指数型复合函数

高中数学备课教案指数与对数函数的复合函数与方程高中数学备课教案指数与对数函数的复合函数与方程一、复合函数的概念及性质在数学中，复合函数是将一个函数的输出作为另一个函数的输入的过程。

指数函数和对数函数是数学中的重要函数，它们可以进行函数的复合运算。

下面我们来探讨指数函数与对数函数的复合函数及相关的性质。

1. 复合函数的定义设函数f(x)和g(x)分别是定义在实数集上的两个函数，那么当g(x)的定义域包含f(x)的值域时，可以定义函数h(x) = (g∘f)(x)。

其中g∘f表示复合函数，读作g合成f。

2. 复合函数的性质（1）结合律：对于函数f(x)、g(x)和h(x)，有(h∘g)∘f = h∘(g∘f)。

（2）单位元：对于任何函数f(x)，有f(x)∘i(x) = i(x)∘f(x) = f(x)，其中i(x)为恒等函数。

（3）逆元：对于任何函数f(x)，它的逆函数是一个有限或无限集合，即(f∘f^(-1))(x) = (f^(-1)∘f)(x) = x。

二、指数函数与对数函数的复合函数1. 指数函数与对数函数的定义指数函数通常表示为f(x) = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。

对数函数通常表示为g(x) = logₐ(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。

2. 指数函数与对数函数的复合函数（1）指数函数与对数函数的复合设f(x) = a^x，g(x) = logₐ(x)，那么复合函数可以表示为h(x) =logₐ(a^x) = x。

（2）对数函数与指数函数的复合设f(x) = a^x，g(x) = logₐ(x)，那么复合函数可以表示为h(x) =a^(logₐ(x)) = x。

三、指数函数与对数函数的复合函数的图像分析1. 复合函数的图像变换通过分析复合函数的图像变换，我们可以更好地了解指数函数与对数函数的复合函数。

对于h(x) = (g∘f)(x)，由于对数函数和指数函数在图像上是互为镜像，所以复合函数的图像与指数函数和对数函数的图像呈镜像关系。

专题05 指数与指数函数及其复合函数综合问题一、学法指导与考点梳理重难点一 根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. 重难点二 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q. 重难点三 指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质二、重难点题型突破重难点突破1 指数与指数幂运算1.a a nn =)(；2.⎩⎨⎧<-≥==0.0,||a a a a a a n n3.正分数指数幂：规定：a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1) 4.负分数指数幂：规定：a －m n ＝1a m n ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)5.幂的运算性质（1）s r a a ＝s r a +a (＞0，r ，s ∈Q )；（2）sr a )(＝rs a a (＞0，r ，s ∈Q )； （3）rab )(＝rr b a a (＞0，r ，s ∈Q )．例1-1．（1）下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是( )A 56a a -=-B ．24x =C ．332b =D ．52()a b --=【解析】对于A 0a ，而当0a <时，56a 无意义，故A 错误；对于B ，当0x <时，24x =B 错误；对于C ，31332224()b b ==，故C 错误．对于D ，52()a b --===D 正确．故选：D ．（2）．（2019秋•凌源市月考）已知0a >( )A ．712aB ．512a C ．56a D ．13a【解析】原式1151532622212a a a aa ⨯====．故选：B ．（3）．2019秋•鸠江区校级期中）（121xy xy -；（21327()8--++【变式训练1】 计算：（2020·成都七中万达学校高一月考）1163471.586-⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭=_____________.【解析】由幂的运算法则及根式意义可知，1163471.586-⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭111131-233333443222=+22+23-=24272333（）（）（）（）⨯⨯++⨯-110= ，故填110. 【变式训练2】（2019·四川成都市·石室中学高一月考）（1）化简()3212332140.1a b--⎛⎫⋅⎪⎝⎭（2）2019·四川成都市·成都外国语学校）（2）13231442--⎛⎫⎛⎫++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （1）1323122214446212--⎛⎛⎫++⨯- ⎪ ⎝⎭⎝⎭=++-=【详解】（1）原式()311223322333321222221181161620010100a b a b a ba b ------⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅=⋅=⋅； （2）132312221444621--⎛⎛⎫++⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=++-=例1-2.（2019秋•越秀区校级月考）已知12x y +=，9xy =且x y <，求11221122x y x y-+的值．【解析】11221122x y x y-==+．①12x y +=，9xy =，②222()()41249108x y x y xy ∴-=+-=-⨯=．又x y <，x y ∴-=-=．【变式训练1】（1）（2019·四川成都市·石室中学高一月考）设3312x x +=，求1x x +的值.（2）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）化简求值：已知1122x x-+=，求22145x x x x --+++-的值.【解析】（1）由3312x x +=可得6312x x +=，即()2310x -=，解得1x =， 因此，1112x x+=+=. （2）因为1122x x -+=125x x -++=，即13x x -+=，所以2229x x -++=，即227x x -+=，所以221474115352x x x x --+++==-+--. 【变式训练2】（1）（2019·成都市·成都外国语高一期中）已知11223a a -+=，求332222a a a a --++值. 【解析】因为11223a a -+=，两边同时平方可得129a a -++=所以17a a -+=，由立方和公式及完全平方公式化简可得332222a a a a --++()()111222112a a a a a a ---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=+-()()2371184772⨯-==- （2）（2019·成都市·树德中学高一开学考试）已知232a =+11133a a a a--++的值【解析】设则， .重难点突破2 指数函数的概念例2.（2019·眉山外国语学校高一期中）函数y=（a 2–3a+3）•a x 是指数函数，则a 的值为___________．【解析】由题意得：a 2–3a+3=1，即（a–2）（a–1）=0，解得a=2或a=1（舍去），故答案为2． 【变式训练】（2019·四川省遂宁市第二中学校高一期中）若函数y =(a 2-3a +3)a x 是指数函数，则（ ） A a ＞1且a ≠1B a ＝1C a ＝1或a ＝2D a ＝2【答案】D重难点突破3 指数函数的图像例3-1.（1）（2019·眉山外国语学校高一期中）函数1(0,1)xy a a a a=->≠图像可能是（ ）． A ．B ．C ．D ．【解析】∵0a >，∵10a>，∵函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∵101a <<，所以排除B ，当01a <<时，∵11a>，所以排除C ，故选D.（2）（2020·四川成都市·成都七中高一月考）设0a >且1,a ≠则函数xy a b =+与y b ax =-在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】对A ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，xy a b =+中的1a >，不能统一，错误； 对B ，y b ax =-中的0,1a b ><-，xy a b =+中的0,10a b >-<<，不能统一，错误；对C ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，xy a b =+中的10,01b a -<<<<，正确；对D ，y b ax =-中的1b <-，xy a b =+中的10b -<<，不能统一，错误；故选：C. （3）（2019·四川成都市·石室中学高一开学考试）若函数()()101xy a b a a =-+>≠且的图象经过第一、三、四象限，则有（ ）A ．1a >，且1b <B ．1a >，且0b >C ．01a <<，且0b >D ．01a <<，且0b <【解析】由题意,画出图象如图,由单调性可知,1a >,当0x =时,0,0y b b =-,选B.（4）（2020·成都市·成都外国语学校高一期中）函数2121xy =+-的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】令()22112121x x xf x +=+=--， 得函数的定义域为{}0x x ≠，()()21122112x xx xf f x x --++--==--=， 则()f x 为奇函数，所以排除B C ；当0,21210x xx >>⇒->，则1y >，所以排除A ；故选：D.【变式训练】（1）（2019·四川凉山彝族自治州·高一期末）已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >的图象如图所示，则函数()xg x a b =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】由函数的图象可知，10b -<<，1a >，则()xg x a b =+为增函数，(0)10g b =+>，()g x 过定点(0,1)b +，故选：C .（2）（2020·四川省武胜烈面中学校高一月考）函数xy a b =+部分图象如图所示，则（ ）A ．01,10a b <<-<<B ．01,01a b <<<<C ．1,10a b >-<<D ．1,01a b ><<【解析】由题,函数图象恒过点()0,1b +,由图象可得011b <+<,即10b -<<, 显然,函数单调递减,所以01a <<,故选:A（3）（2019·四川成都市·双流中学高一期中）已知a ＞1，则函数y =a x 与y =（a -1）x 2在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【详解】∵a ＞1，∵函数y =a x 为增函数，函数y =（a -1）x 2在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数．故选：A ．（4）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）函数x y a = (0a >且1a ≠)与函数()212y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】当1a >时，函数xy a =为增函数；函数()212y a x x =--图象的开口向上，对称轴为101x a =>-，且与y 轴的交点为(0,0)，排除B ． 当01a <<时，函数xy a =为减函数；函数()212y a x x =--图象的开口向下，对称轴为101x a =<-，与y 轴的交点为(0,0)，排除C,D ，故A 正确．选A ． 例3-2.（恒过定点问题）（2020·四川成都市·成都七中高一期中）若函数22x y a +=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过一定点P ，则P 的坐标为（ ） A ．()0,1B ．()2,1-C ．()2,2-D ．()2,3-【解析】∵当2x =-时，此时2220=1x a a a +-+==，即函数值023y a =+=，∵定点P 的坐标为()2,3-，故选：D.【变式训练】（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）函数2020()2(01)x f x a a a -=+>≠,的图像必经过定点__________.【解析】令20200x -=，解得2020x =，则0()23f x a =+=，所以()f x 的图像必经过定点（2020，3），故答案为：（2020，3）重难点突破5 指数函数的定义域例5.（1）（2019·四川成都市·棠湖中学高一期末）函数y =_______．【解析】由二次根式有意义，得：420x -≥，即2242x ≤=，因为2xy =在R 上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：(,2]-∞（2）（2020·全国高三专题练习（理））已知函数f (x )的定义域是(1，2)，则函数f (2x )的定义域是（ ）A ．(0，1)B ．(2，4)C ．(12，1) D ．(1，2)【解析】∵f (x )的定义域是(1，2)，∵1＜2x ＜2，即20＜2x ＜21，∵0＜x ＜1.故选:A .【变式训练】（1）（2020·全国高一课时练习）函数()f x = ）A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,1]-∞【解析】使函数有意义，需210x -≥，即为21x ≥，得0x ≥，则定义域为[0,)+∞.选：A. （2）（2020·全国高一课时练习）函数()121x f x =-的定义域是________. 【解析】由210x -≠，得0x ≠，故函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.故答案为：(,0)(0,)-∞+∞重难点突破6 指数函数的单调性与最值例6-1.（1）（2020·四川师范大学附属中学高一期中）函数23212x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()2,+∞【解析】令()232t x x x =-+，则1()2t y =，1()2ty =在t R ∈上单调递减，所以本题即求函数()t x 在定义域内的减区间．利用二次函数的性质可得函数()t x 在定义域内的减区间为3(,)2-∞，函数23212x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的单调递增区间为：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．故选：A （2）（2020·攀枝花市第十五中学校高一期中）若函数242axxy -=在[﹣2，+∞）上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1]{0} B ．[﹣1，0]C ．（﹣1，0]D ．[﹣1，2]【解析】当0a =，41162xxy -⎛=⎫= ⎪⎝⎭，由指数函数的单调性 可知函数在[﹣2，+∞）上为减函数，满足题意；当0a <，只需满足()24f x ax x =-在[﹣2，+∞）上为减函数，即4212a a≤-⇒≥-，即10a -≤< ，综上，[]1,0a ∈-.故选：B（3）（2020·四川师范大学附属中学高一期中）已知函数()(),01,0x e k x f x k x k x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112k ≤< B ．112k << C ．1k < D ．1k ≤【解析】因为()f x 是在R 上的增函数，所以010(1)0k e k k k ->⎧⎨-≤-⨯+⎩，得112k ≤<，选：A 【变式训练】（1）（2020·内江市天立学校高一月考）已知函数20()40x a a x f x ax a x ⎧->=⎨-+≤⎩，，，其中0a >，且1a ≠，若()f x 在R 上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．113⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C ．102⎛⎤⎥⎝⎦，D ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】因为函数20()40xa a x f x ax a x ⎧->=⎨-+≤⎩，，，在R 上单调递减，所以014012a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-⎩，解得113a ≤<，故选：B （2）（2020·四川泸州市·泸县五中高一月考）若函数()22313x mx f x +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,1-上单调递减，则实数m 的取值范围是__________．【解析】等价于223y x mx =+-在()1,1-上单调递增，对称轴4m x =-， 所以14m-≤-，得4m ≥．即实数m 的取值范围是[)4,+∞． （3）求函数221()2x xy -+=的单调区间．解：令22t x x =-+，则1()2t y =，且在R 上递减，由于22t x x =-+在(-∞，1]上递增，在[1，)+∞上递减，则由复合函数的单调性，可得 函数221()2x xy -+=的单调递减区间为(-∞，1]，单调递增区间为[1，)+∞．例6-2.（1）（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高二月考）函数221()2x xy -+=的值域是（ ）A ．RB ．1[,)2+∞ C ．(2,)+∞ D ．(0,)+∞【解析】令22t x x =-+，则1()2ty =，而222(1)11t x x x =-+=--+≤，所以11()22ty =≥.故选B.（2）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）当[]1,1x ∈-时，函数()32xf x =-的值域是（ ）A ．51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1C ．5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【解析】因为指数函数3x y =在区间[]1,1-上是增函数，所以11333x -≤≤，于是11323232x --≤-≤-即5()13f x -≤≤.故选:C . （3）（2019·四川省成都市郫都区第四中学高一月考）已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b += .【解析】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. （4）（2019·四川省遂宁市第二中学校高一期中）设02x ≤≤，求函数143252xx y =⋅-⨯+ 的最大值和最小值. 【解析】设2x t =，则2211135(3)(14)222y t t t t =-+=-+≤≤. ∵上述关于t 的二次函数在[1,3]上递减，在[3,4]上递增， ∵当3t =，y 取最小值12；当1t =时，即0x =时，y 取最大值52. 【变式训练】（1）（2019·泸州市·高一期中）已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域．【解析】令13Uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,225U x x =++，则y 是关于U 的减函数，而U 是(),1-∞-上的减函数，()1,-+∞上的增函数，∵22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),1-∞-上是增函数，而在()1,-+∞上是减函数，又∵()2225144U x x x =++=++≥, ∵22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为4110,0,381⎛⎤⎛⎫⎛⎤= ⎥ ⎪ ⎥ ⎝⎭⎝⎦⎥⎝⎦．（2）（2019·四川省阆中东风中学校高三月考）函数2212x x y -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域是（ ）A ．RB ．()0,∞+C ．()2,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()222111x x x -=--+≤，221111222x x -⎛⎫⎛⎫∴≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：D.（3）（2020·四川自贡市·高一期末）若02x ≤≤，求函数()129235x x f x -=-⨯+的最大值和最小值． 【详解】()()1221923532353x x xx f x -=-⨯+=-⨯+()()()21332023xf x x =-+≤≤,当33x =时,即1x =时取得最小值,故()()min 12f x f ==,当0x =时,10(0)3f =, 当2x =时,(2)14f = ()()(){}()max max 0,2214f x f f f ===.综上,函数()f x 最大值为14,最小值为2.（4）（2019·成都市棠湖中学高一期中）如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________. 【解析】令a x =t ，则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时，因为x ∵[-1，1]，所以t ∵1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又函数y =(t +1)2-2在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y max =(a +1)2-2=14，解得a =3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∵[-1，1]，所以t ∵1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，又函数y =(t +1)2-2在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则y max =211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2=14，解得a =13 (负值舍去).综上，a =3或a =13.故答案为: 3或13 重难点突破7 指数函数比大小、解不等式 例7-1.如图①，②，③，④，根据图象可得a 、b 、c 、d 与1的大小关系为（ ）A. a ＜b ＜1＜c ＜dB. b ＜a ＜1＜d ＜cC. 1＜a ＜b ＜c ＜dD. a ＜b ＜1＜d ＜c 【解析】由图，直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是（1，b ），（1，a ），（1，d ），（1，c ），故有b ＜a ＜1＜d ＜c ，故选B.例7-2.（1）（2020·成都市·成都七中高三其他模拟）已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【详解】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，因为幂函数13y x =在R 上单调递增，所以a c <，因为指数函数16xy =在R 上单调递增，所以b a <，即b <a <c .故选：A.（2）（2020·四川成都市·成都七中高三开学考试）设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>【解析】先比较a ，c 的大小关系，由13y x =在R 上是增函数可得：a c >，再比较b ，c 的大小关系，由1()3xy =在R 上是减函数可得：b c <， 综上可得：a c b >>，故选：B.【变式训练】（1）已知0.70.8a =，0.90.8b =，0.81.2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.c a b >>C.b a c >>D.c b a >>【解析】根据指数函数的性质可知,函数0.8xy =为单调递减函数,所以00.70.910.80.80.8=>>,即1a b >>因为 1.2xy =为单调递增函数,所以0.80.211 1.2>=,即1c >综上可知, c a b >>,故选B（2）（2020·四川省高一期末）设.1084y =，0.728y =，3434y =，则（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．123y y y >>【解析】()20.80.81.16224y ===，()0.70.73 2.12822y ===，()332 1.5443422y ===.因为 2.1 1.6 1.5222>>，故213y y y >>.故选：B（3）（2020·成都新津为明学校高一期中）已知 2.32.3a =， 1.92.3b =， 2.32.5c =，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．a b c >>【详解】利用指数函数的性质，可得 2.32.3a = 1.92.3b >=，又因为 2.32.3a =和 2.32.5c =，作商得， 2.32.512.3c a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，得到c a >，所以，c a b >>，故选：B例7-3.（1）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）不等式124x ->的解集是（ ） A ．{}2x x > B ．{}2x x <C ．{}3x x >D ．{}3x x <【解析】12242x ->=，12x ∴->，解得3x >，则解集是{}3x x >.故选：C .（2）（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）不等式236212()2x xx --≥的解集为________． 【解析】式236212()2xxx --≥⇔232622x x x --≥，再由函数2x y =在定义域内单调递增，从而可得： ()()(][)22326560230,23,x x x x x x x x -≥-⇒-+≥⇒--≥⇒∈-∞+∞．（3）（2020·成都新津为明学校高一期中）已知函数()f x 是定义在R 的偶函数，当0x ≥时，恒有1212()()0f x f x x x -<-，且(3)0f =，则不等式(25)0x f -<的解集为_______．【解析】依题意，()f x 为偶函数，由于0x ≥时，恒有1212()()0f x f x x x -<-，所以()f x 在()0,∞+上递减，则()f x 在(),0-∞上递增，()()330f f -==， 所以()f x 在区间()(),33,-∞-+∞有()0f x <，故由(25)0xf -<得253x -<-或253x ->，即22x <或3282x >=， 解得1x <或3x >.所以不等式(25)0xf -<的解集为(,1)(3,)-∞+∞.【变式训练】（1）（2017·全国高一课时练习）设0<a <1，则使不等式222135x x x x a a >－＋－＋成立的x 的集合是________．【解析】01,xa y a <<∴=为减函数，222135xx xx a a -+-+>，222135x x x x ∴-+<-+，解得4x <，故使条件成立的x 的集合为(),4-∞，故答案为(),4-∞.（2）（2020·四川成都市·高一期末）已知函数()1x f x a =-（0a >，且1a ≠）满足()()1124f f -=.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅰ）解不等式()0f x >.【解析】（∵）∵()1x f x a =-（0a >，且1a ≠），∵()()()()221211f f a a a a -=---=-.由214a a -=，解得12a =.∵a 的值为12.（∵）不等式()0f x >即1102x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∵121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝.即01122x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上单调递减，∵0x <.∵不等式()0f x >的解集为(),0-∞. 重难点突破8 指数函数性质综合 例8.已知函数．（∵）判断并证明函数的奇偶性；（∵）判断并证明函数的单调性； （∵）若，求实数的取值范围．【解析】（∵）是奇函数．证明：因为函数的定义域为，),1(,)(R ∈>-=-x a aa x f xx()f x ()f x 0)1()1(2<-+-t f t f t ()f x ()f x R又，所以是奇函数．（∵）函数为上的增函数．证明：任取，则．因为，所以，又，所以，，所以．所以函数为上的增函数．（∵）由，可得．由函数是奇函数，可得．又为上的增函数，所以，即解得 ，或．【变式训练】（1）已知函数11x x a f x a -=+()，其中0a ＞，且1a ≠.（1）判断f x ()的奇偶性，并证明你的结论； （2）当1a ＞时，求证：f x （）在R 为增函数. 【解析】（1）f x ()为奇函数.证明如下：由11x x a f x a -=+()，x R ∈，得1111111111xx x x x x xxx xa a a a a f x f x a a a a a -------=====-++++()()，即对任意的x R ∈， 都有f x f x -=-()()，所以f x ()为奇函数.（2）当1a ＞时，设1x ，2x R ∈，且12x x ＜，则12xxa a ＜，从而1212121111x x x x a a f x f x a a ---=-++()()1221121212111101111x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a -+--+-==++++＜()()()()2()()()()()， 所以12f x f x ＜()()，故f x （）在R 上为增函数.()()f x f x -=⋅⋅⋅=-()f x ()f x R +∞<<<∞-21x x 2211)()(21x x x x a a a ax f x f --+--=-)()(1221x x x x a a a a ---+-=21x x <21x x ->-1>a 21x x a a <12xx a a --<)()(21x f x f <()f x R 0)1()1(2<-+-t f t f )1()1(2t f t f --<-()f x )1()1(2-<-t f t f ()f x R 112-<-t t 022>-+t t 2-<t 1>t（2）（2020·成都七中万达学校高一月考）函数()(0,1)xf x a a a =>≠，(2)4(1)4f f -=-.（1）求a 的值；（2）若(32)(25)f m f m -<+，求实数m 的取值范围.【详解】（1）由题意(2)4(1)4f f -=-，则244a a -=-，解得2a =，综上：2a =. （2）由（1）知()2x f x =，则()f x 是R 上的增函数，因为(32)(25)f m f m -<+则3225m m -<+，解得7m <，综上所述，结论是：(),7m ∈-∞三、课堂定时训练（45分钟）1．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】很显然，均大于1；与的交点在与的交点上方， 故，综上所述:.故选:C. 2.（2019·安徽高三高考模拟（文））函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ，故选：A3．设0a ＞，且1a ≠，则指数函数x y a =与一次函数y x a =-+的图象可能是（ ） Cx y a =xy b=1a b <<1b a <<1a b >>1b a >>a b xy a =1x =xy b =1x =b a <1a b >>【解析】由题意知，当a 变化时，指数函数x y a =的图象过定点01(,)．若1a ＞，则指数函数x y a =在R 上递增，一次函数y x a =-+的图象与y 轴的交点0a (,)在点01(,)的上方，与x 轴的交点0a (,)在x 轴正半轴，A 符合，B 不合题意．若01a ＜＜，则指数函数x y a =在R 上递减，一次函数y x a =-+的图象与y 轴的交点在原点与点01(,)之间，与x 轴的交点在x 轴正半轴，C 、D 均不合题意．故选A ． 4.（2019·云南高三高考模拟（文））已知，，，则下列不等式正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【解析】因为在R 上递减，且，所以.又因为在R 上递增，且 ，所以 .所以.故选：D.5．若2233x y x y ----＜，则（ ）A ．x y ＜B ．x y ＞C ．||1x y -＞D ．||1x y -＜【解析】由2233x y x y ----＜，得2323x x y y ----＜，令23ttf t -=-()，因为2ty =为R上的增函数，3ty -=为R 上的减函数，所以f t ()为R 上的增函数，所以x y ＜，则A 正确，B 错误；，因为x y -与1的大小不能确定，故C 、D 无法确定．故选A ．7．已知函数2222x xxf x -=++()的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．【解析】设222x x x g x -=+()，由222222x x x x x xg x g x ------==-=-++()()()()()知， g x ()是奇函数，所以max min 0g x g x +=[()][()]，所以max min 22404M m g x g x +=+++=+=[()][()]．8.已知函数()()()210120xx x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则该函数是（ ） A ．偶函数，且单调递增 B ．偶函数，且单调递减 C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减【详解】当0x =时，(0)0f =；当0x >时，0x -<，所以()12()xf x f x --=-=-；当0x <时，0x ->，所以()21()xf x f x -=-=-；所以()()f x f x -=-，所以函数是奇函数.当0x ≥时，()21xf x -=-，由复合函数的单调性原理得函数单调递减，由奇函数的性质得函数在R 上单调递减.故选：D9．函数()()21121012211x x ax x f x a a a x ⎧-+<⎪=>≠⎨⎪-≥⎩且是R 上的减函数，a 取值范围是（ ） A ．1223⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．1223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．213⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【详解】由题得22112201112122a x a a a a -⎧=-=≥⎪⨯⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥-⎪⎪⎩，解之得1223a ≤≤.故选：C10．（改编自2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数（且）的图象恒过定点，则 ， ______．3x my a n -=+-0a >1a ≠(3,2)m =n =【解析】∵函数（且）的图象恒过定点，令，可得，，可得函数的图象经过定点.再根据函数的图象经过定点，∴，，解得，.11.已知函数，为常数，且函数的图象过点．（1）求的值；（2）若，且，求满足条件的的值．【解析】（1）由已知得，解得．（2）由（1）知，又，则，即，即， 令，则，即， 又，故，即，解得 ．12．（2019·攀枝花市第十五中学校高一月考）设函数()(0,1)x xf x a a a a -=->≠.（1）若11221()32f a a -=+=，求22a a -+的值.（2）若3(1)2f =，求函数()f x 的解析式； （3）在（2）的条件下，设22()2()x xg x a a mf x -=+-，()g x 在[1,)+∞上的最小值为1-，求m .【解析】（1）由题意知11223a a -+=，可得112122()29a a a a --+=++=，可得17a a -+=，又由1222(249a a a a--+=++=），可得2247a a -+=.（2）由函数()x xf x a a -=-，且3(1)2f =，可得132a a -=， 整理得22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍去）， 3x my an -=+-0a >1a ≠0x m -=x m =2y n =-(),2m n -()3,23m =22n -=3m =4n =()12axf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ()1,2-a ()42xg x -=-()()g x f x =x 122a-⎛⎫= ⎪⎝⎭1a =()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()g x f x =1422xx -⎛⎫-= ⎪⎝⎭112042x x⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2112022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭220t t --=()()210t t -+=0t >2t =122x⎛⎫= ⎪⎝⎭1x =-所以函数()f x 的解析式为()22x x f x -=-.（3）由（2）知()22x x f x -=-，得()2222()2()22222x x x x x x g x a a mf x m ---=+-=+--()()2222222x x x x m --=---+， 令()22x x t f x -==-，可得222()22()2h t t mt t m m =-+=-+-，又由函数()22x x f x -=-为增函数，因为1x ≥，所以3(1)2t f ≥=，当32m ≥，当t m =时，2min ()21h t m =-=-，即m =m =，当32m <，当32t =时，min 17()314h t m =-=-，解得7342m =>，舍去.综上可知m =. 13.（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）已知函数()42+=x xb f x 为奇函数. （1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围； 【解析】（1）∵函数()42+=x xb f x 的定义域为R ，且为奇函数， ∴()010=+=f b ，解得1=-b .（2）∵()44112222+-===-x x x x x xb f x ，∴()f x 在R 上单调递增，且()131222-=-=-f . ∵()23202--+<f x kx k ，则()()23212--<-=-f x kx k f ， 又函数()f x 在R 上单调递增，则221--<-x kx k 在[]0,1∈x 上恒成立，∴()12141>++-+k x x 在[]0,1∈x 上恒成立，设()()12141=++-+g x x x ，则()()max 312==<g x g k ， ∴实数k 的取值范围为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,.。

指数型复合函数的性质及应用练习一、选择题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分，）1. 若函数f(x)=ax2+bx+2019x2在区间[2019, 2020]上的最大值是M，最小值是m，则M−m() A.与a无关，但与b有关 B.与a无关，且与b无关C.与a有关，但与b无关D.与a有关，且与b有关2. 已知a>1，f(x)=a x2+2x，则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是（）A.−2<x<0B.−1<x<0C.−2<x<1D.−1<x≤03. 函数y=21x2+1的值域为()A.(1,2]B.(0,2]C.(−∞,2]D.[1,2]4. 函数f(x)=(15)x2+ax在区间[1, 2]上是单调减函数，则实数a的取值范围是( )A.a≤−4B.a≤−2C.a≥−2D.a>−45. “ab=4”是“直线2x+ay−1=0与直线bx+2y−2=0平行”的( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.必要而不充分条件二、填空题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分，）6. 已知定点O(0, 0)，A(3, 0)且|MO|＝2|MA|，则动点M的轨迹方程________．7. 函数y=(13)1+2x−x2的单调递减区间是________；值域是________.8. 已知函数f(x)=a x+b(a>0, a≠1)的定义域和值域都是[−1, 0]，则a+b=________．三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分，）9. 已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x,且f(0)=1．(1)求f(x)的解析式；(2)求函数y=(116)f(x)的值域.10. 已知函数f(x)=(12)x2−2x−1.(1)求定义域；(2)求单调区间；(3)求其值域.11. 已知函数f(x)=−a 2x −2a x +1(a >1).(1)求函数f(x)的值域；(2)若x ∈[−2, 1]时，函数f(x)的最小值为−7，求a 的值．12. 已知：函数g(x)＝ax 2−2ax +1+b(a ≠0, b <1)，在区间[2, 3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)x ．（1）求a 、b 的值及函数f(x)的解析式；（2）若不等式f(2x )−k ⋅2x ≥0在x ∈[−1, 1]时恒成立，求实数k 的取值范围．13. 已知向量a →,b →满足a →=(2sin x,sin x),b →=(cos x,2√3sin x)，函数f(x)=a →⋅b →−√3(x ∈R)． (Ⅰ)求f(x)在x ∈[0,π2]时的值域；(Ⅱ)等比数列{a n }满足a 1=f(5π12)，且a 2，a 3+2，a 4成等差数列．若b n =2n−74a n (n ∈N ∗)，求数列{b n }的最大项．参考答案一、 选择题1.A2.B3.A4.C5.C二、 填空题6.(x −4)2+y 2＝47.(−∞,1],[19,+∞)8.−32 三、 解答题9.解：(1)设二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)， ∵ f(0)=1，∴ c =1，∴ f(x)=ax 2+bx +1， 又∵ f(x +1)−f(x)=[a(x +1)2+b(x +1)+1]−[ax 2+bx +1] =2ax +a +b =2x ，∴ 2a =2且a +b =0，∴ a =1，b =−1，∴ f(x)=x 2−x +1；(2)y =(116)x 2−x+1，令t =x 2−x +1,则t ≥34，又y =(116)t 在R 上单调递减， 0<y ≤(116)34，故函数 y =(116)x2−x+1 的值域为 (0,18]. 10.解：(1)∵ 函数f(x)=(12)x2−2x−1对任意实数都有意义， ∴ f(x)的定义域为R .(2)由(1)得函数f(x)=(12)x 2−2x−1的定义域为R ，令t =x 2−2x −1，则y =f(x)=(12)t ，∵ t =x 2−2x −1=(x −1)2−2，∴ t =x 2−2x −1在(−∞,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数. 又y =(12)t 为减函数，∴ 函数f(x)=(12)x 2−2x−1的单调递增区间为(−∞,−1)，单调递减区间为(1,+∞).(3)由(1)得函数f(x)=(12)x 2−2x−1的定义域为R ，令t =x 2−2x −1，则y =f(x)=(12)t ， ∵ t =x 2−2x −1=(x −1)2−2∈[−2,+∞)， 即函数f(x)=(12)x2−2x−1的值域为(0,4].11.解：(1)令t =a x >0，∴ f(x)=g(t)=−t 2−2t +1=−(t +1)2+2， ∵ t >0，∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，∴ g(t)<g(0)=1，∴ 函数f(x)的值域为(−∞, 1).(2)∵ a >1，∴ x ∈[−2, 1]时，t =a x ∈[a −2, a]， ∵ f(x)=g(t)=−t 2−2t +1=−(t +1)2+2，a −2>0， ∴ 函数f(x)在[a −2, a]上单调递减，∴ t =a 即x =1时，函数f(x)取得最小值， ∴ −(a +1)2+2=−7，∴ (a +1)2=9，∴ a =2或−4（舍去），所以a =2．12.由于二次函数g(x)＝ax 2−2ax +1+b 的对称轴为x ＝1， 由题意得：{a >0g(2)=1+b =1g(3)=3a +b +1=4，解得{a =1b =0 ． 或{a <0g(2)=1+b =4g(3)=3a +b +1=1，解得{a =−1b =3>1 ．（舍去） ∴ a ＝1，b ＝0．故g(x)＝x 2−2x +1，f(x)=x +1x −2． 不等式f(2x )−k ⋅2x ≥0，即2x +12x −2≥k ⋅2x ，∴ k ≤(12x )2−2⋅(12x )+1． 在x ∈[−1, 1]时，设t =12x ∈[12,2]，∴ k ≤(t −1)2， 由题意可得，函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}，故t ≠1，即 12≤t ≤2，且t ≠1．∵ (t −1)min 2>0，∴ k ≤0，即实数k 的取值范围为(−∞, 0]．13.（1）∵ a →=(2sin x,sin x),b →=(cos x,2√3sin x)， ∴ f(x)=a →⋅b →=sin 2x +√3(2sin 2x −1)=sin 2x −√3cos 2x =2sin (2x −π3)， 当x ∈[0,π2]时，2x −π3∈[−π3,2π3]，∴ sin (2x −π3)∈[−√32,1]． 即f(x)的值域为[−√3,2]；（2）设数列{a n}的公比为q，则由条件得：a1=f(5π12)=2，2(a3+2)＝a2+a4，则2(2q2+2)＝2q+2q3，∵1+q2>0，解得：q＝2，∴a n=2n．故b n=2n−72n+2，n∈N∗，由b n+1−b n=2n−52n+3−2n−72n+2=9−2n2n+3，得当9−2n>0，可得n≤4时，有b1<b2<b3<b4<b5；当9−2n<0，可得n≥5时，有b5>b6>b7>…．∴数列{b n}的最大项为b5=3128．。

2016年专项练习题集-指数型复合函数的性质与应用介绍：函数是高中数学的核心内容之一，它贯穿整个高中数学课程的始终。

在每年的高考题中占据非常重要的地位，而且经常与其它知识点结合。

选择题1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141－x的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞) C.[41，＋∞)D ．(41，＋∞) 【分值】5 【答案】A【考查方向】本题主要考查指数函数与一次函数的复合。

高考题中经常出现，它既可以考查复合函数也可以考查函数图像的变换。

.【易错点】指数函数是以x 轴为渐进线的所以函数值取不到0. 【解题思路】先把指数部分换元，然后用指数函数的图像求解. 【解析】设t =1-x .因为x ∈R,所以t ∈R 。

由指数函数y=t)(41的图像得y ∈(0，＋∞)2．函数f (x )＝a x +1＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象必经过点( ) A ．(-1，1)B ．(1，1)C ．(0，1)D ．(2，1) 【分值】5 【答案】A【考查方向】本题主要考查指数函数过固定点的性质.【易错点】直接把指数中的常数当固定点坐标或直接令指数函数值为0. 【解题思路】令真数的值为0求出固定点横坐标，再代入函数求纵坐标. 【解析】∵a 0＝1，∴f (-1)＝1，故f (x )的图象必过点(-1，1).3．已知1221-=x x f )()(。

“x ＞1”是“)(x f ＜1”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【分值】5 【答案】B【考查方向】该题主要考察指数函数的单调性和充分条件必要条件. 在近几年的各省高考题中几乎每年都会考到【易错点】用指数函数单调性解指数不等式正确构造同底幂.【解题思路】直接构造同底对数解不等式)(x f ＜1，再判定充要关系.【解析】)(x f ＜1即 0121212)()(<-x根据所涉及指数函数是R 上的减函数得012>-x从而得到1>x 或1-<x由此得到“x ＞1”是“)(x f ＜1”的充分不必要条件4．如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时f (x )＝x2121-)(，那么函数f (x )在[－1，0]上的最大值与最小值之和为( )A ．85B ．721 C ．821 D ．10 【分值】5 【答案】D【考查方向】本体主要考查指数型函数的单调性与最值. 在近几年各省的高考题中几乎每年都会出现，需要高度重视。

章节专题 指数型与对数型复合函数复合函数的定义设)(),(x g u u f y ==，当x 在)(x g u =的定义域内变化时，)(x g u =的值在)(u f y =的定义域内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为))(()(x g f u f y ==，称其为复合函数，其中x 为自变量，u 为中间变量，y 为函数值。

复合函数增减性的判定：同增异减.设复合函数[()]=y f g x ，A 是[()]=y f g x 定义域的某个区间，B 是()=u g x 的值域： ①若()=u g x 在A 上是增(或减)函数，()=y f u 在B 上也是增(或减)函数，则函数[()]=y f g x 在A 上是增函数；②若()=u g x 在A 上是增(或减)函数，而()=y f u 在B 上是减(或增)函数，则函数[()]=y f g x 在A 上是减函数.考点一 复合函数的单调性[典例1]．求下列函数的单调区间（1）)124(log 221-+=x x y（2）2log 2)(log 4.024.0+-=x x y（3）342)31(+--=x x y考点二 复合函数的值域[典例2]．函数82),21)(log 2(log 42≤≤--=x x x y（1）令x t 2log =，求y 关于x 的函数关系式，并写出t 的范围.（2）求该函数的值域[典例3]．已知函数1()4226x x f x +=-⋅-，（1）求不等式()26f x >的解集；（2）若实数a 使得对[0,3],()0x f x a ∀∈-≥恒成立，求a 的取值范围．课后练习1、若log (2)=-a y ax 在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是_________2、若函数()2()log 36=-+-a f x x ax a 在[2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是_________3.若函数y ＝log 2()x 2－ax ＋3a 在(2，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（－∞，4] B ．(－∞，4)C ．（－4，4]D ．[－4，4] 4.(2021﹒松山区校级三模）函数y ＝log 12()x 2＋2x －3的单调递减区间是________． 5.已知函数f (x )=-4x +k ·2x +1-2k ，[]0,1x ∈. （1）当k =-1时，求f (x )的值域;（2）若f (x )的最大值为34-，求实数k 的值.。

《指数型复合函数单调性》专题2014年（ ）月（ ）日 班级： 姓名不必每分钟都学习，但求学习中每分钟都有收获。

图像特征 函数性质x y a = (1,0≠>a a 且)图像都位于x 轴 方x 取任何实数时，都有x a 0函数图象都经过点（ ， ） 无论a 取任何正数时，总有0___a =图像m 在第一象限内的纵坐标都 1； 在第二象限内的纵坐标都 。

图像n 正好相反，第一象限内的纵坐标都 ； 在第二象限内的纵坐标都 1；。

当1a >时，当0x >时，___1x a ，当0x <时，0______1xa ； 当01a <<时，当0x >时，0______1x a ， 当0x <时，___1xa 。

1．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A.1>a B.2<a C.a<2 D.1<2<a2．已知x ＞0，函数y=(a 2－8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是______． 3．函数y =3|x |的单调递增区间是________． 函数y =3-|x |的单调递增区间是________．【探究复合函数单调性】求函数22x y =的单调区间。

我们发现：22x y =可以看做：y ＝2u 且2u x =复合而成，我们把这种函数称为复合函数【规律】当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当内外函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。

“同增异减”求函数y ＝212x ⎛⎫⎪⎝⎭的单调区间。

求函数y ＝2212x x-⎛⎫⎪⎝⎭的单调区间。

求函数y ＝2212x x-⎛⎫ ⎪⎝⎭的值域。

求函数y ＝23231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 的单调区间.求函数2222++-=x x y 的定义域，值域和单调区间【类型三】指数型函数的求定义域及值域问题求下列函数的定义域：y = 11()2x y = y ＝23－xy ＝32x ＋1 y ＝（21）5xy ＝x 17.0求下列函数的定义域与值域. y =y ＝231-x ; y ＝4x +2x+1+1.。

探究指数函数型复合函数作者：李秀兰
来源：《新高考·高二数学》2018年第07期
指数函数与其他代数函数复合后形成复合函数，如y=a f（x）和y=f（ax）（a>0且
a≠1），通过对这些复合函数性质的研究，弄清楚指数函数与其他代数函数之间的联系，明确复合函数的性质与指数函数性质的区别与联系，下面我们不妨对指数型复合函数的图象与性质的应用进行举例说明.
一、与指数有关的复合函数图象
把指数函数y=ax（a>0且a≠1）的图象进行平移、对称，得到复合函数y=f（a x）（a>0
且a≠1）.
例1 把函数y=f（x）的图象向左、向下分別平移2个单位长度，得到函数y=2 x的图象，求f（x）.
分析本题可运用逆向思维，再利用函数图象的平移规律可得.
二、复合函数的性质
1.定义域、值域
点评对于上述两个函数，要先确定出复合过程，同时先求出f（x）的值域，再确定出整
个函数的值域.
2.单调性
点评对于复合函数的单调性，首先要注意该函数的定义域，其次才考虑在其定义域内的
单调性问题.
分析平方展开后重新配方，则可以得到所求函数的形式，然后根据二次函数的知识来确
定最值.
点评这是复合函数求最值问题，为了求得最值，通过换元转化为二次函数，再由二次函
数在区间上的单调性确定最值.
因此，研究指数函数复合函数问题，需要找出函数的复合过程，然后再确定其相关的性质.。

函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域一、复合函数的概念如果函数()=y f t 的定义域为A ，函数()=t g x 的定义域为D ，值域为C ， 则当⊆C A 时，函数()()=y f g x 为()f t 与()g x 在D 上的复合函数， 其中()=t g x 叫做内层函数，()=y f t 叫做外层函数 二、复合函数的单调性1、复合函数单调性的规律：“同增异减”若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数 2、具体判断步骤（1）求出原函数的定义域；（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论. 三、指数型复合函数值域的求法1、形如()=x y f a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域借助换元法：令=x a t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域， 但要注意“新元t ”的范围2、形如()=f x y a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用=y a μ的单调性求出()=f x y a 的值域。

四、对数型复合函数值域的求法1、形如(log )=a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ， 再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域。

2、形如()log =a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数的值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用log =a y μ的单调性求出()log =a y f x 的值域。

题型一 复合函数的单调性判断【例1】（多选）函数2(65)1()()2x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（ ）A ．(3),-∞B ．(3,5)C ．(1,3)D ．(2,3) 【答案】ACD【解析】由题意，函数1()2xy =在R 上单调递减，又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减， 结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.【变式1-1】求函数21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间___________.【答案】增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【解析】设t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭>0，又22817(4)1y t t t =-+=-+在(0,4]上单调递减，在(4,)+∞上单调递增.令12x⎛⎫ ⎪⎝⎭≤4，得x ≥－2，令12x⎛⎫⎪⎝⎭>4，得x <－2. 而函数t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以函数21181722x xy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-.故答案为：增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【变式1-2】函数()()212log 32f x x x =-+-的单调递减区间为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由2320x x -+->得：12x <<，即()f x 定义域为()1,2；令232t x x =-+-，则t 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 又12log y t=在()0,∞+上单调递减，()()212log 32f x x x ∴=-+-的单调递减区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【变式1-3】函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【答案】(2,0]-【解析】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-， 令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数， 所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减， 故答案为：(2,0]-题型二 根据复合函数的单调性求参数【例2】若函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．4a ≤-B ．2a ≤-C ．2a ≥-D ．4a ≥- 【答案】C【解析】依题意函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，15xy =在R 上递减， 2y x ax =+的开口向上，对称轴为2ax =-，根据复合函数单调性同增异减可知，122a a -≤⇒≥-.故选：C【变式2-1】若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.【答案】1m ≤-【解析】由复合函数的同增异减性质可得，221y x mx =+-在[1,1]-上严格单调递减，二次函数开口向上，对称轴为x m =- 所以1m -≥，即1m ≤- 故答案为：1m ≤-【变式2-2】已知f （x ）＝()212log 3x ax a -+在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】](4,4-【解析】二次函数23=-+y x ax a 的对称轴为2=a x ， 由已知，应有22≤a，且满足当x ≥2时y ＝x 2－ax ＋3a >0， 即224230⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩a a a ，解得44-<≤a ．故答案为：](4,4-【变式2-3】若函数()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．3724⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．3724⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】因为()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减， 所以，函数()212log 22y x ax =-+-在312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，且函数值非负， 所以函数222t x ax =-+-在312⎛⎫ ⎪⎝⎭，是单调递增且01t <≤， 故2232332121220a a a ⎧≥⎪⎪⎪⎛⎫-+-≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+-≥⎪⎩，解得3724a ≤≤，故选：C【变式2-4】已知()()2log 3(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠，对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】(【解析】因为对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，所以()f x 在(,]2a-∞上单调递减，因为23y x ax =-+在(,]2a-∞上单调递减，由复合函数的单调性知1a >，又由对数函数的定义域知，当(,]2a x ∈-∞时，230x ax -+>恒成立，可得2()3022a a a -⨯+>，解得a -<<综上可得；1a <<a 的取值范围为(.【变式2-5】已知函数()log a f x x =，记()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=⋅+-⎣⎦，若()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()()0,11,2UD ．[)2,+∞【答案】A【解析】()()()()()21log log log 21a a a g x f x f x f x x ⎡⎤=⋅+-=+⎣-⎦， 则()()22lg lg lg 21lg lg lg 2lg lg lg lg lg 1x x g x x a x a a a a ⎛⎫-⎡⎤=+=-- ⎪⎣⎦⎝⎭， 令lg t x =，由1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]lg 2,lg 2t ∈-，令()()221lg lg 2lg M t t a t a⎡⎤=--⎣⎦， 因为()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以()M t 在[]lg 2,lg 2t ∈-也是增函数， 所以lg lg 21lg 2lg lg 2lg 22a a -≤-⇒≤-=， 则102a <≤，即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：A.题型三 复合函数的值域求解【例3】函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．[)2,+∞【答案】C【解析】令22t x x =-+，则2(1)11t x =--+≤，因为1()2ty =在R 上单调递减，所以12y ≥，故函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：C【变式3-1】函数113()934x xf x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________.【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝，2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【变式3-2】已知函数2()421x x f x +=--，[0,2]x ∈则其值域为___________. 【答案】[]5,1--【解析】令2x t =，∵[0,2]x ∈，∴14t ≤≤，∴22()41(2)5f t t t t =--=--， 又()y f t =关于2t =对称，2t ∴=即1x =时，函数取得最小值，即min ()5f x =-，4t =即2x =时，函数取得最大值，即max ()1f x =-， ()[5f x ∴∈-,1]-.【变式3-3】已知函数()()()44log 1log 3f x x x =++-，求()f x 的单调区间及最大值． 【答案】单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3；()max 1=f x【解析】由1030x x +>⎧⎨->⎩得：13x -<<，()f x ∴的定义域为()1,3-；()()()()()224444log 1log 3log 23log 14f x x x x x x ⎡⎤=++-=-++=--+⎣⎦， 令()()214t x x =--+，则()t x 在()1,1-上单调递增，在()1,3上单调递减，又4log y t =在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：()f x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3； 由单调性可知：()()4max 1log 41f x f ===.【变式3-4】已知()222()log 2log 4,[2,4]f x x x x =-+∈．（1）设2log ,[2,4]t x x =∈，求t 的最大值与最小值；（2）求()f x 的值域．【答案】（1）2t =最大，1t =最小；（2）[3，4].【解析】（1）因为函数2log t x =在区间[2，4]上是单调递增的，所以当4x =时，2log 42t ==最大， 当2x =时，2log 21t ==最小．（2）令2log t x =，则()()()222413f x g t t t t ==-+=-+，由（1）得[]1,2t ∈，因为函数()g t 在[]1,2上是单调增函数，所以当1t =，即2x =时，()min 3f x =；当2t =，即4x =时，()max 4f x =， 故()f x 的值域为[]3,4.【变式3-5】已知函数()2421x xf x a =⋅-⋅+，求函数()f x 在[]0,1上的最小值．【答案】()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩【解析】设2x t =，由[0,1]x ∈得[1,2]t ∈，2()()21f x g t t at ==-+，222()212()148a a g t t at t =-+=-+-，当14a ≤，即4a ≤时，min ()(1)3g t g a ==-， 当124a <≤，即48a <≤时，2min ()()148a a g t g ==-， 当，即8a >时，min ()(2)92g t g a ==-， 综上()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩．【变式3-6】已知函数()1423x x f x a +=⋅--，若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．【答案】()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.【解析】令[]22,4x t =∈，即求()223h t at t =--在区间[]2,4上的最大值．当0a >时，二次函数()223h t at t =--的图象开口向上，对称轴为直线1t a=.①当12a ≤时，即当12a ≥时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递增，则()()41611g a h a ==-； ②当123a<≤时，即当1132a ≤<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因为()247h a =-，()41611h a =-，()()421240h h a -=-≥， 则()()41611g a h a ==-； ③当134a<<时，即当1143a <<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，此时，()()42h h <，则()()247g a h a ==-；④当14a ≥时，即当104a <≤时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递减， 所以，()()247g a h a ==-.综上所述，()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.题型四 根据复合函数的值域求解【例4】若函数()22312ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值是2，则=a （ ）A ．14B ．14-C ．12 D ．12- 【答案】A【解析】由1()2uy =在定义域上递减，要使()f x 有最大值，则223u ax x =-+在定义域上先减后增， 当max ()2f x =，则223u ax x =-+的最小值为1-，所以0131a a>⎧⎪⎨-=-⎪⎩，可得14a =.故选：A【变式4-1】已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a xa t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.【变式4-2】已知函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，函数()()22222f x x x g x m -=++⋅的最小值为3-，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．52-C ．2-D ．43【答案】B【解析】因为函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()22log 41log 41x x ax ax -+-=++，所以()()222log 41log 410x x ax -++-+=， 其中()()()()()22222241441441log 41log 41log log log log 424141414x x x x x x x x x x x x x ---+⋅+⋅++-+=====+++⋅， 所以220ax x +=，解得1a =-，所以()()2log 41x f x x =+-，所以()()2log 414122222x x x f x x x x +--+===+， 故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-．令22x x t -+=，则2t ≥，故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-等价于()()222h t t mt t =+-≥的最小值为3-， 等价于()2? 22223m h m ⎧-≤⎪⎨⎪=+=-⎩或22? 22324m m m h ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得52m =-．故A ，C ，D 错误.故选：B ．【变式4-3】函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 则a 的取值范围是______． 【答案】22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】令()2234a t x ax x =++，则外函数为()lg f t t =， 因为lg y t =在定义域上单调递增，要使函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 即()2234a t x ax x =++的值域能够取到0，且不恒小于等于0，当0a =时()23t x x =，符合题意，当0a <时()2234a t x ax x =++开口向下， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯> ⎪⎝⎭，解得2233-<<a ，即203a -<<； 当0a >时()2234a t x ax x =++开口向上， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭，解得2233a -≤≤，即203a <≤； 综上可得2233a -<≤，即22,33a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【变式4-4】已知函数()()213log 25f x x mx =-+，若()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围.【答案】(),-∞⋃+∞ 【解析】由()f x 的值域为R ，可得225u x mx =-+能取()0,∞+内的一切值，故函数225u x mx =-+的图象与x 轴有公共点， 所以24200m -≥，解得m ≤m ≥故实数m 的取值范围为(),-∞⋃+∞．。

２０２４年１月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀指数函数背景创设,复合函数情境应用◉江苏省宜兴中学㊀顾㊀艳㊀㊀与指数函数有关的复合函数是指结合指数函数的概念㊁基本知识与简单函数(一次函数㊁二次函数等)复合而成的新函数．解决与指数函数有关的复合函数情境应用问题,通常借助函数的解析式㊁相关概念㊁基本性质㊁函数图象等,结合相关的思维技巧,合理转化,巧妙变换,将复杂的复合函数问题简单化,从而实现问题的分析与解决,提升学生的思维能力．１性质问题１．１函数的单调性例１㊀函数f(x)＝(１２)x－２x－１的单调递增区间为．分析:根据题意,对指数进行整体化处理,合理构建函数,通过对应二次函数的配方处理,先确定二次函数的单调性,进而确定单调区间,再结合指数函数的单调性与复合函数单调性的规律解决问题．解析:令t＝x２－２x－１,则函数t＝(x－１)２－２在区间(－ɕ,１)上单调递减,在区间(１,＋ɕ)上单调递增．又函数y＝(１２)t是R上的减函数,因此由复合函数单调性的规律,可知函数f(x)＝(１２)x－２x－１在区间(－ɕ,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故填答案:(－ɕ,１)．点评:复合函数的单调性可以利用复合函数的内㊁外层函数的不同单调性情况,概括为 同增异减 这一基本规律．特别要注意的是,在解决复合函数的单调性问题时,一定要注意 定义域优先 的基本原则,同时熟练掌握基本初等函数的单调性,在相应的定义域内加以分析与讨论．１．２函数的值域例２㊀函数f(x)＝(１２)x－６x＋５的值域为(㊀㊀)．A．(０,１６]㊀㊀㊀㊀B．[１６,＋ɕ) C．(０,１１６ùûúúD．１１６,＋ɕ)éëêê分析:根据题意,对指数进行整体化处理,引入参数构建二次函数,并通过配方处理确定二次函数的值域;结合指数函数的定义域㊁函数的图象与性质,利用复合函数的基本性质来分析与处理．解析:设u＝x２－６x＋５,且u＝x２－６x＋５＝(x－３)２－４ȡ－４．又指数函数y＝(１２)u是R上的减函数,结合函数g(u)＝(１２)u,uȡ－４,所以０＜g(u)ɤg(－４)＝１６,即函数f(x)的值域为(０,１６]．故选:A．点评:通过分解复合函数,利用内㊁外层函数之间的关系,结合内层函数的解析式确定其值域,再通过 由内到外 来求解相应的值域即可．在解决指数函数背景下的复合函数的值域或最值问题时,可以按照 由内到外 的顺序研究复合函数的内函数值域A与外函数定义域B之间的关系,保证内函数值域A是外函数定义域B的子集,再结合条件中相关函数的单调性等性质加以分析与求解．２常数问题例３㊀已知函数f(x)＝a e x－１－１,a为常数,若函数y＝f(x)的最小值为０,则实数a的值为．分析:根据题意,对指数进行整体化处理,引入参数构建二次函数,进而确定二次函数的单调性与单调区间;结合指数函数的单调性,利用复合函数的基本性质,分别讨论a＝０,a＜０和a＞０时对应函数的单调性与单调区间;结合题设条件进行分析,进而构建函数最小值的关系式,得以确定对应的实数a的值．解析:设u＝x２－１,则函数u＝x２－１在区间(－ɕ,０)上单调递减,在区间(０,＋ɕ)上单调递增．又指数函数y＝e u是R上的增函数,所以分类讨１５学习指导２０２４年１月上半月㊀㊀㊀论如下．当a ＝０时,可得f (x )＝－１恒成立,不符合题意,舍去．当a ＜０时,结合复合函数的单调性,可知函数f (x )＝a e x －１－１在区间(－ɕ,０)上单调递增,在区间(０,＋ɕ)上单调递减,此时函数f (x )在x ＝０处有最大值,无最小值,不符合题意,舍去．当a ＞０时,结合复合函数的单调性,可知函数f (x )＝a e x －１－１在区间(－ɕ,０)上单调递减,在区间(０,＋ɕ)上单调递增,此时函数f (x )在x ＝０处有最小值,无最大值,且f (０)＝ae－１＝０,解得a ＝e ．综上所述,函数y ＝f (x )最小值为０时,a ＝e ．故填答案:e ．点评:抓住常数的不同取值情况以及常数与复合函数的关系进行分类讨论,利用常数的正负取值情况对复合函数在不同区间上的单调性的影响,结合相关的概念与基本知识加以综合与应用．熟练掌握复合函数的单调性以及基本初等函数的基本性质,是破解此类综合应用问题的关键．３应用性问题例４㊀中国的钨矿资源储量丰富,在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近７０％,居全球首位．中国又属赣州钨矿资源最为丰富,其素有 世界钨都 之称．某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料,由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新合金材料的含量x (单位:g )的关系:当０ɤx ＜６时,y 是x 的二次函数;当x ȡ６时,y ＝(１３)x －t．测得数据如表１(部分)．表１x /g０１２９ y０７４３１９㊀㊀(１)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x );(２)求函数f (x )的最大值．分析:根据情境内容,通过分类讨论,在自变量不同的取值情况下,结合对应的函数类型利用待定系数法求解,得以确定对应的函数关系式,并利用不同变量取值情况下,二次函数的最值以及指数型函数背景下复合函数的最值情况,得以确定函数的最大值．解析:(１)当０ɤx ＜６时,由题意,设f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０),由题中表格数据可得f (０)＝c ＝０,f(１)＝a ＋b ＋c ＝７４,f (２)＝４a ＋２b ＋c ＝３,ìîíïïïï解得a ＝－１４,b ＝２,c ＝０．ìîíïïïï所以当０ɤx ＜６时,f (x )＝－１４x ２＋２x ．当x ȡ６时,f (x )＝(１３)x －t,由题中表格数据可得,f (９)＝(１３)９－t＝１９,解得t ＝７．所以当x ȡ６时,f (x )＝(１３)x －７．综上,y 关于x 的函数关系式为f (x )＝－１４x ２＋２x ,０ɤx ＜６,(１３)x －７,x ȡ６．ìîíïïïï(２)当０ɤx ＜６时,f (x )＝－１４x ２＋２x ＝－１４(x －４)２＋４,所以当x ＝４时,函数f (x )取得最大值４．当x ȡ６时,f (x )＝(１３)x －７单调递减,所以f (x )的最大值为f (６)＝(１３)６－７＝３．而４＞３,所以函数f (x )的最大值为４．点评:在解决涉及复合函数中的应用性问题时,关键是借助对相关文字内容的理解,合理构建数学中的相关模型,为问题的进一步综合与应用提供条件．研究分段函数背景下的最值问题,要分别讨论自变量在不同取值范围下对应函数的最值或取值范围情况,然后加以综合．复合函数情境应用与创新应用问题是高中数学中的一个知识交汇点与融合点,也是一个重点与难点,是每年新高考数学试卷中必考的重点基本内容之一．借助指数函数背景来创设相应的复合函数情境,结合指数函数自身的特点与性质,并综合复合函数的相关知识,渗透相关的数学思想方法,构建数学知识网络体系,优化数学解题思维,提升数学解题能力,全面培养数学核心素养．Z２５。

高中数学指数型复合函数的性质及其应用专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 若函数y ＝(2a −1)x 在R 上为单调减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A.a >1B.12<a <1C.a ≤1D.a >122. 函数f(x)=(14)x +(12)x −1，x ∈[0, +∞)的值域为( )A.(−54, 1]B.[−54, 1]C.(−1, 1]D.[−1, 1]3. 函数f(x)=a x−3+1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则定点P 的坐标为（ ）A.(3, 3)B.(3, 2)C.(3, 6)D.(3, 7)4. 函数f(x)=2−|x+1|的单调递增区间为（ ）A.(−∞, −1)B.(−∞, 0)C.(0, +∞)D.(−1, +∞)5. 函数f(x)=(a 2−4a +4)a x 是指数函数，则a 等于（ ）A.a >0，且a ≠1B.1或3C.3D.16.设α∈R ，函数f(x)=(13)x−1−a 的图象一定经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7. 函数y =a 3x−2(a >0, a ≠1)的图象过定点（ ）A.(0, 23)B.(0, 1)C.(23, 1)D.(1, 0)8. 已知函数f(x)=13x +2，则函数在(0, +∞)上（ ）A.单调递减且无最小值B.单调递减且有最小值C.单调递增且无最大值D.单调递增且有最大值9. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=3x−2，则不等式f(2−x)>1的解集为( )A.{x|x<1或x>3}B.{x|1<x<3}C.{x|1<x<2}D.{x|0<x<2}10. 函数y=21x2+1的值域为()A.(1,2]B.(0,2]C.(−∞,2]D.[1,2]11. 函数f(x)=(15)x2+ax在区间[1, 2]上是单调减函数，则实数a的取值范围是( )A.a≤−4B.a≤−2C.a≥−2D.a>−412. 关于x的方程9x+(a+4)⋅3x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是（）A.[0, +∞)B.(−∞, −8]C.(−∞, −8]∪[0, +∞)D.以上都不对13. 已知函数y=a x+b(a>1,b>0)的图象经过点P(1, 3)，则4a−1+1b的最小值为________．14. 函数f(x)=a x−3+3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点，则定点P的坐标是________．15. 函数y=(13)x2−3x+2的单调递增区间为________．16. 函数y=(13)|2−x|−m的图象与x轴有交点，则m的取值范围为________．17. 函数y=2x−1在[0, 4)上的值域为________．18. 函数y=32−3x2的单调递减区间是________．19. 已知函数f(x)=a x+b(a>0且, a≠1)的定义域和值域都是[−1, 0]，则a−b=________．20. 若方程4x +(m −3)⋅2x +m =0有两个不相同的实根，则m 的取值范围是________．21. 已知函数y =(14)x −(12)x +1的定义域为[−3, 2]，则该函数的值域为________．22. 函数y =1+2x +4x a 在x ∈(−∞, 1]上y >0恒成立，则a 的取值范围是________．23. 方程4x −3⋅2x+1+8=0的解集为________．24. 函数y =(12)x2−2x+2的值域为________．25. 已知关于x 的方程9x −(4+a)⋅3x +4=0有两个实数解x 1，x 2，则x 12+x 22x 1x 2的最小值是________．26. 求函数y =2x+2−3⋅4x ，x ∈[−1, 0]的值域．27. 已知函数， （1）判断函数的奇偶性；（2）求该函数的值域；（3）证明是 上的增函数.28. 已知函数y =4x −2x+1+2，x ∈[−1, 2]．（1）设t =2x ，求t 的取值范围；（2）求函数的最值，并求出取得最值时对应的x 的值．29. 设函数f(x)=2（n−1）x 在全体实数范围内为减函数，求n 的取值范围．30. 若函数y=a2x+2a x，(a>0且a≠1)在区间[−1, 1]上的最大值为35，求a的值．31. 已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的图象过点(0,−2)，(2,0).(1)求a与b的值；(2)当x∈[−2,2]时，求f(x)的值域．32. 已知：函数g(x)＝ax2−2ax+1+b(a≠0, b<1)，在区间[2, 3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)．x（1）求a、b的值及函数f(x)的解析式；（2）若不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−1, 1]时恒成立，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析高中数学指数型复合函数的性质及其应用专题含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】指数函数y ＝a x ，当0<a <1时为定义域上的减函数，故依题意只需0<2a −1<1，即可解得a 的范围【解答】函数y ＝(2a −1)x 在R 上为单调减函数，∴ 0<2a −1<1解得12<a <1 2.【答案】C【考点】二次函数在闭区间上的最值指数型复合函数的性质及应用【解析】令t =(12)x (0<t ≤1)，则y =t 2+t −1=(t +12)2−54，由y 在(0, 1]递增，计算即可得到值域．【解答】解：令t =(12)x (0<t ≤1)，则y =t 2+t −1=(t +12)2−54，且在(0, 1]上单调递增，则有−1<y ≤1，则值域为(−1, 1]．故选C ．3.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】解析式中的指数x −3=0求出x 的值，再代入解析式求出y 的值，即得到定点的坐标．【解答】解：由于指数函数y =a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(0, 1)，故令x −3=0，解得x =3，当x =3时，f(3)=2，即无论a 为何值时，x =3，y =2都成立，因此，函数f(x)=a x−3+1的图象恒过定点的(3, 2)，故选B ．4.【答案】A【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：f(x)=2−|x+1|=(12)|x+1|， 设t =|x +1|，则y =(12)t ，为减函数，∴ 要求函数f(x)=2−|x+1|的单调递增区间，即求函数t =|x +1|的单调递减区间，∵ 函数t =|x +1|的单调递减区间是(−∞, −1)，∴ 函数f(x)=2−|x+1|的单调递增区间为(−∞, −1)，故选：A5.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的定义可得{a 2−4a +4=1a >0且a ≠1求解即可． 【解答】解：根据指数函数的定义可得{a 2−4a +4=1a >0且a ≠1∴ {a 2−4a +3=0a >0,a ≠1解得a =3故选C6.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的性质求出函数的取值范围即可．【解答】解：∵ f(x)=(13)x−1−a 为减函数，∴ 当a =0时，函数f(x)>0，则函数不经过第四象限，若a =3，则f(0)=1−1=0，此时函数不经过第三象限，若a <3，则f(0)=1−a <0，则函数不经过第一象限，故函数f(x)的图象一定经过第二象限.故选B .7.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据函数的解析式和a 0=1令3x −2=0，即可函数图象过的定点坐标．【解答】解：由题意得，函数y =a 3x−2(a >0, a ≠1)，令3x −2=0得，x =23， ∴ 函数y =a 3x−2(a >0, a ≠1)的图象过定点是(23, 1)，故选：C ．8.【答案】A【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据复合函数单调性之间的关系进行判断即可．【解答】解：∵ y =3x +2在(0, +∞)是为增函数，且y >2，∴ f(x)=13x +2在(0, +∞)上为减函数，则0<y <12，则函数在(0, +∞)上为减函数，无最大值和无最小值，故选：A9.【答案】A【考点】绝对值不等式指数型复合函数的性质及应用奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：当x ≥0时， f (x )=3x −2，此时函数y =f (x )单调递增.因为函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数，且f(1)=31−2=1，由f(2−x)>1，得f(|x−2|)>f(1)，所以|x−2|>1，解得x<1或x>3，因此，不等式f(2−x)>1的解集为{x|x<1或x>3}. 故选A.10.【答案】A【考点】指数型复合函数的性质及应用函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：由二次函数的性质可得，x2+1≥1，∴1x2+1∈(0,1]，由指数函数的性质可得，21x2+1∈(1,2].故选A.11.【答案】C【考点】二次函数的性质二次函数的图象指数型复合函数的性质及应用【解析】先求出二次函数的对称轴方程，再根据二次函数的图象和性质列出不等式求解．【解答】解：记u(x)=x2+ax=(x+a2)2−a24，其图象为抛物线，对称轴为x=−a2，且开口向上，∵函数f(x)=(15)x2+ax在区间[1, 2]上是单调减函数，∴函数u(x)在区间[1, 2]上是单调增函数，而u(x)在[−a2, +∞)上单调递增，所以，−a2≤1，解得a≥−2.故选C．12.B【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系指数型复合函数的性质及应用【解析】可分离出a ，转化为函数f(x)=−4−9x 3x −4的值域问题，令3x =t ，利用基本不等式和不等式的性质求值域即可．【解答】解：a =−4−9x3x−4，令3x =t(t >0)，则a =−−4−t 2t −4=−(t +4t )−4 因为t +4t ≥4，所以−4−9x 3x −4≤−8所以a 的范围为(−∞, −8]．故选B ．二、 填空题 （本题共计 13 小题 ，每题 3 分 ，共计39分 ） 13.【答案】92【考点】指数型复合函数的性质及应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】函数y =a x +b(b >0)的图象经过点P(1, 3)，可得3=a +b ，a >1，b >0．即(a −1)+b =2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵ 函数y =a x +b(b >0)的图象经过点P(1, 3)， ∴ 3=a +b ，a >1，b >0．∴ (a −1)+b =2．∴ 4a−1+1b =12(a −1+b)(4a−1+1b )=12(5+4b a −1+a −1b) ≥12(5+2√4b a−1⋅a−1b )=92， 当且仅当a −1=2b =43时取等号．故答案为：92．14.【答案】(3, 4)【考点】指数型复合函数的性质及应用根据指数函数过定点的性质，令指数幂等于0即可．【解答】解：由x −3=0得x =3，此时y =a 0+3=1+3=4， 故图象恒过定点P(3, 4)，故答案为：(3, 4)15.【答案】(−∞, 32] 【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】利用复合函数的单调性判断函数的单调区间．【解答】解：∵ y =x 2−3x +2在(−∞, 32]上是减函数， 在(32, +∞)上是增函数；又∵ y =(13)x 在R 上是减函数； 故函数y =(13)x 2−3x+2的单调递增区间为(−∞, 32]； 故答案为：(−∞, 32]．16.【答案】(0, 1]【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】函数y =(13)|2−x|−m 的图象与x 轴有交点可化为方程(13)|2−x|−m =0有解，从而可得m =(13)|2−x|，从而求函数的值域即可．【解答】解：由题意，∵ (13)|2−x|−m =0有解， ∴ m =(13)|2−x|，∵ |2−x|≥0，∴ 0<(13)|2−x|≤1，故0<m ≤1，故答案为：(0, 1]．17.【答案】{y|12≤y<8}【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】由题意可得2−1<2x−1<23，即可求函数的值域【解答】解：∵0≤x<4∴−1≤x−1<3∴2−1<2x−1<23即12≤y<8故答案为：{y|12≤y<8}18.【答案】[0, +∞)【考点】指数函数的单调性与特殊点指数型复合函数的性质及应用【解析】原函数可看作由y=3t，t=2−3x2复合得到，复合函数单调性判断规则，原函数在定义域上的单调递减区间即为函数t=2−3x2的单调递减区间，根据二次函数图象与性质可求．【解答】解：由题意，函数y=32−3x2的是一个复合函数，定义域为R，外层函数是y=3t，内层函数是t=2−3x2，由于外层函数y=3t是增函数，内层函数t=x2+2x在(−∞, 0)上是增函数，在(0, +∞)上是减函数，故复合函数y=32−3x2的单调递减区间是：(0, +∞).故答案为：[0, +∞).19.【答案】52【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域指数型复合函数的性质及应用【解析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a>1时，函数f(x)=a x+b在定义域上是增函数，所以{1+b=0，1a+b=−1，解得b =−1，1a =0不符合题意舍去；当0<a <1时，函数f(x)=a x +b 在定义域上是减函数， 所以{1+b =−1，1a+b =0， 解得b =−2，a =12，符合题意， 综上a −b =52.故答案为：52. 20.【答案】(0, 1) 【考点】函数的零点与方程根的关系 指数型复合函数的性质及应用【解析】由题意可得方程t 2+(m −3)t +m =0有两个不相同的正实数实根，故有△>0，且两根之和3−m >0，两根之积m >0，由此求得m 的取值范围． 【解答】解：令t =2x ，则由题意可得方程t 2+(m −3)t +m =0有两个不相同的正实数实根， 故有 Δ=(m −3)2−4m >0，且两根之和3−m >0，两根之积m >0， 解得0<m <1. 故答案为：(0, 1)． 21. 【答案】[34,57] 【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】由于x ∈[−3, 2]，可得14≤(12)x ≤8，令t =(12)x ，有y =t 2−t +1=(t −12)2+34，再利用二次函数的性质求出它的最值． 【解答】解：由于x ∈[−3, 2]， ∴ 14≤(12)x ≤8. 令t =(12)x ，则有y =t 2−t +1=(t −12)2+34， 故当t =12时，y 有最小值为34；当t =8时，y 有最大值为57. 故答案为：[34,57]．22. 【答案】(−34, +∞) 【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】由题设条件可化为∴ a >−1+2x 4x在x ∈(−∞, 1]上恒成立，求出−1+2x 4x在x ∈(−∞, 1]上的最大值即可． 【解答】解：由题意，得1+2x +4x a >0在x ∈(−∞, 1]上恒成立， ∴ a >−1+2x 4x在x ∈(−∞, 1]上恒成立．又∵ t =−1+2x 4x=−(12)2x −(12)x =−[(12)x +12]2+14，当x ∈(−∞, 1]时t 的值域为(−∞, −34]， ∴ a >−34；即a 的取值范围是(−34, +∞)； 故答案为：(−34, +∞)．23.【答案】 {1, 2} 【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】先将方程转化为关于2x 的二次方程，再利用因式分解法求二次方程的根，最后通过解简单的指数方程得方程的解集 【解答】解：4x −3⋅2x+1+8=0 ⇔(2x )2−6×2x +8=0 ⇔(2x −2)(2x −4)=0 ⇔2x =2或2x =4 即x =1或x =2 故答案为{1, 2} 24. 【答案】 (0, 12]【解析】先利用配方法求出指数的取值范围，然后根据指数函数的单调性求出值域即可． 【解答】解：∵ x 2−2x +2=(x −1)2+1≥1 ∴ 函数y =(12)x2−2x+2的值域为(0, 12]故答案为：(0, 12] 25.【答案】 2【考点】基本不等式在最值问题中的应用 根与系数的关系指数型复合函数的性质及应用【解析】由题设可先将3x 看作一个整体，将方程整理为一元二次方程，由根与系数的关系得到3x 1⋅3x 2=4，即可得到x 1+x 2=2log 32，进而再得到x 1x 2≤(log 32)2．代入即可求得x 12+x 22x 1x 2的最小值【解答】解：原方程可化为(3x )2−(4+a)⋅3x +4=0， ∴ 3x 1⋅3x 2=4， ∴ x 1+x 2=2log 32， 又(x 1+x 2)2≥4x 1x 2， ∴ x 1x 2≤(log 32)2．∴ x 12+x 22x1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=4(log 32)2x 1x 2−2≥2．故答案为2三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ） 26.【答案】解：∵ 函数y =2x+2−3⋅4x =22⋅2x −3•(2x )2 =−3[(2x )2−43⋅2x +49]+43=−3(2x −23)2+43，∴ 当x ∈[−1, 0]时，2x ∈[12, 1]，∴ 当2x =23，即x =log 223=1−log 23时，函数y 取得最大值43， 当2x =1，即x =0时，函数y 取得最小值1； ∴ 函数y 的值域是[1, 43]．【解析】根据函数y 的解析式与自变量的取值范围，求出函数y 的最大、最小值即可． 【解答】解：∵ 函数y =2x+2−3⋅4x =22⋅2x −3•(2x )2 =−3[(2x )2−43⋅2x +49]+43=−3(2x −23)2+43，∴ 当x ∈[−1, 0]时，2x ∈[12, 1]，∴ 当2x =23，即x =log 223=1−log 23时，函数y 取得最大值43，当2x =1，即x =0时，函数y 取得最小值1； ∴ 函数y 的值域是[1, 43]． 27.【答案】解：∵ f(x)定义域为 ，关于原点对称。

指数型复合函数的单调性(对象：高一学生60-80分)学习目标：1.理解复合函数的定义。

2.会判断指数型复合函数的单调性。

(主要是两种类型y=(x)f a 和y=f(x a )）重难点：指数型复合函数的单调性。

内容要点：1.复合函数的定义。

设y=f(u ）的定义域为Du ，值域为Mu ，函数u=g(x ）的定义域为Dx ，值域为Mx,那么对于Dx 内的任意一个x 经过u ；有唯一确定的y 值与之对应，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量（内函数），y 为因变量（外函数）。

例如y= 2x 412x +⎛⎫ ⎪⎝⎭这样的函数我们称为复合函数，因为含有指数函数，叫指数型复合函数。

2.接下来，我们回顾一下一些初等函数的单调性。

（1）f(x)=24x x + 增区间[-2,+∞), 减区间（-∞，-2） （2）f(x)=223x x -- 增区间[1,+∞), 减区间（-∞，1）(3) f(x)=2x 增区间[-∞,+∞]3.那么指数型复合函数单调性如何判断？例1. 判断y=2412x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭单调性。

解：判断函数y 的定义域，易知定义域为R设u=2x 4x +,y=12u ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (将原函数分解为内函数和外函数)由u=2x 4x +=2(x 2)4+-知u 在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞)在上为增函数， y=12u⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数 （分别判断内外函数的单调性） ∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞） （根据“同增异减”得出单调区间）小结：求指数型复合函数单调性步骤：第一步，确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量x的限制，然后解不等式，求并集。

第二步，将原函数分解为初等函数y=f(u),g(x)的形式，第三步，分别y=f(u),g(x)的单调区间第四步，根据“同增异减”给出原函数的单调区间。