61二次函数定义

二次函数的判别式与根的情况二次函数是高中数学中重要的一部分，它的判别式和根的情况是我们学习和掌握二次函数的基础。

通过研究二次函数的判别式和根的情况，我们可以更好地理解和运用二次函数，解决实际问题。

本文将对二次函数的判别式和根的情况进行详细的说明和分析。

一、二次函数的一般形式二次函数的一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

其中，a控制二次函数的开口方向，b控制二次函数的对称轴位置，c控制二次函数的纵轴截距。

二、二次函数的判别式二次函数的判别式是通过计算Δ = b^2 - 4ac来判断二次函数的根的情况。

判别式的值可以分为三种情况：1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根。

这表示二次函数与x轴交于两个点，即二次函数的图像与x轴有两个交点。

2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根。

这表示二次函数与x轴相切于一个点，即二次函数的图像与x轴有一个交点。

3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根，而是两个共轭复根。

这表示二次函数的图像与x轴没有交点，全部位于x轴上方或下方。

通过判别式的值，我们可以预测和判断二次函数与x轴的交点情况，从而更好地理解和掌握二次函数的性质和特点。

三、二次函数根的情况根据二次函数的判别式，我们可以进一步分析二次函数的根的情况：1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根。

这意味着二次函数的图像与x轴有两个交点，即二次函数的图像开口朝上或朝下，并且与x轴交于两个不同的点。

2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根。

这表示二次函数的图像与x轴相切于一个点，即二次函数的图像开口朝上或朝下，与x轴交于同一个点。

3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根，而是两个共轭复根。

这意味着二次函数的图像与x轴没有交点，即二次函数的图像完全位于x轴上方或下方，开口朝上或朝下。

根的情况进一步揭示了二次函数图像的性质和特点，帮助我们更好地理解和应用二次函数。

二次函数自变量取值范围一、二次函数的定义和特点二次函数是数学中的一种函数，其一般形式为f(x) = ax + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的特点包括：1.抛物线图像：二次函数的图像为一条抛物线。

2.顶点：抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3.开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

二、自变量取值范围的影响因素1.抛物线的顶点：自变量取值范围受到顶点坐标的影响。

2.开口方向：当抛物线开口向上时，自变量取值范围较大；当抛物线开口向下时，自变量取值范围较小。

3.抛物线与坐标轴的交点：抛物线与坐标轴的交点也会影响自变量的取值范围。

三、常见二次函数的自变量取值范围1.标准式：y = ax + bx + c，其中a ≠ 0。

这种二次函数的自变量取值范围为全体实数。

2.顶点式：y = a(x - h) + k，其中a ≠ 0，h、k为实数。

这种二次函数的自变量取值范围为全体实数。

3.截距式：y = a(x + b) + c，其中a ≠ 0，b、c为实数。

这种二次函数的自变量取值范围为全体实数。

四、如何确定二次函数的自变量取值范围1.根据二次函数的定义，判断抛物线的开口方向和顶点坐标。

2.分析抛物线与坐标轴的交点，确定自变量取值范围。

3.对于复合函数或含有绝对值等复杂情况的二次函数，需要进行分类讨论，逐步确定自变量取值范围。

五、实例分析以二次函数y = 2x - 3x + 1为例，先求出顶点坐标：顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中b = -3，a = 2。

顶点坐标为：(3/4, 1/8)。

由于a > 0，抛物线开口向上。

又因为抛物线与y轴交于点(0, 1)，所以自变量取值范围为全体实数。

综上，二次函数y = 2x - 3x + 1的自变量取值范围为全体实数。

二次函数的奇偶性分析二次函数即一元二次方程的图像可以分析其奇偶性。

对于一元二次方程y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

我们来探讨二次函数的奇偶性，并分析其图像的特点。

一、二次函数的定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数是一种常见的非线性函数，其图像通常呈现抛物线形状。

二、二次函数的奇偶性奇函数满足f(-x)=-f(x)，即函数图像关于y轴对称；偶函数满足f(-x)=f(x)，即函数图像关于原点对称。

我们将分别讨论二次函数的三个系数a、b、c对函数的奇偶性的影响。

1. a的奇偶性当a为正数时，二次函数的图像开口向上，是一个向上凸的抛物线，此时函数是一个偶函数。

例如，y=x^2、y=2x^2等都是以原点为中心的偶函数。

当a为负数时，二次函数的图像开口向下，是一个向下凸的抛物线，此时函数是一个奇函数。

例如，y=-x^2、y=-2x^2等都是以原点为中心的奇函数。

综上所述，a的奇偶性决定了二次函数的奇偶性。

2. b的奇偶性对于二次函数f(x)= ax^2+bx+c，b的奇偶性不会影响二次函数的奇偶性。

无论b是奇数还是偶数，二次函数的奇偶性都由a决定。

3. c的奇偶性对于二次函数f(x)= ax^2+bx+c，c的奇偶性也不会影响二次函数的奇偶性。

无论c是奇数还是偶数，二次函数的奇偶性仍由a决定。

通过分析二次函数的系数a、b、c，我们可以得出以下结论：当a为正数时，二次函数是一个偶函数，图像开口向上，以原点为中心；当a为负数时，二次函数是一个奇函数，图像开口向下，以原点为中心。

三、二次函数图像的特点1. 对称轴：二次函数的对称轴是与y轴平行的一条直线，可以通过求解x=-b/2a得到对称轴的方程。

2. 顶点：对称轴上的点称为顶点，也是二次函数的最值点。

通过对称轴方程求解可得到顶点的坐标。

3. 开口方向：a的正负决定了二次函数的图像开口方向，向上或向下。

二次函数与一次函数一、二次函数的定义与性质二次函数是指函数的自变量为二次方的多项式函数，一般的二次函数可以表示为：\[f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0) \]其中，a、b、c为实数，且a不等于0。

在这个函数中，x是自变量，f(x)是函数的值。

1. 定义二次函数中的平方项\(ax^2\)是二次项，一次项\(bx\)是一次项，常数项c是常数。

对于二次函数，它的图像通常是一个开口向上或者开口向下的抛物线。

2. 函数图像：开口方向和顶点位置根据二次函数的形式，可以得知函数的开口方向和顶点位置：- 如果a大于0，表明抛物线的开口向上；- 如果a小于0，表明抛物线的开口向下。

而抛物线的顶点位置可以通过一定的方法求解，其中，顶点的横坐标为\(x_v = \frac{-b}{2a}\)，纵坐标为\(y_v = f(x_v)\)。

3. 对称轴对于二次函数的图像，存在一条对称轴，即抛物线左右两侧的图像关于该直线对称。

对称轴的方程可以表示为\(x = \frac{-b}{2a}\)。

4. 判别式与根的情况对于二次函数的解析式\(f(x) = ax^2 + bx + c\)，其中判别式为\(D =b^2 - 4ac\)。

根据判别式可以判断二次函数的根的情况：- 当D大于0时，函数有两个不相等的实根；- 当D等于0时，函数有两个相等的实根；- 当D小于0时，函数无实根。

5. 求根公式当二次函数存在实根时，可以根据求根公式得到实根的解析表达式：\[ x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \quad x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \]二、一次函数的定义与性质一次函数是指函数的自变量是一次方的多项式函数，一般的一次函数可以表示为：\[ f(x) = kx + b \]其中，k和b为实数。

1. 定义一次函数是指只有一次方的函数，它的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，b表示直线与y轴的交点。

二次函数图表总结二次函数图表总结y＝ax图象2a>0ay＝ax+k图象2a>0a0开口对称性顶点k0ky＝a(x-ｈ)2图象a>0a0开口对称性顶点增减性h0hy＝a(x-ｈ)+k2a>0a0,k>0h>0,k0,kh0顶点是最低点左右平移y=ax2+k上下平移y=a(xh)2+k上下平移y=a(xh)2左右平移y=ax2一般地,抛物线y=a(x-h)+k与y=ax2的形状相同,位置不同。

2y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k扩展阅读：二次函数单元总结二次函数单元总结【知识归纳和总结】一、知识网络二次函数的定义yax2bxc(a0)yax2(a0)二次函数的图像ya(xm)2k(a0)yax2bxc(a0)二次函数二次函数的性质开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性，二次函数与一元二次方程的关系二次函数的应用最大面积、利润等二、知识要点分布1.二次函数的定义：形如yax2bxc(a、b、c为常数，a0）的函数叫二次函数。

任何一个二次函数的表达式都可以化为yax2bxc的形式，这就是二次函数的一般形式。

2.二次函数表达式的几种形式：（1）y=ax2；（2）y=ax2+k；（3）y=a(x+h)2；（4）（5）y=ax2+bx+c(a0)。

y=a(x+h)2+k；3.二次函数表达式的形式及对称轴、顶点坐标。

（1）一般式：yaxbxc(a、b、c为常数，a0），其对称轴为直线x=-2b，顶点2ab4ac-b2坐标为-,。

2a4a（2）顶点式：y=a(x+h)+k(a、h、k为常数，a0），其对称轴为直线x=-h，顶点坐标为-h,k。

（3）交点式：y=ax-x1x-x2，其中a0，x1、x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标，即一元二次方程ax-x1x-x2=0的两个根。

4.二次函数图像之间的平移关系1向上（k>0）或向下（k0）或向下（k0）或向下（k0a对称轴顶点坐标直线x=-b2a直线x=-b2ab4ac-b2-,2a4a当x-小；当x-大；b4ac-b2-,2a4a 当x-大；性质增减性b时，y随x的增大而减2ab时，y随x的增大而增2ab时，y随x的增大而增2ab时，y随x的增大而减2a当x-小；最值当x=-b时，y有最小值，2a当x=-b时，y有最大值，2a4ac-b2y最小值=4a","p":{"h":19.298,"w":9.111,"x":407.786,"y":455.644,"z":象而具体了。

二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数得概念与图像1、二次函数得概念一般地,如果,那么y叫做x 得二次函数。

叫做二次函数得一般式。

2、二次函数得图像二次函数得图像就是一条关于对称得曲线,这条曲线叫抛物线。

抛物线得主要特征:①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。

3、二次函数图像得画法---五点法:二、二次函数得解析式二次函数得解析式有三种形式:(1)一般式:(2)顶点式:(3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根与存在时,根据二次三项式得分解因式,二次函数可转化为两根式。

如果没有交点,则不能这样表示。

三、抛物线中,得作用(1)决定开口方向及开口大小,这与中得完全一样、(2)与共同决定抛物线对称轴得位置、由于抛物线得对称轴就是直线,故:①时,对称轴为轴所在直线;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧、(3)得大小决定抛物线与轴交点得位置、当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):①,抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴、以上三点中,当结论与条件互换时,仍成立、如抛物线得对称轴在轴右侧,则、四、二次函数得性质1、二次函数得性质一元二次方程得解就是其对应得二次函数得图像与x轴得交点坐标。

因此一元二次方程中得,在二次函数中表示图像与x轴就是否有交点。

当>0时,图像与x轴有两个交点;当=0时,图像与x轴有一个交点;当<0时,图像与x轴没有交点。

补充:函数平移规律:左加右减、上加下减六、二次函数得最值如果自变量得取值范围就是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,。

如果自变量得取值范围就是,那么,首先要瞧就是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内得增减性,如果在此范围内,y随x得增大而增大,则当时,,当时,;如果在此范围内,y随x得增大而减小,则当时,,当时,。

典型例题1、已知函数,则使y=k成立得x值恰好有三个,则k得值为( )A.0B.1C.2D.32、如图为抛物线得图像,A、B、C为抛物线与坐标轴得交点,且OA=OC=1,则下列关系中正确得就是( )A.a＋b=－1B. a－b=－1C. b<2aD. ac<03、二次函数得图象如图所示,则反比例函数与一次函数在同一坐标系中得大致图象就是( )、4、 如图,已知二次函数得图象经过点(－1,0),(1,－2),当随得增大而增大时,得取值范围就是 .5、 在平面直角坐标系中,将抛物线绕着它与y 轴得交点旋转180°,所得抛物线得解析式就是( ).A. B.C. D.6、 已知二次函数得图像如图,其对称轴,给出下列结果①②③④⑤,则正确得结论就是( )A ①②③④B ②④⑤C ②③④D ①④⑤ 7.x … －2 －1 0 1 2 … y…4664…从上表可知,下列说法中正确得就是 .(①抛物线与轴得一个交点为(3,0); ②函数得最大值为6;③抛物线得对称轴就是; ④在对称轴左侧,随增大而增大.8、 如图,在平面直角坐标系中,O 就是坐标原点,点A 得坐标就是(－2,4),过点A 作AB ⊥y 轴,垂足为B ,连结OA . (1)求△OAB 得面积; (2)若抛物线经过点A . ①求c 得值;②将抛物线向下平移m 个单位,使平移后得到得抛物线顶点落在△OAB 得内部(不包括△OA B 得边界),求m 得取值范围(直接写出答案即可).9.已知二次函数y =14 x 2+ 32x 得图像如图.(1,-2)-1(1)求它得对称轴与x 轴交点D 得坐标;(2)将该抛物线沿它得对称轴向上平移,设平移后得抛物线与x 轴、y 轴得交点分别为A 、B 、C 三点,若∠ACB =90°,求此时抛物线得解析式;(3)设(2)中平移后得抛物线得顶点为M ,以AB 为直径,D 为圆心作⊙D ,试判断直线CM 与⊙D 得位置关系,并说明理由.10、 如图,在平面直角坐标系xOy 中,AB 在x 轴上,AB ＝10,以AB 为直径得⊙O′与y 轴正半轴交于点C ,连接BC ,AC 、CD 就是⊙O′得切线,AD ⊥CD 于点D ,tan ∠CAD ＝,抛物线过A ,B ,C 三点、(1)求证:∠CAD ＝∠CAB ; (2)①求抛物线得解析式;②判定抛物线得顶点E 就是否在直线CD 上,并说明理由;(3)在抛物线上就是否存在一点P ,使四边形PBCA 就是直角梯形、若存在,直接写出点P得坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由、11、 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 就是直角梯形,BC ∥AD ,∠BAD = 90°,BC 与y 轴相交于点M ,且M 就是BC 得中点,A 、B 、D 三点得坐标分别就是A (-1,0),B ( -1,2),D ( 3,0),连接DM ,并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ,若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N .(1)求抛物线得解析式(2)抛物线上就是否存在点P .使得P A = PC .若存在,求出点P 得坐标;若不存在.请说明理由。

二次函数基础及应用二次函数，在数学中是一种重要的函数形式。

它的表达式通常为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

本文将介绍二次函数的基础知识，并探讨一些它在实际应用中的使用。

一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax^2+bx+c。

其中，a代表抛物线的开口方向和狭宽程度，正值表示向上开口，负值表示向下开口；b代表抛物线在x方向的平移；c代表抛物线与y轴的交点。

二、二次函数的图像特点对于二次函数y=ax^2+bx+c，根据a的值的不同，抛物线的图像会有以下几种情况：1. 当a>0时，抛物线向上开口，最低点在顶部，为最小值点；2. 当a<0时，抛物线向下开口，最高点在顶部，为最大值点。

三、二次函数的性质1. 零点和根在二次函数中，零点和根是指使函数等于零的x值。

二次函数的零点可以通过解方程ax^2+bx+c=0来求解。

根据韦达定理，二次函数的判别式Δ=b^2-4ac可以帮助我们判断二次函数的零点个数和性质。

- 当Δ>0时，二次函数有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，二次函数有两个相等的实根；- 当Δ<0时，二次函数没有实根。

2. 对称轴二次函数的对称轴是其抛物线的对称轴。

对称轴的方程可以通过x=-b/(2a)得到。

3. 极值点在二次函数的顶点或者底点，函数取得最大或最小值，称为极值点。

根据抛物线的开口方向，可以判断极值点是最大值还是最小值。

四、二次函数的应用二次函数在现实生活中具有广泛的应用。

下面将介绍一些常见的应用场景：1. 抛物线的建模许多物理问题可以通过二次函数来建模。

例如，一个抛出的物体在空中的高度可以用二次函数来描述，通过分析抛体运动方程可以确定其最高点、最远距离等关键属性。

2. 金融与经济学在金融和经济学中，二次函数经常用于描述成本、收益、利润等与产量或销量相关的指标之间的关系。

通过分析二次函数的图像和性质，可以计算最优产量或者销量，帮助决策者做出最佳决策。