人教版 高中数学 选修2-2 1.3.2函数的极值与导数练习

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数一、选择题1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值[答案] C[解析]导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－2，极大值2B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1D．极小值－1，极大值3[答案] D[解析]y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－1<x<1时，y′>0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A ．必有f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 [答案] C[解析] 如：y ＝|x |，在x ＝0时取得极小值，但f ′(0)不存在． 4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件． 5．对于函数f (x )＝x 3－3x 2，给出命题： ①f (x )是增函数，无极值； ②f (x )是减函数，无极值；③f (x )的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)； ④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值． 其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[答案] B[解析] f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )>0，得x >2或x <0，令f ′(x )<0，得0<x <2，∴①②错误．6．函数f (x )＝x ＋1x 的极值情况是( )A ．当x ＝1时，极小值为2，但无极大值B ．当x ＝－1时，极大值为－2，但无极小值C ．当x ＝－1时，极小值为－2；当x ＝1时，极大值为2D ．当x ＝－1时，极大值为－2；当x ＝1时，极小值为2 [答案] D[解析] f ′(x )＝1－1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减， ∴当x ＝－1时，取极大值－2，当x ＝1时，取极小值2.7．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] A[解析] 由f ′(x )的图象可知，函数f (x )在区间(a ，b )内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极小值点．8．已知函数y ＝x －ln(1＋x 2)，则函数y 的极值情况是( ) A ．有极小值 B ．有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．无极值 [答案] D[解析] ∵y ′＝1－11＋x 2(x 2＋1)′ ＝1－2xx 2＋1＝(x －1)2x 2＋1令y ′＝0得x ＝1，当x >1时，y ′>0， 当x <1时，y ′>0， ∴函数无极值，故应选D.9．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( ) A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值为0[答案] A[解析] 由题意得，f (1)＝0，∴p ＋q ＝1① f ′(1)＝0，∴2p ＋q ＝3②由①②得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1 ＝(3x －1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，极大值f ⎝⎛⎭⎫13＝427，极小值f (1)＝0. 10．下列函数中，x ＝0是极值点的是( ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝cos 2xC ．y ＝tan x －xD ．y ＝1x[答案] B[解析] y ＝cos 2x ＝1＋cos2x2，y ′＝－sin2x ，x ＝0是y ′＝0的根且在x ＝0附近，y ′左正右负， ∴x ＝0是函数的极大值点． 二、填空题11．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为______，极小值为______．[答案] 1 －1[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令y ′>0得－1<x <1，令y ′<0得x >1或x <－1， ∴当x ＝－1时，取极小值－1，当x ＝1时，取极大值1.12．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为____________，极小值为____________． [答案] a ＋42 a －4 2[解析] y ′＝3x 2－6＝3(x ＋2)(x －2)， 令y ′>0，得x >2或x <－2， 令y ′<0，得－2<x <2， ∴当x ＝－2时取极大值a ＋42， 当x ＝2时取极小值a －4 2.13．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝______，b ＝________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，方程y ′＝0有根－1及3，由韦达定理应有14．已知函数f (x )＝x 3－3x 的图象与直线y ＝a 有相异三个公共点，则a 的取值范围是________．[答案] (－2,2)[解析] 令f ′(x )＝3x 2－3＝0得x ＝±1， 可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2， y ＝f (x )的大致图象如图观察图象得－2<a <2时恰有三个不同的公共点． 三、解答题15．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11. (1)写出函数f (x )的递减区间；(2)讨论函数f (x )的极大值或极小值，如有试写出极值． [解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.x 变化时，f ′(x )的符号变化情况及f (x )的增减性如下表所示：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )增极大值 f (－1)减极小值 f (3)增(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；(2)由表可得，当x ＝－1时，函数有极大值为f (－1)＝16；当x ＝3时，函数有极小值为f (3)＝－16.16．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1和x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求a 、b 、c 的值，并求出相应的极值．[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵x ＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f ′(x )＝0的根，即有又f (1)＝－1，则有a ＋b ＋c ＝－1，此时函数的表达式为f (x )＝12x 3－32x .∴f ′(x )＝32x 2－32.令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表： x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大 值1极小 值－1由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极大值1；当x ＝1时，函数有极小值－1. 17．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值． (1)讨论f (1)和f (－1)是函数f (x )的极大值还是极小值； (2)过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求此切线方程． [解析] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即解得a ＝1，b ＝0. ∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.若x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f ′(x )＞0，故 f (x )在(－∞，－1)上是增函数， f (x )在(1，＋∞)上是增函数． 若x ∈(－1,1)，则f ′(x )＜0，故 f (x )在(－1,1)上是减函数．∴f (－1)＝2是极大值；f (1)＝－2是极小值． (2)曲线方程为y ＝x 3－3x .点A (0,16)不在曲线上．设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0.∵f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的方程为 y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)． 注意到点A (0,16)在切线上，有16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)．化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2. ∴切点为M (－2，－2)， 切线方程为9x －y ＋16＝0.18．(2010·北京文，18)设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用． 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根为1,4.(1)当a ＝3时，由(*)式得，解得b ＝－3，c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又∵Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)解得a ∈[1,9]，即a 的取值范围[1,9]．。

1.3.2 函数的极值与导数练习1．函数y＝f(x)＝x2＋x＋1的极小值是()A．1 B.3 4C.74D．不存在2．下列函数存在极值的是()A．f(x)＝1xB．f(x)＝x－e xC．f(x)＝x3＋x2＋2x－3 D．f(x)＝x33．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是() A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－3或a＞6 D．a＜－1或a＞25．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()A．(a，b) B．(a，c)C．(b，c) D．(a＋b，c)6．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为__________．7．函数f(x)＝a ln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.8．若函数f(x)＝x3－3x－k在R上只有一个零点，则常数k的取值范围为__________．9．求下列函数的极值：(1)f(x)＝3222(1)xx--；(2)f(x)＝x2e－x.10．(2011·重庆高考)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝12-对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)因f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b.从而f′(x)＝22666a ax b⎛⎫++-⎪⎝⎭，即y＝f′(x)关于直线x＝6a-对称，从而由题设条件知162a-=-，解得a＝3.又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.所以，实数a，b的值分别为3，－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0.解得x1＝－2，x2＝1.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x∈(－2,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数；从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6. 所以函数f(x)的极大值为f(－2)＝21，极小值为f(1)＝－6.。

选修2-2 第一章 1.3 1.3.2一、选择题1．已知函数f (x )在点x 0处连续，下列命题中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极小值C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极大值 [答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )的极值点，故A 错；由极值的定义可知C 正确，故应选C.2．(2013·北师大附中高二期中)函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] y ′＝x 3－x 2＝x 2(x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表3．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0[答案] D[解析] y ′＝3ax 2＋2bx 由题设0和13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴a ＋2b ＝0.4．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．5．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2[答案] A[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3的极大值点， ∴c ＝3b －b 3，且0＝3－3b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.∴ad ＝2. 6．(2013·辽宁实验中学期中)函数f (x )＝－x e x (a <b <1)，则( )A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定[答案] C[解析] f ′(x )＝(－x e x )′＝(－x )′·e x －(－x )·(e x )′(e x )2＝x －1e x. 当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数， ∵a <b <1，∴f (a )>f (b )． 二、填空题7．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．[答案] 4x －y －3＝0[解析] y ′|x ＝1＝(3ln x ＋4)|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. 8．(2014·河北冀州中学期中)若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．[答案] [－1,1][解析] f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时显然成立；a >0时，∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a≥cos x 恒成立，∴－1a≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.9．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________. [答案] －23[解析] f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0.∴a ＝－23.三、解答题10．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． [解析] (1)由f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1. [点评] 若函数f (x )在x 0处取得极值，则一定有f ′(x 0)＝0，因此我们可根据极值得到两个方程，再由f (1)＝－1得到一个方程，解上述方程组成的方程组可求出参数．一、选择题11．(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2013π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A ．e 2π(1－e 2012π)e 2π－1B ．e π(1－e 2012π)1－e 2πC ．e π(1－e 1006π)1－e 2πD ．e π(1－e 1006π)1－e π[答案] B[解析] f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2013π)，∴0<(2k ＋1)π<2013π，∴0≤k <1006，k ∈Z .∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2011π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2011π＝e π[1－(e 2π)1006]1－e 2π＝e π(1－e 2012π)1－e 2π，故选B.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427，0B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.13．(2014·西川中学高二期中)已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 二、填空题14．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝________________，b ＝________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，方程y ′＝0有根－1及3，由韦达定理应有⎩⎨⎧－1＋3＝－2a3，－3＝b 3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.经检验a ＝－3，b ＝－9符合题意． 三、解答题15．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解析] (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．16．(2014·三峡名校联盟联考)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2＋ax . (1)当a ＝－3时，求函数y ＝f (x )的极值点；(2)当a ＝－4时，求方程f (x )＋x 2＝0在(1，＋∞)上的根的个数． [解析] (1)f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，f ′(x )＝1x ＋2x －3，令f ′(x )＝0，则x ＝1或x ＝12，由f ′(x )>0得0<x <12，或x >1，∴f (x )在(0，12)和(1，＋∞)上单调递增，在(12，1)上单调递减，∴f (x )的极大值点x ＝12，极小值点x ＝1.(2)当a ＝－4时，f (x )＋x 2＝0，即ln x ＋2x 2－4x ＝0， 设g (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则g ′(x )＝1x ＋4x －4＝4x 2－4x ＋1x ≥0，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－2<0，g (2)＝ln2>0， 所以g (x )在(1，＋∞)上有唯一实数根．17．(2014·温州八校联考)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a 、b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ， ∴f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a 3)．当a ＝0时，f ′(x )≤0函数f (x )没有单调递增区间； 当a >0时，令f ′(x )>0，得0<x <2a3，函数f (x )的单调递增区间为(0，23a )；当a <0时，令f ′(x )>0，得2a3<x <0， 函数f (x )的单调递增区间为(23a,0)．(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，x 、f ′(x )、f (x )的取值变化情况如下：∴f (x )极小值＝f (0)＝b ，f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，∵对任意a ∈[3,4]，f (x )在R 上都有三个零点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0，f (2a 3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b <0，4a 327＋b >0.得－4a 327<b <0.∵对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，∴b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4.∴实数b 的取值范围是(－4,0)．。

课时作业8函数的极值与导数知识点一函数极值的概念1.关于函数的极值，下列说法正确的是()A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值D．若f(x)在区间(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案 D解析易知选项A，B，C均不正确．对于D，不妨设x0是f(x)在区间(a，b)内的极小值点，则在x0附近，当x<x0时，f(x)>f(x0)，当x>x0时，f(x)>f(x0)，故在x0附近函数f(x)不单调，即f(x)在区间(a，b)内不是单调函数，故选D.2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x ＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()答案 C解析由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，此时xf′(x)>0；排除B、D，当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)>0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)<0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)>0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.知识点二求函数的极值3．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则()A．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)B．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)答案 D解析由题图可知，当x∈(－∞，－3)时，xf′(x)＞0，即f′(x)＜0；当x∈(－3,0)时，xf′(x)＜0，即f′(x)＞0；当x∈(0,3)时，xf′(x)＞0，即f′(x)＞0；当x∈(3，＋∞)时，xf′(x)＜0，即f′(x)＜0.故函数f(x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．4．函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有()A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值答案 C解析由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.当x<－1或x>3时，y′>0；由－1<x<3时，y′<0.∴当x＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2,2)，故无极小值．5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )A.427，0 B ．0，427 C ．－427，0 D ．0，－427答案 A解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0得⎩⎨⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时，f (x )取极大值427；当x ＝1时，f (x )取极小值0. 知识点三 已知函数极值求参数6.设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．解 (1)∵f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， ∴f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1.由题意可知f ′(1)＝f ′(2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解方程组得a ＝－23，b ＝－16. (2)由(1)，知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x ，f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1. 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0. 故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56. 在x ＝2处函数f (x )取得极大值43－23ln 2.∴x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点． 7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值．解 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意，得⎩⎨⎧f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x －∞，－113－113 －113，1 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值显然函数f (x )在x ＝1处取极小值，符合题意，此时f (2)＝18. 当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， ∴f (x )没有极值，不符合题意． 综上可知f (2)＝18.一、选择题1．已知函数y ＝f (x )，x ∈R 有唯一的极值，且x ＝1是f (x )的极小值点，则( )A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )≥0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≤0B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )≥0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≥0C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )≤0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≥0D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )≤0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≤0 答案 C解析 由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负右正，又函数f (x )，x ∈R 有唯一的极值，故当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )≤0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≥0.2．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2答案 D解析 由题意得f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.3．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点 答案 D解析 ∵f (x )＝2x ＋ln x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，即－2x 2＋1x ＝x －2x 2＝0，解得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0，所以x ＝2为f (x )的极小值点．4．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(－∞，3)C ．(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 答案 D解析 y ′＝3x 2－2a ， 因为函数在(0,1)内有极小值，所以y ′＝3x 2－2a ＝0在(0,1)内必有实数解， 记f (x )＝3x 2－2a ，如图所以⎩⎨⎧f (0)＝－2a ＜0，f (1)＝3－2a ＞0，解得0＜a ＜32，故选D.5．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( )A ．a ＝0或a ＝21B ．0≤a ≤21C ．a <0或a >21D ．0<a <21答案 B解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，因为f (x )在R 上不存在极值，则Δ＝4a 2－84a ≤0，解得0≤a ≤21.二、填空题6．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋6，其导数f ′(x )的图象如图所示，则函数的极小值是________．答案 6解析 依题意f ′(x )＝3ax 2＋2bx . 由题图象可知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，故x ＝0时函数f (x )取极小值f (0)＝6.7．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为________．答案 c <14解析 ∵f ′(x )＝x 2－x ＋c 且f (x )有极值，∴f ′(x )＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c >0，解得c <14.8．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，12 解析 由题知，x >0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，即函数y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点(x >0)，则a >0；设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0，1＋ln x 0)处的切线为l ，则k l ＝y ′＝1x 0，当l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0⇒x 0＝1，令2a ＝1⇒a ＝12，结合图象(略)知0<a <12.三、解答题9．已知f (x )＝ax 5－bx 3＋c 在x ＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a ，b ，c 的值．解 f ′(x )＝5ax 4－3bx 2＝x 2(5ax 2－3b )． 由题意，f ′(x )＝0应有根x ＝±1，故5a ＝3b ， 于是f ′(x )＝5ax 2(x 2－1)．(1)当a >0，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知：⎩⎨⎧4＝f (－1)＝－a ＋b ＋c ，0＝f (1)＝a －b ＋c ，又5a ＝3b ，解之得：a ＝3，b ＝5，c ＝2.(2)当a <0时，同理可得a ＝－3，b ＝－5，c ＝2.10．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解 因为f (x )在x ＝－1处取得极值且f ′(x )＝3x 2－3a ， 所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，所以a ＝1. 所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.所以由f (x )的单调性可知， f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3. 作出f (x )的大致图象如图所示：因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．。

[A 基础达标]1．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：选D.求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．2．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( ) A ．－e B ．－1 C ．1－eD ．0解析：选B.函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.3．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A ．(2，3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)解析：选B.因为f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，且在x ＝2处有极值， 所以f ′(2)＝0，24＋4a ＋36＝0，a ＝－15， 所以f ′(x )＝6x 2－30x ＋36 ＝6(x －2)(x －3)， 由f ′(x )>0得x <2或x >3.故f (x )的递增区间为(－∞，2)和(3，＋∞)4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2解析：选C.由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ>0，解得a >6或a <－3.故选C.5．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23 B.43 C.83D.163解析：选C.由图象可得f (x )＝0的根为0，1，2，故d ＝0，f (x )＝x (x 2＋bx ＋c )，则1，2为x 2＋bx ＋c ＝0的根，由根与系数的关系得b ＝－3，c ＝2，故f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，由题图可得x 1，x 2为3x 2－6x ＋2＝0的根，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，故x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝83.6．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________． 解析：因为f ′(x )＝ax＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0.所以a ＝－23.答案：－237．若f (x )＝e x －kx 的极小值为0，则k ＝________． 解析：因为f (x )＝e x －kx 的定义域为R ， 所以f ′(x )＝e x －k ，当k ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上单调递增，所以f (x )无极值． 当k >0时，由f ′(x )＝0， 得x ＝ln k ；令f ′(x )>0，得x >ln k ； 令f ′(x )<0，得x <ln k ，所以f (x )极小＝f (ln k )＝e ln k －k ln k＝k (1－ln k )＝0， 所以1－ln k ＝0，即k ＝e. 答案：e8．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，则f ′(－1)f ′(1)<0，即(1－a )(5－a )<0，解得1<a <5，另外，当a ＝1时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x －4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a ＝5时，函数f (x )＝x 3＋x 2－5x －4在区间(－1，1)内没有极值点．故实数a 的取值范围为[1，5)．答案：[1，5)9．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． 解：(1)由已知，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . 且f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0， 3a －2b ＋c ＝0.又f (1)＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－1. 所以a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)． 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上为减函数．所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.10．求下列函数的极值． (1)f (x )＝3x＋3ln x ；(2)f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1(0<x <2π)．解：(1)函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3（x －1）x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增(2)由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1，0<x <2π， 知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1，0<x <2π， 于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)，0<x <2π，令f ′(x )＝0，从而 sin(x ＋π4)＝－22，又因为0<x <2π，所以x ＝π或x ＝32π.当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 单调递增单调递减单调递增因此，当x ＝32π时，f (x )有极小值32π；当x ＝π时，f (x )有极大值π＋2.[B 能力提升]11．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：选C.因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以当x＜－2时，f(x)单调递减，即f′(x)＜0；当x＞－2时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0.所以当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.结合选项中图象知选C.12．若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0，1)内有极小值，则a的取值范围为________．解析：f′(x)＝3x2－3a.当a≤0时，在区间(0，1)上无极值．当a>0时，令f′(x)>0，解得x>a或x<－a.令f′(x)<0，解得－a<x<a.若f(x)在(0，1)内有极小值，则0<a<1.解得0<a<1.答案：(0，1)13．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0， 则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝⎛⎭⎫－13＝527＋a ， 极小值是f (1)＝a －1. (2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )>0， x 取足够小的负数时，有f (x )<0， 所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点． 由(1)知f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝527＋a ， f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值<0或f (x )极小值>0， 即527＋a <0或a －1>0， 所以a <－527或a >1，所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． 14．(选做题)已知函数f (x )＝(x 2＋ax ＋a )e x (a ≤2，x ∈R )． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．解：(1)f(x)＝(x2＋x＋1)e x，f′(x)＝(2x＋1)e x＋(x2＋x＋1)e x＝(x2＋3x＋2)e x，当f′(x)>0时，解得x<－2或x>－1，当f′(x)<0时，解得－2<x<－1，所以函数的单调增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)；单调减区间为(－2，－1)．(2)令f′(x)＝(2x＋a)e x＋(x2＋ax＋a)e x＝[x2＋(2＋a)x＋2a]e x＝(x＋a)(x＋2)e x＝0，得x＝－a或x＝－2，因为a≤2，所以－a≥－2.列表如下：极大值－解得a＝4－3e2≤2，所以存在实数a≤2，使f(x)的极大值为3，此时a＝4－3e2.。

第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数高效演练知能提升A级基础巩固一、选择题1.函数f(x)的定义域为R，导函数f'x(的图象如图所示，贝間数f(x)( )A .无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点、两个极小极值点C .有两个极大值点、两个极小值点D .有四个极大值点、无极小值点解析：由导函数f'x(的图象可知，f l x)= 0有四个零点，根据极值的概念知，函数f(x)有两个极大值点、两个极小值点.答案：C2.函数f(x)= In x-x在区间(0, e)上的极大值为()A. - eB.- 1C. 1-e D . 01解析：函数f(x)的定义域为(0,+x), f' x) = x- 1•令f'x) = 0,得x= 1•当x€ (0, 1)时,f'(x)>0，当x€ (1, e)时，f'(x)v0，故 f (x) 在x= 1处取得极大值f(1) = In 1 —1= 0— 1 = - 1.答案：B3. 设函数f(x) = xe x,则()A. x= 1为f(x)的极大值点B. x= 1为f(x)的极小值点C. x=—1为f(x)的极大值点D. x=—1为f(x)的极小值点解析：f'x( = e x+ xe x= (1 + x)e x，令f'x( = 0,得x= —1,当x v —1 时，f'(x)v0;当x>— 1 时，f'(x)>0•所以x= — 1 为f(x)的极小值点.答案：D4. 若函数f(x) = x3+ ax2+ 3x—9在x= —3处取得极值，则a=( )A. 2B. 3C. 4D. 5解析：f刈=3x? +2ax+3,由题意得f( —3) = 0,即30 —6a = 0, 所以a= 5•验证知，符合题意，故选 D.答案：D5. 已知函数f(x) = x3+ ax2+ x+ 2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(一1,1 )内，贝^实数a的取值范围是()A. (0, 2]B. (0, 2)C. [ 3, 2)D. ( 3, 2)解析：由题意可知f'x(= 0的两个不同解都在区间(一1,1)内.因为f ( =3x2+ 2ax + 1 ,所以根据导函数图象可得f A=( 2a) 2-4X 3X 1>0,—2a1—1<----- <1 -f 6 ' 又a>0,解得V3va<2•故选D.I f'(—)= 3— 2a+ 1>0,f 1)= 3 + 2a+1>0,答案：D二、填空题-n6.函数f(x) = x+ 2cosx在0, 2上的极大值点为__________ .解析：f'x) = 1 —2sin x,令f'x(= 0 得x=；・当0v X Vn寸，F(x)>0；当X V 2时寸，f ]x)v 0.所以当x=6时，f(x)有极大值.答案：n7.函数f(x) = x3—3x2+ 1在x= _______ 取得极小值.解析：由f(x) = x3—3x2+1,得f' x = 3x2—6x= 3x(x —2).当x€ (0, 2)时，f'(x)v0, f(x)为减函数；当x€ ( — = , 0)和(2,+乂)时，f'(x)>0, f(x)为增函数.故当x= 2时，函数f(x)取得极小值.答案：28.若直线y= a与函数f(x)= x3—3x的图象有相异的三个公共点, 则a的取值范围是________ .解析：令f'X) = 3x2—3= 0,得x=±1，则极大值为f(—1)= 2, 极小值为f(1)= —2•如图，观察得一2<a<2时恰有三个不同的公共点.答案：(—2, 2)三、解答题9.设函数f(x) = x3—3ax + b(a^ 0).(1) 若曲线y= f(x)在点(2,f(2))处与直线y= 8相切，求a, b的值;(2) 求函数f(x)的单调区间与极值点.解：(1)由已知可得f'= 3x2—3a(aM0).因为曲线y= f(x)在点(2, f(2))处与直线y= 8相切，f 2)= 0, 「3 (4 —a)= 0,所以即I f (2)= 8, 18—6a+ b= 8,解得a=4, b= 24.(2)f 'x( = 3(x2—a)(az0).当a v 0时，f'(x)>0,函数f(x)在(一 = ,+=)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点.当a>0 时，由 f x(= 0,得x= ± a.当X € ( 一oo. 一a)时，f '(X)>0,函数f(x)单调递增；当x€ (- a, a)时，f'(x)v0,函数f(x)单调递减；当x€ ( a,+ =)时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增.此时x=- a是f(x)的极大值点，x= a是f(x)的极小值点.10.若函数f(x) = ax3- bx+2,当x= 1时，函数f(x)取极值0.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若关于x的方程f(x)= k有三个零点，求实数k的取值范围. 解：(1)由题意可知f ( = 3ax2- b.ff (1)= 0, fa= 1,所以？If( 1)= 0, l b= 3.故所求的函数解析式为f(x) = x3- 3x + 2.⑵由(1)可知f(x) = 3x2-3= 3(x- 1)(x + 1).令f( x) = 0 得x= 1 或x=- 1,当x变化时，f((x), f(x)的变化情况如下表所示：因此，当x=- 1时，f(x)有极大值4, 当x= 1时，f(x)有极小值0, 故实数k的取值范围为(0, 4).B级能力提升1 11. 函数f(x) = 3X3—2(2b + 1)x2+ b(b+ 1)x 在(0, 2)内有极小值，则()A. 0v b v 1B. 0v b v2C. —1 v b v 1D. —1 v b v 2解析：f，x) = x2—(2b + 1)x + b(b+1) = (x—b)[x—(b+ 1)],令f X)=0,贝S x= b或x= b+ 1, x= b+ 1是极小值点，所以0v b+1 v2,得一1v b v 1.答案：C2. 函数f(x) = x3—3ax + b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x) 的单调递减区间是 ________ .解析：由题意，知f'x) = 3x2—3a,令f'x(= 0,得x=± a.易知当x=—a时，f(x)取极大值，当x= a时，f(x)取极小值.因为函数f(x) = x3—3ax + b(a>0)的极大值为6,极小值为2,所以f( a)= 2, f(—a) = 6,( J a) 3—3a a+ b= 2,即3I (—\a) + 3a\ a + b= 6,解得a= 1, b= 4.所以f'x( = 3x2—3,令F x)<0，解得一1<x<1.所以f(x)的单调递减区间是(一1, 1).答案：(—1, 1)3. 已知函数f(x)= e x(ax + b) —x2—4x,曲线y= f(x)在点(0,f(0)) 处的切线方程为y= 4x+ 4.(1) 求a, b的值；(2) 讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.解：⑴f'x) = e x(ax + a + b) —2x- 4.由已知得f(0) = 4, f'(0) = 4,故b= 4, a+ b= 8.从而a=4, b= 4.(2)由(1)知，f(x) = 4e x(x +1) —x2—4x,( 们f '(x) = 4^(x + 2) —2x—4= 4(x + 2)^e x—Q 丿.令f' x) = 0 得，x= —In 2 或x= — 2.从而当x€ (—x, —2)或x€ (—In 2, +*)时，f'(x)>0;当x€ (—2, In 2)时，f'(x)v 0.故f(x)在(—x,—2), (—In 2，+乂)上单调递增，在(—2,—In 2)上单调递减.当x= —2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f( —2)=4(1 —e- 2).。

选修2-2第一章 1.3 1.3.21．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有一个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点[答案] C[解析]设f′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x<x1时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x1<x<x2时，f′(x)<0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点．[点评]有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．2．(2014·屯溪一中期中)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a、b∈R.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．[解析]∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∵f′(1)＝2a，∴3＋2a＋b＝2a，∵f′(2)＝－b，∴12＋4a＋b＝－b，，b＝－3，∴a＝－32∴f(x)＝x3－32－3x＋1，f′(x)＝3x2－3x－3，2x，f′(1)＝－3，∴f(1)＝－52∴切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)， 即6x ＋2y －1＝0.(2)∵g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ，∴g ′(x )＝(6x －3)e －x ＋(3x 2－3x －3)·(－e －x )，∴g ′(x )＝－3x (x －3)e －x ，∴当0<x <3时，g ′(x )>0，当x >3时，g ′(x )<0，当x <0时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减， 所以g 极小(x )＝g (0)＝－3，g 极大(x )＝g (3)＝15e －3.3．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方． [解析] (1)由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x， 令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，则x ＝1是f (x )的极小值点，所以f (x )在x ＝1处取得极小值为f (1)＝12. (2)证明：设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3， 则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x＝－(x －1)(2x 2＋x ＋1)x， 当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，又F (1)＝－16<0，∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立，即f(x)<g(x)恒成立．因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方．。

1.3.2函数的极值与导数[学业水平训练]1．下列四个函数中，能在x ＝0处取得极值的函数是( ) ①y ＝x 3 ②y ＝x 2＋1 ③y ＝|x | ④y ＝2x A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①③解析：选B.①④为单调函数，不存在极值．2．已知函数y ＝x －ln(1＋x 2)，则函数y 的极值情况是( ) A ．有极小值B ．有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．无极值解析：选D ．∵y ′＝1－11＋x 2(x 2＋1)′＝1－2xx 2＋1＝(x －1)2x 2＋1， 令y ′＝0，得x ＝1，当x ＞1时，y ′＞0， 当x ＜1时，y ′＞0， ∴函数无极值．3．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：选C ．当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点， 比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧 f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点． 由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0. 综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件．4．已知函数f (x )，x ∈R 有唯一极值，且当x ＝1时，f (x )存在极小值，则( ) A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0 B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：选C．f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.5．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是() A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)解析：选B.因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个增区间是(3，＋∞)．6．函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________．解析：y′＝9x2－9.令y′＝0，得x＝±1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.答案：117．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________．解析：由图象可知，当x＜0时，f′(x)＜0，当0＜x＜2时，f′(x)＞0，故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝C．答案：c8．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x 1＝1与x 2＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧－23a ＝1－23b 3＝1×(－23)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝－2. 答案：－12 －29．求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 2e －x ；(2)f (x )＝ln x x .解：(1)函数的定义域为R . f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2.(2)函数f (x )＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ln x x 2.令f ′(x )＝0，即1－ln xx 2＝0，得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：由表可知，当x ＝e 时，函数的极大值是1e.10．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值． 解：(1)y ′＝3ax 2＋2bx ， 由题意，得当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y |x ＝1＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝3，解得a ＝－6，b ＝9. (2)由(1)知y ＝－6x 3＋9x 2， 则y ′＝－18x 2＋18x . 令y ′＝0，得x ＝0或x ＝1， 经检验知x ＝0是函数的极小值点， 故y 极小值＝y |x ＝0＝0.[高考水平训练]1．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜2 B ．1＜a ＜4 C ．2＜a ＜4D ．a ＞4或a ＜1解析：选B.y ′＝3x 2－3a .当a ≤0时，f ′(x )≥0，函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数，不合题意，舍去；当a ＞0时，y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a ，不难分析当1＜a ＜2，即1＜a ＜4时，函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值．2．(2014·绵阳高二检测)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下面四个判断．①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；④x＝3是f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是________．解析：由题中函数y＝f(x)的导函数的图象可知：f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数．f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．故②③正确．答案：②③3．已知函数y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，且其图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y ＋5＝0平行．(1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差．解：y′＝3x2＋6ax＋3b.∵x＝2是函数的极值点，∴12＋12a＋3b＝0，即4＋4a＋b＝0，①又图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，∴y′|x＝1＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0.②由①②解得a＝－1，b＝0，此时y′＝3x2－6x＝3x(x－2)．(1)令y′＞0，得3x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2，令y′＜0，得3x(x－2)＜0，解得0＜x＜2，∴函数的单调减区间为(0,2)，单调增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．(2)由(1)可以断定x＝0是极大值点，x＝2是极小值点，又y＝f(x)＝x3－3x2＋c，∴y极大值－y极小值＝f(0)－f(2)＝c－(8－12＋c)＝4.4．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？解：(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－13或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的极大值是f(－13)＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0，曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－13)＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，即527＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－527或a＞1，∴当a∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．。

第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用函数的极值与导数A 级基础稳固一、选择题1．函数 f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如下图，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点、两个极小极值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点分析：由导函数f′(x)的图象可知， f′ (x)＝ 0 有四个零点，依据极值的观点知，函数f(x)有两个极大值点、两个极小值点．答案： C2． f′ (x0)＝ 0 是可导函数f(x) 在点 x0处取极值的 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析： f′(x不可以保证 f′(x)在x0左右两边异号，故不可以保证有极值，但f(x)在 x 处有0)＝00极值则必有f′(x0)＝ 0.答案： B3．设函数x，则() f(x)＝ xeA． x＝ 1 为 f(x)的极大值点B． x＝ 1 为 f(x)的极小值点C． x＝－ 1 为 f (x)的极大值点D． x＝－ 1 为 f (x)的极小值点分析： f′(x)＝ e x＋ xe x＝ (1＋ x)e x，令 f′(x)＝ 0，得 x＝－ 1，当 x＜－ 1 时， f′ (x)＜ 0；当 x ＞－ 1 时， f′ (x)＞ 0.因此 x＝－ 1 为 f( x) 的极小值点．答案： D24．已知函数y＝ x－ ln (1＋ x ) ，则函数 y 的极值状况是() A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值分析： x∈ R，由于 y′＝ 1－12· (1＋x 2) ′＝ 1－2x2＝（ x－ 1）22≥ 0 恒建立，1＋x1＋x1＋ x 因此函数 y＝ x－ ln (1 ＋ x2)无极值．答案： D5．函数 y＝ ax3＋ bx2获得极大值和极小值时的x 的值分别为 0 和1，则() 3A． a－ 2b＝ 0B． 2a－ b＝ 0 C． 2a＋ b＝ 0D． a＋ 2b＝ 0分析： y′＝ 3ax2＋ 2bx，依题意，0 和1是方程322b13ax ＋ 2bx＝ 0 的两根，因此－＝，因此a＋2b＝0.答案： D二、填空题π6．函数 f(x)＝ x＋ 2cos x 在 0，2上的极大值点为________．π分析： f′(x)＝ 1－ 2sin x，令 f′(x)＝ 0 得 x＝6.π当 0＜x＜时，f′ (x)＞0；6ππ当＜ x＜时， f′ ( x) ＜ 0.62π因此当 x＝时， f (x)有极大值．6答案：π67．设 x＝ 1 与 x＝ 2 是函数 f(x)＝ aln x＋ bx2＋ x 的两个极值点，则常数a＝ ________．分析： f′(x)＝a＋ 2bx＋ 1，由题意得a＋ 2b＋ 1＝ 0，a＋ 4b＋ 1＝ 0，x22解得 a＝－ .3答案：－238．若函数 y＝ x·2x在 x＝ x0时取极小值，则x0＝________．答案：－1ln 2三、解答题9．已知函数f(x)＝ x3－ px2－ qx 的图象与x 轴切于 (1， 0)点，求 f(x)的极大值及极小值．解： f′(x)＝ 3x2－ 2px－ q，由 f ′(1)＝ 0， f(1)＝ 0 得，3－ 2p－ q＝ 0，解得 p＝ 2， q＝－ 1，1－ p－ q＝ 0，因此 f(x)＝ x3－ 2x2＋ x.由 f′(x)＝ 3x2－ 4x＋ 1＝ 0 得 x＝13或 x＝ 1，易适当 x＝1时， f(x)取极大值4 ，327当 x＝1 时， f(x)取极小值 0.10．设函数 f(x)＝ x3－ 3ax＋ b(a≠0)．(1)若曲线 y＝ f(x)在点 (2， f(2)) 处与直线 y＝ 8 相切，求 a， b 的值；(2)求函数 f(x)的单一区间与极值点．解： (1) 由已知可得 f′(x)＝ 3x2－ 3a(a≠0)．由于曲线 y＝ f(x)在点 (2， f(2)) 处与直线 y＝ 8 相切，f′（ 2）＝ 0，3（ 4－ a）＝ 0，因此即f（ 2）＝ 8，8－ 6a＋ b＝8，解得 a＝ 4， b＝ 24.(2)f′(x)＝ 3(x2－ a)( a≠0)．当 a＜0时， f′ (x)＞ 0，函数 f(x)在 (－∞，＋∞)上单一递加，此时函数 f (x)没有极值点．当 a＞0时，由 f′(x)＝ 0，得 x＝± a.当 x∈(－∞.－a) 时， f′ (x)＞ 0，函数 f(x)单一递加；当 x∈(－ a， a)时， f′ (x)＜ 0，函数 f( x)单一递减；当 x∈(a，＋∞)时， f′ (x)＞ 0，函数 f(x) 单一递加．此时 x＝－ a是 f(x)的极大值点， x＝ a是 f(x)的极小值点．B 级能力提高1312在 (0， 2)内有极小值，则 () 1．函数 f(x)＝ x － (2b＋ 1)x＋ b(b＋ 1)x32A． 0＜ b＜ 1B． 0＜ b＜ 2C．－ 1＜ b＜ 1D．－ 1＜ b＜ 2分析： f′(x)＝ x2－ (2b＋ 1)x＋ b(b＋ 1)＝ (x－ b)，令 f′(x)＝ 0，则 x＝ b 或 x＝ b＋ 1， x＝ b＋ 1是极小值点，因此0＜b＋ 1＜ 2，得－ 1＜ b＜ 1.答案： C2．若函数y＝－ x3＋ 6x2＋ m 的极大值为 13，则实数m 等于 ________．分析： y′＝－ 3x2＋ 12x＝－ 3x(x－ 4)．由 y′＝ 0，得 x＝0 或 x＝ 4.且 x∈ (－∞， 0)或 x∈ (4，＋∞)时，y′＜ 0； x∈ (0， 4)时， y′＞ 0.因此 x＝ 4 时取到极大值．故－ 64＋ 96＋ m＝ 13，解得 m＝－ 19.答案：－ 193．已知函数f(x)＝ e x(ax＋ b)－ x2－ 4x，曲线 y＝ f(x)在点 (0，f(0)) 处的切线方程为y＝ 4x＋4.(1)求 a， b 的值；(2)议论 f(x)的单一性，并求f(x)的极大值．解： (1)f′(x)＝ e x(ax＋ a＋ b)－ 2x－ 4.由已知得f(0) ＝ 4， f′ (0) ＝ 4，故 b＝ 4，a＋ b＝ 8.进而 a＝ 4， b＝ 4.(2)由 (1)知， f(x)＝4e x (x＋ 1)－ x2－ 4x，1′＝x ＋－－＝＋e x－.f(x)4e (x 2)2x 4 4(x 2) 2令 f′(x)＝ 0 得， x＝－ ln 2 或 x＝－ 2.进而当 x∈ (－∞，－ 2)或 x∈ (－ ln 2，＋∞)时， f′ (x)＞ 0；当 x∈ (－ 2， ln 2)时， f′ (x)＜0.故 f(x)在 (－∞，－ 2)， (－ ln 2，＋∞)上单一递加，在(－ 2，－ ln 2)上单一递减．当 x＝－ 2 时，函数 f (x)获得极大值，极大值为f(－ 2)＝－24(1－ e )．。

函数的极值与导数课时操练·促提高A 组1.函数f( x)=-x3+x2+ 2x取极小值时,x的值是()A.2B.-1 和 2C.-1D. -3分析 :f'(x)=-x 2+x+ 2=- (x+ 1)(x-2),则在区间 (-∞,-1) 和(2,+∞)上,f' (x)< 0,在区间 ( -1,2)上 ,f'( x)> 0,故当 x=- 1时,f(x)取极小值 .答案 :C322.函数f( x)=x -3x -9x(-2<x< 2)有 ()A. 极大值 5,极小值 - 27B.极大值 5,极小值 - 11C.极大值 5,无极小值D.极小值 -27,无极大值32∴f'(x)= 3x2-6x-9= 3(x2-2x-3).令 f' (x)= 0 得 x= 3 或 x=- 1.当 x∈ (-2,2)时 ,f(x)在( -2,-1)上是增函数 ,在 (-1,2)上是减函数 , 故f(x) 在(-2,2)内有极大值 f(-1)=- 1-3+ 9= 5,而无极小值 ,应选 C.答案 :C3+ax 2+ 7ax 不存在极值点的充要条件是 ()3.对随意的x∈ R ,函数f(x)=xA. a= 0 或 a= 21B.0 ≤a≤ 21C.a< 0 或 a> 21D.0<a< 21分析 :f'(x)= 3x2+ 2ax+ 7a,因为 f(x) 在R上不存在极值 ,则Δ=4a2-84a≤ 0,解得 0≤ a≤ 21.答案 :B4.函数y=ax3+bx在x= 1处有极值-2,则a,b的值分别为()A.1, -3B.1,3C.-1,3D. -1,-3分析 :令 y=f (x),f'( x)= 3ax2+b ,由已知得 ,f(1)=- 2,f'(1)= 0.∴解得 a= 1,b=- 3,应选 A .答案 :A5.设函数f(x)=x- ln x(x> 0),则y=f (x)()A. 在区间 ,(1,e )内均有零点B.在区间 ,(1,e)内均无零点C.在区间内有零点,在区间 (1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间 (1,e)内有零点分析 :f'(x)= ,令 f' (x)= 0,得 x= 3,当 0<x< 3 时,f'(x)< 0,因此函数f( x)在区间 (0,3)上为减函数 .又f(1)=> 0,f(e)=- 1<0,f+ 1> 0,因此 y=f (x)在区间内无零点,在区间 (1,e)内有零点.答案 :D6.已知函数f(x)=ax 3+bx 2+ 6,其导数f' (x)的图象以下图,则函数的极小值是.分析 :依题意 f'(x)= 3ax2+ 2bx.由题图象可知,当 x< 0 时 ,f'( x)<0,当 0<x< 2 时 ,f' (x)> 0,故 x=0 时函数 f(x) 取极小值 f(0)= 6.答案 :67.若a> 0,b> 0,且函数f( x)= 4x3-ax2-2bx+ 2在x= 1处有极值,则ab的最大值等于.分析 :f'(x)= 12x2-2ax-2b,∵f(x)在 x= 1 处有极值 ,∴f'(1)= 12-2a-2b= 0,即 a+b= 6.又 a> 0,b> 0,∴a b≤ = 9,当且仅当 a=b= 3 时等号建立 .∴a b 的最大值为 9.答案 :98.设f(x)=a ln x+x+ 1,此中(1) 求 a 的值 ;(2) 求函数 f(x)的极值 .解:(1) 因 f(x)=a ln x+x+ 1,a∈R,曲线y=f (x)在点 (1,f(1)) 处的切线垂直于y 轴 .故 f' (x)=.因为曲线y=f(x)在点 (1,f(1)) 处的切线垂直于y 轴 ,故该切线斜率为0,即 f' (1)= 0,进而 a-= 0,解得 a=- 1.(2)由 (1) 知 f(x)=- ln x+x+ 1(x> 0),f'(x)=-=.令 f' (x)= 0,解得 x1= 1,x2=- 不在定义域内 ,舍去 .当 x∈ (0,1)时 ,f'(x)< 0,故 f(x) 在(0,1) 上为减函数 ;当 x∈ ( 1,+∞)时 ,f'( x)> 0,故 f(x)在 (1,+∞)上为增函数 .故 f(x) 在 x= 1 处获得极小值f(1)= 3.9.设x= 1与x= 2是函数f(x)=a ln x+bx2+x的两个极值点.(1)试确立常数 a 和 b 的值 ;(2) 判断 x= 1,x= 2 是函数 f(x)的极大值点仍是极小值点,并说明原因 .解:(1) ∵f(x) =a ln x+bx 2+x ,∴f'(x) =+ 2bx+1. 由题意可知 f'(1)=f' (2)= 0,∴解方程组得 a=- ,b=-.(2)由 (1), 知 f(x)=- ln x-x2 +x,-1f'(x)=-x-x+ 1.当 x∈ (0,1)时 ,f'(x)< 0, 当x∈ (1,2)时 ,f'(x)> 0, 当x∈ (2,+∞)时,f' (x)< 0.故在 x=1 处函数 f(x)获得极小值 .在 x=2 处函数 f(x) 获得极大值 ln 2 .∴x= 1 是函数 f(x)的极小值点 ,x= 2 是函数 f(x)的极大值点 .B 组1.已知e为自然对数的底数x k则 () ,设函数 f(x)= (e-1)(x-1) (k= 1,2),A. 当 k=1 时 ,f(x)在 x= 1 处取到极小值B.当 k=1 时 ,f(x)在 x= 1 处取到极大值C.当 k=2 时 ,f(x)在 x= 1 处取到极小值D.当 k=2 时 ,f(x)在 x= 1 处取到极大值xx x x因此 f'(x)= e (x-1)+ (e -1)= e x-1,因此 f(1)不是极值 .当 k=2 时 ,f(x)= (e x-1)(x-1) 2,因此 f'(x)= e x(x-1)2+ 2(e x-1)(x-1)= e x(x2-1)-2(x-1)= (x-1)[e x(x+ 1)-2],因此 f'(1)= 0,且当 x> 1 时 ,f'( x)> 0;在 x= 1 邻近的左边 ,f'( x)< 0,因此 f(1) 是极小值 .答案 :C2.函数y=x 3-2ax+a在 (0,1)内有极小值,则实数 a 的取值范围是()A.(0,3)B.( -∞,3)C.(0,+∞)D.2∵函数在 (0,1)内有极小值 ,∴y'= 3x2-2a= 0 在(0,1) 内必有实数解 ,记 f(x) =3x2-2a,如图 ,∴解得 0<a< ,应选 D.答案 :D3.已知函数为分析 :f'(x)=.f(x)= 1--ln( x+1)( a 为实常数.),若函数f(x)在区间(-1,1)内无极值,则实数 a 的取值范围∵f(x)在( -1,1)内无极值 ,∴a-(x+ 1)= 0 在(-1,1)内无解 ,即 a=x+ 1 在 (-1,1)内无解 ,又 x∈ (-1,1)时 ,x+1∈ (0,2),∴a≤0 或 a≥ 2.答案 :(-∞,0]∪ [2,+∞)4.已知函数f(x)= e x(ax+b )-x2 -4x,曲线 y=f (x)在点 (0,f(0))处的切线方程为y=4x+ 4.(1)求 a,b 的值 ;(2)议论 f(x)的单一性 ,并求 f(x)的极大值 .解:(1) f' (x)= e x(ax+a+b )-2x-4.由已知得 f(0)= 4,f'(0)= 4,故 b= 4,a+b= 8,进而 a= 4,b= 4.x2(2)由 (1) 知 ,f(x)= 4e (x+1)-x-4x,f'(x)= 4e x(x+2)- 2x-4=4(x+ 2).令 f' (x)= 0,得 x=- ln 2 或 x=- 2.进而当 x∈ (-∞,-2)∪ (-ln 2, +∞)时,f'(x)> 0;当 x∈ (-2,-ln 2) 时 ,f' (x)< 0.故 f(x) 在(-∞,-2),( -ln 2,+∞)上单一递加 ,在 (-2,-ln 2) 上单一递减 .当 x=- 2 时 ,函数 f(x)获得极大值 ,极大值为 f(-2)= 4(1-e- 2).5.设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.(1)求 f(x)的极值 ;(2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y=f (x)与 x 轴仅有一个交点 ?解:(1) f' (x)= 3x2-2x-1.令 f' (x)= 0,则 x=- 或 x=1.当 x 变化时 ,f'(x),f(x)的变化状况以下表:x-1(1,+∞)f'(x+0 -0+ )f(x极极↗大↘小↗)值值因此 f(x)的极大值是f+a ,极小值是f(1) =a- 1.322(2)函数 f(x)=x -x -x+a= (x-1) (x+ 1)+a- 1,x 取足够小的负数时,有 f(x)< 0,因此曲线y=f ( x)与 x 轴起码有一个交点.由 (1)知 f(x)极大值 =f+a ,f(x)极小值 =f (1)=a- 1.因为曲线 y=f (x)与 x 轴仅有一个交点,因此 f(x)极大值 < 0 或 f(x)极小值 > 0,即 +a< 0 或 a-1>0,因此 a<- 或 a> 1,因此当 a∈∪ (1,+∞)时 ,曲线 y=f (x)与 x 轴仅有一个交点.6.已知函数f(x)=x-a ln x(a∈R ).(1)当 a= 2 时 ,求曲线 y=f (x)在点 A(1,f(1)) 处的切线方程 ;(2)求函数 f(x)的极值 .解: 函数 f(x)的定义域为 (0,+∞),f' (x)= 1-.(1)当 a= 2 时 ,f(x)=x- 2ln x,f'(x)= 1-(x> 0),因此 f(1)= 1,f' (1)=- 1,因此曲线 y=f (x)在点 A(1,f(1)) 处的切线方程为 y-1=- (x- 1),即 x+y- 2= 0.(2)由 f' (x)= 1-,x> 0 知 :①当 a≤ 0 时 ,f' (x)> 0,函数 f(x)为 (0,+∞)上的增函数 ,函数 f( x)无极值 ;②当 a> 0 时 ,由 f'(x)= 0,解得 x=a ,又当 x∈(0,a)时 ,f' (x)< 0;当 x∈ (a,+∞)时 ,f'( x)> 0,进而函数 f(x)在 x=a 处获得极小值,且极小值为f(a)=a-a ln a,无极大值 .综上 ,当 a≤ 0 时 ,函数 f( x)无极值 ;当 a> 0 时 ,函数 f(x)在 x=a 处获得极小值a-aln a,无极大值 .。