全等三角形动点问题(人教版)(含答案)

全等三角形之动点问题（一）1、已知:如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,点D为AB的中点.点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点以每秒a个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒,若某一时刻△BPD与△CQP全等,求t的值与相应的点Q的运动速度a2、如图，在等边ABC∆的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：︒CQE=∠60（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确3、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证BA O DC E图84. 如下图，已知正方形ABCD 中，边长为10厘米，点E 在AB 边上，BE=6厘米．（1）如果点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPE 与△CQP 是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPE 与△CQP 全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形ABCD 四边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇？5、如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；6、ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.C B OD图7AE全等构造角平分线类1如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A2如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A3如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC4如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C A5已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、 CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA6如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求证：FE FD =．CDBACBAFBEDCA7如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

全等三角形之动点问题（综合测试）（人教版）一、单选题（共10道，每道10分）1•如图，在长方形ABCD中，BC=8cm, AC=10cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC方向向点C运动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P, Q两点中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ•设点P的运动时间为t秒，当t为（）时，△ PQC是以PQ为底的等腰三角形.A DA.5B.-10C.4D.-答案：D解题思路：点只。

速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点间题 的解决方法解抉； ① 研究基本图形，标注：g② 研究动点运动状态.包括起点、终点、状态转折点、速度、 时间范围， 如图；③ 表达线段长，建等式.点P 已走路程AP=2t,则CP=10-2/； 点Q 已走路程CQ=t.^PQC 是以尸。

为底的等腰三角形, 可知CP=CQ r即 10-2t=t r故选D.试题难度：三颗星知识点：动点问题2•已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC=18, BC=12,点D 为AB 的中点.点 P 在线段 BC 上以每 秒 3个单位的速度由B 点向C 点运动，同时点 Q 在线段CA 上以每秒a 个单位的速度由C 点向 A 点匀速运动，连接DP, QP.设点P 的运动时间为t 秒，解答下列问题：0<r<5t的取值范围为（）—y JC.0W£W12D.0W（W18答案：A解题思路：根据题意列动点运动的路线图为乂（3/s）P\B 45>C F秒（£Z/S）O:C----- A对应的F的取值范围为OGW 4・故选A.试题难度：三颗星知识点：动点问题3.（上接第2题）（2）若某一时刻△ BPD与厶CQP全等，则t的值与相应的A.t=2，CQ=9B.t=1, CQ=3或t=2，CQ=9C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6D.t=1，CQ=3答案：B解题思路：①要使△ BPD^2ACOP,则需BD^CP且.”=1"：C0 = 3②要使△ BPD^i^CPQ, 则需BD^CQ且BP=CP f gp|9 = CG^3r=12-3r.\t-2"\CQ = 9综上z=l・口2=3或戶2, CQ=9. 故选B.试题难度：三颗星知识点：动点问题4.(上接第2, 3题)(3)若某一时刻△ BPM A CPQ贝U a=( ) CQ的长为（）（1）根据点P的运动，对应的3A/- B.2gC.3D.l答案：D解题思路：当厶BPD辿CPQ时.由第3题可知’ t=2. CQ = 9,故选D*试题难度：三颗星知识点：动点问题5•在梯形ABCD中，AD// BC, DE丄BC于E,且AD=8, EC=6 BE=14.动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿DA向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿BC向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动，设运动的时间为t 秒•请回答下列问题：（1）线段PD, QE的长可用含t的式子分别表示为（A.3t; 8-2tB.2t; 8-2tC.2t; 14-3tD.2t; 14-3t 或3t-14答案：C解题思路：根据题意列动点运动的路线图为:（2⑸只D 耳J（秒20（3 /s）Q B ——> -- ►C0 拓 f W 4根据点P的运动，DP=2t.因为J»E=14t OWrWA,点Q只在衣£上运动，而且到不了点£BO=3r,所以仑£=14—3九故选C.6.（上接第5题）（2）连接DQ，当t为何值时，△ DQE^A DCE根据题意可建等式为（）A.3t=6B.14-3t=6C.14-3t=8D.14-3t=6 或3t-14=6答案：B 解题思路:要^.A DOE^A DCE,则需OE=CE f即14—306 故选B.7•已知：如图，在长方形ABCD中，AB=6cm, BC=10cm.动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动时间为t秒.请回答下列问题：A.OW泾鬼0冬任5c.O W8D.5W£ W 8答案：D 解题思路:根据题意列动点运动的路线图为:(2on⑤ P： 8―辽a C 3s» D―邑亠 A t秒当点P在线段CD上运动时，时间范围是故选D*8.（上接第7题）（2）当-门•…时，△ ABP的面积S可用含t的式子表示为（A.12t-96B.-6t+78C.-12t+156D.6t-48答案：B解题思路:2 )cm •（1 ）点P在线段CD上运动的时间范围是（如图，当8^ I <13时，点尸在线段/D上运动:此时BC+CD-DP=2t r因此AP=BC+CD^AD-(BC^CDWP)=^ BC+CLH-AD”2=26-2/, &_如=£ - AB AP = + 78) cm ^.故选B-9•已知：如图，正方形ABCD的边长为8,动点P从点B出发沿BC-CD-DA方向以每秒2个单位的速度运动，到达点A时停止运动.连接AP, BP.设点P运动时间为t秒，请回答下列(1)当点P在线段CD上运动时，线段CP的长可用含t的式子表示为()A.8-2tB.2t-8C.18-2tD.16-2t答案：B 解题思路:根据题意列动点运动路线图为= （2/5）P\B 4s > C 4s■>£> —当点尸在CD 边上运动时，如图:已走路程为* 2t=BC^CP f因此CP=2t-S・故选B.10.（上接第9题）（2 ）若厶ABP的面积为16，则t的值为（）A.1B.2C.2 或10D.2 或6答案：C解题思路:①当0<^4时，点尸在SC±,如图:Sf=16t解得t= 2 ,检脸可知2在范围内,故可取I②当时，点尸在CD上，如图：S = i 8-E = 32 ,不可能取至II 故不存在匚③当&CK12时，点尸在D4上.如图：B C= i 8 (24-20=^-Sr96-S^16,解得/=10»检验可知10在范围内，故可职综上* r的值为2或10.故选C.。

三角形全等之动点问题（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6．【思路分析】1．研究背景图形，标注四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．0≤t ≤6DC(2/s) P ：②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上，PDCBA此时AP =2t ，AD =4，12ADP S AD AP =⋅⋅△，即16422t =⋅⋅，32t =，符合题意．②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上，P DC BAA BCDABCDP DCB A此时1144822ADP S AD AB =⋅⋅=⨯⨯=△，不符合题意，舍去．③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上，PAB CD此时DP =12-2t ，AD =4，12ADP S AD DP =⋅⋅△，即164(122)2t =⋅⋅-，92t =，符合题意． 综上，当t 的值为32或92时，△ADP 的面积为6．➢ 巩固练习1. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，AB =6，D 为BC 边上一点，AP且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，点P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x为何值时，△PBE≌△QBE．3.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=10 cm，点D为边AB上一点，AD=6 cm．点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设CQBEPA DA点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q 的运动速度．4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？5.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．➢思考小结1.动点问题的处理方法：①______________________；②______________________，________；③______________________，________．2.分析运动过程包括4个方面（四要素）：①起点、________、__________；②_________________________；③根据_____________分段；④所求目标．3.当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题也是如此．具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．【参考答案】1.当t为4秒时，△BPA≌△ADC2.当x为83秒时，△PBE≌△QBE3. ①当t 为52秒时，△BPD ≌△CPQ ，此时Q 的速度为85cm/s ． ②当t 为3秒时，△BPD ≌△CQP ，此时Q 的速度为2cm/s ． 4. （1）①全等②Q 的速度为4cm/s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等 （2）经过24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇． 5．（1）034351258432t s t t s t s t <=<=<<=-+≤≤，，，（2）t 为1秒或7秒时，△ABF 与△DCE 全等。

精品资料·人教版初中数学三角形全等之动点问题（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6．【思路分析】1．研究背景图形，标注四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．0≤t ≤62s2sDC(2/s) P ：②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上，PDCB A此时AP =2t ，AD =4，12ADP S AD AP =⋅⋅△，即16422t =⋅⋅，32t =，符合题意．PDC B A ABCDABCD②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上，P DCB A此时1144822ADP S AD AB =⋅⋅=⨯⨯=△，不符合题意，舍去．③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上，PAB CD此时DP =12-2t ，AD =4，12ADP S AD DP =⋅⋅△，即164(122)2t =⋅⋅-，92t =，符合题意． 综上，当t 的值为32或92时，△ADP 的面积为6．➢巩固练习1.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D为BC边上一点，且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，点P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x为何值时，△PBE≌△QBE．3.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=10 cm，点D为边ABAPB D CCQBEPA DQC BDA上一点，AD=6 cm．点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？5.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．➢思考小结1.动点问题的处理方法：①______________________；②______________________，________；③______________________，________．2.分析运动过程包括4个方面（四要素）：①起点、________、__________；②_________________________；③根据_____________分段；④所求目标．3.当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题也是如此．具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．【参考答案】1.当t为4秒时，△BPA≌△ADC2.当x为83秒时，△PBE≌△QBE3. ①当t 为52秒时，△BPD ≌△CPQ ，此时Q 的速度为85cm/s ． ②当t 为3秒时，△BPD ≌△CQP ，此时Q 的速度为2cm/s ． 4. （1）①全等②Q 的速度为4cm/s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等 （2）经过24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇． 5．（1）034351258432t s t t s t s t <=<=<<=-+≤≤，，，（2）t 为1秒或7秒时，△ABF 与△DCE 全等。

全等三角形之动点问题（框架）（一）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知：如图，AB=16cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向点B运动．设点P 运动的时间为t秒，请解答下列问题：（1）用含t的式子表示线段AP，PB长分别为( )cm．A.t；16-tB.2t；16-2tC.2t；16-tD.t；16-2t答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）点P出发( )秒到达B点．A.4B.8C.10D.16答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.已知：如图，AB=18cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向点B运动，动点Q 从点B出发，沿BA以1cm/s的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请解答下列问题：（1）用含t的式子表示线段AP，QB长分别为( )cm．A.18-2t；2tB.t；18-tC.t；2tD.2t；t答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）若P，Q出发t秒后相遇，下列哪个式子不能求出此时t的值( )A.2t+t=18B.2t=18-tC.t=18÷2D.t=18÷(2+1)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第3，4题）（3）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6cm，则此时t的值为( )A.4B.6C.8D.9答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=9厘米．点P从点A出发，沿AB边向终点B以1厘米/秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向终点C以2厘米/秒的速度移动，连接PQ．如果P，Q两点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒，请回答下列问题：（1）用含t的式子表示线段BP，BQ的长分别为( )厘米．A.t；9-2tB.t；2tC.6-t；2tD.6-t；9-2t答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.（上接第6题）（2）当△BPQ为等腰直角三角形时，t=( )A.1秒B.2秒C.3秒D.4秒答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.已知：如图，A，B，C三点在同一条直线上，线段AB=10厘米，BC=30厘米．点P自点A 沿线段AC以3厘米/秒的速度向点C运动，同时点Q自点B沿线段BC以2厘米/秒的速度向点C运动，当P运动到点C时，两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请回答下列问题：（1）用含t的式子表示线段AQ，PC的长分别为( )厘米．A.2t；30-3tB.10+2t；30-3tC.2t；40-3tD.10+2t；40-3t答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.（上接第8题）（2）当点P，Q相遇时，根据题意建立等式正确的是( )A.2t+3t=10+30B.10+2t=40-3tC.10+2t=30-3tD.10+2t=3t答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题10.（上接第8，9题）（3）两点同时停止运动时，点P的运动时间为( )A.秒B.秒C.15秒D.20秒答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。

全等三角形中的动点问题全等三角形的判断与定义1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

2.判定：(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

3.性质：(1)全等三角形的对应角相等。

(2)全等三角形的对应边相等。

(3)全等三角形的对应边上的高对应相等。

(4)全等三角形的对应角的角平分线相等。

(5)全等三角形的对应边上的中线相等。

(6)全等三角形面积相等。

(7)全等三角形周长相等。

(8)全等三角形的对应角的三角函数值相等。

1、如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．(1)求证：在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC；(2)当取何值时，△DFE与△DMG全等；(3)在(2)的前提下，若，，求S△BFD．（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF=DM，∵S△AED=AE•DF，S△DGC=CG•DM，∴=，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴AE=2tcm，CG=tcm，∴=2，即=2，∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．（2）解：设时间为t时，△DFE与△DMG全等，则EF=MG，①当M在线段CG的延长线上时，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，即10-2t=4-t，解得：t=6，当t=6时，MG=-2，所以舍去；②当M在线段CG上时，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），即10-2t=t-4，解得：t=，综上所述当t=时，△DFE与△DMG全等．（3）∵t=，∴AE=2t=（cm），∵DF=DM，∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=BD：CD=119：126，∵AC=14cm，∴AB=（cm），∴BF=AB-AF=-10=（cm），∵S△ADE：S△BDF=AE：BF=：，S△AED=28cm2，∴S△BDF=（cm2）．解析：（1）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．（2）若△DFE与△DMG全等，则EF=MG，利用已知条件求出EF和MG的长度，建立方程解方程即可求出运动的时间．（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，点P从A出发向C以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动．(1)几秒后，△CPQ的面积为Rt△ABC的面积的？(2)填空：①点经过_____秒，点P在线段AB的垂直平分线上．②点Q经过_____秒，点Q在∠BAC的平分线上．（1）设经过x秒，首先求得线段BC的长，然后分x≤6和6＜x≤8两种情况列方程求解即可；（2）①点P在线段AB的垂直平分线上，即可得到PA=PB，从而求得时间；②点Q在∠BAC的平分线上，则Q点到AC和AB的距离相等．解；（1）设经过x秒．在Rt△ABC中，根据题意得；当x≤6时，（8-x）x=××8×6解得：当6＜x≤8时，（8-x）×6=37解得：x=7答：经过7秒或秒．（2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，PA=PB，∵设经过x秒后点P在线段AB的垂直平分线上，∴x2=（8-x）2+62解得：x=，∴经过秒，点P在线段AB的垂直平分线上②如图，作QD⊥AB于点D，∵点Q在∠BAC的平分线上，∴QD=QC，设经过x秒，则CQ=x，则QD=（6-x），∴x=（6-x），解得：x=，∴点Q经过秒，点Q在∠BAC的平分线上．3、如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是()A.8cm2B.16cm2C.24cm2D.32cm2解：根据题意沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，∴AP=2t，AQ=t，S△APQ=t2，∵0＜t≤4，∴三角形APQ的最大面积是16．故选B．4、如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)(1)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；(2)当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？(直接回答成立或不成立)(3)当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．∵∠APB=∠PAE+∠PEA，∴∠APB=∠PAC+∠PBD；解法二：如图2过点P作FP∥AC，∴∠PAC=∠APF．∵AC∥BD，∴FP∥BD．∴∠FPB=∠PBD．∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD；解法三：如图3，∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∴∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）不成立．（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．（b）当动点P在射线BA上，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．选择（a）证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M．∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD．又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠PBD=∠PAC+∠APB．选择（b）证明：如图5∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．选择（c）证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．∵∠PAC=∠APF+∠PFA，∴∠PAC=∠APB+∠PBD．解析：（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．6、如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF．(1)试说明BF=CE的理由；(2)当E、F相向运动，形成如图2时，BF和CE还相等吗？请说明你的结论和理由．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，∵∠ABC=∠DCB，∴∠BAD=∠CDA，∵AE=DF，∴AE+AD=DF+AD，即AF=DE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABt≌△DCE（SAS），∴BF=CE；（2）相等．在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴BF=CE．解析：（1）根据两直线平行，同旁内角互明证明∠BAD=∠CDA，根据AE边DF证明AF=DE，再根据边角边定理证明△ABF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等即可证明BF=CE．（2）利用边角边定即证明△ABC和△DCB全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明7、如图，已知△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在线段BC上由C点向B点运动，运动速度与点P的运动速度相等，点M是AB的中点．(1)在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等，请说明理由；(2)在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积是否变化？若变化说明理由；若不变，求出这个四边形的面积；(3)线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系，写出这个关系，并加以证明．解：（1）在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等．理由如下：∵在△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，点M是AB的中点，∴∠A=∠MCQ=45°，AM=CM，∴在△APM与△CQM中，，∴△APM与△CQM（SAS）；（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米2，理由如下：由（1）知，△APM与△CQM，∴S△APM=S△CQM，∴S四边形PMQC=S△AMC=S△ABC=AC•BC=×8×8=32（厘米2），即在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米2；（3）AP2+BQ2=PQ2．证明如下：∵由（1）知，△APM与△CQM，∴AP=CQ，又AC=BC，∴PC=BQ，∴AP2+BQ2=CQ2+CP2=PQ2．即AP2+BQ2=PQ2．解析：（1）通过SAS证得△APM与△CQM；（2）由（1）中的全等三角形的面积相等可以推知：S四边形PMQC=S△AMC=S△ABC；（3）AP2+BQ2=PQ2．利用（1）中的全等三角形的对应边相等推知AP=CQ，则PC=BQ，所以在直角△PCQ中，利用勾股定理推得AP2+BQ2=PQ2．8、如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？解：（1）①∵t=1秒，∴BP=CQ=3×1=3厘米，∵AB=10厘米，点D为AB的中点，∴BD=5厘米．又∵PC=BC-BP，BC=8厘米，∴PC=8-3=5厘米，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP．（SAS）②∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴点P，点Q运动的时间秒，∴厘米/秒；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x=3x+2×10，解得．∴点P共运动了×3=80厘米．∵80=56+24=2×28+24，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．解析：（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．9、如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？分析：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可．解答：解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，∵△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且BD=PC，BP=CQ，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，∵AB=AC，∴∠B=∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；①当BD=PC且BP=CQ时，8-3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8-3t，解得：x=；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．点评：本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．10、在△ABC中，AB=AC，(1)如图①，若∠BAC=45°，AD和CE是高，它们相交于点H．求证：AH=2BD；(2)如图②，若AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点M为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．如果在运动过程中存在某一时刻使得△BPM与△CQP全等，那么点Q的运动速度为多少？点P、Q运动的时间t为多少？解：（1）证明：在△ABC中，∵∠BAC=45°，CE⊥AB，∴AE=CE，∠EAH=∠ECB，在△AEH和△CEB中，，∴△AEH≌△CEB（ASA），∴AH=BC，∵BC=BD+CD，且BD=CD，∴BC=2BD，∴AH=2BD．（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPM与△CQP全等有两种情况：△BPM≌△CPQ 或△BPM≌△CQP当△BPM≌△CPQ时，BP=PC=4，CQ=BM=5，∴点P，点Q运动的时间秒，∴厘米/秒．当△BPM≌△CQP时，BP=CQ，∴V Q=V P=3厘米/秒．此时PC=BM=5，t=秒．综上所述，点Q的运动速度为厘米/秒，此时t=秒或点Q的运动速度为3厘米/秒，此时t=1秒．解析：（1）证得△BCE≌△HAE，证得AH=BC，证得AH=2BD；（2）根据全等三角形应满足的的件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度B11、如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：(1)若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是______；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB=k•AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明分析：（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．（2）直接类比（1）中结果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．解答：解：（1）①BD=CE；②AM=AN，∠MAN=∠BAC，∵∠DAE=∠BAC，∴∠CAE=∠BAD，在△BAD和△CAE中∵∴△CAE≌△BAD（SAS），∴∠ACE=∠ABD，∵DM=BD，EN=CE，∴BM=CN，在△ABM和△ACN中，∵∴△ABM≌△ACN（SAS），∴AM=AN，∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC；（2）AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．点评：本题考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目．12、已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D(-m，-m)为AC上的点(m＞0)(1)试分别求出A，B，C三点的坐标；(2)设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？请说明理由；(3)若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且∠PQA=60°，当Q在第四象限内运动时，下列说法：(i)∠APQ+∠PBQ的度数和不变；(ii)∠BAP+∠BQP的度数和不变，其中有且只有一个说法是正确的，请判断正确的说法，并求这个不变的值．解：（1）∵OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°，∴∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=45°，∴∠ACB=90°，又△ABC的面积为9，∴OA=OC=OB=3，∴A（-3，0），B（3，0），C（0，-3）；（2）当t=3秒时，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．理由如下：连接OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，∵D（-m，-m），∴DM=DN=OM=ON=m，∴∠DOM=∠DON=45°，而∠ACO=45°，∴DC=DO，∴∠PCD=∠BOD=135°，又CP=OC=OB，∴△PCD≌△BOD （SAS），∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，∴∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB．（3）解：（i）正确．在QA上截取QS=QP，连接PS．∵∠PQA=60°，∴△QSP是等边三角形，∴PS=PQ，∠SPQ=60°，∵PO是AB的垂直平分线，∴PA=PB 而PA=AB，∴PA=PB=AB，∴∠APB=60°，∴∠APS=∠BPQ，∴△APS≌△BPQ，∴∠PAS=∠PBQ，∴∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS=120°．解析：（1）利用OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°得出∠ACB=90°，再利用△ABC的面积为9，得出OA=OC=OB=3 即可得出各点的坐标；（2）作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，假设出D点的坐标，进而得出△PCD≌△BOD，进而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB；（3）在QA上截取QS=QP，连接PS，利用∠PQA=60°，得出△QSP是等边三角形，进而得出△APS≌△BPQ，从而得出∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS得出答案．13、如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．(1)求证：BP=DP；(2)如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．分析：（1）由正方形的性质可证△ABP≌△ADP，即BP=DP；（2）当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立；（3）由旋转的性质和正方形的性质可证△BEC≌△DFC，即BE=DF．解答：（1）证明：证法一：在△ABP与△ADP中，∵AB=AD∠BAC=∠DAC，AP=AP，∴△ABP≌△ADP，∴BP=DP．（2分）证法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP．（2分）（2）解：不是总成立．（3分）当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立，（5分）说明：未用举反例的方法说理的不得分．（3）解：连接BE、DF，则BE与DF始终相等，，在图1中，由正方形ABCD可证：AC平分∠BCD，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴PE=PF，∠BCD=90°，∴四边形PECF为正方形．（7分）∴CE=CF，∵∠DCF=∠BCE，BC=CD，∴△BEC≌△DFC，∴BE=DF．（8分）点评：本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定，以及正方形的性质．14、如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠B=∠C，BC=8，点D从B点出发沿线段BC向C运动(D不与B、C重合)，点E从点C出发沿线段CA向A运动(E不与A、C重合)，它们以相同的速度同时运动，连结AD、DE．若要使△ABD≌△DCE，①请给出确定D、E两点位置的方法(如指明CD长度等)，并说明理由；②此时∠ADE与∠C大小关系怎样？为什么？解：①DC=5，理由是：∵BC=8，CD=AB=5，∴BD=8-5=3，即CE=BD=3，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE，即当CD=5时，△ABD≌△DCE．②∠ADE=∠C，理由是：∵△ABD≌△DCE，∴∠BDA=∠DEC，∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC=180°-∠ADB-∠EDC，∵∠ADE=180°-∠BDA-∠EDC，∴∠ADE=∠C．解析：①CD=5时，根据SAS推出△ABD≌△DCE即可．②根据全等三角形性质得出∠BDA=∠DEC，根据三角形内角和定理求出∠C=180°-∠ADB-∠EDC，求出∠ADE=180°-∠BDA-∠EDC，即可得出答案．15、如图：△ABC中，AB=AC=5(即有∠B=∠C)，BC=8，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，点E在线段AC上运动(E不与A、C重合)，连结AD、DE．(1)点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____(填“大”或“小”)；(2)若要使△ABD≌△DCE，①请给出确定D、E两点位置的方法(如指明某些线段的长度等)，并说明理由；②此时∠ADE与∠C大小关系怎样？为什么？（1）根据BD边逐渐增长可得∠BAD逐渐增大，又因为∠B的大小固定不变，结合三角形内角和定理∠B+∠BAD+∠ADB=180°可得∠ADB逐渐减小．（2）①根据三角形全等的性质可得DC=AB，DB=CE，进而得到答案；②根据全等三角形的性质可得∠1=∠2，再根据∠1+∠B+∠ADB=180°，∠2+∠ADE+∠BDA=180°，可得∠ADE=∠B，进而得到∠ADE=∠C．解：（1）∵点D从B向C运动时，BD边逐渐变长，∴∠BAD逐渐增大，∵∠B的大小固定不变，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∴∠ADB逐渐减小；（2）①∵△ABD≌△DCE，∴DC=AB=5，CE=DB，∵BC=8，∴CE=DB=8-5=3；②∠ADE=∠C；理由：∵△ABD≌△DCE，∴∠1=∠2，∵∠1+∠B+∠ADB=180°，∠2+∠ADE+∠BDA=180°，∴∠ADE=∠B，∵∠B=∠C，∴∠ADE=∠C．17、如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD 于点F．(1)求证：EF+AC=AB；(2)点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动(不与点B重合)，同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)在(2)的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．分析：（1）过F作FM⊥AB于点M，首先证明△AMF≌△AEF，求出MF=MB，即可知道EF+AE=AB．（2）连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，证明Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1后推出A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1化简为E1F1+A1C1=AB．（3）设PB=x，QB=x，PB=1，E1F1=1，又推出E1F1+A1C1=AB，得出BD=．解答：（1）证明：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD 于点E．∴AE=AC，∠ABD=∠CBD=45°，∵AF平分∠BAC，∴EF=MF，又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM，∵∠MFB=∠ABF=45°，∴MF=MB，MB=EF，∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB．（2）E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系：E1F1+A1C1=AB证明：如图2，连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，∵A1F1平分∠BA1C1点/sub>，∴E1F1=PF1；同理QF1=PF1，∴E1F1=PF1=QF1，21又∵A1F1=A1F1，∴Rt △A1E1F1≌Rt △A1PF1，∴A1E1=A1P ，同理Rt △QF1C1≌Rt △E1F1C1，∴C1Q=C1E1，由题意：A1A=C1C ，∴A1B+BC1=AB+A1A+BC-C1C=AB+BC=2AB ，∵PB=PF1=QF1=QB ，∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，∴E1F1+A1C1=AB ．（3）解：设PB=x ，则QB=xm∵A1E1=3，QC1=C1E1=2，Rt △A1BC1中，A1B 2+BC12g/sup>=A 1C 12， 即（3+x ）2+（2+x ）2=52，∴x 1=1，x 2=-6（舍去）， ∴PB=1，∴E 1F 1=1， 又∵A 1C 1=5， 由（2）的结论：E 1F 1+A 1C 1=AB ， ∴AB=，∴BD=．点评：本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定以及正方形的性质等有关知识．18、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=BC=8cm ．动点P 从点A 出发沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发沿射线BC 运动，连接PQ ，交AC 于点D ．作PE ⊥AC 于点E ，若在点P ，Q 运动的过程中，始终保持AP=CQ ，则线段DE 的长度为_____．作PF∥BC交AC于点D，就可以得出△APE是等腰直角三角形，由其性质就可以得出AE=EF，由△PFD≌△QCD就可以得出DC=DF，进而就可以得出DF+FE=CD+AE就可以得出结论．解：作PF∥BC交AC于点D，∴∠APF=∠B=90°，∠AFP=∠ACB．∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD．∵∠B=90°，AB=BC=8cm，∴∠A=∠ACB=45°，∴∠A=∠ACB=45°，∴PA=AF．∵PE⊥AC，∴AE=EF．∵AP=CQ，∴PF=CQ．在Rt△ABC中，由勾股定理就可以得出AC=8．在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（ASA）∴DF=DC，∴DF+EF=DC+AE，∴DE=AC，∴DE=4cm．故答案为：4．19、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，M在AC上且AM=6cm，过点A(与BC在AC同侧)作射线AN⊥AC，若动点P从点A出发，沿射线AN匀速运动，运动速度为1厘米/秒，设点P运动时间为t秒(1)经过几秒时，Rt△AMP是等腰三角形？(2)又经过几秒时，PM⊥AB？(3)连接BM，在(2)的条件下，求四边形AMBP的面积．（1）解：设经过x秒时，Rt△AMP是等腰三角形，∵∠PAM=90°，∴只能AM=AP，∵AM=6cm，∴AP=6cm，即x=6（秒），答：经过6秒时，Rt△AMP是等腰三角形；（2）解：设经过t秒时，PM⊥AB，∵PM⊥AB，AN⊥AC，∠C=90°∴∠PAM=∠4=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴△ACB∽△PAM，∴=，∴=，x=8，8-6=2，答：又经过2秒时，PM⊥AB；23（3）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，同理可求PM=10，∵PM⊥AB，∴四边形AMBP的面积S=AB×PM=×10×10=50，答：四边形AMBP的面积是50．解析：（1）得出腰时AM=AP，即可得出答案；（2）证△PAM∽△ACB，得出比例式，代入求出AP，即可得出答案；（3）由勾股定理求出PM、AB，关键三角形的面积公式求出即可．。

全等三角形之动点问题(综合测试)(人教版)(含答案)本文介绍了全等三角形之动点问题，主要涉及到动点在三角形内部运动的问题。

第一题考察了一个长方形内两个动点的运动问题，要求求出两点停止运动的时间，以及此时所构成的等腰三角形。

第二题考察了一个三角形内两个动点的运动问题，要求根据点P的运动，确定t的取值范围。

第三题和第四题分别考察了两个等式的求解，求解过程中需要使用到全等三角形的性质。

第五题考察了一个梯形内两个动点的运动问题，要求求出线段PD和QE的长度，以及当t为何值时，两个三角形全等。

已知长方形ABCD，其中AB=6cm，BC=10cm。

动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BC-CD-DA方向运动到终点A。

设点P运动时间为t秒。

问题1：点P在线段CD上运动的时间范围是？答案：D。

解题思路：由于P从B出发，到A停止运动，因此P在线段CD上的运动时间为t-6秒。

又因为P以每秒2cm的速度运动，所以P在线段CD上的路程为2(t-6)cm。

由于CD=10cm，所以P在线段CD上的时间范围为5≤t≤8，即选项D。

问题2：当P在线段CD上运动时，△ABP的面积S可用含t的式子表示为？答案：-6t+78.解题思路：由于△ABP的面积为底边AB乘以高BP，而BP=2(t-6)，AB=6cm，因此S=6(2t-18)=12t-108.化简后得到S=-6t+78，即选项B。

已知正方形ABCD，边长为8.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA方向运动到终点A。

设点P 运动时间为t秒。

问题1：当P在线段CD上运动时，线段CP的长度可用含t的式子表示为？答案：2t-8.解题思路：由于P从B出发，到A停止运动，因此P在线段CD上的运动时间为t-4秒。

又因为P以每秒2个单位的速度运动，所以P在线段CD上的路程为2(t-4)个单位。

由于CD=8个单位，所以线段CP的长度为8-2(t-4)=2t-8，即选项B。

2023-2024学年人教版数学八年级上册第十二章全等三角形微专题——动点问题1一、单选题1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．2B．3C．4D．52．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，点D在AC上，CD=3，BD平分∠ABC，点P是AB 上一个动点，则下列结论正确的是（）A．PD>3B．PD≥3C．PD≤3D．PD=33．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AD=3，若P是BC上的动点，则线段DP的最小值是（）A．3B．2.4C．4D．54．如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（）A．118°B．125°C．136°D．124°5．如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当以A、B、P为顶点的三角形和△DCE全等时，t的值为（ ）A．1B．7C．1或2D．1或76．如图，在△ABC中，∠ACB>90°，△ABC的面积为18，AB=9，BD平分∠ABC，E，F分别是BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）A．4B．6C．7D．97．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AD=5，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB=∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题10．如图，在正方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，动点动点Q以3cm/s的速度从点B止移动．设移动的时间为t(与△PAB全等．12．如图，CA⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发，以随着E点运动而运动，且始终保持三角形与点A、B、C组成的三角形全等．13．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA值为．14．如图，∠ACB=90°，AC=/秒的速度沿射线AC运动，点Q秒时，△ABC与以点P，Q，C为顶点的三角形全等．三、解答题15．在平面直角坐标系中，A(−5,0)，B(0,5)．点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E．(1)如图①，若C(4,0)，求点E的坐标；(2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC<5．其它条件不变，连接DO，求证：DO 平分∠ADC．16．已知：△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，D 为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．(1)如图，当点D在线段BC上时，过点E 作EH⊥AC于H，连接DE，求证：EH=AC；(2)如图，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．求证：BM=EM．17．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=6．(1)求BO的长；(2)F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ 全等时，求t的值．18．定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD，BC交于点E，连接AB，CD，判断AD+BC与AB+CD的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，在OA，OB上截取OE=OF，连接PE，PF．求证：PE=PF；(3)如图3，在△ABC中，AB>AC，P为角平分线AD上异于端点的一动点，求证：PB−PC>BD−CD．19．如图，在△ABC中，D为AB的中点，AB=AC=10cm，BC=8cm，动点P从点B出发，沿BC方向以每秒3cm的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3 cm的速度向点A运动，运动时间是t秒．(1)在运动过程中，当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，求出t的值；(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPD和△CQP全等，若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．20．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是射线BA上一动点，连接CD，以CD为边作∠DCE=45°，CE在CD右侧，CE与过点A且垂直于AB的直线交于点E，连接DE．(1)当CD，CE都在AC的左侧时，如图①，线段BD，AE，DE之间的数量关系是_________；(2)当CD，CE在AC的两侧时，如图②，线段BD，AE，DE之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；(3)当CD，CE都在AC的右侧时，如图③，线段BD，AE，DE之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．参考答案：1．B【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PQ=PA，求出即可．【详解】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，∴PQ=PA=3，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，解题的关键是能得出使PQ最小时Q 的位置．2．B【分析】连接DP，根据角平分线的性质及垂线段最短解答即可．【详解】解：连接DP，如图所示：∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴当DP⊥AB时，DP=CD=3那么当DP不垂直AB时，DP>CD=3，∵垂线段最短，∴PD≥3，故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质及垂线段最短，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．3．A【分析】由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论．【详解】解：当DP⊥BC时，DP的值最小，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ABC ∴∠ABD=∠CBD=12∵BP=BP，∴△PBQ≌△PBE(SAS)，∵∠AEB=90°，∠CBD=34°∴∠APB=∠AEB+∠CBD=∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，EF⊥∴PE=EF，∴CP=CE+PE=CE+EF的最小值．即CE+EF的最小值为4，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CE+EF的最小值为转化为CP，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．7．D【分析】根据等角的余角相等求出∠ABD=∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=AD．【详解】解：∵BD⊥CD，∠A=90°．∴∠ABD+∠ADB=90°，∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠CBD，由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，此时，DP=AD=5．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．8．D【分析】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB，AP=BQ时，△APE≅△BQP②当AP=BP，AE=BQ时，△AEP≅△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．【详解】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB，AP=BQ时，△APE≅△BQP，∵AB=10cm，AE=6cm，∴BP=AE=6cm，AP=4cm，∴BQ=AP=4cm；∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，∴v的值为：4÷2=2cm/s；②当AP=BP，AE=BQ时，△AEP≅△BQP，∵AB=10cm，AE=6cm，∵BD平分∠ABC，∴∠N′BM=∠NBM，在△MBN′与△MBN中，{BN′=BN∠N′BM=∠NBM，BM=BM×AB×CN′，此时S△ABC=12×4×CN′，可得6=12可得CN′=3，∴CM+MN的最小值为3，故答案为：3．∵AB=AD，∠ABP=∴BP=AQ，∵AQ=AB−BQ=8−3t，BP=t，∴8−3t=t，∴t=2s，当点Q在边AD时，不能构成△QAD，当点Q在边CD上时，如图2，AB+AD+DQ=3t，BP=t，∴DQ=3t−16．要使△PAB和△QAD全等，只能是△PAB≌△QAD，∴BP=DQ，∴t=3t−16，∴t=8s，故答案为：2s或8s．【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质解本题的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题．11．5【分析】由平行线的性质可得∠EBF=∠A，由ASA证明△BEF≌△AED，得到AD=BF，最后由BF+CD=AD+CD=AC即可得到答案．【详解】解：∵BF∥AC，∴∠EBF=∠A，∵E为AB中点，∴BE=AE，在△BEF和△AED中，{∠EBF=∠ABE=AE∠BEF=∠AED，∴△BEF≌△AED(ASA)，∴AD=BF，∴BF+CD=AD+CD=AC=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、三角形全等的判定与性质是解题的关键．12．0或2或6或8【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况AC=BE和AB=EB，分别进行计算，即可得出结果．【详解】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，∵AC=4cm，∴BE=4cm，∴AE=AB−BE=4cm，∴点E的运动时间为4÷2=2（秒）；②当E在BN上，AC=BE时，△ACB≌△BED，∵AC=4cm，∴BE=4cm，∴AE=AB+BE=12cm，∴点E的运动时间为12÷2=6（秒）；③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，∵AB=8cm，∴BE=8cm，∴AE=AB+BE=16cm，∴点E的运动时间为16÷2=8（秒），综上所述，当点E经过0秒或2秒或6秒或8秒时，由点D、E、B组成的三角形与点A、B、C 组成的三角形全等，故答案为：0或2或6或8．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论思想的运用．13．3【分析】过P作PE⊥OB交OB于E，当D于E重合时，PD=PE最小，即可求解．【详解】解：如图，过P作PE⊥OB交OB于E，∴当D于E重合时，PD=PE最小，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，∴PE=PC=3，∴PD的最小值为3，故答案：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段定理，掌握定理是解题的关键．14．1或3或4【分析】设点P运动时间为t秒，根据已知条件分△ABC≌△PQC，△ABC≌△QPC，两种情况，根据AC=PC=4和BC=PC=2列方程求出t值即可．【详解】解：∵AC=2BC=4，∴BC=2，设点P运动时间为t秒，∵∠ACB=∠PCQ=90°，PQ=AB，∴当△ABC≌△PQC时，AC=PC=4，∴|4−2t|=4，解得：t=0（舍）或t=4；当△ABC≌△QPC时，BC=PC=2，∴|4−2t|=2，解得：t=1或t=3；综上：1秒或3秒或4秒时，△ABC与以点P，Q，C为顶点的三角形全等，故答案为：1或3或4．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．15．(1)点E 的坐标为(0，4)；(2)见解析【分析】（1）可证明△AOE≌△BOC(ASA)，从而得出OE =OC ，进而求得；（2）过O 作OM ⊥DA 于M ，ON ⊥DC 于N ，根据△AOE≌△BOC ，得S ΔAOE =S ΔBOC ，从而得出OM =ON ，进而得证．【详解】（1）解：如图，∵AD ⊥BC ，AO ⊥BO ，∴∠AOE =∠BDE =∠BOC =90°，∴∠OAE +∠ACD =90°，∠OBC +∠ACD =90°，∴∠OAE =∠OBC ，∵A (−5，0)，B (0，5)，∴OA =OB =5．在△AOE 和△BOC 中，{∠OAE =∠OBC OA =OB ∠AOE =∠BOC，∴△AOE≌△BOC(ASA)，∴OE =OC ，∴点C 坐标为(4,0)，∴OE =OC =4，∴E (0，4)；（2）证明：如图，过O作OM⊥DA于M，ON⊥DC于由（1）知，△AOE≌△BOC，∴SΔAOE=SΔBOC，AE=BC，∴1 2×AE×OM=12×BC×ON，∴OM=ON，{∠AHE =∠C ∠AEH =∠DAC AE =DA，∴△AEH≌△DAC(AAS)，∴EH =AC ．（2）如图，作EF ⊥CM 交CM 的延长线于点F ，∵∠F =90°，∠ACD =180°−∠ACB =90°，∠DAE =90°，∴∠F =∠ACD =∠MCB ，∵∠FAE +∠CAD =90°，∠CDA +∠CAD =90°，∴∠FAE =∠CDA ，在△FAE 和△CDA 中，{∠F =∠ACD ∠FAE =∠CDA AE =DA，∴△FAE≌△CDA(AAS)，∴EF =AC ，∵AC =CB ，∴EF =AC =BC ，在△BMC 和△EMF 中，{∠MCB =∠F ∠BMC =∠EMF BC =EF，∴△BMC≌△EMF(AAS)，∵BM =EM ．【点睛】此题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．17．(1)6∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠ACF，∵AO=CF，∴当OP=CQ时，△AOP≌△FCQ∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠FCQ，∵AO=CF，∴当OP=CQ时，△AOP≌∴t=4t−6，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠EAP=∠CAP，在△APE和△APC中，{AE=AC（3）过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图，先证明△CBF≌△CAE，得到BF=AE，CF=CE，然后证明△DCE≌△DCF解题即可；【详解】（1）过点C作CF⊥CE，交AB延长线于点F，如图．∴∠ECF=∠ACB=90°．∴∠FCB=∠ECA．∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．∵∠CBA=∠CAB=45°，∴∠CBF=∠CAE=135°．∵BC=AC，∴△CBF≌△CAE(ASA)．∴BF=AE，CF=CE．∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，∴∠DCE=∠DCF=45°．∵CD=CD，∴△DCE≌△DCF(SAS)．∴DE=DF．∵BD+BF=DF，∴BD+AE=DE．故答案为：BD+AE=DE．（2）图②的猜想：BD−AE=DE．证明：过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图②．∴∠ECF=∠ACB=90°．∴∠CBF=∠CAE．∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．∵∠CBA=∠CAB=45°，∴∠CBF=∠CAE=45°．∵BC=AC，∴△CBF≌△CAE(ASA)．∴BF=AE，CF=CE．∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，∴∠DCE=∠DCF=45°．∵CD=CD，∴△DCE≌△DCF(SAS)．∴DE=DF．∵BD−BF=DF，∴BD−AE=DE．（3）过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图∴∠ECF=∠ACB=90°．∴∠FCB=∠ECA．∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．∵∠CBA=∠CAB=45°，∴∠CBF=∠CAE=45°．∵BC=AC，∴△CBF≌△CAE(ASA)．∴BF=AE，CF=CE．∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，∴∠DCE=∠DCF=45°．∵CD=CD，∴△DCE≌△DCF(SAS)．∴DE=DF．∵BD−BF=DF，∴BD−AE=DE．故答案为：BD−AE=DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。

全等三角形中的动点问题全等三角形的判断与定义1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

2.判定：(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

3.性质：(1)全等三角形的对应角相等。

(2)全等三角形的对应边相等。

(3)全等三角形的对应边上的高对应相等。

(4)全等三角形的对应角的角平分线相等。

(5)全等三角形的对应边上的中线相等。

(6)全等三角形面积相等。

(7)全等三角形周长相等。

(8)全等三角形的对应角的三角函数值相等。

1、如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．(1)求证：在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC；(2)当取何值时，△DFE与△DMG全等；(3)在(2)的前提下，若，，求S△BFD．（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF=DM，∵S△AED=AE•DF，S△DGC=CG•DM，∴=，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴AE=2tcm，CG=tcm，∴=2，即=2，∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．（2）解：设时间为t时，△DFE与△DMG全等，则EF=MG，①当M在线段CG的延长线上时，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，即10-2t=4-t，解得：t=6，当t=6时，MG=-2，所以舍去；②当M在线段CG上时，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），即10-2t=t-4，解得：t=，综上所述当t=时，△DFE与△DMG全等．（3）∵t=，∴AE=2t=（cm），∵DF=DM，∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=BD：CD=119：126，∵AC=14cm，∴AB=（cm），∴BF=AB-AF=-10=（cm），∵S△ADE：S△BDF=AE：BF=：，S△AED=28cm2，∴S△BDF=（cm2）．解析：（1）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．（2）若△DFE与△DMG全等，则EF=MG，利用已知条件求出EF和MG的长度，建立方程解方程即可求出运动的时间．（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，点P从A出发向C以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动．(1)几秒后，△CPQ的面积为Rt△ABC的面积的？(2)填空：①点经过_____秒，点P在线段AB的垂直平分线上．②点Q经过_____秒，点Q在∠BAC的平分线上．（1）设经过x秒，首先求得线段BC的长，然后分x≤6和6＜x≤8两种情况列方程求解即可；（2）①点P在线段AB的垂直平分线上，即可得到PA=PB，从而求得时间；②点Q在∠BAC的平分线上，则Q点到AC和AB的距离相等．解；（1）设经过x秒．在Rt△ABC中，根据题意得；当x≤6时，（8-x）x=××8×6解得：当6＜x≤8时，（8-x）×6=37解得：x=7答：经过7秒或秒．（2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，PA=PB，∵设经过x秒后点P在线段AB的垂直平分线上，∴x2=（8-x）2+62解得：x=，∴经过秒，点P在线段AB的垂直平分线上②如图，作QD⊥AB于点D，∵点Q在∠BAC的平分线上，∴QD=QC，设经过x秒，则CQ=x，则QD=（6-x），∴x=（6-x），解得：x=，∴点Q经过秒，点Q在∠BAC的平分线上．3、如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是()A.8cm2B.16cm2C.24cm2D.32cm2解：根据题意沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，∴AP=2t，AQ=t，S△APQ=t2，∵0＜t≤4，∴三角形APQ的最大面积是16．故选B．4、如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)(1)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；(2)当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？(直接回答成立或不成立)(3)当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．∵∠APB=∠PAE+∠PEA，∴∠APB=∠PAC+∠PBD；解法二：如图2过点P作FP∥AC，∴∠PAC=∠APF．∵AC∥BD，∴FP∥BD．∴∠FPB=∠PBD．∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD；解法三：如图3，∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∴∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）不成立．（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．（b）当动点P在射线BA上，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．选择（a）证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M．∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD．又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠PBD=∠PAC+∠APB．选择（b）证明：如图5∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．选择（c）证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．∵∠PAC=∠APF+∠PFA，∴∠PAC=∠APB+∠PBD．解析：（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．6、如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF．(1)试说明BF=CE的理由；(2)当E、F相向运动，形成如图2时，BF和CE还相等吗？请说明你的结论和理由．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，∵∠ABC=∠DCB，∴∠BAD=∠CDA，∵AE=DF，∴AE+AD=DF+AD，即AF=DE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABt≌△DCE（SAS），∴BF=CE；（2）相等．在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴BF=CE．解析：（1）根据两直线平行，同旁内角互明证明∠BAD=∠CDA，根据AE边DF证明AF=DE，再根据边角边定理证明△ABF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等即可证明BF=CE．（2）利用边角边定即证明△ABC和△DCB全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明7、如图，已知△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在线段BC上由C点向B点运动，运动速度与点P的运动速度相等，点M是AB的中点．(1)在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等，请说明理由；(2)在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积是否变化？若变化说明理由；若不变，求出这个四边形的面积；(3)线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系，写出这个关系，并加以证明．解：（1）在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等．理由如下：∵在△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，点M是AB的中点，∴∠A=∠MCQ=45°，AM=CM，∴在△APM与△CQM中，，∴△APM与△CQM（SAS）；（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米2，理由如下：由（1）知，△APM与△CQM，∴S△APM=S△CQM，∴S四边形PMQC=S△AMC=S△ABC=AC•BC=×8×8=32（厘米2），即在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米2；（3）AP2+BQ2=PQ2．证明如下：∵由（1）知，△APM与△CQM，∴AP=CQ，又AC=BC，∴PC=BQ，∴AP2+BQ2=CQ2+CP2=PQ2．即AP2+BQ2=PQ2．解析：（1）通过SAS证得△APM与△CQM；（2）由（1）中的全等三角形的面积相等可以推知：S四边形PMQC=S△AMC=S△ABC；（3）AP2+BQ2=PQ2．利用（1）中的全等三角形的对应边相等推知AP=CQ，则PC=BQ，所以在直角△PCQ中，利用勾股定理推得AP2+BQ2=PQ2．8、如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？解：（1）①∵t=1秒，∴BP=CQ=3×1=3厘米，∵AB=10厘米，点D为AB的中点，∴BD=5厘米．又∵PC=BC-BP，BC=8厘米，∴PC=8-3=5厘米，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP．（SAS）②∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴点P，点Q运动的时间秒，∴厘米/秒；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x=3x+2×10，解得．∴点P共运动了×3=80厘米．∵80=56+24=2×28+24，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．解析：（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．9、如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？分析：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可．解答：解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，∵△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且BD=PC，BP=CQ，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，∵AB=AC，∴∠B=∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；①当BD=PC且BP=CQ时，8-3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8-3t，解得：x=；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．点评：本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．10、在△ABC中，AB=AC，(1)如图①，若∠BAC=45°，AD和CE是高，它们相交于点H．求证：AH=2BD；(2)如图②，若AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点M为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．如果在运动过程中存在某一时刻使得△BPM与△CQP全等，那么点Q的运动速度为多少？点P、Q运动的时间t为多少？解：（1）证明：在△ABC中，∵∠BAC=45°，CE⊥AB，∴AE=CE，∠EAH=∠ECB，在△AEH和△CEB中，，∴△AEH≌△CEB（ASA），∴AH=BC，∵BC=BD+CD，且BD=CD，∴BC=2BD，∴AH=2BD．（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPM与△CQP全等有两种情况：△BPM≌△CPQ 或△BPM≌△CQP当△BPM≌△CPQ时，BP=PC=4，CQ=BM=5，∴点P，点Q运动的时间秒，∴厘米/秒．当△BPM≌△CQP时，BP=CQ，∴V Q=V P=3厘米/秒．此时PC=BM=5，t=秒．综上所述，点Q的运动速度为厘米/秒，此时t=秒或点Q的运动速度为3厘米/秒，此时t=1秒．解析：（1）证得△BCE≌△HAE，证得AH=BC，证得AH=2BD；（2）根据全等三角形应满足的的件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度B11、如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：(1)若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是______；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB=k•AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明分析：（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．（2）直接类比（1）中结果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．解答：解：（1）①BD=CE；②AM=AN，∠MAN=∠BAC，∵∠DAE=∠BAC，∴∠CAE=∠BAD，在△BAD和△CAE中∵∴△CAE≌△BAD（SAS），∴∠ACE=∠ABD，∵DM=BD，EN=CE，∴BM=CN，在△ABM和△ACN中，∵∴△ABM≌△ACN（SAS），∴AM=AN，∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC；（2）AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．点评：本题考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目．12、已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D(-m，-m)为AC上的点(m＞0)(1)试分别求出A，B，C三点的坐标；(2)设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？请说明理由；(3)若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且∠PQA=60°，当Q在第四象限内运动时，下列说法：(i)∠APQ+∠PBQ的度数和不变；(ii)∠BAP+∠BQP的度数和不变，其中有且只有一个说法是正确的，请判断正确的说法，并求这个不变的值．解：（1）∵OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°，∴∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=45°，∴∠ACB=90°，又△ABC的面积为9，∴OA=OC=OB=3，∴A（-3，0），B（3，0），C（0，-3）；（2）当t=3秒时，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．理由如下：连接OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，∵D（-m，-m），∴DM=DN=OM=ON=m，∴∠DOM=∠DON=45°，而∠ACO=45°，∴DC=DO，∴∠PCD=∠BOD=135°，又CP=OC=OB，∴△PCD≌△BOD （SAS），∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，∴∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB．（3）解：（i）正确．在QA上截取QS=QP，连接PS．∵∠PQA=60°，∴△QSP是等边三角形，∴PS=PQ，∠SPQ=60°，∵PO是AB的垂直平分线，∴PA=PB 而PA=AB，∴PA=PB=AB，∴∠APB=60°，∴∠APS=∠BPQ，∴△APS≌△BPQ，∴∠PAS=∠PBQ，∴∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS=120°．解析：（1）利用OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°得出∠ACB=90°，再利用△ABC的面积为9，得出OA=OC=OB=3 即可得出各点的坐标；（2）作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，假设出D点的坐标，进而得出△PCD≌△BOD，进而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB；（3）在QA上截取QS=QP，连接PS，利用∠PQA=60°，得出△QSP是等边三角形，进而得出△APS≌△BPQ，从而得出∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS得出答案．13、如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．(1)求证：BP=DP；(2)如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．分析：（1）由正方形的性质可证△ABP≌△ADP，即BP=DP；（2）当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立；（3）由旋转的性质和正方形的性质可证△BEC≌△DFC，即BE=DF．解答：（1）证明：证法一：在△ABP与△ADP中，∵AB=AD∠BAC=∠DAC，AP=AP，∴△ABP≌△ADP，∴BP=DP．（2分）证法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP．（2分）（2）解：不是总成立．（3分）当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立，（5分）说明：未用举反例的方法说理的不得分．（3）解：连接BE、DF，则BE与DF始终相等，，在图1中，由正方形ABCD可证：AC平分∠BCD，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴PE=PF，∠BCD=90°，∴四边形PECF为正方形．（7分）∴CE=CF，∵∠DCF=∠BCE，BC=CD，∴△BEC≌△DFC，∴BE=DF．（8分）点评：本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定，以及正方形的性质．14、如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠B=∠C，BC=8，点D从B点出发沿线段BC向C运动(D不与B、C重合)，点E从点C出发沿线段CA向A运动(E不与A、C重合)，它们以相同的速度同时运动，连结AD、DE．若要使△ABD≌△DCE，①请给出确定D、E两点位置的方法(如指明CD长度等)，并说明理由；②此时∠ADE与∠C大小关系怎样？为什么？解：①DC=5，理由是：∵BC=8，CD=AB=5，∴BD=8-5=3，即CE=BD=3，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE，即当CD=5时，△ABD≌△DCE．②∠ADE=∠C，理由是：∵△ABD≌△DCE，∴∠BDA=∠DEC，∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC=180°-∠ADB-∠EDC，∵∠ADE=180°-∠BDA-∠EDC，∴∠ADE=∠C．解析：①CD=5时，根据SAS推出△ABD≌△DCE即可．②根据全等三角形性质得出∠BDA=∠DEC，根据三角形内角和定理求出∠C=180°-∠ADB-∠EDC，求出∠ADE=180°-∠BDA-∠EDC，即可得出答案．15、如图：△ABC中，AB=AC=5(即有∠B=∠C)，BC=8，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，点E在线段AC上运动(E不与A、C重合)，连结AD、DE．(1)点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____(填“大”或“小”)；(2)若要使△ABD≌△DCE，①请给出确定D、E两点位置的方法(如指明某些线段的长度等)，并说明理由；②此时∠ADE与∠C大小关系怎样？为什么？（1）根据BD边逐渐增长可得∠BAD逐渐增大，又因为∠B的大小固定不变，结合三角形内角和定理∠B+∠BAD+∠ADB=180°可得∠ADB逐渐减小．（2）①根据三角形全等的性质可得DC=AB，DB=CE，进而得到答案；②根据全等三角形的性质可得∠1=∠2，再根据∠1+∠B+∠ADB=180°，∠2+∠ADE+∠BDA=180°，可得∠ADE=∠B，进而得到∠ADE=∠C．解：（1）∵点D从B向C运动时，BD边逐渐变长，∴∠BAD逐渐增大，∵∠B的大小固定不变，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∴∠ADB逐渐减小；（2）①∵△ABD≌△DCE，∴DC=AB=5，CE=DB，∵BC=8，∴CE=DB=8-5=3；②∠ADE=∠C；理由：∵△ABD≌△DCE，∴∠1=∠2，∵∠1+∠B+∠ADB=180°，∠2+∠ADE+∠BDA=180°，∴∠ADE=∠B，∵∠B=∠C，∴∠ADE=∠C．17、如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD 于点F．(1)求证：EF+AC=AB；(2)点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动(不与点B重合)，同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)在(2)的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．分析：（1）过F作FM⊥AB于点M，首先证明△AMF≌△AEF，求出MF=MB，即可知道EF+AE=AB．（2）连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，证明Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1后推出A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1化简为E1F1+A1C1=AB．（3）设PB=x，QB=x，PB=1，E1F1=1，又推出E1F1+A1C1=AB，得出BD=．解答：（1）证明：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD 于点E．∴AE=AC，∠ABD=∠CBD=45°，∵AF平分∠BAC，∴EF=MF，又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM，∵∠MFB=∠ABF=45°，∴MF=MB，MB=EF，∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB．（2）E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系：E1F1+A1C1=AB证明：如图2，连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，∵A1F1平分∠BA1C1点/sub>，∴E1F1=PF1；同理QF1=PF1，∴E1F1=PF1=QF1，21又∵A1F1=A1F1，∴Rt △A1E1F1≌Rt △A1PF1，∴A1E1=A1P ，同理Rt △QF1C1≌Rt △E1F1C1，∴C1Q=C1E1，由题意：A1A=C1C ，∴A1B+BC1=AB+A1A+BC-C1C=AB+BC=2AB ，∵PB=PF1=QF1=QB ，∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，∴E1F1+A1C1=AB ．（3）解：设PB=x ，则QB=xm∵A1E1=3，QC1=C1E1=2，Rt △A1BC1中，A1B 2+BC12g/sup>=A 1C 12， 即（3+x ）2+（2+x ）2=52，∴x 1=1，x 2=-6（舍去）， ∴PB=1，∴E 1F 1=1， 又∵A 1C 1=5， 由（2）的结论：E 1F 1+A 1C 1=AB ， ∴AB=，∴BD=．点评：本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定以及正方形的性质等有关知识．18、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=BC=8cm ．动点P 从点A 出发沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发沿射线BC 运动，连接PQ ，交AC 于点D ．作PE ⊥AC 于点E ，若在点P ，Q 运动的过程中，始终保持AP=CQ ，则线段DE 的长度为_____．作PF∥BC交AC于点D，就可以得出△APE是等腰直角三角形，由其性质就可以得出AE=EF，由△PFD≌△QCD就可以得出DC=DF，进而就可以得出DF+FE=CD+AE就可以得出结论．解：作PF∥BC交AC于点D，∴∠APF=∠B=90°，∠AFP=∠ACB．∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD．∵∠B=90°，AB=BC=8cm，∴∠A=∠ACB=45°，∴∠A=∠ACB=45°，∴PA=AF．∵PE⊥AC，∴AE=EF．∵AP=CQ，∴PF=CQ．在Rt△ABC中，由勾股定理就可以得出AC=8．在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（ASA）∴DF=DC，∴DF+EF=DC+AE，∴DE=AC，∴DE=4cm．故答案为：4．19、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，M在AC上且AM=6cm，过点A(与BC在AC同侧)作射线AN⊥AC，若动点P从点A出发，沿射线AN匀速运动，运动速度为1厘米/秒，设点P运动时间为t秒(1)经过几秒时，Rt△AMP是等腰三角形？(2)又经过几秒时，PM⊥AB？(3)连接BM，在(2)的条件下，求四边形AMBP的面积．（1）解：设经过x秒时，Rt△AMP是等腰三角形，∵∠PAM=90°，∴只能AM=AP，∵AM=6cm，∴AP=6cm，即x=6（秒），答：经过6秒时，Rt△AMP是等腰三角形；（2）解：设经过t秒时，PM⊥AB，∵PM⊥AB，AN⊥AC，∠C=90°∴∠PAM=∠4=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴△ACB∽△PAM，∴=，∴=，x=8，8-6=2，答：又经过2秒时，PM⊥AB；23（3）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，同理可求PM=10，∵PM⊥AB，∴四边形AMBP的面积S=AB×PM=×10×10=50，答：四边形AMBP的面积是50．解析：（1）得出腰时AM=AP，即可得出答案；（2）证△PAM∽△ACB，得出比例式，代入求出AP，即可得出答案；（3）由勾股定理求出PM、AB，关键三角形的面积公式求出即可．。

全等三角形之动点问题（建等式）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知：如图，等边三角形ABC的边长为10，点D是BC上一点，且DC=2．动点P从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC方向向点C运动，连接AD，AP．设点P运动的时间为t 秒．解答下列问题：（1）线段BP的长可用含t的式子表示为( )A.tB.2tC.10-tD.10-2t答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）当t为何值时，△ABP≌△ACD．根据题意可建等式为( )A.2t=2B.10-2t=2C.2t=10D.2t=2或10-2t=2答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.已知：如图，等边三角形ABC的边长为8，点D是BC上一点，且BD=6．动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿CA方向向点A运动，连接AD，BP．设点P运动的时间为x 秒．解答下列问题：（1）线段AP的长可用含x的式子表示为( )A.2xB.2+2xC.6-2xD.8-2x答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）若某一时刻△ABP≌△BAD，则x的值为( )A.1B.2C.3D.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=18，动点P从点A出发沿AD向点D以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发沿CB向点B以每秒3个单位的速度运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动的时间为x秒，请回答下列问题：（1）线段PD，QC的长可用含x的式子分别表示为( )A.2x；18-3xB.2x；3xC.12-2x；18-3xD.12-2x；3x答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第5题）（2）当x为何值时，△PDQ和△CDQ全等．根据题意可建等式为( )A.12-2x=3xB.2x=18-3xC.12-2x=18-3xD.12-2x=18-3x或2x=18-3x答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点E为AB中点．点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P 的运动时间为t秒，解答下列问题：（1）线段BP，PC的长可用含t的式子分别表示为( )A.2t；6-2tB.6-2t；2tC.2t；4-2tD.6-t；t答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第7题）（2）若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值和点Q的运动速度，下列解题思路和计算结果正确的是( )A.若△BPE与△CQP全等，则需，即，解得，所以t=2，B.①若△BPE≌△CQP，则需，即，解得，所以t=2，；②若△BPE≌△CPQ，则需，即，解得，所以C.①若△BPE≌△CQP，则需，即，解得，所以t=2，；②若△BPE≌△CQP，则需，即，解得，所以D.①若△BPE≌△CQP，则需，即，解得，所以t=2，；②若△BPE≌△CPQ，则需，即，解得，所以答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。

初中数学人教版八年级上册实用资料三角形全等之动点问题（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6．【思路分析】1．研究背景图形，标注四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．0≤t ≤62s2sDC(2/s) P ：②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上，PDCB A此时AP =2t ，AD =4，12ADP S AD AP =⋅⋅△，即16422t =⋅⋅，32t =，符合题意．PDC B A AB CDABCD②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上，P DCB A此时1144822ADP S AD AB =⋅⋅=⨯⨯=△，不符合题意，舍去．③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上，PAB CD此时DP =12-2t ，AD =4，12ADP S AD DP =⋅⋅△，即164(122)2t =⋅⋅-，92t =，符合题意． 综上，当t 的值为32或92时，△ADP 的面积为6．➢巩固练习1.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D为BC边上一点，且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，点P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x为何值时，△PBE≌△QBE．3.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=10 cm，点D为边ABAPB D CCQBEPA DA上一点，AD=6 cm．点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？5.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．➢思考小结1.动点问题的处理方法：①______________________；②______________________，________；③______________________，________．2.分析运动过程包括4个方面（四要素）：①起点、________、__________；②_________________________；③根据_____________分段；④所求目标．3.当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题也是如此．具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．【参考答案】1.当t为4秒时，△BPA≌△ADC2.当x为83秒时，△PBE≌△QBE3. ①当t 为52秒时，△BPD ≌△CPQ ，此时Q 的速度为85cm/s ． ②当t 为3秒时，△BPD ≌△CQP ，此时Q 的速度为2cm/s ． 4. （1）①全等②Q 的速度为4cm/s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等 （2）经过24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇． 5．（1）034351258432t s t t s t s t <=<=<<=-+≤≤，，，（2）t 为1秒或7秒时，△ABF 与△DCE 全等。

八年级数学全等三角形之动点问题（全等三角形）拔高练习试卷简介:本测试主要考察了移动中的全等三角形，在动态过程中考察全等三角形。

本测试分为两个板块，板块一考察点动时的全等三角形，板块二考察图形运动中的全等三角形。

本测试共八道题目，全部都是解答题，时间为100分钟。

学习建议:<p> 本测试要求在熟练掌握全等三角形的性质及判定的基础上能够灵活应用。

总结出解决动态过程中涉及到去昂等三角形时的一般思路，从而进行求解。

</p>一、解答题(共8道，每道15分)1.如图，在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A 向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB 与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：∠ CQE =60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确．答案：解：（1）CD与BE相等。

证明：由于两只蜗牛同时以相同的速度爬行，所以路程相同，即AD=CE。

∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠A=∠BCE；在△ADC与CEB中∴△ADC≌△CEB∴CD=BE由于t 为任意时刻，所以当t 为任意值时都有CD=BE，即CD和BE始终相等。

（2）证明：由于两只蜗牛以相同速度同时出发，所以路程相同，即AD=CE∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∴AD-AB=CE-AC，即AE=BD而由△ABC是等边三角形还可得AB=CB，∠CBD=∠BAE=120°在△EAB和△DBC中∴△EAB≌△DBC（SAS）∴∠1=∠4，而∠2=∠3∴∠1+∠2=∠3+∠4又∠CQE=∠1+∠2，∠5=∠3+∠4=60°∴∠CQE=∠5=60°。

全等三角形之动点问题（分段）（人教版）一、单选题(共9道，每道11分)1.已知：如图，等边三角形ABC的边长为9，动点P从点A出发沿AB-BC-CA方向以每秒3个单位的速度运动，再次回到点A时停止运动．设点P运动的时间为t秒．当3≤t≤6时，线段BP的长可用含t的式子表示为( )A.3t-9B.9-3tC.18-3tD.3t-18答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.已知：如图，线段AB的长为18厘米，动点P从点A出发，沿AB以2厘米/秒的速度向点B运动，动点Q从点B出发，沿BA以1厘米/秒的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，解答下列问题：（1）线段PQ的长可用含t的式子表示为( )A.PQ=18-3tB.PQ=3t-18C.当0≦t≦6时，PQ=18-3t；当6<t≦9时，PQ=3t-18D.当0≦t≦6时，PQ=18-3t；当6<t≦18时，PQ=3t-18答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.（上接第2题）（2）当P，Q两点相距6厘米时，点P运动的时间t的值为( )A.4B.4或8C.8D.8或9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.已知：如图，等边三角形ABC的边长为9．动点P从点A出发沿AB-BC-CA方向以每秒3个单位的速度运动，再次回到点A时停止运动．设点P运动时间为t秒．解答下列问题：（1）当点P在AC上运动时，对应的t的取值范围是( )A.0≤t≤6B.0≤t≤3C.3≤t≤6D.6≤t≤9答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第4题）（2）连接BP，CP．若△BCP的面积是△ABC面积的，则此时t的值为( )A.1B.2C.1或5D.2或7答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．点E是BC上一点，CE=2，连接DE．动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA-AB-BC向终点C运动，设点P的运动时间为t 秒．解答下列问题：（1）当P在AD，BC上运动时，对应的t的取值范围分别为( )A.0≤t≤5；5<t≤8B.0≤t≤3；5≤t≤8C.0≤t≤3；3<t≤8D.0≤t≤3；3<t≤5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.（上接第6题）（2）连接AP，BP．若△ABP和△DEC全等，则此时t的值为( )A.2B.1或7C.1或6D.2或6答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点E为BC上一点，且CE=2cm．动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，连接AP，BP，DE．设点P运动的时间为t秒．请回答下列问题：（1）用含t的式子表达△ABP的面积，其中正确的是( )A.0<t≦4时，；4<t≦7时，；7<t≦11时，B.0<t≦4时，；4<t≦7时，；7<t≦11时，C.0<t≦4时，；4<t≦7时，；7<t≦11时，D.0<t≦4时，；4<t≦7时，；7<t≦11时，答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.（上接第8题）（2）若△ABP≌△CDE，则此时t的值为( )A.1B.10C.1或10D.5或12答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。

全等三角形中的动点问题
在全等三角形中，如果动点M在三角形内部移动，那么全等三角形的另外两个顶点A和B，以及动点M之间的关系会如何变化呢？
全等三角形的定义是具有完全相同的三边和三角，并且对应的角度也完全相等。

在全等三角形ABC中，如果动点M在三角形内部移动，那么它与点A、B以及点C之间的距离关系会保持不变。

具体来说，假设动点M在全等三角形ABC内部的位置不变，比如点M 在三角形内部的中心位置，或者在三角形内部的任意位置。

那么，点M与点A、B以及C之间的距离关系如下：
1. 点M与点A之间的距离保持不变；
2. 点M与点B之间的距离保持不变；
3. 点M与点C之间的距离保持不变。

即使动点M在全等三角形内部移动，这些距离关系也不会改变。

这是因为全等三角形的边长和角度是固定的，无论动点M在三角形内部的位置如何变化，都不会影响到这些距离关系。

总结起来，全等三角形中的动点问题可以简单地归结为，动点M与三角形的顶点之间的距离关系保持不变。

这个性质可以用来解决一些问题，比如证明三角形的垂心、重心等特殊点的存在性，以及构造线段的平分线、垂线等。

全等三角形的动点问题
一、两点同时运动
题1：如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的速度为多少cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等。

二、三点同时运动
题2：如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝8，BD＝10，点E从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动，点G从点B出发，沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒，求t为何值时，△DEG和△BFG全等。

如图，AB＝12cm，∠CBA=∠DBA=60°，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3cm/s的速度由点B向点A 匀速运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D匀速运动，设点Q的速度为xcm/s，当△BPQ与△ACP 全等时，x的值为多少？。

三角形全等之动点问题（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6． 【思路分析】1．研究背景图形，标注四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．②根据状态转折点分为三段：，，，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式①当时，即点P 在线段AB 上，此时AP =2t ，AD =4，，即，，符合题意．0≤t ≤6DC(2/s) P ：02t ≤≤24t <≤46t <≤02t ≤≤PDCBA 12ADP S AD AP =⋅⋅△16422t =⋅⋅32t =PDCB A A BCDABCD②当时，即点P 在线段BC 上，此时，不符合题意，舍去．③当时，即点P 在线段CD 上，此时DP =12-2t ，AD =4，，即，，符合题意． 综上，当t 的值为或时，△ADP 的面积为6．24t <≤P DCB A 1144822ADP S AD AB =⋅⋅=⨯⨯=△46t <≤PA B CD12ADP S AD DP =⋅⋅△164(122)2t =⋅⋅-92t =3292➢巩固练习1.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D为BC边上一点，且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，点P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x 为何值时，△PBE≌△QBE．APDCQBEPA D3. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，AB =10 cm ，点D 为边AB 上一点，AD =6cm ．点P 在线段BC 上以每秒2 cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．设点P 运动时间为t 秒，若某一时刻△BPD 与△CQP 全等，求此时t 的值及点Q 的运动速度．QCBD A4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？5.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A 运动．设点F的运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．➢思考小结1.动点问题的处理方法：①______________________；②______________________，________；③______________________，________．2.分析运动过程包括4个方面（四要素）：①起点、________、__________；②_________________________；③根据_____________分段；④所求目标．3.当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题也是如此．具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．【参考答案】1. 当t 为4秒时，△BPA ≌△ADC2. 当x 为秒时，△PBE ≌△QBE3. ①当t 为秒时，△BPD ≌△CPQ ，此时Q 的速度为cm/s ． ②当t 为3秒时，△BPD ≌△CQP ，此时Q 的速度为2cm/s ． 4. （1）①全等②Q 的速度为4cm/s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等 （2）经过24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇． 5．（1）（2）t 为1秒或7秒时，△ABF 与△DCE 全等835285034351258432t s t t s t s t <=<=<<=-+≤≤，，，。

初中数学人教版八年级上册实用资料三角形全等之动点问题（讲义）➢课前预习已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请解答下列问题：（1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）；（2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______．➢知识点睛由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：1.研究_____________；2.分析_____________，分段；3.表达_____________，建等式．➢精讲精练1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边EAD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒．（1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由；（2）当t为何值时，△DCP≌△CDE．2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P运动时间为x秒，请求出当x为何P D A值时，△PDQ ≌△CQD ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BC =8 cm ，点D 为AB 的中点．点P 在线段BC 上以每秒3 cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．设点P 运动时间为t 秒，若某一时刻△BPD 与△CQP 全等，求此时t 的值及点Q 的运动速度．D CBA4.已知：如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E在边AB上，且AE=4 cm，点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP 全等，求此时t的值及点Q的运动速度．5. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =DC =4，AD =BC =5．延长BC 到E ，使CE =2，连接DE ．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC -CD -DA 向终点A 运动，设点P 运动时间为t 秒． （1）请用含t 的式子表达△ABP 的面积S ．（2）是否存在某个t 值，使得△DCP 和△DCE 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．DA6. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =CD =3 cm ，AD =BC =5 cm ，动点P 从点B 出发，以每秒1 cm 的速度沿BC 方向向点C 运动，动点Q 从点C 出发，以每秒2 cm 的速度沿CD -DA -AB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，设点P 运动时间为t 秒．请回答下列问题：（1）请用含t 的式子表达△CPQ 的面积S ，并直接写出t 的取值范围．（2）是否存在某个t 值，使得△ABP 和△CDQ 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．DA【参考答案】➢课前预习（1）2t，t（2）4s➢知识点睛速度已知1．研究背景图形，标注；2．分析运动过程，分段；3．表达线段长，建等式．➢精讲精练1.解：（1）当t=1.5时，△ABP≌△CDE．理由如下：如图，由题意得BP=2t∴当t=1.5时，BP=3∵AE=7，AD=10∴DE=3∴BP=DE在矩形ABCD 中 AB =CD ，∠B =∠CDE 在△ABP 和△CDE 中AB CD B CDE BP DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP ≌△CDE （SAS ） （2）如图，由题意得BP =2t ∵BC =10 ∴CP =10-2t若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE即10-2t =3，t =72∴当t =72时，△DCP ≌△CDE ．2. 解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x∵AD =12 ∴DP =12-x要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC 即12-x =2x ，x =4∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．3. 解：如图，由题意得BP =3t∵BC =8 ∴PC =8-3t∵AB =10，D 为AB 中点 ∴BD =12AB =5 ①要使△BDP ≌△CPQ ， 则需BD =CP ，BP =CQ 即5=8-3t ，t =1 ∴CQ =3t =3则Q 的速度为Q v =s t =31=3（cm/s ）即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ．②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5∴t =43则Q 的速度为Q v =s t =5×34=154（cm/s ）即当t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BDP ≌△CQP ．综上所述，当t =1，Q 的速度为每秒3cm 或t =43，Q 的速度为每秒154cm 时，△BPD 与△CQP 全等．4. 解：如图，由题意得BP =2t∵正方形ABCD 的边长为10cm ∴AB =BC =10 ∴PC =10-2t ∵AE =4 ∴BE =10-4 =6①要使△BEP ≌△CPQ ， 则需EB =PC ，BP =CQ 即6=10-2t ，CQ =2t ∴t =2，CQ =4则点Q 的速度为Q v =s t =42=2（cm/s ）即当t =2，Q 的速度为每秒2cm 时，△BEP ≌△CPQ ． ②要使△BEP ≌△CQP ， 则需BP =CP ，BE =CQ 即2t =10-2t ，CQ =6∴t =52则点Q 的速度为Q v =st=6×25=125（cm/s ） 即当t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP ≌△CQP ．综上所述，当t =2，Q 的速度为每秒2cm 或t =52，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP 与△CQP 全等．5. 解：（1）①当P 在BC 上时，如图，由题意得BP =2t （0<t ≤2.5）1214224ABP S AB BP t t∆=⋅=⨯⨯=∴②当P 在CD 上时，（2.5<t ≤4.5）12145210ABP S AB BC∆=⋅=⨯⨯=∴ ③当P 在AD 上时，由题意得AP =14-2t （4.5<t <7）12141422284ABP S AB APt t ∆=⋅=⨯⨯=∴--（） （2）①当P 在BC 上时， 如图，由题意得BP =2t要使△DCP ≌△DCE ，则需CP =CE ∵CE =2 ∴5-2t =2，t =1.5即当t =1.5时，△DCP ≌△DCE②当P 在CD 上时，不存在t 使△DCP 和△DCE 全等 ③当P 在AD 上时，由题意得BC +CD +DP =2t ∵BC =5，CD =4， ∴DP =2t -9要使△DCP ≌△CDE ，则需DP =CE 即2t -9=2，t =5.5即当t =5.5时，△DCP ≌△CDE ．综上所述，当t =1.5或t =5.5时，△DCP 和△DCE 全等．6. 解：（1）①当Q 在CD 上时，如图，由题意得CQ =2t ，BP=t ∴CP=5-t （0<t ≤1.5）2121(5)22 5CPQ S CP CQt t t t ∆=⋅=-⋅=-∴11 ②当Q 在DA 上时，（1.5<t ≤4）121(5)327.5 1.5CPQ S CP CDt t∆=⋅=⨯=∴--③当Q 在AB 上时，由题意得BQ =11-2t （4<t <5） 2121(5)(112)2215522CPQ S CP BQt t t t ∆=⋅=-⨯-=-+∴（2）①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 ②当Q 在AD 上时，如图，由题意得DQ =2t -3要使△ABP ≌△CDQ ，则需BP =DQ∵DQ =2t -3，BP =t∴t =2t -3，t =3即当t =3时，△ABP ≌△CDQ ．③当Q 在AB 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 综上所述，当t =3时，△ABP 和△CDQ 全等．。

第十二章全等三角形——证明题动点问题1.如图，AE与BD相交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．2.如图, 在△ABC中, AB=AC=10厘米, BC=8厘米, 点D为AB的中点, 点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动, 同时, 点Q在线段CA上由点C向点A以a厘米/秒的速度运动, 设运动的时间为t秒,(1)求CP的长;(2)若以C, P, Q为顶点的三角形和以B, D, P为顶点的三角形全等, 且∠B和∠C是对应角,求a的值.3.如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s．(1)如图①，当t为何值时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；(2)如图②，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A.在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．4.如图，在△ABC中，高线AD，BE相交于点O，AE＝BE，BD＝2，DC＝2BD．（1）证明：△AEO≌△BEC．（2）线段OA＝________．（3）F是直线AC上的一点，且CF＝BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．5.如图，△ABC中，AB=BC=CA，∠A=∠ABC=∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．（1）证明△ACD≌△CBE；（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．6.如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E 以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．（1）求证：AF＝AM；（2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；7.如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D是BC边的中点，点E在线段AB上从B向A运动，同时点F在线段AC上从点A向C运动，速度都是1个单位/秒，时间是t秒（0＜t＜6），连接DE、DF、EF．（1）请判断△EDF形状，并证明你的结论．（2）以A、E、D、F四点组成的四边形面积是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，用含t的式子表示．8.在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D是AC边上的动点，连结BD，E、F分别是AB、BC上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，D为AC的中点.①填空：∠DBC＝______，BD与CD的关系________②求证：△BDE≌△CDF．（提示：可直接利用①中结论）（2）如图2，D从点C出发，以每秒1个单位的速度向终点A运动，过点B作BP∥AC，且PB＝AC＝4，点E在PD上，设点D运动的时间为t秒（0≤t≤4）在点D运动的过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出t的值以及所对应的全等三角形的对数，若不能，请说明理由．9.如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB 上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t （s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等．．，则相应的x的值为．（直接写出x的值）10.如图1，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在线段AC上，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BC的延长线于点P．（1）求证：△ACP≌△BCD；（2）如图2，若点D在线段AC的延长线上，过点A作BD的垂线，交BC于点P，垂足为点E，试探索线段AC，BP，CD三者之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，若AC＝BC＝6cm，点D从点A出发，以1cm/s的速度向点C匀速运动，同时点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿射线BC方向作匀速运动，设运动时间S△DQP．为ts,（0＜t＜6），求t为何值时，S△DCP＝2311.如图1,在平面直角坐标系中,的顶点A(−3,0)、B(0,3),AD⊥BC交BC于D点,交y 轴正半轴于点E(0,t)．(1)当t=1时,求C点的坐标；(2)如图2,求∠ADO的度数；(3)如图3,已知点P(0,2),C(t，0)，若PQ⊥PC,PQ=PC,求Q的坐标(用含t的式子表示)．12.在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），点C在第一象限．（1）如图1，连接AB、BC、AC，∠OBC=90°，∠BAC=2∠ABO，求点C的坐标；（2）动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，连接AP，设P 点的运动时间为t秒，△AOP的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；（3）如图2，在（1）条件下，点P在线段OB上，连接AP、PC，AB与PC相交于点Q，当S=3，∠BAC=∠BPC时，求△ACQ的面积．13.如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度在直线AM上运动；已知AC=6cm，设动点D，E的运动时间为t．（1）试求∠ACB的度数；（2）若S△ABD：S△BEC=2：3，试求动点D，E的运动时间t的值；（3）试问当动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=12cm．过点C作直线l⊥BC，动点P从点C开始沿射线CB方向以2cm/s的速度运动，动点Q也同时从点C出发在直线l上以1cm/s 的速度向上或向下运动．连接AP、AQ，设运动时间为ts．（1）请写出CP、CQ的长度（用含t的代数式表示）：CP=______cm，CQ=______cm；（2）当点P在边BC上时，若△ABP的面积为24cm2，求t的值；（3）当t为多少时，△ABP与△ACQ全等？15.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从过点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段AC上运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）DC；（1）运动______秒时，AE=13（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC=α，则∠ADE=______（用含α的式子表示）．16．如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿射线AM上运动；已知AC=6cm，设动点D，E的运动时间为t．（1）试求∠ACB的度数；（2）若SΔABD:SΔBEC=2:3，试求动点D，E的运动时间t的值；（3）试问当动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得ΔADB与ΔBEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=8cm，过点C作射线CD，且CD∥AB，点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点A出发，沿AB边向点B匀速运动，速度为1cm/s，当点Q停止运动时，点P也停止运动.连接PQ，CQ，设动点的运动时间为t（s）（0＜t＜8），解答下列问题：（1）用含有t的代数式表示CP和BQ的长度；（2）当t=2时，请说明PQ∥BC.18.如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）当0＜t≤2时，BF＝__________cm，当2＜t≤4时，BF＝___________cm；（用含t的代数式表示）（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）当△ADE≌△CDF时，请写出所有满足条件的t值___________________．。

三角形全等之动点问题（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6．【思路分析】1．研究背景图形，标注四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．0≤t ≤62s2sDC(2/s) P ：②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上，PDCB A此时AP =2t ，AD =4，12ADP S AD AP =⋅⋅△，即16422t =⋅⋅，32t =，符合题意．②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上，PDC B A AB CDABCDP DCB A此时1144822ADP S AD AB =⋅⋅=⨯⨯=△，不符合题意，舍去．③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上，PAB CD此时DP =12-2t ，AD =4，12ADP S AD DP =⋅⋅△，即164(122)2t =⋅⋅-，92t =，符合题意． 综上，当t 的值为32或92时，△ADP 的面积为6．➢ 巩固练习1. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，AB =6，D 为BC 边上一点，AP且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，点P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x为何值时，△PBE≌△QBE．3.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=10 cm，点D为边AB上一点，AD=6 cm．点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设CQBEPA DA点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q 的运动速度．4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？5.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．➢思考小结1.动点问题的处理方法：①______________________；②______________________，________；③______________________，________．2.分析运动过程包括4个方面（四要素）：①起点、________、__________；②_________________________；③根据_____________分段；④所求目标．3.当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题也是如此．具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．【参考答案】1.当t为4秒时，△BPA≌△ADC秒时，△PBE≌△QBE2.当x为833. ①当t 为52秒时，△BPD ≌△CPQ ，此时Q 的速度为85cm/s ．②当t 为3秒时，△BPD ≌△CQP ，此时Q 的速度为2cm/s ． 4. （1）①全等②Q 的速度为4cm/s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等 （2）经过24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇． 5．（1）034351258432t s tt s t s t <=<=<<=-+≤≤，，，（2）t 为1秒或7秒时，△ABF 与△DCE 全等。