2021届湖南省五市十校高三上学期第二次大联考数学试题(解析版)

湖南省五市十校2020年下学期高三年级第二次大联考试题化学可能用到元素的相对原子质量：H 1 O 16 Na 23 Mg 24 S 32 Te 128 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1. 2020年7月23日我国首个火星探测器“天问一号”发射成功。

火星车所涉及的下列材料中属于金属材料的是( )A. 用石墨纤维和硅制成的太阳能电池复合材料B. 温控涂层材料的成分聚酰胺C. 用钛合金做的车轮材料D. 探测仪镜头材料用的二氧化硅2. 设N A 为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是( )A. 4120.0g NaHSO 与4MgSO 的固体混合物中含有的离子总数大于2N AB. 含30.1mol CH COONa 的溶液与适量的3CH COOH 混合使溶液的pH 7=，则3CH COO -的个数为0.1N AC. 0.1mol Fe 恰好溶解在100mL 某浓度的硝酸溶液中，该反应转移的电子数为0.3N AD. 标准状况下，22.24L Cl 溶于水转移电子的数目为0.1N A 3. 下列对化学用语的描述中，正确的是( ) A. 羟基与氢氧根离子的电子式都可表示为：B. 2S -的结构示意图：C. 由Na 与Cl 形成NaCl 的过程：D. HClO 的结构式：H Cl O --4. 下列对实验现象解释的方程式中，正确的是( )A. 向醋酸中加入小苏打溶液，产生无色气体：2333222CH COOH CO 2CH COO CO H O --++===↑+ B. 向4NaHSO 溶液中加入足量的2Ba(OH)溶液，得到白色沉淀：224422H SO Ba2OH BaSO 2H O ===+-+-+++↓+ C .向AgCl 悬浊液中滴入2Na S 溶液，生成黑色沉淀：22=2S ==Ag S Ag +-+↓ D. 向铬酸钾溶液中滴入少量浓硫酸，溶液变橙色：2-+2-47222O CrO ()+)2HC O (H r +色黄色橙5. 实验室提纯含少量氯化钠杂质的硝酸钾的过程如图所示，下列分析错误的是( )A. 操作Ⅰ是溶解，操作Ⅱ是蒸发浓缩B. 若从分离出固体的滤液中获得NaCl 晶体，可再降温结晶C. 操作Ⅲ是降温结晶→过滤→洗涤→干燥，使硝酸钾晶体从溶液中分离岀来D. 除去3KNO 中NaCl 的原理是二者溶解度受温度变化影响不同 6. 已知某有机物X 的结构简式如图所示，下列说法正确的是()A. X 属于芳香烃的含氧衍生物B. X 的分子式为10163C H OC. X 分子只含有两种官能团D.X 分子可发生取代、消去、加成、氧化、缩聚反应 7. 二氧化硫—空气质子交换膜燃料电池将化学能转变成电能的同时，实现了制硫酸、发电、环保三位一体的结合，降低了成本提高了效益，其原理如图所示(注：质子指H +，质子交换膜仅允许H +通过)。

2021届湖南省五市十校高三上学期第二次大联考数学试题一、单选题 1．设复数12iz i i-=+，则||z =（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C【分析】化简已知复数有1z i =-，根据复数模的几何含义求||z 即可. 【详解】12(1)21iz i i i i i-=+=-++=-∴||z =故选：C2．已知sin 0θ>，cos()0θπ->，则θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【答案】B【分析】根据三角函数的符号，可直接确定角所在的象限.【详解】由cos()0θπ->得cos()cos()cos 0θππθθ-=-=->，则cos 0θ<， 又sin 0θ>，所以θ是第二象限角. 故选：B.3．设等差数列{}n a 的公差为d ，若2n an b =，则“0d <”是“{}n b 为递减数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可. 【详解】充分性：若0d <，则10n n a a d +-=<，即1n n a a +<，122n n a a +∴<，即1n n b b +<， 所以，数列{}n b 为递减数列，充分性成立；必要性：若{}n b 为递减数列，则1n n b b +<，即122n n a a +<，1n n a a +∴<，则10n n a a d +-=<，必要性成立.因此，“0d <”是“{}n b 为递减数列”的充要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充要条件的判断，同时也考查了数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于中等题.4．陈镜开(1935~2010)，新中国举重运动员，1956年在上海举行的“中苏举重友谊赛”中，他以133公斤的成绩，打破美国运动员C .温奇保特的56公斤级挺举世界纪录，这是中国运动员创造的第一个世界纪录1956~1964年期间，在上海､北京､莫斯科､莱比锡等国内外的重大举重比赛中，陈镜开先后9次打破最轻量级和次轻量级挺举世界纪录，举重比赛挺举项目中，运动员对所要重量有3次试举次数，只要一次试举成功即为完成本次所要重量的比赛，才有资格进入下轮所要更大重量的比赛，结合平时训练数据，某运动员挺举130公斤成功的概率为0.6(每次试举之间互不影响)，则在挺举比赛中，他有资格进入下轮比赛的概率是（ ） A ．0.784 B ．0.84 C ．0.904 D ．0.936【答案】D【分析】根据题意，设“该运动员进入下轮比赛”为事件A ，则其对立事件A 为“该运动员没有进入下轮比赛”，由相互独立事件概率计算公式可得()p A ，进而由对立事件的概率性质计算可得答案.【详解】解：设“该运动员进入下轮比赛”为事件A ， 其对立事件A 为“该运动员没有进入下轮比赛”， 事件A 即该运动员3次试举都失败， 则()()310.60.064p A =-=，则()()110.0640.936p A p A =-=-=. 故选：D.5．已知直线:10l x y +-=，圆22:(1)(2)8C x y -+-=，则圆C 上到直线l 的距离的点共有（ ） A ．1 B ．2个 C ．3 D ．4【答案】C【分析】根据圆心到直线:10l x y +-=的距离2d =，结合半径22r =求解.【详解】如图所示：由圆22:(1)(2)8C x y -+-=，得圆心()1,2C ，半径22r =又圆心到直线:10l x y +-=的距离为12122d +-==因为半径为22r =所以圆C 上到直线l 2的点共有3个， 故选：C6．原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（ ）A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定 【答案】B【分析】分别求出两种方案的平均油价，结合基本不等式作出比较即可得出结论. 【详解】设小李这两次加油的油价分别为x 元/升､y 元/升，则： 方案一：两次加油平均价格为4040802x y x yxy ++= 方案二：两次加油平均价格为4002200200xy xyx yxy=≤++故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算. 故选：B .7．如图，在半径为2的扇形AOB 中，34AOB π∠=，P 是弧AB 上的一个三等分点，,M N 分别是线段OA ，OB 上的动点，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A 2B ．2C ．4D ．2【答案】C【分析】根据向量的线性运算得,PM PO OM PN PO ON =+=+，再利用向量数量积公式整理得24(2)2PM PN OM ON ⋅=-⋅+，当||0=OM 时，PM PN ⋅取最大值4.【详解】解析：34AOB π∠=，P 是弧AB 上的一个三等分点，故2POB π∠=，4POA π∠=，2()()PM PN PO OM PO ON PO PO ON PO OM OM ON⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅332402||cos||||cos 4||(2||)4442OM OM ON OM ON ππ=++⋅+=-⋅+≤ 故当||0=OM 时，PM PN ⋅取最大值4.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 8．函数1()2cos 12f x x x π⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在区间[2,4]-上的所有零点的和为（ ） A ．4 B ．6C ．4πD ．6π【答案】A【分析】函数()f x 的零点就是函数11y x =-与函数2cos 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象交点的横坐标，只需画出函数11y x =-和函数2cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在同一坐标系中的图象，根据图象的对称性确定交点的横坐标之和.【详解】令()0f x =，得12cos()12x x π=--， 函数()f x 的零点就是函数11y x =-与函数2cos()2y x π=-图象交点的横坐标.又函数11y x =-的图象关于点(1,0)对称，函数2cos()2y x π=-的周期为4，其图象也关于点(1,0)对称，画出两函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在[2,4]-上共有4个交点，这4个点两两关于点(1,0)对称，故其横坐标的和为4. 故选：A【点睛】求解函数零点的和的一般方法有：（1）直接法：令()0f x =，求解函数()f x 的所有零点的值，然后确定所有零点的和； （2）数形结合：令()0f x =，然后将方程灵活变形，转化为函数()()g x h x =的模型，画出()g x 和()h x 的图象，根据量函数图象的单调性、奇偶性、对称性及周期性等，确定交点的个数及交点的横坐标关系，然后求和即可.二、多选题9．某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．0.008=aB ．该校学生数学竞赛成绩落在[)60,70内的考生人数为24C ．该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80D ．估计该校学生数学竞赛成绩的平均数落在[)70,80内 【答案】BD【分析】根据频率分布直方图性质可判断A 的正误；根据频率分布直方图，求得[)60,70的概率，即可求得该组人数，即可判断B 的正误；根据频率分布直方图中位数的求法，可判断C 的正误；根据频率分布直方图中平均数的求法，求得平均数，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ，由频率分布直方图性质得：()0.020.0350.025101a a ++++⨯=，解得0.01a =，故A 错误；对于B ，由频率分布直方图得成绩落在[)60,70的概率为0.2，人数为0.212024⨯=，故B 正确；对于C ，由频率分布直方图得：[)50,70的频率为()0.010.02100.3+⨯=，[)70,80的频率为0.035100.35⨯=，所以成绩的中位数位于[)70,80内，故C 错误； 对于D ，估计成绩的平均数为：550.0110650.0210750.03510850.02510950.011075.5x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以成绩的平均数落在[)70,80内，故D 正确. 故选：BD.10．已知实数,x y 满足3311log log 33x yx y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．11x y> B ．33x y < C ．21x y -<D ．ln()0y x ->【分析】构造函数31()log ()3xf x x =-，判断其在()0,∞+上单调递增，可得0x y <<，再利用单调性逐一分析选项中的不等式是否成立即可.【详解】因为3311log log 33x yx y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，所以,x y R +∈， 由3311log log ()()33xyx y -<-变形得3311log ()log ()33xyx y -<-， 令函数31()log ()3xf x x =-，因为31log ,()3xy x y ==-都在()0,∞+递增，所以函数31()log ()3x f x x =-在()0,∞+上单调递增，3311log ()log ()33x y x y -<-即()()f x f y <，所以0x y <<，因为函数1y x =在()0,∞+上单调递减，所以11x y>，A 正确； 因为函数3y x =在()0,∞+上单调递增，所以33x y <，B 正确；因为0x y -<，函数2xy =在(),-∞+∞上单调递增，所以0221x y -<=，C 正确；0y x ->，ln()y x -的符号可正可负，D 错.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是构造函数31()log ()3xf x x =-，并判断其单调性，再根据单调性得到0x y <<.11．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()y f x =在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 B ．直线38x π=是函数()y f x =图像的一条对称轴 C ．函数()y f x =的图像可由函数sin 2y x =的图像向右平移8π个单位得到 D ．函数()y f x =的图像关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称【分析】先将函数变形为sin ωφf x A x B 的形式，然后利用三角函数的性质逐一判断． 【详解】解：()22sin cos 2cos sin 21cos 22sin 214f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，对于A 选项，当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,044x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，函数()y f x =为增函数，A 正确； 令242x k πππ-=+，k ∈Z ，得382k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，38x π=，所以直线38x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确；函数sin 2y x =的图象向右平移8π个单位得到函数sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，C 错误；2sin 211884y f πππ⎛⎫=⨯⎛⎫= ⎪⎝-- ⎪⎭⎭=-⎝，故函数()y f x =的图像关于,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，D 错误， 故选：AB.12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -，中，11AD DD ==，3AB =，E 、F 、G 分别是AB ，BC ，11C D 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．11BCDE ⊥ B ．1//D C 平面GEFC ．若点P 在平面ABCD 内，且1//D P 平面GEF ，则线段1D P 2D ．若点Q 在平面ABCD 内，且11D Q B C ⊥，则线段1D Q 长度的最小值为2 【答案】ABD【分析】连接AC ，1D A ，1BC ，根据线面垂直的判定定理，先证明1B C ⊥面11ABC D ，即可得到11B C D E ⊥；判断A 正确；根据A 选项，可判断D 选项中点Q 的轨迹是直线AB ，求出1D Q 的最小值，进而可判断D 正确；根据线面平行、面面平行的判定定理及性质，可证明B 正确，结合B 选项，得到C 选项中，P 的轨迹是直线AC ，求出1D P 的最小值，即可判定C 错. 【详解】连接AC ，1D A ，1BC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，所以侧面11ADD A 与侧面11BCC B 都为正方形，AB ⊥平面11BCC B ， 因此11B C BC ⊥，1B C AB ⊥， 又1BC ABB ，1BC ⊂面11ABCD ，AB 面11ABC D ，∴1B C ⊥面11ABC D ，又1D E ⊂面11ABC D ，∴11B C D E ⊥，故A 选项正确；1B C ⊥面11ABC D ，且11D Q B C ⊥，∴点Q 的轨迹是直线AB ，∴为使1D Q 取得最小值，只需1D Q AB ⊥，即Q 与A 重合，此时，12D A =D选择项正确；E 、F 、G 分别是AB ，BC ，11C D 的中点，所以//EF AC ，1//AD GE ， 又EF ⊂平面GEF ，GE平面GEF ，AC ⊂平面1AD C ，1AD ⊂平面1AD C ，∴面1//AD C 面GEF ，又1D C ⊂面1AD C ，1//D C ∴面GEF ，故B 选项正确；若P 在平面ABCD 内，且1//D P 面GEF ，则由B 选项可知：P 的轨迹是直线AC ，为使线段1D P 长度最小，只需1D P AC ⊥，此时在1D AC 中，1AD =12D C =，2AC =，1D P AC ⊥，∴111sin 4D P AD D AC =∠==，故C 选项错误.故选：ABD.【点睛】方法点睛：证明空间中位置关系时，通常需要根据空间中线面、面面垂直或平行的判定定理及性质，进行证明即可；有时也可建立适当的空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，根据空间位置关系的向量表示即可证明.三、填空题13．若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________． 【答案】2π【分析】由圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，可得圆锥的底面圆的直径、母线长均为2，求得底面圆半径，进而根据圆锥侧面积公式S rl π=求得结果。

2021年高三上学期第二次联考数学理含答案一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡的相应位置.1.设，则＝（）A． B． C． D．2.命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，3.下列函数中，既是偶函数又在区间上递增的函数为（）A． B． C． D．4.一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒5.函数的零点位于（）A． B． C． D．6.“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7.函数的图象可能是（）D 1C 1B 1A 1D CBAxyπ6π35π63- 3OA B C D 8.如图：正方体，棱长为1，黑白二蚁都从点出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中）.设黑白二蚁走完第xx 段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 ( )A ． 1 B. C. D. 0二、填空题.本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置. 9.函数的定义域为____________.10.若函数是函数且的反函数，且函数的图像经过点， 则 ____________. 11.已知函数，则的值为____________.12.如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>< 的图象，则其解析式是____________.13.由曲线与直线、直线所围成的图形的面积为____________.14.设函数,若对任意实数，函数的定义域为，则的取值范围为____________.三、解答题.本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分12分）已知函数,（1）求的值；（2）若，求.16.（本小题满分12分）设函数,（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.17．（本小题满分14分）设函数,（1）求函数的最小正周期，并求在区间上的最小值；（2）在中，分别是角的对边，为锐角，若，，的面积为，求.18.（本小题满分14分）已知函数（1）若函数在处的切线垂直轴,求的值；（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；（3）讨论函数的单调性.19.（本小题满分14分）已知函数（1）设为函数的极值点，求证: ；（2）若当时，恒成立，求正整数．．．的最大值.20.（本小题满分14分）设函数2* ()1,(,)1!2!!nnx x xf x x R n Nn=-++++∈∈（1）证明对每一个，存在唯一的，满足；（2）由（1）中的构成数列，判断数列的单调性并证明；（3）对任意，满足（1），试比较与的大小.xx届六校十月联考理科数学参考答案一.选择题二.填空题9. 10. 11.12. 13. ____1____ 14.三.解答题15．（本小题满分12分）已知函数,（1）求的值；（2）若，求.解:（1）……2分……4分……5分（2）……7分……8分……9分……10分= ……12分16.（本小题满分12分）设函数,（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.解：(1)……2分 令 ……3分 的变化情况如下表：……5分由上表可知的单调递增区间为和,单调递减区间为. ……6分（2）由（1）可知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， ……7分 的极大值 ……8分 的极小值 ……9分 又 ， ……10分 ……11分 函数在区间上的最大值为 ，最小值为 . ……12分17．（本小题满分14分） 设函数,（1）求函数的最小正周期，并求在区间上的最小值； （2）在中，分别是角的对边，为锐角，若，，的面积为，求. （资料苏元高考吧 广东省数学教师QQ 群：179818939）解：（1）()21cos 2sin cos 22x f x x x x x -==+ ……3分 所以函数的最小正周期为 ……4分 因为，所以.所以当时，函数在区间上的最小值为. ……7分 （2）由得：.化简得：，又因为，解得：. ……10分由题意知：，解得，又， ……12分 由余弦定理：()()22222cos 21cos 25a b c bc A b c bc A =+-=+-+=， . ……14分18. （本小题满分14分） 已知函数（1）若函数在处的切线垂直轴,求的值； （2）若函数在为增函数，求的取值范围； (3) 讨论函数的单调性.解：（1）因为，故， ……1分 函数在处的切线垂直轴，所以 ……3分（2）函数在为增函数，所以当时，恒成立，分离参数得：，从而有：. ……7分 （3）2()()(2)(2)ln g x f x a x x a x a x =-+=-++22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a g x x a x x x-++--'=-++== ……10分令，因为函数的定义域为，所以（1）当，即时，函数在上递减，在上递增； ……11分 （2）当，即时，函数在上递增，在上递减，在上递增 ……12分 （3）当，即时，函数在上递增； ……13分 （4）当，即时，函数在上递增，在上递减，在上递增. ……14分19.（本小题满分14分）已知函数（1）设为函数的极值点，求证: ；（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值.解：（1）因为，故, ……2分为函数的极值点,, ……3分即,于是,故……5分(2)恒成立,分离参数得……7分则时，恒成立，只需，，记，，……9分在上递增，又，在上存在唯一的实根，且满足，……11分当时，即；当时，即,,故正整数的最大值为……14分20.（本小题满分14分）设函数2* ()1,(,)1!2!!nnx x xf x x R n Nn=-++++∈∈（1）证明对每一个，存在唯一的，满足；（2）由（1）中的构成数列，判断数列的单调性并证明；（3）对任意，满足（1），试比较与的大小.解:（1）显然,当时,,故在上递增. ……2分 又，221111()()(1())1111112222()11()()1()01222!!222212nn n n n f n -=-++++<-++++=-+=-<-故存在唯一的，满足 ……4分 （2）由（1）知在上递增 因为所以21111111111()1()02!!(1)!(1)!n n n nn n n n n n n n x x x x f x x f x n n n ++++++++++=-+++++=+=++ ……6分 （资料苏元高考吧 广东省数学教师QQ 群：179818939），由（1）知在上递增故，即数列单调递减. ……9分 (3) 由（2）数列单调递减，故 而21()102!!(1)!()!nn n pn pn pn pn pn p n p n p x x x x f x x n n n p +++++++++=-+++++++=++ ……11分两式相减：并结合，以及211111!!11!!(1)111111k kkn pnn p nn pn n p k k n k n pn pn p n pk n k n k n n pk n x x x x x k k x k k k k k k n n p n ++++==+++++=+=+=++=+--=+<≤<-⎡⎤=-=-<⎢⎥-+⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 所以有 ……14分35914 8C4A 豊30109 759D 疝}22072 5638 嘸40741 9F25 鼥kM20286 4F3E 伾24667 605B 恛26537 67A9 枩/P`32426 7EAA 纪<。

2021年高三数学联考试题 文（含解析）湘教版【试卷综述】全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查.全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、旋转体、简易逻辑试卷都有所考查.在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识.明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1、设全集(2),{|21},{|ln(1)}x x U R A x B x y x -==<==-，则图中阴影部分表示的集合为A ．B ．C ．D ．【知识点】集合 A1 【答案】【解析】D 解析：因为图中阴影部分表示的集合为，由题意可知，所以，故选【思路点拨】根据题意可以先确定集合A 与B 中的元素，再由韦恩图求出结果.【题文】2、已知，命题，则A ．是真命题，B ．是真命题，：C ．是假命题，D ．是假命题，：【知识点】命题 A2【答案】【解析】B 解析：依题意得，当时，，函数是减函数，此时，即有恒成立，因此命题是真命题，应是“”.综上所述，应选【思路点拨】根据函数的导数判定函数的单调性，再找出正确的结论.【题文】3、定义在R 上的函数满足，且时，，则A ．1B ．C ．D ．【知识点】函数的奇偶性与单调性 B3,B4【答案】【解析】C 解析：由()()()()224f x f x f x f x -=+⇒=+，因为，所以，，所以()()()22224log 20log 2044log 20log 15f f f f ⎛⎫=-=--=-=- ⎪⎝⎭.故选 【思路点拨】把所求的值利用函数的奇偶性与单调性导入已知的区间，再求出结果.【题文】4、某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程中的，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为A ．51个B ．50个C ．49个D ．48个【知识点】变量的相关性与统计案例 I4【答案】【解析】C 解析：由题意知，代入回归直线方程得，故选【思路点拨】由题意求出x 的平均值再根据公式求出y 的平均值，代入回归方程可直接求出结果.【题文】5、设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )A ．31B ．32C ．63D ．64【知识点】等比数列 D3【答案】【解析】C 解析：设等比数列{a n }的首项为a ，公比为q ，易知q ≠1，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a （1－q 2）1－q＝3，a （1－q 4）1－q ＝15，解得q 2＝4，a 1－q ＝－1，所以S 6＝a （1－q 6）1－q ＝(－1)(1－43)＝63. 【思路点拨】由已知条件可求出公比，再利用求和公式直接求出数值.【题文】6、已知函数()322,()2,03a f x x ax cx g x ax ax c a =++=++≠，则它们的图象可能是【知识点】导数 B11【答案】【解析】B 解析：因为，则函数即图象的对称轴为，故可排除；由选项的图象可知，当时，，故函数在上单调递增，但图象中函数在上不具有单调性，故排除本题应选【思路点拨】根据函数的导数判定函数的单调性，再根据图像找出正确结果.【题文】7、已知函数的最小正周期为，则该函数的图象是A ．关于直线对称B ．关于点对称C ．关于直线对称D ．关于点对称【知识点】三角函数的图像 C3【答案】【解析】A 解析：依题意得，故，所以，，因此该函数的图象关于直线对称，不关于点和点对称，也不关于直线对称.故选【思路点拨】根据题意可求出再根据解析式判定函数的对称关系.【题文】8、一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中，它可能随机在草原上任何一处（点），若落在扇形沼泽区域ADE 以外丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是（）A． B． C． D．【知识点】概率K3【答案】【解析】B 解析：过点作于点，在中，易知，梯形的面积,扇形的面积，则丹顶鹤生还的概率，故选【思路点拨】几何概型，可分别求出各部分的面积再求出概率.【题文】9、已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式不成立的是（）A． B．C． D．【知识点】导数与函数的单调性B11,B12【答案】【解析】A 解析：构造函数g（x）=，则g′（x）==（f′（x）cosx+f（x）sinx），∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，则g（﹣）＜g（﹣），即，∴，即f（﹣）＜f（﹣），故A正确．g（0）＜g（），即，∴f（0）＜2f（），故选：A．【思路点拨】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论【题文】10、已知函数均为常数，当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围是A． B． C． D．【知识点】线性规划E5【答案】【解析】D 解析：因为，依题意，得则点所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），其中，，.表示点到点的距离的平方，因为点到直线的距离，观察图形可知，，又，所以，故选【思路点拨】根据题意求出可行域，再由所求值的几何意义求出取值范围.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上【题文】11、若不等式恒成立，则实数的取值范围是【知识点】绝对值不等式E2【答案】【解析】解析：由于，则有，即，解得，故实数的取值范围是【思路点拨】由绝对值不等式的意义可求出最小值，再求出m的取值.【题文】12、定义行列式的运算:，若将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为【知识点】新定义题型；函数性质. C4【答案】【解析】解析：，平移后得到函数，则由题意得，因为，所以的最小值为.【思路点拨】根据定义求出解析式，再由三角函数的性质求出t的最小值.【题文】13、设曲线在点处切线与直线垂直，则【知识点】导数的几何意义B12【答案】【解析】1 解析：由题意()()()22 2cos sin2cos sin12cossin sinx x x x xyx x''----'==，在点处的切线的斜率又该切线与直线垂直，直线的斜率，由，解得【思路点拨】利用导数求出切线方程，再由位置关系求出结果.【题文】14、已知命题函数的定义域为R；命题，不等式恒成立，如果命题““为真命题，且“”为假命题，则实数的取值范围是【知识点】命题及其关系A2【答案】【解析】解析：若命题为真，则或.若命题为真，因为，所以.因为对于，不等式恒成立，只需满足，解得或.命题“”为真命题，且“”为假命题，则一真一假.①当真假时，可得；②当时，可得.综合①②可得的取值范围是.【思路点拨】根据题意对命题进行讨论，再求出a的取值范围.【题文】15、已知函数有零点，则的取值范围是【知识点】函数与方程B9【答案】【解析】解析：由，解得当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故该函数的最小值为因为该函数有零点，所以，即，解得故的取值范围是.【思路点拨】根据函数的导数找出函数的单调区间，再根据最小值求出a的取值范围.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤【题文】16、（本小题满分12分）已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【知识点】函数的概念与导数B1,B11【答案】【解析】（1）（2）解析：（1）在区间上是单调增函数，即又…………………4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. …………………………………………6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立，…………………8分即有，解不等式，得.…………………11分这时，是唯一极值. . ……………12分【思路点拨】由幂函数的概念可求出函数，再利用导数求出a的取值范围.【题文】17. （本小题满分12分）已知函数,的最大值为2．（Ⅰ）求函数在上的值域；(Ⅱ)已知外接圆半径，，角所对的边分别是，求的值．【知识点】三角函数；不等式；正弦定理.C4,C8,E1【答案】【解析】(1) (2) 解析：（1）由题意，的最大值为，所以． (2)分而，于是，．…………………………………4分在上递增．在递减，所以函数在上的值域为；…………………………………5分（2）化简得．……7分由正弦定理，得，……………………………………………9分因为△ABC的外接圆半径为．．…………………………11分所以…………………………………………………………………12分【思路点拨】根据题意求出解析式，再求出定义域下的值域，化简已知条件求出边的关系，再求出【答案】【解析】(I)(II) 解析：(Ⅰ) 由①可得：．同时②②-①可得：．——4分从而为等比数列，首项，公比为．．————————6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，————8分故．—【思路点拨】由数列的前n项和公式与通项公式的关系可求出数列的通项公式，再根据数列的特点求出前n项和【题文】19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，,,平面,为的中点，.(I ) 求证：∥平面;( II ) 求四面体的体积.【知识点】直线与平面平行；几何体的体积. G4,G8【答案】【解析】(I)略(II) 解析：1)法一：取AD得中点M，连接EM,CM.则EM//PA因为所以，（2分）在中，所以，而,所以,MC//AB. （3分）因为所以，（4分）又因为所以，因为（6分）法二：延长DC,AB,交于N点，连接PN.因为所以，C为ND的中点. （3分）因为E为PD的中点，所以，EC//PN因为（6分）2)法一：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= （7分）因为，，所以，（8分）又因为，所以，（10分）因为E是PD的中点，所以点E平面PAC的距离，所以，四面体PACE的体积（12分）【思路点拨】由题意可直接证明直线与平面平行，再根据几何体的体积公式求出四面体的体积.【题文】20. （本小题满分13分）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且||=2，点（1，）在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若AB的面积为，求以为圆心且与直线相切圆的方程．【知识点】椭圆的概念；直线与椭圆H5,H8【答案】【解析】(1) (2) 解析：（1）椭圆C的方程为……………．．（4分）（2）①当直线⊥x轴时，可得A（-1，-），B（-1，），AB的面积为3，不符合题意．…………（6分）②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：，显然＞0成立，设A，B，则，，可得|AB|= ……………．．（9分）又圆的半径r=，∴AB的面积=|AB| r==，化简得：17+-18=0，得k=±1，∴r =，圆的方程为……………．．（13分）【思路点拨】由题中所给的条件可直接列出椭圆方程，再由直线与椭圆的位置关系可求出k 与r的值，最后列出所求圆的方程即可.【题文】21.（本小题满分14分）.已知函数，（a为实数）．(Ⅰ) 当a=5时，求函数在处的切线方程；(Ⅱ) 求在区间[t，t+2]（t >0）上的最小值；(Ⅲ) 若存在两不等实根，使方程成立，求实数a的取值范围．【知识点】导数；导数与函数的最值；导数与函数的单调性.B3,B11【答案】【解析】(I) (II) 当时 (III) 解析：(Ⅰ)当时,. ………1分，故切线的斜率为. ………2分所以切线方程为:,即. ………4分(Ⅱ),精品文档实用文档………6分①当时,在区间上为增函数,所以………7分②当时,在区间上为减函数,在区间上为增函数,所以………8分(Ⅲ) 由，可得：，………9分,令, .………10分,, ..实数的取值范围为 . ………14分【思路点拨】根据导数求出切线斜率，再列出切线方程，再根据函数的导数判定函数的单调性，讨论t的取值范围求出函数的最小值，第三问利用导数与已知条件可解出a的取值范围.34587 871B 蜛B39776 9B60 魠|-37712 9350 鍐37990 9466 鑦 31015 7927 礧34864 8830 蠰 27358 6ADE 櫞'26465 6761 条34418 8672 虲。

2021年湖南省“五市十校教研教改共同体”高考数学大联考试卷（5月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.(2021·湖南省·模拟题)设集合A={0,2，4}，B={x|x2−mx+n=0}，若A∪B={0,1，2，3，4}，则m+n的值是()A. 1B. 3C. 5D. 72.(2019·广东省惠州市·单元测试)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是()A. 0.72B. 0.8C. 89D. 0.93.(2021·湖南省·模拟题)设a，b，m为实数，给出下列三个条件：①a3>b3；②am2>bm2；③1a <1b，其中使a>b成立的充分不必要条件是()A. ①B. ②C. ③D. ①②③4.(2021·湖南省·模拟题)算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠(简称上珠)代表5，下面一粒珠(简称下珠)代表1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠，且往上拨2粒下珠，则算盘表示的数的个数为()A. 9B. 18C. 27D. 365.(2021·湖南省·模拟题)F1、F2分别是双曲线x22−y24=1的左、右焦点，过F1的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，若AF2⊥BF2，|AF2|=|BF2|，则|AF2|=() A. 2 B. 2√2 C. 4 D. 4√26. (2021·湖南省·模拟题)已知|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,m ⃗⃗⃗ =a ⃗ +t b ⃗ ，设函数f(t)=|m ⃗⃗⃗ |，当t =√34时，f(t)取得最小值，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为( ) A. √3B. −√3C. √32 D. −√327. (2021·湖南省·模拟题)已知(1+x)7=a 0+a 1(x −1)1+a 2(x −1)2+⋯+a 7(x −1)7，则a 0+a 3=( )A. 688B. 161C. 129D. 228. (2021·江西省九江市·模拟题)已知a =x 13，b =(13)x ，c =log 13x ，则下列说法正确的是( )A. 当a =b 时，c <aB. 当b =c 时，a <cC. 当a =c 时，b <aD. 当c =0时，a <b二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. (2021·重庆市市辖区·模拟题)关于函数f(x)=1x +1x+1，的结论正确的是( )A. f(x)在定义域内单调递减B. f(x)的值域为RC. f(x)在定义域内有两个零点D. y =f(x −12)是奇函数10. (2021·湖南省·模拟题)设复数z 1，z 2满足z 1+z 2=0，则( )A. z 1−=z 2 B. |z 1|=|z 2|C. 若z 1(2−i)=3+i ，则z 1z 2=−2iD. 若|z 1−(1+√3i)|=1，则1≤|z 2|≤311. (2021·湖南省·模拟题)已知函数f(x)=e x +acosx ，f′(x)是f(x)的导函数，则下列说法正确的是( )A. 当a =−1时，f(x)在(0,+∞)单调递增B. 当a =−1时，f(x)在(0,f(0))处的切线为x 轴C. 当a =1时，f′(x)在[0,+∞)上无零点D. 当a =1时，f(x)在(−3π2,−π)存在唯一极小值点12. (2021·湖南省·模拟题)在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 为菱形，AB =2，AA 1=1，∠BAD =π3，则下列结论正确的是( )A. 直线AC 1⊥平面A 1BDB. 直线DB 1与平面C 1CDD 1所成角的正切值为√62C. 过A 1D 作与AC 1平行的平面A 1DG ，则平面A 1DG 截直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的截面面积为√102D. 点E 为棱B 1C 1上任意一点，直线AA 1与直线BE 所成角的正切值的取值范围是[0,2]三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·重庆市市辖区·单元测试)若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______．14. (2021·湖南省·模拟题)已知sin(π8−α)=13，则sin2α+cos2α= ______ ． 15. (2021·湖南省·模拟题)已知函数f(x)=lnx ，数列{a n }是公差为2的等差数列，且a n =f(x n )，若x 1+x 2+x 3+⋯+x 10=e ，则ln(x 11+x 12+x 13+⋯+x 20)= ______ ．16. (2021·湖南省·模拟题)函数f(x)的定义域为D ，对D 内的任意x 1、x 2，当x 1<x 2时，恒有f(x 1)≤f(x 2)，则称f(x)为非减函数.已知f(x)是定义域为[0,1]的非减函数，且满足：①对任意x ∈[0,1]，f(1−x)+f(x)=2.②对任意x ∈[0,14]，f(x)≥4x.则f(47)+f(58)的值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (2021·湖南省·模拟题)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n ，数列{b n }满足b 1=1，b n+1−b n =2⋅3n−1．(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式； (2)记c n =(−1)n (a n +1)n(n+1)+log 3(b n +1−b n )，求数列{c n }的前n 项和T n ．18. (2021·江西省新余市·模拟题)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积为S ，且b(asinA +csinC −bsinB)=3S ． (1)求cos B 的值；(2)若a、b、c成等比数列，且△ABC的面积是√7，求△ABC的周长．219.(2021·湖南省·模拟题)如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，AB=2，DE=BF，BF//DE，M为棱AE的中点．(1)求证：平面BMD//平面EFC；(2)若ED⊥平面ABCD，BM⊥CF，求二面角E−AF−B的余弦值．20.(2021·湖南省·模拟题)某地一公司的市场研究人员为了解公司生产的某产品的使用情况，从两个方面进行了调查统计，一是产品的质量参数x，二是产品的使用时间t(单位：千小时)，经统计分析，质量参数x服从正态分布N(0.8,0.0152)，使用时间t与质量参数x之间有如下关系：(1)该地监管部门对该公司的该产品进行检查，要求质量参数在0.785以上的产品为合格产品.现抽取20件该产品进行校验，求合格产品的件数的数学期望； (2)该公司研究人员根据最小二乘法求得线性回归方程为t =2.92x +0.76，请用相关系数说明使用时间t 与质量参数x 之间的关系是否可用线性回归模型拟合．附：参考数据：x −=0.8,t −=3.1,∑x i 27i=1=4.55,∑t i 27i=1=67.88,√0.115=0.339．若ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)=0.6828，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544参考公式：相关系数r =n i=1i −i −√∑(ni=1x i −x −)2∑(n i=1t i −t −)2；回归直线方程为t ̂=b ̂x +a ̂，其中b ̂=∑(n i=1x i −x −)(t i −t −)∑(n i=1x i −x −)2,a ̂=y −−b ̂x −．21. (2021·江西省抚州市·模拟题)已知椭圆x 216+y29=1，A 是椭圆的右顶点，B 是椭圆的上顶点，直线l ：y =kx +b(k >0)与椭圆交于M 、N 两点，且M 点位于第一象限． (1)若b =0，证明：直线AM 和AN 的斜率之积为定值； (2)若k =34，求四边形AMBN 的面积的最大值．22.(2021·湖南省·模拟题)已知函数f(x)=(x+1)lnx．(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求证：ln21+ln76+⋯+ln(n2−2)n2−3+2n>32(n≥2,n∈N∗)．答案和解析1.【答案】D【知识点】并集及其运算【解析】解：∵A={0,2，4}，B={x|x2−mx+n=0}，A∪B={0,1，2，3，4}，∴B={1,3}，∴x=1，3是方程x2−mx+n=0的两实根，∴根据韦达定理，{m=1+3n=1×3，∴m+n=7．故选：D．根据题意可得出B={1,3}，然后根据韦达定理即可求出m，n的值，进而得出m+n的值．本题考查了一元二次方程最多有2个实根，并集及其运算，韦达定理，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【知识点】条件概率【解析】解：设一批种子的发芽率为事件A，则P(A)=0.9，出芽后的幼苗成活率为事件B，则P(B)=0.8，∴这粒种子能成长为幼苗的概率P=P(A)P(B)=0.9×0.8=0.72．故选：A设一批种子的发芽率为事件A，则P(A)=0.9，出芽后的幼苗成活率为事件B，则P(B)= 0.8，根据条件概率公式计算即可，本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题．3.【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】解：a3>b3⇔a>b，∴①错误，由am2>bm2能推出a>b，但是由a>b当m=0时，则推不出am2>bm2，故②正确，当a=−2，b=4时，则1a <1b成立，但a>b不成立，∴1a<1b不是a>b的充分不必要条件，∴③错误，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4.【答案】B【知识点】两个计数原理的综合应用【解析】解：根据珠算的运算法则以及题干中描述的操作，从个、十、百上珠中选1粒往下拨，则有C31种，下珠往上拨分两种情况，全部来自个、十、百，即C31种，或者来自个、十、百中的两个，即C32种，故算盘表示的数的个数为C31(C31+C32)=18．故选：B．利用分类计数原理和分步计数原理求解即可．本题考查了组合以及两个计数原理的应用，考查的核心素养为逻辑推理，属于基础题．5.【答案】C【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：双曲线x22−y24=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的左，右两支于点A，B.若AF2⊥BF2，且|AF2|=|BF2|，如图：设|AF2|=|BF2|=m，由定义|BF1|=m+2√2=√2m+|AF1|，|AF1|=m−2√2，所以m=4，所以|AF2|=4，故选：C．利用双曲线的定义，结合已知条件，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是中档题．6.【答案】D【知识点】向量的数量积【解析】解：因为|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,m ⃗⃗⃗ =a ⃗ +t b ⃗ ，所以f(t)=|m ⃗⃗⃗ |，当t =√34时，f 2(t)=|m ⃗⃗⃗ |2=(a ⃗ +t b ⃗ )2=1+2t a ⃗ ⋅b ⃗ +4⋅t 2， 当t =−2a ⃗ ⋅b ⃗ 2⋅4=√34，即a ⃗ ⋅b ⃗ =−√3时，f 2(t)取得最小值，于是f(t)取得最小值，所以a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为a ⃗ ⋅b⃗ |b⃗ |=12⋅a ⃗ ⋅b ⃗ =−√32， 故选：D ．先根据二次函数取最小值，确定a ⃗ ⋅b ⃗ 值，再用向量投影定义求解． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．7.【答案】A【知识点】二项式定理【解析】解：∵(1+x)7=a 0+a 1(x −1)1+a 2(x −1)2+⋯+a 7(x −1)7， 即[2+(x −1)]7=a 0+a 1(x −1)1+a 2(x −1)2+⋯+a 7(x −1)7，令x =1可得：a 0=27=128，a 3=C 73×24=560，∴a 0+a 3=688， 故选：A ．根据[2+(x −1)]7=(1+x)7，再结合二项式定理即可求解结论．本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．8.【答案】C【知识点】对数函数及其性质 【解析】解：分别作出a =x 13，b =(13)x ，c =log 13x 的图像，对于A ，当a =b 时，x 13=(13)x ，交点为P ，此时c =log 13x 在上方，c >a ，错误；对于B ，当b =c 时，(13)x =log 13x ，交点为R ，此时a =x 13在上方，a >c ，错误；对于C ，当a =c 时，x 13=log 13x ，交点为Q ，此时b =(13)x 在下方，b <a ，正确；对于D ，当c =0时，为S 点，此时a =x 13在b =(13)x 上方，错误． 故选：C ．由题意，分别作出a =x 13，b =(13)x ，c =log 13x 的图像，逐一判断各个选项即可得解． 本题主要考查了函数的性质及其应用，考查了数形结合思想，属于中档题．9.【答案】BD【知识点】函数的奇偶性【解析】解：f(x)=1x +1x+1的定义域为(−∞,−1)∪(−1,0)∪(0,+∞)， 而1x 和1x+1在各段定义域内均为减函数，故f(x)在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误； 当x <−1时，x →−∞时，有f(x)=1x +1x+1→0， 因为f(x)单调递减，故f(x)在x <−1时的值域(−∞,0)； 当x ∈(−1,0)时，有f(−12)=0，因为f(x)单调递减，故f(x)在−1<x <0时的值域R ； 当x >0时，x →+∞时，f(x)→0，因为f(x)单调递减，故f(x)在x >0时的值域(0,+∞)； 所以f(x)的值域为R ，故B 正确；令f(x)=1x +1x+1=2x+1x 2+x =0，可得x =−12，所以f(x)在定义域内有一个零点，故C 错误；y =f(x −12)=1x−12+1x+12=2x x 2−14=8x4x 2−1，令g(x)=8x 4x 2−1，易知x ≠±12，此时定义域关于原点对称， 且g(−x)=−8x4x 2−1=−g(x)，故g(x)为奇函数， 所以y =f(x −12)是奇函数，故D 正确， 故选：BD ．根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断，即可得解．本题综合考查了函数的单调性，奇偶性，零点及函数值域的求解，解题的关键是函数性质的灵活应用，属于中档题．10.【答案】BCD【知识点】复数的模、复数的四则运算【解析】解：设复数z1=a+bi，z2=c+di，(a,b，c，d∈R)，∵z1+z2=0，∴a+c+(b+d)i=0，∴a=−c，b=−d，∴z1−=a−bi=−c+di≠z2，|z1|=√a2+b2=√c2+d2=|z2|，因此A不正确，B 正确．z1(2−i)=3+i，z1=3+i2−i =(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)=6−1+5i5=1+i，∴z2=−1−i，则z1z2=(1+i)(−1−i)=−2i.因此C正确．∵|z1−(1+√3i)|=1，∴z1对应的点Z1的轨迹是以C(1,√3)为圆心，1为半径的圆，|OC|=√12+(√3)2=2，∴2−1≤|z2|≤2+1，即1≤|z2|≤3.因此D正确．故选：BCD．设复数z1=a+bi，z2=c+di，(a,b，c，d∈R)，根据z1+z2=0，可得a+c+(b+d)i= 0，a=−c，b=−d，利用复数的运算法则、模的计算公式、几何意义即可判断出正误．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】ACD【知识点】利用导数研究函数的极值【解析】解：当a=−1时，f(x)=e x−cosx，则f′(x)=e x+sinx，∵当x∈(0,+∞)时，e x>1，−1≤sinx≤1，则f(x)=e x+sinx>0恒成立，故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，故A正确；f(0)=e0+sin0=1，f′(0)=0，故f(x)在(0,f(0))处的切线方程为：y=x，故B错误；当a=1时，f(x)=e x+cosx，故f′(x)=e x−sinx，令φ(x)=e x−sinx，则φ′(x)=e x−cosx>0，故φ(x)=e x −sinx 在[0,+∞)单调递增，即f′(x)在[0,+∞)上单调递增，f′(x)≥f′(0)=1， 故f′(x)在[0,+∞)上无零点，故C 正确， 当x ∈(−3π2,−π)时，f′(x)在(−3π2,−π)递增，又f′(−3π2)=e −3π2−1<0，而f′(−π)=e −π>0，由零点存在定理得：存在唯一x 0∈(−3π2,−π)，使得f′(x 0)=0，当x ∈(−3π2,x 0)时，f′(x 0)<0，故函数f(x)在(−3π2,−π)递减，当x ∈(x 0,−π)时，f′(x 0)>0，故函数f(x)在(x 0,−π)递增， 从而f(x)在(−3π2,−π)上存在唯一的极小值点x 0，故D 正确；故选：ACD ．代入a =−1，求出函数的导数，判断函数的单调性即可判断A ，计算f(0)，f′(0)，求出切线方程判断B ，代入a =1，求出函数的导数，根据函数的单调性判断C ，D 即可． 本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查转化思想，是中档题．12.【答案】BCD【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、命题及其关系、异面直线所成角、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征【解析】解：连接AC ，BD 交于点O ，连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1， ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，又四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，∴OO 1⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的正方向为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系：则A(√3,0,0)，B(0,1，0)，C(−√3,0,0)，D(0,−1,0)，A 1(√3,0,1)，B 1(0,1，1)，C 1(−√3,0,1)， ∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,0,1)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,−1)，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6−1=5≠0， 即AC 1不垂直于A 1B ，∴AC 1与平面A 1BD 不垂直，故选项A 错误；DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，设平面CC 1D 1D 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −y =0，令x =1，则y =√3,z =0，∴n ⃗ =(1,√3,0)，设直线DB 1与平面C 1CDD 1所成角为θ，则sinθ=|DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√32√5=√155，∴tanθ=√62，故选项B 正确；连接A 1D 交AD 1与M ，取C 1D 1中点H ，连接MH ，由直四棱柱特点知：四边形ADD 1A 1为矩形，∴M 为AD 1中点，∴MH//AC 1， 又MH ⊂面A 1DH ，AC 1⊄面A 1DH ，∴AC 1//面A 1DH ，过A 1D 作平面A 1DG//AC 1，面A 1DG 截直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1所得的截面为A 1DH ， 在△A 1DH 中，由余弦定理得：A 1H 2=4+1−4cos2π2=7，∴A 1H =√7，又A 1D =√4+1=√5，DH =√1+1=√2，∴A 1D 2+DH 2=A 1H 2，∴A 1D ⊥DH ， ∴S △A 1DH =12A 1D ⋅DH =√102，即所求截面面积为√102，故选项C 正确；设E(x,y ，1)，且B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，又B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −1,0)，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0)，∴x =−√3λ,y =1−λ，∴E(−√3λ,1−λ,1)，设直线AA 1与BE 所成角为θ， ∴cosθ=|cos <BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4λ2+1，∴tanθ=2λ，又因为λ∈[0,1]，∴tanθ∈[0,2]，故选项D 正确． 故选：BCD ．连接AC ，BD 交于点O ，根据垂直关系可以O 为坐标原点建立空间直角坐标系； 由向量坐标运算可求得AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0，知线线垂直不成立，由此线面垂直不成立，A 错误；利用线面角的向量求法可求得所求角的正弦值，由同角三角函数可求得正切值，B 正确； 连接A 1D 交AD 1于M ，取C 1D 1中点H 吗，由线面平行的判定知AC 1//平面A 1DH ，可知所求截面为△A 1DH ，根据长度关系可求得面积，C 正确；设B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，可利用λ表示出E 点坐标，由线线角的向量求法可求得所求角的余弦值，进而得到正切值，即可判断D 正确．本题考查了空间中线与面的位置关系，空间中的动点问题，以及空间向量与立体几何的综合应用，属于中档题．13.【答案】8√33π【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积 【解析】 【分析】本题考查圆锥的基础知识，属于基础题．利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出圆锥底面半径，再求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆， 所以圆锥的底面周长为：4π， 所以底面半径为2， 又母线长为4 则圆锥的高为2√3；圆锥的体积为：13π⋅22×2√3=8√33π. 故答案为：8√33π.14.【答案】7√29【知识点】二倍角公式及其应用、两角和与差的三角函数公式 【解析】解：因为sin(π8−α)=13，所以cos(π4+2α)=1−2sin 2(π8−α)=1−2×19=79， 又cos(π4+2α)=√22(sin2α+cos2α)=79，所以sin2α+cos2α=7√29． 故答案为：7√29． 由已知利用二倍角的余弦公式可求cos(π4+2α)的值，进而根据两角和的余弦公式即可求解．本题主要考查了二倍角的余弦公式，两角和的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15.【答案】21【知识点】等差数列的通项公式 【解析】解：因为a n =f(x n )=lnx n ， 所以x n =e a n ，x n+1x n=e a n+1−a n =e 2，所以数列{x n }是公比为e 2的等比数列， 若x 1+x 2+x 3+⋯+x 10=e ，则ln(x 11+x 12+x 13+⋯+x 20)=lne 21=21． 故答案为：21．由已知结合等差数列与等比数列的性质及通项公式即可求解． 本题主要考查了等差与等比数列的性质的应用，属于基础题．16.【答案】2【知识点】函数的性质、抽象函数【解析】解：∵对任意x ∈[0,1]，f(1−x)+f(x)=2， ∴f(1−12)+f(12)=2f(12)=2，得f(12)=1， 当x =38时，f(1−38)+f(38)=f(58)+f(38)=2，∵对任意x ∈[0,14]，f(x)≥4x ∴当x =14时，f(14)≥4×14=1， ∵已知f(x)是定义域为[0,1]的非减函数， ∴当x 1<x 2时，恒有f(x 1)≤f(x 2)， 当14≤x ≤12时，f(14)≤f(x)≤f(12)=1， 即此时f(x)=1为常数函数， 则f(37)=1，f(38)=1，则f(58)=2−f(38)=1，f(47)=2−f(37)=2−1=1， 则f(47)+f(58)=1+1=2． 故答案为：2根据条件利用赋值法先求出f(12)=1，然后利用函数的单调性和取值范围得到当14≤x ≤12时，f(x)=1为常数函数，然后根据条件进行转化求解即可．本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数的单调性得到当14≤x ≤12时，f(x)=1为常数函数是解决本题的关键，是中档题．17.【答案】解：(1)∵S n =n 2+n ，∴a 1=S 1=2，n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2+n −[(n −1)2+n −1]=2n ， n =1时符合上式通项，∴a n =2n ， 又b n+1−b n =2⋅3n−1，∴b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1=2⋅3n−2+2⋅3n−3+⋯+2⋅30+1=3n−1， 即b n =3n−1； (2)∵c n =(−1)n (a n +1)n(n+1)+log 3(b n +1−b n )，∴c n =(−1)n (2n +1)n(n +1)+log 3(3n −3n−1)=(−1)n ⋅1n −(−1)n+1⋅1n+1+n −1+log 32，∴T n =(−1)1⋅11−(−1)n+1⋅1n +1+0+n −12⋅n +nlog 32=−1−(−1)n+1n+1+n 2−n 2+nlog 32，即数列{c n}的前n项和T n=−1−(−1)n+1n+1+n2−n2+nlog32．【知识点】数列的递推关系、数列求和方法【解析】(1)利用a n=S n−S n−1求出a n，再利用累加法求出b n；(2)将c n裂项为(−1)n⋅1n −(−1)n+1⋅1n+1+n−1+log32，即可求出数列{c n}的前n项和T n．本题考查了数列求通项，裂项相消法求数列和，其中对于裂项的考查较为灵活，计算量较大，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为b(asinA+csinC−bsinB)=3S=312acsinB，所以b(a2+c2−b2)=3×12acb，即a2+c2−b2=3ac2，由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =34；(2)由题意得b2=ac，S=12acsinB=12×√74ac=√78ac=√72，所以ac=4，b=2，又a2+c2−b2=3ac2=6，所以a2+c2=10，所以(a+c)2−2ac=10，所以a+c=3√2，△ABC的周长a+b+c=3√2+4．【知识点】正弦定理【解析】(1)由已知结合正弦定理及三角形面积公式先进行化简，然后结合余弦定理可求cos B；∖(2)由等比中项性质及三角形面积公式可求ac，b，然后求出a+c，进而可求．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：连接AC交BD于O，连接MO．∵ABCD为正方形，∴O是AC的中点，又M是AE的中点，∴在△AEC中，MO//EC，又BF//DE且BF=DE，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD//EF ，∴平面BMD//平面EFC ．(2)∵ED ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，∴以D 为空间坐标系原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标D −xyz ， 设DE =BF =t ，则B(2,2，0)，M(1,0，t2)，C(0,2，0)，F(2,2，t)， BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,t 2)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，t)， ∵BM ⊥CF ，∴BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+t 22=0，解得t =2，∴E(0,0，2)，F(2,2，2)，A(2,0，0)，B(2,2，0)， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， 设平面AEF 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0n ⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0，取x =1，得n⃗ =(1,−1,1)， 平面ABF 的法向量m⃗⃗⃗ =(1,0，0)， 设二面角E −AF −B 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3=√33， ∴二面角E −AF −B 的余弦值为√33．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、面面平行的判定【解析】(1)连接AC 交BD 于O ，连接MO ，证明MO//EC ，结合BF//DE 说明四边形BDEF 是平行四边形，推出BD//EF ，即可证明平面BMD//平面EFC ．(2)以D 为空间坐标系原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标D −xyz ，利用向量法能求出二面角E −AF −B 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．20.【答案】解：(1)一件产品的质量参数在0.785以上的概率P =1−1−0.68282=0.8414，设抽取20件该产品中为合格产品的件数为X ，则X ～B(20,0.8414)， 所以E(X)=20×0.8414=16.828；(2)由题意，∑(7i=1x i −x −)2(t i −t −)=∑(7i=1x i −0.8)(t i −3.1)=0.205，∑(7i=1x i −x −)2=∑x i 27i=1−2x −∑x i 7i=1+∑x −27i=1=4.55−2×0.8×7×0.8+7×0.82=0.07，同理∑(7i=1t i −t −)2=67.88−2×3.1×7×3.1+7×3．12=0.61，所以r =n i=1i −i −√∑(ni=1x i −x −)2∑(n i=1t i −t −)2=√0.07×0.61=√0.0427≈0.992，因为r 接近1，故时间t 与x 之间可以用线性回归拟合．【知识点】正态曲线及其性质【解析】(1)先根据正态分布求出一件产品的质量参数在0.785以上的概率，然后利用二项分布的数学期望计算公式求解即可；(2)根据参考数据求出相关系数，最后根据相关系数的值进行判断，即可得到答案． 本题考查了离散型随机变量数学期望的求解，二项分布的应用，正态分布的应用以及相关系数的求解，考查了运算能力，属于中档题．21.【答案】(1)证明：设M(x 1,y 1)，则N(−x 1,−y 1)，∵A(4,0)，B(0,3)，∴k AM =y 1x1−4,k A N =y 14+x 1，∵M(x 1,y 1)在椭圆上，∴y 12=916(16−x 12)， ∴k AM ⋅k AN =y 12x 12−16=916⋅16−x 12x 12−16=−916为定值．(2)解：设l ：y =34x +b ，依题意：k >0，M 点在第一象限，∴−3<b <3， 联立：{y =34x +b x 216+y 29=1得：9x 2+12bx +8b 2−72=0，∴x 1+x 2=−4b 3,x 1⋅x 2=89b 2−8，设A 到l 的距离为d 1，B 到l 的距离为d 2， ∴d 1=|12+4b|5=45⋅|3+b|=45(3+b),d 2=|−12+4b|5=45⋅|b −3|=45(3−b)，∴d 1+d 2=245．又∵|MN|=√1+916⋅|x 1−x 2|=54√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=54√−169b 2+32≤5√2(当b =0时取等号)，∴S ANBN =12|MN|⋅(d 1+d 2)≤12⋅5√2⋅245=12√2．故四边形AMBN 的面积的最大值为12√2．【知识点】直线与椭圆的位置关系【解析】(1)首先写出直线的斜率表达式，然后结合点在椭圆上即可证得题中的结论；(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，得到点A，B到直线的距离，然后结合均值不等式和图形的特征即可求得面积的最大值．本题主要考查椭圆中的定值问题，直线与椭圆的位置关系，椭圆中四边形面积的最值问题与求解方法等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=(x+1)lnx，f(1)=0，f′(x)=lnx+x+1x，f′(1)=2，∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为：y−0=2(x−1)，∴y=2(x−1)；(2)证明：令ℎ(x)=(x+1)lnx−2(x−1)，x∈(0,+∞)，则ℎ′(x)=lnx+x+1x −2=lnx+1x−1=u(x)，u′(x)=1x −1x2=x−1x2>0，∴函数u(x)在x∈(1,+∞)单调递增，∴ℎ′(x)=u(x)>u(1)=0，∴函数ℎ(x)在x∈(1,+∞)单调递增，∴ℎ(x)>ℎ(1)=0．∴当x>1时：(x+1)lnx>2(x−1)，令x=n2−2，则化为：ln(n2−2)n2−3>2n2−1=1n−1−1n+1，∴ln21>1−13，ln76>12−14，ln1412>13−15，……，ln(n2−2)n2−3>2n2−1=1n−1−1n+1，∴ln21+ln76+ln1412+⋯+ln(n2−2)n2−3>1+12−1n−1n+1>32−2n，n≥2，n∈N∗，∴ln21+ln76+⋯+ln(n2−2)n2−3+2n>32(n≥2,n∈N∗)．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、导数的几何意义【解析】(1)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程即可；(2)求出(x+1)lnx>2(x−1)，令x=n2−2，则化为：ln(n2−2)n2−3>2n2−1=1n−1−1n+1，利用累加求和即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、累加求和方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

姓名__________ 准考证号____________________（在此卷上答题无效）绝密★启用前湖南省五市十校2020年下学期高三年级第二次大联考试题2020.12命题：宁乡一中雷锋学校东山学校本试卷共4页。

全卷满分150分,考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动•用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时•将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数Z= 亍+2i,则IZl =Λ.0 B. 1 C.√2 D. 22.已知 SinG＞0,COS（@—兀）＞0,则 0是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.设等差数列仏＞的公差为厶仇=2■则是为递减数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充耍条件D.既不充分也不必耍条件4.陈镜开（1935〜2010）,新中国举重运动员.1956年在上海举行的“中苏举垂友谊赛”中，他以133 公斤的成绩，打破美国运动员C・温奇保特的56公斤级挺举世界纪录，这是中国运动员创造的第一个世界纪录. 1956〜1964年期间•在上海、北京、英斯科、莱比锡等国内外的重大举重比赛中，陈镜开先后9次打破眾轻量级和次轻量级挺举世界纪录.举重比赛挺举项目中，运动员对所要重虽冇3次试举次数，只要一次试举成功即为完成本次所要重员的比赛，才冇资格进人下轮所耍更大重量的比赛.结合平时训练数据，某运动员挺举130公斤成功的概率为0. 6（每次试举之间互不影响）・则在挺举比赛中，他有资格进入下轮比赛的槪率是A.0. 784B. 0. 84C. 0. 904D. 0. 9365.已知直线Z：^+J-I=0,圆C S（^-I）2 + ⅛-2）2 = 8,则圆C上到直线/的距离为√T的点共有A. 1个 B 2个 C. 3个 D. 4个6.原油作为“工业血液”、“黑色黃金”,其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油网次,这段时间燃油价格有升有降.现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升,第二种方案是每次加油200元、则下列说法正确的是A.第一种方案更划算B.第二种方案更划算C.两种方案一样D.无法确定7. 如图，在半径为2的扇形AOB 中，ZA0B = ¥，P 是弧∕∖B 上的一 个三等分点.M ∙N 分别是线段OA,OB±的动点.则页？ •两的最 大值为 A.√2 B. 2 C.4D.4√28. 函数/(-2∙) = 7⅛T+ 2COS (^)在区间［一2.4］上的所有零点的和为二、多项选择题：本题共4小題，每小题5分，共20分。

绝密★启用前湖南名校2021届高三第二次（12月）联考数学试卷学校：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设集合{}2 2 0 ,0{|}| 3A x x x B x x =-->=<< , 则A B ⋂=（ ） A. ()0,2 B.()1,2C. (0,3)D. ()2,32.若i32ia -+为纯虚数,则实数a 的值为（ ） A.32-B.23-C.23D.323.平面向量 1,2 ,()||3,6==⋅=-a b a b ，则向量,a b 夹角的余弦值为（ ）A. B. C.15D.454.《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ ）A.18B.14 C. 38D.125.已知两个变量具备线性相关性，现通过最小二乘法求回归直线方程ˆˆˆy bx a =+, 将已知数据代入公式 Q =21()nii i ybx a =--∑计算后得到的代数式为：223131223a b ab b ++-+, 使上述代数式取值最小的,a b 的值即为回归方程的系数，则回归直线方程为（ ）A.ˆ2y x =-+B.ˆ2y x =--C.ˆ2yx =+D.ˆ2yx =- 6.某单位有 6 名员工,2020 年国庆节期间,决定从 6人中留 2人值班,另外 4人分别去张家界 、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游.要求每个景点有 1 人游览,每个人只游览一个景点 ,且这 6 个人中甲、乙不去衡山,则不同的选择方案共有（ ） A.120种B.180种C.240种D.320种7.已知数列{}n a 前 n 项和为n S ,命题()1:2n n n a p S α+=,命题:{}n q a 为等差数列 ,则p 是 q 成立的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知 ,A B 分别为椭圆22:14x C y +=的 左 、右顶 点 ,P 为椭圆 C 上一动点,, PA PB 与直线3x =交于 , M N 两点,PMN △与PAB △的外接圆的周长分别为12,L L ,则12L L 的最小值为（ ）D.14二、填空题9.已知函数2log ,0,()22,0,x x x f x x ->⎧=⎨+⎩≤，则1(())2f f = ．10.某圆锥母线长为4，其侧面展开图 为半圆面，则该圆锥高为 ．11.已知三棱锥 P ABC -外接球的表面积为 100π,PB ⊥平面,8 120ABC PB HAC =∠=︒，, 则三 棱锥 P ABC -体积的最大值为 ．12.如图，已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A B ，两点．若120AOB OAB ∠=︒，△内切圆的半径r=5b-，则双曲线的离心率为 ．三、多项选择题13.空气质量指数大小分为五级 ．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在：[][][][][] 0, 5051, 100101, 200 , 201, .300 , 301,500，， 分别对应“优”、“良”、“ 轻(中 )度 污染”、“ 中度(重 )污染”、“重污染”五个等级．下面是某市连续 14 天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有（ ）A.这14 天中有 4 天空气质 量指数 为“良”B.这 1 4天中空气 质量指数的中位数是 103C.从 2 日到 5日空气质量越来越差D.连续三天中空气质量指数方差最小的是 9日 到 11日14.设动点 P 在正方体1111ABCD A B C D -上(含内部),且11D P D B λ= ,当APC ∠为锐角时,实数λ可能的取值是（ ） A.12B.13C.14 D.1515.在ABC △中，下列说法正确的是（ ） A.若 A B >, 则 sin sin A B >B. 存在ABC △满 足cos cos 0A B +≤C.若 sin cos A B <, 则ABC △为钝角三角形D.若π2C >，则22sin sin sin C A B >+ 16.已知220,()e e ,()()sin πx x a m x f x am x x -->=-=-，若()f x 存在唯一零点，下列说法正确的有（ ）A.()m x 在 R 上递增B.()m x 图象关于点(2,0)中心对称C.任取不相等的实数12,x x R ∈ 均有1212()()()22m x m x x xm ++<D.2a π≥四、解答题17.在①212(1)n n n S S S --+=+；②1212n n n S S a ++++=-；③1(1)nn S a n n+=-+这三个条件中任选一个，补充在下面的问 题中，并解答该问题．问题：已知数列{}n a 的 前 n 项 和为 1,1n S a =， ，若确定{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式，否则，说明理由．18.在ABC △中，,153B AB π∠==，点 D 在边BC 上，11,cos 26CD ADC =∠=.(1) 求 sin BAD ∠; (2) 求ABC △的面积.19.四棱锥 P ABCD - 的底面 ABCD 是边长为2 的菱形， 120,BAD PA ∠=︒⊥底面,ABCD PA=, E F 分别是,PC PD 的中点．(1 ) 已知BG BC λ=, 若平面 //EFG 平面PAB ,求l 的值；(2) 在(1)的条件下，求平面 EFG 与平面PCD 所成二面角的正弦值．20.已知 ,A B 分别 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点 ，过点()2,0M 任作一条非水平直线交椭圆于 ,P Q 两点，若椭圆长轴长为 8,且过点． (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 记直线 ,AP BQ 的斜率分别为12k k ，，则12k k 是否为定值，若是，求出该定值．若不是，请说明理由．21.有编号为 1 , 2, 3 的三只小球，和编号为 1, 2 , 3 , 4 的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立． (1) 求三只小球恰在两个盒子中的概率；(2) 求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率； (3) 记录至少有一只球的盒子．以X 表示这些盒子编号的最大值，求EX . 22.已知2()e (21)e x x f x a a x =+--, a 为常数．(1) 讨论()f x 的单调性；(2) 若0x ≥时，()(31)cos f x a x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1.答案：D解析：{2A x x =>∣或1}x <-，则(2,3)A B =∩. 2.答案：C 解析：(i)(32i)(32)(23)i i 32i (32i)(32i)13a a a a ----+-==++-,则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =. 3.答案：B解析：cos ||||θ⋅===a b a b 4.答案：C 解析：38m p n ==. 5.答案：D解析：222231312233(2)(1)2a b ab b a b b ++-+=++-+,当2010a b b +=⎧⎨-=⎩，即21a b =-⎧⎨=⎩时上式最小，故ˆ2yx =-. 6.答案：C解析：以地点为对象，依次考虑各景点可能人数：4543240N =⨯⨯⨯=. 7.答案：C解析：若p 成立，则()12n n n a a S +=，则()111(1)2n n n a a S ++++=，两式相减得：()()1111(1)22n n n n a a n a a a +++++=-，即11(1)0n n n a na a +--+=，于是，211(1)0n n na n a a ++-++=，再将以上两式相减得：2120n n n na na na ++-+=， 即2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 为等差数列，故命题q 成立；而q 成立，p 显然成立. 8.答案：A解析：容易知道14PA PB k k ⋅=-，设1:(2),:(2)4PA PB l y k x l y x k=+=--，令3x =得15,4M N y k y k ==-，不妨设0k >，则154MN k k=+，设PMN △和PAB △外接圆的半径分别为12,r r ，由正弦定理得122,2sin sin MN ABr r MPN APB ==∠∠，又180MPN APB ︒∠+∠=，所以111222125524424k k L r r MN kL r r ABππ⋅+=====9.答案：4解析：(1)2111log 1,(1)224222f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 10.答案：解析：圆锥底面半径2,r h ===11.答案：解析：设ABC △三边的长分别为11,,,sin120832a b c V bc ︒=⋅⋅=，设球的半径为R ，由24100R π=π，得225R =，设ABC △外接圆的半径为r ，由正弦定理得2sin120a r ︒=，即222,425r R ⎫==+⎪⎪=⎝⎭，所以22272cos120a b c bc ︒==+-⋅，即222723b c bc bc bc bc =+++=，故23239,963bc V bc =⨯=，当且仅当3b c ==时取等号. 12.解析：由焦点F 到渐近线的距离为,120b OAB ︒∠=知AF =， 在OAF △中，由余弦定理得2222cos120OF OA AFOA AF ︒=+-⋅⋅⋅，即2222cos120c OA OA ︒⎫=+-⋅⋅⎪⎪⎝⎭，解得OA a =-， 设OAB △内心为M ，作MN OA ⊥于N ，显然60,MAO MN r ︒∠===， 则AN ==ON OA AN a=-=-，tan MNMON ON ∠===b e a ==. 13.答案：ACD解析：14天中有：1日，3日，12日，13日空气质量指数为良，共4天，故A 对； 14天中的中位数为86121103.52+=，故B 错误；从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故C 对；D 答案显然成立. 14.答案：CD解析：设1,AP x D P t ==，设正方体的棱长为1，则AC APC △中，由余弦定理得2222221cos 2x x x APC x x +--∠==，若APC ∠为锐角，则2210x x ->，则21x >，在1AD P △中，11cos AD AD P =∠=2222x t t =+-⋅于是2221t t +->，即2330t -+>，解之得：t >t <，由1D B =1λ>（舍）或103λ<<.15.答案：ACD 解析： 16.答案：ABD 解析：17.答案：若选①，由()2121n n n S S S --+=+成立，则必须n ≥3， 此时1122n n n n S S S S ----=-+，即12(3)n n a a n -=+， 这只能说明数列{}n a 从第2项开始构成等差数列， 数列通项公式无法确定。

湖南省部分学校联考2021届高三考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、单选题：共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{|35},{|10}A x x B y y =∈-<<=+>Z ，则A B 的元素个数为A.0B.3C.4D.52．函数32()71f x x x =-+的图象在点(4,(4))f 处的切线斜率为 A.8-B.7-C.6-D.5-3．10371x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为A.120B.45C.120-D ．45-4．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x 时，()lg(31)1f x x =+-，则不等式()0f x >的解集为A.(3,0)(3,)-+∞ B.(3,)+∞C.(3,3)-D.(,3)(3,)-∞-+∞5． 双十一是指由电子商务为代表的，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢节.已知某一家具旗舰店近五年双十一的成交额如下表:若y 关于t 的回归方程为ˆˆ12yt a =+，则根据回归方程预计该店 2021 年双十一的成交额是 A.84万元 B.96万元 C.108万元 D.120万元6．跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要A.16天B.17天C.18天D.19天7． 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆。

2021年高三数学联考试题理（含解析）湘教版【试卷综述】全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查.全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、旋转体、简易逻辑试卷都有所考查.在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识.明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1、已知，则复数是虚数的充分必要条件是（）A. B. C. D. 且【知识点】复数的意义；充要条件. L4 A2【答案】【解析】C解析：根据虚数的定义：复数（），当时，是虚数.故选C.【思路点拨】根据虚数的定义得结论.【题文】2．函数的定义域是（）A．[-1，4] B． C．[1，4] D．【知识点】函数定义域的求法；一元二次不等式的解法. B1 E3【答案】【解析】D 解析：由，故选 D.【思路点拨】根据函数定义域的意义，得关于x的不等式组，解此不等式组即可.【题文】3．已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.3【知识点】函数值的意义；集合运算. B1 A1【答案】【解析】C 解析：∵A={0,1,2,3}，B={x|x=2a ，a ∈A}，∴B={0,2,4,6}， ∴A ∩B={0,2}，故选C.【思路点拨】由函数值的意义得集合A 中元素，从而A ∩B.【题文】4、设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（ ） A.8 B.7 C.6 D.5 【知识点】等差数列及其前n 项和. D2【答案】【解析】A 解析：由a 1=1，a 3=5得d=2,所以S k+2﹣S k =()()121221221236k k a a a k d k +++=++=++⨯=，解得:k=8,故选A. 【思路点拨】由等差数列的通项公式，前n 项和公式求得结论.【题文】5.已知函数是上的奇函数,且在区间上单调递增,若255(sin),(cos ),(tan )777a fb fc f πππ===,则 （ ） A. B. C. D.【知识点】函数单调性的应用；数值大小的比较. B3 E1 【答案】【解析】B 解析：∵，∴<0,又，∴，∵函数是上的奇函数,且在区间上单调递增，∴函数是上的增函数，∴.故选B 【思路点拨】先判断的大小关系，再利用函数的奇偶性、单调性确定结论. 【题文】6 ．由直线,,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是 （ ） A. B. C. D. 【知识点】定积分；微积分基本定理. B13 【答案】【解析】A 解析：，故选A.【思路点拨】根据定积分的几何意义，及微积分基本定理求解.【题文】7．已知点分别是正方的棱的中点，点分别在线段上. 以为顶点的三棱锥的俯视图不可能是（ ）【知识点】几何体的三视图. G2【答案】【解析】C 解析：当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与重合时，三棱锥的俯视图为A；当M、N、Q、P是所在线段的中点时为B；当M、N、P是所在线段的非端点位置，而E与B重合时，三棱锥的俯视图有选项D的可能.故选C.【思路点拨】由运动变化的观点，分析三棱锥的俯视图的可能情况，从而得出其不可能情况. 【题文】8.运行如左下图所示的程序，如果输入的n是6，那么输出的p是（）A.120B.720C.1440D.5040 【知识点】算法与程序. L1 L2【答案】【解析】 B 解析：程序运行的过程为：（1）p=1,k=2;(2)p=2,k=3;(3)p=6,k=4;(4)p=24,k=5;(5)p=120,k=6;(6)p=720,k=7,这时不满足，所以输出的p是720 ，故选B.【思路点拨】根据程序描述的意义，依次写出每次循环的结果即可.【题文】9、函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A.[6K-1，6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)【知识点】函数的图像与性质. C4【答案】【解析】 B 解析：由图可得,又最低点 B(2,-2),所以7222,326k k k Z πππϕπϕπ⨯+=-⇒=-∈，因为0≤φ≤π，所以 ，即，解不等式得f （x ）的递增区间是[6k-4,6k-1] (K ∈Z).故选B.【思路点拨】先根据图像求得函数解析式，再利用正弦函数的单调区间求f （x ）的递增区间.【题文】10、已知，曲线恒过点，若是曲线上的动点，且的最小值为，则 ( ).A. B.-1 C.2 D.1【知识点】指数函数的定点性；向量数量积的坐标运算；导数的应用. B6 F2 F3 B12 【答案】【解析】D 解析：根据题意得B(0，1),设，则()()1,11,1ax ax AB AP x e x e ⋅=-⋅-=-++，即函数有最小值0.因为，所以当a 时f(x)无最小值；当a>0时，有时f(x)=0,即，显然a=1是此方程的解，故选D.【思路点拨】易得B （0,1），设出点P 坐标，利用向量数量积德坐标运算，转化为函数最值问题，再利用导数求函数取得最值得条件.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．【题文】11、已知各项均为正数的等比数列中，则 。

2021届湖南省五市十校教研教改共同体高三上学期10月大联考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷共4页,22题。

全卷满分150分,考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号填入相应位置内。

2.客观题请用2B 铅笔填涂在答题卡上,主观题用黑色的签字笔书写在答题卡上。

3.考试结束时,只交答题卡,试卷请妥善保管。

一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|x>3},B ＝{x|0<x ≤2},则A ∩(R B)＝A.{x|2<x<3}B.{x|x>3}C.{x|x>2}D.{x|x ≤0}2.已知12a i i+-＝i(i 为虚数单位,a ∈R),则a ＝ A.－2 B.－1 C.1 D.23.已知tan α＝－13,则2cos sin cos ααα-+的值为 A.－3 B.－34 C.－43 D.344.已知a ＝123,b ＝12log 3,c ＝(12)3,则 A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b5.已知{a n }是公差为1的等差数列,且a 4是a 1与a 10的等比中项,则a 1＝A.0B.1C.3D.26.曲线y ＝x －x 2在点(1,0)处的切线方程是A.x －2y －1＝0B.x ＋2y －1＝0C.x －y －1＝0D.x ＋y －1＝07.已知a,b 为单位向量,且(2a －b)⊥b,则|a －2b|＝- 2 - 8.已知曲线C 1：y ＝sin(2x －3π),C 2：y ＝cosx,则下面结论正确的是 A.先将曲线C 2向左平移3π个单位长度,再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标保持不变,便得到曲线C 1B.先将曲线C 2向右平移3π个单位长度,再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变,便得到曲线C 1 C.先将曲线C 2向左平移56π个单位长度,再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变,便得到曲线C 1D.先将曲线C 2向右平移56π个单位长度,再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标保持不变,便得到曲线C 1二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

2021年高三第二次模考理科数学命题人： 审题人：试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1．设集合}30|{<≤=x x M ，}043|{2<--=x x x N ，则集合N M 等于A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x ≤≤C ．{|03}x x ≤<D ．{|03}x x ≤≤2．复数22 ()i （其中i 为虚数单位）的虚部等于 A ．i -B ．1-C ．1D ．03．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为 A .7B.6 C .5D.44．在ABC ∆中，“()sin()cos cos sin 1A B B A B B -+-≥”是“ABC ∆是直角三角形”的 A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32， 则正视图中的x 的值是 A.2 B.92 C.32D.3 6．若数列{}n a 满足110n npa a +-=，*,n N p ∈为非零常数，则称数列{}n a 为“梦想数列”. 已知正项数列1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且99123992b b b b =，则892b b +的最小值是A ．2B ．4C ．6D ．8 7．定积分1(2)x x dx -⎰的值为A.4π B.2πC.πD.2π 8．已知双曲线2221(0)9x y b b-=>，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点分别记作C 、D ,双曲线的右顶点为E ,150=∠CED ，其双曲线的离心率为 A 23．32C 3239. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数， 则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞ C ．()(),01,-∞+∞ D ．()3,+∞10．已知(1,0)A ，曲线:C e ax y =恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP ⋅的最小值为2，则a 的值为A.2-B.1-C.1D.2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分） 11.在极坐标系中，定点)2,2(πA ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动，则线段AB 长度的最小值为__________．12.如图,PAB 、PCD 为圆O 的两条割线,若5PA =，7AB =，11CD =，2AC =，则BD =.13.若不等式2373x x a a ++-≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是. （二）必做题（14~16题）14.某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布2(105,10)N ，已 知(95105)0.34p X ≤≤=，估计该班学生数学成绩在115分以上的有_______ 人.15. 已知点),(y x P 满足条件0,,20x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数），若3z x y =+的最大值为8，则k =.16.设()f x 是定义在R 上的增函数，对于任意的x 都有(1)(1)0f x f x -++=恒成立，若实数,m n满足22(623)(8)03f m m f n n m ⎧-++-<⎨>⎩，则22m n +的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)已知向量()sin ,cos x a x ωω→=，()cos 3x b x ωω→=，其中0>ω，若函数3()f x a b →→=⋅的最小正周期为π.（Ⅰ）求函数()x f 的单调递增区间；（Ⅱ）如果ABC ∆的三边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，且满足bc a c b 3222+=+, 求()A f 的值.18．（本小题满分12分）从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：（Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；（Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率；（Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面ABC ，侧棱1AA 与底面ABC 成60°的角，12AA =．底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为G 点， E 是线段1BC 上一点，且113BE BC =．（Ⅰ）求证：GE //侧面11AA B B ； （Ⅱ）求平面1B GE 与底面ABC 所成 锐二面角的正切值． 20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{b }n 是等比数列，113a b =，且对任意的+∈N n ，都有1112233(21)334n n n n a b a b a b a b +-+++++=…．（Ⅰ）求数列{}n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{b }n 的首项为3，公比为3，设11(1)2n a n n n c b λ+-=+-⋅，且对任意的+∈N n ，都有1n n c c +>成立，求实数λ的取值范围．21．(本小题满分13分)已知抛物线Γ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线Γ相交于M 、N 两点，且|MN |=4．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若点P 是抛物线Γ上的动点，点B 、C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．22．(本小题满分13分) 已知函数()ln f x x mx m =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的0a b <<，求证：()()1(1)f b f a b a a a -<-+．怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2021年高三二模 理科数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 89 10答案C BD A C B A D A C二、填空题 11、3 ； 12、6； 13、[]2,5-；14、 8 ； 15、6-； 16、(13,49). 三、解答题17解：（Ⅰ）因为()()sin ,cos cos 333)22o (s x x x f x a x b ωωωω→→=-=⋅⋅- 2sin cos 33s 2o x x x ωωω+-=3(cos 213sin 12)222x x ωω++-= sin(32)x πω+=……………………… 2分由()f x 的周期为π得 1ω=，即()sin 2)3(x f x π=+………… 4分由22(23)22x k k k Z πππππ+≤-≤+∈解得)(12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ， 所以()f x 的单调增区间为)(]12,125[Z k k k ∈+-ππππ…………………6分 （Ⅱ）由已知bc a c b 3222+=+及余弦定理2222cos a b c bc A =+-可知3cos A =8分 因为(0,)A π∈， 所以6A π=………………… 10分所以 3()()si 3n62f A f ππ===………………… 12分 18解：（Ⅰ）至少有一名女同学的概率为310361C C -.65611=-=…………… 4分（Ⅱ）同学甲被选中的概率为,10331029=C C则同学甲被选中且通过测试的概率为0.3×0.7=0.21 ………… 8分（Ⅲ）根据题意，ξ的可能取值为0、1、2、3，31)0(31034===C C P ξ，103)1(3102416===C C C P ξ， 21)2(3101426===C C C P ξ 61)3(31036===C C P ξ所以，ξ的分布列为：8.161321210313010)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………12分 19解法1：（Ⅰ）延长B 1E 交BC 于点F ，11B EC ∆∽△FEB ，BE =21EC 1，∴BF =21B 1C 1=21BC ，从而点F 为BC ∵G 为△ABC 的重心，∴A 、G 、F 三点共线．且11//,31AB GE FB FE FA FG ∴==， 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ，∴GE //侧面AA 1B 1B （Ⅱ）在侧面AA 1B 1B 内，过B 1作B 1H ⊥AB ，垂足为H ，∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，∴B 1H ⊥底面ABC ． 又侧棱AA 1与底面ABC 成60°1=2，∴∠B 1BH =60°，BH =1，B 1H =.3在底面ABC 内，过H 作HT ⊥AF T ，连B 1T ，由三垂线定理有B 1T ⊥AF ， 又平面B 1CE 与底面ABC 的交线为AF ，∴∠B 1TH 为所求二面角的平面角． ∴AH =AB +BH =3，∠HAT =30°，∴HT =AH 2330sin =︒． 在Rt △B 1HT 中，332tan 11==∠HT H B TH B ， 从而平面B 1GE 与底面ABC 成锐二面角的正切值为233…………… 12分解法2：（Ⅰ）∵侧面111成60°的角，∴∠A 1AB =60°，又AA 1=AB =2，取AB 的中点O ，则AO ⊥底面ABC ． 以O 为原点建立空间直角坐标系O —xyz 如图，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，()3,0,0C，()10,0,3A ，()10,2,3B ，()13,1,3C ．∵G 为△ABC 的重心，∴3,0,03G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 113BE BC =，∴33,1,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴1310,1,33CE AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭．又GE ⊄侧面AA 1B 1B ，∴GE //侧面AA 1B 1B ． ……………5分（Ⅱ）设平面B 1GE 的法向量为(,,)a b c =n ，则由10,0.B E GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得3230,3330.3a b c b c ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可取()3,1,3=-n 又底面ABC 的一个法向量为()0,0,1=m设平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为θ，则21cos ||||7θ⋅==⋅m n m n ．由于θ为锐角，所以227sin 1cos 7θθ=-=，进而23tan 3θ=．故平面B 1GE 与底面ABC 成锐二面角的正切值为233…………… 12分20解：（Ⅰ）因为 1112233(21)33a 4n n n n b a b a b a b +-+++++=…，当2n ≥时，11223311(23)33a 4n n n n b a b a b a b ---+++++=…，两式相减，得 3nn n a b n =⋅（2n ≥），又当1n =时，11a 3b =，适合上式，从而3nn n a b n =⋅（n N +∈） …………… 5分（Ⅱ）因为数列{b }n 的首项为3，公比为3，故3nn b =，n a n =，所以1111(1)23(1)2n a n n n n n n c b λλ+--+=+-⋅=+-⋅．因为对任意的n N +∈，都有1n n c c +>成立， 即12113(1)23(1)2n n n n n n λλ++-++-⋅>+-⋅恒成立，化简得 113(1)()32n n λ--<⋅…………… 9分当n 为奇数时，13()32n λ<⋅恒成立，所以113()32λ<⋅，即12λ<， 当n 为偶数时，13()()32n λ>-⋅恒成立，所以213()()32λ>-⋅，即34λ>-，综合可得31(,)42λ∈-…………… 13分21解：（Ⅰ）已知(,0)2p F ，则过点F 且斜率为1的直线方程为2py x =-．联立222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 得： 22304p x px -+=， 设()1122(,),,M x y N x y ，则 123x x p +=， 所以 |MN |=124x x p p ++==4， 解得p=1．所以抛物线Γ的方程为22y x =………………………… 5分 （Ⅱ）设000(,)(0),(0,),(0,)P x y x B b C c ≠，不妨设b>c ，直线PB 的方程为 00y by b x x --=， 化简得 000()0y b x x y x b --+=，又圆心（1,0）到直线PB 的距离为1， 故()0022001()y b x =-+-，即22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+， 不难发现02x >，上式又可化为2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=， 所以b ，c 可以看做关于t 的一元二次方程2000(2)20x t y t x -+-=的两个实数根，则00002,(2)(2)y x b c bc x x --+==--，所以 ()2222000204(2)()4(2)x y x b c b c bc x +--=+-=- 因为点00(,)P x y 是抛物线Γ上的点，所以2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，又02x >，所以0022x b c x -=-． 所以20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--， 当且仅当04x =时取等号，此时022y =±，所以PBC ∆面积的最小值为8 ………………………… 13分 22解：（Ⅰ）'11()((0,))mxf x m x x x-=-=∈+∞， 当0m ≤时，'()0f x >恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 此时函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0m >时，由'11()0mxf x m x x-=-=>，得1(0,)x m ∈，由'11()0mx f x m x x -=-=<，得1(,)x m∈+∞，此时()f x 的单调递增区间为1(0,)x m ∈，单调递减区间为1(,)m+∞…………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当m ≤0时，f （x ）在(0,)+∞上递增，f （1）=0，显然不成立；当m ＞0时，max 11()()ln 1ln 1f x f m m m m m==-+=-- 只需ln 10m m --≤即可， 令()ln 1g x x x =--， 则'11()1x g x x x-=-=，(0,)x ∈+∞ 得函数()g x 在（0,1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∴min ()(1)0g x g ==()0g x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，也就是ln 10m m --≥对(0,)m ∈+∞恒成立，∴ln 10m m --=，解1m =，∴若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，则1m =…………… 8分（Ⅲ）证明：ln()()ln ln ln ln 1111b f b f a b a a b b a a b b a b a b a a a--+--==-=⋅-----，由（Ⅱ）得()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时去等号，又由0a b <<得1ba>， 所以有 0ln 1b b a a <<-， 即ln11ba b a<-． 则2ln1111111(1)(1)1b a a a b a a a a a a a a--⋅-<-==<++-， 则原不等式()()1(1)f b f a b a a a -<-+成立 …………… 13分。