广东省江门市2013届高三1月调研测试数学文试题(WORD版)

广东省江门市新会一中2013届高三第一学期第一次检测理科数学试题本试卷共4页，共20题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂试卷类型．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U=R ，集合}01x 3x |x {N },4x |x {M 2<+-=>=，则)N C (M U ⋂等于（ ） A. }2x |x {-< B . }3x 2x |x {≥-<或 C. }3x |x {≥ D. }3x 2|x {<≤-2．与函数)1lg(10-=x y 的图象相同的函数是 （ ）A. 1-=x yB. 1-=x yC.112+-=x x y D. 211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x y 3．若a ∈R ，则2a =是()()120a a --=的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在下列图象中，二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =（ab ）x的图象只可能是（ ）5．对于定义在R 上的函数)(x f y =，若),,(0)()(b a R b a b f a f <∈<•且，则函数)(x f y =在区间),(b a 内（ ）A ．只有一个零点B ．至少有一个零点C ．无零点D ．无法判断6．二次函数()x f 满足()()22+-=+x f x f ，又()30=f ，()12=f ，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是（ ）A. ()+∞,0B. [)+∞,2C. (]2,0D. [2,4]7．设奇函数f (x )的定义域为R , 且)()(x f x f =+4, 当x ] ,[64∈时f (x)＝12+x , 则f (x )在区间] ,[02-上的表达式为（ ）A ．12+=xx f )( B ．124--=+-x x f )( C ．124+=+-x x f )( D ．12+=-x x f )(8. 正实数12,x x 及函数()f x 满足)(1)(14x f x f x-+=，且12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为 ( ) A ． 4B ． 2C ．54 D ．41 第二部分 非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知命题P: “对任何2,220x R x x ∈++>”的否定是_____________________10．函数2()lg(31)f x x =++的定义域是____________ 11．设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________．12．下列命题：（1）梯形的对角线相等；（2）有些实数是无限不循环小数；（3）有一个实数x ，使0322=++x x ；（4）y x y x ≠⇔≠22或y x -≠；（5）命题“b a 、都是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题“若b a +不是偶数，则b a 、都不是偶数”；（6）若p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题；（7）已知c b a 、、是实数，关于x 的不等式02≤++c bx ax 的解集是空集，必有0>a 且0≤∆。

江门市2013年普通高中高三调研测试数 学（文科）试 题本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知全集{}4 3, , 2 , 1 , 0=U ，集合{}3 , 2 , 1=A ，{}4 , 2=B ，则=B A C U )( A ．{} 2 B ．{} 4 C ．{}4 3, , 2 , 1 D ．{}3 , 1 ⒉若) )( 2(i b i ++是实数（i 是虚数单位，b 是实数），则=b A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-⒊已知双曲线12222=-by a x 的两个焦点分别为1F 、2F ，双曲线与坐标轴的两个交点分别为A 、B ，若||35||21AB F F =，则双曲线的离心率=eA ．35B ．45C ．34 D ．38⒋如图1，将一个正三棱柱截去一个三棱锥，得到几何体DEF BC -，则该几何体的正视图（或称主视图）是A ．B ．C ．D ．⒌设命题p ：函数x y 2sin =的最小正周期为2π； 命题q ：函数xxy 212+=是偶函数．则下列判断正确的是 A ．p 为真 B ．q ⌝为真 C ．q p ∧为真 D ．q p ∨为真⒍从等腰直角ABC ∆的斜边AB 上任取一点P ，则APC ∆为锐角三角形的概率是 A ．1 B ．21 C ．31 D ．61保密★启用前 试卷类型：A⒎经过圆0222=+-yxx的圆心且与直线02=+yx平行的直线方程是A．012=-+yx B．022=-+yx C．012=++yx D．022=++yx⒏在一组样本数据),(11yx，),(22yx，…，),(nnyx（2≥n，1x，2x，…，nx互不相等）的散点图中，若所有样本点),(iiyx（1=i，2，…，n）都在直线121-=xy 上，则这组样本数据的样本相关系数为A．1-B．0C．21D．1⒐如图2，平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是AE的中点，若aAB=，bAD=，则=AFA．4121ba+B．2141ba+C．4121ba-D．2141ba-⒑若直线axy=与曲线xy ln=相切，则常数=aA．e B．1C．1-e D．e二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题（11～13题）⒒设)(nf是定义在数集+N上的函数，若对1n∀，+∈Nn2，)()()(2121nfnfnnf=+，则nanf=)(，a为常数。

2013年广东省江门市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）（2013•江门一模）已知函数定义域为M，g（x）=lnx定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x≤1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|0≤x≤1}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先分别求出函数的定义域，再进行交集运算即可．解答：解：∵1﹣x≥0⇒x≤1，∴M=（﹣∞，1]，N=（0，+∞），∴M∩N=（0，1]，故选B点评：本题考查交集及其运算．2．（4分）（2013•江门一模）在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2﹣i（其中，i是虚数单位），如果点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数是（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2+i D．1﹣2i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：先求出点A的坐标，再求出点A关于实轴的对称点为点B的坐标，可得向量对应的复数．解答：解：由题意可得点A的坐标为（2，﹣1），点A关于实轴的对称点为点B（2，1），则向量对应的复数是2+i，故选C．点评：本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．3．（4分）（2013•江门一模）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n，由751≤a n≤1000 求得正整数n的个数，即为所求．解答：解：由1000÷50=20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=8+（n﹣1）20=20n﹣12．由751≤20n﹣12≤1000 解得38.2≤n≤50.6．再由n为正整数可得39≤n≤50，且n∈Z，故做问卷C的人数为12，故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．4．（4分）（2013•江门一模）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）A．72 B．36 C．24 D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面三角形的一边长为6，底面三角形的高为：4，棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：3．所以几何体的体积：=12．故选D．点评：本题考查三视图视图能力与几何体的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．5．（4分）（2013•江门一模）在△ABC中，若，，，则AC=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由已知可先求出C，然后由正弦定理得，，代入即可求解解答：解：∵，，，∴C=则由正弦定理可得，∴AC==4故选D点评：本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础试题6．（4分）（2013•江门一模）若x＞0、y＞0，则x+y＞1是x2+y2＞1的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：取特殊值得到反例，从而说明充分性不成立；利用不等式的性质加以证明，可得必要性成立．由此即可得到本题的答案．解答：解：先看充分性可取x=y=，使x+y＞1成立，而x2+y2＞1不能成立，故充分性不能成立；若x2+y2＞1，因为x＞0、y＞0，所以（x+y）2=x2+y2+2xy＞x2+y2＞1∴x+y＞1成立，故必要性成立综上所述，x+y＞1是x2+y2＞1的必要非充分条件故选：B点评：本题给出两个关于x、y的不等式，求它们之间的充分必要关系，着重考查了不等式的基本性质和充分必要条件的证明等知识，属于基础题．7．（4分）（2013•江门一模）已知x、y满足x2+y2=4，则z=3x﹣4y+5的取值范围是（）A．[﹣5，15]B．[﹣10，10]C．[﹣2，2]D．[0，3]考点：二次函数的性质；函数的值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：函数的性质及应用．分析：把z=3x﹣4y+5变为直线3x﹣4y+5﹣z=0，本题要求直线和圆x2+y2=4有交点，根据圆心到直线的距离小于或等于半径，求得z的范围．解答：解：z=3x﹣4y+5 即直线3x﹣4y+5﹣z=0，由题意可得直线和圆x2+y2=4有交点，故有≤2，化简可得﹣10≤z﹣5≤10，解得﹣5≤z≤15，故选A．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，待定系数法求直线的解析式，利用了数形结合及转化的思想，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键，属于基础题．8．（4分）（2013•江门一模）设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x﹣2x2，则f（x）在区间[0，2013]内零点的个数为（）A．2013 B．2014 C．3020 D．3024。

广州市2013届高三年级1月调研测试数 学（文 科） 2013.1本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数1+i （i 为虚数单位）的模等于AB ． CD ．122．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{ 3．已知函数()2030x x x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 A ．9 B ．19 C ．9- D ．19- 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为A ．56B ．42C ．28D ．14 5．已知e 为自然对数的底数，函数y x =e 的单调递增区间是A . )1,⎡-+∞⎣B ．(1,⎤-∞-⎦C ．)1,⎡+∞⎣D ．(1,⎤-∞⎦ 6．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα7．如图1，程序结束输出s 的值是A ．30B ．55C ．91D ．1408．已知函数()()212fx x x cos cos =-⋅，x ∈R ，则()f x 是A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 9．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b+=表示焦点在x椭圆的概率为 A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 10．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+ 都成立，则实数a 的取值范围是 A. 17,⎡⎤-⎣⎦ B. (3,⎤-∞⎦ C. (7,⎤-∞⎦D. ()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题） 11．已知()fx 是奇函数, ()()4g x f x =+, ()12g =, 则()1f -的值是 .12．已知向量a ，b 都是单位向量，且a b 12=，则2-a b 的值为 . 13．设x x f cos )(1=，定义)(1x f n +为)(x f n 的导数，即)(' )(1x f x f n n =+，n ∈N ，若ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++=，则sin A 的值是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）图3625x 0611y 11988967乙甲14.（几何证明选讲选做题）如图2，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =， 则PC 的长是 .15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是 . 三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （1）求函数)(x f y =的单调递增区间；（2）若43f ()πα-=，求)42(πα+f 的值.17．（本小题满分12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. （1）求x 和y 的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差2s ；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.参考公式：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦， 其中12nx x x x n+++=.18．(本小题满分14分)已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图.侧视DCBAP图5图4（1）求证：AD PC ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积.19．分） 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .20.（本小题满分14分） 已知()fx 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，且()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行. （1）求()fx 的解析式；（2）是否存在t ∈N ，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有两个不等的实数根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合,椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ,53PF =. (1)求椭圆1C 的方程；(2) 若过点()1,0A -的直线与椭圆1C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=成立的动点R 的轨迹方程；(3) 若点R 满足条件（2），点T 是圆()2211x y -+=上的动点，求RT 的最大值.广州市2013届高三年级调研测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．2013-1-103．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．2 12.13. 14. 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1） 解：2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭x x cos sin =+ …………… 1分22x x sin cos ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭4x sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………… 3分由22242k x k ,πππππ-+≤+≤+ …………… 4分解得32244k x k k ,ππππ-+≤≤+∈Z . …………… 5分 ∴)(x f y =的单调递增区间是32244k k k [,],ππππ-++∈Z . ………… 6分 （2）解：由（1）可知)4sin(2 )(π+=x x f ，∴43f ()παα-==，得13sin α=. …………… 8分∴)42(πα+f =22sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ …………… 9分2cos α= …………… 10分()212sin α=- …………… 11分9=. …………… 12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：∵甲班学生的平均分是85，∴92968080857978857x +++++++=. …………… 1分∴5x =. …………… 2分∵乙班学生成绩的中位数是83，∴3y =. …………… 3分 （2）解：甲班7位学生成绩的方差为2s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=. …… 5分FE D CBAP（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， …………… 6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E . …………… 7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D ()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E . …………… 9分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()(),,,,,,,A E B C B D B E . ……………11分 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M ，则()710P M =. 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710. ……………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：依题意，可知点P 在平面ABCD 上的正射影是线段CD 的中点E ，连接PE ， 则PE ⊥平面ABCD . …………… 2分 ∵AD ⊂平面ABCD ，∴AD PE ⊥. …………… 3分∵AD CD ⊥，CDPE E CD ,=⊂平面PCD ，PE ⊂平面PCD ， ∴AD ⊥平面PCD . …………… 5分∵PC ⊂平面PCD ，∴AD PC ⊥. …………… 6分 （2）解：依题意，在等腰三角形PCD 中，3PC PD ==，2DE EC ==， 在R t △PED中，PE ==，…………… 7分过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB PE ⊥. …………… 8分∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EFPE E =， ∴AB ⊥平面PEF . …………… 9分∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥. …………… 10分 依题意得2EF AD ==. …………… 11分 在R t △PEF 中，3PF ==， …………… 12分∴△PAB 的面积为162S AB PF ==. ∴四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积为6. …………… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵}1{+n S 是公比为2的等比数列，∴11112)1(2)1(1--⋅+=⋅+=+n n n a S S . …………… 1分 ∴12)1(11-⋅+=-n n a S .从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a . …………… 3分 ∵2a 是1a 和3a 的等比中项∴)22()1(1121+⋅=+a a a ，解得=1a 或11-=a . …………… 4分 当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列， …………… 5分 ∴=1a .∴12-=n n S . …………… 6分 当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a . …………… 7分 ∵11=a 符合12-=n n a ，∴12-=n n a . …………… 8分 （2）解：∵12n n na n -=， ∴1211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯++. ① …………… 9分21231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++.② …………… 10分①-②得2112222n n n T n --=++++- …………… 11分12212nn n -=-- …………… 12分 =()121nn --. …………… 13分∴()121nn T n =-+. …………… 14分20.（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) （1）解法1：∵()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，∴可设()()5fx ax x =-，0a >. …………… 1分∴25f x ax a /()=-. …………… 2分 ∵函数()fx 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-. …………… 3分∴256a a -=-，解得2a =. …………… 4分 ∴()()225210fx x x x x =-=-. …………… 5分解法2：设()2fx ax bx c =++， ∵不等式()0fx <的解集是()05,，∴方程20ax bx c ++=的两根为05,.∴02550c a b ,=+=. ① …………… 2分 ∵2f x ax b /()=+. 又函数()fx 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-.∴26a b +=-. ② …………… 3分由①②,解得2a =,10b =-. …………… 4分∴()2210fx x x =-. …………… 5分（2）解：由（1）知，方程()370fx x+=等价于方程32210370x x -+=.…………… 6分设()h x=3221037x x -+，则()()26202310hx x x x x /=-=-. …………… 7分当1003x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x /<，函数()h x 在1003,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ……… 8分当103x ,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x />，函数()h x 在103,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. … 9分 ∵()()1013100450327h h h ,,⎛⎫=>=-<=>⎪⎝⎭， …………… 12分 ∴方程()0h x=在区间1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭，1043,⎛⎫⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，在区间()03,,()4,+∞内没有实数根. …………… 13分∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根. …………… 14分21.（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解法1：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-， 设点P 的坐标为()00,x y ，依据抛物线的定义，由53PF =，得01x +53=， 解得023x =. …………… 1分∵ 点P 在抛物线2C 上，且在第一象限，∴ 2002443y x ==⨯，解得03y =.∴点P 的坐标为23⎛⎝⎭. …………… 2分 ∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上， ∴2248193a b +=. …………… 3分又1c =，且22221a b c b =+=+， …………… 4分 解得224,3a b ==.∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …………… 5分 解法2: 抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，设点P 的坐标为()00x y ,,0000x y ,>>. ∵53PF =, ∴()22002519x y -+=. ① …………… 1分 ∵点P 在抛物线22:4C y x =上,∴2004y x =. ②解①②得023x =,0y =.∴点P 的坐标为23⎛⎝⎭. …………… 2分 ∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上， ∴2248193a b +=. …………… 3分又1c =，且22221a b c b =+=+， …………… 4分 解得224,3a b ==.∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …………… 5分 (2)解法1：设点M()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-. ∴()12122,FM FN x x y y +=+-+.∵ FM FN FR +=,∴121221,x x x y y y +-=-+=. ① …………… 6分∵M 、N 在椭圆1C 上， ∴222211221, 1.4343x y x y +=+= 上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=.②把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=. 当12x x ≠时，得()1212314x y y x x y+-=--. ③ …………… 7分 设FR 的中点为Q ，则Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ∵M 、N 、Q 、A 四点共线，∴MNAQ k k =, 即121221312yy y y x x x x -==+-++. ④ …………… 8分 把④式代入③式，得()3134x yx y+=-+， 化简得()2243430y x x +++=. …………… 9分当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=. …………… 10分解法2：当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y k x =+，由()221143y k x x y,,⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +++-=. 设点M()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则2122834k x x k +=-+,()()()1212122611234ky y k x k x k x x k+=+++=++=+.…6分 ∵()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-. ∴()12122,FM FN x x y y +=+-+.∵ FM FN FR +=,∴121221,x x x y y y +-=-+=.∴21228134k x x x k +=+=-+, ①2634ky k=+. ② …………… 7分 ①÷②得()314x k y+=-， ③ …………… 8分把③代入②化简得()2243430y x x +++=. (*) …………… 9分当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x =-, 依题意, 可得点R 的坐标为()3,0-，∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=. …………… 10分(3)解: 由(2)知点R ()x y ,的坐标满足()2243430y x x +++=,即()224343y x x =-++,由20y ≥,得()23430x x -++≥,解得31x -≤≤-. …………… 11分∵圆()2211x y -+=的圆心为()10F ,,半径1r =,∴RF ==12=…………… 12分 ∴当3x =-时,4RF max=, …………… 13分此时,415RT max=+=. …………… 14分。

惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题(文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（S 是锥体的底面积，h 是锥体的高）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1.i 是虚数单位，若(i 1)i z +=，则z 等于（ ）A ．1B ．32C. 22D. 122.已知集合{}11A =-，，{}10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 所有可能取值的集合为（ ） A ．{}1- B ．{}1 C ．{}11-， D ．{}101-，， 3．若a ∈R ，则“3a = ”是“29a = ”的（ ）条件A ．充分且不必要B ．必要且不充分C ．充分且必要D ．既不充分又不必要 4．下列函数是偶函数的是（ ）A ．y sinx =B ．3y x = C ．xy e = D ．2ln 1y x =+5．已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则p q +的值为（ ） A ．5 B ．13 C ．5 D ．136.设{n a } 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，且12380a a a =，则111213a a a ++等于（ ）A ．120B ． 105C ． 90D ．75开始k =k ＝k ＋131n n =+150?n >是否输入n7.已知双曲线22221x y ab-=的一个焦点与抛物线2410y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为（ ） A ．2219yx -= B ．221x y -= 5 C ．2219xy -= D ．22199xy-=8.已知,m n 是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的有（ ） A . m n m n αα若，，则‖‖‖； B . αγβγαβ⊥⊥若，，则‖； C . m m αβαβ若，，则‖‖‖； D . m n m n αα⊥⊥若，，则‖．9.已知幂函数()y f x =的图象过点12()22，，则4log (2)f 的值为（ ）A ．14B ．－14C ．2D ．－210.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长度为d ，则函数()d f l =的图像大致是（ ）二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分） （一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）11． 2sin(),44πα+=则sin 2α= ．12.已知23600x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最大值为_____．13．阅读右图程序框图． 若输入5n =，则输出k 的值为_____．dl Oπ2π2A.d lOπ2π2 B.d l Oπ2π2 C.dlOπ2π2 D.y xOPdl A（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只计第14题的分。

试卷类型：A江门市2009年高考模拟考试数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：⒈答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

⒉选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

⒊非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

⒋作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

⒌考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈设函数)1ln()(x x f -=的定义域为M ，xx x g +-=11)(2的定义域为N ，则=N MA.{}0<x xB.{}10≠>x x x 且C.{}10-≠<x x x 且D.{}10-≠≤x x x 且 ⒉若复数()21i a ⋅+（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=aA.1±B.1-C.0D.1⒊已知)(cos 3sin )(R x x x x f ∈+=，函数)(ϕ+=x f y 的图象关于直线0=x 对称，则ϕ的值可以是 A.2π B.3π C.4π D.6π⒋已知)1 , 1(-A 、)1 , 3(B 、)3 , 1(C ，则ABC ∆的BC 边上的高所在直线方程为A.0=+y xB.02=+-y xC.02=++y xD.0=-y x ⒌已知数列{}n a 的前n 项和22+⨯=n n p S ，{}n a 是等比数列的充要条件是A.1=pB.2=pC.1-=pD.2-=p⒍如图1，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为图1∙ ∙ ∙ ∙ A.24π- B.22-π C.44π- D.42-π ⒎直线1-=kx y 与曲线x y ln =相切，则k =A.0B.1-C.1D.1±⒏某高中在校学生2000人，高一级与高二级人数相同并都比搞三级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：其中a ∶b ∶2=c ∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的5．为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取A.36人B.60人C.24人D.30人⒐已知a 、b 是两异面直线，b a ⊥，点a P ∉且b P ∉．下列命题中，真命题是 A.在上述已知条件下，一定存在平面α，使α∈P ，α//a 且α//b ． B.在上述已知条件下，一定存在平面α，使α∉P ，α⊂a 且α⊥b ． C.在上述已知条件下，一定存在直线c ，使c P ∈，c a //且c b //． D.在上述已知条件下，一定存在直线c ，使c P ∉，c a ⊥且c b ⊥．⒑当函数的自变量取值区间与值域区间相同时，我们称这样的区间为该函数的保值区间．函数的保值区间有] , (m -∞、] , [n m 、) , [∞+n 三种形式．以下四个二次函数图象的对称轴是直线l ，从图象可知，有2个保值区间的函数是二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．㈠必做题（11～13题）⒒如图2，圆心在第二象限，半径为1，并且 与x 、y 轴都相切的圆的方程为 ．⒓n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若11=S ，42=S ，则=n a ．⒔阅读图3的框图，若输入3=m ，则输出=i ． （参考数值：923.62009log 3≈）㈡选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） ⒕（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线(cos 2sin 2)20ρθθ-+=被曲线C ：2=ρ所截得弦的中点的极坐标为 ．⒖（几何证明选讲选选做题）ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G AC DE = ，H AC DF = ．若BC AB 2=，则ADG ∆与CDH ∆的面积之比=∆∆CDHADG S S．三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

江门市2013年高考模拟考试数学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知函数x x f -=1)(定义域为M ，x x g ln )(=定义域为N ，则=N MA ．{}1|≤x xB ．{}10|≤<x xC ．{}10|<<x xD ．{}10|≤≤x x ⒉在复平面内，O 是原点，向量OA 对应的复数是i -2（其中， i 是虚数单位），如果点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB 对应的复数是A ．i --2B ．i +-2C ．i +2D ．i 21-⒊采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 ⒋ 右图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为 A ．72 B ．36 C ．24 D ．12 ⒌在ABC ∆中，若π125=∠A ，π41=∠B ，26=AB ，则=ACA ．3B ．32C ．33D ．34⒍若0>x 、0>y ，则1>+y x 是122>+y x 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 ⒎已知x 、y 满足422=+y x ，则543+-=y x z 的取值范围是A ．] 15 , 5 [-B ．] 10 , 10 [-C ．] 2 , 2 [-D ．] 3 , 0 [ ⒏设)(x f 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当] 1 , 0 [∈x 时，22)(x x x f -=，则)(x fDA 1C 在区间] 2013 , 0 [内零点的个数为A ．2013B ．2014C ．3020D ．3024二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题） ⒐已知数列{}n a 的首项11=a ，若*∈∀N n ，21-=⋅+n n a a ， 则=n a ．⒑执行程序框图，如果输入4=a ，那么输出=n ． ⒒如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内 （含正方体表面）任取一点M ， 则11≥⋅AM AA 的概率=p ．⒓在平面直角坐标系Oxy 中，若双曲线14222=+-m ymx的焦距为8，则=m ．⒔在平面直角坐标系Oxy 中，直线a y =（0>a ）与抛物线2x y =所围成的封闭图形的面积为328，则=a ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）⒕（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系) , (θρ（πθ20<≤）中，曲线2sin =θρ与2cos -=θρ的交点的极坐标为 ．⒖（几何证明选讲选做题）如图，圆O 内的两条弦AB 、CD 相交于P ，4==PB PA ，PC PD 4=．若O 到AB 的 距离为4，则O 到CD 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．⒗（本小题满分12分）已知函数652sin()(π+=x A x f （0>A ，R x ∈）的最小值为2-．⑴求)0(f ；⑵若函数)(x f 的图象向左平移ϕ（0>ϕ）个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称，求ϕ的最小值．DABBCEFG∙∙⒘（本小题满分14分）春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动。

2013年广东省江门市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）（2013•江门一模）已知（x+y﹣3）+（y﹣4）i=0，其中x，y∈R，i是虚数单位，则x=（）A． 1 B．﹣1 C．7 D．﹣7考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：给出的是复数的代数形式，由复数为0，则其实部和虚部都等于0，列方程组可求x的值．解答：解：因为x，y∈R．由（x+y﹣3）+（y﹣4）i=0，得：，解得．所以，x=﹣1．故选B．点评：本题考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．2．（4分）（2013•江门一模）函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：通过解不等式1﹣x＞0，求得函数的定义域．解答：解：∵1﹣x＞0⇒x＜1∴函数的定义域是（﹣∞，1）．故选C点评：本题考查对数函数的定义域．3．（4分）（2013•江门一模）如图是根据某城市部分居民2012年月平均用水量（单位：吨）绘制的样本频率分布直方图，样本数据的分组为[1，2），[2，3），[3，4），…，[6，7]．已知样本中月均用水量低于4吨的户数为102，则样本中月均用水量不低于4吨的户数为（）A．168 B．178 C．188 D．198考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量低于4吨的频率，结合样本容量=，可求出样本容量，结合所有各组累积频率为1，可求出月均用水量不低于4吨的频率，进而得到月均用水量不低于4吨的户数．解答：解：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量低于4吨的频率为0.10+0.12+0.12=0.34又∵月均用水量低于4吨的户数为102，故样本容量==300则月均用水量不低于4吨的频率为1﹣0.34=0.66样本中月均用水量不低于4吨的户数为300×0.66=198户故选D点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，熟练掌握公式：样本容量=，是解答的关键．4．（4分）（2013•江门一模）以（1，0）为圆心，且与直线x﹣y+3=0相切的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+y2=8 B．（x+1）2+y2=8 C．（x﹣1）2+y2=16 D．（x+1）2+y2=16考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：以（1，0）为圆心，可排除一部分，利用点到直线间的距离公式可求圆的半径，从而得到答案．解答：解：∵所求圆的圆心坐标为M（1，0），∴可排除B，D；∵所求圆与直线x﹣y+3=0相切，∴圆心M（1，0）到直线x﹣y+3=0的距离即为该圆的半径r，即r==2≠4，可排除C；∴所求圆的方程为：（x﹣1）2+y2==8．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，求得圆的半径是关键，属于基础题．5．（4分）（2013•江门一模）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题：①若m⊂α，α∥β，则m∥β②若m、n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β③若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β其中，正确命题的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：命题的真假判断与应用；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：根据面面平行的性质判断①的正确性；根据面面平行判定定理的条件，判断②是否正确；根据面面平行的性质与线面垂直的判定，判断③是否正确；结合图形判断④是否正确．解答：解：根据面面平行的性质α∥β，a⊂α⇒a∥β，①正确；∵直线m、n不一定相交，∴α、β不一定平行，故②错误；∵m⊥α，m⊥β，∴α∥β，又n⊥α，∴n⊥β，故③正确；∵α⊥γ，β⊥γ，α、β位置关系不确定，∴④不正确．故选B点评：本题借助考查命题的真假判断，考查线面平行、垂直的判定与性质．6．（4分）（2013•江门一模）已知ABCD是边长为2的正方形，E、F分别是BC、CD的中点，则=（）A． 6 B． 5 C． 4 D． 3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据直角三角形中的边角关系求得tan∠EAN 和tan∠FAD 的值，由两角和的正切公式求得tan（∠EAB+∠FAD）的值，进而利用诱导公式求得tan∠EAF，进而求得cos∠EAF的值，由此求得=AE•AF•cos∠EAF 的值．解答：解：由题意可得AE=AF==，tan∠EAN=tan∠FAD=，∴tan（∠EAB+∠FAD）===，∴tan∠EAF=tan[90°﹣（∠EAB+∠FAD）]=cot（∠EAB+∠FAD）=．故cos∠EAF=，则=AE•AF•cos∠EAF=••=4，故选C．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，直角三角形中的边角关系，两角和的正切公式，诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题．7．（4分）（2013•江门一模）执行程序框图，如果输入n=5，那么输出的p=（）A．24 B．120 C．720 D．1440考点：循环结构．专题：操作型．分析：通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．解答：解：如果输入的n是5，由循环变量k初值为1，那么：经过第一次循环得到p=1，满足k＜n，继续循环，k=2，经过第二次循环得到p=2，满足k＜n，继续循环，k=3经过第三次循环得到p=6，满足k＜n，继续循环，k=4经过第四次循环得到p=24，满足k＜n，继续循环，k=5经过第五循环得到p=120，不满足k＜n，退出循环此时输出p值为120故选B．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律．8．（4分）（2013•江门一模）已知函数f（x）=ax2﹣bx﹣1，其中a∈（0，2]，b∈（0，2]，在其取值范围内任取实数a、b，则函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由已知中a∈（0，2]，b∈（0，2]，可求出SΩ，进而根据函数f（x）=ax2﹣bx﹣1的图象是开口朝上，且以x=为对称轴的抛物线，可得函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数时，a∈（0，2]，b∈（0，2]，b≤2a，进而求出S A，代入几何概型概率公式，可得答案．解答：解：∵Ω={（a，b）|a∈（0，2]，b∈（0，2]}，∴SΩ=2×2=4则函数f（x）=ax2﹣bx﹣1的图象是开口朝上，且以x=为对称轴的抛物线，记“函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数”为事件A则A={（a，b）|a∈（0，2]，b∈（0，2]，≤1}={（a，b）|a∈（0，2]，b∈（0，2]，b≤2a}，如图所示：则SA=（1+2）×2=3∴P（A）==故函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数的概率为故选D点评：本题考查的知识点是几何概型，几何概型分长度类，面积类，角度类，体积类，解答的关键是根据已知计算出所有基本事件对应的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量9．（4分）（2013•江门一模）等轴双曲线Σ的中心在原点，焦点在x轴上，Σ与抛物线的准线交于P、Q两点，若|PQ|=4，则Σ的实轴长为（）A．B．3C．2D．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出双曲线Σ方程，求出抛物线的准线方程，利用|PQ|=4，即可求得结论．解答：解：设等轴双曲线Σ的方程为x2﹣y2=λ．（1）∵抛物线x2=4y，2p=4，p=2，∴=1．∴抛物线的准线方程为y=﹣1．设等轴双曲线Σ与抛物线的准线y=﹣1的两个交点A（x，﹣1），B（﹣x，﹣1）（x ＞0），则|PQ|=|x﹣（﹣x）|=2x=4，∴x=2．将x=2，y=﹣1代入（1），得22﹣（﹣1）2=λ，∴λ=3∴等轴双曲线Σ的方程为x2﹣y2=3，∴实轴长为2．故选A．点评：本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（4分）（2013•江门一模）设命题p：函数的图象向左平移单位得到的曲线关于y轴对称；命题q：函数y=|3x﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（）A．p为假B．¬q为真C．p∧q为假D．p∨q为真考点：命题的真假判断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：阅读型．分析：根据函数y=sin（2x+）的图象变换规律判断命题P是否正确；将含有绝对值符合的函数转化为分段函数求单调区间，来判断命题q是否正确；再利用复合命题真值表分析求解．解答：解：∵函数的图象向左平移单位得到的函数是y=sin（2x+），函数不是偶函数，∴命题P错误；∵函数y=|3x﹣1|=，∴函数在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，故命题q错误．根据复合命题真值表，A正确；B正确；C正确；D错误．故选D点评：本题借助考查命题的真假判断，考查函数y=sin（2x+）的图象变换规律及指数函数的单调性．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分25分.11．（5分）（2013•江门一模）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元） 4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 54根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5万元．考点：回归分析的初步应用．专题：图表型．分析：首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．解答：解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故答案为：65.5万元．点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，本题解答关键是利用线性回归直线必定经过样本中心点．12．（5分）（2013•江门一模）已知△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=6且C=60°，则△ABC的面积S=．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：利用条件（a+b）2﹣c2=6且C=60°，结合余弦定理可得c2=a2+b2﹣ab，可得ab=2，由此求得△ABC的面积S=ab•sinC的值．解答：解：已知△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=6且C=60°，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC=a2+b2﹣ab，化简可得ab=2．则△ABC的面积S=ab•sinC=sin60°=，故答案为．点评：本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式，求得AB=2是解题的关键，属于中档题．13．（5分）（2013•江门一模）观察下列各式：52﹣1=24，72﹣1=48，112﹣1=120，132﹣1=168…，所得结果都是24的倍数．依此类推：∀n∈N*，（6n﹣1）2﹣1、（6n+1）2﹣1或其他等价代数式是24的倍数．（本题填写一个适当的关于n的代数式即可）考点：归纳推理．专题：规律型．分析：仔细观察每一个等式，用含有n的式子表示出等号左边的数，即可表示出24的倍数．解答：解：∵52﹣1=24，72﹣1=48，112﹣1=120，132﹣1=168…，即：（6×1﹣1）2﹣1=24，（6×1+1）2﹣1=48，（6×2﹣1）2﹣1=120，（6×2+1）2﹣1=168…，∴（6n﹣1）2﹣1、（6n+1）2﹣1是24的倍数，即故答案为：（6n﹣1）2﹣1、（6n+1）2﹣1或其他等价代数式．点评：本题考查了数字的变化，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．14．（5分）（2013•江门一模）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程是（φ为参数，0≤φ＜2π），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先求出曲线C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得极坐标方程．解答：解：由（φ为参数，0≤φ＜2π），得，两式平方后相加得（x﹣1）2+y2=1，…（4分）∴曲线C是以（1，0）为圆心，半径等于的圆．令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入并整理得ρ=2cosθ．即曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ．…（10分）故答案为：ρ=2cosθ．点评：本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ=．15．（5分）（2013•江门一模）（几何证明选讲选做题）如图，AB为圆O的直径，C为圆O 上一点，CD为圆O的切线，AD⊥CD．若AB=5，AC=4，则AD=．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；直线与圆．分析：利用弦切角定理及圆的性质、相似三角形的判定与性质即可得出．解答：解：连接BC，∵CD为圆O的切线，∴∠ACD=∠CBA．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB．∴，∵AB=5，AC=4，∴=．故答案为．点评：熟练掌握弦切角定理及圆的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分85分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（14分）（2013•江门一模）已知函数f（x）=2sinx•cosx+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求f（x）的最大值；（2）若点P（﹣3，4）在角α的终边上，求的值．考点：二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）先利用辅助角公式对已知函数化简，结合正弦函数的性质即可求解函数的最大值（2）结合（1）及诱导公式对已知函数化简，结合三角函数的定义即可求解解答：解：（1）f（x）=sin2x+cos2x…（2分）=…（5分）所以f（x）的最大值为…（6分）．（2）由（1）得…（7分） =…（8分）P （﹣3，4）在角α的终边上，…（10分） 所以…（11分） =…（12分）．点评： 本题主要考查了辅助角公式，诱导公式及三角函数的定义的简单应用，属于基础试题17．（16分）（2013•江门一模）甲、乙两药厂生产同一型号药品，在某次质量检测中，两厂各有5份样品送检，检测的平均得分相等（检测满分为100分，得分高低反映该样品综合质量的高低）．成绩统计用茎叶图表示如图：（1）求a ；（2）某医院计划采购一批该型号药品，从质量的稳定性角度考虑，你认为采购哪个药厂的产品比较合适？（3）检测单位从甲厂送检的样品中任取两份作进一步分析，在抽取的两份样品中，求至少有一份得分在（90，100]之间的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析： （1）由两厂送检的5份样品，检测的平均得分相等，可构造关于a 的方程，解方程可得a 值； （2）由（1）可得两厂送检的5份样品，检测的平均得分均为90，代入方差计算公式，求出方差后，比较方差小的数据更稳定，采购其产品比较合适（3）用列举法计算“从甲厂送检的样品中任取两份”的基本事件总数及满足条件“至少有一份得分在（90，100]之间”的基本事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案． 解答：解：（1）依题意，=90…（2分） 解得a=3…（3分）．（2）∵==90∴…（5分），…（7分） ∵，∴从质量的稳定性角度考虑，采购甲药厂的产品比较合适…（8分）． （3）从甲厂的样品中任取两份的所有结果有： （88，89），（88，90），（88，91），（88，92），（89，90）， （89，91），（89，92），（90，91），（90，92），（91，92）…（10分）， 共10种…（11分），其中至少有一份得分在（90，100]之间的所有结果有： （88，91），（88，92），（89，91），（89，92），（90，91）， （90，92），（91，92）…（12分）， 共7种…（13分），所以在抽取的样品中，至少有一份分数在（90，100]之间的概率…（14分）． 点评： 本题考查的知识点是列举法计算基本事件个数及事件发生的概率，解答的关键是列举出基本事件总数及满足条件的基本事件的个数． 18．（15分）（2013•江门一模）如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上除A 、B 外的一点，△AED 在平面ABC 的投影恰好是△ABC ．已知CD=BE ，AB=4，． （1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当三棱锥C ﹣ADE 体积最大时，求三棱锥C ﹣ADE 的高．考点： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 空间位置关系与距离．分析： （1）要证两个面相互垂直，可证平面ADE 经过平面ACD 的一条垂线DE ，根据，△AED 在平面ABC 的投影恰好是△ABC ，说明CD 和BE 都垂直于底面ABC ，又CD=BE ，可证DE ∥BC ，利用线面垂直的判定定理可证BC ⊥面ACD ，从而使问题得证； （2）把三棱锥C ﹣ADE 体积转化为三棱锥E ﹣ACD 的体积，写出体积公式后利用基本不等式求体积最大值，并且得到使体积最大时的多面体A ﹣BEDC 的确切形状，然后利用等积法可求三棱锥C ﹣ADE 的高．解答：（1）证明：因为AB是直径，所以BC⊥AC，因为△ABC是△AED的投影，所以CD⊥平面ABC，则CD⊥BC，因为CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD，因为CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，所以CD∥BE，又因为CD=BE，所以BCDE是平行四边形，∴BC∥DE，则DE⊥平面ACD，因为DE⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD；（2）在直角三角形AEB中，EB=AB•tan∠EAB=4×=1，由（1）知===，等号当且仅当时成立，此时，，，设三棱锥C﹣ADE的高为h，则，∴．∴．所以，当三棱锥C﹣ADE体积最大时，三棱锥C﹣ADE的高为．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，训练了利用基本不等式求最值，求棱锥体积最大时的棱锥的高时，运用了等积法，体现了数学转化思想，属于中档题．19．（12分）（2013•江门一模）如图，椭圆Σ：（a＞b＞0）的离心率，椭圆的顶点A、B、C、D围成的菱形ABCD的面积S=4．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆Σ相交于M、N两点，在椭圆是否存在点P、Q，使四边形PMQN为菱形？若存在，求PQ的长；若不存在，简要说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用椭圆的离心率及a，b，c的关系、菱形的面积公式即可得出；（2）利用椭圆的对称性、线段的垂直平分线的性质、菱形的定义、两点间的距离公式．解答：解：（1）依题意，从而，a=2b．又==4，即ab=2，联立，解得a=2，b=1，∴椭圆的标准方程为．（2）存在．由直线可得，根据椭圆的对称性，当直线PQ是线段MN的垂直平分线时，PMQN为菱形，∴，∴PQ所在直线的方程为．联立解得，．∴，，∴|PQ|==．点评：熟练掌握椭圆的对称性、离心率及a，b，c的关系、线段的垂直平分线的性质、菱形的定义菱形的面积公式、两点间的距离公式是解题的关键．20．（14分）（2013•江门一模）广东某企业转型升级生产某款新产品，每天生产的固定成本为10000元，每生产1吨，成本增加240元．已知该产品日产量不超过600吨，销售量f（x）（单位：吨）与产量x（单位：吨）之间的关系为，每吨产品售价为400元．（1）写出该企业日销售利润g（x）（单位：元）与产量x之间的关系式；（2）求该企业日销售利润的最大值．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由销售量f（x）（单位：吨）与产量x（单位：吨）之间的关系为，每吨产品售价为400元，可计算销售收入，再由每天生产的固定成本为10000元，每生产1吨，成本增加240元，计算出成本，根据日销售利润=销售收入﹣成本得到函数的解析式．（2）根据（1）中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，分析求出两段上函数的最大值，比较后，可得答案．解答：解：（1）当0≤x≤480时，…（1分）=…（2分）当480＜x≤600时，…（4分），所以…（6分）（2）当0≤x≤480时，…（8分），因为，320∈[0，480]，所以当x=320时，g（x）取得最大值15600元…（10分）；当480＜x≤600时，g（x）=40x﹣10000，因为40＞0，所以当x=600时，g（x）取得最大值40×600﹣10000=14000元…（12分）．因为15600＞14000，所以该企业日销售利润最大为15600元…（13分）．点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中根据已知，结合日销售利润=销售收入﹣成本得到函数的解析式是解答的关键．21．（14分）（2013•江门一模）（1）证明：对∀x＞0，lnx≤x﹣1；（2）数列{a n}，若存在常数M＞0，∀n∈N*，都有a n＜M，则称数列{a n}有上界．已知，试判断数列{b n}是否有上界．考点：全称命题．专题：规律型．分析：（1）先设g（x）=lnx﹣（x﹣1）=lnx﹣x+1，利用导数研究它的单调性，得出g（x）在x=1处取最大值，即可证得结论；（2）假设，从而得出，由（1）得，即，再利用∀M＞0，取n为任意一个不小于e M的自然数，则，从而得出数列{b n}无上界．解答：证：（1）设g（x）=lnx﹣（x﹣1）=lnx﹣x+1，∀x＞0.…（1分），解g′（x）=0得x=1…（2分）．当0＜x＜1时，，g（x）单调递增…（3分）；当x＞1时，，g（x）单调递减…（4分），所以g（x）在x=1处取最大值，即∀x＞0，g（x）≤g（1）=ln1﹣1+1=0，lnx≤x﹣1…（6分）（2）数列{b n}无上界…（7分）∀n∈N*，设…（8分），，由（1）得，…（10分），所以=ln（n+1）…（13分），∀M＞0，取n为任意一个不小于e M的自然数，则，数列{b n}无上界…（14分）．点评：本题主要考查全称命题、数列的通项公式在求解中的应用，及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．。

试卷类型：A绝密★启用前2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）2013.2本试卷共6 页，21 小题，满分150 分．考试用时120 分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考结论：1三棱锥的体积公式：V =Sh ，其中V,S,h 分别是三棱锥的体积、底面积和高；3回归直线的方程是：y =bx +a ，n∑( x i-x)(y i-其中：b =i=1, a =y -bx ．n∑(x i-x)2i=1一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，满分50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则（1-i）2=A．2i B．-2i C．2D．-22．已知集合 A = {x ∈ R | x < 7} ， B = {1，2，3，4} ，则（ A ）∩ B =R 2B ． {2，3，4}D ． {4}A ． {1，2，3，4}C ． {3，4}π3．下列函数中，最小正周期为 的是2Ａ． y = tan xＣ． y = cos xＢ． y = sin 2xＤ． y = cos 4x244．设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时， f (x ) = log 3 (1 + x ) ，则 f (- 2) A ． -15．下列命题为真命题的是Ｂ． -3 Ｃ．1 Ｄ． 3A ．若 p ∨ q 为真命题，则 p ∧ q 为真命题．B ．“ x = 5 ”是“ x 2 - 4x - 5 = 0 ”的充分不必要条件．C ．命题“若 x < -1 ，则 x 2 - 2x - 3 > 0 ”的否命题为：“若 x < -1 ，则 x 2 - 2x - 3 ≤ 0 ”．D ．已知命题 p ： ∃x ∈ R ，使得 x 2 + x - 1 < 0 ，则 ⌝p ： ∀x ∈ R ，使得 x 2 + x - 1 > 0 ．A Ｂ Ｃ Ｄ（第 6 题图）7．某容量为 180 的样本的频率分布直方图共有 n (n > 1)个小矩形，若第一个小矩形的面积1等于其余 n - 1 个小矩形的面积之和的 5 ，则第一个小矩形对应的频数是A ． 20B ． 25C ． 30D ． 358．等差数列 {a n } 中，已知 a 5 > 0 ， a 4 + a 7 < 0 ，则 {a n } 的前 n 项和 S n 的最大值A ． S 7B ． S 6C ． S 5D ． S 4229．已知抛物线 y 2= 2 p x （p > 0）与双曲线 x - y = 1（a > 0, b > 0）的一条渐近线交于一点 2 2 a bM （1, m ），点 M 到抛物线焦点的距离为 3 ，则双曲线的离心率等于 1C ．1 D ．A ． 3B ． 44310．已知 x > 0 ， y > 0 ，且 4xy - x - 2 y = 4 ，则 xy 的最小值为 B ． CD ． 2A ． 2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须做答．11．运行如图所示的程序框图，输出的结果是．（第 11 题图）⎧ x - y + 2 ≤ 0,⎪y12．已知变量 x ，y 满足约束条件 ⎨ x ≥ 1, 则 的取值范围是 ．x ⎪2x + y - 8 ≤ 0. ⎩13．在平面直角坐标系 xOy 中，定点 A （4, 3）且动点 B （m , 0）在 x 轴的正半轴上移动，m的最大值为 ． AB（二）选做题：第14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 ⎧ x = 1 + t,（参数 t ∈ R ），若以 O ⎨⎩y = 4 - 2t. 为极点， x 轴的正半轴为极轴，曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 4s i n θ ，则直线 l 被曲线 C 所截得的弦长为．15．如图， PA 是 ⊙O 的切线， A 为切点，直线 PB 交 ⊙O于 D 、B 两点，交弦 AC 于 E 点，且 AE = 4 ，EC = 3 ，BE = 6 ， PE = 6 ，则 AP =．(第 15 题三、解答题：本大题 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分 12 分）3在平面直角坐标系 xOy 中，M （sin 2 θ , 1），N （1, - 2 cos 2 θ）（ θ ∈ R ），且 O M ⋅ O N = 2（1）求点 M , N 的坐标；（2）若角 α , β 的顶点都为坐标原点且始边都与 x 轴的非负半轴重合，终边分别经过点M , N ，求α β 的值.17．（本小题满分 12 分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成ˆ 绩高于 90分的概率；（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程 y = bx+ a ．（第 17 题图）学生 A 1A 2 A 3 A 4 A 5 数学（ x 分） 89 91 93 95 97 物理（ y 分）878989929318．（本小题满分 14 分）π 如图甲， ⊙O 的直径 AB = 2 ，圆上两点 C 、D 在直径 AB 的两侧，使 ∠CAB = ∠DAB =π．沿直径 AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）， F 为 BC 的中 3点， E 为 AO 的中点．根据图乙解答下列各题： （1）求三 棱锥 C - BOD 的体积；（2）求证： CB ⊥ DE ；（3）在 BD上是否存在一点 G ，使得 FG // 平面 ACD ？若存在，试确定点 G 的位置；若不 存在，请说明理由．CB（第 18 题图甲） （第 18 题图乙）19．（本题满分 14 分）设 {a n } 是公比大于 1 的等比数列， S n 为数列 {a n } 的前 n 项和．已知 S 3 = 7 ，且 3a 2 是 a 1 + 3 和 a 3 + 4 的等差中项．（1）求数列 {a n } 的通项公式；a 1，数列 {b } 的前 n 项和为T n ，求证： T n < 2 ． （2）设 b n = n n (a n + 1 )(a n +1 + 1 )20．（本题满分 14 分） 已知椭圆 C 的中心为原点 O ，焦点在 x ，且点（1,在该椭圆上．（1）求椭圆 C 的方程；（2）如图，椭圆 C 的长轴为 AB ，设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点， PH ⊥ x 轴，为垂足，点 Q 满足 PQ = HP ，直线 AQ 与过点 B 且垂直于 x 轴的直线交于点 B M = 4 B N．求证： ∠OQN 为锐角．（第 20 题图）21．（本小题满分 14 分）已知函数 （f x ）= a x + x 2 - x ln a - b （a , b ∈ R , a > 1）， e 是自然对数的底数． （1）试判断函数 （f x ）在区间（0, + ∞）上的单调性；（2）当 a = e ， b = 4 时，求整数 k 的值，使得函数 （f x ）在区间（k , k + 1）上存在零点； （3）若存在 x 1 , x 2 ∈[-1, 1]，使得 | （f x 1）- （f x 2）|≥ e - 1 ，试求 a 的取值范围．2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）试卷第 6 页 共 6页2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．11．63. 12．[26]，. 13．53． 14．5． 15．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，2 sin ,1M θ（ ），2 1,2cos N θ-（ ）（θ∈R ），且32OM ON ⋅=-. （1）求点,M N 的坐标；（2）若角,αβ的顶点都为坐标原点且始边都与x 轴的非负半轴重合，终边分别经过点,M N ，求tan αβ+()的值.解：(1)3,2OM ON ⋅=- 223sin 2cos ,2θθ∴-=-………………….2分 223sin 2(1sin ),2θθ∴--=-解得21sin 6θ=，25cos 6θ=所以1(,1)6M ，5(1,)3N - ………………….6分（2）由（1）可知1(,1)6M ，5(1,)3N -tan 6α∴=，5tan 3β=- ……………………………….10分tan tan tan()1tan tan αβαβαβ+∴+=-⋅563516()3-=-⨯-1333=……………………………….12分 【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向量的有关知识.考查了运算能力． 17．（本小题满分12分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率； （2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程ˆy bx a =+．解：（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为:45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 、12(,)A A 、13(,)A A 、23(,)A A 共种情10况.………3分其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 共7种情况，故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于90分的概率7P 10=. …………………………………………5分 （2）散点图如右所示. ……………………………………………6分可求得： x =59795939189++++=93，y =59392898987++++=90， ……………………………………………8分51()()30iii x x y y =--=∑∑=-51i 2i)x x (=22222420)2()4(+++-+-=40，3040b ==0.75，a y bx =-=20.25， ……………………………………………11分故y 关于x 的线性回归方程是：ˆ0.7520.25yx =+. ……………………………………………12分 【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．18．（本小题满分14分）如图甲，O ⊙的直径2AB =，圆上两点C D 、在直径AB 的两侧，使4CAB π∠=，3DAB π∠=．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，E 为AO 的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥C BOD -的体积； （2）求证：CB DE ⊥；（3）在BD 上是否存在一点G ，使得//FG 平面ACD ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．解:（1）C 为圆周上一点，且AB 为直径，90C ∴∠=︒ ,4CAB π∠=,AC BC ∴=∵O 为AB 中点，CO AB ∴⊥，2,1AB CO =∴=.∵两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， ∴CO ⊥平面ABD ，CO ∴⊥平面BOD . A BCOD·(第18题图甲)A BFO D·(第18题图乙)·E G在Rt ABD ∆中，11112224BOD ABD S S ∆∆==⨯⨯=，11133C BOD BOD V S CO -∆∴=⋅==………………………………………4分（2）在AOD ∆中，60,,OAD OA OD ∠=︒=AOD ∴∆为正三角形，又E 为OA 的中点，DE AO ∴⊥，∵两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， DE ∴⊥平面ABC .∴CB DE ⊥. ………………………………………9分（3）存在，G 为BD 的中点.证明如下： 连接,,OG OF FG ，∴OG BD ⊥，∵AB 为⊙O 的直径， ∴AD BD ⊥ ∴//OG AD ，OG ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ， ∴OG //平面ACD .在ABC ∆中，,O F 分别为,AB BC 的中点，//OF AC ∴，OF ⊄平面ACD ，//OF ∴平面ACD ，,OG OF O =∴平面//OFG 平面ACD ，又FG ⊂平面OFG ，//FG ∴平面ACD .………………………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力． 19．（本题满分14分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且23a 是 13a +和34a +的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设111n n n n a b a a +=++()()，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <．解：（1）由已知，得1231327(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，………………………………………3分解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，则12a q =， ∴213122a a a q q q===，． 由37S =，可知2227q q ++=， ∴22520q q -+=， 解得12122q q ==，． 由题意，得12q q >∴=，． …………………………………………………5分∴11a =．故数列{}n a 的通项为12n n a -=． …………………………………………………7分(2)∵1(1)(1)n n n n a b a a +=++112(21)(21)n n n --=++1112121n n -=-++， …………11分 ∴n S 112231111111111121212121212121n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111121n =-++11221n =-+12<.……………………………………………14分【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学生的运算能力和思维能力．20．（本题满分14分）已知椭圆C 的中心为原点O ，焦点在x ，且点1,（在该椭圆上． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，椭圆C 的长轴为AB ，设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，点Q满足PQ HP =，直线AQ 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M ，4BM BN =．求证：OQN ∠为锐角．20．解：（1）设椭圆C 的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得2c e a == , 又222c b a +=，∴224b a =. …………………………………………2分 ∵椭圆C经过，代入椭圆方程有 2231414b b +=， 解得21b =. …………………………………………5分∴24a =， 故椭圆C 的方程为 2214x y +=. …………………………………………6分 （2）设()00,P x y 0(22)x -<<， …………………………………………7分 ∵()2,0A -，∵PQ HP =，∴()00,2Q x y ，∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++． …………………………………………9分 令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． ∵()2,0B ，4BM BN =， ∴002,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． ∴()00,2QO x y =--，00002(1)2,2y x QN x x ⎛⎫-+=- ⎪+⎝⎭． ∴()()2000000000002(1)4(1)2(2)222y x y x QO QN x x y x x x x -++⋅=--+-⋅=-+++∵220014x y +=， ∴220044y x =-∴02QO QN x ⋅=- …………………………………………12分∵022x -<<，∴020QO QN x ⋅=->．又O 、Q 、N 不在同一条直线，∴OQN ∠为锐角. …………………………………………………14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．21．（本小题满分14分）已知函数2ln , , 1x f x a x x a b a b a =+-- ∈>R （）（），e 是自然对数的底数．（1）试判断函数f x （）在区间0, +∞（）上的单调性； （2）当e a =，4b =时，求整数k 的值，使得函数f x （）在区间, 1k k +（）上存在零点； （3）若存在12, 1, 1x x ∈-[]，使得12||e 1f x f x -≥-（）（），试求a 的取值范围． 解：（1）()ln 2ln 2(1)ln x xf x a a x a x a a '=+-=+- …………………………1分由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x a a >->，所以()0f x '>，…………2分 故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 . …………………………………………3分（2）2()4x f x e x x =+--，'()21xf x e x ∴=+-， (0)0f '∴=， ……………………………………4分当0x >时，1xe >，()0f x '∴>，故()f x 是(0,)+∞上的增函数；同理，()f x 是(,0)-∞上的减函数. …………………………………5分 2(0)30,(1)40,(2)20f f e f e =-<=-<=->，当2x >，()0f x >，故当0x >时，函数()f x 的零点在(1,2)内，1k ∴=满足条件；211(0)30,(1)20,(2)20f f f e e=-<-=-<-=+>，当2x <-，()0f x >， 故当0x <时，函数()f x 的零点在(2,1)--内，2k ∴=-满足条件.综上所述 1k =或2-. ………………………………………7分（3）2()ln x f x a x x a b =+--，因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1x ∈-时，m a x m i n m a x |()()|()()1f x f x f x f x e -=-≥- …………………………8分()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-，①当0x >时，由1a >，可知10x a ->，ln 0a >，∴()0f x '>；②当0x <时，由1a >，可知 10x a -<，ln 0a >，∴()0f x '<；③当0x =时，()0f x '=.∴()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，…………………………………11分∴当[1,1]x ∈-时，{}min max ()(0)1,()max (1),(1)f x f b f x f f ==-=-， 而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a b a b a a a a --=+---++-=--， 设1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t'=+-=-≥（当1t =时取等号）， ∴1()2ln g t t t t=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =， ∴当1t >时，()0g t >，∴当1a >时，12ln 0a a a-->， ∴(1)(1)f f >-，∴(1)(0)1f f e -≥-，∴ln 1a a e -≥-，即ln ln a a e e -≥-，设()ln (1)h a a a a =->，则 11()10a h a a a -'=-=>.∴函数()ln (1)h a a a a =->在(1,)+∞上为增函数，∴a e ≥.即a 的取值范围是[),e +∞……………………………………14分【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.。

江门市2013年高考数学文科模拟考试（）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．如果事件、互斥，那么．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知，其中，，是虚数单位，则A．B．C．D．⒉函数的定义域是A．B．C．D．⒊如图是根据某城市部分居民2012年月平均用水量(单位：吨)绘制的样本频率分布直方图，样本数据的分组为[1，2），[2，3），[3，4），……，[6，7]．已知样本中月均用水量低于4吨的户数为102，则样本中月均用水量不低于4吨的户数为A．168 B．178 C．188 D．198⒋以为圆心，且与直线相切的圆的方程是A．B．C．D．⒌设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面。

给出下列四个命题：①若，，则②若、，，，则③若，，，则④若，，，则其中，正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．4⒍已知是边长为2的正方形，、分别是、的中点，则A．B．C．D．⒎执行程序框图，如果输入，那么输出的A．24 B．120 C．720 D．1440⒏已知函数，其中，，在其取值范围内任取实数、，则函数在区间上为增函数的概率为A．B．C．D．⒐等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于、两点，若，则的实轴长为A．B．C．D．⒑设命题：函数的图象向左平移单位得到的曲线关于轴对称；命题：函数在上是增函数．则下列判断错误的是A．为假B．为真C．为假D．为真二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题（11～13题）⒒某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元）2 3 4 5销售额（万元）20 33 43 48根据上表数据用最小二乘法求得关于的线性回归方程中，，则据此模型预测，广告费用为万元时，销售额约为．⒓已知的内角、、所对的边、、满足且，则的面积．⒔观察下列各式：，，，……，所得结果都是的倍数。