1.2复数的运算及其几何意义

复数的代数表示法及其几何意义
1．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是 1，
y 轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数 0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，
→
b）→平面向量푂푍．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z 对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z 对应的点与复数z0 对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔푧=z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi 为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0 时，z ―푧= 2bi 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z +푧= 0 且z≠0．
1/ 1。

§1.2 复数的表示法与运算法教学目的：了解复平面概念，熟练掌握复数的各种表示法及其相互转化；能灵活运用复数的各种表示进行相关的计算与证明．计算与证明．重点：灵活运用复数的各种表示法与运算性质熟练解决相灵活运用复数的各种表示法与运算性质熟练解决相 关问题．难点：模不等式证明，复数的三角表示，复数的模不等式证明，复数的三角表示，复数的 开方与复方程求解．开方与复方程求解． 教学过程： §1.2.1 复平面 1．复数与平面上的点 复数z x iy =+与有序实数与有序实数对(,)x y 一一对应，而有序实数对(,)x y 表示平面上的确定点，因此我们用平面上横坐标为x，纵坐标为y 的点来表示复数z x iy =+（如图1.1）.x 轴上的点对应着实数，故称x 轴为实轴；y 轴上的轴上的非原点非原点的点对应着纯虚数，故称y 轴为虚轴轴为虚轴..表示复数z 的平面（整个平面）称为复平面或z 平面.将复数与复平面的点不加区分，使得复数集就是一个平面点集，为图形的研究带来很多方便形的研究带来很多方便. .如：{}|Im 0z z >表示上半平面，左半平面为 Re 0z < 实轴的方程为Im 0z =；z 平面上虚轴的方程为Re 0z =；{}|0Re 1,0Im 1z z z ££££表示以0,1,1,i i +为 顶点的正方形. 2.复数与向量复数iy x z +=与坐标平面上的点一一对应与坐标平面上的点一一对应. . 在复平面上，在复平面上，复数z 与从原点指向与从原点指向 点z x iy =+的向量的向量 也构成一一对应的关系也构成一一对应的关系 （复数0对应着零向量）， 因此我们也能用平面上因此我们也能用平面上 从原点出发的向量从原点出发的向量表示复数表示复数. .例如，设111z x iy =+，222z x iy =+，则由图1.2 可以看出可以看出,,复数121212()()z z x x i y y +=+++表示表示 的向量就是复数1z 与2z 的和向量的和向量. . （如图1.2）又如又如, , 1212()z z z z -=+-表示表示的就是从2z 到1z 的向量的向量((如图1.3)例1 (1)写出圆方程()220++++=a x y bx cy d(,,,,0a b c d R a ι)的复数形式的方程. 解 设z x iy =+,则2211(),(),22=+=-×=+x z z y z z z z x y i代入原方程得2()()20az z b z z ic z z d ×++--+=, 即2()()20×+-+++=az z b ic z b ic z d若令 B b ic =+, 则上述方程可化为220×+++=az z Bz Bz d .(2) 写直线方程0++=ax by c (,,,,a b c R a b Î不同时为零)的复数形式的方程.解 设z x iy =+,则11(),()22x z z y z z i =+=-代入原方程得()()20a z z ib z z c +--+=, 若令A a ib =+,则 上述方程可化为20++=Az Az c . §1.2.2复数的模与辐角 1复数的模在复平面上，复数iy x z +=对应向量oz 的长度称为的长度称为复数z 的模(或绝对值), 其中x ,y 依次表示oz 沿x轴与y 轴的分量轴的分量((如图1.1).).记为记为z 或r ,即220==+³r z x y提问：2z 到1z 的的距离如何表示？22121212()()d z z x x y y =-=-+-例如 z 平面上以原点为心平面上以原点为心,,R 为半径的圆周的方程为=z R ;z 平面上以0z 为心为心,,R 为半径的圆周的方程为 0-=z z R ；思考问题：下列式子表示的意义 （1）34z i +=； （2）25z z i -=+；（3）Im(3)5z i +=.（#）2y =- 2.复数的辐角设iy x z +=（0z ¹）,称 对应向量的方向角（实轴正向到z 所表示的向量oz间的夹角）q 称为复数z 的辐角,记为记为 =Argz q （如图1.1）.由于tan =yx q ,且任一复数z （0z ¹）有无穷多个辐角,规定满足条件p p £<-z arg 的辐角为=Argzq的主值(或复数z 的主辐角),),记为记为记为 arg z .于是于是Argz z 2k 2kππ(arg )k Z =+Î复数z (0¹z )的主辐角z arg 与反正切Arc tan y x的主值arctan yx 有如下关系有如下关系::（如下图1.4，1.5） arcta arctan ,0,,002arg ,0,0arctan ,0,0n ,002ì>Îïï=>ïïï=+<³íïï-<<ïïï-=<ïîy x y R xx y z x y y x y x x y yx p p p p （）（，）（）（）（，）(其中其中0¹z ) 注意：1）当0=z 时， 0=z ；此时辐角没有意义.2）对于共轭复数有 ,arg arg ==-z z z z（0¹z 且不为负实数）；对负实数有arg arg z z p =＝.3）对于0¹z 复数z x iy =+，有cos ,sin x z Argz x z Argz ==.§1.2.3复数的模的三角不等式与恒等式Re =£z x z ,Im =£z y z , Re Im £+=+z x y z z 22×==z z z z 22+＝x y . 21==z z z zz z. 设111222,z x iy z x iy =+=+，则有三角不等式121212-£±£+z z z z z z ,例2（1）1212z z z z ×=×；（2）设12,z z 为任意复数，证明下式并说明它的几何意义.()22221212122z z z z z z ++-=+；（3）1212z z z z -£-.证明 （1）121212()()z z z z z z ×=××1122()()z z z z =×12z z =×.（2）∵）∵ 2121212()()z z z z z z +=++11122122z z z z z z z z =+++22121221z z z z z z =+++2212122Re()z z z z =++， 又∵又∵ 212121211122122()()z z z z z z z z z z z z z z -=--=--+ 22121221z z z z z z =+--2212122Re()z z z z =+-，∴ 两式相加得两式相加得两式相加得22221212122()z z z z z z ++-=+.它的几何意义是: 平行四边形的对角线的平方和等于它的相邻两边的平方和的两倍. （3）2121212()()z z z z z z -=--2212122Re()z z z z =+-，又因为又因为12121212Re()z z z z z z z z £==， 所以所以2222121212122()z z z z z z z z -³+-=-，从而从而 12z z -£12z z -， 同理可证 1212z z z z -£+ 故有故有 121212z z z z z z -£±£+思考:说明上述不等式在什么条件下取等号说明上述不等式在什么条件下取等号? ? §1.2.4.复数的三种表示1. 代数表示：而i z x y =+称为复数z 的代数形式.2. 三角表示：设=+z x iy （0z ¹），由直角坐标与极坐标的关系知由直角坐标与极坐标的关系知 i q q (cos sin )=+z r 称为称为z （0z ¹）的三角形式.其中r 是模，q 是辐角. （如图1.6解释两个量） 注意：1）复数的三角表示不唯一.2）设i 1111(cos sin )z r q q =+，i 2222(cos sin )z r q q =+，则 121212,2z z r r k q q p =Û==+（k 为整数）为整数）特别特别,,当1==r z 时i q q cos sin =+z 称为称为单位复数 3．指数表示式：由欧拉公式（Euler ）:i cos sin ie q q q =+,知复数z （0z ¹）表示成）表示成 =i z re q 称为指数形式. 例3 求下列复数的模、辐角、三角形式与指数形式.（1）22-i解22222(2)22-=+-=i ；2(22)arctan2224--=+=-+Arg i k k pp p ,(Zk Î)；42222[cos()sin()]2244--=-+-=i i i e p p p .（2）122-+i . 解 22122(12)24-+=-+=i ；25(122)(arctan )22612--+=++=+Argi k kp p p p(Îk Z )； 56551224[cossin]466-+=+=ii i ep p p .(3)212--i . 解 22212(2)(12)4--=-+-=i ；12(212)arctan 22Argi kp p ---=-++-223k p p =-+,(Îk Z )；23222124[cos()sin()]433---=-+-=i i i ep p p .（4）sin cos 55+i p p .解 sincos155i pp+=3222510()Argz k k p p p p p =-+=+(Îk Z )，sin cos 55i p p+＝31033cos sin 1010i i ep p p+=.课外练习：1.1.写出下列函数的三角形式写出下列函数的三角形式写出下列函数的三角形式 （1）12(cossin )44i i pp+=+.（2）设(cos isin )z r q q =+，求1z的三角表示的三角表示.. （3）设z =()23i-()2i -+，提示：arg z 为arctan arctan88p - . 2 .将复数将复数j j sin cos 1i +-（p j £<0）化为指数形式）化为指数形式. .提示：原式)22(2sin 2jp j -=i e.§1.2. 5 复数的乘、除法以及乘方、开方运算 重要结论：设111=i z r eq ,222=i z r e q ,则(1)12=z z Û 12=r r ,122=+k q q p ,(k 为任意整数为任意整数) )(2)12()1212+×=i z z r r eq q 复数乘法的几何意义：12z z ×表示将1z 所表示的向量逆时针旋转2Argz 并伸长2z 倍后所获得的向量倍后所获得的向量..（提问：i z ×及i z -×表示的意义是什么？）示的意义是什么？）(3) 除法 ()121122-=i z r e z r q q （同上叙述除法的几何意义）（同上叙述除法的几何意义）从而从而1212=z z z z , 1122=z z z z . 1212()=+Arg z z Argz Argz ；1122()=-zArg Argz Argz z思考题：如何理解：如何理解1212arg()arg arg z z z z ¹+；1122arg()arg arg z z z z ¹-例子：arg(),arg(1)2i pp =-=，3arg[()(1)]arg()arg()arg(1)22i i i pp-=-=-¹=+-(1)argarg()arg(1)arg()2i i ip-===--.33argarg()233i i ip-+=-=-¹--3arg(33)arg(33)2i i p -+---=.例4 用复数的三角形式计算（1）(13)(3)+--i i .解： 因为 132(cos sin )33+=+i i p p ， 5532[cos()sin()]66--=-+-i i p p所以所以所以 (13)(3)+--i i ＝4[cos()sin()]22-+-i p p ＝4-i .（2）212+-ii .解：1125(cosarctansinarctan )22+=+i i ，125[cosarctan(2)sinarctan(2)]-=-+-i iÞ212+-i i＝1cos[arctan arctan(2)]2--1sin[arctan arctan(2)]2+--icos sin 22i i =+=p p . 注意运用反三角恒等式：arcsin arccos ,[1,1]2x x x p +=Î- arctan arccot ,2x x x R p+=Î.当0x >时，1arctan arccot x x= .提问：设(cos sin )z r i q q =+，则1z= . #：111(cos sin )[cos()sin()]i i z r rq q q q =-=-+-. §1.2.5 复数的乘方与开方运算1. 幂：通常把n 个复数z 的乘积nz z z z ×××= 称为z 的n 次幂记为nz .若0¹z , 记iz re q= ，则，则qq q (cos sin )==+n n in n z r e r n i n ,特别特别当1=r 时,有 qq q cos sin =+inen i n -----棣莫弗公式（De Moivre ） 2.方根：设0¹z ，通常把满足方程z w n = (2³n 为整数)的复数w 称为复数z 的n 次方根,记为=nw z .记=i z re q ,e i wjr =将它们代入方程将它们代入方程=nw z 得n in i e re jqr =,从而从而 n r r =,2=+n k j q p ，于是，于是nr r =(算术根算术根),), 2+=k nq pj ,0,1,2,,1k n =- .且复数z 的n 次方根为2()k i n n nk k w z req p+==,0,1,2,,1k n =- .结论：复数(0)z z ¹的n 次方根共有n 个,它们均匀地它们均匀地分布在以原点为心分布在以原点为心, , nr 为半径的圆周上为半径的圆周上..（如图1.7）注意：复数的乘、除运算以及下面的幂(乘方)、开方运算用复数的三角形式或指数形式较简单.例5 求38-的复指数表示式.解 因为因为 88-=ie p ，所以所以 223333882++-==k k iieep p p p (0k =,1,2).例6 用复数三角表示计算3(13)+i . 解 33(13)[2(cos sin )]33+=+i i p p8(cos sin )8=+=-i p p .例7 解方程（1）320z -=；（2）320z += （3）320z i +=.（4）310-+=z i .解 （1）320z -=可化为可化为 32z =，方程的三个根为，方程的三个根为3222((cossin)(0,1,0,1,2)2)33k k z i k p p =+=.（2）320z +=可化为可化为 32z =-， 13[2(cos sin )]p p =+z i 6222(cos sin )33p p p p ++=+k ki(0,1,2)k =为方程的三个根为方程的三个根. .（3）320+=z i 可化为可化为 32=-z i ， 13{2[cos()sin()]}22=-+-z i p p622222(cossin)(0,1,2)33-+-+=+=k k i k pppp为方程的三个根为方程的三个根. . （4）310-+=z i 可化为可化为3312(cos sin )44=-Þ=+z i z i p p6882(cos sin )(0,1,2)1212++Þ=+=k k z i k p p p p .例8 求q 3cos 及q 3sin (用q cos 与q sin 来表示来表示). ). 解： 由棣莫弗公式知由棣莫弗公式知33(cos sin )cos3sin3i i ei qq q q q +==+又 3(cos sin )i q q +3223cos 3cos sin (3cos sin sin )i q q q q q q =-+-比较两式的实部与虚部得比较两式的实部与虚部得323cos3cos 3cos sin 4cos 3cos q q q q q q =-=-, 233sin33cos sin sin 3sin 4sin q q q q q q =-=-.小结：1.在行复数运算时注意公式与法则以及复数三角形式与指数形式的应用，需注意复数的三角形式计算形式必须符合三角形式的要求角形式的要求..同时注意复数开方，开几次方则有几个根；开方时，以指数形式表示简单时，以指数形式表示简单..2.两个三角形式的复数相等时,辐角可以相差2p 的整数倍.3.利用复数的三角形式很容易解释复数乘法、除法、乘方的几何意义的几何意义. .4. 解复方程时先将方程化为最简型，再开方解复方程时先将方程化为最简型，再开方.. 易犯错误：1.且复数开方运算时根表示易出错误且复数开方运算时根表示易出错误..主要是特殊角的三角函数值不熟悉的三角函数值不熟悉. . 2.解复方程错误多解复方程错误多. .作业：.(2),(3)3118.(1),(2),(3),(5)1416.(1).P；；。

复数的加减法及其几何意义一、复数的加减法1. 复数的定义- 设z = a+bi，其中a,b∈ R，a称为复数z的实部，记作Re(z)=a；b称为复数z的虚部，记作Im(z) = b。

- 例如，z = 3 + 2i，实部a = 3，虚部b=2。

2. 复数的加法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}+z_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i。

- 例如，若z_{1}=2 + 3i，z_{2}=1 - 2i，则z_{1}+z_{2}=(2 + 1)+(3-2)i=3 + i。

3. 复数的减法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}-z_{2}=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i。

- 例如，若z_{1}=4+5i，z_{2}=2 + 3i，则z_{1}-z_{2}=(4 - 2)+(5 -3)i=2+2i。

二、复数加减法的几何意义1. 复数的几何表示- 在复平面内，复数z = a+bi可以用点Z(a,b)来表示，也可以用向量→OZ来表示，其中O为坐标原点。

- 例如，复数z = 3+2i对应的点为(3,2)，对应的向量→OZ，起点为O(0,0)，终点为Z(3,2)。

2. 复数加法的几何意义- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，它们对应的向量分别为→OZ_{1}和→OZ_{2}。

- 那么z_{1}+z_{2}对应的向量为→OZ_{1}+→OZ_{2}，即平行四边形法则：以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边作平行四边形，则对角线→OZ对应的复数就是z_{1}+z_{2}。

- 例如，z_{1}=2 + i，z_{2}=1+2i，→OZ_{1}=(2,1)，→OZ_{2}=(1,2)，以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边的平行四边形的对角线向量→OZ=→OZ_{1}+→OZ_{2}=(3,3)，对应的复数z_{1}+z_{2}=3 + 3i。

复数的几何意义与运算规则复数起源于解方程中无实数解的情况，它扩展了实数域，使得原本不可能的运算变得有解。

复数的几何意义和运算规则是理解和应用复数的基础。

本文将从几何角度解释复数，介绍复数的四则运算规则，并提供一些实例来进一步说明。

一、复数的几何意义复数可以表示为一个实数和一个虚数的和，其中实数部分代表复数在实轴上的位置，虚数部分代表复数在虚轴上的位置。

我们可以将复数表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。

从几何意义上看，复数可以在平面上表示为一个有序数对(a, b)，其中a为复数的实部，b为复数的虚部，平面上的每个点都表示一个复数。

实部和虚部决定了复数在平面上的位置。

二、复数的运算规则1. 加法复数的加法满足交换律和结合律。

当两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加，得到新的复数。

2. 减法复数的减法可以通过加法和乘法来计算。

减去一个复数相当于加上这个复数的相反数。

3. 乘法复数的乘法满足交换律和结合律。

两个复数相乘时，实部和虚部分别相乘后相加，得到新的复数。

4. 除法复数的除法可以通过乘法和共轭复数来计算。

除以一个复数相当于乘以这个复数的倒数。

三、实例说明例子1：假设有两个复数z1=2+3i和z2=1-2i，求它们的和、差、积和商。

解：两个复数的和：z1+z2=2+3i+1-2i=3+i两个复数的差：z1-z2=2+3i-(1-2i)=1+5i两个复数的积：z1*z2=(2+3i)*(1-2i)=8-1i两个复数的商：z1/z2=(2+3i)/(1-2i)=0.8+1.6i例子2：在复平面上，给定两个复数z1=2+3i和z2=4-2i，求它们的距离和中点。

解：两个复数的距离可以计算为：|z1-z2|=|2+3i-(4-2i)|=|-2+5i|=√((-2)^2+(5^2))=√29两个复数的中点可以计算为：(z1+z2)/2=((2+3i)+(4-2i))/2=(6+1i)/2=3+0.5i以上例子说明了复数的几何意义和运算规则在实际问题中的应用。