，如图3-1∵5OM =，3ME =，直线MC OB ⊥，∴4OE =，设ON x =，则4NE OE ON x =-=-，又由折叠知：5CM OM ==，CN ON x ==，∴532CE CM ME =-=-=，在Rt CNE 中，根据勾股定理，得()22242x x -+= 解得52x =，即52ON =；当点C 在OA 下方时，如图3-2由折叠知：CM OM =，CN ON =，∴538CE CM ME =+=+=，设ON x =，则4NE ON OE x =-=-，在Rt CNE 中，根据勾股定理，得()22248x x -+=，解得10x =，即10ON =.【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，等边对等角求角度，勾股定理，分类讨论是解题的关键．1．如图，在纸片ABC ∆中，1230AB AC B ︒==∠=，，折叠纸片，使点B 落在AC 的中点D处，折痕为EF ，则DEF ∆的面积为（ ）A 493B ．3C ．3D 563 【答案】A【解析】【分析】过点D 作AB 的垂线，垂足为G ，过D 作CF 的垂线，垂足为H ，过A 作BC 的垂线，垂足为N ， 分别求出△DEA 和△DFC 的面积，利用S △DEF ＝12×（S △ABC －S △DEA －S △DFC ）可得结果．【详解】解：过点D 作AB 的垂线，垂足为G ，∵∠BAC ＝120°，∴∠GAC ＝60°，∠GDA ＝30°，∴AG ＝11324AD AC ==，DG 2233AD AG -= 设AE ＝x ， 则BE ＝12－x ＝DE ，在Rt △DGE 中，222DE GE GD =+，即()()2212327x x -=++，解得：x ＝185， ∴S △ADE ＝12DG ×AE ＝1183325⨯⨯2735过D 作CF 的垂线，垂足为H ，过A 作BC 的垂线，垂足为N ，∵30B ，∴AN ＝12AB ＝6，BN 2212663 ，∴BC ＝123设DF ＝y ，则CF ＝123y ，DH ＝132CD =，CH 2233CD DH -= 则有222DH FH DF +=，即(222312333y y +-=， 解得：143y 则S △DFC ＝111433311322DH CF ⎛⋅=⨯⨯= ⎝⎭ ∴S △DEF ＝12 ×（S △ABC －S △DEA －S △DFC ）＝1122DEA DFC BC AN S S ⎛⎫⨯⋅⋅-- ⎪⎝⎭△△＝112712363113225⎛⎫⨯⨯⨯-- ⎪⎝⎭ ＝ 4935故选A ．【点睛】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出AE 、BF 的长是解题关键．2．如图，把等边ABC ∆沿着DE 折叠，使点B 恰好落在AC 边上的点B '处，且DB AC '⊥，若6cm B C '=，则AE =_____cm ．【答案】333【解析】【分析】先根据30°直角三角形的特点求出CD 、B D '，再根据折叠求出BC 的长，最后证明90B EA '∠=︒即可利用30°直角三角形的特点求出AE ．【详解】∵等边三角形ABC ∆∴60∠=∠=∠=︒A B C ，AC BC =∵DB AC '⊥，6cm B C '=∴30B DC '∠=︒∴212CD B C '==∴2263DB CD B C ''+∵折叠∴60B EB D ，63DB BD '==∴30AB E '∠=︒，1263AC BC DC BD ==+=+∴18090B EA A AB E ''∠=-∠-∠=︒，663AB AC B C ''=-=+∴13332AE AB '==+ 故答案为：333+【点睛】本题考查折叠的性质、勾股定理、30°的直角三角形的性质、等边三角形的性质，证明90B EA '∠=︒是解题的关键．3．如图，一透明圆柱形无盖容器高12cm ，底面周长24cm ，在杯口点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A 处．（1）若蜂蜜固定不动，求蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短路线长；（2）若该蚂蚁刚出发时发现B 处的蜂蜜正以0.5cm /s 的速度沿杯内壁下滑，它便沿最短路径在8秒钟时吃到了蜂蜜，求此蚂蚁爬行的平均速度．【答案】（1）122cm ；（2）2.5cm /s【解析】【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．【详解】（1）如图所示．∵圆柱形玻璃容器，高12cm ，底面周长为24cm ，∴AD =12cm ，∴AB 22221212AD BD =+=+=122（cm ）．答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是122cm ；（2）∵AD =12cm ，∴蚂蚁所走的路程2212(124)=++=20，∴蚂蚁的平均速度=20÷8=2.5（c m/s ）．【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．4．定义：若a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2222a b c +=，则称△ABC 为“方倍三角形”．(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是___．A. ①一定是“方倍三角形”B. ②一定是“方倍三角形”C. ①②都一定是“方倍三角形”D. ①②都一定不是“方倍三角形”(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边3AB=，则该三角形的面积为___；(3)如图，△ABC中，120ABC∠=，45ACB∠=，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP 进行折叠，点A落在点D处，连结CD，AD，若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝2，求BC的长．【答案】(1)A(2)2231【解析】【分析】(1)直接利用“方倍三角形”的定义对等边三角形和直角三角形分别判断即可；(2)根据勾股定理和“方倍三角形”的定义求得直角三角形的三边长，即可求得直角三角形的面积；(3)根据题意可得△ABP≌△DBP，根据“方倍三角形”定义可得△ABD为等边三角形，从而证明△APD为等腰直角三角形，可得AP＝DP2，延长BP交AD于点E，根据勾股定理求出BE的长，根据△PBC为等腰直角三角形，即可求得结论．(1)对于①等边三角形，三边相等，设边长为a，则2222a a a+=，根据“方倍三角形”定义可知：等边三角形一定是“方倍三角形”；对于②直角三角形，三边满足关系式：222+=a b c，根据“方倍三角形”定义可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故选：A故答案为：A ；(2)设Rt △ABC 其余两条边为a ，b ， 则满足223a b +=，根据“方倍三角形”定义，还满足：2232a b +=， 联立解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩则Rt △ABC ；(3) 由题意可知：ABP DBP ≅， ∴,BA BD ABP DBP =∠=∠， 根据“方倍三角形”定义可知： 222222BA BD AD BA +==， ∴AD AB BD ==，∴△ABD 为等边三角形，60BAD ∠=， ∴30ABP DBP ∠=∠=， ∴90PBC ∠=，∵45CPB ∠=，∴18045135APB ∠=-=， ∴90DPC ∠=，∵2,1045ABC ACB ∠=∠=， ∴15BAC ∠=，∴45CAD ∠=，∴△APD 为等腰直角三角形，∴AP DP ==∴2AD =．延长BP 交AD 于点E ，如图，∵ABP PBD∠=∠，∴BE AD⊥，112PE AD AE===，∴22413BE AB AE=-=-=∴31PB BE PE=-=，∵45CPB PCB∠=∠=，∴△PBC为等腰直角三角形，∴31PC BC=．【点睛】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．。

第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛八年级初赛试题卷（注：（1）可使用计算器；）1．刘师傅是某精密仪器厂的一名检测员．某天，他用螺旋测微器测量了一个工件的长度，共测量10次，记下的测量结果如下（单位：cm ）：1.991，1.995，1.996，1.993，1.999，1.995，1.997，1.994，1.995，1.930． 请问同学们这件工件的可靠长度应是 ．（注：螺旋测微器是一种测量准确可达到0.001cm 的精密仪器．）2．新世纪中学八年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A ，B ，C ，D 表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加“学用杯”全国数学知识应用竞赛．甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为： 甲：C 得亚军；D 得季军； 乙：D 得殿军，A 得亚军； 丙：C 得冠军，B 得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 3．八年级三班同学参加学校趣味数学竞赛，试题共有50道．评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分．班长小明在计算全班总分时，第一次计算结果是5734分；第二次计算结果是5735分．这两次中有一次是正确的，那么正确的结果是 分． 4．前进中学校园内有一块如图1所示的三角形空地，学校准备在它上面铺上草皮，已知15A ∠=，90C ∠=，20AB=米，请你计算一下学校要购买米2的草皮才能正好铺满空地．5．某高楼装潢需要50米长的铝材，现有3米，6米，9米，12米，15米，19米，21米，30米几种型号的可供选择．如果你是采购员，若使购买的铝材总长恰好为50米，则应采用的购买方案是 ．6．如图2，在正方形上连接等腰直角三角形，不断反复同一个过程，假设第一个正方形的边长为单位1．第一个正方形与第一个等腰三角形的面积和记作1S ；第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和记作2S ；；那么第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形的面积和n S 用含n 的代数式表示为．图17．为响应政府的号召：为每位职工办理应该享受的福利待遇．“天鹰”公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金，金额与他工作的年数的算术平方根成正比例（比例系数为k ，）如果他多工作a 年，他的退休金比原有的多p 元，如果他多工作b 年()b a ≠，它的退休金比原来的多q 元，那么他每年的退休金是（以a ，b ，p ，q 表示）元．8．建设节约型社会就是使每一位公民养成节约意识，形成人人节约的良好习惯．节约与否不仅是个生活习惯、生活小节问题，更是个思想道德境界的问题．我们拥有的一切物质财富，无一不是劳动的结晶，每一滴水，每一度电，每一张纸，都凝结着劳动者的心血与汗水，所以，我们应该节约．假如你送给好朋友们的一个棱长为1的正方体礼物，需要用一条张正方形彩纸包装，若不把纸撕开，那么所需纸的最小边长为 ．9．如图3，将一块边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，叠放在一块足够大的直角三角板上（并使直角顶点落在A 点，）设三角板的两直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ，那么四边形AECF 的面积为（） Ａ．212cmＢ．214cmＣ．216cmＤ．218cm10．座钟的摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为2T =，其中T 表示周期（单位：秒），l 表示摆长（单位：米），9.8g =米／秒2．假如一台座钟的摆长为0.5米，它每摆动一个来回发一次滴答声，那么在一分钟内，该座钟大约发出滴答声的次数为 （ ） Ａ．60 Ｂ．48 Ｃ．46 Ｄ．42 11．“十一”黄金周期间，各商场纷纷开展促销活动，如图4是“福满多”超市中甲、乙两种化妆品的价格标签，一位理货员理货时发现标签上有的地方不清楚了：甲化妆品的原价和现价看不清楚，乙化妆品的打折数和现价看不清楚了，但是收银员知道刚卖过2件甲化妆品和3件乙化妆品的款数为108元，3件甲化妆品和2件乙化妆品的款数为120元，据此理货员可以算出甲化妆品的原价和乙化妆品的打折数分别为 （ ）图2Ａ．36元 8折 Ｂ．24元 8折 Ｃ．36元 7折 Ｄ．26元 7折12．将正方形纸片由下向上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作（见图5）．按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角．那么，当展开这张正方形纸片后，所有小孔的个数为 （ ） Ａ．48 Ｂ．128 Ｃ．256 Ｄ．30413．“诺亚”集团计划下一年生产一种新型高清晰数字平板电视，下面是各部门提供的数据信息：人事部：明年生产工人不多于8000人，每人每年按2400工时计算； 技术部：生产一台平板电视，平均要用10个工时，每台平板电视需要10个某种主要部件； 供应部：今年年终库存某种主要部件4000000个，明年能采购到的这种主要部件为16000000个；市场部：预测明年销售量至少1800000台．请根据上述信息判断，明年该公司的生产量x 可能是 （ ） Ａ．1800000x 2000000≤≤ Ｂ．1920000x 2000000≤≤ Ｃ．18000001900000x ≤≤ Ｄ．18000001920000x ≤≤14．如图6所示为长方形台球桌ABCD ，一个球从AB 边上某处P 点被击出，分别撞击球桌的边BC ，CD ，DA 各1次后，又回到出发点P 处，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图中αβ∠=∠）．若3AB =，4BC =，则此球所经过路线的总长度（不计球的大小）为（）Ａ．不确定Ｂ．12Ｃ．11Ｄ．10甲 乙 图4 图5RQ图6三、解答题（每小题分，共分）15．远大商贸有限公司，现有业务员100名，平均每人每年可创业绩收入a 元．为适应市场发展的需要，又在某市开设一家分公司，需派部分业务精英去开拓市场．公司研究发现，人员调整后，留在总部的业务员的业绩年收入可增长20%，而派到分公司的业务员，平均每人的业绩年收入可达3.5a 元．为了维护公司的长远利益，要保证人员调整后，总部的全年总收入不少于调整前，而分公司的总收入也不少于调整前总公司年收入的一半，请你帮公司领导决策，需要往分公司派多少名业务精英．16．如图7，边长为a 的正方形ABCD 的四边贴着直线l 向右无滑动“滚动”，当正方形“滚动”一周时，该正方形的中心O 经过的路程是多少？顶点A 经过的路程又是多少？图7 l四、开放题（每小题分，共分）17．曹冲称象的故事中，聪明的曹冲知道大象的体重不能直接去称，就把称大象的重量转化为称石头的重量：他先把大象赶到船上，得到船吃水的深度；再把大象赶下船，往船上装一块块的石头，达到相同的吃水深度，于是，称出石头的重量即可得到大象的重量．曹冲的思维方法就是转化的思想方法，该思想方法在数学中有着广泛而重要的应用，特别是在解决一些实际问题时，应用就更为广泛了．请你根据自己所学的数学知识，联系生活实际，编写一道用转化的思想方法解决实际问题的题目，并说明理由．18．为庆祝抗日战争胜利六十周年，请你借助平移，旋转或轴对称等知识设计一个图案，以表达你热爱和平，反对侵略的美好愿望（要求：画出图案，并简要说明图案的含义）．参考答案一、填空题（每小题5分，共40分）1．1.995米 2．Ｃ，Ａ，Ｄ，Ｂ3．57344．505．19米铝材2根，12米铝材1根；或19米铝材2根6．152n + 7．222()aq bp bp aq -=-8．二、选择题（每小题5分，共30分）9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｃ 12．Ｃ 13．Ｄ 14．Ｄ三、解答题（每小题20分，共40分）15．设需派往分公司x 名业务精英，依题意可得(100)(120%)1003.5100.x a a ax a -+⎧⎪⎨1⨯⎪⎩2，≥≥ ·························································································· （10分）解之得1005073x ≤≤． ························································· （15分） 由于x 为正整数，则x 可取15或16人．故可派往分公司的业务精英为15人或16人． ······························ （20分）16．解：（1）如图1，正方形ABCD “滚动”一周时，中心O 所经过的路程为：1244L a ⎛⎫=⨯π⨯ ⎪ ⎪2⎝⎭中 ······························································· （8分）a =． ················································································· （10分）（2）A()D B ()A C ()B D ()C A()D()C()B ()A ()DC B 图2lB图1l如图2，正方形ABCD “滚动”一周时，顶点A 所经过的路程为：1224L a 1=⨯)+2⨯⨯π4顶 ···················································· （18分）11222442a a a +=⨯+⨯⨯π=π． ······································· （20分） 四、开放题（每小题20分，共40分）17．答案不惟一．例如：要测量河两岸相对两点A ，B 的距离（如图3所示），可先在AB 的垂线AF 上取两点C ，D ，使AC CD =，再过D 作AD 的垂线DE ，使B ，C ，E 三点在一条直线上，这时DE 的长就是AB 的长．解：由题意可知：AB AD ⊥，DE AD ⊥．所以90BAC EDC ∠=∠=． 因为在BAC △和EDC △中， BAC EDC ∠=∠，AC CD =（已知）， ACB DCE ∠=∠（对顶角）， 所以(ASA)BAC EDC △≌△．故DE AB =．即DE 的长就是AB 的长． ···························································· （18分）此题中，我们运用了转化的思想方法，把不能直接测量的AB 的长转化为可直接测量的DE 的长．················································································· （20分） 说明：本题可仿照上例给分． 18．答案不惟一说明：1．正确运用平移，旋转或轴对称等知识等设计出图案； ············· （10分） 2．正确表达题目要求的含义； ······················································· （18分） 3．创意新颖，含义深刻． ····························································· （20分）图3。

数学八年级下册数学期末试卷测试卷附答案数学八年级下册数学期末试卷及答案一、选择题1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A。

aB。

1/a^2C。

-a^2D。

a^2+12.下列数组中，能构成直角三角形的是（）A。

1.1.3B。

2.3.5C。

0.2.0.3.0.5D。

1/11.1/45.1/33.如图，在ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上。

若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中，那么不能使四边形AECF是平行四边形的条件是（）A。

AE//CFB。

AE=CFC。

BE=DFD。

∠BAE=∠DCF4.某次数学趣味竞赛共有10组题目，某班得分情况如下表。

全班40名学生成绩的众数是人数。

成绩（分）5.1370.6080.7390.100A。

75B。

70C。

80D。

905.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A。

AB//DCB。

AC=BDC。

AC⊥BDD。

AB=DC6.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA。

则四边形AOED的周长为（）A。

9+√23B。

9+√3C。

7+√23D。

87.如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=20，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=4.若∠AFC=90°，则BC的长度为（）A。

24B。

28C。

20D。

128.一个内有进水管和出水管，开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，第12min后只出水不进水。

进水管每分钟的进水量和出水量每分钟的出水量始终不变，内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示。

根据图象有下列说法：①进水管每分钟的进水量为5L；②4≤x≤12时，y=x+15；③当x=12时，y=30；④当y=15时，x=3，或x=17.其中正确说法的个数是（）A。

1个B。

………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前八年级数学下册《数据的分析》测试一（附解析）考试时间：100分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题1．某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于同学甲没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s 2＝41．后来同学甲进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（）A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变2．在一次数学测试中，某学习小组6名同学的成绩(单位：分)分别为65，82，86，82，76，95.关于这组数据，下列说法错误的是()A．平均数是82B．中位数是82C．极差是30D．众数是823．已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（）A．平均数是3B．中位数是4C．极差是4D．方差是24．一组数据的方差为2s ，将这组数据中每个数据都除以3，所得新数据的方差是（）A．213s B．32s C．219s D．92s 5．已知a 、b 均为正整数，则数据a 、b 、10、11、11、12的众数和中位数可能分别是（）A．10、10B．11、11C．10、11.5D．12、10.56．下列说法中正确的是（）B．两个一次函数解析式k 值相等，则它们的图像平行………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C．连接等腰梯形各边中点得到矩形D．一组数据中每个数都加3，则方差增加37．有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为（）A．25B．30C．35D．408．在一次科技作品制作比赛中，某小组8件作品的成绩（单位：分）分别是：7、10、9、8、7、9、9、8，对这组数据，下列说法正确的是（）A．众数是9B．中位数是8C．平均数是8D．方差是7第II 卷（非选择题）二、填空题9．甲乙两人在5次打靶测试中，甲成绩的平均数=8x 甲，方差2=0.4S 甲，乙成绩的平均数=8x 乙，方差2=3.2S 乙.教练根据甲、乙两人5次的成绩，选一名队员参加射击比赛，应选择__________.10．已知一组样本数据1x ，2x ，3x ，⋅⋅⋅，n x 的平均数为2，方差为3，则数据12+5x ，22+5x ，325x +，⋅⋅⋅，2+5n x 的平均数为__________，方差为__________．11．已知一组数据x 1，x 2，…，xn 的平均数是﹣2，则数据3x 1+2，3x 2+2，…，3xn +2的平均数是_____．12．某厂对A，B，C 三种型号的彩电分别降价15%，10%，5%，因此该厂宣称其产品平均降价10%，你认为该厂的说法正确吗？________.（填“正确”或“不正确”）13．已知5个数据：8，8，x，10，10．如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是__________．14．已知5个互不相同的正整数的平均数是18，中位数25，那么这5个正整数中最大数的最大值是________．15．若一组数据0，2-,8，1，x 的众数是2-，则这组数据的方差是__________．16．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：13=x ，13x =，27.5=S ，221.6=z S ，则小麦长势比较整齐的试验田是___(填“甲”………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………或“乙”)三、解答题17．为了解某校九年级学生体育测试成绩情况，现从中随机抽取部分学生的体育成绩统计如下，其中右侧扇形统计图中的圆心角α为36°．根据上面提供的信息，回答下列问题：(1)m＝；抽取部分学生体育成绩的中位数为分；(2)已知该校九年级共有500名学生，如果体育成绩达33分以上(含33分)为优秀，请估计该校九年级学生体育成绩达到优秀的总人数．18．甲进行了10次射苦练，平均成绩为9环，且前9次的成绩(单位:环)依次为:8，10，9，10，7，9，10，8，10.(1)求甲第10次的射击成绩:(2:求甲这10次射击成绩的方差:(3)乙在相同情况下也进行了10次射击训练，平均成绩为9环，方差为1.6环，请问从甲和乙两个人中选一个去参加比赛，你认为哪个去更合适?并说明理由．19．由甲、乙两组各10名学生，进行趣味数学抢答比赛，共10道题．答对题数统计如下：答对题数5678910平均数x 中位数众数方差甲组学生数101521888乙组学生数004321（1）将表中的数据填写完整．（2）根据所学的统计知识，从不同方面评价甲、乙两组选手的成绩．20．某餐厅共有10名员工，所有员工工资的情况如下表：………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………请解答下列问题：(1)、餐厅所有员工的平均工资是多少？(2)、所有员工工资的中位数是多少？(3)、用平均数还是中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？(4)、去掉经理和厨师甲的工资后，其他员工的平均工资是多少？它是否能反映餐厅员工工资的一般水平？21．甲、乙两名队员参加射击训练，每次射击的环数均为整数．其成绩分别被制成如下统计图表（乙队员射击训练成绩统计图部分被污染）：平均成绩/环中位数/环众数/环方差/环2甲a 7712乙7b 8c 根据以上信息，解决下列问题：（1）求出a 的值；（2）直接写出乙队员第7次的射击环数及b 的值，并求出c 的值；（3）若要选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？请说明你的理由．………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………参考答案1．B 【分析】根据平均数、方差的定义计算即可.【详解】∵同学甲的成绩和其它39人的平均数相同，都是90分，∴40人的平均数是90分，∵39人的方差为41，小亮的成绩是90分，40人的平均分是90分，∴40人的方差为[41×39+(90-90)2]÷40<41，∴方差变小，∴平均分不变，方差变小故选B.2．A 【分析】根据极差、中位数、众数以及平均数的定义，结合数据进行分析即可.【详解】将数据从小到大排列为：65,76,82,82,86,95，A 、平均数＝6576828286956+++++＝81≠82，故错误；B 、中位数是82，故正确，C 、极差为95－65＝30，故正确；D 、众数是82，故正确；故答案选A.3．B 【详解】A 、这组数据的平均数是：（1+2+4+3+5）÷5=3，故本选项正确；B 、把这组数据从小到大排列：1，2，3，4，5，则中位数是3，故本选项错误；C 、这组数据的极差是：5-1=4，故本选项正确；D 、这组数据的方差是2，故本选项正确；故选B ．4．C 【分析】本题主要考查的是方差的求法.解答此类问题,通常用x ，x ，…，x 表示出已知数据的平均………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………数与方差,再根据题意用x 1，x 2，…，x n 表示出新数据的平均数与方差,寻找新数据的平均数与原来数据平均数之间的关系．【详解】设原数据为x 1，x 2，…，x n ，其平均数为x ，方差为s 2.根据题意，得新数据为113x ，213x ，…，13n x ，其平均数为13x .根据方差的定义可知，新数据的方差为()()(222222212121111111111]33333399n n x x x x x x x x x x x x s n n ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-++-=⨯-+-++-=⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎦⎣⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣ .故选C.5．B 【分析】根据众数和中位数的定义即可解答.【详解】分情况讨论：①当a=b=10时，这组数据的众数是10，则其中位数是10.5②当a=b=12时，这组数据的众数是12，其中位数是11.5③当a=b=11时，这组数据的众数是11，其中位数是11④当a≠b≠11时，这组数据的众数是11，其中位数要分类讨论，无法确定故选B 6．A 【分析】根据二次根式、一次函数、等腰梯形和方差的性质逐项判断即可．【详解】解：A.化成最简二次根式为n ，正确，符合题意；B.两个一次函数解析式k 值相等，b 不相等，则它们的图像平行，原选项错误，不符合题意；C.连接等腰梯形各边中点得到菱形，原选项错误，不符合题意；D.一组数据中每个数都加3，则方差不变，原选项错误，不符合题意；故选：A ．7．C………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【分析】最大数出现的条件就是前面10个数的和尽可能小，而它们的和是110，中间的是9，则其它的越小，剩下的就越大，但是8的个数要多于其它的，可分8的个数分别是2，3，4，5时，讨论写出符合条件的数据即得答案．【详解】解：∵有11个正整数，平均数是10，∴这11个数的和为110，由于中位数是9，众数只有一个8，如有两个8，则其他数至多1个，符合条件的数据可以是：1，2，3，8，8，9，10，11，12，13，x ；如有3个8，9是中位数，则其他数至多2个，符合条件的数据可以是：1，1，8，8，8，9，9，10，10，11，x ；如有4个8，则其他数至多3个，符合条件的数据可以是：1，8，8，8，8，9，9，9，10，10，x ；如有5个8，则其他数至多4个，符合条件的数据可以是：8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，x ；再根据其和为110，比较上面各组数据中哪个x 更大即可，通过计算x 分别为33，35，30，24，故最大的正整数为35．故选：C ．8．A 【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法计算即可．【详解】解：8件作品的成绩（单位：分）按从小到大的顺序排列为：7、7、8、8、9、9、9、10，9出现了3次，次数最多，故众数为9，中位数为（8+9）÷2=8.5，平均数=（7×2+8×2+9×3+10）÷8=8.375，方差S 2=18[2×（7-8.375）2+2×（8-8.375）2+3×（9-8.375）2+（10-8.375）2]=0.984375．所以A 正确，B 、C 、D 均错误．………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………故选A ．9．甲【分析】根据根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．【详解】解：因为甲、乙射击成绩的平均数一样，但甲的方差较小，说明甲的成绩比较稳定，因此推荐甲更合适．10.912【分析】利用平均数求法和方差的方法分别列式求得平均数和方差得出答案即可．【详解】∵x 1、x 2、…x n 的平均数为2，∴x 1+x 2+…+x n =2n ，∴12252525n x x x n ++++⋯++=2×2+5=9，∵原平均数为2，新数据的平均数变为9，则原来的方差S 12=1n [（x 1-2）2+（x 2-2）2+…+（x n -2）2]=3，现在的方差S 22=1n [（2x 1+5-9）2+（2x 2+5-9）2+…+（2x n +5-9）2]=1n [4（x 1-2）2+4（x 2-2）2+…+4（x n -2）2]=4×3=12．故答案为：9，12．11．-4【分析】根据数据：x 1，x 2，…，xn 的平均数是－２，得出数据3x 1，3x 2，…3xn 的平均数是3×（﹣2）＝﹣6，再根据每个数据都加2，即可得出数据：3x 1+2，3x 2+2，…3xn +2的平均数．【详解】解：∵数据x 1，x 2，…，xn 的平均数是﹣2，∴数据3x 1，3x 2，…3xn 的平均数是3×（﹣2）＝﹣6，∴数据3x 1+2，3x 2+2，…，3xn +2的平均数是﹣6+2＝﹣4．故答案为：﹣4．………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………12．不正确【分析】设A ，B ，C 三种型号的彩电的价格分别为x,y,z,那么它们总共降价了15%x+10%y+5%z,降价的百分比为：（15%x+10%y+5%z ）÷（x+y+z ），要使它等于10%，即（15%x+10%y+5%z ）÷（x+y+z ）=10%，解得x=z,也就是说如果A ，C 型号的彩电价格相同时，平均降价才为10%，故不正确．【详解】本题应根据降价后的各个型号彩电的价格计算出平均价格，再计算平均降价，由于A ，B ，C 三种型号彩电的价格不知道，因此根据平均数的定义无法计算此次降价的平均数，故该厂的说法不正确.13．8或10【分析】根据这组数据的某个众数与平均数相等，得出平均数等于8或10，求出x 从而得出中位数，即是所求答案.【详解】解：设众数是8，则由3685x +=，解得：x=4，故中位数是8；设众数是10，则由36105x +=，解得：x=14,故中位数是10.故答案为8或10.14．36【解析】【分析】根据平均数的求法，可得出所有数据的和，再根据中位数求法是从大到小排列后，最中间一个或两数的平均数，所以25在最中间，求这5个正整数中最大数的最大值，即尽可能让其他数据最小即可求出．【详解】∵5个互不相同的正整数的平均数是18，∴这5个数的和为：5×18=90，∵中位数25，∴最中间一定是25，………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∵要求这5个正整数中最大数的最大值是，其他数据应尽可能的小，∴其他数一定为：1，2，26，∴最大数为：90-1-2-25-26=36．故答案为36．15．13.6【分析】首先根据众数的定义求出x 的值，进而利用方差公式得出答案．【详解】解： 数据0，2-，8，1，x 的众数是2-，2x ∴=-，1(02812)15x =-++-=，2222221[(01)(21)(81)(11)(21)]13.65S =-+--+-+-+--=，故答案为13.6．16．甲【详解】解：方差反映数据波动的大小，方差大，波动大，方差小，波动小，甲的方差小，所以波动小，长势整齐．17．(1)m=10；34分；(2)350人.【详解】首先根据33分的人数和比例求出总人数，然后分别进行计算(1)总人数：8÷16%=50(人)34分的人数：50×24%=1231分人数：50×36360=5则m=50－(5+8+12+15)=10(人)中位数为34分；(2)500×8121550++=350人.18．（1）9环；（2）1；（3）甲的射击成绩更稳定，理由见解析．【分析】（1）用甲射击的总环数减去前9次射击的总环数可得；（2）根据方差的计算公式可得；………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（3）根据方差的意义可得答案．【详解】（1）根据题意，甲第10次的射击成绩为9×10-（8+10+9+10+7+9+10+8+10）=9环；（2）甲这10次射击成绩的方差为110×[4×（10-9）2+3×（9-9）2+2×（8-9）2+（7-9）2]=1；（3）∵平均成绩相等，而甲的方差小于乙的方差，∴甲的射击成绩更稳定．19．（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）根据平均数、中位数、众数、方差的概念分别进行计算即可求得答案；（2）分别从平均数、中位数、众数、方差四个角度对甲、乙两组选手成绩进行分析即可．【详解】（1）甲组的方差()()()()()2222221587858829810810S ⎡⎤=⨯-+-+⨯-+⨯-+-⎣⎦()()222213121210⎡⎤=⨯-+-+⨯+⎣⎦11610=⨯ 1.6=乙组的平均数：74839210110⨯+⨯+⨯+⨯2824181010+++=80810==将乙组数据按从小到大的顺序排列如下：7、7、7、7、8、8、8、9、9、10，∴乙组的中位数是8882+=乙组的众数：7乙组的方差()()()()22222147838829810810S ⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-+-⎣⎦()22214121210⎡⎤=⨯⨯-+⨯+⎣⎦110110=⨯=如表格所示：答对题数5678910平均数x 中位数众数方差甲组学生数101521888 1.6乙组学生数0043218871………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）从平均数和中位数看，甲乙都是8，成绩相等，从众数看，甲组是8，乙组是7，甲组比乙组好，从方差来看，甲组数据的方差是1.6，而乙组数据的方差是1，甲组成绩波动较大，乙组成绩较稳定．20．(1)平均工资为4350元;(2)工资的中位数为2000元；(3)用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当(4)能反映餐厅员工工资的一般水平.【详解】（1）根据加权平均数的定义即可得到结论；（2）根据中位数的定义即可得到结论；（3）中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当；（4）由平均数的定义即可得到结论．（1）平均工资为110（20000+7000+4000+2500+2200+1800×3+1200×2）=4350元；（2）工资的中位数为220018002+=2000元；（3）由（1）可知，用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当；（4）去掉店长和厨师甲的工资后，其他员工的平均工资是2062.5元，和（2）的结果相比较，能反映餐厅员工工资的一般水平．21．（1）7，（2）乙队员第7次的射击环数是7环或8环；7.5；4.2（3）乙，理由见解析．【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；（2）根据众数可求乙队员第7次的射击环数,中位数是第5次和第6次射击环数的平均数；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；（3）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．【详解】解：（1）甲的平均成绩a ＝5162748291712421⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++（环）；（2）∵已知的环数分别是：3、4、6、7、8、8、9、10，平均数是7，可知剩余两次的成绩和为：70-55=15（环），根据统计图可知不可能是9和6，只能是7和8，所以乙队员第7次的射击环数是7环或8环；把乙的成绩从小到大排列：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∴乙射击成绩的中位数b ＝782 ＝7.5（环），其方差c ＝110×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]＝110×（16+9+1+3+4+9）＝4.2；（3）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看乙的成绩比甲的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名队员参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．。

一、选择题1．若一组数据2，3，4，5，x 的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x 的值为（ ）. A ．1 B ．6 C ．1或6D ．5或62．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．如果将所给定的数据组中的每个数都减去一个非零常数，那么该数组的 （ ） A ．平均数改变，方差不变 B ．平均数改变，方差改变C ．平均数不变，方差改变D ．平均数不变，方差不变4．某校有21名同学们参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的( ) A ．最高分B ．中位数C ．极差D ．平均数5．某次数学趣味竞赛共有10道题目，每道题答对得10分，答错或不答得0分．全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ） A ．75，70 B ．70，70 C ．80，80 D ．75，80 6．一组数据，6、4、a 、3、2的平均数是5，这组数据的方差为（ ） A ．8B ．5C ．6D ．37．一组数据,,,,,,a b c d e f g 的平均数是m ，极差是k ，方差是n ，则23,23,23,23,23,23------a b d e f g 的平均数、极差、和方差分别是（ ）A ．222、、m k nB ．23232m k n --、、C ．232-、、4m k nD ．2323--、、4m k n8．方差计算公式()()()()()2222221476787117675s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦中，数字5和7分别表示（ ）A．数据个数、平均数B．方差、偏差C．众数、中位数D．数据个数、中位数9．如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则下列说法正确的是（）A．这组数据的众数是14B．这组数据的中位数是31C．这组数据的标准差是4D．这组是数据的极差是910．若a、b、c这三个数的平均数为2，方差为S2，则a+2，b+2，c+2的平均数和方差分别是（）A．2，S2B．4，S2C．2，S2+2 D．4，S2+411．某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82．下列关于这组数据的描述不正确的是（）A．众数是108 B．中位数是105C．平均数是101 D．方差是9312．为了解某校计算机考试情况，抽取了50名学生的计算机考试成绩进行统计，统计结果如表所示，则50名学生计算机考试成绩的众数、中位数分别为（）考试分数（分）2016128人数241853A．20，16 B．l6，20 C．20，l2 D．16，l2二、填空题13．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：年龄（单位：1415161718岁）人数14322则这个队队员年龄的众数和中位数分别是_____岁、_____岁．14．一组数据4、5、a、6、8的平均数5x=，则方差2s=________.15．若一组数据1，2，a，3，5的平均数是3，则这组数据的标准差是______.16．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是_____．17．某组数据的方差计算公式为S2＝18[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x8﹣2）2]，则该组数据的样本容量是_____，该组数据的平均数是_____．18．一组数据5，8，x，10，4的平均数是2x，则这组数据的方差是___________．19．某校对开展贫困地区学生捐书活动，某班40名学生捐助数量（本）绘制了折线统计图，在这40名学生捐助数量中，中位数是_____，众数是_____．20．现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高均为170cm，方差分别是2S甲，2S乙，且22S S甲乙，则两个队的队员的身高较整齐的是______．三、解答题21．在推进杭州市城乡生活垃圾分类的行动中，某校为了考察该校初中生掌握垃圾分类知识的情况，进行了一次测试，并随机抽取了若干名学生的测试成绩进行整理，绘制了如图所示不完整的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）和扇形统计图．（1）求样本容量，并补充完整频数直方图．（2）在抽取的这些学生中，玲玲的测试成绩为85分，你认为85分一定是这些学生成绩的中位数吗？请简要说明理由．（3）若成绩在80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1400名学生中成绩优秀的人数．22．为了了解七年级学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校七年级部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图甲、乙所示的两个统计图（部分未完成），请根据图中信息，回答下列问题：（1）校团委随机调查了多少学生？请你补全条形统计图；（2）表示“50元”的扇形的圆心角是多少度？（3）某地发生自燃灾害后，七年级800名学生每人自发地捐出一周零花钱的一半，以支援灾区恢复生产，请估算七年级学生捐款多少元？23．为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作的得分．根据获取的样本数据，制作了如下的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）扇形①的圆心角的大小是度；（2）这40个样本数据的众数是_______；中位数是_______．（3）若该校九年级共有320名学生，估计该校理化实验操作得满分的学生人数．24．在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．25．某初中要调查学校学生（总数 1000 人）双休日课外阅读情况，随机调查了一部分学生，调查得到的数据分别制成频数直方图（如图 1）和扇形统计图（如图 2）．（1）请补全上述统计图（直接填在图中）；（2）试确定这个样本的中位数和众数；（3）请估计该学校 1000 名学生双休日课外阅读时间不少于 4 小时的人数．26．学校开展的“书香校园”活动受到同学们的广泛关注，为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表．学生借阅图书的次数统计表：借阅图书的次0次1次2次3次4次及以上数人数713a103请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a=，b=；（2）该调查统计数据的中位数是，众数是；（3）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书4次及以上的人数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】根据数据x 1，x 2，…x n 与数据x 1+a ，x 2+a ，…x n +a 的方差相同这个结论即可解决问题. 解：∵一组数据2，2，4，5，x 的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等， ∴这组数据可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5， ∴x=1或6， 故选C.“点睛”本题考查方差、平均数等知识，解题的关键领域结论：数据x 1，x 2，…x n 与数据x 1+a ，x 2+a ，…x n +a 的方差相同解决问题，属于中考常考题型.2．D解析：D 【解析】【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 【详解】∵==x x x x >乙丁甲丙， ∴从乙和丁中选择一人参加比赛，∵22S S >乙丁，∴选择丁参赛， 故选D ．【点睛】本题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．3．A解析：A 【解析】试题分析：根据平均数、方差的计算公式即可判断. 由题意得该数组的平均数改变，方差不变，故选A. 考点：本题考查的是平均数，方差点评：数学公式的计算与应用是初中数学学习中的一个基本能力，此类问题往往考查学生对数学公式的理解能力，难度不大.4．B解析：B 【解析】共有21名学生参加预赛，取前11名，小颖知道了自己的成绩，我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第11名的成绩是这组数据的中位数，所以小颖知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．故选B．5．A解析：A【分析】根据中位数和众数的定义解答即可.【详解】共40个数据中第20和第21个数分别是70、80，∴这组数据的中位数是75，这组数据中出现次数最多的是70，所以众数是70，故选：A.【点睛】此题考查了中位数和众数的定义，一组数据最中间的一个数或两个数的平均数是这组数据的中位数，出现次数最多的数是这组数据的众数，正确掌握定义是解题的关键.6．A解析：A【分析】先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可．【详解】∵数据6、4、a、3、2平均数为5，∴（6+4+2+3+a）÷5=5，解得：a=10，∴这组数据的方差是1[（6-5）2+（4-5）2+（10-5）2+（2-5）2+（3-5）2]=8．5故选：A．【点睛】此题考查平均数，方差，解题关键在于掌握它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．7．C解析：C【分析】根据平均数、极差和方差的变化规律即可得出答案．【详解】∵数据a、b、c、d、e、f、g的平均数是m，∴2a−3、2b−3、2c−3、2d−3、2e−3、2f−3、2g−3的平均数是2m−3；∵数据a、b、c、d、e、f、g的极数是k，∴2a−3、2b−3、2c−3、2d−3、2e−3、2f−3、2g−3的平均数是2k；∵数据a、b、c、d、e、f、g的方差是n，∴数据2a−3、2b−3、2c−3、2d−3、2e−3、2f−3、2g−3的方差是224n n；故选C.【点睛】此题考查方差、极差、算术平均数，解题关键在于掌握方差、极差、算术平均数变化规律即可.8．A解析：A 【分析】根据方差的计算公式可直接得出结果． 【详解】()()()()()2222221476787117675s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦∴5是数据的个数，7是平均数， 故选：A 【点睛】本题考查方差的定义．熟记方差公式是解题的关键． 9．D解析：D 【解析】 【分析】根据中位数，众数、极差、标准差的定义即可判断． 【详解】解：七个整点时数据为：22，22，23，26，28，30，31 所以中位数为26，众数为22，平均数为：22+22+23+26+28+3032167+= ；极差是31-22=9，标准差是：故D 正确， 故选：D 【点睛】此题考查中位数，众数、极差、标准差的定义，解题关键在于看懂图中数据10．B解析：B 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加了2，所以波动不会变，方差不变，平均数增加2. 【详解】由题意知，原来的平均数为2，每个数据都加上2，则平均数变为4；原来的方差221=(2)(2)(2)3S a b c ⎡⎤---⎣⎦22++ 现在的方差：222222111=(24)(24)(24)=(2)(2)(2)33S a b c a b c S ⎡⎤⎡⎤+-+-+-=---=⎣⎦⎣⎦22++++ 方差不变. 故选：B. 【点睛】本题考查了方差和平均数，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变.11．D解析：D 【分析】把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，求出众数、中位数、平均数和方差，即可得出结论． 【详解】解：把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110， ∴众数是108，中位数为1021081052+=，平均数为82961021081081101016+++++=，方差为()()()()()()222222182101961011021011081011081011101016⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣⎦ 94.393≈≠；故选D ． 【点睛】考核知识点：众数、中位数、平均数和方差；理解定义，记住公式是关键.12．A解析：A 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】解：在这一组数据中20是出现次数最多的，故众数是20；将这组数据从大到小的顺序排列后，处于中间位置的数是16，16，那么这组数据的中位数16． 故选：A ． 【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数．二、填空题13．1615【分析】根据中位数和众数的定义求解【详解】解：从小到大排列此数据数据15出现了四次最多为众数16和16处在第5位和第六位它两个数的平均数为16为中位数故答案为：1615【点睛】本题属于基础题解析：16 15【分析】根据中位数和众数的定义求解．【详解】解：从小到大排列此数据，数据15出现了四次最多为众数，16和16处在第5位和第六位，它两个数的平均数为16为中位数．故答案为：16，15．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．14．4【分析】首先根据其平均数为5求得a的值然后再根据方差的计算方法计算即可【详解】解：根据题意得（4+5+a+6+8）=5×5解得a=2则这组数据为45268的平均数为5所以这组数据的方差为s2=（4解析：4【分析】首先根据其平均数为5求得a的值，然后再根据方差的计算方法计算即可．【详解】解：根据题意得（4+5+a+6+8）=5×5，解得a=2，则这组数据为4，5，2，6，8的平均数为5，所以这组数据的方差为s2= 15[（4-5）2+（5-5）2+（2-5）2+（6-5）2+（8-5）2]=4．故答案为：4【点睛】本题考查方差的定义、意义、计算公式，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．15．【分析】根据题意可得×(1+3+2+5+a)=3解这个方程就可以求出a的值；根据标准差的计算公式即可求出样本标准差【详解】根据题意由平均数的定义得×(1+3+2+5+a)=3解得a=4所以方差为：S解析：2 【分析】 根据题意可得15×(1+3+2+5+a)=3，解这个方程就可以求出a 的值；根据标准差的计算公式即可求出样本标准差.【详解】 根据题意 由平均数的定义得15×(1+3+2+5+a)=3， 解得，a=4.所以方差为：S 2=()()()()()2222213-1+3-3+3-2+3-5+3-4=5⎡⎤⨯⎣⎦2， 故标准差为：2故答案为：2.【点睛】此题考查平均数的概念，解题关键在于掌握计算公式.16．4【解析】【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和然后除以数据的总个数先求数据x1x2x3x4x5的和然后再用平均数的定义求新数据的平均数【详解】一组数据x1x2x3x4x5的平均数是2有15（x解析：4【解析】【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的和，然后再用平均数的定义求新数据的平均数．【详解】一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，有（x 1+x 2+x 3+x 4+x 5）=2，那么另一组数据3x 1-2，3x 2-2，3x 3-2，3x 4-2，3x 5-2的平均数是（3x 1-2+3x 2-2+3x 3-2+3x 4-2+3x 5-2）=4．故答案是：4．【点睛】考查的是样本平均数的求法及运用，解题关键是记熟公式：. 17．82【分析】样本方差S2=（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2其中n 是这个样本的容量是样本的平均数利用此公式直接求解【详解】由于S2=（x1-2）2+（x2-2）2+…+（x8-2）2所以该解析：8 2【分析】样本方差S 2=1n[（x 1-x ）2+（x 2-x ）2+…+（x n -x ）2]，其中n 是这个样本的容量，x 是样本的平均数．利用此公式直接求解．【详解】 由于S 2=18[（x 1-2）2+（x 2-2）2+…+（x 8-2）2]， 所以该组数据的样本容量是8，该组数据的平均数是2．故答案为8，2．【点睛】此题考查方差的有关计算，解答此题的关键是熟练记住公式：S 2=1n [（x 1-x ）2+（x 2-x ）2+…+（x n -x ）2]中各个字母所代表的含义．18．68【分析】本题可用求平均数的公式解出x 的值在运用方差的公式解出方差【详解】解：依题意得：5＋8＋x ＋10＋4＝2x×5所以x ＝32x ＝6方差s2＝＝68【点睛】本题考查了算术平均数方差的计算方法熟解析：6.8【分析】本题可用求平均数的公式解出x 的值，在运用方差的公式解出方差.【详解】解：依题意得：5＋8＋x ＋10＋4＝2x×5，所以x ＝3，2x ＝6，方差s 2＝15()()()()()222225-6+8-6+3-6+10-6+4-6⎡⎤⎣⎦＝6.8， 【点睛】 本题考查了算术平均数、方差的计算方法，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 19．2323【解析】【分析】根据中位数和众数的定义求解即可【详解】解：由折线统计图可知阅读20本的有4人21本的有8人23本的有20人24本的有8人共40人∴其中位数是第2021个数据的平均数即=23众解析：23 23【解析】【分析】根据中位数和众数的定义求解即可．【详解】解：由折线统计图可知，阅读20本的有4人，21本的有8人，23本的有20人，24本的有8人，共40人，∴其中位数是第20、21个数据的平均数，即23232+=23，众数为23， 故答案为23、23．【点睛】本题考查了折线统计图及中位数、众数的知识，关键是掌握寻找中位数的方法，一定不要忘记将所有数据从小到大依此排列再计算．20．甲【解析】【分析】根据方差小的身高稳定判断即可【详解】现有甲乙两个合唱队队员的平均身高均为170cm 方差分别是且则两个队的队员的身高较整齐的是甲故答案为：甲【点睛】此题考查了方差方差是用来衡量一组数 解析：甲【解析】【分析】根据方差小的身高稳定判断即可．【详解】现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高均为170cm ，方差分别是2S 甲，2S 乙，且22S S <甲乙，则两个队的队员的身高较整齐的是甲，故答案为：甲【点睛】此题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量．三、解答题21．（1）50；见解析；（2）不一定；见解析；（3）728【分析】（1）由总人数为100可得m 的值，从而补全图形；（2）根据中位数的定义判断即可得；（3）样本中成绩在80分以上（包括80分）占调查人数的161050+，因此利用样本估计总体的方法列出算式1610140050+⨯，求解可得结果． 【详解】解：（1）样本容量是：10÷20%＝50．70≤a ＜80的频数是50−4−8−16−10＝12（人），补全图形如下：（2）不一定是这些学生成绩的中位数．理由：将50名学生知识测试成绩从小到大排列，第25、26名的成绩都在分数段80≤a≤90中，他们的平均数不一定是85分，因为25、26的成绩的平均数才是整组数据的中位数．（3）全校1400名学生中成绩优秀的人数为：1610140072850+⨯=（人）．【点睛】本题考查了条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22．（1）40；补图见详解；（2）36°；（3）13200元．【分析】（1）用捐款40元的人数除以所占百分比即可求出调查的学生数，用调查的学生数乘以15%求出捐款20元的学生数，不去统计图即可；（2）用捐款50元的学生人数除以调查总人次再乘以360°即可求解；（3）计算出本次调查的平均数，再根据题意列式计算即可求解．【详解】解：（1）10÷25%=40（人），40×15%=6（人），∴校团委随机调查了40名学生，补全条形统计图如图：（2）表示“50元”的扇形的圆心角为4360=3640⨯︒︒； （3）206302040105041800=13200402⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯（元）， 答：七年级学生捐款约为13200元．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，加权平均数等知识，根据条形统计图和扇形统计图的关联量求出各组数据是解题关键．23．（1）36；（2）9； 8；（3）估计该校理化实验操作得满分的学生人数是56人．【分析】（1）用360°乘以①所占的百分比，计算即可得解；（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数分别解答； （3）用九年级总人数乘以满分的人数所占的份数计算即可得解．【详解】（1）360°×（1-15%-27.5%-30%-17.5%）=360°×10%=36°；故答案为：36；（2）∵9出现了12次，次数最多，∴众数是9；∵将40个数字按从小到大排列，中间的两个数都是8，∴中位数是8882+=， 故答案为：9，8； （3）32017.5%56⨯=(人)，估计该校理化实验操作得满分的学生人数是56人．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、众数与中位数的意义、用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（1）30，10；（2）平均数为12元；（3）学生的捐款总数为7200元.【分析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6118530+++=，由众数的定义即可得出结果；（2）由加权平均数公式即可得出结果；（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．【详解】（1）本次调查的样本容量是6118530+++=，这组数据的众数为10元；故答案为30，10；（2）这组数据的平均数为6511108155201230⨯+⨯+⨯+⨯=（元）；（3）估计该校学生的捐款总数为600127200⨯=（元）．【点睛】此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．25．（1）画图见解析；（2）中位数是3小时，众数是4小时；（3）400人．【分析】（1）根据阅读5小时以上频数为6，所占百分比为12%，求出数据的总数，再用数据总数减去其余各组频数得到阅读3小时以上频数，然后补全频数分布直方图，分别求得阅读0小时和4小时的人数所占百分比，补全扇形图；（2）利用各组频数和总数之间的关系确定中位数和众数；（3）用1000乘以每周课外阅读时间不小于4小时的学生所占百分比即可．【详解】解：(1)总人数：6÷12%= 50 (人)，阅读3小时以上人数：50-4-6-8-14-6= 12 (人)，阅读3小时以上人数的百分比为12÷50= 24% ，阅读0小时以上人数的百分比为4÷50= 8% ．图如下：(2)中位数是3小时，众数是4小时；(3) 1000⨯(28% + 12%)= 1000⨯40%= 400(人)答：该学校1000名学生双休日课外阅读时间不少于4小时的人数为400人．【点睛】此题考查数据的收集，主要有中位数，众数，扇形图和直方图的画法及表达的意义． 26．（1）17,20a b ==；（2）中位数是2次，众数是2次；（3）120人【分析】（1）根据借阅1次的人数及百分比求出样本总人数，减去其他的人数即可得到a ，用借阅3次的人数除以总人数乘以100%即可得到3次的百分比，由此得到b ；（2）根据中位数及众数的定义解答；（3）根据样本中4次及以上的百分比乘以2000解答.【详解】（1）调查的总人数是1326%50÷=（人），∴a=50-7-13-10-3=17，10%100%20%50b =⨯=， 故答案为：17,20； （2）50个数据中中间两个数据都是2次，故中位数是2次，数据出现次数最多的是2次，故众数是2次，故答案为：2次，2次；（3）3100%200050⨯⨯=120（人）， ∴该校学生在一周内借阅图书4次及以上的人数是120人.【点睛】此题考查统计数据的计算，正确掌握样本总数的计算方法，中位数的定义，众数的定义，利用样本的百分比求总体的方法是解题的关键.。

一、选择题1．在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则关于这组数据的说法不正确的是（ ） A ．众数是5B ．中位数是5C ．平均数是6D ．方差是3.62．八年级某班五个合作学习小组人数如下：5，7，6，x ，7．已知这组数据的平均数是6，则x 的值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．43．小王在清点本班为偏远贫困地区的捐款时发现，全班同学捐款的钞票情况如下：100元的3 张，50元的9张，10元的23张，5元的10张．在这些不同面额的钞票中，众数是（ ）A ．10B ．23C ．50D ．1004．某次数学趣味竞赛共有10道题目，每道题答对得10分，答错或不答得0分． 人数 2 5 13 10 7 3 成绩（分）5060708090100全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ） A ．75，70B ．70，70C ．80，80D ．75，805．下面说法正确的个数有（ ）（1）二元一次方程组的两个方程的所有解，叫做二元一次方程组的解； （2）如果a b >，则ac bc >；（3）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （4）多边形内角和等于360︒； （5）一组数据1，2，3，4，5的众数是0 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．2017年世界未来委员会与联合国防治荒漠化公约授予我国“未来政策奖”，以表彰我国在防治土地荒漠化方面的突出成就．如图是我国荒漠化土地面积统计图，则荒漠化土地面积是五次统计数据的中位数的年份是( )A．1999年B．2004年C．2009年D．2014年7．为了让市民享受到更多的优惠，相关部门拟确定一个折扣线，计划使50%左右的人获得折扣优惠．某市针对乘坐地铁的人群进行了调查．调查小组在各地铁站随机调查了该市1000人上一年乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制了频数分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（）①每人乘坐地铁的月均花费最集中的区域在80~100元范围内；②每人乘坐地铁的月均花费的平均数范围是40~60元范围内；③每人乘坐地铁的月均花费的中位数在60~100元范围内；④乘坐地铁的月均花费达到80元以上的人可以享受折扣．A．①②④B．①③④C．③④D．①②8．某校在中国学生核心素养知识竞赛中，通过激烈角逐，甲、乙、丙、丁四名同学胜出，他们的成绩如表：甲乙丙丁平均分8.58.28.58.2方差 1.8 1.2 1.2 1.1最高分9.89.89.89.7如果要选出一个成绩较好且状态稳定的同学去参加市级比赛，应选（）A．丁B．丙C．乙D．甲=，S2乙9．某次知识竞赛中，两组学生成绩如下表，通过计算可知两组的方差为S2甲172=，下列说法：256①两组的平均数相同；②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定；③甲组成绩的众数>乙组成绩的众数；④两组成绩的中位数均是80，但成绩≥80的人数甲比乙组多，从中位数来看，甲组成绩总体比乙组好；⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好．其中正确的有（）个A．2 B．3 C．4 D．510．已知数据x，4，0，3，-1的平均数是1，那么它的众数是（）A．4 B．0 C．3 D．-111．有一组数据：1，1，1，1，m．若这组数据的方差是0，则m为（）A．4-B．1-C．0 D．112．下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差:要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择( )A．甲B．乙C．丙D．丁13．某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82．下列关于这组数据的描述不正确的是（）A．众数是108 B．中位数是105C．平均数是101 D．方差是9314．某公司全体职工的月工资如下：月工资（元）18000120008000600040002500200015001200人数1（总经理）2（副总经理）34102022126的普通员工最关注的数据是（）A．中位数和众数B．平均数和众数C．平均数和中位数D．平均数和极差15．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两队身高一样整齐B．甲队身高更整齐C．乙队身高更整齐D．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐二、填空题16．商店某天销售了11件衬衫，其领口尺寸统计如下表：领口尺寸（单位：cm）3839404142件数14312则这11件衬衫领口尺寸的中位数是________cm．17．今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数x（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：__．18．小明用S2=110[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]计算一组数据的方差，那么x1+x2+x3+…+x10=______.19．为了增强青少年的防毒拒毒意识，学校举办了一次“禁毒教育”演讲比赛，其中某位选手的演讲内容、语言表达、演讲技巧这三项得分分别为90分，80分，85分，若依次按50%，30%，20%的比例确定成绩，则该选手的最后得分是__________分．20．在一次数学测验中，甲组4名同学的平均成绩是70分，乙组6名同学的平均成绩是80分，则这10名同学的平均成绩是______________.21．组数据2，x，1，3，5，4，若这组数据的中位数是3，则x的值是______．22．若样本数据1，2，3，2的平均数是a，中位数是b，众数是c，则数据a，b，c的方差是___．23．某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，两班平均分和方差分别为⎺x甲=82分，⎺x乙=82分，S2甲=245，S2乙=190．那么成绩较为整齐的是__________班24．一组数据2、3、5、6、x的平均数正好也是这组数据的中位数，那么正整数x为_____．25．为迎接2018年的体育中考，甲、乙两位同学参加排球训练，体育老师根据训练成绩算出他们成绩的方差分别为S甲2=1.6，S乙2=2.8，则_____（填“甲”或“乙”）成绩较稳定．26．现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高均为170cm，方差分别是2S甲，2S乙，且22S S<甲乙，则两个队的队员的身高较整齐的是______．三、解答题27．嘉淇同学利用业余时间进行射击训练，一共射击7次，经过统计，制成如图12所示的折线统计图．（1）这组成绩的众数是；（2）求这组成绩的方差；（3）若嘉淇再射击一次（成绩为整数环），得到这8次射击成绩的中位数恰好就是原来7次成绩的中位数，求第8次的射击成绩的最大环数．28．学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：平均数中位数方差张明13.30.004李亮13.30.02（1）张明第2次的成绩为：秒；（2）张明成绩的平均数为：；李亮成绩的中位数为：；（3）现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．29．为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：甲乙射击成绩统计表平均数中位数方差命中10环的次数甲70乙7.5 5.41甲乙射击成绩折线图（1）请补全上述图表（请直接在统计表中填空和补全折线图）；（2）如果规定成绩较稳定者胜出，则_____胜出，理由是____________________；（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？说明理由．30．某班级从甲、乙两位同学中选派一人参加知识竞赛，老师对他们的五次模拟成绩（单位：分）进行了整理，并计算出甲成绩的平均数是80分，甲、乙成绩的方差分别是320，40，但绘制的统计图表尚不完整．甲、乙两人模拟成绩统计表第一次第二次第三次第四次第五次甲成绩901009050a乙成绩8070809080甲、乙两人模拟成绩折线图根据以上信息，请你解答下列问题：（1）a（2）请完成图中表示甲成绩变化情况的折线；（3）求乙成绩的平均数；（4）从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．。

北师版数学八年级上学期期末测试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列成语描述的事件为随机事件的是（）A．水涨船高B．守株待兔C．水中捞月D．缘木求鱼2．下列说法正确的是（）A．﹣3是﹣9的平方根B．1的立方根是±1C．a是a2的算术平方根D．4的负的平方根是﹣23．下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A．2a（a+1）＝2a2+2a B．a2﹣6a+9＝a（a﹣6）+9C．a2+3a+2＝（a+1）（a+2）D．a2﹣1＝a（a﹣）4．如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（）A．B．C．D．5．分式，，﹣的最简公分母为（）A．2xy2B．5xy C．10xy2D．10x2y26．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．7．某次数学趣味竞赛共有10道题目，每道题答对得10分，答错或不答得0分．人数25131073成绩（分）5060708090100全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）A．75，70B．70，70C．80，80D．75，808．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是（）A．18B．114C．194D．3249．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（）A．35°B．40°C．45°D．50°10．如图所示，在等边△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，则下列结论中：①AE∥BC；②∠DEB＝60°；③∠ADE＝∠BDC；④∠AED＝∠ABD，其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②④11．将一组数，2，，2，，…，2，按下列方式进行排列：①，2，，2，②2，，4，3，2…若的位置记为（1，3），2的位置记为（2，1），则这个数的位置记为（）A．（5，4）B．（4，4）C．（4，5）D．（3，5）12．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）13．计算：（）3＝．14．将多项式x2﹣2在实数范围内分解因式的结果为．15．如图，已知∠1＝75°，将直线m平行移动到直线n的位置，则∠2﹣∠3＝°．16．如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是．17．已知a，b是两个连续整数，且a＜﹣1＜b，则a b＝．18．把两块同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B、C、D在同一直线上，若AB＝3，则CD ＝．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤-）19．（6分）计算：（1）+（2﹣）0；（2）﹣3﹣20．（6分）解分式方程：＝2﹣．21．（6分）分解因式：（a2+1）2﹣4a2．22．（8分）由甲、乙两个工程队承包某校校园的绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比是3：2，两队共同施工6天可以完成．（1）求两队单独完成此项工程各需多少天？（2）此项工程由甲、乙两队共同施工6天完成任务后，学校付给他们4000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各应得到多少元？23．（8分）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．24．（10分）某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．校本课程频数频率A360.45B0.25C16bD8合计a1请您根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）统计表中的a＝，b＝；（2）“D”对应扇形的圆心角为度；（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．25．（10分）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．（Ⅰ）求∠ODC的度数；（Ⅱ）若OB＝2，OC＝3，求AO的长．26．（12分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．27．（12分）（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝．（2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．2018-2019学年山东省济南市槐荫区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列成语描述的事件为随机事件的是（）A．水涨船高B．守株待兔C．水中捞月D．缘木求鱼【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．【解答】解：水涨船高是必然事件，A不正确；守株待兔是随机事件，B正确；水中捞月是不可能事件，C不正确缘木求鱼是不可能事件，D不正确；故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．下列说法正确的是（）A．﹣3是﹣9的平方根B．1的立方根是±1C．a是a2的算术平方根D．4的负的平方根是﹣2【分析】利用算术平方根及平方根、立方根的定义判断即可．【解答】解：A．﹣9没有平方根，此选项错误；B．1的立方根是1，此选项错误；C．|a|是a2的算术平方根，此选项错误；D．4的负的平方根是﹣2，此选项正确；故选：D．【点评】此题考查了算术平方根，以及平方根与立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A．2a（a+1）＝2a2+2a B．a2﹣6a+9＝a（a﹣6）+9C．a2+3a+2＝（a+1）（a+2）D．a2﹣1＝a（a﹣）【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、是因式分解，故本选项符合题意；D、不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．4．如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转对称图形的概念解答．【解答】解：A．此图案绕中心旋转36°或36°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；B．此图案绕中心旋转45°或45°的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；C．此图案绕中心旋转60°或60°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；D．此图案绕中心旋转72°或72°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查旋转对称图形，解题的关键是掌握如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．5．分式，，﹣的最简公分母为（）A．2xy2B．5xy C．10xy2D．10x2y2【分析】按照求最简公分母的方法计算即可．【解答】解：分式，，﹣的最简公分母为10xy2，故选：C．【点评】本题主要考查最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．6．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、原式＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；B、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；C、原式＝3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；D、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．7．某次数学趣味竞赛共有10道题目，每道题答对得10分，答错或不答得0分．人数25131073成绩（分）5060708090100全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）A．75，70B．70，70C．80，80D．75，80【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第20、21个数的平均数，∴全班40名同学的成绩的中位数是：＝75；70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70；故选：A．【点评】此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是（）A．18B．114C．194D．324【分析】根据正方形的面积公式，勾股定理，得到正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1＝42+92，S2＝12+42，则S3＝S1+S2，∴S3＝16+81+1+16＝114．故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（）A．35°B．40°C．45°D．50°【分析】首先在△ABB'中根据等边对等角，以及三角形内角和定理求得∠ABB'的度数，然后在直角△BB'C中利用三角形内角和定理求解．【解答】解：∵AB＝AB'，∴∠ABB'＝∠AB'B＝＝＝55°，在直角△BB'C中，∠BB'C＝90°﹣55°＝35°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键．10．如图所示，在等边△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，则下列结论中：①AE∥BC；②∠DEB＝60°；③∠ADE＝∠BDC；④∠AED＝∠ABD，其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②④【分析】由题意可得∠EAB＝∠ACB＝∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°，可判断①②，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和可判断③④．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∠AEB＝∠BDC∵将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∠EAB＝∠ACB＝60°∴∠EAB＝∠ABC＝60°，△BED是等边三角形∴AE∥BC∵△BED是等边三角形∴∠DEB＝60°故①②正确∵∠AEB＝∠BDC，∠AEB＝∠AED+∠BED，∠BDC＝∠BAC+∠ABD∴∠AED＝∠ABD故④正确∵∠BDC＞60°，∠ADE＜60°∴∠BDC≠∠ADE故③错误．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．11．将一组数，2，，2，，…，2，按下列方式进行排列：①，2，，2，②2，，4，3，2…若的位置记为（1，3），2的位置记为（2，1），则这个数的位置记为（）A．（5，4）B．（4，4）C．（4，5）D．（3，5）【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．【解答】解：这组数据可表示为：①，，，，，②，，，，；…∵19×2＝38，∴19÷5＝3…4，∴为第4行，第4个数字．故选：B．【点评】本题主要考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．12．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN＝120°HN＝MN＝x即可解决问题；【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∵∠MON＝30°，∴∠CBH+∠∠ABM+∠CBN＝30°，∴∠NBM＝∠NBH，∵BM＝BH，BN＝BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN＝NH＝x，∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝n，∴∠NCH＝120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，故选：C．【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）13．计算：（）3＝．【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：（）3＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．14．将多项式x2﹣2在实数范围内分解因式的结果为．【分析】根据平方差公式分解因式即可．【解答】解：x2﹣2＝，故答案为：，【点评】本题考查了实数范围内怎样分解因式，解答本题的关键是熟练掌握平方差公式是关键．15．如图，已知∠1＝75°，将直线m平行移动到直线n的位置，则∠2﹣∠3＝105°．【分析】直接利用平移的性质结合三角形外角的性质得出答案．【解答】解：由题意可得：m∥n，则∠CAD+∠1＝180°，可得：∠3＝∠4，故∠4+∠CAD＝∠2，则∠2﹣∠3＝∠CAD+∠3﹣∠3＝∠CAD＝180°﹣∠1＝180°﹣75°＝105°．故答案为：105．【点评】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，正确转化角的关系是解题关键．16．如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是．【分析】直接利用已知得出涂黑后是轴对称图形的位置，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：空白部分一共有6个位置，白色部分只有在1或2处时，黑色部分的图形是轴对称图形，故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是：＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确得出符合题意的位置是解题关键．17．已知a，b是两个连续整数，且a＜﹣1＜b，则a b＝8．【分析】先估算出的范围，再求出a、b值，最后代入求出即可．【解答】解：∵3＜＜4，∴2＜﹣1＜3，∴a＝2，b＝3，∴a b＝23＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出的范围是解此题的关键．18．把两块同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B、C、D在同一直线上，若AB＝3，则CD ＝3﹣3．【分析】作AF⊥BC于F，根据等腰直角三角形的性质求出AF，BF，CF，根据勾股定理求出BC，得到AD，根据勾股定理求出DF，结合图形计算．【解答】解：过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝6，BF＝AF＝FC＝AB＝3，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝6，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝3，∴CD＝DF﹣FC＝3﹣3，故答案为：3﹣3．【点评】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤-）19．（6分）计算：（1）+（2﹣）0；（2）﹣3﹣【分析】（1）直接利用算术平方根以及零指数幂的性质化简得出答案；（2）直接化简二次根式进而得出答案．【解答】解：（1）+（2﹣）0＝3+1＝4；（2）﹣3﹣＝4﹣3×﹣＝．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．20．（6分）解分式方程：＝2﹣．【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到y的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：y﹣2＝2y﹣6+1，移项合并得：y＝3，经检验y＝3是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21．（6分）分解因式：（a2+1）2﹣4a2．【分析】原式利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．22．（8分）由甲、乙两个工程队承包某校校园的绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比是3：2，两队共同施工6天可以完成．（1）求两队单独完成此项工程各需多少天？（2）此项工程由甲、乙两队共同施工6天完成任务后，学校付给他们4000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各应得到多少元？【分析】（1）设甲队单独完成此项工程需要3x天，则乙队单独完成此项工程需要2x天，根据两队共同施工6天可以完成该工程，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；（2）根据甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比可得出两队每日完成的工作量之比，再结合总报酬为4000元即可求出结论．【解答】解：（1）设甲队单独完成此项工程需要3x天，则乙队单独完成此项工程需要2x天，根据题意得：+＝1，解得：x＝5，经检验，x＝5是所列分式方程的解且符合题意．∴3x＝15，2x＝10．答：甲队单独完成此项工程需要15天，乙队单独完成此项工程需要10天．（2）∵甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比是3：2，∴甲、乙两队每日完成的工作量之比是2：3，∴甲队应得的报酬为4000×＝1600（元），乙队应得的报酬为4000﹣1600＝2400（元）．答：甲队应得的报酬为1600元，乙队应得的报酬为2400元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23．（8分）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．【分析】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．【解答】解：（1）甲图：平行四边形，（2）乙图：等腰梯形，（3）丙图：正方形．【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握几个常见的四边形是哪类图形是关键：①平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；②等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；③矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．24．（10分）某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．校本课程频数频率A360.45B0.25C16bD8合计a1请您根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）统计表中的a＝80，b＝0.20；（2）“D”对应扇形的圆心角为36度；（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．【分析】（1）根据题意列出算式，再求出即可；（2）根据题意列出算式，再求出即可；（3）根据题意列出算式，再求出即可；（4）先列出表格，再根据题意列出算式，再求出即可．【解答】解：（1）a＝36÷0.45＝80，b＝16÷80＝0.20，故答案为：80，0.20；（2）“D”对应扇形的圆心角的度数为：8÷80×360°＝36°，故答案为：36；（3）估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：2000×0.25＝500（人）；（4）列表格如下：A B CA A，A B，A C，AB A，B B，B C，BC A，C B，C C，C共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：＝．【点评】本题考查了列表法或树形图、用样本估计总体、频数分布表、扇形统计图等知识点，能根据题意列出算式是解此题的关键．25．（10分）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．（Ⅰ）求∠ODC的度数；（Ⅱ）若OB＝2，OC＝3，求AO的长．【分析】（Ⅰ）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；（Ⅱ）在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长，再在直角△AOD中利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，∵∠ACB＝60°，∴∠DCO＝60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC＝60°；（Ⅱ）由旋转的性质得，AD＝OB＝2，∵△OCD为等边三角形，∴OD＝OC＝3，∵∠BOC＝150°，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝90°，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及三角函数的定义，正确求得AO的长是解题的关键．26．（12分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】（1）、认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解．（2）、等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用两式各自等于0的时候求出a、b、c的关系即可．【解答】（1）解：9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn＝（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）＝（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2＝（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）（2）解：由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0可分解得2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac＝0利用拆项得（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是a﹣b＝0，a﹣c＝0所以可以得到a＝b＝c即：△ABC的形状是等边三角形．【点评】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．27．（12分）（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝45°．（2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．【分析】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可，只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可；（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB 是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B＝30°，求出BM＝，P′M＝，根据勾股定理即可求出答案；（3）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，求出∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；【解答】解：（1）如图1所示，连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案为：45°；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，如图2，∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠PBC＝∠P′BA，∠AP′B＝∠BPC，∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPP′是等边三角形，∴PP′＝，∠BP′P＝60°，∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2+PP′2＝AP2，∴∠AP′P＝90°，则△PP′A是直角三角形；∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，∴∠MP′B＝30°，BM＝，由勾股定理得：P′M＝，∴AM＝1+＝，由勾股定理得：AB＝＝．（3）如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，由勾股定理得：EP＝2，∵AE＝1，AP＝，EP＝2，∴AE2+PE2＝AP2，∴∠AEP＝90°，∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；【点评】本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．。

第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛八年级试卷（B 卷）姓名填空题（共14题，满分150.第1-4题每题8分，第5-8题每题10分，第9-12题每题12分，第13~14题每题15分） 1. 求9+49+299+8999+99999= .2. 一个百位为1的三位数，等于它的三个数的立方和.这个三位数是 .3. 在某架无刻度的天平上称量重物，有1克，2克，3克，15克，40克的砝码各一个.如果天平两端均可放置砝码，那么，可以称出的重物的克数有 种.4. 金与银做成的王冠重250克，放在水中减轻16克.已知金在水中轻119，银在水中轻110.这块王冠中金 克，银 克.5. x 、y 、z 为实数且x+y+z=，则x+y+z= .6. 301010107⎡⎤⎢⎥+⎣⎦的个位数为 . 其中[ x]表示x 的整数部分. 7. 若a 3ab -+2（-3）=0, 则()()()()()()11111122a 12b 12ab a b a b ++++=++++++ .8. 整数x 、y 满足等式 22744,x y x y x y ++=++的值是 . 9. 一个直角三角形三边的长a 、b 、c 都是整数，且满足()()()()()()1111ab a 1b 1a 22a 12b 12b ++++++++++= .10. 已知1. 2256x 3x x 2x 3--+-= .11.自然数N 被2、3、4、5、6、7、8、9整除，前四位为2007. N 的最小值为 .12. 正整数数列n A 满足：n 3n 2n 1n n 1n n 123A A A A A A ++++=≥=（+），，，，， . 已知6A =8820，7A = .13. 一个长方形和一个等腰直角三角形如图 放置， 图中的5个阴影三角形的面积各不相等，且从小到大构成等差数列.其中S 是等差数列中的第 列.14. 如下表，在77⨯的正方形表格中又9个数和4个字母，其中J 、Q 、K 都表示10，A 既可以表示1也可以表示11.将数或字母在原来的列中移动，设法使数与字母的总数多于1的每行、每列斜线上的数与字母的和等于21.将你的结果填在右图中.第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味解题技能展示八年级参考答案14、。

八年级数学趣味题1、已知：我中有你，你中有我。

求：我与你何关系？答案：我俩互为相反数。

2、脑筋急转弯题目：一个人在太阳下走路却看不见自己的影子正确答案是：夜晚。

3、脑筋急转弯题目：有两个人，一个面朝南一个面朝北的站立着，不准回头，不准走动，不准照镜子，问他们能否看到对方的脸？正确答案是：当然能，因为他们面对面。

4、脑筋急转弯题目：黑夜给我了我黑色的眼睛，我却用它来翻白眼，正确答案是：翻不过去。

5、脑筋急转弯题目：数字1-100中，含有“15”这个数有几个？正确答案是：14个。

6、脑筋急转弯题目：什么球离你最近？正确答案是：光年。

7、脑筋急转弯题目：一个穿着金色衣服的人走了过来猜一动物。

正确答案是：狗（金毛犬）。

8、脑筋急转弯题目：最不听话的是谁？正确答案是：聋子。

八年级数学计算题八年级数学计算题在数学学习中占据着重要的地位，这些题目可以帮助学生掌握各种数学知识，培养数学思维。

以下是一些八年级数学计算题的示例：例1：计算(x-3)/(x+3)的值域。

解：由题意得，x+3≠0，即x≠-3，因此值域为{y|y≠-3}。

例2：求函数y=x^2-4x+3的最小值。

解：由配方得，y=(x-2)^2-1，因此当x=2时，函数取得最小值-1。

例3：解方程5(x+1)-7(x+3)=2x+4。

解：去括号得，5x+5-21x-21=2x+4，移项得，5x-7x-2x=4-5+21，合并同类项得，-4x=18，系数化为1得，x=-9。

例4：解不等式2(x+3)-3(x-1)≥7。

解：去括号得，2x+6-3x+3≥7，移项得，2x-3x≥7-6-3，合并同类项得，-x≥-2，系数化为1得，x≤2。

例5：解方程组{x+y=5① x-y=1②。

解：①+②得，2x=6，即x=3，将x=3代入①得，y=2，因此方程组的解为{\begin{matrix} x=3 \ y=2 \end{matrix}}。

这些题目涵盖了八年级数学中的各种计算题型，从简单的代数式计算到复杂的方程组求解，通过练习这些题目，学生可以更好地掌握数学知识，提高数学思维能力。

浙教版数学八年级下册3.1《平均数》精选练习一、选择题1.某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳.考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263.这五次成绩的平均数和中位数分别是（）A.253，253B.255，253C.253，247D.255，2472.世界因爱而美好，在今年我校的“献爱心”捐款活动中，九年级三班50名学生积极加献爱心捐款活动，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图，根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（）A.20、20B.30、20C.30、30D.20、303.九年级（15）班小姜同学所在小组的7名成员的中招体育成绩（单位：分）依次为70，65，63，68，64，68，69，则这组数据的众数与中位数分别是（）A.68分，68分B.68分，65分C.67分,66.5分D.70分，65分4.数据﹣1，0，1，2，3的平均数是（）A.﹣1B.0C.1D.55.若7名学生的体重(单位：kg)分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是( )A.44B.45C.46D.476.已知一组数据1，7，10，8，a，6，0，3，若a=5，则a应等于( )A.6B.5C.4D.27.已知数据x1，x2，x3，x4的平均数为2，则数据3x1，3x2，3x3，3x4的平均数是（）A.2B.6C.D.1.58.某书店与一山区小学建立帮扶关系，连续6个月向该小学赠送书籍的数量分别如下（单位：本）：300，200，200，300，300，500这组数据的众数、中位数、平均数分别是（）A.300，150，300B.300，200，200C.600，300，200D.300，300，3009.学校组织领导、教师、学生、家长等人对教师的教学质量进行综合评分，满分为100分，王老师的得分情况如下：领导平均给分80分，教师平均给分76分，学生平均给分90分，家长平均给分84分，如果按照1∶2∶4∶1的数量进行计算，王老师的综合评分是( )A.84.5分B.83.5分C.85.5分D.86.5分10.某次数学趣味竞赛共有10道题目，每道题答对得10分，答错或不答得0分.全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）A.75，70B.70，70C.80，80D.75，8011.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：则这些运动员成绩的中位数、众数分别为( )A.1.70，1.75B.1.70，1.70C.1.65，1.75D.1.65，1.7012.某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价，由单价为15元/千克的甲种糖果10千克，单价为12元/千克的乙种糖果20千克，单价为10元/千克的丙种糖果30千克混合成的什锦糖果的单价应定为( )A.11元/千克B.11.5元/千克C.12元/千克D.12.5元/千克二、填空题13.某班学生在希望工程献爱心的捐献活动中，将省下的零用钱为贫困山区失学儿童捐款，有15位同学捐了20元，20位同学捐了10元，3位同学捐了8元，10位同学间了5元捐了，2位同学捐了3元，则该班学生共捐款_____元，平均捐款_____元，其中众数是_____元。

八年级趣味数学100题1.８个数字“８”，如何使它等于1000？答案：8+8+8+88+8882.小强数学只差6分就及格，小明数学也只差6分就及格了，但小明和小强的分数不一样，为什么？答案：一个是54分，一个是0分3.一口井7米深，有只蜗牛从井底往上爬，白天爬3米，晚上往下坠2米。

问蜗牛几天能从井里爬出来？答案：5天4.某人花19快钱买了个玩具，20快钱卖出去。

他觉得不划算，又花21快钱买进，22快钱卖出去。

请问它赚了多少钱？答案：2元5.100个包子，100个人吃，1个大人吃3个，3个小孩吃1个，多少个大人和多少小孩刚好能吃完？答案：25个大人，75个小孩6.小王去网吧开会员卡，开卡要20元，小王没找到零钱，就给了网管一张50的，网管找回30元给小王后，小王找到20元零的，给网管20元后，网管把先前的50元还给了他，请问谁亏了？答案：网管亏了30元7.每隔1分钟放1炮，10分钟共放多少炮？答案：11炮8.一个数去掉首位是13,去掉末位是40.请问这个数是几?答案：439. 1根2米长的绳子将1只小狗拴在树干上，小狗虽贪婪地看着地上离它2.1米远的1根骨头，却够不着，请问，小狗该用什么方法来抓骨头呢？答案：转过身用后腿抓10.烟鬼甲每天抽50支烟，烟鬼乙每天抽10支烟。

5年后，烟鬼乙抽的烟比烟鬼甲抽的还多，为什么？答案：烟鬼甲抽得太多了早死了11.一个数若去掉前面的第一个数字是11，去掉最后一个数字为50，原数是多少？答案：5112.有一种细菌，经过1分钟，分裂成2个，再过1分钟，又发生分裂，变成4个。

这样，把一个细菌放在瓶子里到充满为止，用了1个小时。

如果一开始时，将2个这种细菌放入瓶子里，那么，到充满瓶子需要多长时间?答案：59分钟13.往一个篮子里放鸡蛋，假定篮子里的鸡蛋数目每分钟增加1倍，这样，12分钟后，篮子满了。

那么，请问在什么时候是半篮子鸡蛋?答案：11分钟14.有１００个捧球队比赛，选冠军，最少要赛多少场？答案：要赛99场15.用三个3组成一个最大的数?答案：3的33次方16.小明带100元去买一件75元的衬衫,但老板却只找了5块钱给他,为什么?答案：小明就只给了老板80元钱17.刚上幼儿园第一天的Rose，从来没学过数学，但老师却称赞她的数学程度是数一数二的，为什么？答案：他只会数一数二的。

一、选择题1．初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据遮盖，如图： 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 得分3834■3740■37那么被遮盖的两个数据依次是（ ） A ．35 2 B ．36 4C ．35 3D ．36 3B解析：B 【分析】根据平均数的计算公式先求出编号3的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案． 【详解】 解：这组数据的平均数是37，∴编号3的得分是：375(38343740)36⨯-+++=；方差是：222221[(3837)(3437)(3637)(3737)(4037)]45-+-+-+-+-=；故选：B ． 【点睛】本题考查平均数和方差的定义，一般地设n 个数据，1x ，2x ，n x ⋯的平均数为x ，则方差2222121[()()()]n S x x x x x x n=-+-+⋯+-，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．2．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（ ）A ．21，21B ．21，21.5C ．21，22D ．22，22C解析：C 【解析】这组数据中，21出现了10次，出现次数最多，所以众数为21， 第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22. 故选C.3．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85.则小桐这学期的体育成绩是（）A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5A解析：A【分析】根据加权平均数的计算公式，用95分，90分，85分别乘以它们的百分比，再求和即可．【详解】根据题意得：95×20%+90×30%+85×50%=88.5（分），即小彤这学期的体育成绩为88.5分．故选A．【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题关键.4．某次数学趣味竞赛共有10道题目，每道题答对得10分，答错或不答得0分．全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）A．75，70 B．70，70 C．80，80 D．75，80A解析：A【分析】根据中位数和众数的定义解答即可.【详解】共40个数据中第20和第21个数分别是70、80，∴这组数据的中位数是75，这组数据中出现次数最多的是70，所以众数是70，故选：A.【点睛】此题考查了中位数和众数的定义，一组数据最中间的一个数或两个数的平均数是这组数据的中位数，出现次数最多的数是这组数据的众数，正确掌握定义是解题的关键.5．一组数据，6、4、a、3、2的平均数是5，这组数据的方差为（）A．8 B．5 C．6 D．3A解析：A【分析】先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可．【详解】∵数据6、4、a 、3、2平均数为5， ∴（6+4+2+3+a ）÷5=5， 解得：a=10， ∴这组数据的方差是15[（6-5）2+（4-5）2+（10-5）2+（2-5）2+（3-5）2]=8． 故选：A ． 【点睛】此题考查平均数，方差，解题关键在于掌握它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则下列说法正确的是（ ）A ．这组数据的众数是14B ．这组数据的中位数是31C ．这组数据的标准差是4D ．这组是数据的极差是9D解析：D 【解析】 【分析】根据中位数，众数、极差、标准差的定义即可判断． 【详解】解：七个整点时数据为：22，22，23，26，28，30，31 所以中位数为26，众数为22，平均数为：22+22+23+26+28+3032167+= ；极差是31-22=9，标准差是：()()()()()()()222222222-26+22-26+23-26+26-26+28-26+30-26+31-2686=77故D 正确， 故选：D 【点睛】此题考查中位数，众数、极差、标准差的定义，解题关键在于看懂图中数据7．某兴趣小组为了解我市气温变化情况，记录了今年1月份连续6天的最低气温（单位：C ︒）：－6，－4，－2，0，－2，2.关于这组数据，下列结论不正确的是（ ）A ．平均数是－2B ．中位数是－2C ．众数是－2D ．方差是5D解析：D 【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的定义以及计算公式，依次计算各选项即可作出判断．【详解】解：A、平均数是-2，结论正确，故A不符合题意；B、中位数是-2，结论正确，故B不符合题意；C、众数是-2，结论正确，故C不符合题意；D、方差是203，结论错误，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查平均数、中位数、众数及方差的知识，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题关键．8．实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，值周班长小兵每周对各小组合作学习的情况进行综合评分，下表是其中一周的评分结果“分值”这组数据的中位数和众数分别是( )A．89,90 B．90,90 C．88,95 D．90,95B解析：B【解析】【分析】根据中位数和众数的定义找出从小到大排列后最中间的数和出现次数最多的数即可．【详解】把这组数据从小到大排列：84，89，90，90，90，91，96，最中间的数是90，则中位数是90；90出现了3次，出现的次数最多，则众数是90；故选B．【点睛】此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．9．为了解某校计算机考试情况，抽取了50名学生的计算机考试成绩进行统计，统计结果如表所示，则50名学生计算机考试成绩的众数、中位数分别为（）考试分数（分）2016128人数241853A．20，16 B．l6，20 C．20，l2 D．16，l2A解析：A【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【详解】解：在这一组数据中20是出现次数最多的，故众数是20；将这组数据从大到小的顺序排列后，处于中间位置的数是16，16，那么这组数据的中位数16．故选：A．【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数．10．甲、乙两位射击运动员参加射击训练，各射击20次，成绩如下表所示：设甲、乙两位运动员射击成绩的方差分别为S 2甲和S2乙，则下列说法正确的是( )A．S2甲＜S2乙B．S 2甲＝S2乙C．S 2甲＞S2乙D．无法比较S 2甲和S2乙的大小C解析：C【解析】【分析】先计算两组数据的平均数，再计算它们的方差，选择正确的答案即可．【详解】甲的平均数为：120×5×（7+8+9+10）=172乙的平均数为：120×（4×7+6×8+6×9+4×10）=172S甲2=120×{5×[（7-172）2+（8-172）2+（9-172）2+（10-172）2]}=14×[94+14+14+94]=54； S 乙2=120×[4×[（7-172）2+6×（8-172）2+6×（9-172）2+4×（10-172）2]=120×[9+64+64+9] =2120； ∵54＞2120∴S 甲2＞S 乙2 故选C ． 【点睛】此题主要考查了平均数及方差的知识．方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差S 2=1n[（x 1-x ）2+（x 2-x ）2+…+（x n -x ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．二、填空题11．将一组数据中的每一数减去40后，所得新的一组数据的平均数是2，则原来那组数据的平均数_______________．42【分析】根据所有数据均减去40后平均数也减去40从而得出答案【详解】解：一组数据中的每一个数减去40后的平均数是2则原数据的平均数是42；故答案为：42【点睛】本题考查了算术平均数解决本题的关键解析：42 【分析】根据所有数据均减去40后平均数也减去40，从而得出答案． 【详解】解：一组数据中的每一个数减去40后的平均数是2，则原数据的平均数是42； 故答案为：42． 【点睛】本题考查了算术平均数，解决本题的关键是牢记“一组数据减去同一个数后，平均数也减去这个数”．12．已知一组样本数据1x ，2x ，3x ，⋅⋅⋅，n x 的平均数为2，方差为3，则数据12+5x ，22+5x ，325x +，⋅⋅⋅，2+5n x 的平均数为__________，方差为__________．912【分析】利用平均数求法和方差的方法分别列式求得平均数和方差得出答案即可【详解】∵x1x2…xn 的平均数为2∴x1+x2+…+xn=2n ∴=2×2+5=9∵原平均数为2新数据的平均数变为9则原来解析：9 12【分析】利用平均数求法和方差的方法分别列式求得平均数和方差得出答案即可． 【详解】∵x 1、x 2、…x n 的平均数为2， ∴x 1+x 2+…+x n =2n ， ∴12252525n x x x n++++⋯++ =2×2+5=9，∵原平均数为2，新数据的平均数变为9， 则原来的方差S 12=1n[（x 1-2）2+（x 2-2）2+…+（x n -2）2]=3， 现在的方差S 22=1n[（2x 1+5-9）2+（2x 2+5-9）2+…+（2x n +5-9）2] =1n[4（x 1-2）2+4（x 2-2）2+…+4（x n -2）2]=4×3=12． 故答案为：9，12． 【点睛】此题考查平均数与方差的意义，掌握平均数与方差的计算方法是解题的关键． 13．已知一组数据a ，b ，c 的方差为2，那么数据3a +，3b +，3+c 的方差是________．2【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量每个数都加3所以波动不会变方差不变【详解】解：设abc 的平均数是d 所以方差不变故答案为：2【点睛】本题主要考查了方差的公式解题的关键是当数据都加上一个解析：2 【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加3，所以波动不会变，方差不变. 【详解】解：设a 、b 、c 的平均数是d,()222211S =()()23a d b d c d ⎡⎤-+-+-=⎢⎥⎣⎦ , ()222221S =33(33)(33)23a d b d c d ⎡⎤+-+++-+++-+=⎢⎥⎣⎦ , ()222221S =()()23a d b d c d ⎡⎤-+-+-=⎢⎥⎣⎦, 所以方差不变. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了方差的公式，解题的关键是当数据都加上一个数时，方差不变.14．据统计，某车间10名员工的日平均生产零件个数为8个，方差为2.5个2，引入新技术后，每名员工每天都比原先多生产1个零件，则现在日平均生产零件个数为______个，方差为______个2．925【分析】根据平均数与方差的定义计算即可得答案【详解】∵每名员工每天都比原先多生产1个零件∴现在日平均生产零件个数为=9设原先每人日生产零件的个数为：x1x2x3……x10∴原先的方差为=25∴解析：9 2.5 【分析】根据平均数与方差的定义计算即可得答案． 【详解】∵每名员工每天都比原先多生产1个零件， ∴现在日平均生产零件个数为8101010⨯+=9， 设原先每人日生产零件的个数为：x 1、x 2、x 3、……x 10， ∴原先的方差为22212101(8)(8)(8)10x x x ⎡⎤-+-+-⎣⎦…+=2.5， ∴现在的方差为22212101(19)(19)(19)10x x x ⎡⎤+-++-++-⎣⎦…+=22212101(8)(8)(8)10x x x ⎡⎤-+-+-⎣⎦…+=2.5， 故答案为：9，2.5 【点睛】本题考查平均数与方差，熟练掌握定义与计算公式是解题关键．15．一组数据4、5、a 、6、8的平均数5x =，则方差2s =________.4【分析】首先根据其平均数为5求得a 的值然后再根据方差的计算方法计算即可【详解】解：根据题意得（4+5+a+6+8）=5×5解得a=2则这组数据为45268的平均数为5所以这组数据的方差为s2=（4解析：4 【分析】首先根据其平均数为5求得a 的值，然后再根据方差的计算方法计算即可． 【详解】解：根据题意得（4+5+a+6+8）=5×5， 解得a=2，则这组数据为4，5，2，6，8的平均数为5， 所以这组数据的方差为s 2= 15[（4-5）2+（5-5）2+（2-5）2+（6-5）2+（8-5）2]=4． 故答案为：4 【点睛】本题考查方差的定义、意义、计算公式，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．16．若一组数据4,,5,,7,9x y 的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为__________．【分析】根据平均数的计算公式可得再根据众数是5所以可得xy中必须有一个5则另一个就是6通过方差的计算公式计算即可【详解】解：∵一组数据的平均数为6众数为5∴中至少有一个是5∵一组数据的平均数为6∴∴解析：83【分析】根据平均数的计算公式，可得11x y +=，再根据众数是5，所以可得x,y 中必须有一个5，则另一个就是6，通过方差的计算公式计算即可. 【详解】解：∵一组数据4,,5,,7,9x y 的平均数为6，众数为5， ∴,x y 中至少有一个是5，∵一组数据4,,5,,7,9x y 的平均数为6，∴()4579166x y +++++=， ∴11x y +=，∴,x y 中一个是5，另一个是6，∴这组数据的方差为()()()()()22222846256661[]676963-+-+-+-+-=； 故答案为83． 【点睛】本题是一道数据统计中的综合性题目，涉及知识点较多，应当熟练掌握，特别是记忆方差的计算公式.17．一组数据：1，2，x ，y ，4，6，其中x ＜y ，中位数是2.5，众数是2．则这组数据的平均数是______；方差是______．3【解析】【分析】由中位数及众数的定义和给定的条件求出xy 的值然后根据平均数的定义求出平均数即可；利用方差公式计算即可求出方差【详解】由一组数据12xy46的中位数是25众数是2则有x=2y=3∴这解析：3 83【解析】 【分析】由中位数及众数的定义和给定的条件求出x ，y 的值，然后根据平均数的定义求出平均数即可；利用方差公式计算即可求出方差. 【详解】由一组数据1，2，x ，y ，4，6的中位数是2.5，众数是2，则有x=2，y=3，,∴这组数据的平均数为：12234636+++++=.∴这组数据的平均数为3；这组数据的方差为：22222218(13)(23)(23)(33)(43)(63)63⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦. ∴这组数据的方差为83. 故答案为3；83. 【点睛】本题考查数据的平均数、中数、方差，掌握平均数、中数、方差的的定义是解题的关键. 18．某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，两班平均分和方差分别为⎺x 甲=82分，⎺x 乙=82分，S 2甲=245，S 2乙=190．那么成绩较为整齐的是__________班乙【解析】【分析】根据方差的意义方差反映了一组数据的波动大小根据方差越小波动越小故可由两班的方差得到结论【详解】∵S2甲＞S2乙∴成绩较为稳定的是乙故答案为乙【点睛】本题考查了方差的意义：反映了一组解析：乙 【解析】 【分析】根据方差的意义，方差反映了一组数据的波动大小，根据方差越小，波动越小，故可由两班的方差得到结论． 【详解】∵S 2甲＞S 2乙∴成绩较为稳定的是乙． 故答案为乙． 【点睛】本题考查了方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．19．已知数据x 1，x 2，…，x n 的方差是2，则3x 1﹣2，3x 2﹣2，…，3x n ﹣2的方差为_____．18【解析】分析：根据数据都加上一个数（或减去一个数）时方差不变；数据都乘以同一个数时方差乘以这个数的平方即可得出答案详解：∵数据x1x2…xn 的方差是2∴3x13x2…3xn 的方差是32×2=18解析：18【解析】分析：根据数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变；数据都乘以同一个数时，方差乘以这个数的平方即可得出答案． 详解：∵数据x 1，x 2，…，x n 的方差是2， ∴3x 1，3x 2，…，3x n 的方差是32×2=18， ∴3x 1-2，3x 2-2，…，3x n -2的方差为18；故答案为：18．点睛：此题考查了方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以同一个数，方差乘以这个数的平方．20．已知5个数据的平均数是7，另外还有3个数据的平均数是k，则这 8个数据的平均数是_______（用关于 k 的代数式表示）．参考答案【解析】【详解】根据平均数的概念和公式可知5个数据的和为5×7=353个数据的和为3k因此这8个数的和为35+3k因此其平均数为（35+3k）÷8即故答案为：解析：35+3 8k【解析】【详解】根据平均数的概念和公式，可知5个数据的和为5×7=35，3个数据的和为3k，因此这8个数的和为35+3k，因此其平均数为（35+3k）÷8，即35+3 8k.故答案为：35+3 8k.三、解答题21．为了了解七年级学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校七年级部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图甲、乙所示的两个统计图（部分未完成），请根据图中信息，回答下列问题：（1）校团委随机调查了多少学生？请你补全条形统计图；（2）表示“50元”的扇形的圆心角是多少度？（3）某地发生自燃灾害后，七年级800名学生每人自发地捐出一周零花钱的一半，以支援灾区恢复生产，请估算七年级学生捐款多少元？解析：（1）40；补图见详解；（2）36°；（3）13200元．【分析】（1）用捐款40元的人数除以所占百分比即可求出调查的学生数，用调查的学生数乘以15%求出捐款20元的学生数，不去统计图即可；（2）用捐款50元的学生人数除以调查总人次再乘以360°即可求解；（3）计算出本次调查的平均数，再根据题意列式计算即可求解．【详解】解：（1）10÷25%=40（人），40×15%=6（人），∴校团委随机调查了40名学生，补全条形统计图如图：（2）表示“50元”的扇形的圆心角为4360=36 40⨯︒︒；（3）206302040105041800=13200402⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯（元），答：七年级学生捐款约为13200元．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，加权平均数等知识，根据条形统计图和扇形统计图的关联量求出各组数据是解题关键．22．本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）补全上面两幅统计图；（2）本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为本；（3）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；（4）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．解析：（1）见解析；（2）3；（3）3本；（4）120人【分析】（1）先用读2本的人数除以其所占百分比求出抽取的总人数，进而可求出读4本书的人数与读3本的人数所占百分比，进而可补全统计图；（2）根据中位数的定义解答即可；（3）根据加权平均数的定义求解即可；（4）用扇形统计图中读5本书的人数所占百分比×1200即得结果．【详解】解：（1）所抽取学生总数=18÷30%=60人，60×20%=12人，21÷60=35%；补全两幅统计图如图所示：（2）本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为3本；故答案为：3；（3）3118221312465360⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（本）；答：本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数为3本；（4）10%×1200=120（人）；答：估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数为120人．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、加权平均数以及利用样本估计总体等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．23．某学校抽查了某班级某月5天的用电量，数据如下表（单位：度）：度数91011天数311（1）求这5天的用电量的平均数；（2）求这5天用电量的众数、中位数；（3）学校共有36个班级，若该月按22天计，试估计该校该月的总用电量．解析：（1）9．6度；（2）9度；9度；（3）7603．2度．【分析】（1）用加权平均数的计算方法计算平均用电量即可；（2）分别利用众数、中位数及极差的定义求解即可；（3）用班级数乘以日平均用电量乘以天数即可求得总用电量．【详解】（1）平均用电量为：（9×3+10×1+11×1）÷5=9．6度；（2）9度出现了3次，最多，故众数为9度；第3天的用电量是9度，故中位数为9度；（3）总用电量为22×9．6×36=7603．2度．24．为了倡导“节约用水，从我做起”的活动，某市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查，调查小组随机抽查了其中100户家庭一年的月平均用水量（单位：吨）．并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．（1）这100个样本数据的平均数是、众数是和中位数是；（2）根据样本数据，估计该市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？解析：（1）11.6吨，11吨，11吨；（2）约有350户．【分析】（1）根据平均数的计算公式、众数与中位数的定义即可得；（2）先求出月平均用水量不超过12吨的户数占比，再乘以500即可得．【详解】（1）这100个样本数据的平均数是1020114012101320141011.6100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（吨），因为11吨出现的次数最多，所以众数是11吨，由中位数的定义得：将这100个样本数据按从小到大进行排序后，第50个和第51个数据的平均数即为中位数，则中位数是1111112+=（吨），故答案为：11.6吨，11吨，11吨；（2）月平均用水量不超过12吨的户数占比为204010100%70% 100++⨯=，则70%500350⨯=（户），答：500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有350户．【点睛】本题考查了平均数的计算公式、众数与中位数的定义、用样本估计总体，熟练掌握数据分析的相关知识是解题关键．25．为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育刘老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：初二1班体育模拟测试成绩分析表平均分方差中位数众数男生287女生7.92 1.998（1）这个班共有男生人，共有女生人；（2）补全初二1班体育模拟测试成绩分析表；（3）你认为在这次体育测试中，1班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）解析：（1）20，25；（2）7.9，8；（3）女生队表现更突出，理由见解析【分析】（1）由条形图可得男生总人数，总人数减去男生人数可得女生人数；（2）根据平均数和众数定义可得．（3）可从平均数、方差、众数和中位数的意义求解可得．【详解】解：（1）这个班共有男生1+2+6+3+5+3＝20（人），共有女生45﹣20＝25（人），故答案为：20、25；（2）男生的平均分为120×（5+6×2+7×6+8×3+9×5+10×3）＝7.9（分），女生的众数为8分，补全表格如下：理由为：女生队的平均数较高，表示女生队测试成绩较好；女生队的方差小，表示女生队测试成绩比较集中，整体水平较好；女生队的众数较高，女生队的众数为8，中位数也为8，而男生队众数为7低于中位数8，表示女生队的测试成绩高分较多．【点睛】本题主要考查加权平均数、利用众数、方差、平均数、众数作出决策．注意方差越小，说明数据越稳定．26．受疫情影响，某地无法按原计划正常开学．在延迟开学期间该地区组织了在线教学活动．开学后，某校针对各班在线教学的个性化落实情况，通过初评决定从甲、乙、丙三个班中推荐一个作为在线教学先进班级，下表是这三个班的五项指标的考评得分表（单位：分）：根据统计表中的信息解答下列问题：（1）请确定如下的“五项指标的考评得分分析表”中的a、b、c的值：（2）如果学校把“课程设置”、“课程质量”、“在线答疑”、“作业情况”、“学生满意度”这五项指标得分按照2∶2∶3∶1∶2的比例确定最终成绩，请你通过计算判断应推荐哪个班为在线教学先进班级？解析：（1）a =10，b =8，c =8.6；（2）推荐丙班级为网上教学先进班级． 【分析】（1）直接根据中位数、众数、平均分的概念即可求解；（2）先根据各项得分的权重求得各班的最终成绩，然后比较即可判断． 【详解】解：（1）∵甲班的五项指标得分由小到大重新排列为：6、7、10、10、10 ∴甲班的中位数为：10分；∵乙班的五项指标得分为：10、8、8、9、8 8分出现次数最多， ∴乙班的众数是：8分； ∵（9+10+8+7+9）÷5=8.6（分）， ∴丙班的平均分是：8.6分； ∴a =10，b =8，c =8.6．（2） 甲：10×20%＋10×20%＋6×30%＋10×10%＋7×20%=8.2（分） 乙：10×20%＋8×20%＋8×30%＋9×10%＋8×20%=8.5（分） 丙：9×20%＋10×20%＋8×30%＋7×10%＋9×20%=8.7（分）， ∴推荐丙班级为网上教学先进班级． 【点睛】此题主要考查数据的统计和分析，正确理解每个概念是解题关键．27．为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．表1知识竞赛成绩分组统计表 组别分数/分 频数A6070x ≤< aB7080x ≤< 10 C8090x ≤< 14 D90100x ≤<18请根据图表信息解答以下问题：（1）本次调查一共随机抽取了________个参赛学生的成绩，表1中a =________； （2）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是________；（3）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约多少人？ 解析：（1）50； 8；（2）C 组；（3）320人 【分析】（1）利用统计表和扇形统计图中D 组的信息可得样本容量，从而得出表1中A 对应的人数；（2）成绩已经按照从小到大的顺序排列，找出最中间的2人，即第25和第26位，取二者的平均值即可；（3）先求出80分以上的比例，然后乘总人数可得． 【详解】解：（1）本次调查一共随机抽取学生：1836%50÷=（人），8a = （2）∵抽样了50人，则最中间的为第25和第26位的平均值 第25位落在C 组，第26位落在C 组 ∴中位数落在C 组（3）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有141850032050+⨯=（人） 【点睛】本题考查调查与统计，解题关键是结合残缺不全的统计表和扇形统计图，得出样本容量． 28．为响应我市创建“全国文明城市”的号召，我区某校举办了一次“秀美巴中，绿色家园”主题演讲比赛，满分10分，得分均为整数，成绩大于等于6分为合格，大于等于9分为优秀，这次演讲比赛中甲、乙两组学生（各10名学生）成绩分布的条形统计图如下图：（1）补充完成下列的成绩统计分析表： 组别平均分中位数众数方差合格率优秀率可知，小王是________组的学生；（填“甲”或“乙”）（3）结合两个小组的成绩分析，你觉得哪个组的成绩更好一些？说说你的理由.解析：（1）6；8；（2）甲；（3）乙组的成绩更好一些．【分析】（1）先根据条形统计图得出甲、乙两组各学生的成绩，再根据中位数、众数的定义即可求得；（2）根据中位数即可判断，小明的成绩大于中位数；（3）可以从平均分、中位数、众数、方差四个方面综合分析．【详解】解：（1）∵甲组的成绩为：3，6，6，6，6，6，7，8，9，10．∴甲组中位数为6，∵乙组的成绩为：5，5，6，7，7，8，8，8，8，9．∴乙组众数为8，故答案为：6；8．（2）∵小明的成绩为7分属中游略偏上，甲组的中位数是6，乙组的中位数为7.5，∴小明在甲组．故答案为：甲．（3）因为乙组成绩的平均分、中位数、众数均比甲高，而乙组成绩的方差又比甲组小，所以乙组的成绩比甲组更稳定，因此综合分析乙组的成绩更好一些．【点睛】本题考查平均分、中位数、众数、方差等概念，正确掌握这些概念是解题的关键．。

八年级趣味数学竞赛试题班级姓名得分1、一个人花8块钱买了一只鸡，9块钱卖掉了，然后他觉得不划算，花10块钱又买回来了，11块卖给另外一个人。

问他赚了多少？答案：2元2、小华的爸爸1分钟可以剪好5只自己的指甲。

他在5分钟内可以剪好几只自己的指甲？答案：20只，包括手指甲和脚趾甲3、哪一年正着念和倒着念一样？答案：1961年4、一根绳子两个头，一根半绳子有几个头？答案：4个5、桌子上原有12支点燃的蜡烛，先被风吹灭了3支，不久又被风吹灭了2支，桌子上还剩几支蜡烛呢？答案：12支6、一张照片上有3个人，但是却有2个爸爸和2个儿子，为什么？答案：照片上的人分别为爷爷、爸爸、儿子7、用放大镜不能放大的是什么？猜一几何名词。

答案：角8、5只鸡，5天生了5个蛋。

100天内要100个蛋，需要多少只鸡？答案：5只9、12356789，猜一含数字成语。

答案：丢三落四10、阿拉伯数字是哪个国家或地区的人发明创造的？（）答案：AA、古印度人B、阿拉伯人C、欧洲人D、中国人11、7/8，猜一含数字成语。

答案：七上八下12、一个农夫带着三只兔到集市上去卖，每只兔大概三四千克，但农夫的秤只能称五千克以上，问他该如何称量。

答案：先称3只，再拿下一只，称量后算差。

13、一天有个年轻人来到王老板的店里买一件礼物,这件礼物成本是18元，售价是21元。

结果是这个年轻人掏出100元要买这件礼物。

王老板当时没有零钱，用那100元向街坊换了100元的零钱，找给年轻人79元。

但是街坊后来发现那100元是假钞，王老板无奈还了街坊100元。

现在问题是：王老板在这次交易中到底损失了多少钱?答案：97元14、把绳子三折来量，井外余4米;把绳子四折来量，井外余1米。

求井深和绳子各是多少?15、王师傅爱喝酒，家中有24只空啤酒瓶。

某商店推出一项活动：三个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒。

请问：王师傅家的空啤酒瓶可以换多少瓶啤酒喝？答案：12瓶。

因为三个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，相当于两个空瓶换一瓶酒喝。

奥赛经典——初中数学竞赛中的数论问题第一章 整数的封闭性运算【典型例题与基本方法】例1 (1995年全国联赛题)方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）.例2 (2007年天津市竞赛题)八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（ ）人.例3 (2002年“我爱数学”初中生夏令营竞赛题)如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数.所有四合数的总和等于 .【解题思维策略分析】1.注意整数乘积或幂中的特殊因数例5 (2008年青少年数学国际城市邀请赛题)已知n 为正整数，使得()()()k n n n n n n 2621211=--+-++(k 是正整数).求所有可能的n 值的总和. 2.注意整数运算的封闭性例6 (2007年“新知杯”上海市竞赛题)求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数()b ax x n x f ++=21对任意整数x ，()x f 都是整数. 3.注意在分数不等式中取整数的条件例7 已知n ，k 均为正整数，且满足不等式4396371<+-<k n k n .若对于某一给定的正整数n ，只有唯一的一个正整数k 使不等式成立.求所有符合要求的正整数n 中的最大值和最小值.【模拟实战】A 组1.若满足不等式137158<+<k n n 的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）.2.若12032+m 是整数，则所有满足条件的正整数m 的和为（ ）.3.若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均整数，则符合这样条件的直角三角形共有（ ）个.D.无数多是一个具有如下性质的年号：它的各位数码之和为11.那么，自古至今，这种四位数的年号共出现过______次.5.(2005年全国联赛题)不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为_____.B 组1.(2008年四川省竞赛题)已知正整数a 、b 、c 满足c b a <<，且abc ca bc ab =++.求所有符合条件的a 、b 、c .2.(2009年南昌市竞赛题)已知n 是大于1的整数.求证：3n 可以写成两个正整数的平方差.3.(第4届中国趣味数学决赛题)有20堆石子，每堆都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作.经过不足20次操作后，某一堆中有1990粒石子，另一堆石子数在2080到2100之间，这一堆石子有______粒.4.(1995年全国联赛(民族卷)题)已知正整数a 、b 、c 满足下列条件：c b a >>，()()()72=---c a c b b a ，且100<abc ，求a ，b ，c .5.(2006年全国联赛题)2006个都不等于119的正整数200621,,a a a 排成一行，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++ 的最小值.6.(第13届日本奥数决赛题)平太给大介出了一道计算题（A ，B 各代表两位数中各位上的数字,相同的字母代表相同的数字）：=⨯BA AB .大介：“得数是2872.”平太：“不对”.大介：“个位的数字对吗”平太：“对”.大介：“其它位的数字有对的吗”平在：“这是保密的.但你调换一下四位数2872中4个数字的位置,就能得出正确答案.” 请求出正确答案.第二章 正整数的多项式表示及应用【典型例题与基本方法】例1 将()102010化为下列进位制的数：⑴二进位制的数；⑵八进位制的数.例2 试证：形如abcabc 的六位数总含有7，11，13的因数.例3 一个三位数xyz （其中x ，y ，z 互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数.例4 设两个三位数xyz ，zyx 的乘积为一个五位数xzyyx （其中x ，y ，z 互不相等），求x ，y ，z.【解题思维策略分析】1.善于运用正整数的十进位制的多项式表示解题例5 若一个首位数字是1的六位数abcde 1乘以3所得的积是一个末位数字为1的六位数1abcde ，求原来的六位数.例6 有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数（011a a a a n n -与n n a a a a 110- 互为反序数，其中00≠a ，0≠n a ）之和为10879，求原数.2.会利用非十进位制多项式表示解题例7 设在三进位置中，数N 的表示是20位数：1112222.求N 在九进位制中表示最左边的一位数字.例8 设1987可以在b 进位制中写成三位数xyz ，且7891+++=++z y x ，试确定出所有可能的x ，y ，z 和b .【模拟实战】A组1.M表示一个两位数，N表示一个三位数，如果把M放在N的左边，组成一个五位数，那么这个五位数是（）.A. M+NB. MNC. 10000M+ND. 1000M+N2.一个两位数，它是本身数字和的k倍，将个位数字与十位数字交换位置后，组成一个新数，则新数为其数字和的（）.A.()1-k倍B.()k-10倍 D.()k-9倍11倍 C.()k-3.在大于10、小于100的正整数中，数字变换位置后所得的数比原数增加9的数的个数为_____.4.一个两位数，它的各位数字和的3倍与这个数加起来所得的和恰好是原数的两个数字交换了位置所得的两位数，这样的两位数有____个.5.已知ab为两位数，且满足bbba=⋅，求这个两位数.⋅bab6.求一个最小的正整数n，它的个位数字为6，将6移到首位，所得的新数是原数的4倍.B组1.已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于2010，试求这个四位数.2.有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数acb、bac、bca、cab、cba，并把这五个数加起来求出和N，只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么.如果3194N，请你确定abc.=3.两位数ab（个位数字与十位数字不同）的平方等于三位数xyz；而这两位数ba的平方恰好等于三位数zyx，求上述两位属于三位数.4.(2008年全国联赛(江西卷)题)一本书共有61页，顺次编号1，2，...，61.某人在将这个数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（形如ab的两位数被当成了两位数ba），结果得到的总和是2008.那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是多少5.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)把()2.0化为十进制小数.11010016.(1998年长春市竞赛题)证明：1218-能被7整除.7.(江西省第4届“八一杯”竞赛题)求证：12222222101112131415-++-+-+- 能被5整除.8.(第5届沈阳市竞赛题)若m ，n 是两个自然数，且2>n ，那么12+m 不能被12-n 整除，试说明理由.9.(江西省第2届探索与应用能力竞赛题)将十进制数2002化成二进制数.10.(1997年广州市竞赛题)化()1084375.53为二进制小数.11.有一个写成7进制的三位数，如果把各位数码按相反顺序写出，并把它看成是九进制的三位数，且这两数相等，求这个数.12.在哪种进位制中，16324是125的平方13.N 是整数，它的b 进制表示是777.求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的4次方.14.在哪种进制中，100134=⋅15.(2007年“卡西欧杯”武汉市竞赛题)军训基地购买苹果慰问学员.已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba .那么，苹果的总数用十进位制表示为_____.16.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)化()81325为二进制数.17.(1995年“祖冲之”邀请赛决赛题)求证：对于任意进位制的数，10201都是合数.18.(第2届华杯赛决赛题)下面是两个1989位整数相乘：119891198911111111个个⨯. 问：乘积的数字和是多少19.(第10届《中小学生数学报》邀请赛题)计算：⑴()()22101101111011010+；⑵()()2210101101101101-；⑶()()()222101101100111000000--.。

一、选择题1．某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表：则这些队员年龄的众数和中位数分别是（）A．15，15 B．15，15.5 C．15，16 D．16，15B解析：B【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．【详解】解：这组数据按从小到大顺序排列为：14，14，14，15，15，15，15，15，15，16，16，16，16，17，17，17，17，18，则众数为：15，中位数为：（15+16）÷2=15.5．故答案为B．【点睛】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握众数和中位数的定义．2．八年级某班五个合作学习小组人数如下：5，7，6，x，7．已知这组数据的平均数是6，则x的值为（）A．7 B．6 C．5 D．4C解析：C【分析】根据平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出x的值．【详解】解：∵5，7，6，x，7的平均数是6，∴15（5+7+6+x+7）＝6，解得：x＝5；故选：C．【点睛】本题考查了算术平均数的知识，解题的关键是根据算术平均数求出数据总和．3．若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（）.A．1 B．6C．1或6 D．5或6C解析：C【解析】根据数据x1，x2，…x n与数据x1+a，x2+a，…x n+a的方差相同这个结论即可解决问题.解：∵一组数据2，2，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，∴这组数据可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5，∴x=1或6，故选C.“点睛”本题考查方差、平均数等知识，解题的关键领域结论：数据x1，x2，…x n与数据x1+a，x2+a，…x n+a的方差相同解决问题，属于中考常考题型.4．一组数据：1、2、3、4、1，这组数据的众数与中位数分别为（）A．1、3 B．2、2.5 C．1、2 D．2、2C解析：C【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【详解】数据1出现了2次，次数最多，所以众数是1；数据按从小到大排列：1，1，2，3，4，所以中位数是2．故选C．【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．5．某次数学趣味竞赛共有10道题目，每道题答对得10分，答错或不答得0分．全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）A．75，70 B．70，70 C．80，80 D．75，80A解析：A【分析】根据中位数和众数的定义解答即可.【详解】共40个数据中第20和第21个数分别是70、80，∴这组数据的中位数是75，这组数据中出现次数最多的是70，所以众数是70，故选：A.【点睛】此题考查了中位数和众数的定义，一组数据最中间的一个数或两个数的平均数是这组数据的中位数，出现次数最多的数是这组数据的众数，正确掌握定义是解题的关键.6．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m B解析：B【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用算术平均数的计算公式进行计算即可．【详解】把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，++++++÷=m，平均数为：(9.59.69.79.79.810.110.2)79.8故选B．【点睛】考查中位数、算术平均数的计算方法，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数，平均数则是反映一组数据的集中水平．7．某校八年级(1)班全体学生进行了第一次体育中考模拟测试，成绩统计如下表：成绩(分) 24 25 26 27 28 29 30人数(人) 65 5 8 7 7 4根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是( )A．该班一共有42名同学B．该班学生这次考试成绩的众数是8C．该班学生这次考试成绩的平均数是27D．该班学生这次考试成绩的中位数是27分B解析：B【解析】【分析】根据众数，中位数，平均数的定义解答.【详解】解：该班共有6+5+5+8+7+7+4＝42(人)，成绩27分的有8人，人数最多，众数为27；该班学生这次考试成绩的平均数是＝142(24×6+25×5+26×5+27×8+28×7+29×7+30×4)＝27，该班学生这次考试成绩的中位数是第21名和第22名成绩的平均数为27分，错误的为B，故选：B．【点睛】本题考查的是众数，中位数，平均数，熟练掌握众数，中位数，平均数的定义是解题的关键.8．一组数据3，4，4，5，若添加一个数4，则发生变化的统计量是( )A．平均数B．众数C．中位数D．方差D解析：D【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．【详解】原数据的3，4，4，5的平均数为3+4+4+5=44，原数据的3，4，4，5的中位数为4+4=24，原数据的3，4，4，5的众数为4，原数据的3，4，4，5的方差为14×[（3-4）2+（4-4）2×2+（5-4）2]=0.5；新数据3，4，4，4，5的平均数为3+4+4+4+5=45，新数据3，4，4，4，5的中位数为4，新数据3，4，4，4，5的众数为4，新数据3，4，4，4，5的方差为15×[（3-4）2+（4-4）2×3+（5-4）2]=0.4；∴添加一个数据4，方差发生变化，故选D．【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．9．实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，值周班长小兵每周对各小组合作学习的情况进行综合评分，下表是其中一周的评分结果“分值”这组数据的中位数和众数分别是( )A．89,90 B．90,90 C．88,95 D．90,95B解析：B【解析】【分析】根据中位数和众数的定义找出从小到大排列后最中间的数和出现次数最多的数即可．【详解】把这组数据从小到大排列：84，89，90，90，90，91，96，最中间的数是90，则中位数是90；90出现了3次，出现的次数最多，则众数是90；故选B．【点睛】此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．10．为了解某校计算机考试情况，抽取了50名学生的计算机考试成绩进行统计，统计结果如表所示，则50名学生计算机考试成绩的众数、中位数分别为（）考试分数（分）2016128人数241853A．20，16 B．l6，20 C．20，l2 D．16，l2A解析：A【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【详解】解：在这一组数据中20是出现次数最多的，故众数是20；将这组数据从大到小的顺序排列后，处于中间位置的数是16，16，那么这组数据的中位数16．故选：A．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数．二、填空题11．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：则这个队队员年龄的众数和中位数分别是_____岁、_____岁．1615【分析】根据中位数和众数的定义求解【详解】解：从小到大排列此数据数据15出现了四次最多为众数16和16处在第5位和第六位它两个数的平均数为16为中位数故答案为：1615【点睛】本题属于基础题解析：16 15【分析】根据中位数和众数的定义求解．【详解】解：从小到大排列此数据，数据15出现了四次最多为众数，16和16处在第5位和第六位，它两个数的平均数为16为中位数．故答案为：16，15．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．12．今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数x （单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：__．甲【分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高然后比较方差得到甲比较稳定【详解】解：因为甲乙的平均数比丙大所以甲乙的产量较高又甲的方差比乙小所以甲的产量比较稳定即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷【分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定． 【详解】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高， 又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲； 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．13．若一组数据4，a ，7，8，3的平均是5，则这组数据的方差是_______．【分析】根据平均数求出a 再根据方差的公式计算得到答案【详解】∵数据4783的平均是5∴∴这组数据的方差是=故答案为：【点睛】此题考查根据平均数求某一数据方差的计算公式熟记方差的计算公式是解题的关键 解析：225【分析】根据平均数求出a ，再根据方差的公式计算得到答案. 【详解】∵数据4，a ，7，8，3的平均是5， ∴5547833a =⨯----=， ∴这组数据的方差是22221(45)2(35)(75)(85)5⎡⎤-+⨯-+-+-⎣⎦=225， 故答案为：225. 【点睛】此题考查根据平均数求某一数据，方差的计算公式，熟记方差的计算公式是解题的关键. 14．一组数据4、5、a 、6、8的平均数5x =，则方差2s =________.4【分析】首先根据其平均数为5求得a 的值然后再根据方差的计算方法计算即可【详解】解：根据题意得（4+5+a+6+8）=5×5解得a=2则这组数据为45268的平均数为5所以这组数据的方差为s2=（4解析：4 【分析】首先根据其平均数为5求得a 的值，然后再根据方差的计算方法计算即可． 【详解】解：根据题意得（4+5+a+6+8）=5×5，解得a=2，则这组数据为4，5，2，6，8的平均数为5，所以这组数据的方差为s2= 15[（4-5）2+（5-5）2+（2-5）2+（6-5）2+（8-5）2]=4．故答案为：4【点睛】本题考查方差的定义、意义、计算公式，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．15．甲、乙二人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数都是7，方差2S甲=2.8，2S乙=1.5，则射击成绩较稳定的是______．（填“甲”或“乙”）乙【解析】【分析】直接利用方差的意义方差越小越稳定进而分析得出答案【详解】∵方差=1515＜28∴射击成绩较稳定的是：乙故答案为：乙【点睛】此题主要考查了方差正确把握方差的意义是解题关键解析：乙【解析】【分析】直接利用方差的意义，方差越小越稳定，进而分析得出答案．【详解】∵方差222.8,S S甲乙=1.5，1.5＜2.8，∴射击成绩较稳定的是：乙．故答案为：乙．【点睛】此题主要考查了方差，正确把握方差的意义是解题关键．16．一组数据：3、5、8、x、6，若这组数据的极差为6，则x的值为__________.2或9【解析】【分析】根据极差的定义先分两种情况进行讨论当x最大时或最小时分别进行求解即可【详解】∵数据358x6的极差是6∴当x最大时：x﹣3=6解得：x=9；当x最小时8﹣x=6解得：x=2∴x解析：2或 9【解析】【分析】根据极差的定义先分两种情况进行讨论，当x最大时或最小时分别进行求解即可．【详解】∵数据3、5、8、x、6的极差是6，∴当x最大时：x﹣3=6，解得：x=9；当x最小时，8﹣x=6，解得：x=2，∴x的值为2或9．故答案为：2或9．【点睛】本题考查了极差，掌握极差的定义是解题的关键；求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．17．一组数据1，3，2，7，x，2，3的平均数是3，则该组数据的众数为________．3【分析】首先根据这组数据的总和等于各个数据之和或等于这组数据的平均数乘以这组数据的个数列出方程得出x的值再根据众数的概念这组数据中出现次数最多的是3从而得出答案【详解】解:1+3+2+7+x+2+解析：3【分析】首先根据这组数据的总和等于各个数据之和，或等于这组数据的平均数乘以这组数据的个数，列出方程，得出x的值，再根据众数的概念，这组数据中出现次数最多的是3，从而得出答案.【详解】解: 1+3+2+7+x+2+3=3×7解得：x=3,这组数据中出现次数最多的是3，故该组数据的众数为3.故答案为3.点睛: 本题考查的是平均数和众数的概念．注意一组数据的众数可能不只一个.18．春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为__．234【解析】【分析】将折线统计图中的数据按从小到大进行排序然后根据中位数的定义即可确定【详解】从图中看出五天的游客数量从小到大依次为219224234249254则中位数应为234故答案为234【解析：23.4【解析】【分析】将折线统计图中的数据按从小到大进行排序，然后根据中位数的定义即可确定.【详解】从图中看出，五天的游客数量从小到大依次为21.9，22.4，23.4，24.9，25.4，则中位数应为23.4，故答案为23.4.【点睛】本题考查了中位数的定义，熟知“中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）”是解题的关键.19．已知数据x1，x2，…，x n的方差是2，则3x1﹣2，3x2﹣2，…，3x n﹣2的方差为_____．18【解析】分析：根据数据都加上一个数（或减去一个数）时方差不变；数据都乘以同一个数时方差乘以这个数的平方即可得出答案详解：∵数据x1x2…xn的方差是2∴3x13x2…3xn的方差是32×2=18解析：18【解析】分析：根据数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变；数据都乘以同一个数时，方差乘以这个数的平方即可得出答案．详解：∵数据x1，x2，…，x n的方差是2，∴3x1，3x2，…，3x n的方差是32×2=18，∴3x1-2，3x2-2，…，3x n-2的方差为18；故答案为：18．点睛：此题考查了方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以同一个数，方差乘以这个数的平方．20．小明五次数学测验的平均成绩是85，中位数为86，众数是89，则最低两次测验的成绩之和为________．161【解析】分析：知道平均数可以求出5次成绩之和又知道中位数和众数就能求出最低两次成绩详解：由五次数学测验的平均成绩是85分∴5次数学测验的总成绩是425分∵中位数是86分众数是89分∴最低两次测解析：161【解析】分析：知道平均数可以求出5次成绩之和，又知道中位数和众数，就能求出最低两次成绩．详解：由五次数学测验的平均成绩是85分，∴5次数学测验的总成绩是425分，∵中位数是86分，众数是89分，∴最低两次测试成绩为425-86-2×89=161，故答案为：161.点睛：本题主要考查平均数和众数等知识点．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．三、解答题21．英语老师对八年级某班级全班同学进行口语测试，并按10分制评分，将评分结果制成了如图两幅统计图（不完整）．请根据图表信息，解答下列问题：（1）求该班级学生总人数，并将条形统计图补充完整．（2）求该班学生口语测试所得分数的平均数、中位数、众数．（3）若全年级共有260人，请估计得分在9分及以上的同学有多少人？解析：（1）40人，画图见解析；（2）平均数：8.9分，中位数：9分，众数：9分；（3）182人 【分析】（1）用10分的人数÷10分人数所占的百分比，即可得到总人数，根据题意将条形统计图补充完整；（2）根据平均分、中位数、众数的定义即可得到结论； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）该班级学生总人数为：1230%40÷=（人），得分为9分的同学人数为：40481216---=（人），补全条形统计图如下图所示．（2）该班学生口语测试所得分数的平均分()1478816912108.940=⨯+⨯+⨯+⨯=（分），一共有40人，则中位数为9992+=（分）， 9分人数最多，则众数为9（分）；（3）9分以上的占161274010+=，则726018210⨯=（人）， 故9分以上的共有182人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22．某公司共有三个部门，根据每个部门的员工人数和相应每人所创的年利润绘制成如下的统计表和扇形图．各部门人数及每人所创年利润统计表部门员工人数每人所创的年利润/万元A510B8C5（1）①在扇形图中，C部门所对应的圆心角的度数为___________；②在统计表中，___________，___________；（2）求这个公司平均每人所创年利润．解析：（1）①108°；②9，6；（2）7.6万元.【解析】试题分析：（1）①在扇形图中，由C部门所占比例乘以360°即可得出C部门所对应的圆心角的度数.②先计算出A部门所占比例，再计算出总人数，根据B、C部门所占比例即可求出b、c的值.（2）利用加权平均数的计算公式计算即可．试题（1）①360°×30%=108°；②∵a%=1-45%-30%=25%5÷25%=20∴20×45%=9（人）20×30%=6（人）（2）10×25%+8×45%+5×30%=7.6答：这个公司平均每人所创年利润是7.6万元.考点：1.扇形统计图；2.加权平均数.23．8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表(得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀)．平均分方差中位数众数合格率优秀率一班7.2 2.117692.5%20%二班 6.85 4.288885%10%根据图表信息，回答问题：(1)用方差推断，班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断，班的阅读水平更好些；(2)甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？解析：(1)二，一；(2)乙同学的推断比较科学合理，理由见解析.【分析】(1)根据方差的大小即可判断出波动的大小；结合合格率和优秀率则要先数值大的，由此即可得答案；(2)结合条形统计图，根据平均分、中位数、众数的优缺点进行解答即可.【详解】(1)一班的方差为2.11，二班的方差为4.28，用方差推断，二班的成绩波动较大；一班的合格率为92.5% ，优秀率为20%，二班的合格率为85%，优秀率为10%，一班的合格率与优秀率均比二班的大，因此用优秀率和合格率推断，一班的阅读水平更好些，故答案为二；一；(2)乙同学的推断比较科学合理．理由：虽然二班成绩的平均分比一班低，但从条形图中可以看出，二班有3名学生的成绩是1分，它在该组数据中是一个极端值，平均数受极端值影响较大，而中位数或众数不易受极端值的影响，所以，乙同学的推断更客观些．【点睛】本题考查了数据的收集整理与描述，涉及了平均数，方差，众数和中位数等知识，熟练掌握相关知识以及各自的优缺点是解题的关键.24．为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育刘老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：初二1班体育模拟测试成绩分析表平均分方差中位数众数男生287女生7.92 1.998（1）这个班共有男生人，共有女生人；（2）补全初二1班体育模拟测试成绩分析表；（3）你认为在这次体育测试中，1班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）解析：（1）20，25；（2）7.9，8；（3）女生队表现更突出，理由见解析【分析】（1）由条形图可得男生总人数，总人数减去男生人数可得女生人数；（2）根据平均数和众数定义可得．（3）可从平均数、方差、众数和中位数的意义求解可得．【详解】解：（1）这个班共有男生1+2+6+3+5+3＝20（人），共有女生45﹣20＝25（人），故答案为：20、25；（2）男生的平均分为120×（5+6×2+7×6+8×3+9×5+10×3）＝7.9（分），女生的众数为8分，补全表格如下：平均分方差中位数众数男生7.9287女生7.92 1.9988（3）我认为女生队表现更突出．理由为：女生队的平均数较高，表示女生队测试成绩较好；女生队的方差小，表示女生队测试成绩比较集中，整体水平较好；女生队的众数较高，女生队的众数为8，中位数也为8，而男生队众数为7低于中位数8，表示女生队的测试成绩高分较多．【点睛】本题主要考查加权平均数、利用众数、方差、平均数、众数作出决策．注意方差越小，说明数据越稳定．25．某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：（1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；（2）假设销售负责人把每位营销员的月销售额定为310件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由．解析：（1）310， 210， 210；（2）不合理，理由见解析．【分析】（1）找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．（2）根据表中数据和平均数、中位数和众数的意义回答．【详解】解：（1）平均数是：1650510250321051503120231015++⨯+⨯+⨯+⨯=（件)，表中的数据是按从大到小的顺序排列的，处于中间位置的是210，因而中位数是210（件)，210出现了5次最多，所以众数是210；（2）不合理．因为15人中有13人的销售额不到310件，310件虽是所给一组数据的平均数，它却不能很好地反映销售人员的一般水平．销售额定为210件合适些，因为210件既是中位数，又是众数，是大部分人能达到的定额．【点睛】此题考查了中位数，众数，平均数，它们都是反映数据集中趋势的指标，掌握平均数、中位数和众数的意义是解题的关键．26．如图1，A，B，C是郑州市二七区三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，40AC=米．八位环卫工人分别测得的BC长度如下表：甲 丁 丙 丁 戊 戌 申 辰 BC (单位：m )8476788270848680他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列间不完整的统计图2．（1）表中的中位数是 、众数是 ； （2）求表中BC 长度的平均数x ； （3）求A 处的垃圾量，并将图2补充完整；（4）用（2）中的x 作为BC 的长度，要将A 处的垃圾沿道路AB 都运到B 处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．解析：（1）81米，84米；（2）80米；（3）80千克，图详见解析；（4）运垃圾所需的费用为163 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得； （2）根据平均数的计算公式121()n x x x x n=+++即可得；（3）先根据C 处垃圾量的扇形统计图和条形统计图信息求出三处垃圾总量，再减去B 、C 两处的垃圾量可得A 处的垃圾量，然后补全条形统计图即可；（4）先利用勾股定理求出AB 的长，再根据“运送1千克垃圾每米的费用为0.005元”列出式子求解即可得． 【详解】（1）由众数的定义得：众数是84米由中位数的定义，先将表中的数据从小到大进行顺序为70,76,78,80,82,84,84,86，则中位数是8082812+=（米） 故答案为：81米，84米； （2）由平均数的计算公式得：8476788270848680808x +++++++==（米）答：表中BC 长度的平均数x 为80米；（3）A 、B 、C 三处垃圾总量为32050%640÷=（千克） 则A 处的垃圾总量是：64032024080--=（千克） 补全条形统计图如下：（4）在直角ABC 中，22228040403AB BC AC -=-=∵运送1千克垃圾每米的费用为0.005元∴运垃圾所需的费用为403800.005163⨯= 答：运垃圾所需的费用为163 【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数的定义，条形统计图和扇形统计图的信息关联等知识点，掌握并理解统计调查的相关概念是解题关键．27．今年5月12日是我国第11个全国防灾减灾日，重庆某中学为普及推广全民防灾减灾知识和避灾自救技能，开展了“提高灾害防治能力，构筑生命安全防线”知识竞赛活动．初一、初二年级各500人，为了调查竞赛情况，学校进行了抽样调查，过程如下，请根据表格回答问题． 收集数据：从初一、初二年级各抽取20名同学的测试成绩（单位：分），记录如下：初一：68、79、100、98、98、86、88、99、100、93、90、100、80、76、84、98、99、86、98、90初二：92、89、100、99、98、94、100、62、100、86、75、98、89、100、100、68、79、100、92、89 整理数据： 表一 分数段 70x <7080x ≤< 8090x ≤< 90100x ≤≤初一人数 1 mn12 初二人数22412分析数据：。