如何对几何习题拓展变式

初中几何教学中习题变式的应用探析摘要：文章通过阐述初中几何概念和习题变式的内涵，讲述了我国目前初中几何教学的不良现状，介绍了习题变式在初中几何教学中应用的主要体现和应用过程中的问题，经分析原因提出了有效建议，从而达到初中几何教学的教学目的，促进初中几何教学的进步。

关键词：初中几何教学习题变式应用初中教学是国家整个教育体系的重要阶段，初中几何教学更是初中数学教学的重要组成部分。

随着国家教育体制和高考几何考试试题的不断改革创新，使得习题变式的现代教学法广泛应用到数学教学的几何教学中，促使教师改进施教理念和方法、学生提高几何学习的积极性，进而促进了初中几何教学模式的进步和教学水平的提高。

一、初中几何概念以及初中几何教学现状1.几何是主要研究空间结构及其性质的一门数学学科，它与代数、分析同样是数学最基本的内容。

而初中几何是初中数学教学中的重要部分，对于初中几何教学来说，几何例题和习题的解题技巧与规律是其重要的教学目标和任务。

通过初中几何的教学，要使得学生掌握日常生活、参加生产实践和学习所需要的几何基础知识和技能，从而进一步培养和锻炼学生的思维能力、空间观念和解题运算能力，进而实现几何教学熟悉概念、巩固概念、提升解决问题的能力的教学目标。

而几何概念具有实践性、直观性、逻辑判断性、系统性等特点，这些是几何的优点，也是教学难点。

2.随着数学教学课程的不断改进，以及高考几何试题材料的不断更新，使得初中几何教学面临新的挑战和机遇，导致初中几何教学出现了几何教学方法不科学、教师队伍教学思路不严谨、学生几何学习兴趣不高和学习效果不佳等一列不良现状，从而限制了学生的发展和几何教学的进步。

因而采用现代化的习题变式教学法是迫在眉睫的，是初中几何教学进步的重要途径。

二、变式以及习题变式的内涵及其重要性变式是指不断变更问题的情境或改变问题的角度，在保持问题本质特征不变的情况下，使得问题的非本质特征发生改变的形式。

变式是一种有效的解题技巧与思路，在解决习题、例题过程中得到了很大的应用，从而形成了一种新的习题变式的现代教学法。

谈一道几何例题的变式应用与方法探究作者：***来源：《少男少女·教育管理》2022年第05期摘要：通過深挖教材例题的教学功能和引导思考的作用，发现圆的证明与计算在初中阶段的图形与几何中占据重要地位。

广州市中考题在探究圆的基本性质的基础上，对四边形与圆进行综合应用和渗透数学思想方法，考查学生对综合知识的掌握程度。

文章以人教版九年级数学教材第24章圆周角的例题4，结合各地中考题的变式应用，谈圆背景下的例题变式应用与方法探究。

关键词：教材例题;圆变式应用;方法探究一、问题提出例题呈现：如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长。

点评：解答此题需要抓住两个关键。

（1）判断出△ABC和△ABD是直角三角形，以便利用勾股定理;（2）判断出线段AD=DB，然后将各个线段转化到直角三角形中利用勾股定理解答，注意掌握数形结合思想的应用。

（一）夯实基础，剖析研学内容本例题是在学生学习圆周角定理知识后，根据学生的知识水平和认知能力，编写的一道既能巩固圆周角定理又能把代数与几何相互运用的基础题。

题目虽然是求弦BC，AD，BD的长，但是没有圆的知识，则没有办法把弦AD和BD的关系求出来。

题目已知条件是通过∠ACB的平分线得到两个圆周角相等，从而巩固弦、弧、圆心角、圆周角的关系，再利用直径得到相应的直角，得到直角三角形由勾股定理则可求得相应的长度。

（二）层层递进，设置研学问题例题以圆为背景，强化核心知识点的运用，例如本题中的角平分线的作用是什么？它能让学生得到什么结论？怎样才能把线段和弦建立关系？圆周角和弦是怎样联系在一起的？圆中的直径能为学生搭建怎样的关联？从而找到计算相关的直角三角形，寻找直角三角形的目的是什么？内化引导。

通过例题涵盖的知识点和实际考查的意义，设置一系列的研学问题，逐层递进引导学生进行思考。

把问题设置由浅入深，有梯度地引导不同层次的学生，既能全面普及，又能激发学生的学习热情，同时能引导中上生开发思维，呈现螺旋式思维上升，让学生在不断体会相关知识的同时，又能巩固对相关知识点的考查形式，从而达到学以致用的目的。

问题引领变式拓展--一道经典几何试题的拓展与思考
张丽
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2015(0)1
【摘要】《数学课程标准（2011）版》指出：“学生应经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．”学生不是被动地接受教材上现成的结论，而是通过教学典题剖析，以数学问题为核心，通过变式训练，理顺解题步骤，优化解题过程，总结解题经验，提炼解题思路，升华解题思想方法．
【总页数】2页(P60-61)
【作者】张丽
【作者单位】江苏省苏州市太仓市第一中学 215400
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一图定乾坤——人教版七年级一道经典习题的变式拓展 [J], 黄玉霞
2.一道解析几何题的变式拓展 [J], 虞懿;曹斌
3.经典问题演变拓展,推理素养落地生根——以一道常见几何问题的溯源拓展为例[J],
4.经典问题演变拓展,推理素养落地生根——以一道常见几何问题的溯源拓展为例[J], 白雪峰;张彦伶
5.注重由"形"构"型"解法水到渠成
——一道中考试题的解法赏析、变式拓展及思考 [J], 戴承惠
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专题:解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展【问题提出】1.无论k 取任何实数，直线(1 +4k)x-(2 -3k)y+(2 -14k) =0必经过一个定点，则这个定点的坐标为2.已知直线丨：2ax +by-a +b =0 ；圆C : x 2 + y 2 - 2x-1 = 0 ,则直线I 与圆C 的位置关系为=1(a >■ b A 0)，点A,F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是圆PA 若 ——为常数，则椭圆的离心率为PF过点(1, 0).若对任意的实数 m ,定直线 l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线 I 的方程为.2x + y — 2= 0【探究拓展】2探究1：已知F 1、F 2分别为椭圆 G ：詁+詁=1(a Ab 》。

)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2：x 2=4y 的5焦点，点M是C 1与C 2在第二象限的交点，且阿七.(1) 求椭圆C 1的方程.(2)已知点P(1,3)和圆O ：X 2 +y 2 =b 2,过点P 的动直线I 与圆0相交于不同的两点 A,B ,在线段AB 上取一 点Q ,满足：AP = -A P B ,瓷=Z QB ,( A H 0且A H ±1).求证：点Q 总在某定直线上.4.平面直角坐标系 xOy 中,已知圆C ： x 2+ y 2— (6 — 2m)x — 4my + 5m 2— 6m = 0,直线 I 经 2 2x y3.已知椭圆C : —2 + —2a b2 2 2 O : x + y =b 上的动点,1 4变式1 :在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点A( — 4,0)、B(4,0),动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为①求O M 的方程;直线AF i , AF 2分别交椭圆于点 (1 )求证直线BO 平分线段AC ;(2) 设点P (m , n ) ( m , n 为常数)在直线BO 上且在椭圆外，过P 的动直线(1)求点 p 的轨迹方程;(2)设点 P 的轨迹与y 轴负半轴交于点 C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段 AC 的垂直平分线上，且在 y轴右侧，圆 M 被y 轴截得的弦长为a②当r 变化时，是否存在定直线 I 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线I 的方程；如果不存在，说明理由.2 2X y 变式2 :已知椭圆E : —2 + a b= 1(a Ab >0)的离心率为 弓3 ,它的上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2 ,MP N ,在线段MN 上取点Q ,满足—PN=器，试证明点Q 恒在一定直线上.B ,C .I 与椭圆交于两个不同点 M ,P探究2:平面直角坐标系xoy 中，圆G：(x + 3)2+(y -1)2=4和圆C2：(X-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线I过点A(4,0)，且被圆C I截得的弦长为2J3，求直线I的方程;(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线|1和|2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线|1被圆C1截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.-- ----------- ►A H变式1：在直角坐标系xOy中，点M到点F i(-J3,0)，F2(J3,O)的距离之和为4，点M的轨迹是C，与x轴的负半轴交于点A，轨迹C上有不同的两点P和Q，且AP-AQ-O(1)求轨迹C的方程;(2)直线PQ是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？若不过定点，请说明理由.变式2:已知圆C:x2+y2=9，点A(—5,0)，直线l :x-2y = 0.(1)求与圆C相切，且与直线I垂直的直线方程;PB (2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B (不同于点A),满足：对于圆C上任一点P ,都有——PA 为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.变式3 :在平面直角坐标系xOy中，已知直线1: 2岳—y+ 3+ 8返=0和圆C1: x2+ y2+ 8x + F= 0.若直线I被圆C i截得的弦长为2j3 .设圆C i和x轴相交于A, B两点，点P为圆C i上不同于A, B的任意一点，直线FA, PB交y轴于M, N两点.当点P变化时，以MN为直径的圆C?是否经过圆C1内一定点?请证明你的结论;变式4:如图，椭圆的中心为原点 O ,离心率e =¥，—条准线的方程为x = 2{2.(1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点P 满足：O P = OM + 2ON ，其中M , N 是椭圆上的点，直线 0M 与ON 的斜率之积为一2,问: 是否存在两个定点 F i , F 2，使得|PFJ +|PF 2I 为定值？若存在，求出 F i , F 2的坐标；若不存在，说明理由.5:已知左焦点为F(— 1 , 0)的椭圆过点E(1 , 亜).过点P(1 , 1)分别作斜率为k i , k 2的椭圆的动弦 3 CD ，设M , N 分别为线段AB , CD 的中点. 求椭圆的标准方程； 若P 为线段AB 的中点，求k i ；若k i + k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.变式 AB ,2 2 X y探究 3 :已知椭圆p +笃=1（a；＞bA0）的左顶点为a b+ y2+ J3x -3y -6 = 0过A, F2两点求椭圆标准的方程; A，左、右焦点分别为F1,F2，且圆X2(2) 设直线PF2的倾斜角为a,直线PF1的倾斜角为3,当a,3- a= I n时证明：点P在一定圆上;3变式设椭圆的上顶点为Q,在满足条件（2）的情形下证明: PQ = PF i + PF2 .1:在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（X—1）2+ y2= 4, P为圆C上一点•若存在一个定圆过P作圆M的两条切线PA, PB,切点分别为A, B，当P在圆C上运动时，使得/ APB恒为60。

浅谈初中数学“几何例题”的变式教学作者：***来源：《广东教学报·教育综合》2022年第31期【摘要】初中数学几何题，对于教师和学生来说都有一定的抽象性。

特别是在农村初中，学生对几何知识的掌握程度不够，想象力有一定限制，对难度大、证明步骤复杂的例题，学生难以理解，面对简单的几何例题，学生的思考深度又不够，从而导致学生对学习数学的兴趣不高，甚至对几何的一些题目都恐惧。

因此，教师如何在课堂中实施几何例题变式教学变得尤为重要，文章以初中“图形平移与旋转”一例题设计为例，探讨变式教学在例题教学中的重要性。

【关键词】初中数学;几何例题;变式教学数学作为一门基础性学科，是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。

教师在教学过程中，要考虑数学自身的特点，遵循学生学习心理规律，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用。

因此，把课堂中的变式教学运用到例题中，可以有效实现学生亲身经历知识的变化，培养学生的推理能力和逻辑思维能力，使学生更好地掌握知识和解题方法。

初中几何例题教学是课本知识的一个范围，但教师要学生掌握的是把学到的技能融会贯通，能解决同一知识不同的问题。

应用数学几何例题变式教学的方法会无形中提高教学效率。

一、精选几何例题，提高课堂教学的有效性初中数学课本的例题都是经过各专家研究精选出来的，具有一定的代表性，包含着新知识的运用，难度适中，符合大部分学生的学习能力，但教师在例题教学中，要根据例题的内容和教学的知识进行适当的变式，从变式中检验学生对知识点的掌握。

几何例题的变式多样化，思维发散也比较广，因此教师在选择例题的时候，要根据学生特点，从教学目标出发，围绕教学重点教学，精选出符合新授课知识的例题进行变式训练，提高学生的思维能力。

例如，人教版九年级上册《图形平移与旋转》一课中，学习了旋转的性质：1.对应点到旋转中心的距离相等;2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;3.旋转前后的图形全等。

初中平面几何图形变式教学的几点体会几何学习和应用概念去解决几何问题的能力强弱，总是受许多条件的影响，这种影响有一部分来自部分学生头脑中已经具有的图形经验的多少，在学生头脑中所具有的图形经验和概念的内涵意义不完全一致，也来自教学概念时的方式和讲解概念所依据的图形变式，等等．什么叫图形变式？保持图形的本质属性，而变异其非本质属性所得的图形称为原图的图形变式．几何教学中所采用的图形变式，常见的有两种形式：其一为图形变式单独出现，仅仅是位置或形状作变式处理，另一种是图形出现间隔、缺损、重叠、交错等干扰，几何对象的本质成分有时会被次要的复合成分掩盖．一、几何概念教学需要图形变式１．为完整地认识概念的内涵，教师应该选择一定的图形变式，组织新的感性经验，克服原有的图形经验不足．在学习概念时，配以较完整的图形变式系统，让学生通过比较各种变式图形的异同点，抽象出概念的本质属性，同时舍弃其非本质属性，为理解和掌握概念的本质属性提供有利条件．这是几何概念教学的正确方法之一．例如，讲述三角形高的概念，教师必须考虑作三角形高的各种变式．如果只画锐角三角形一种图形，当学生遇到钝角三角形时，便不会由两锐角顶点向对边作高．讲授三角形外心概念时，须指导学生画三种类型三角形的外接圆，从而更清楚理解三角形外心的存在意义和它在三角形中的位置．在图１～图３中，点ｏ都是三角形的外心．又如，关于圆周角概念，圆周角的内涵特征是：顶点在圆上，并且它的两边都是弦的角．下图４～图６就是关于圆周角概念外延所包含的各种变式图形．２．为使学生能更深刻认识概念，举错例和反例变式是行之有效的方法．例如邻补角的概念，如图７，∠１＋∠２＝１８０°，∠１和∠２是邻补角吗？又如，如图８，∠１和∠２是同位角吗？下列图９～图１３中的角是不是圆周角？下图１４～图１７给出的阴影部分是扇形吗？特别是对一些容易引起模糊认识的概念，比如圆的切线（如图１８），学生常会理解成垂直于半径的直线，又如菱形（如图１９），学生容易理解成对角线互相垂直的四边形，等等．对此，教师可以画出图形加以提问，帮助学生澄清概念．二、例题，习题教学需要变式图几何教学应重视教材内容的研究和教学方法的探讨，更应挖掘课本例题习题的潜力，发挥它们在教学中的作用．把它们进行变式改组，可以充分发挥这些题目在训练思维能力和几何知识上的作用．通常采用变换命题的条件，结论，图形或编系列题组，或要求一题多解，一法多用，一题多变等方法．１．用几类基本图形单独或组合变式构题（1）如由三角形中位线基本图形构图（图２１～图２５）：（２）用基本图形等腰三角形，角平分线，平行线组合构题：例１如图２５， ab是圆ｏ的弦，如果ac∥ob，求证：ab平分∠ｏａｃ．如果ab平分∠ｏａｃ，求证：ac∥ob．例２如图２６，△abc中，∠ａｂｃ，∠ａｃｂ的角平分线交于点d，过d作bc的平行线，交ab，ac于e，f，求证：ｅｆ＝ｂｅ＋ｃｆ．例３如图２７，e是直线ab上一点，ec，ed 分别是∠ａｅｆ和∠ｂｅｆ的平分线，cd∥ab，求证：ｃｆ＝ｆｄ．例４如图２８，i是△abc的内心，ig∥ac，求证：△ifg的周长等于bc．例５如图２９，i是△abc的内心，mn∥bc，求证：ｍｎ＝ｂm ＋ｃｎ．这种例子在几何论证教学中使用得很普遍．又如：例６如图３０，已知：∠１＝∠２，ad∥bc. 问：可以得到什么结论？例７如图３１，已知：∠１＝∠２，cd∥ae. 问：可以得到什么结论？例８如图３２，已知：∠１＝∠２，de∥bc.问：可以得到什么结论？例９如图３３，已知：∠１＝∠２，ed∥ac.问：可以得到什么结论？例１０如图３４，已知：∠１＝∠２，ad∥ge.问：可以得到什么结论？２．对可能出现的多种图形结论的习题训练例１１在半径为１的圆ｏ中，弦ab，ac分别是■和■，那么∠bac ＝______________.可能出现如图３５，图３６两种图形．例１２已知△abc内接于圆ｏ，ａｂ＝ａｃ，半径ｏｂ＝５ｃｍ，圆心o到bc的距离为３ｃｍ，求ab的长．可能出现如图３７，图３８两种图形．例１３请将四个全等直角梯形拼成一个平行四边形，可画出以下不同（不全等）的拼法示意图．例１４在平面内确定四点，连接每两点，使任意三点构成等腰三角形（包括等边三角形），且每两点之间的线段只有两个数值，则这四点的位置取法有多少种？画图说明．例１５为了求■ + ■ + ■ + ■ + … + ■的值，设计下图及其变式图．总之，几何教学需要善用变式思想，多画图形变式，能迅速提高数学的思维能力，教师要重视图形变式的作用，教学中要启发学生参与这个过程，使学生逐渐乐于并善于去主动探求合理的想象，促进创造性思维的发展．。

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 初中几何教学中习题变式的应用 作者：夏泉生 来源：《中学生数理化·学研版》2015年第01期

在基本理论的支撑下不断地变化得到新的理论与方法就是数学的魅力，可是正因为如此，我们的数学教学陷入了“题海战术”的困境，学生有永远做不完的题，每次都有“新”的题出现在你面前，这让只会“死做题”的同学对数学产生了厌恶与恐惧，可是另一种所谓的“优秀”学生，每天都不怎么做题，却每次都能轻松地拿到优异的分数，并不是他一定有多么聪明的头脑，而是他掌握了数学学习的技巧.习题变式法的引入将数学教学带入了新的时代，它将教会学生如何“以不变来应万变”，但是如何才能正确地发挥变式法的作用？很多研究者与教育者都在思考和实践这个问题.在这个过程中，也给了我们一些启示，下面就习题变式教学模式在初中几何授课中的应用来一探究竟.

一、数学中“习题变式”的含义 在数学上所谓的“习题变式”就是对数学课上的例题、练习题进行不同知识背景、不同解题方法、不同角度等方面的变通，让学生从“变化”（非本质）中找到“不变”（本质），进而借此探索“变化”的规律和与“不变”的联系.

而在几何中的应用则表现为以下方面：解题方法的变化、假设条件的变化、考查关联知识点的变化、总结各变化题型的规律等.

二、“习题变式”在数学应用的意义 推行习题变式教学方法是教学改革的重要之笔，它不仅让学生从题海中挣脱出来，走出数学给人以枯燥、繁杂的阴影，真正地找到学习数学的快乐，将过去数学的“解题式”学习变化为“探索式”学习，寻找题目中隐藏的秘密（规律与本质），从而激发起学习者对数学的兴趣，主动思考，发散思维，说不定还能创造出不一样的思考途径.

相比西方国家的开放式教育，我们国家的数学教育在于传授学生“做题方法”，这不仅禁锢学生的思维，让他们宛如看到题目机械进行运算的机器一样，没有自己的思考，不清楚题目中的因果联系，只是“为做题”而做题，使得题目稍微改变一点就手足无措的情况屡见不鲜.而习题变式法就要我们的教授者不是单纯地教授这一道题或者是这一类题的做法，还要引导学生关注为什么要这么做，还有其他的方法和思路吗？它还可以和哪些知识相联系等问题，更好地为国家数学人才的培养与数学研究的发展奠定基础.

初中数学习题课变式教学的几点建议初中数学习题课是学生学习数学的重要环节，对于提高学生的数学能力和思维能力具有重要的作用。

为了增加学生的学习兴趣和提高学习效果，教师可以通过变式教学的方式进行教学。

下面是几点关于初中数学习题课变式教学的建议。

一、合理设计学习环节1.引入问题：在引入学习题目时，可以选择一些有趣的题目或者与日常生活相关的问题作为引入，引发学生的兴趣和思考，激发他们对数学问题的兴趣。

2.拓展问题：对于一道有多种思路和解法的题目，教师可以提供多个拓展问题，让学生在解决原问题的基础上进行进一步思考和探索，培养他们的创新思维和问题解决能力。

3.探究问题：在一些没有固定解法的问题上，可以引导学生进行自主探究。

让学生自己思考问题并提出解决方法，通过讨论和交流，共同寻求最佳解决方案。

二、灵活运用教学方法1.合作学习：鼓励学生在解决问题的过程中进行合作学习。

可以组织学生分组合作，互相交流和讨论解题思路和方法，互相帮助和检查答案，提高学生的学习效果和解题能力。

2.启发式教学：引导学生通过观察、猜测、验证的方式进行解题，培养学生的观察力、思维能力和逻辑推理能力。

3.案例教学：选择一些有代表性的数学问题作为案例，通过讲解和分析这些案例，引导学生理解问题的本质和解决问题的方法，培养学生的数学思维和解题能力。

三、注重培养学生的学习能力1.培养学生的解决问题的能力：在解题过程中，注重培养学生的问题分析和解决问题的能力。

引导学生学会整理归纳问题的信息，并从几种可能的思路中选择最佳的思路进行解题。

2.培养学生的创新思维能力：在解题过程中，引导学生灵活运用所学的数学知识和方法，通过变式和拓展问题的思考，培养学生的创新思维能力。

四、及时给予反馈和鼓励教师在学习题课中要及时给予学生鼓励和肯定，积极评价他们的好的表现和努力。

对于学生的错误答案和思路，教师要给予及时的纠正和指导，并引导学生从错误中吸取经验教训，总结经验，提高解题能力。

巧妙编写几何变式训练题，促进学生数学能力的提高—由一道平行四边形习题所引发的变式探究及启示仓桥学校陈习梅摘要：《上海市中小学数学课程标准》中指出:充分关注学习训练方式对学生创新精神和实践能力的促进作用;重视学习训练体系中的开放性、实践性、研究性、应用性和综合性。

这就提倡教师采用变式教学来提高教学的有效性。

所谓变式是指对数学概念、定义、定理、公式等保持核心本质不变的前提下，从不同层次，不同情形，不同背景去设计问题，拓展内涵与外延，使其耳目一新。

引导学生从不同角度去发散性思考，加深对所学知识的准确理解，培养学生发现问题,分析问题，解决问题的能力。

笔者以一道平行四边形习题的变式设计为例，采用以下不同思路与方法进行了原题再设计,包括:交换问题的条件和结论；改变图形的部分结构；添加特殊的点或线；变定性关系为定量关系；几何图形与函数整合；图形运动（如图形的翻折，旋转等）；几何图形的实际应用等。

这样做是为了尽量避免师生掉入繁重的题海训练中，而又能提高学生提出问题，分析问题，解决问题的数学能力。

关键词：几何图形平行四边形变式数学能力我们经常通过让学生做几何小试卷，来检查我们的上课效率，发现考查双基类型的题目，学生做得挺好的，可是稍微有点考查能力的题目，班级能够做完整的学生不多。

于是老师把那一道能力题再详细的讲一遍，过几天再拿出来练习，学生还是没什么印象，仍然会做的学生增加不多。

说明与几何图形相关的一些定理、定义、重点例题在学生的头脑中并没有生根发芽，学过即忘，留不下深刻印象。

于是老师们坐在一起，交流此事，诊断出结果：做的太少了，要多做些能力题。

于是几何能力题目一日一练，老师们又惊愕地发现：量开始是有了，质却没有，要么交上来一堆错题，要么一堆空白，最后连量也没有了。

学生不交能力训练题了，尤其是女生。

问其原因，学生说不知从何下手。

老师们上火了，这是为什么呢？教研组请来专家与老师们共同把脉，对这种现象的解释是：学生学习时没有学活，不会变通，不会举一反三，应变性差。