2015年全国高中数学联合竞赛湖北省高一预赛试卷及答案

2．下面五个图形中，有一个不是正方体的展开图：那么“不是的”图形的编号是 。

3．将60分成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是 。

4．34减去一个分数，513一个分数，两次计算结果相等，那么这个相等的结果是 。

5．右面残缺算式中已知三个“4”，那么补全后它的乘积是 。

6．有A 、B 两个整数，A 的各位数字之和为35，B 的各位数字之和为26，两数相加时进位三次，那么A+B 的各位数字之和是 。

7．苹果和梨各有若干只，如果5只苹果和3只梨装一袋，还多4只苹果，梨恰好装完；如果7只苹果和3只梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12只，那么苹果和梨共有______只。

8．甲班51人，乙班49人，某次考试两个班全体同学的平均成绩是81分，乙班的平均成绩要比甲班平均成绩高7分，那么乙班的平均成绩是______分。

9．在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是 。

10．高中学生的人数是初中学生的56，高中毕业生的人数是初中毕业生的1217，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人，那么高、初中毕业生共有 人。

11．如图，一个长方形的纸盒内，放着九个正方形的纸片，其中正方形A 和B 的边长分别为4和7，那么长方形(纸盒)的面积是 。

12．甲、乙两地相距100千米，张先骑摩托车从甲出发，1小时后李驾驶汽车从甲出发，两人同时到达乙地。

摩托车开始速度是50千米／d,时，中途减速为40千米／小时。

汽车速度是80千米／小时。

汽车曾在途中停驶10分钟，那么张驾驶的摩托车减速时在他出发后的_________小时。

。

3．下面五个图形中，有一个不是正方体的展开图：那么“不是的”图形的编号是_________。

4．34减去一个分数，513一个分数，两次计算结果相等，那么这个相等的结果是 。

5．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，…，⑩＝9×10×11，…如果，那么方框代表的数是________。

2014年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）一、填空题（本题满分90分，每小题9分。

直接将答案写在横线上。

） 1. 若非空集合{|3254}A x a x a =+≤≤-，{|531}B x x =≤≤，则能使A A B ⊆成立的所有a 的集合是{|37}a a ≤≤.2. 在四边形ABCD 中，32-=，则△ADC 与△ABC 的面积之比为13．3. 已知)(x f 是定义在R 上的函数，2)1(=f ，且对任意的R x ∈都有(5)f x +()f x ≥＋5，1)()1(+≤+x f x f ．则=)2014(f 2015 ．4．在△ABC 中，︒=30A ，232=⋅，则△ABC 的最大角的余弦值为12-．5．在直角坐标平面内，曲线3|||1||1|=+++-y x x 围成的图形的面积是 5 .6．在单调递增数列}{n a 中，已知：12a =，24a =，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．那么，100a = 2601 .7．去掉集合{|10000,A n n n =≤∈*N }中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，则2014是这个数列的第 1961 项.8. 若函数)23(log )(2+-=x ax x f a 在区间]2,1[上递增，则a 的取值范围是11(,](1,)84+∞.9．若A a ∈且A a A a ∉+∉-1,1，则称a 为集合A 的孤立元素.那么，集合{M =1，2，3，4，5，6，7，8，9}的无孤立元素的4元子集有 21 个.10. 已知20παβ<≤≤，且βαtan 3tan =，则βα-=u 的最大值为6π．二、解答题（本题满分60分，每小题20分。

） 11. 求函数232+-=x x x y 的值域．解 函数的定义域为2|{>x x 或}1<x ，当0=x 时0=y ．当0≠x 时，令x t 1=，记81)43(2231232222--=+-=+-=t t t x x x u . ………………5分若2>x ，则210<<t ，故)1,0(∈u ，从而可得),1(1+∞∈=uy ； ……………… 10分 若10<<x ，则1>t ，故),0(+∞∈u ，从而可得),0(1+∞∈=uy ； ………………15分 若0<x ，则0<t ，故),1(+∞∈u ，从而可得)0,1(1-∈-=uy ． 综合可知：),1(+∞-∈y ，即函数的值域为),1(+∞-． ………………20分12. 已知数列}{n a 满足：31=a ，211332,(1)*n n a a n n n n n +=+++-∈+N ．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）证明：2111121<+++n a a a ． 解 （1）因为)111(23321+--++=-+n n n n a a n n ，所以 ∑∑∑-=-=-=++--+++=-+=111121111)111()233(3)(n k n k n k k k n k kk k a a a a)11()1(22)1(3)12()1(6133n n n n n n n ---+-⨯+--⨯+=nn n 13++=．…………………10分（2）因为422222211(1)(1)(1)n n n na n n n n n n n n ===+++-++-+22111()211n n n n =--+++， 所以 22111111111()[1]2112(1)12nn k k ka k k k k n n ===-=-<-+++++∑∑． …………………20分13. 已知函数12sin |cos ||sin |)(--+=x x x x f ， （1）求函数)(x f 的最值；（2）如果函数)(x f 在),0(πM 上恰有2014个零点，求M 的取值范围.解 （1）因为)()(x f x f =+π，所以)(x f 是以π为周期的函数，故只需考虑)(x f 在],0[π上的最大值.①当[0,]2x π∈时，令sin cos )4t x x x π=+=+，则[1,t ∈，2()()f x t t u t =-+=，易知()u t 在区间上单调递减，所以，)(x f 的最大值为(1)0u =，最小值为2u =.②当(,]2x ππ∈时，令sin cos )4t x x x π=-=-，则[1,t ∈，2()2()f x t t v t =+-=，易知()v t 在区间上单调递增，所以，)(x f 的最大值为v =(1)0v =.综合可知：函数)(x f 2. …………………10分 （2）因为)(x f 是以π为周期的函数，可以先研究函数)(x f 在(0,]π上的零点个数，易知()0f π=.当(0,]2x π∈时，令2()()f x u t t t ==-+＝0，解得0t =或1.)04t x π=+=在(0,]2π上无解，)14t x π=+=在(0,]2π上仅有一解2x π=.当(,)2x ππ∈时，令()f x =2()20v t t t =+-=，解得2t =-或1.)24t x π=-=-在(,)2ππ上无解，)14t x π=+=在(,)2ππ上也无解.综合可知：函数)(x f 在(0,]π上有两个零点，分别为2x π=和x π=.又因为)(x f 是以π为周期的函数，所以，若*n N ∈，则)(x f 在(0,]n π上恰有2n 个零点. 又已知函数)(x f 在(0,)M π上恰有2014个零点，所以10071007.5M <<. …………………20分。

2013年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题一、填空题（每小题9分，共90分）1、设集合A={1，3，5，7，9}，B ={2，4，6，18}，若C ={a +b | a ∈A ，b ∈B}，则集合C 的所有元素之和为＿＿＿＿ .2、已知数列{a n }满足：a 0 =0， a 1=1，且a 2n =a n ，a 2n +1= a n +1（n ∈N *）,则 a 2013＿＿＿＿.3、设函数f (x)= 2x ，x ≤0 log 2x ，x >0 ，则方程f(x)=12 的解集为＿＿＿＿.4、函数y=1sin x +1cos x+1tan x+1cot x的最小值为＿＿＿＿.5、设0<x<y<π2，则P=cos 2x -cos 2y -4cos x +4cos y 的取值范围是＿＿＿＿.6、设F 为椭圆C :x4+y3=1的右焦点，过椭圆C 外的一点P 作椭圆C 的切线，切点为M ，若PFM =900，则点P 的轨迹方程为＿＿＿＿.7、从集合A={1，2，3，...，30}中取出5个不同的数，使这5个数构成等差数列，则可以得到的不同的等差数列的个数为＿＿＿＿.8、四面体P —ABC 的体积为1，G 和K 分别是∆ABC 和∆PBC 的重心，过G 作直线分别交，AB 、AC 于点M 、N ，那么四棱锥K-MNCB 的体积的最大值为＿＿＿＿.9、已知互不相等的三个实数a 、b 、c 成等比数列，且log c a 、log b c 、log a b 构成公差为d 的等差数列，则d =＿＿＿＿.10、已知a ，b ，c ，d ∈ −1,+∞），且a+b+c+d =0，则ab+bc+cd 的最大值为＿＿＿＿.二、解答题（本题满分60分，每小题20分）11、求函数y=x 2+x 2−1的值域.12、已知数列 a n , b n 满足： a 1=1，b 1=3，a n +1=2+27a n 9a n2+4b n2，b n +1=27bn 9a n2+4bn2，n ∈N ∗. （1）证明：对一切n ∈N ∗，有(a n −1)24+b n 29=1（2）求数列 a n 的通项公式.13、设P(x 0，y 0)为椭圆x 24+y 2=1内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两条直线分别与椭圆交于A 、C 和B 、D ，若AB//CD . (1)证明：直线AB 的斜率为定值；（2）过点P 作AB 的平行线，与椭圆交于E ，F 两点，证明：点P 平分线段EF .解 答1. 1782. 93. −1， 22， ， 4. 2（ +1） 5. （-2，0） 6. x=47. 196 8. 5279. 3210. 5411.易求得函数的定义域为 x x ≥1或x ≤1 .(1)易知函数y=x 2+2−1是 1，+∞ 上的增函数，所以，当x ≥1时，可得y ≥1. (2)当x ≤−1时，y=x (x +2−1)=x 2−1)(x− x 2−1)x− x 2−1)=x− x 2−1=1−2x=1+ 1−12.因为x ≤−1，所以0≤1−1x 2<1，1≤1+ 1−1x 2<2，所以12<1+ 1−12≤1.即12<y ≤1.综上可知：y >12，故函数y=x 2+2−1的值域为（12，+∞）.12.(1)用数学归纳法证明. ①当n =1时，a 1=1，b 1=3,显然有(a 1−1)24+b 129=1；②假设当n=k 时结果成立，即(a k −1)24+b k 29=1成立，则9a k 2+4b k 2=9(2a k +3),那么b k +1=3b k 2a k +3, a k +1-1=1+27b k9(2a k +3)=5a k +32a k +3，所以a k +1−1 24+b k +129=（5a k +3）24（2a k +3）2+b k 2（2a k +3）2=（5a k +3）2+4b k24（2a k +3）2=（5a k +3）2+9(2a k +3−a k 2)4（2a k +3）2=16a k 2+48a k +364（2a k +3）2=1，所以，当n=k+1时结论也成立.综合①、②可知：对一切n ∈N ∗，有(a n −1)24+b n 29=1(2)由（1）知9a n 2+4b n 2=9（2a n +3），所以a n +1=2+27b n9(2an+3)=7a n +62a n+3.易得a n+1-3=a n−32a n+3，a n+1+1=9（a n+1）2a n+3，所以a n+1−3a n+1+1=19⋅a n−3a n+1.又a1=1,递推可求得a n−3a n+1=-19，所以a n=3⋅9n−1−19+1.13.(1)设A（x1，y1）B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），AP=λPC,则x0—x1=λ（x3—x0），y0—y1=λ（y3—y0），所以x3=1+λx0−x1λ，y3=1+λy0−y1λ.因为点C在椭圆上，所以x324+y32=1，即1+λx0−x124λ+1+λy0−y12λ= 1,整理得1+λ2（x024+y02）—121+λ（x0x1+4y0y1）+(x124+y12) =λ2.又点A在椭圆上，所以x124+y12= 1，从而可得1+λ2（x024+y02）—121+λ（x0x1+4y0y1）=λ2—1. ①又因为AB//CD，故有BP=λPD，同理可得1+λ2（x024+y02）—121+λ（x0x2+4y0y2）=λ2—1. ②②—①，得x0（x1—x2）+4y0（y1—y2）= 0.因为x0≠0，,y0≠0,易知AB不与坐标轴平行，所以直线AB的斜率k=y1—y2x1—x2 = -x04y0，为定值.（2）直线EF的方程为y = - x04y0(x—x0)+y0，代入椭圆方程得x02+4y02 16y02⋅x2—x0（x02+4y02）8y02⋅x+x0416y02+x022+y02—1 = 0，所以x E+x F=——x0（x02+4y02）8y02x02+4y0216y02= 2x0，因此点P是EF的中点，即点P平分线段EF.。

1≤i ≤ k
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2