常数项级数的审敛法(2)-2

9.2 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
1、正项级数收敛的充要条件

(1)定义:如果级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为正项级数.
(2)正项级数收敛的充要条件:

如果级数 un为正项级数，则
部分和数列n1{sn}为单调增加数列.
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
n
(n

1) n
lim n (1
1 )n

e
1
n
则级数收敛。
5、根值审敛法（柯西判别法）

定理
对于正项级数
n1
un
,
若
lim
n
n
un

，
则当ρ<1时级数收敛， 当ρ>1时级数发散，
ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
例8 判别下列级数的敛散性
1
(1) n1 (ln n)n
234
n

更一般的结论：交错级数
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
三、条件收敛与绝对收敛
下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …
其中un为任意实数。
1、定理


对于级数 un , 若级数 | un |收敛，
n1
n1
则级数 un也收敛。
n1


当 | un |收敛时，我们称任意项级数 un绝对收敛。
n2 1
n
1

而
1 收敛，
n2
n1

所以
n2 1
ln(1

∞
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )

23
证明
假设级数
1
收敛，
n1 n
且
lim
n
Sn
S
1 n
则
lim
n
S2n
S
于是
lnim(S2n Sn ) S S 0
例1 证明调和级数 1 1 1 1 1
是发散的。
n1 n
23
n
另一方面
S2n
Sn
1 n 1
n
1
2
111 2n 2n 2n
1 1 2n 2
故
lnim(S2n Sn ) 0
一、正项级数的审敛法
如果级数
un u1 u2 un
n1
的每一项都是非负数，即un ≥0(n=1, 2, …) ，则称此级数为 正项级数。
1.比较审敛法
设级数
un
n1
和
n1
vn
都是正项级数，且un
≤vn
(n=1,
2,
…)。
（1）若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
（2）若级数
例5 级数 (1)n sin 1 收敛吗？若收敛，是条件收敛还是绝
对收敛？ n1
n
再考虑每项取绝对值，得级数 sin 1
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
高等数学
1
2n 2n
1
1 2
1
由比较审敛法知，该级数收敛。
例3 判断下列级数的敛散性：
2n 1
(1)
n1
2n
(2) nxn1
n1
(x 0)

收敛.
1 证明 令 vn ( un un ) ( n 1,2,), 2 且 vn un , v n收敛, 显然 vn 0,
又 un ( 2v n un ),
n 1 n 1
un 收敛.
n 1
n 1
上定理的作用： 任意项级数 正项级数
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
6.根值审敛法 (柯西判别法)：
设 un 是正项级数,如果lim n un

( 为数或 ) , 则 1 时级数收敛;
1时级数发散; 1 时失效.
n 1
(2) 令
(n 1) 2 n 1 u n 1 e lim lim n u n n n2 n e 2 1 n 1 1 lim 1 n e n e
7.极限审敛法：
设
un 为正项级数, n 1
n n

如果 lim nun l 0 (或lim nun ), 则级数
u
n 1


n 发散;
如果有 p 1 , 使得lim n p un 存在,
n
则级数
u
n 1
n 收敛.
例 7 判定下列级数的敛散性: 1 (1) ln 1 2 ； (2) n 1 (1 cos ) . n n n 1 n 1
n 1
n 1

n 1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn ,
即部分和数列有界

un收敛. n 1

(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,