河北省唐县高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于（ ） 2i 1z =-A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据复数对应的点的坐标即可确定结果. 【详解】对应的点为，位于第二象限. 2i 1z =-()1,2-故选：B.2．已知向量，若，则（ ）(2,1),(,2)a b x ==- //a ba b += A ．(－2，－1) B ．(2，1)C ．(3，－1)D ．(－3，1)【答案】A【分析】由，利用向量共线的坐标运算解得x ，再利用向量和的坐标运算求.//a b a b +【详解】解析：因为，所以，解得x ＝－4．所以. //a b 2(2)x ⨯-=()214,22,()()1a b +=---- ,＋＝故选：A3．下列命题中正确的个数是（ ）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；AB CD∥,,,A B C D ③若，则；,a b b c∥∥a c ∥④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，【详解】对于A ，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A 错误，对于B ，向量，则四点共线或，故B 错误，AB CD∥,,,A B C D //AB CD 对于C ，若，当时，不一定平行，故C 错误，,a b b c∥∥0b = ,a c 对于D ，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D 错误， ,,A B C //AC BC故选：A4．在中，已知，，，则（ ）ABC a =12c =π3C =A =A ．B ．C ．或D ．或π36π6π5π66ππ3【答案】B【分析】结合正弦定理求得正确答案. 【详解】由于，所以是锐角，a c <A由正弦定理得， sin sin a c A C =12πsin3=解得，所以. 1sin 2A =π6A =故选：B5．已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）,a b ||2,4a a b =⋅=b a A ．B ．C ．D ．12a12b r ab 【答案】C【分析】根据投影向量的定义结合向量的夹角公式运算求解.【详解】在方向上的投影向量为 b a()2cos ,a a b a a b b a bb a a a a a a b ⎛⎫⋅⋅ ⎪=⨯==⎪⎝⎭故选：C.6．已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）a b 1a = 2b = ()a b a -⊥ a bA ．B ．C ．D ．π6π4π32π3【答案】C【分析】由向量垂直，利用数量积运算可得，即，代入已知条件，求得()0a a b -⋅= 20a a b -⋅= ，所以，得解1cos ,2a b = π3a b ⋅=r r 【详解】因为，所以()0a a b-⋅=20a a b -⋅= 所以22cos a a b a b a b a =⋅=⋅⋅⋅= 又，，，,1a = 2b = 1cos ,2a b = [],0,πa b ∈ 所以，π,3a b = 故选：C ．7．在平行四边形中，为的重心，，则（ ）ABCD G BCD △AG xAB y AD =+3x y +=A ．B ．C ．D ．732833【答案】C【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.【详解】如图，设与相交于点，由为的重心，可得为的中点，AC BD O G BCD △O BD，则，2CG GO =()144122333233AG AO OG AO OC AO AB AD AB AD =+=+==⨯+=+可得，故23x y ==83.3x y +=故选：C.8．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南A偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了70︒B B 35︒海里到达海岛.若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）C A C 分别为（ ）A ．北偏东，B ．北偏东， 80︒65︒2)C ．北偏东，D ．北偏东，65︒80︒2)【答案】C【分析】在中，，，ABC 7035105ABC ︒︒︒∠=+=40AB =BC =AC 的长度，在中，可由正弦定理建立方程，求出．ABC sin 105BC ACCAB sin ︒=∠CAB ∠【详解】据题意知，在中，，海里， ABC 7035105ABC ︒︒︒∠=+=40AB =BC =所以2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠2240240=+-⨯⨯，3200=+所以海里， AC ===sin CAB ∠=又因为为锐角，所以，CAB ∠45CAB ︒∠=所以航行的方向和路程分别为北偏东，海里. 65︒故选：C .【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若，为共扼复数，则为实数 1z 2z 12z z ⋅B ．若为虚数单位，为正整数，则 i n 43i i n +=C ．复数在复平面内对应的点在第三象限 2i --D ．复数的共轭复数为 5i 2-2i --【答案】AC【分析】根据共轭复数的概念可判断A 项；利用复数的乘方运算可判断B 项；利用复数的几何意义可判断C 项；利用复数的除法运算结合共轭复数的概念可判断D 项.【详解】解：设，则，故，故A 正确；1i(,R)z a b a b =+∈1i z a b =-()()2212i i z z a b a b a b ⋅=+-=+因为，故B 错误；()4343i i =1i =i-i n n +=⨯⨯-因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以在第三象限，故C 正确； 2i --(2,1)--因为，其共轭复数为，故D 错误； ()()()5i 25i 2i 2i 2i 2+==----+2i -+故选：AC.10．在中，下列命题正确的是（ ） ABC A ．是的充要条件A B >sin sin A B >B ．若，则是直角三角形 cos cos a B b A =ABC C ．若，，则是等边三角形 60B =︒2=b ac ABC D ．若，则 cos sin b a C c A =+45A =︒【答案】ACD【分析】由正弦定理可判断ACD 正确，选项B 中由正弦定理可得，所以是等腰三角形. =A B ABC 【详解】对于A ，若，则，由正弦定理知， A B >a b >sin sin A B >反之，若，由正弦定理知，则有， sin sin A B >a b >A B >故是的充要条件，A 正确；A B >sin sin A B >对于B ，若且，易得：，cos cos a B b A =,(0,π)A B ∈π,(0,2A B ∈由正弦定理得：，即，则，有，sin cos sin cos A B B A =sin()0A B -=ππ(,)22A B -∈-=A B 所以是等腰三角形，B 错误；ABC 对于C ，若，由正弦定理得，而， 2=b ac 2sin sin sin B A C =π3B =则，化简得：且， 23sin sin()34A A π-=sin(2)16A π-=2(,)666A ππ11π-∈-即，得，故，所以是等边三角形，C 正确； 262A ππ-=π3A =3C π=ABC 对于D ，若，由正弦定理得， cos sin b a C c A =+sin sin cos sin sinB AC C A =+从而，化简得：， sin()sin cos sin sin A C A C C A +=+cos sin sin sin A C C A =而，所以且，得，D 正确. sin 0C ≠cos sin A A =(0,π)A ∈45A =︒故选：ACD11．在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）(0,0),(1,2),(3,1)O OA OB ==A ．||AB =B ．是直角三角形AOB C ．在方向上的投影向量的坐标为OA OB 11,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．与垂直的单位向量的坐标为或 OB⎛⎝【答案】ABD【分析】根据向量模的坐标表示求出可判断A ；求出向量、以及的模，根据勾股定||AB OA OB AB理逆定理可判断B ；根据投影向量的定义求出在方向上的投影向量可判断C ；根据向量垂直OA OB的坐标表示求出与垂直的单位向量，判断D.OB【详解】因为，A 正确()2,1AB OB OA =-=-=，所以， ==222||||OAAB OB += 所以，即为直角三角形，B 正确；OA AB ⊥OAB 设与同向的单位向量为，， OB eOB e OB ==所以在方向上的投影向量为，OA OB31cos ,,22OA OB OA OA OB e e e OB ⋅⎛⎫〈=⋅== ⎪〉⎝⋅⎭C 错误；因为，设与垂直的单位向量为，(3,1)OB = OB(,)y m x = 则，解得22301x y x y +=⎧⎨+=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故与垂直的单位向量的坐标为或，D 正确，OB⎛ ⎝故选：ABD ．12．在中，角A ，B，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，则下列说法正ABC 23cos 3cos b C c B a +=确的是（ ）A ． 3a =B ．若，且有两解，则b 的取值范围为 π4A =ABC ⎡⎣C ．若，且为锐角三角形，则c 的取值范围为 2C A =ABC (D ．若，且，O 为的内心，则 2A C =sin 2sin B C =ABCAOB S =△【答案】ACD【分析】选项A ：根据条件求出；选项B ：由余弦定理得23cos 3cos b C c B a +=3a =，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,求得b 的取值范围；229b c =+c 选项C ：根据正弦定理得，利用为锐角三角形求角A 的范围，从而求边的范围；6cos c A =ABC c 选项D ：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用等面积法求的内切C ABC ABC 圆半径，从而求的面积.AOB 【详解】解：对于A 选项，因为，23cos 3cos b C c B a +=所以由正弦定理，得,即 ， 3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=()3sin sin B C a A +=因为，所以，且，所以，A 选项正确； πA B C ++=()sin sin B C A+=sin 0A ≠3a =对于B 选项，由余弦定理得， 2222cos a b c bc A =+-229b c =+将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,c 2209c b +-=故 ,解得，所以选项B 错误； ()22290)490b b ⎧->⎪⎨-->⎪⎩(b ∈对于C 选项，由正弦定理，得 ，即 ， sin sin 2a cA A=2cos 6cos c a A A ==因为为锐角三角形，ABC所以 ，即，解得， π02π02π02A BC ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩ππ64A <<所以，故选项C 正确； (6cos c A =∈对于D 选项，因为，所以， sin 2sin B C =2b c =因为，所以， 2A C =()sin sin sin 3B A C C =+=所以由正弦定理，得，即， sin sin b c B C =2sin 3sin c c C C=sin 32sin C C =所以， sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=即，222sin cos 2cos sin sin 2sinC C C C CC +-=因为，所以，即， sin 0C ≠222cos 2cos 3C C +=23cos 4C =又因为， 2A C =所以，， ，是直角三角形，π6C =π3A =π2B =b c ==ABC 所以内切圆的半径满足，即r ()1122ABC S a b c r ac =++= ac r a b c ==++所以的面积为D 正确. AOB 1122S cr ===故选：ACD.【点睛】方法点睛:在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是，如＝，则,特别是在求值域问题时会用到. (0,π)B π32π(0,)3A ∈②在锐角三角形中，不要只考虑，还要想到另外两角之和在内,若再知其中一π,,(0,)2A B C ∈π(,π)2角,要考虑其它角的范围,如＝，则,所以; B π32ππ32A C =-<ππ63C <<若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中，综合三个角为锐角有,得2A C =π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩. ππ64A <<三、填空题13．已知向量满足，且，则__________. ,a b1,2a b == ||||a b a b +=- 2a b +=【答案】【分析】根据向量的模长公式可得，进而根据模长公式即可求解.a b ⊥【详解】由得，所以，||||a b a b +=-()()220a ba ba b +=-⇒⋅=2a故答案为：14．若复数，则实数的值为________.()2390m m i -+-≥m 【答案】3【分析】由题意知为实数，实部大于或等于，虚部等于，即可求解. ()239m m i -+-00【详解】因为复数不能比较大小，所以为实数，()239m m i -+-可得解得23090m m -≥⎧⎨-=⎩3m =所以实数的值为， m 3故答案为：315．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．()1,2a = ()1,1b = a a b λ+λ【答案】()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等()1,2a b λλλ+=++式求解作答【详解】解：因为，，所以，()1,2a = ()1,1b = ()1,2a b λλλ+=++因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，a ab λ+ ()0a a b λ+⋅> a a b λ+所以且，()1220λλ+++>()212λλ+≠+解得且，所以的取值范围为，53λ>-0λ≠λ()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭四、双空题16．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为．若，则ABC ,,a b c 2sin sin cos 1cos 2=-B C A A 222+=b ca_____；的最大值为_____． sin A 【答案】 3【分析】由二倍角公式，正弦定理，余弦定理化简已知等式可得，根据基本不等式可求2223+=b c a ，结合范围，利用三角函数的性质即可求解的最大值．2cos 3≥A ()0,A π∈sin A 【详解】解：∵，∴， 22sin sin cos 1cos 22sin B C A A A =-=22222cos 2==+-bc A a b c a ∴，当且仅当时不等式两边取等号， ()2222122233cos 223b c b c bc A bc bc +-+⋅=≥=b c =∴当取得最小值时，cos A 23sinA =故答案为：3． 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了同角三角函数的基本关系，属于中档题.五、解答题17．已知，，.()1,3A ()2,2B -()4,1C (1)若，求D 点的坐标；AB CD =(2)设向量，，若与平行，求实数k 的值. a AB = b BC = ka b -3a b + 【答案】(1)4(5,)D -(2)13k =-【分析】（1）根据题意设，写出的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；(,)D x y ,C AB D（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可.【详解】（1）设，又因为， (,)D x y ()()()1,3,2,2,4,1A B C -所以，=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--因为，=AB CD 所以，得，4115x y -=⎧⎨-=-⎩54x y =⎧⎨=-⎩所以.4(5,)D -（2）由题意得，，，(1,5)a =- (2,3)b =所以，，=(2,53)ka b k k ----3(7,4)a b += 因为与平行，ka b -3a b + 所以，解得.4(2)7(53)0k k ----=13k =-所以实数的值为.k 13-18．已知a ，b ，c 分别为锐角三个内角A ，B ，C 的对边，，且ABC ),3m =()2sin ,n B b =-． 0m n ⋅=(1)求A ；(2)若，的周长为6，求△ABC 的面积． 2a =ABC 【答案】(1)3A π=【分析】（1）由，得到，求得的大小；0m n ⋅= sin 30B b -+=sin A =A （2）由余弦定理得到，结合题意求得，利用面积公式，即可求解.224b c bc =+-4bc =【详解】（1）解：由题意，向量，，),3m =()2sin ,n B b =-因为，可得， 0m n ⋅=sin 30B b -+=由正弦定理得，sin 3sin 0A B B -+=因为为锐角三角形，可得，所以，ABC 0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0B >所以，即， 30A -+=sin A 因为，所以．0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3A π=（2）解：在中，由余弦定理得，即 ABC 2222cos a b c bc A =+-224b c bc =+-可得()243b c bc =+-因为，的周长为6，所以，可得，2a =ABC 4b c +=4bc =故的面积为ABC 1sin 2S bc A ==19．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满ABC 90,22A CB CA ∠=︒==,D E ,AB BC 足．,(0,1),A B D A C B BE λλλ==∈u u r u u u r u u u r u u u r(1)求的取值范围；AE BC ⋅ (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．λAE CD ⊥ λ【答案】(1)(3,1)-(2)存在， 23λ=【分析】（1）由题意得，结合即可得()()AE BC AB BE BC AB BC BC λ⋅=+⋅=+⋅ 34λ=-+(0,1)λ∈解；（2）由，求解即可.()()()()AE CD AB BE AD AC AB BC AB AC λλ⋅=+⋅-=+⋅- 2230λλ=-=【详解】（1）在直角三角形中，．ABC 90,22A CB CA ∠=︒==∴，30,B BA ∠=︒=2cos303BA BC ⋅=⨯︒= ，2()()AE BC AB BE BC AB BC BC AB BC BC λλ⋅=+⋅=+⋅=⋅+ 234BA BC BC λλ=-⋅+=-+ ∵，∴．(0,1)λ∈(3,1)AE BC ⋅∈- （2）()()()()AE CD AB BE AD AC AB BC AB AC λλ⋅=+⋅-=+⋅-22AB AB AC BC AB BC AC λλλ=-⋅+⋅-⋅2302cos15021cos 60λλλ=-+⨯︒-⨯⨯⨯︒2230323λλλλλ=---=-令，得或（舍）. 2230λλ-=23λ=0λ=∴存在实数，使得． 23λ=AE CD ⊥ 20．如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记45,60ABC BCD ∠=∠= . ,AB a AC b →→→→==（1）试用表示向量;,a b →→,AD CD →→（2）若，求. 1b →=AB CD →→⋅【答案】（1），；（2.AD a →→=)1CD a b →→→=+1【分析】（1）由题易知，再结合即可得，进而即CB a b →→→=-BD →=AD a →→=CD AD AC →→→=-可得答案；（2）由题知，进而根据向量数量积运算求解即可.1a b →→⋅=【详解】（1）因为，所以， ,AB a AC b →→→→==CB AB AC a b →→→→→=-=-由题意可知， ，//,AC BD BD =所以，则，BD →=AD AB BD a →→→→=+=)1CD AD AC a b →→→→→=-=+（2）因为， ， 1b →=cos 114a b a b π⋅=⋅==所以))211211AB CD a a b a a b →→→→→→→→⎡⎤⋅=⋅+=+⋅==⎢⎥⎣⎦21．在中，角所对的边长分别为，面积为，且. ABC A B C ､､,2a b c c =､､S cos2A b S =(1)求角的大小.A (2)求的取值范围. b c a +【答案】(1)π3A =(2)(]1,2b c a +∈【分析】(1)结合面积公式，二倍角的正弦公式对条件进行恒等变换即可得出，利用三角1sin22A =形中角的取值范围即可求解；(2)利用正弦定理和两角和的正弦公式得到，然后利用正弦函数的图象和性质即π2sin()6b c B a +=+可求解.【详解】（1），所以，又， cos2A b S = 1cos sin 22A b bc A =2c =，则， cos sin 2A A ∴=cos 2sin cos 222A A A =，因为， 1sin22A ∴=0πA <<所以，故； π26A =π3A =（2）由正弦定理可得：)sin sin sin sin sin b c B C B C a A ++==+()sin sin B B A ⎤=++⎦sin sin 3B B π⎤⎛⎫=++ ⎪⎥⎝⎭⎦1sin sin 2B B B ⎤=+⎥⎦π2sin 6B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 302πB << πππ666B +<5<∴，也即. 1sin 126B π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭(]1,2b c a +∈22．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿想在一望无际的麦田里划一块形为平面四边形的麦田ABCD成为守望者．如图所示，为了分割麦田，他将B ，D 连接，经测量知，AB BC CD ====AD(1)霍尔顿发现无论都为一个定值，试问霍尔顿的发现正确吗？若正确，BD cos A C -求出此定值；若不正确，请说明理由.(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和有关，记与的面积分别为ABD △CBD △和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．1S 2S 2212S S +【答案】(1)正确，1 (2)632【分析】（1）在和中分别对使用余弦定理，可推出的关系，即可得出ABD △CBD △BD ,A C是一个定值； cos A C -（2）求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取值范围，可得出2212S S +2212S S +的最大值.【详解】（1）在中，由余弦定理得：， ABD △2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅即，2186224BD A A =+-⨯=-在中，，CBD △2222cos BD CD BC CD BC C =+-⋅即26621212cos BD C C =+-=-因此，即，241212cos A C -=-21cos A C =-．cos 1A C -=（2）因为， 11sin 212S A A AD AB A ⨯=⋅==， 21sin 3sin 212S C C BC CD C =⋅==于是得22221227sin 9sin S S A C +=+由（1）知，cos 1C A =-因此 )22222123627cos 9154cos 27S S A A A A +=---=-++， 26354cos 2A ⎛=-+ ⎝在中，ABD △BD <<在中， CBD △0BD <<BD <<由，得 224BD A =-cos A =即有，0cos 1A <<从而当， cos A =()2212max 632S S +=所以的最大值是． 2212S S +632。
