注重“一题多变” 提高课堂效率——高三数学复习课变式教学一例

2021.01真情 教育探索237变式教学策略在高三数学复习中的实施丁光辉云南省武定民族中学摘要：当前，我国许多中学对高三学生采用大量的题海复习战术，这不仅加重了学生的学习负担，还容易促使其造成畏难心理。

针对这个问题，变式教学法在高中数学课堂上的应用不仅有利于提高学生对数学知识的观察与总结能力，还能通过多种变化方式来训练学生的思维迁移能力，帮助学生从多个角度去发现和解决问题，从而有效提高学生对数学知识的认知度。

关键词：高三数学；变式教学；复习；教学策略随着高考复习方式的不断变化，复习对于学生的要求不仅仅限于对课本内容的考查，更倾向于提升学生的思维能力。

对此，教师在教学过程中可将变式教学法引入数学课堂，通过变式概念性和过程性等多种形式的教学将数学知识呈现给学生，提高学生在课堂上的学习效率，培养学生变式思维能力，从而提高学生的数学水平。

本文从数学教学的现状出发，简要分析了高中教师在教学过程中如何运用变式教学法提高学生的复习效率，并提出了相应的教学策略。

一、结合教学内容，给学生生渗透变式思想高中数学课本内容丰富，其中包含了较多的思想因素。

对此，教师在教学过程中要结合学生的学习特点深入挖掘教材内在的思想和方法，在上课时引领学生从不同角度去发现其中的内在联系，既帮助学生认识到知识本质，同时也要给学生渗透变式思想。

首先，教师要切合学生的实际学习情况针对课堂内容作以调整，将不同的思想方法、解题方式以及牵涉其他的知识点等给学生一一作以总结，然后在上课时将这些内容由简至难地呈现出来，并将其利用哪种方法解决、每一部分知识点牵涉哪种方法等都要给学生讲明白。

其次，为有效地给学生渗透变式思想，教师也要注重对教学主线的设计，可按照“认识概念、提出问题、分析问题、解决问题、利用多种方式解决问题、总结其中思想方法、再总结”等步骤逐步拓展学生的思考思路，使学生更好地理解数学知识的外延和内涵。

例如，在“解三角形”一课复习时，在讲课前，教师可从学生的考试成绩、答题水平以及平时表现等方面先对其思维能力做一个预估，并照其大致水平设计好课堂内容。

: 筹
生 良好的认知结构 , 促使学生 能力 的提高 的有 效途径. 倘若在复习课 中合理引入变式教学 , 能 有效地克服" 知识疏理+例题选讲 +归纳小结" 套路 的不足.下面是笔者在高二年级一节复 习
课的教学过程及其评述.
P / E > N/平面 C E N/B =P / B 同理, /平面 C E > MP/ B -平面MN ‖平面 C E = P B MN/平面 C E / B. MP / B A j B A jMP, /C , B _ C B_ 同理 AB _ P jN
面面的垂直 , 只涉及立几 中的位置关 系, 而来 涉 及其数量关系 , 所以我们提出这样的问题 : 变式 1 若两正方形所在平 面互相垂直 , : 则
当 M, 到达何处 时使 MN 最短?并求这 个最 N
小值.
维普资讯
上 海 中 学数 学 · 0 5年 第 1期 20
1
面角 的平面角, 易求得 ac s r o ÷. c
0
[ 评注]三个变式尽管 由教师提 出, 这些 但
问题一环扣一环 , 且建立在 直线与 平面 的知 识 结构及学生原有 的知识 基础 上, 激起学生 的 易
经过独立解题学生提供了以下解法: 设动线 段 A 的长为 z 则 F A M , N= M=z 如图 3 ( )
[ 评注]以上证法均 由学生提供 , 这里既复 习了线面平行与垂 直的有关知识 , 又强化 了线
面平行与垂直证明的有关技能和方法.
, l , E
( )问题的变式与解 决 二
师: 上述解答涉及 了线线 , 面, 面平行 线 面
图1
图2
A /B = F/ E >

技法点拨高三数学复习课变式教学策略的探究■郑艳摘要：本课题主要是在高三复习课中充分贯彻变式教学，把高中三年的零散知识，通过知识的内在联系结合学生个性的认知习惯，使学生在脑海中形成一个优良的知识体系。

通过本课题的实施使学生能够达到举一反三，触一题而通一类的效果，从而优化教学成效，在教学中通过学生主动参与，提高学生的学习兴趣，从而避免机械重复的学习，大大提高学生的学习效率。

关键词：高三数学；复习课；变式；探究一、本课题的研究内容（一）显性内容1.形成了适合我校学生学情的变式教学学习模式。

第一：课前准备阶段1.研究教材和课程标准，研究学生，确定学习目标。

2.整合教学资源，围绕学习目标设计课堂活动。

第二：课堂教学阶段环节一：创设情境，提出问题通过创设一定的情境，帮助学生主动地投入后面的探究过程中。

由于高中学生已具有一定的抽象思维能力，他们会通过感知材料，积极思考，带着富有挑战性和价值性的问题参与学习过程，怀着一定程度的好奇心和求知欲，这正是问题意识的萌芽，也是探究活动的开始。

教学中教师要精心设置问题情境，帮助学生主动地投入到教学活动中。

环节二：合作交流，变式探究变式的难度要有“梯度”，要循序渐进，逐层递进，不能一步到位，否则会使学生产生畏惧心理，影响问题的解决和教学的效果从而降低学习效率。

问题变式的数量要“适度”，不能多多益善，否则会物极必反，引起学生的反感。

要创设变式情境，提高学生的参与度，唤起学生的求知欲，使学生在40分钟的课堂时间里始终保持有浓厚的学习兴趣。

环节三：活动体验，探究发现课堂上教师应更多地为学生创设一种轻松、民主、和谐的探究氛围，营造出教师---学生，学生---学生间自由交流，平等合作的环境。

环节四：归纳综合，拓展创新教师要适时的引导学生对共同探究的结果进行归纳、提升和评价，还应根据不同的学习内容、目标及学生的实际情况，给学生留下适当拓展延伸的空间和时间，使学生的思维由课内延伸到课外，使课堂的探究活动得以继续。

碰撞上产 生大量 的火花 ，所有这 一切体 现在学 生上课 时炯炯有
神的 眼光 ，体现 在学生 聚精会 神专注 的神情 ，体 现在解 决 问题
过程 中的沉着冷静 ，体现在解决 问题后 的心 旷神怡 ． 以上题 组 中引 出一般 的解题规律 ，努力 改进 以上暴 露 出来 的问题 ，让 学 在 的训 练过程 中 ，我们不难 发现 题 目固然 在变 ，但本质 不变 ，所 生每节课 学有所获 ．
创 造 ’过 程 ． ”
） ．
（ ）４ Ｃ
（ ） 、 Ｄ ２／
变式３ ： 知Ａ 是椭圆 ＋０一 ＝ ＞ ＞ ）的长轴， ． 已 Ｂ １ 导 １ ｂ ０．
Ｐ是椭圆上异于 Ａ、Ｂ的点 ，求证 ：ｋ ｋ ・ ＝一 ．
ｆ ｉ－
二、抛 出问题 。指引思考

在投影 仪上 展 出三个 例题 ，特 别选 择 了函数 、立体 几何 、
Ｎ． ０１ Ｏ６ ２ １
Ｊ ｕ ａ ｆ Ｃ ｉ ｅｅ Ｍａｈ ｍａｉｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒ ｌｏ ｈｎ ｓ ｔｅ ｔ ｄ ｃ ｔ ｎ ｃ ｏ
２１ ０ １年
第 ６期
摘要 ：在新课 程 背景下 ，如何 优化教 学过程 ，提 高教 学效
变式 ２１ ．：已知 三 棱锥 Ｏ－ Ｂ Ａ Ｃ，且 Ｏ Ａ、Ｏ Ｂ、Ｏ Ｃ两 两 垂 变式 ２２ ．：已知 一个 四面体 三组对棱 分别相 等 ，ＡＢ＝Ｃ Ｄ＝
，
益 ，已成 为广 大一 线教 师研讨的主题． 对 目前部 分高三学生学 直 ，Ｏ 针 Ａ＝１ Ｂ＝２ Ｃ＝３ ，Ｏ ，Ｏ ，求三棱锥 外接球 的面积 与体积．
得辛苦 ， 但数学成绩止步不前的现象，设计了一节高三复习课 ，
从例题 出发 ，注重 引导 学生进行创造性的 变式 ，期望有所突破 ．

在上 题中 ， 将定点Ａ（ １ ， ０ ） 变成 了在某条定直线 上运动的动点 ， 彻底改变 了题 目的条件背景 ， 促成 了 圆锥曲线 与直线知识的交 汇。如此处理对激 发学 生 的求 知欲 、 培养他们 的知识迁移 能力有促进作用。 变式４有一 抛物线 以（ ３ ， ０ ） 为顶 点 ， 且 以 轴 为 对称轴 。如果动点Ａ满足直线方 程ｚ ： ３ ＋ ４ ＝ １ ２ ， 且 到 此抛物线上 的点 的最小距离为 ，求此抛物线 方
Ｐ （ ａ ＋ ｌ ， ＋ 、 ） 。
二、 变 化 问题 形 式 ． 深 化 概 念 理解
笔者从教学实践 中体会 到 ：学生如果只会机械 地 套 用 解题 模 式 去 处 理 问题 的话 ， 思想 容 易 僵 化 ， 思
维容易呆板 。 若将问题形式略加变化 ， 引导学生 回归
基本概念 、 基本知识 ， 则 会 在 一定 程 度 上 克 服 机 械套 用解题模式 的思维定式。 比如将原题 中抛物线上 的 点“ 到 一 个 定 点 的最 小 距 离 ” 变更为 “ 到 两 个 定 点 的
０
思 路 方 法
≮
落 高三 教 学 复 习课 的
０ ”
变 式 教 学 一例
● 卢 成
平行时Ｉ Ｉ ＋ Ｉ Ｐ Ｎ 最小 ， 易求得此时Ｐ （ ， １ ） 。
２
对于高三复习课 ， 教 师应该精心设计教学 ， 尽量 使知识 系统 化 、 方法大众化 、 题 型模 型化 、 答题规 范 化、 思维策 略化 。 从课本 中的一个 简单 习题开始变式 设计 ， 一题多用 、 一题多变 、 由浅入深 、 体 现梯度 、 形 成系统 ， 使不 同程度的学生都有所发展 。 在知识 应用 的过程 中， 让学生体会试题编制的大致方法 ， 体会到 高考题源于课本 ， 高于课本 ， 消除对高考试题中神秘 感和畏难情绪 ， 使学生形成有效的复习策略。 本文以 道解析几何题 的变式教学为例 ，重点谈谈高三数 学复习课中如何做到 以静制动、 举一反 三的问题 。 例题 ： 求抛物线 上与原点距离近的点 的坐标 。 解析 ： 设所求的点Ｐ 的坐标为（ ， Ｙ ） ，

实施科学变式训练，实现高三数学有效复习 ――2013年湖北省高中青年数学教师优秀课观摩有感 所谓数学变式教学，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式以及问题从不同角度、不同层次、不同背景下做出有效的变化，其呈现形式虽然发生了变化，但内在本质特征却保持不变。

在高三数学复习课中实施科学变式训练，可以切实让学生从题海中走出来，真正实现教学的有效性。

2013年11月在荆门举行的湖北省高中青年数学教师优秀课评比中就有10多位老师设计了不同形式的题组变式训练，本文就高三复习课中的有效变式训练实施方法作以说明。

一、并列型变式，有效促成基本技能。

例1、在ABC ∆中，AB=2，AC=4，若点P 是线段BC 的中点，求AP BC 的值。

变式1：若点P 是ABC ∆的外心，求AP BC 的值。

变式2：若点P 是ABC ∆的重心，求AP BC 的值。

变式3：若点P 是ABC ∆的内心，求AP BC 的值。

点评：现代心理学的研究表明，各种知识对人的大脑皮层的刺激与反应的影响相似因素越多，越容易引起迁移。

在本例中，先出示学生已掌握的问题让学生解决（利用平面向量的基底或建立坐标系或向量数量积的几何意义——投影来解决例1），然后巧妙地应用并列型变式过渡到一个新的问题，在并行型变式中让学生利用知识间的类比（→→→中点外心内心重心），去分析、探讨相似内容的知识，即用已知来探讨未知，有效促成学生利用代数或几何的方法来求解向量数量积的基本技能。

二、对比型变式，有效揭示概念内涵。

例2：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D - 的棱AB 上任取一点P ，求点P 到点A 的距离小于等于1的概率。

变式1：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的面11AA B B 上任取一点P ，求点P 到点A 的距离小于等于1的概率。

变式2：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中任取一点P ，求点P 到点A 的距离小于等于1的概率。

二.问题变式的常见形式




1.交换题目的条件和结论 2.改变题型结构 3.改变题目中的图形 4.具体化题目的条件 5.改变题目的载体
三.问题变式在高三复习中运用
（一）题后反思，树立 “变”的意识
反思是题目变式的源泉和基础， 是题目变式的内在动因
（二）精心备课，把握“变”的切入点 （三）注重落实，过手 “变”后问题的求解
m | m x 2 x, x R 1 [ , ) 4
A B 1
3x 例2．求函数 y x 2 4 的值域。
解：（ 法）
2
yx 4 y 3x
2
yx 3x 4 y 0
①
y 0 时，x 0 符合题意； y 0 时， 9 16 y 2 0
原函数的值域为：
3 y | y 2, y , y R 4
3x (0 x 3) 的值域 变式2：求函数 y 2 x 4
4 ，由 x 4 解：1） x 0 时，y 4 x x x
3
3 y (0, 4 ]
2）
x 0 时，y 0
3 综上，原函数的值域为：y [0, ] 4
3x 2 (0 x 3) 的值域 变式3：求函数 y 2 x 4
思路：（换元法）令
t 3x 2
t [1,10]
9t , 则 y 2 t 4t 40
2
2 x 3x 10 (0 x 3)的值域 变式4：求函数 y 2 x 4 思路：（分离常数法）
略解：集合A是抛物线 集Leabharlann B是直线 yB
yx
2
上点的集合，

例说“变式教学”在高三数学复习课中的应用
对于紧张备考的高三教师来说，如何提高课堂效率，让学生学会举一反三、融会贯通，成为广大高三一线教师一直以来追求的目标。笔者在高三授课的具体实践中，尝试应用“变式教学”、“一题多解”的方式，对于打造高效课堂，提高备考效率成效显著。
高中数学内容有“两多”：知识点多，题型多。教师使用“举一反三”的方法进行教学，可以达到以点带面、触类旁通的目的。对学习能力较强的学生而言，能拓宽知识面，提高知识的应用能力。因此，在教学中，尤其是在高三复习中，如果能引导学生运用题组训练构建数学知识网络，实现一题多解，对于提升学生解决问题的能力是有很大帮助的。
由于高考数学（理）中对抛物线的考查要求比较高，因此在高三复习中，大部分教师都会给学生推导一些常见的结论，比如焦点半径公式，焦点弦长公式，以焦点弦为直径的圆与准线相切等等。这些结论的给出，固然给人一种“赏心悦目”的感觉，但是如果无法在做题中加以应用，似乎又显得“徒有虚名”，因此，笔者尝试着引导学生应用这些结论。于是我们提出第二种解决此问题的方法如下：
现以一道复习备考题为例，谈谈“变式教学”在高三复习课中的应用。
题目：已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（-2,2），过点F且斜率为K的直线l与C交于A,B两点，若MA·MB=0，则k=（ ）。
A.2B.C.D.2
解法一：该题显然是一道直线与抛物线的位置关系问题，常规的解题思路是：用点斜式表示出直线方程，通过联立抛物线与直线方程，消元后得到关于x的一元二次方程，再用韦达定理表示出A,B两点坐标之间的关系，进而表示出向量MA与向量MB的坐标，由其数量积为0，可以得到一个关于k的方程，解出k即可。
解法二：根据结论“以焦点弦为直径的圆与准线相切”，则以AB为直径的圆与准线x=-2相切。因为MA⊥MB，所以M点在以AB为直径的圆上，又因为点M在准线上，所以点M是切点，设AB中点N，则MN∥x轴，故点N的纵坐标为2，再利用“点差法”，即可求出AB的斜率。

变式——让高三数学复习课堂更精彩变式——让高三数学复习课堂更精彩高三是学生们面临高考的关键阶段，而数学作为高考科目之一，对于很多学生来说是一个挑战。

在高三数学复习阶段，如何让课堂更加精彩、更加有效成为了教师们思考的问题。

本文将谈论如何通过变式方法让高三数学复习课堂更加精彩。

什么是变式方法呢？变式是指对原题目进行修改或者转变，使其具有与原题目相似但又有所不同的特点。

在高三数学复习中，变式方法可以使学生更好地掌握各种考点和解题技巧。

变式方法促使学生思考，加深对知识点的理解，并培养学生的创新能力和解决问题的能力。

首先，变式方法可以帮助学生巩固基本知识。

在高考数学中，往往有很多基本的解题方法和公式需要学生掌握。

通过变式方法，教师可以改变问题的形式，使学生在解题过程中深入思考，并运用所学知识灵活解决问题。

例如，在讲解二次函数时，教师可以将问题改变成对称轴的问题、顶点的问题等，引导学生从不同角度理解二次函数的性质和解题技巧，帮助他们更好地掌握二次函数。

其次，变式方法可以培养学生的解决问题的能力。

高考数学试题往往有一定的难度和复杂度，需要学生具备较强的解决问题的能力。

通过变式方法，教师可以设计一些拓展性的问题，引导学生在已有知识的基础上思考、探索和解决问题。

例如，在讲解函数的导数时，教师可以设计一些应用题，让学生在实际问题中应用导数的概念，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

再次，变式方法可以激发学生的学习兴趣。

高三学生因为高考的压力和重复的复习内容，往往容易产生学习疲劳和厌学情绪。

通过变式方法，教师可以设计一些趣味性的变式题目，增加教学的趣味性和活跃性，激发学生的学习兴趣。

例如，在讲解概率问题时，教师可以设计一些有关概率的游戏，让学生在游戏中进行探索和解决问题，增加学习的趣味性。

最后，变式方法可以帮助学生理解数学的应用价值。

数学作为一门实用的学科，不仅仅只是为了应对考试。

通过变式方法，教师可以设计一些与实际生活相关的变式题目，让学生感受数学在现实生活中的应用和价值。

古诗词是中国文学艺术之精华，浓缩了语言美、情感美和 意境美。在所有文学样式中，它蕴含着丰富的核心素养培养资 源。作为语文教师，我们在开展诗词教学时一定要摒弃功利之 心，不走所谓的捷径，一定要引导学生立足文本，通过解读文 本读懂诗词，以提升学生的鉴赏能力和审美水平。千万不要抱 着学生上高楼！否则，于自己，太累；于学生，无益！
线方程，结论换成z=x+2y等变式。在数学学科中通过模型内已
知条件和未知条件之间的相互转换等变式，一题多变的系列提
问，使学生的思维变得活跃、发散，达到一题多练的效果，还
能将形似神不似的题目并列在一起比较，求同存异，从而培养
学生条件转换、设问置疑、探究因果、主动参与、积极思考的
好习惯，既减轻了学生的课业负担，培养了学生的探索精神，
“勿抱学生上高楼”，还要注意一点，那就是在引领学生解 析情感时千万不要“结论先行”。什么是“结论先行”呢？笔 者以高三学生最近练习的一首诗歌说明该问题。
临江仙·暮春（赵长卿） 过尽征鸿来尽燕，故园消息茫然。一春憔悴有谁怜？怀家寒 食夜，中酒落花天。 见说江头春浪渺，殷勤欲送归船。别来此处最萦牵。短篷南 浦雨，疏柳断桥烟。 【注】赵长卿：宋代著名词人，宋宗室。这首词写在“靖康之 变”后，宗室纷纷南迁，定居临安一带。 此题的第二问是“结合全词，分析这首词表达了作者怎样 的思想情感？”阅卷时，笔者发现很多学生没有答准确，他们 纷纷回答“渴望收复失地”“对金人的痛恨”等，究其原因， 他们受注解“靖康之变”的限制，结论先行，忽略了此诗的具 体情感包含着故园之思、离别之悲。类似的“结论先行”的笑 话还并不少见，如在遇到杜甫的诗歌时，学生总认为离不开 “忧国忧民”，根本不管此诗是写给谁的；学了《定风波》后， 看见苏轼的作品就不管三七二十一地认为情感都是“豁达洒

一题多问，提高高三复习课效益某某某某宁乡一中 黎国之 彭海军高三复习，最紧X 的资源是时间，倒计时的日历一天天变薄，学生的练习资料堆一天天变厚，教师日以继夜地教，学生起早贪黑地学，大家都在无涯的题海里作悲壮的搏斗，而心里却似乎越来越没有底。

提高课堂效益，自然成了每个人的必然选择；而怎样提高课堂效益，却是一个不小的课题。

有许多教者探索出了一些行之有效的好办法，比如，有人提出“研究性复习是高三复习的最正确策略〞，有人根据“低起点高落点原那么〞推出了“四环递进〞的课堂复习模式，还有人推崇“一题多解〞、“ 多题一解〞、“一题多变〞等操作技术，皆各有优长，值得借鉴。

本人借鉴上述多种优良作法的精华，结合多年教学体会，提出“一题多问，提高高三复习课效益〞的“一题多问课堂复习法〞，希望行家多予指正。

一题多问课堂复习法的作法，就是精心构造一个比较经典的问题平台，在此基础上，根据教学目标的需要，精心设置一系列问题分支，把各种需要掌握的知识、技能、题型、方法、思想熔入其中，将其由易到难排列，形成例题和习题，借以引导学生由浅入深，步步推进，达到节约时间、高效复习和人人都有收获的目的。

请看以下例题——[例题1]如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆周上。

P 是⊙O 所在平面外的一点，且PA 垂直面⊙O ，∠ABC=3，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影，BC =1，PA=3。

1、与PA 共面的线段有哪些？与PA 异面的线段有哪些？2、图中互相垂直的线段你能找出有哪几对？3、联结O 与AC 的中点G ，那么OG 与EF4、BC 与面PAC 垂直吗？AF 与面PBC 垂直吗？5、AE 与面PBC 垂直吗？PB 与面AEF 垂直吗？6、求直线AB 与PC 所成角α1的大小；7、求直线BC 与AE 所成角α2的大小；8、求直线PC 与平面PAB 所成角α3的大小；9、求PA 与平面AEF 所成角的α4大小；10、求二面角P-BC-A 的大小α5；11、求二面角A-PB-C 的大小α6；12、求平面AEF 与面ABC 所成二面角α7的大小；13、求点F 到直线AC 的距离d 1；14、求点F 到直线AE 的距离d 2；15、求直线BC 与PA 的距离d 3；16、求直线AB 与PC 的距离d 4；17、求点A 到平面PBC 的距离d 5；18、求点C 到平面AEF 的距离d 6；19、求点E 到平面PAC 的距离d 7；20、求多面体PABC 的体积V 1；21、求多面体ABCFE 的体积V 2；22、求多面体PABC 的外接球的半径R 是多少；23、求多面体PABC 的内切球的半径r 是多少；24、求多面体PABC 的内切球的球面上离点A 最近的距离d 8是多少；25、假设有一只蚂蚁从A 点出发沿多面体PABC 的表面并经过棱PC 到达点B ，那么蚂蚁经过的最短路程S 是多少？[例题2]抛物线22(0)y Px P =焦点为F ，过点F 的弦l 交抛物线于点()()1122,,,A x y B x y ，设l 的倾斜角为α，点A 、B 在准线上的射影分别为M 、N ，如图，求证：1、212y y P =-；2、2124P x x =； 3、4OA OB k k ⋅=-；4、12,22P P FA x FB x =+=+； 5、12AB x x P =++；6、22sin P AB α=； 7、通径为2P ； 8、22sin AOB p S α∆= 9、212AOB S P ∆≥； 10、A 、O 、N 三点共线，B 、O 、M 三点共线；11、假设直线AO 与准线的交点为C ，那么B C ∥x 轴；12、以AB 为直径的圆与准线相切；13、以MN 为直径的圆与AB 相切于点F ；14、11AF BF +=2P； 15、4tan 3AOB ∠≤-； 16、过00(,)A x y 的切线方程为00()y y p x x =+；17、过抛物线上点A 的切线与对称轴交于点C ，那么FA=FC ；18、过A 点的切线平分∠MAF 。

2018年2月备考指南>考试--研究回归变式提升以“函数复习”为例谈高三数学课教学策略!江苏省常熟市尚湖高级中学马怡平高三数学复习课遵循课程计划标准而不得随意增 减课时，因此，提升高三数学复习课的效率是高三总复 习阶段尤其重要的问题.下面以笔者听到的一节高三函 数复习课为例，就该节课带给了我们的启迪、思考和示 范谈几点笔者的思考.一、在回归课本的基础上紧抓主干、构建网络该老师在课的一开始就向学生提出了问题u 回忆高 一学期以及近期复习的函数内容，你们对函数主要内 容、方法以及知识结构方面有体会吗？紧接着，该老师引 导学生从函数的结构功能这一角度重新认识了函数的 核心内容.然后展示课前设计的四道小题让学生在练习 中加深对函数核心内容的感悟.(1)某市收取居民月用水时采用了如图1所示的阶梯式收费法，李铭家今年1月用水量为14吨，应付_______元水费.单元/元3.5 〇----〇12用水量/吨图1(2) 已知直线$%a ，定义域为[0,6]的函数'%/"($)，两图像有_____个交点.⑶已知函数（$)%"9-$2，则点+(，，〇)(，，-属于 ($)的定义域)形成的面积为______.(4)已知函数:/($)=sin 4$，将其图像向左平移至少 ______个单位后，该函数为偶函数.从以上4个小题不难看出，函数题的求解应多多利用 数形结合的方法，但定义域问题是作图时应该要注意的.评析:（1)高三数学复习课往往会在知识点的梳理 上下功夫，这样的复习虽然对学生知识网络结构的建构 极有好处，但耗时多且学生相对被动也是如此复习可能存在的弊端.但该老师的这节课让学生在知识的自我回 顾与复习中抓住了知识的主干与结构本质，学生在自主 整理知识要点与重点的同时也张扬了个性.学生在“由 薄到厚”的读书中最终实现了“由厚到薄”、纲举目张的 过程转变.(2)该老师安排的这4小题虽然起点低，但却具有函数习题的典型性且各有侧重.文字语言和图像语言之间 的转译和表达是第1小题练习的侧重点；加强函数概念 的理解是第2小题练习的侧重点；提升学生数学阅读与 认知能力是第3小题练习的侧重点；加强学生对函数图 像特征的理解与把握是第4小题练习的侧重点.这4个小 题的解决使得学生对函数部分的系统结构和本质特征 产生了更深的体会和感悟.(3)第4小题是该老师借班上课了解学生学情之后临时添加的，这一行为及时且果断，学生在函数与最近所学内容的结合学练中焕发出了更强的积极性.(4) 该老师面对这样几道填空题也坚持让学生上黑板板书，这样的举动对于学生解题的规范性、逻辑性以及简洁性是极有好处的，很多说不清道不明的东西也在板书中得到了更好的体现，学生对解题的评价、纠错等 也会更加直观，对题目本质加深理解的同时正是学生知 识内化的过程.二、在变式中揭示方法、渗透思想虽然夯实基础与基本方法是高三复习时的主旋律， 但停留在这些基本点上的做法也是不妥当的.《考试大 纲》明确提出了命题应着眼于知识网络交汇点的具体要 求.因此，高三数学教师应该树立知识“交汇点”的运用 意识，并因此制定出有针对性的教学举措来应对着眼于 知识交汇点的各个命题.因此，该老师也有了以下设计：例1对# $ $ [ 1，3 ]，不等式$2+2$+, % 0都成立，求 ，的取值范围.将学生的回答进行归纳后得出以下解题思路:①二高中版十炎，？ 15次函数图像法;②利用单调性解题;③分离参数法.解决 恒成立问题的一般方法也因此得以归纳出来.该老师在学生解题的基础上对方法③作进一步的 分析与探讨，把参分离，要使不等式在[1，3 ]上恒成 立，转化成m!-($2+2f在[1，3]恒成立，故求出函数 在[1，3]上的最大值即可.而/($)'-$2-2$在 a，3]上的最值可以利用函数单调性或图像可以求解. 因此，上题可变式为：[1，3]，使不等式$2+2$+"!〇 成立，求"的取值范围.同时又提出问题：问题1:这两题有不同的地方吗？问题2:若将以上不等式转化成"！-($2+2$)，满足 条件的"的范围应该如何去求呢？问题1的答案是明显的.学生经过一定的思考也很 快得出了问题2的答案，对3$#[1，3]，求出函数（$)' -$2-2$在[1，3 ]上的最小值就可以了.少数学生已经能够理解、掌握恒成立和存在性问题 之间的区分了，但该老师并不满足于此，继续提问:我们 班同学中最大与最小年龄分别是20岁和17岁，现在，年 龄$满足①"！$成立，其中满足条件的"的范围应该如 何去求呢？②存在$，]"!$，满足条件的"的范围应该 如何去求呢？学生在熟悉的背景中学习顿感轻松.该老师紧接着又进行了变式：若"$ # [1，3]，且令$2+2$+m!0成立，则"的取值范 围如何？思考方法跟上题相比是类似的，关键是求岀/($)' $2+2$在[1，3]上的最值.追问:若是填空题，如何才能尽快求岀（$)'$2%2$的 最值？若是解答题，又应该如何去求（$)的最值.学生经过简短的思考很快便产生了小题运用复合 函数的单调性、解答题运用求导或单调性定义来解决问 题这一答案.该老师在学生的思维上进行了板书以规范 学生的解题过程.从以上题组的练习与分析可以得出研究函数问题 的基本点是其单调性，而函数问题研究与解决的交汇点 则是不等式与导数等知识的交汇.涉及参数的函数问题 则应该首先将参数分离并转化.评析:在知识网络的交汇点处进行例题的设计并进 行变式，所有的问题经过比较与辨析都转化成了函数问 题的核心内容一单调性问题，数形结合等数学思想在 这样利于总结的比较与分析中得以渗透，教学的近期与 远期目标也更加和谐与统一.三、通过解题策略的指导促进学生能力提升立足基本点、形成交汇点并最终抵达制高点的高考16 十-?炎，？高中版数学复习往往还需要直觉、估算、转换视角等思维方式 参与才能取得最为完美的效果.例2已知奇函数（$)是R上的单调增函数，数列 1F是等差数列，且〇2>0,试证明:（(1)+(〇2)+((3)>0.2018年2月图2分析：（1)采取具体例子或图像来降低解题抽象度；(2)化整为零，局部解决.证明：因为〇2>0,而/($)是在R上的增函数，所以 /(()>/(0)，而/($)是在R上的奇函数，故/(0)'0,所 以/(()>/(0)=0.又因为I(X是等差数列，故2〇2'a1+〇3>0, 所以屯!，，所以（a1)>(-a3)'-/ta3)，BP/(a1)+/(a3)>0,从 而^(1)+^(2)+^(3)>0.利用直观图像得到（（）>0是本题得以求解的关键，一旦将问题转化成（〇)>0的证明，那么此题的突破口完 全展现了.根据本例我们可以知道，数形结合的思想方法在函 数性质的研究中往往能使学生在直观的图像中轻松找 到问题解决的突破口.不过，课堂教学活动到这个时候并没有结束，“变更 命题后将会产生哪些新问题”是该老师抛出的又一启发 学生思考的问题.学生在该老师的启发下又从原命题、逆命题、否命 题等各个角度尝试进行命题的变更，这一连串的新命题 正是该老师留给学生课后思考、讨论、证明的作业.评析：（1)该老师通过背景介绍与解题策略指导将 一道比较有难度的例题放在了师生互动交流讨论中，学 生的思维方式在这个过程中得到了很好的优化，教育功 能一目了然.(2)变更命题后产生哪些新问题的追问使 得例题更具开放性和拓展性，课堂活动即将结束阶段的 思维高潮令学生往往意犹未尽，学生对解题步骤的完善 往往产生更大动力.这是一堂从基本点着手教学的案例分析课，学生 在教师的引导中学会了归纳数学思想与方法.例题的 变更也使得学生在分析问题、变更问题以及解决问题 的过程中不时经历思维的冲浪，学生在意犹未尽的思 维海洋中不断加深对知识的探究与巩固，课堂效率不同凡响.。

3
3
设 t = sin x ，则 t ∈[−1，1] ．
问题 ⇔ g(t)= 4 t2 − at + 1 ≥ 0 在 [−1，1] 上恒成立，
3
3
所以
a−1≥≤13t(<4t0+，1t )，且
0 a
让变式教学开点花
——一堂高三数学复习课的实践
刘佳辉 广东省深圳科学高中（518129）
高效的变式教学，教师应该进行精心的准备， 选择有代表性的变式，对学生进行全程的指导，教 师告诉学生变式的方法和技巧，引导学生进行试题 的变式，既充分调动学生学习的积极性，又让学生 在自主编题的过程中，互相提供丰富的学习资源， 培养学生分析问题和解决问题的能力，尤其是提出 问题的能力．只有让学生时刻把变式训练放在心里， 落实在行动上，经常实践，在获得对数学知识理解、 对习题类型与方法熟练的同时，学会学习与思考，
3.3 实用器具或图片引入课堂 高中数学实验是几乎没有的，很多人认为一张 纸一支笔就可以研究数学了，然而生活中处处有数 学，举目可见的器具都隐含着数学几何原理，尤其 是中国传统的建筑土木工程的一些工具、模具、构 件都有几何性质的应用．如墨盒、卯榫、阴阳角铲 等，若能在课堂上展示实物，让学生把玩把玩，那 是很有趣味的． 例 3 木工师傅在锯木板时，往往先在木板两端 用墨盒弹一根墨线然后再锯，“墨线盒”它是一种木工 使用的专业“划线”工具．它主要是在木料上画直线， 把蘸了墨的线从墨盒里拉出来，两头固定住，将线 从中间提起，然后松手，只听“啪”的一声，一条笔直 的黑线，就打在了木料上，木工就可以切割使用
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福建中学数学
2018 年第 7 期
（4）公元前几百年，富于理性思维的希腊人发 现，边长为１的正方形和正五边形对角线之长都不 是分数．从此，人类知道了世间还存在着另一类数， 那就是无理数，无理数的发现还发生过不可理喻的 惨案——不可名状，不可公夺，着实无理的数!

注重一题多变的深度整合提高高三复习的课堂效率作者：***来源：《物理教学探讨》2024年第03期收稿日期：２０２４－０１－０６作者简介：张露（１９８８－），女，中学一级教师，主要从事高中、初中物理教学工作。

摘要：以二轮专题复习“热学计算题”教学为例，将热学知识板块、热学物理模型和高考中热学的高频考点整合于一道题中，通过一题多变进行复习教学，呈现出“一题两模型四考点”的复习课堂，以此提高高三复习的课堂效率。

关键词：一题多变；深度整合；高三复习；课堂效率中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2024）3-0014-4在中学物理教学中，采用一题多变进行教学能有效突破教学难点，提升学生的物理思维品质［１］。

一题多变在一线教学中被广泛应用，如在习题课中用一题多变对某种题型进行归类解析；又如通过一题多变促进学生学习的高端进阶等。

那么，在高三复习的课堂中，如何利用一题多变的教学方法来提高高考复习的课堂效率呢？笔者以二轮专题复习“热学计算题”教学为例，将高考对学生的要求等因素整合在一道题中，通过变式进行复习教学，以期提高高三复习的课堂效率。

１中学物理教学中的习题变式教学物理习题变式教学，是指在解决原型题的基础上，通过变换题中的初始条件、情境、模型、问题等要素，使问题的本质属性保持稳定的同时产生新的问题情境，引导学生从不同方面思考，用不同方法解决问题的一种教学方法。

它引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，能够让学生对物理概念和物理规律的理解更加透彻。

习题变式教学的教学方式主要有一题多变、一题多解、多题归一。

其中，一题多变最受一线教师们青睐。

一题多变使一道题变成一类题，达到举一反三、触类旁通的目的，培养了学生良好的思维品质和创新能力［２］。

同时为学生省下大量的审题时间，将更多的精力专注到知识点的剖析上，又可以让不同层次的学生都有收获［３］。

•课堂观察厕炎T越横习课中白仙游现代中学许世敬随着新课程改革的不断深化，高中数学教育理念也有了新的改观。

高考数学命题的目标不再是仅仅让学生学会利用定理公式解题，它更重要的考查方向是学生的能力、素养和思维。

因此，在数学总复习时，我们不仅要梳理高中数学知识、方法，而且更重要的是培养学生解决问题的能力，提升素养水平，锤炼思维品质。

一、问题的提出教师在日复一日的教学过程,如果不思考教学的得失，不调整教学的策略，是极易陷入教学的泥塘。

在多年的复习课教学中，笔者初始的做法就是认真梳理知识，辅之以足量的练习，而后评讲订正，这似乎是复习课该有的样子。

复习课的老路好走，但是效率不高，不够鲜活。

学生进入复习阶段时，已积累了最为丰富的知识储备，但是这些知识也是极为散乱和粗浅的。

复习课的重要意义在于梳理知识的同时，加深对知识的理解，促进知识的内化，实现对知识的运用。

这就需要教师探寻复习课的教学策略，思考如何把死板的复习课上好、上活。

二、“一题多变”策略的探索与效用为了解决上述问题，笔者在平时的教学过程中发现，“一题多变”的教学策略是提高复习效率行之有效的一种方法。

“变”是“一题多变”的关键和核心，教师设计时一定要弄清“变的目标、变的方式”o这样才能让学生在变式中获得知识的深刻理解，启发学生主动思考，进行知识的迁移与内化,触类旁通，举一反三。

同时，一题多变可以有效地促进思维能力的发展、技能的形成，形成一种积极、主动、探究的学习方式。

在平时复习课教学的过程中，笔者一宜注重”一题多变”教学手段的合理运用，本文以具体事例浅谈一题多变四种类型的策略和效用。

(―)改头换面，不离其宗例1:已知函数f(x)=x3+ax2-3x(a wR),若/'(l)=0,V xg［-2,2］都有f(x)<k恒成立，求实数k的取值范围。

变式：若/'(1)=0,V x15x2g［-2,2］都有|/(^)-/(%2)|<k恒成立，求实数上的取值范围。

在“变化”中提高高三数学复习效率摘要：在高三复习中，教师应该进行多“变”练习，通过多“变”练习，使学生深刻理解所学知识，识别问题的本质。

关键词：多“变”；练习；本质作者简介：陈祖朝，任教于广西贺州第二高级中学。

目前的高三数学复习比较普遍的情况是教师先给出本章、本节的知识点、解题方法、解题思想，然后是习题训练，练了讲，讲了练，不断地重复类似的题目。

考试时遇到熟悉的题目，一挥而就，成绩突出，但一旦题目发生一点变化，就会手忙脚乱，最终成绩惨不忍睹。

要解决这个问题，笔者的方法是在高三复习中进行多“变”练习，通过多“变”练习，使学生深刻理解所学知识，识别问题的本质，这样运用起来就会得心应手，高考时立于不败之地。

一、多角度研究、辨析定义我们要研究一个新事物，首先要对此事物下一个定义，描述出它具的本质属性。

数学定义是数学基础知识的核心，是打开数学殿堂的钥匙，所以要想学好数学，首先要学好定义，清楚、正确地理解定义所描述的本质属性以及定义的外延、深化。

数学定义有别于其它数学知识，它不仅要求学生要识记其内容，还要能灵活运用它来解决相关的实际问题。

定义复习课的重点应放在分析定义和运用定义上，通过正面理解、反面理解，定向、逆向的关系，正确描述、错误描述，正确运用、错误运用及拓展应用等多角度研究、辨析定义，使学生真正掌握和运用定义，遇到有迷惑必的问题时能抓住本质，不会被问题的枝枝节节所迷惑。

例如，在进行“直线的斜率”这个定义复习时，可先给出“斜率”的定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值等于这条直线的斜率。

要强调定义中的两要点：倾斜角不能是，倾斜角的正切值。

然后给出如下问题，以明确直线的斜率与其相关概念的逻辑关系，从而使学生能掌握斜率这个定义。

判断下列语句的对或错，并说明理由：问题1：所有直线都有倾斜角，所有直线都有斜率。

(定义的正反理解)此问题能让学生认识到：倾斜角为的直线无斜率，斜率是有限制条件的定义，使用时要注意。

再如，在复习“零点问题”时，笔者做了如下的变式。
本题的变式1和变式2整合了函数零点问题重要的转化思想，即函数零点问题方程的解的个数问题两个函数图像的交点个数问题。通过以上变式，学生对零点问题的认识和理解是呈螺旋式上升的，对知识的理解更为深刻，提高了学生的综合分析能力，达到了以一胜多的效果，提高了复习课的效率。
利用“一题多变”教学提高高三数学复习效率
作者：洪振川
来源：《教育界·基础教育》2019年第06期
【摘要】如何提高高三复习课的效率是许多高中教师比较头痛的事情，教师在复习过程中要讲解许多试题。而试题讲解中“一题多变”的课堂教学有助于学生从不同方面和多个角度对问题展开研究，其打破了“填鸭式”教学灌输的固定思维模式，使学生获得了更强的学习能力。一题多变在数学教学中的应用能够帮助学生建立完整系统的知识架构，使其学会用多种解题方法应对数学题目，从而提升其解题能力。通过一题多变的教学，教师不仅从题海战术中解脱出来，也提高了复习效率。
【参考文献】
尤荣勇.对高三数学首轮复习解题教学的建议[J].中学数学教学参考，2006（10）：45.
一、改变题目中的条件或结论，使学生快速掌握一类知识的题型
在一题多变教学中，教师可以改变题目中的条件或结论，使学生在同一背景的条件下，尽快地掌握一类知识的题型，从而提高教学效率，节约时间。
针对本题中变式1和变式2这样的变式，笔者在教学中解决了这一题型的教学问题，并联想到线性规划与非线性规划的最值问题。本题中变式3和变式4的变式，笔者把求此类最值问题推广到求圆锥曲线整大类的求最值问题，让学生做这一题型时能够举一反三，以提高学生的学习兴趣和教师的教学效率。在教学的最后，笔者还让学生自己变式，学生提出条件换成双曲线方程，结论换成z=x+2y等变式。在数学学科中通过模型内已知条件和未知条件之间的相互转换等变式，一题多变的系列提问，使学生的思维变得活跃、发散，达到一题多练的效果，还能将形似神不似的题目并列在一起比较，求同存异，从而培养学生条件转换、设问置疑、探究因果、主动参与、积极思考的好习惯，既减轻了学生的课业负担，培养了学生的探索精神，又提高了学生的解题能力和综合分析问题的能力。