湖南省五市十校2020届高三上学期第二次联考 数学(理)试题答案

湖南省五市十校2020年下学期高三年级第二次大联考试题化学可能用到元素的相对原子质量：H 1 O 16 Na 23 Mg 24 S 32 Te 128 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1. 2020年7月23日我国首个火星探测器“天问一号”发射成功。

火星车所涉及的下列材料中属于金属材料的是( )A. 用石墨纤维和硅制成的太阳能电池复合材料B. 温控涂层材料的成分聚酰胺C. 用钛合金做的车轮材料D. 探测仪镜头材料用的二氧化硅2. 设N A 为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是( )A. 4120.0g NaHSO 与4MgSO 的固体混合物中含有的离子总数大于2N AB. 含30.1mol CH COONa 的溶液与适量的3CH COOH 混合使溶液的pH 7=，则3CH COO -的个数为0.1N AC. 0.1mol Fe 恰好溶解在100mL 某浓度的硝酸溶液中，该反应转移的电子数为0.3N AD. 标准状况下，22.24L Cl 溶于水转移电子的数目为0.1N A 3. 下列对化学用语的描述中，正确的是( ) A. 羟基与氢氧根离子的电子式都可表示为：B. 2S -的结构示意图：C. 由Na 与Cl 形成NaCl 的过程：D. HClO 的结构式：H Cl O --4. 下列对实验现象解释的方程式中，正确的是( )A. 向醋酸中加入小苏打溶液，产生无色气体：2333222CH COOH CO 2CH COO CO H O --++===↑+ B. 向4NaHSO 溶液中加入足量的2Ba(OH)溶液，得到白色沉淀：224422H SO Ba2OH BaSO 2H O ===+-+-+++↓+ C .向AgCl 悬浊液中滴入2Na S 溶液，生成黑色沉淀：22=2S ==Ag S Ag +-+↓ D. 向铬酸钾溶液中滴入少量浓硫酸，溶液变橙色：2-+2-47222O CrO ()+)2HC O (H r +色黄色橙5. 实验室提纯含少量氯化钠杂质的硝酸钾的过程如图所示，下列分析错误的是( )A. 操作Ⅰ是溶解，操作Ⅱ是蒸发浓缩B. 若从分离出固体的滤液中获得NaCl 晶体，可再降温结晶C. 操作Ⅲ是降温结晶→过滤→洗涤→干燥，使硝酸钾晶体从溶液中分离岀来D. 除去3KNO 中NaCl 的原理是二者溶解度受温度变化影响不同 6. 已知某有机物X 的结构简式如图所示，下列说法正确的是()A. X 属于芳香烃的含氧衍生物B. X 的分子式为10163C H OC. X 分子只含有两种官能团D.X 分子可发生取代、消去、加成、氧化、缩聚反应 7. 二氧化硫—空气质子交换膜燃料电池将化学能转变成电能的同时，实现了制硫酸、发电、环保三位一体的结合，降低了成本提高了效益，其原理如图所示(注：质子指H +，质子交换膜仅允许H +通过)。

2020届湖南省五市十校高三第二次联考数 学 试 题（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分. 在每小题的四个选项中只有一个选项是正确的.）1. 已知全集,U R =2{|2}M x x x =-≥则U C M =（ ）A.{|20}x x -<<B.{|20}x x -≤≤C.{|20}x x x <->或D.{|20}x x x ≤-≥或2.设复数z 满足(1)i z i +=（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A.12B. 2C.1D.3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（ ）A. B. C. D.4.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，2()log (1),f x x =-则(7)f =( ) A. 3- B. 2log 6 C. 3 D. 2log 6-5.几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）A.B.C. D.6.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37101145,7,a a a a a +-=-=则13S =( )A. 152B. 154C. 156D. 1587.在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为( )A. 4B. 3C. 4D. 58.已知函数()32cos f x x x =+,若a f =(2),b f =2(log 7),c f =则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. c a b <<C.b a c <<D. b c a <<9.执行右面所示的程序框图,则输出的n 值是（ ） A. 5 B. 7 C.9 D. 1110.如右下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为 棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三 点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的 部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111A B C D所成角为α，则sin α的最大值为（ ）A.2 B. 5C.5 D. 611.函数()tan()f x x ωϕ=+(0||,0)2πϕω<<>某相邻两支 图象与坐标轴分别交于点2(,0),(,0),63A B ππ则方程 ()cos(2),[0,]3f x x x ππ=-∈所有解的和为（ ）A.56πB. 2πC. 512πD.4π12.过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若10,MF MN +=则曲线1C 的离心率为（ ）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.若实数,x y 满足210,220x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为 .14.将多项式656510a x a x a x a ++++分解因式得5(2)(),x x m -+m 为常数，若57a =-，则0a = .15. 如右图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆222x y +=及x 轴围成的封闭图形.在圆内随机取一点，则此点取自则阴影部分的概率为 . 16. 设锐角ABC ∆三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,若cos cos )2sin ,1,a B b A c C b +==则c 的取值范围为 ．三.解答题(本大题共5小题,共70分.) 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112,420(2,)n n a S S n n N -=--=≥∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，n T 为{}n b 的前n 项和，求证：112nk kT =<∑.18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面四边形ABCD 为直角梯形，,AD BC λ=//,90,AD BC BCD ∠=M 为线段PB 上一点.(1)若13λ=，则在线段PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ?若存在，请确定M 点的位置；若不存在，请说明理由(2)己知2,1PA AD ==，若异面直线PA 与CD 成90角，二面角B PC D --的余弦值为10-，求CD 的长.19．(本小题满分12分)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全 文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习 惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市 建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X (单 位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图． (1) 求这200名学生每周阅读时间的样本平均 数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该 组区间的中间值代表)；(2) 由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X 服从正态分布()2Nμσ，，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．(i) 一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若()()()2~,,~0,1X a X N Y Y N P X a P Y μμμσσσ--⎛⎫=≤=≤ ⎪⎝⎭令，则，且．利用直方图得到的正态分布，求()10P X ≤.(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记Z 表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求()2PZ ≥(结果精确到0.0001)以及Z 的数学期望．参考数据：()()1940,0.77340.0076.~0,10.750.77343Y N P Y ≈≈≤=若，则20. (本小题满分12分)已知(2,0),(2,0),A B -点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为34-． (1)求动点C 的轨迹方程；(2)设直线l 与（1）中轨迹相切于点P ，与直线4x =相交于点,Q 且(1,0),F 求证：90.PFQ ∠=21. (本小题满分12分)已知函数2()8ln ().f x x x a x a R =-+∈（1）当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点； （2）当函数()f x 有两个极值点1212,(),x x x x <且11x ≠时，总有21111ln (43)1a x t x x x >+--成立，求t 的取值范围．请考生在22～23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ=+，点)4πR . （1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标； （2）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值及此时P 点的直角坐标.23. (本小题满分10分)已知2()=|24|.f x x x a +-+ （1）当=3a -时，求不等式2()||f x x x >+的解集；（2）若不等式()0f x ≥的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.理数答案一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分. 在每小题的四个选项中只有一个选项是正确的.） CBBAB ，CCDCB ，AA二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.1 14.2 15. 11812π- 16.三.解答题(本大题共5小题,共70分.)17. 【解析】（1）当3n ≥时，可得()()11242420n n n n S S S S --------=-----------2分即得14n n a a -=又因为12a =，代入1420n n S S ---=可得28a =满足上式，所以数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列 ----------5分 故121242n n n a --=⋅=. ----------6分 （2）证明：2122log 221,13(21)n n n b n T n n -==-=+++-=----------8分222111111111121223(1)nk kT n n n ==+++≤++++⨯⨯-⨯∑ 111111111(1)()()()2 2.223341n n n=+-+-+-++-=-<- ----------12分18. 【解析】(1) 存在，M 为PB 上的一个三等分点，且靠近点P --------1分 证明如下：在PC 上取靠近点P 的三等分点N ，连接,MN .DN则//BC MN 且13MN BC =------------2分 由已知，AD//BC 且13AD BC =所以，//,MN AD MN AD =所以，四边形MNDA 是平行四边形--------3分 所以，//AM ND又ND PCD ⊂平面所以，//AM 平面PCD --------5分B（2）∵,,PA AD PA CD ADCD D ⊥⊥=则,PA ABCD ⊥平面以点A 为坐标原点，以AD AP 、所在的直线分别为y 轴、z 轴，过点A 与平面PAD 垂直的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系， ………………6分 则(0,0,2),P (0,1,0),D C(,1,0),t 1B(,1,0),t λ-则1BC (0,2,0),λ=-PC (,1,2),t =-CD (,0,0),t =- 设平面PBC 和平面PCD 的法向量分别为1111(,,),n x y z =2222(,,).n x y z =.由1,n BC ⊥，1,n PC ⊥得110,0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111(2)0,20y tx y z λ⎧⋅-=⎪⎨⎪+-=⎩ 令1=1,x 则1=,2t z 故1(1,0,),2t n = ………………8分同理可求得2(0,2,1).n = ………………10分 于是1212cos =,||||n n n nθ⋅⋅||t =解之得=2t ±（负值舍去），故=2.t ∴ 2.CD = ………………12分19.【解析】（1）60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …2分 22222(69)0.03(79)0.1(89)0.2(99)0.35s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ 222(109)0.19(119)0.09(129)0.04 1.78+-⨯+-⨯+-⨯= …………4分（2）(i)由题知9μ=，2 1.78σ=，∴(9,1.78)XN .4103σ==≈. ……………………5分109(10)()(0.75)0.773443P X P Y P Y -≤=≤=≤=. ……………………7分 （ⅱ）由(i)知(10)1(10)0.2266P X P X >=-≤=， ……………………8分可得(20,0.2266)ZB ,(2)1(0)(1)P Z P Z P Z ≥=-=-=201192010.77340.22660.77341(0.7734200.2266)0.0076C =--⨯=-+⨯⨯0.9597≈ ……………………10分Z 的数学期望200.2266 4.532EZ =⨯=. (12)分20. 【解析】（1）设，则依题意得，又，，所以有，整理得，即为所求轨迹方程.…………4分 （2）设直线：，与联立得，即， ………………5分 依题意，即， ………………6分∴，得1224,34km x x k-⋅=+ ………………7分∴， ………………8分而，得， ………………9分又， ………………10分又，则. ………………11分知，即. ………………12分21. 【解析】 (1) 228()(0)x x a f x x x-+'=>，(1)0f '=， 6.a =则 ……………2分 213)()(0)x x f x x x-⋅-'=>（）（从而，(0,1)x ∈所以时，()0f x '>，()f x 为增函数， (1,3)x ∈时，()0f x '<，()=1f x x 为减函数，所以为极大值点.………………4分 （2）函数()f x 的定义域为(0+)∞，，有两个极值点1212,x x x x <（）， 则2()280t x x x a =-+=在(0+)∞，有两个不等的正实根，所以08.a << ……5分 从而问题转化为在102x <<且11x ≠时21111ln (43)1a x t x x x >+--成立.即证11112ln (+1)1x x t x x ⋅>- 即证11112ln (+1)0.1x x t x x ⋅->-亦即证 211111(1)[2ln ]0.1x t x x x x -+>- ① ………………8分 令2(1)()2ln 02).t x h x x x x -=+<<（则22+2()02).tx x t h x x x+'=<<（……………9分 1) 当0t ≥时，()0,h x '>则()h x 在0,2)（上为增函数且(1)0,h =①式在1,2)（上 不成立. ………………10分 2)当0t <时，2=44,t ∆-若0,∆≤即1t ≤-时，()0,h x '≤，所以()h x 在0,2)（上为减函数且(1)0,h = 211111(1)2ln 1x t x x x x -+-、在区间0,1)（及,2)（1上同号，故①式成立. ………………11分 若0,∆>即10t -<<时，2+2y tx x t =+的对称轴11x t =->， 令1min{,2},a t=-则1x a <<时，()0,h x >不合题意. 综上可知：1t ≤-满足题意. ………………12分22. 【解析】（1）cos ,sin x ρθy ρθ==Q ，∴曲线C 的直角坐标方程为221,3x y += ………………2分点R 的直角坐标为(2,2)R . ………………4分（2）设,sin )P θθ，根据题意可得||2PQ θ=-,||2sin QR θ=-,||||42sin(60PQ QR θ∴+=-+. ………………6分 当30θ=o 时，||||PQ QR +取的最小值2，故矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为31(,)22. ………………10分23. 【解析】（1）当3a =-时，2()=|24| 3.f x x x +-- ∴2()>|||24|||30f x x x x x +⇔--->，010x x ≤⎧⇔⎨-+>⎩或02310x x <≤⎧⇔⎨-+>⎩或270x x >⎧⇔⎨->⎩ 0x ⇔≤或103x <<或7x > ………………4分∴当3a =-时，不等式2()>||f x x x +的解集为1(0,)(7,).3+∞ ………………5分（2）∵()0f x ≥的解集为实数集R ⇔2|24|a x x ≥---对x R ∈恒成立.又2222224,2(1)3,2()|24|,24,2(1)5,2x x x x x g x x x x x x x x ⎧⎧-+-≤---≤⎪⎪=---==⎨⎨--+>-++>⎪⎪⎩⎩ ∴max ()(1)3g x g ==- ………………9分 ∴3a ≥-，故a 的取值范围是[3,)-+∞. ………………10分。

湖南省五市十校2020-2021学年高三上学期第二次联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合|01x M x x ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，{}|02N x x =<<，则M N =（ ） A ．{}|01x x < B ．{}|02x x ≤< C ．{}1|0x x <<D ．{}|02x x << 2．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ）A ．725-B ．725C ．2425-D ．24253．某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为（ ）A ．43πB ．3πC ．2πD ．83π 4．以下说法错误．．的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=,则x=1”的逆否命题为“若x ≠1,则2320x x -+≠”． B ． “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件．C ．若p q ∧为假命题,则p q 、均为假命题．D ．若命题p:x ∃∈R,使得210x x ++<,则p ⌝:x ∀∈R,则210x x ++≥． 5．若复数221a i i++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为6cm ，深2cm 的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（ ）A ．20cmB ．18cmC ．10cmD ．8cm7．设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图像关于直线0x =对称，则（ ）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数 8．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则函数()2log y f x x =-的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．69．设x ，y 满足约束条件04312x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩，则2241x y x +++的取值范围是（ ） A ．[]4,12 B ．[]4,11 C ．[]2,6 D ．[]1,510．若函数()()()21212ax x x f x x x ⎧+->⎪=⎨-+⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦11．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b =，2c =，O 为ABC ∆的外心，则AO BC ⋅=（ ）A ．132B ．52C ．52-D ．612．已知函数()()2ln x x t f x x +-=，t R ∈，若存在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则实数t 的取值范围是（ ）A．(-∞ B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．(),3-∞二、填空题13．已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若212n n S n T n +=+，则88a b =______. 14．观察分析下表中的数据：面数（） 顶点数（) 棱数（)猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.15．已知函数x 4f(x)=x+,g(x)=2+a x ，若[]121,1,2,3,2x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是________．16．以双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的右焦点(),0F c 为圆心，a 为半径的圆与C 的一条渐近线交于A ，B 两点，若23AB c =，则双曲线C 的离心率为__________．三、解答题17．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a=1，b=2，cosC= （1）求△ABC 的周长；（2）求cos （A ﹣C ）的值．18．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且12n a +=，n *∈N . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1()2n n n b a =⋅，求数列{}n b 前n 项和为n T .19．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.(1)证明：BC ⊥平面ACFE ；(2)设点M 在线段EF 上运动，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求cos θ的取值范围.20．如图，分别过椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>左、右焦点12,F F 的动直线12,l l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于,A B 与,C D 不同四点，直线,,,OA OB OC OD 的斜率1234,,,k k k k 满足1243k k k k +=+．已知当1l 与x 轴重合时，AB =CD =.（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在定点,M N ，使得PM PN +为定值？若存在，求出,M N 点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．21．已知函数()()ln 30f x x ax a =--≠.(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)若[1,2]a ∀∈，函数()23[2()]2x g x x m f x '=+-在区间(),3a 有最值，求实数m 的取值范围.22．在平面直角坐标系中.已知曲线:2sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线:(2cos sin )6l ρθθ-=.(1)写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)在曲线C 上取一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，求最大距离及此时P 点的坐标. 23．已知函数()2f x x x a =+-，0a >.（1）当1a =时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x 恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】首先确定集合M 中的元素，然后求交集．【详解】 由01x x ≤-得(1)010x x x -≤⎧⎨-≠⎩，解得01x ≤<，即{|01}M x x =≤<， ∴{|01}MN x x =<<． 故选：C ．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题基础．在解分式不等式时要注意分母不为0． 2．D【解析】【分析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值．【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∴4cos 5θ===-， ∴3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=． 故选：D ．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．3．B【分析】由三视图还原出原几何体，再由球的体积公式和圆锥体积公式计算．【详解】由三视图知，该几何体是半球中间挖去一个圆锥（圆锥底面就是半球的底面）．由三视图知1r =，∴321411112333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=． 故选：B ．【点睛】本题考查三视图，考查由三视图还原几何体．都是球和圆锥的体积公式．解题关键是由三视图还原出几何体．4．C【解析】若p q ∧为假命题,则只需p q 、至少有一个为假命题即可.5．B【分析】 化简复数221a i i++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标. 【详解】 因为222()(1)1(1)1(1)(1)a i a i i a a i i i i ++-==++-++-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 所以2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义.本题属于基础题.6．B【解析】试题分析：设球半径为R ，则()22226R R -+=,解得：10R =所以球面上的点到冰面的最大距离为22210218d R =-=⨯-=故选B.考点：空间几何体的结构特征.7．C试题分析：())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x πϕ=++，∵函数图像关于直线0x =对称，∴函数()f x 为偶函数，∴3πϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22T ππ==， ∵02x π<<，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.8．A【分析】函数()2log y f x x =-的零点个数即为函数y ＝f （x ）与函数2log y x =图象的交点个数，由题意，作出函数图象观察即可得出零点个数．【详解】解：由题意，函数f （x ）的周期为2，且关于y 轴对称，函数()2log y f x x =-的零点个数即为函数y ＝f （x ）与函数2log y x =图象的交点个数，在同一坐标系中作出两函数图象如下，由图象观察可知，共有两个交点．故选：A ．【点睛】本题考查函数零点个数判断，解决这类题的方法一般是转化为两个简单函数，通过数形结合，观察两函数图象的交点个数，进而得到零点个数，属于基础题．9．A作出可行域，22412211x y y x x +++=+⨯++，利用11y x ++的几何意义求解． 【详解】作出可行域，如图OAB ∆内部（含边界），22412211x y y x x +++=+⨯++，11y x ++表示(1,1)--P 与可行域内点(,)M x y 连线的斜率， (0,4)B ，14510PB k --==--，由图中知1[1,5]1y x +∈+，∴122[4,12]1y x ++⨯∈+． 故选：A ．【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查简单的非线性规划问题，解题关键是作出可行域，正确理解代数式11y x ++的几何意义． 10．D【分析】分段函数单调递减，要求每一段都递减的，且各段之间的函数值存在大小关系．【详解】 由题意012242121a aa <⎧⎪⎪-≤⎨⎪+-≤-+⎪⎩，解得12a ≤-． 故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性，分段函数在整个定义域是单调，则每一段上的单调性一致，每段顶点处的函数值也满足一定的大小关系（根据增减而定）．11．B【解析】【分析】取BC 的中点D ，可得0OD CB ⋅=，这样AO BC ⋅AD BC =⋅，然后都用,AC AB 表示后运算即可． 【详解】取BC 的中点D ，连接,OD AD ，∵O 是ABC ∆外心，∴ODBC ，0OD CB ⋅=，()AO BC AD DO BC AD BC DO BC⋅=+⋅=⋅+⋅1()()2AD BC AC AB AC AB =⋅=+⋅-2222115()(32)222AC AB =-=-=．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是取BC 的中点D ，把AO BC ⋅转化为AD BC ⋅，再选取,AC AB 为基底，用基底进行运算． 12．C 【分析】先构造函数()()g x xf x =,再将存在性问题转化为对应函数最值问题，通过求最值得实数t 的取值范围. 【详解】令()()()2ln g x xf x x x t ==+-，则存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()0g x f x xf x =+'>',即()11120,22x t t x x x ⎛⎫+-><+ ⎪⎝⎭的最大值，因为11y 22x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在1[,22上单调递减，在2]上单调递增，所以11y 22x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最大值为11922224⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭,因此94t <，选C.【点睛】利用导数解决数学问题，往往需要需要构造辅助函数.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e =，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等13．3117【分析】利用等差数列的性质21(21)n n S n a -=-可把项的比转化为前n 项和的比． 【详解】∵数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，∴88158815152151311515217a a Sb b T ⨯+====+． 故答案为：3117． 【点睛】本题考查等差数列的性质：等差数列{}n a 中，2(,,*)m n p m n p N +=∈⇔2m n p a a a +=．由此有12121(21)()(21)2n n n n a a S n a ---+==-．14．2F V E +-= 【解析】试题分析：①三棱锥：5,6,9F V E ===,得5692F V E +-=+-=；②五棱锥：6,6,10F V E ===,得66102F V E +-=+-=；③立方体：6,8,12F V E ===,得68122F V E +-=+-=；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：2F V E +-=，故答案为2F V E +-=考点：归纳推理.15．(,1]-∞ 【解析】满足题意时应有：f （x ）在11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于g （x ）在x 2∈[2，3]的最小值，由对勾函数的性质可知函数4f(x)=x+x在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，f（x）在11 ,1 2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为f（1）=5，当x2∈[2，3]时，g（x）=2x+a为增函数，g（x）在x2∈[2，3]的最小值为g（2）=a+4，据此可得：5⩾a+4，解得：a⩽1，实数a的取值范围是（﹣∞，1]，故结果为：(],1-∞。

2020届湖南省五市十校高三上学期第二次联考（12月）数学（文）试题、单选题1.已知集合A x| x 1 , B x|x3，则AI B ( )A. 1,3B. ,3C.1,D.【答案】A【解析】利用集合交集的定义及其运算即可【详解】集合A x|x 1 , B x|x 3，则AI B x| 1 x 3 .故选：A【点睛】本题考查集合交集的定义及其运算，属于基础题.2 •已知i为虚数单位，复数Z满足iz3 2i，则Z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】利用复数代数形式的除法运算化简求出z即可.【详解】复数Z 满足iz 3 2i ,••• z 口1 （3 2学"2 3i ,i i则z在复平面内对应的点的坐标为（2, -3 ）,位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算,础题.考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基3 •执行如图所示的程序框图，输出的【答案】C【解析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当 T 4 16 20 S ，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可. 【详解】按照程序框图依次执行为S 1 , n 0, T 0 ；S 9 , n 2, T 0 4 4 ；S 17,n 4, T 416 20 S ,退出循环，输出 S 17.故应选C.【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点： （1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分 程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计 算，直到达到输出条件即可 •4.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示 •为了 解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取女生 21人，则从初中生中抽取的男生人数是（）A . 25C. 17D. 20B. 9详解：因为分层抽样的抽取比例为所以初中生中抽取的男生人数是 本题选择A 选项. 点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解:样本容量n 该层抽取的个体数；总体的个数N 该层的个体数 ；总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.【详解】【答案】A C. 20 D. 21【解析】分析：首先确定分层抽样的抽取比例, 然后求解初中生中抽取的男生人数即可已知 0,，且sin3，则 tan51 7【答案】 A . B. 71 、C. 或— 77D.丄或77【解析】由题意按0,—和 2分类讨论得tan ,进而得tan已知 0, 且sin…COS a =则tansin cos3tan4tan tan34_31 43 2二 COs a= 1V 5，贝Utansin cos21 13000 0.7 而2000 0.6 “ 12人.100(1)综上：tan1或747故选：D 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式的合理运用,分类讨论思想，易错点是三角函数的符号容易出错，属于基础题.是两个不同的平面，且 m , n ，则 )B .必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件且n P ”，由“ m P 且n P ”不得“ //”，进而得到答案.【详解】m , n 是两条不同的直线，， 是两个不同的平面，且m , n ，则“ //得“ m P 且 n P ”， 根据面面平行的判定定理得“m P 且n P ”不能得“ // ”，所以“ // ”是mP 且n P ”的充分不必要条件故选：A 【点睛】本题考查充分条件、 必要条件、充要条件、不充分不必要条件的判断， 注意空间中线线、 线面、面面间的位置关系的合理运用，属于基础题.7.如果函数y =f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：二 tantan tan_4 31414’ 3 ’71 tan tan — 1 - 14 46.设m , n 是两条不同的直线， ：“ // ”是“ mP 且 n P ”的( A .充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A// ”能得“ m P① 函数y = f (x )在区间(3,)内单调递增;2、 1② 函数y = f (x )在区间(一,3)内单调递减；2③ 函数y = f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④ 当x = 2时，函数y = f (x )有极小值；1⑤ 当x =时，函数y = f (x )有极大值.则上述判断中正确的是( )A .①② C.③④⑤ 【答案】D【解析】对于①，函数y=f (x )在区间(-1对于②，函数y=f (x )在区间(-,3)有增有减，故②不正确；2对于③，函数 y=f (x )当x €( 4, 5)时，恒有f '( x )> 0 .故③正确; 对于④，当x=2时，函数y=f (x )有极大值，故④不正确;1对于⑤，当x=- 时，f '( X )M 0,故⑤不正确.2故选D.8•刘徽《九章算术？商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做 阳马•如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为(【答案】B【解析】由题意可得阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面， 四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，再根据长方体的性质，即可 求解的球的半径，禾U 用体积公式，即可求解. 【详解】B .②③ D.③1 一3,-―)内有增有减，故①不正确;2C. 3D. 4由题意可知阳马为四棱锥， 且四棱锥的底面为长方体的一个底面， 四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球， 由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为 1,•••长方体的一个顶点处的三条棱长分别为 1, 1, 1, •••长方体的对角线为.3，•外接球的半径为 3 ,2故选B .本题主要考查了棱锥的结构特征与三视图应用问题，也考查了几何体外接球的应用 问题，其中解答中根据三视图换原几何体，以及根据三视图的数量关系，合理利用 球的性质求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，及运算与求解能力，属于 中档题.9•已知两点M( 1,0) , N(1,0)，若直线3x 4y m 0上存在点P 满足 眾 PN 0，d1，故 m 5,5，故选 C.32 42【点睛】•••外接球的体积为V则实数m 的取值范围是( )A ., 5 U 5,C. 5,5【答案】C【解析】P 的轨迹为圆，考虑该圆和直线 可得实数m 的取值范围. 【详解】umvnuv设 P x,y ，则 PM 1 x, y , PN ,UULU ULU/p 2 2由PM PN 得x y1，因P 在直线3xB ., 25 U 25,D.25,253x 4y m 0有公共点(即相交或相切)1 x, y ,4y m 0上，故圆心到直线的距离【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果A,B为定点，且动点M满足MA MB 1 ,则动点M的轨迹为圆；（2）如果ABC中，BC为定长，A为定值，则动点A的轨迹为一段圆弧.10 •等轴双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，C与抛物线x2 8y的准线交于A、B两点，AB 2胎，则C的实轴长为（）A. 2B. 2 2 C 2 D. 4【答案】C【解析】设等轴双曲线C：y-x = a （a>0）, x2 8y的准线I : y = - 2，由C与抛物线的准线交于A, B两点，且AB 2J3，求出A, B的坐标能求出C的实轴长.【详解】设等轴双曲线C： y2-x? = a（a> 0）, x2 8y的准线I : y = - 2,••• C与抛物线x2 8y的准线I : y = - 2交于A, B两点，且AB 2J3 ,A （- . 3 , -2 ） ,B （. 3，- 2）,将A点坐标代入双曲线方程得a = 1 , —a= 1. 所以实轴长为2.故选：C.【点睛】本题考查双曲线、抛物线的性质和应用，合理地进行等价转化，属于基础题.11 . 一个圆锥的母线长为2 2・、2，且母线与底面所成角为，则该圆锥内切球的表4面积为（）A. 2B. 8C.耳D. 6 2.23【答案】B由已知求得圆锥的底面半径与高，再由等面积法求出该圆锥内切球的半径，再【解析】2第8页共19页当x 0时,满足f-x 2，则 f x2由球的表面积公式得答案. 【详解】锥底面半径与高均为 22 .设内切球的半径为r ，则利用轴截面的等面积可得1 2 2 22 = 12 2 2.2 2 . 2+2 r22•- r =2，二该圆锥内切球的表面积为 4nX 2 = 8.故选：B.【点睛】本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键, 属于中档题.【答案】【详解】 作出圆锥截面图如图所示,'••母线长为2 2 2，圆锥的母线与底面的夹角为,•••圆412 .已知fx 是定义在R 上的函数f的导函数，若f x3x x ，且当x 0 时，f3 22x ，则不等式2f21 2f x 3x 3x 1的解集为（A . 20B.c.1D.【解析】由已知条件，构造函数 x3，求导得g x 在0,2上递增,2f x2f x3x 2 3x 1化简为得g x 在R 上是偶函数g x ，得 x 1 x ,.不等式计算即可•所以 g x 在0,上递增 .且fx f x3x 在R 上成立，又3r xg x f x23 3所以 g x g x f xx xf x0，所以g x 在R 上是偶函数22【详解】 •••函数f(2)= f (— 1) = (— 1) 2— 2 11故答案为一 2【点睛】则 g ' x f ' x3x13 2 c—f xx 0 , 22则不等式2f x 1 2f x23x 3x 1化简为f x 13x 2 3x 12所以g x 1 g x3x 2 3x 1 21得g x 1 g x ，所以x 1 x ,计算得x -. 故选：B 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性, 考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、填空题 13 •设函数f2 xx 2 , x 0 r，则f 5 f x 3 , x 0的值为【答案】【解析】利用函数的性质得f ( 5)= f (2)= f (-1),由此能求出f (5)的值.••• f ( 5)= f本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 【解析】由题意存在实数k 使b ka k 0，得2,m k 4m 2,6，解得m 的值即 可. 【详解】r小小 rrr已知向量a4m 2,6 , b2, m ，若向量a , b 反向，1 1解得k （舍）或k ，进而m 2.4 3 故答案为：-2 【点睛】本题考查实数值的求法，注意向量共线的性质的合理运用，属于基础题.3, 4，贝y sincos【答案】75故答案为： 75【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，属于中档题 16 .若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积，则称该数列为“ m 积数列” 若各项均为正数的等比数列a n 是一个“ 2020积数列”，且a 1 1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为 _________ . 【答案】1010【解析】 利用新定义，求得数列｛a n ｝的第1009项为1，再利用a 1 > 1, q >0,即可求得14.已知向量a 4m 【答案】 22,m ，若向量a ，b 反向，贝V 实数m 的值为 _________则存在实数rka k 0，所以 2,mk 4m 2,6，即2 4km 2k m 6k15 .已知角 的顶点与坐标原点重合,始边为X 轴的正半轴，终边上有一点P 的坐标为【解析】 根据三角函数的定义，求出【详解】sin , cos ，利用诱导公式即可求解由题意有sin4 3 - cos55，则sin cossin4 3 7 cos555「・ a i a 20i9= a 2a 20i8= a 3a 20i7=・・・= a ioo9a ioii = ai oo92 = 1 ,T a > 1, q >0, …a ioo8> 1, a ioo9=1, a ioio 1, •••前n 项积最大时n 的值为1010. 故答案为：1010 【点睛】本题考查等比数列前n 项的乘积取最大值时 n 的值的求法，考查等比数列的性质等基础知识、运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题.三、解答题17. ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且52cs inA a cosB bcosA .2(1) 求角A ;(2) 若3a b c ，且 ABC 外接圆的半径为1,求 ABC 的面积• 【答案】(1) A -；(2)2、3.35【解析】(1)由诱导公式和正弦定理，对 2csinA acosB bcosA 化简得2八12si n Ceos A si nC ，从而得cosA，进而得角 A ;2(2)由题意得 ABC 外接圆的半径 R 1,由正弦定理和(1)得a 2Rsi nA 、、3 ,由余弦定理得a 2 (b c)2 3bc ,,从而得bc 8，再利用三角形面积公式计算即可 • 【详解】5(1)： 2csinA a cosB bcosA , • 2ccosA acosB bcosA ,2由正弦定理得，2sin CcosA sin AcosB sin B cosA sin (A B) sinC ,• 2sin C cosA sin C ，又 0C, • sin C 0 , •cosA1 2,又0 A,•- A -.3(2)设 ABC 外接圆的半径为R ，则 R 1 ,由正弦定理和 (1)得 a 2Rsin A \ 3 ,结论. 【详解】由题意, a 2020 = a& ••£2020,…a i a 2 …a 20i9= 1,由余弦定理得 a 2 b 2 c 2 2bccos (b c)2 3bc ,且 3a b c ,即33 27 3bc ,「. bc 8,••• ABC 的面积 S 1bcsinA 1 8 乜 2 3 .2 2 2【点睛】本题考查了正余弦定理的应用， 三角形面积公式的应用， 也考查了诱导公式和三角形外 接圆半径的转化，属于基础题 •18 •设数列a n 的前n 项和为S n ，且S n 2“一1，数列b n 满足D 2 ,b n 1 2b n 8a n .(1) 求数列 a n 的通项公式； (2) 求数列 b n 的前n 项和T n •【答案】(1) a n = 2n-1 ； (2) 2n 3 2n 1 6【解析】(1)令n 1，由印S 计算出印的值，再令n 2，由a n S n1计算出a n ，再验证a 1是否满足a n n 2的表达式，由此可得出数列 a .的通项公式;(2)由题意得出b n 1 2b n 8a n 2n 2，然后在等式两边同时除以 2n 1可得出 公式，可解出数列b n 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列 b n 的前n 项和T n .【详解】1(1)当 n 1 时，印 S 2 1 1 ； 当 n 2时，a n S n S n 12n 12n 1 1 2n 2n 1 2n 1.n 1n 1印1也适合a n = 2 -,因此，数列 a n 的通项公式为a n = 2 -；(2)Q b n 1 2b n 8a n 2 2,在等式两边同时除以 2n 1得~7T7 b 2，且—1 1.2 2 2所以，数列 b n 是以1为首项，以2为公差的等差数列，bn1 2 n 1 2n 1 ,2n 2n7b n 2n 1 2n .T n 1 21 3 22 5 23 L 2n 1 2n ,b n 1 b n需 n 2，可知数列 2 2至是以2为公差的等差数列，由此求出数列2n旦的通项2n【点睛】减法求和，在利用前n 项和S n 求数列通项a n 时，一般利用公式a n 计算，但需对a 1是否满足a . n 2的表达式进行验证，考查运算求解能力，属于中等 题.19 •如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ,1AB BC AD , BAD ABC 90 .2(1) 证明：BC //平面PAD ;(2) 若四棱锥P ABCD 的体积为4.3，求 PCD 的面积•【答案】(1)见解析；(2) 2-J【解析】(1)利用直线与平面平行的判定定理证明即可；(2)取AD 的中点 M 连接PM CM 证明CML AD.再由已知证明 PM L AD PML 平面 ABCD 可得 PM L CM 设 BC x ，则 AD 2x , CM x , CD V2x , PM T3x ,I -PC PD 2x ，取CD 的中点N,连接PN,得PN L CD ，且PN k 也4 x ，由四棱锥2P ABCD 的体积为，求得x = 2•进而得到 PCD 的面积•【详解】得2Tn1 22 232n 3 2n2n 1 2n1上式 下式得T n21 2 22 2 232n 2n 12* 1因此,23 1 2“ 12n2* 12n 2nT n2n 32n 1 6.本题考查由前 n 项和 S n 求数列通项 a n ，同时也考查了构造法求数列的通项以及错位相(1)在平面ABCD内，因为BAD ABC 90，所以BC// AD.又BC 平面PAD , AD 平面PAD，故BC /平面PAD •1(2)取AD 的中点M，连接PM , CM，由AB BC —AD，及BC/ AD ,2ABC 90 ,得四边形ABCM为正方形，则CM AD ,因为侧面PAD是等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD I平面ABCD AD ,所以PM AD ,因为PM 平面PAD ,所以PM 平面ABCD•因为CM 平面ABCD，所以PM CM .设BC x，则AD 2x, CM x ,CD 2X，PM 3x, PC PD 2x.因为四棱锥P ABCD的体积为4,3，所以1 11 L —V S ABCD PM x 2x x ":. 3x 4.： 3，所以x 2,3 3 2取CD的中点N，连接PN，则PN CD，所以PN丄4x • 14 •2A A _因此PCD的面积S —CD PN — 2^2辰2J72 2【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积和三角形面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.220•已知抛物线C : y 2px p 0，直线y x 1与C相交所得的长为8.1求P的值；2过原点O直线l与抛物线C交于M点，与直线x 1交于H点，过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点，求证：直线MN过定点.【答案】(1) 2 (2)见证明【解析】1直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理根据弦长公式列方程即可求出P1y 2, y 0 ，求出点N 的坐标，利用两点式可表4【详解】y i y 2p ，y 『2 2p ，p 2,设 M 1 y 2, y o4当x 1时,4 y Hy o的值；2由1可得y 24x ，设 M 示出直线MN 的方程y『x 1y o 4，从而可求得直线过定点.弦长为■■ 1 122y 1 y4y 1y 2 、、2 , 4p 2 8p 8,解得p 2或p4（舍去）,2由1可得y 24x ,直线0M 的方程4 xy o ， 代入抛物线方程4x ，可得XN2，y o0,単L x 1y 2 ，整理可得y 上4x 1 ,y o 4 4 y o 4故直线MN 过点1,0 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长公式，直线过定点，属于中档题•判断直线过定点主要形式有： (1 )斜截式，y kx y 0，直线过定点 0,y 0 ； (2)点斜式y k x x o ,直线过定点 X o ,O .21 .已知函数f x e cosx •(1)求f x 在点o, f 0处的切线方程;⑺求证:fx 在上仅有2个零点.【答案】(1) x y 0 ； (2)证明见解析【解析】(1)求出f 0和f 0，然后利用点斜式写出所求切线的方程;(2)利用当x 0时，e x cosx 来说明函数y f x 在0, 上没有零点，并利 用函数y f x 的单调性和零点存在定理证明出函数y f x 在区间上有且只有一个零点，并结合f 0 0，可证明出函数yf x 在区间J2上有两个零点•【详解】x x(1) Q f x e cosx ，则 f x e sin x , f 0 0, f 0 1.因此，函数y f x 在点0, f 0处的切线方程为 y x ，即 x y 0;(2)当 x 0时，e x 1 cosx ,此时，f x e xcosx 0，所以， 函数yf xY 0 y ° 4y °2Y16 2 y °42 Y直线MN 的斜率k 4 y 。

湖南省五市十校2020-2021学年高三上学期第二次大联考数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 设复数，则（）A．B．C．D．2. 已知，，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3. 设等差数列的公差为，若，则“”是“为递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4. 陈镜开(1935~2010)，新中国举重运动员，1956年在上海举行的“中苏举重友谊赛”中，他以133公斤的成绩，打破美国运动员C.温奇保特的56公斤级挺举世界纪录，这是中国运动员创造的第一个世界纪录1956~1964年期间，在上海?北京?莫斯科?莱比锡等国内外的重大举重比赛中，陈镜开先后9次打破最轻量级和次轻量级挺举世界纪录，举重比赛挺举项目中，运动员对所要重量有3次试举次数，只要一次试举成功即为完成本次所要重量的比赛，才有资格进入下轮所要更大重量的比赛，结合平时训练数据，某运动员挺举130公斤成功的概率为0.6(每次试举之间互不影响)，则在挺举比赛中，他有资格进入下轮比赛的概率是（）A．0.784 B．0.84 C．0.904 D．0.9365. 已知直线，圆，则圆C上到直线的距离为的点共有（）A．1 B．2个C．3 D．46. 原油作为“工业血液”?“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（）A．第一种方案更划算B．第二种方案更划算C．两种方案一样D．无法确定7. 如图，在半径为2的扇形中，，是弧上的一个三等分点，分别是线段，上的动点，则的最大值为（）A．B．C．D．8. 函数在区间上的所有零点的和为（）A．B．C．D．二、多选题9. 某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．B．该校学生数学竞赛成绩落在内的考生人数为24C．该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80D．估计该校学生数学竞赛成绩的平均数落在内10. 已知实数满足，则下列结论正确的是（）B．A．C．D．11. 已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数在区间上为增函数B．直线是函数图像的一条对称轴C．函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到D．函数的图像关于点对称12. 如图，在长方体，中，，，、、分别是，，的中点，则下列说法正确的是（）A．B．平面C．若点P在平面ABCD内，且平面GEF，则线段长度的最小值为D．若点Q在平面ABCD内，且，则线段长度的最小值为三、填空题13. 若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________．14. 的展开式中的系数为__________.15. 已知分别是双曲线的左，右焦点，P是双曲线C的右支上一点，是的内心，且，则C的离心率为__________.16. “喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高，已知听到的声强m与标准声调(约为，单位：之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式，现知A 同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为__________米17. 在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.四、解答题18. 已知等比数列的各项均为正数，，是与的等差中项. （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，与底面所成角的正切值为，是的中点，线段上的动点.（1）证明：平面；（2）若二面角的余弦值为，求的长.20. 某公司有1400名员工，其中男员工900名，用分层抽样的方法随机抽取28名员工进行5G手机购买意向调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后购买5G手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这28名员工中属于“追光族”的女员工有2人，男员工有10人.（1）完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望者”合计女员工男员工合计（2）在抽取的属于“追光族”的员工中任选4人，记选出的4人中男员工有人，女员工有人，求随机变量的分布列与数学期望.附：，其中.0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82821. 已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.（1）求椭圆的标准方程；（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.22. 已知函数，设曲线在点处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）证明：对定义域内任意，都有；（3）当时，关于的方程有两个不等的实数根，证明：.。

湖南省2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理（含解析）注意事项：1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 2．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设复数z 满足21iz =+，则z 的共轭复数为（ ） A. 1i - B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数除法的公式化简z ,再求共轭复数即可. 【详解】()()()2121111i z i i i i -===-++-,故z 的共轭复数为1i +. 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及共轭复数的概念,属于基础题型. 2.已知集合{}3A x x =<，{}2log 0B x x =>，则（ ） A. {}13A B x x ⋂=<< B. A B φ⋂= C. {|3}AB x x =<D. {}1A B x x ⋃=>【答案】A 【解析】 【分析】根据对数不等式的解法求集合B ,再分析交集并集即可.【详解】{}{}2log 01B x x x x =>=>.故{}13A B x x ⋂=<<,A B R =.故选：A【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与对数不等式的求解,属于基础题型. 3.执行图中所示程序框图，若输入14p =，则输出结果为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据程序框图逐步运行求解即可.【详解】由框图知：输入14p=,1,1n S==,1.14S>判定为是, 11122S=-=,2n=.2.14S>判定为是, 111244S=-=,3n=3.14S>判定为否,输出3n=.故选：B【点睛】本题主要考查了程序框图输入数据输出结果的问题,属于基础题型.4.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（）A. 他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人数不变B. 他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数减少了4人C. 他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg ，100kg ）D. 他们健身后，原来体重在[110kg ，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg 【答案】D 【解析】 【分析】根据饼图逐个选项计算分析即可.【详解】对A,易得们健身后,体重在区间[90kg ,100kg ）内的人数占比均为0040,故A 正确. 对B,体重在区间[100kg,110kg ）内的人数减少了000000503020-=,即0020204⨯=人. 故B 正确.对C,因为健身后[80kg ,90kg ）内的人数占0030,[90kg ,100kg ）内的人数占0040,故中位数位于[90kg ,100kg ）.故C 正确.对D,易举出反例若原体重在[110kg,120kg]内的肥胖者重量为110kg ,减肥后为109kg 依然满足.故D 错误. 故选：D【点睛】本题主要考查了对饼图的理解,属于基础题型. 5.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -是首项为8，公比为12的等比数列，则4a 等于（ ） A. 8 B. 32C. 64D. 128【答案】C 【解析】 【分析】 由题可列出3241123,,,a a a a a a a 的值再累乘计算即可. 【详解】由题, 32411238,4,2,1a a aa a a a ====,故32441123842164a a a a a a a a =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=.故选：C【点睛】本题主要考查了根据递推公式求解某一项的问题,属于基础题型.6.某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；女生380人，编号为221，222，…，600．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10，现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是（ ） A.15B.715C.815D.45【答案】C 【解析】 【分析】根据系统抽样的方法分析抽取出来的学生编号,再分析其中男女生的个数,再利用排列组合的方法求解概率即可.【详解】由题意知,抽取的学生编号成等差数列,首项为10,公差为6006010=. 故抽取的10人中男生有10,70,130,190,这4个号码,其余的6人为女生. 即抽到的10人中,有男生4人,女生6人, 再从这10位学生中随机抽取2人座谈, 基本事件总数21045n C ==,2人中既有男生又有女生包含的基本事件个数114624m C C =⋅=, 故2人中既有男生又有女生的概率2484515m p n ===. 故选：C【点睛】本题主要考查了系统抽样的方法与排列组合解决概率的问题,属于中等题型. 7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=（ ）A. 2-B. 0C. 2D. 2020【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性与(1)(3)0f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为4,再根据性质计算(1),(2),(3),(4)f f f f 即可.【详解】因为奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=,即(1)(3)(3)f x f x f x +=--=-.故()f x 周期为4.故(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++,因为20194504......3÷=.故原式[]504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)f f f f f f f =⨯++++++.令0x =,则(01)(30)0(1)(3)0(3)2f f f f f ++-=⇒+=⇒=-. 令1x =,则(11)(31)02(2)0(2)0f f f f ++-=⇒=⇒=. 又奇函数()f x 故()(4)00f f ==.故[]()504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)50420202020f f f f f f f ⨯++++++=⨯+-+++-=. 故选：B【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与周期性的应用,需要根据题意分析函数的周期,再代入特殊值求对应的函数值.属于中等题型.8.已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，且(,1),(,1)2A B π-π，则ϕ的值为（ ）A. 56π-B.56π C. 6π-D.6π 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像判断函数的周期,从而确定ω的值,再代入对应的点求得ϕ即可. 【详解】由图像可知,周期22T ππωω==⇒=.即()2sin(2)f x x ϕ=+,代入()0,1可知,12sin ϕ=.因为||ϕπ<,故6π=ϕ或56πϕ=.又由图可得,0x =在最高点的左侧,所以6π=ϕ. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数中参数的值,需要根据题意求得周期,代入点进行分析,同时结合图像可知ϕ的范围.属于中等题型.9.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm ．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（ ）（保温带厚度忽略不计）A. 14B. 14πC.21414ππ++ D.2116116ππ++【答案】D 【解析】 【分析】根据题意,因为相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一,每隔四分之一的带宽就绕一层保温带,则一共可以盖四层.故画出所求角度所在的直角三角形,再分别分析临边与斜边即可. 【详解】由题,作''AP B D ⊥于P .根据题意可知'B P 宽为带宽四分之一即1414⨯=,又水管直径为4 cm.故4AP π=.故轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是()2222'116cos''11614B PAB PB Aπππ+∠===++.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的实际运用,需要根据题意找到对应的边角关系进行求解,属于基础题型.10.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A. 8πB. 6πC. 4πD.823π【答案】A【解析】【分析】2的等腰直角三角形,高为2.再分析外接球的直径求解即可.2的等腰直角三角形,高为2.222+2=22故外接球表面积2224482S Rπππ⎛===⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图求外接球的表面积方法,属于基础题型.11.如图，已知双曲线22221(0)x yb aa b-=>>的左、右焦点分别为1F、2F，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若12AF F△的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）23B.54C.53D.322【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，可得直线2AF 的方程为()by x c a=-，联立双曲线的方程可得A 的坐标，设1||AF m =，2||AF n =，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a ，c 的方程，结合离心率公式可得所求值．【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan b a θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b cθ==，可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=， 即为(35)()0c a c a -+=， 可得35c a =，则53c e a ==． 故选：C.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．12.数列{}n a 满足()1111nn n a a n ++=-+-,且601a <<．记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则当n S 取最大值时n 为（ ） A. 11 B. 12 C. 11或13 D. 12或13【答案】C 【解析】 【分析】分n 的奇偶讨论数列{}n a 的奇偶性分别满足的条件,再分析n S 的最大值即可.【详解】由题,当n 为奇数时, ()1111nn n a a n ++=-+-,()()1211111n n n a a n ++++=-++-.故()()()()1211111111211n n n n n a a n n ++⎡⎤⎡⎤-=-++---+-=--⋅-=⎣⎦⎣⎦.故奇数项为公差为1的等差数列.同理当n 为偶数时, ()21213nn n a a +-=--⋅-=-. 故偶数项为公差为-3的等差数列.又601a <<即2206167a a <-<⇒<<.又()12111119a a +=-+-=.所以123a <<. 综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着n 的增大由正变负.故当n S 取最大值时n 为奇数.故n 为奇数且此时有()()()()11121111100011110n n n n n n n a a a a n --+++⎧--+-≥+≥⎧⎪⇒⎨⎨+≤-++-≤⎩⎪⎩ ,解得1113n ≤≤.故11n =或13n =. 故选：C【点睛】本题主要考查了奇偶数列的应用,需要根据题意推导奇偶项数列的递推公式,再根据题意分析相邻两项之和与0的大小关系列不等式求解.属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为_________． 【答案】10x y --= 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设切点列式求解即可. 【详解】由题, 1'y x =,设切点为()00,ln x x ,则在切点处的切线斜率为01x ,又切线过点(0,1)-,故0000ln (1)11x x x x --=⇒=.故切点为()1,0. 故切线方程为()101101x y y x -=---=⇒. 故答案为：10x y --=【点睛】本题主要考查了导数几何意义的运用,根据切点到定点的斜率等于在该点处的导函数的值列式求解即可.属于基础题型.14.已知AB 为圆O 的弦，若||=2AB ，则OA AB ⋅=_________． 【答案】2- 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义求解即可. 【详解】由题,作OC AB ⊥于C.则()cos ACOA AB OA AB OAB OA AB AOπ⋅=⋅⋅-∠=-⋅⋅2AB AC =-⋅=-故答案为：2-【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算的直接公式法,属于基础题型.15.已知以F 为焦点的抛物线C ：24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =，则|AB|=________．【答案】163【解析】 【分析】根据3AF FB =可求得直线AB 的倾斜角,再联立方程根据抛物线的焦半径公式求解即可. 【详解】由题,不妨设A 在第一象限.作11,AA BB 分别垂直于准线, 1BC AA ⊥于C 如图. 设FB m =,由3AF FB =,可得：3AF m =,由抛物线的定义知13AA m =,1BB m =,∴ABC 中, 32AC m m m =-=,34AB m m m =+=,故1cos 2AFx ∠=,所以直线AB 的倾斜角为3π,3∴直线AB 方程为()31y x =-,与抛物线方程联立消y 得231030x x -+= 所以121623AB x x =++=, 故答案为：163. 【点睛】本题主要考查了抛物线几何意义的运用,需要根据题中给的比例关系求出直线的倾斜角,再联立方程利用焦半径公式求解即可.属于中等题型.16.已知函数22,1,()11,.x x x t f x x t x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩（1）若1t =,且()f x 值域为[)1,3-,则实数a 的取值范围为_________． （2）若存在实数a ,使()f x 值域为[]1,1-,则实数t 的取值范围为_________． 【答案】 (1). [1,3] (2). (1,21]-- 【解析】 【分析】(1)根据题意有22,11,()11,1.x x x f x x x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩画出图像再分析即可.(2)先分析临界条件,再分析随着t 的改变图像的变化情况判断即可.【详解】(1)画出图像易得,当111x --=-时3x =（舍去负值）.故实数a 的取值范围为[1,3].(2)用虚线画出22,11y x x y x =+=--的整体图像,再分析随着t 的改变图像的变化情况. 由图,当221y x x =+=时,()21221x x +=⇒=（舍去负值）.由图可知,(1,21]t ∈--时, 存在实数3a =满足()f x 值域为[]1,1-.故答案为：(1). [1,3] (2). (21]-【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数值域的问题,需要根据题意画出对应的图像,分析当参数变化时整个函数变化的情况,从而找到临界条件求得取值范围.属于中等题型. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分． 17.在ABC ∆中，3ABC π∠=，点D 在边AB 上，2BD =．（1）若BCD ∆的面积为23CD ；（2）若5cos 5BCA ∠=，310cos 10DCA ∠=，求CD ．【答案】（1）CD 23=（26 【解析】 【分析】(1)根据三角形面积公式与余弦定理求解即可.(2)根据BCD BCA DCA ∠=∠-∠,再利用三角函数的同角三角函数关系与差角公式求解即可.【详解】解：（1）1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅ ∴4BC =在BCD ∆中,由余弦定理可得2222212cos 42242122CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=∴CD 23=（2）BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠5cos5BCA ∠=,310cos 10DCA ∠=,∴21cos 25sin 5BCA BCA -∠∠==,21cos 10sin 10DCA DCA -∠∠==,∴3101010102552sin 552BCD ∠=⋅-⋅=在BCD ∆中,由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠, ∴sin 6sin BD BCD BCD⋅==∠．【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积的运用,属于中等题型.18.在如图三棱锥A －BCD 中，BD ⊥CD ，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ，AE ⊥平面BCD ．（1）求证：平面AEF ⊥平面ACD ；（2）若2BD CD AD ===，E 为BC 的中点，求直线AF 与平面ABD 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2）23【解析】 【分析】(1)证明CD AE ⊥,CD EF ⊥进而可得CD AEF ⊥面即可证明平面AEF ⊥平面ACD(2) 分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,再根据构造的直角三角形的关系求得每边的长度,再利用空间向量求解线面夹角即可.【详解】解：（1）证明：因为//BD AEF 面,BCD AEF EF =面面,BD BCD ⊂面所以//BD EF ,因为BD CD ⊥,所以CD EF ⊥． 又因为AE BCD ⊥面,CD BCD ⊂面, 所以CD AE ⊥,而EFAE E =,所以CD AEF ⊥面,又CD ACD ⊂面, 所以AEF ACD ⊥面面．（2）解：设直线AF 与平面ABD 所成交的余弦值为θ． 连接DE ,在BCD ∆中,=2BD CD =,BE EC =,BD CD ⊥,所以DE BC ⊥,且22BC =,2DE =,又因为AE BCD ⊥面,DE BCD ⊂面,BC BCD ⊂面, 所以AE DE ⊥,AE BC ⊥．在Rt ADE ∆中,2DE =,2AD =,所以2AE =．如图,以点E 为坐标原点,分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,各点坐标为(0,02)A ，,(2,0,0)B -,(0,2,0)D ,(2,0,0)C ,因为//BD EF ,E 为BC 的中点,所以F 为CD 的中点,即22,22F , 设平面ABD 的法向量(,,)m x y z =,(2,0,2)BA =,(2,2,0)BD =,由m BA m BD ⎧⊥⎨⊥⎩,即(,,)(2,0,2)0(,,)(2,2,0)0m BA x y z m BD x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⊥=⋅=⎪⎩,整理得0x z x y +=⎧⎨+=⎩,令1z =-,得1x =,1y =-,则(1,1,1)m =--．因为2(AF =,所以2sin ||||m AF m AF θ⋅==⨯故直线AF 与平面ABD 所成交的正弦值为3． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的方法,属于中等题型.19.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-． （1）求椭圆Γ的方程；（2）O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅为定值．【答案】（1）22142x y +=（2）2m =【解析】 【分析】(1)设(),P x y ,根据题意可求得2212b a =,再代入椭圆方程即可求解.(2)根据(1)中的结论, 设直线:(2)CM y k x =+,并联立与椭圆的方程,求得(,(2))+M m k m ,222244(,)1212k kP k k-++,再表达出OP OM ⋅,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设00(,)P x y 表达出OP OM ⋅,利用00(,)P x y 满足椭圆的方程进行化简,同理可得m 的值.【详解】解：（1）椭圆Γ过点,∴22211a b+=,① 又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-,故2221122y y y x a x a x a ⋅=-⇒=-+--. 又222222222222221x y a y y b x a a b b x a a +=⇒⇒=--=--.即2212b a =,②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=．（2）方法1：由（1）知,(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+, 令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． ∵21284212k x k--=+,∴2122412k x k -=+,1124(2)12k y k x k =+=+, 所以222244(,)1212k kP k k -++,∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++mk k k m kOP OM m k m k k k k , 要使OP OM ⋅与k 无关,只需12m=,此时OP OM ⋅恒等于4.∴2m =方法2：:设00(,)P x y ,则00:(2)2=++y CM y x x ,令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x , ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++y m y m OP OM x y m mx x x由2200142x y +=有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y , 所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=m x m x m OP OM mx ,要使OP OM ⋅与0x 无关,只须12m=,此时4OP OM ⋅=.∴2m =【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值问题求解基本量的方法,同时也考查了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题.20.某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率； （2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．【答案】（1）226(1)p p -（2）111()np n<-（3）①()()2221kE k k p ξ=+--②()(1)1km k mk p +-- 【解析】 【分析】(1)根据二项分布的方法求解即可.(2)记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,再根据题意求出对应的数学期望1E n ξ=,()211nE n n p ξ=+--再根据1E ξ>2E ξ化简求解即可.(3)①设两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,由(2)可知()12()()11kE E k k p ξξ==+--再相加即可.②根据题意可知,这m 组采用混合检验的检验次数所有的可能值均为1,1k +,再求解数学期望即可.【详解】解：（1）如果4n =,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -．（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,由已知得1E n ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211kP p ξ∴==-,()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n n E p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--要减少检验次数,则1E ξ>2E ξ,则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->,1(1)np n ->,即111()n p n<-,（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,则由（2）知11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,()12()()11k E E k k p ξξ==+--,12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+--②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,,m ξ,11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,,1,1m k ξ=+,且检验总次数12m ξξξξ=+++,()()11,1,2,,ki P p i m ξ∴==-=,()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--,所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--．【点睛】本题主要考查了二项分布的方法以及根据题意求离散型随机变量的数学期望方法,需要根据题意找到所有可能的取值,再列式求解.属于难题.21.已知函数12()(1)1x f x e x x x -=+-++，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----．证明： （1）存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0；（2）存在唯一x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<2．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】(1)求导后根据极值点的存在性定理证明即可.(2)令2t x =-,换元将()(2)g x g t =-m 再构造函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++,分析()h t 的单调性,结合(1)中的结论求得()h t 存在唯一的()10,1t ∈,使1()0h t =,再根据零点的大小关系即可证明.【详解】证明：(1)当x ∈（0,1）时,f ′(x )＝12()(2)1x f x e x x -=-+++＞0,函数f (x )在（0,1）上为增函数．又f (0)＝-e+1<0,f (1)＝3>0,所以存在唯一x 0∈（0,1）,使f (x 0)＝0． (2)当x ∈（1,2）时,1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----, 令2t x =-,x =2-t ,x ∈（1,2）,t ∈（0,1）, 1(2)(1)ln(1)t g t te t t --=-++,t ∈（0,1）记函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++,t ∈（0,1）． 则h ′(t )＝1222(1)1()(1)(1)t e t t t f t t t ---+---=++．由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,f (t )<0,h ′(t )＞0, 当t ∈(x 0,1)时,f (t )>0,h ′(t )<0．故在(0,x 0)上h (t )是增函数,又h (0)＝0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,h (t )>0,所以h (t )在(0,x 0]上无零点．在(x 0,1)上h (t )为减函数,由h (x 0)>0,h (1)＝12－ln2<0,知存在唯一t 1∈(x 0,1),使h (t 1)＝0, 故存在唯一的t 1∈(0,1),使h (t 1)＝0．因此存在唯一x 1＝2－t 1∈(1,2),使g (x 1)＝g (2－t 1)＝h (t 1)＝0． 因为当t ∈(0,1)时,1＋t >0,故(2)()1g t h t t -=+与g (2－t )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈（1,2）,使g (x 1)＝0．因为x 1＝2－t 1,t 1>x 0,所以x 0＋x 1<2．【点睛】本题考查了根据导数求解隐零点的问题.需要根据题意确定零点所在区间,再根据零点满足的关系式证明函数的单调性与最值.同时也考查了构造函数证明不等式分方法,属于难题.（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答． 如果多做，则按所做第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．（1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ON OM的最大值． 【答案】（1）sin()4πρθ+=2【解析】【分析】 (1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可.(2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=,将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()4πρθ+=（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,则212sin sin()1=)242ON OM πααρπαρ+=-+, 由02πα<<,有32444πππα-<-<, 当sin(2)=14πα-时,ON OM的最大值为2． 【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.23.已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a +≥． 【答案】（1）[)1,-+∞（2）见解析【解析】【分析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.(2)利用绝对值的三角不等式可得2M =,再利用三元基本不等式求证即可.【详解】解：（1）由()25f x x ≤+得25025225x x x x +≥⎧⎨--≤-≤+⎩,解得1x ≥- ∴不等式()25f x x ≤+的解集为[)1,-+∞．（2）()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+=当且仅当3x ≥时等号成立,∴2M =,∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=． 当且仅当21a a =,即1a =时等号成立． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.。

湖南省五市十校教研教改共同体2020届高三12月联考数学（理）试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知是虚数单位，则（）A. B. C. D.2.设集合，，则（）A. B.C. D.3.已知向量，满足，，，（）A. B. C. D.4.已知数列满足，，，则（）A. B. C. D.5.已知，分别是三棱锥的棱，的中点，，，，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.6.—只蚂蚁在三边长分别为，，的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过的概率为（）A. B. C. D.7.在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴交于点，若，则（）A. B. C. D.8.函数的部分图象大致为A. B. C. D.9.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（）A. B. C. D.10.已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A. B. C. D.11.已知，，是双曲线上的三个点，直线经过原点，经过右焦，若，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.设是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题。

13.若实数，满足约朿条件，则的最大值为____________.14.的展开式中的系数为____________.15.函数的部分图像如图所示，则的值为_______________.16.将正整数分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解.当且是正整数的最佳分解时我们定义函数，例如.则的值为___________，数列的前项的和为____________.三、解答题。

2020届湖南省五市十校高三上学期第二次联考数学（理）试题一、单选题 1．设集合|01x M x x ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭…，{}|02N x x =<<，则M N =（ ）A ．{}|01x x <…B ．{}|02x x ≤<C ．{}1|0x x <<D ．{}|02x x <<【答案】C【解析】首先确定集合M 中的元素，然后求交集． 【详解】 由01xx ≤-得(1)010x x x -≤⎧⎨-≠⎩，解得01x ≤<，即{|01}M x x =≤<，∴{|01}MN x x =<<．故选：C ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题基础．在解分式不等式时要注意分母不为0．2．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425-D ．2425【答案】D【解析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值． 【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∴4cos 5θ===-， ∴3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=． 故选：D ． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负． 3．某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为（ ）A ．43π B ．3π C ．2πD ．83π 【答案】B【解析】由三视图还原出原几何体，再由球的体积公式和圆锥体积公式计算． 【详解】由三视图知，该几何体是半球中间挖去一个圆锥（圆锥底面就是半球的底面）．由三视图知1r =，∴321411112333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三视图，考查由三视图还原几何体．都是球和圆锥的体积公式．解题关键是由三视图还原出几何体． 4．以下说法错误．．的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=,则x=1”的逆否命题为“若x ≠1,则2320x x -+≠”． B ． “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件． C ．若p q ∧为假命题,则p q 、均为假命题．D ．若命题p:x ∃∈R,使得210x x ++<,则p ⌝:x ∀∈R,则210x x ++≥． 【答案】C【解析】若p q ∧为假命题,则只需p q 、至少有一个为假命题即可. 5．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】化简复数221a ii++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标．【详解】221a i i ++2()(1)1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题． 6．湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为，深的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：设球半径为，则,解得：所以球面上的点到冰面的最大距离为故选B.【考点】空间几何体的结构特征.7．设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图像关于直线0x =对称，则（ ）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数【答案】C【解析】试题分析：())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x πϕ=++，∵函数图像关于直线0x =对称， ∴函数()f x 为偶函数，∴3πϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22T ππ==， ∵02x π<<，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.【考点】1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.8．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则函数()2log y f x x =-的零点个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】A【解析】函数()2log y f x x =-的零点个数即为函数y ＝f （x ）与函数2log y x =图象的交点个数，由题意，作出函数图象观察即可得出零点个数． 【详解】解：由题意，函数f （x ）的周期为2，且关于y 轴对称，函数()2log y f x x =-的零点个数即为函数y ＝f （x ）与函数2log y x =图象的交点个数，在同一坐标系中作出两函数图象如下，由图象观察可知，共有两个交点． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数零点个数判断，解决这类题的方法一般是转化为两个简单函数，通过数形结合，观察两函数图象的交点个数，进而得到零点个数，属于基础题．9．设x ，y 满足约束条件04312x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………，则2241x y x +++的取值范围是（ ）A ．[]4,12B ．[]4,11C ．[]2,6D ．[]1,5【答案】A【解析】作出可行域，22412211x y y x x +++=+⨯++，利用11y x ++的几何意义求解．【详解】作出可行域，如图OAB ∆内部（含边界），22412211x y y x x +++=+⨯++，11y x ++表示(1,1)--P 与可行域内点(,)M x y 连线的斜率，(0,4)B ，14510PB k --==--，由图中知1[1,5]1y x +∈+，∴122[4,12]1y x ++⨯∈+．故选：A ． 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查简单的非线性规划问题，解题关键是作出可行域，正确理解代数式11y x ++的几何意义． 10．若函数()()()21212ax x x f x x x ⎧+->⎪=⎨-+⎪⎩…在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】分段函数单调递减，要求每一段都递减的，且各段之间的函数值存在大小关系． 【详解】由题意012242121a aa <⎧⎪⎪-≤⎨⎪+-≤-+⎪⎩，解得12a ≤-．故选：D ． 【点睛】本题考查函数的单调性，分段函数在整个定义域是单调，则每一段上的单调性一致，每段顶点处的函数值也满足一定的大小关系（根据增减而定）．11．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b =，2c =，O 为ABC ∆的外心，则AO BC ⋅=（ ） A ．132B ．52C ．52-D ．6【答案】B【解析】取BC 的中点D ，可得0OD CB ⋅=，这样AO BC ⋅AD BC =⋅，然后都用,AC AB 表示后运算即可．【详解】取BC 的中点D ，连接,OD AD ，∵O 是ABC ∆外心，∴OD BC ^，0OD CB ⋅=，()AO BC AD DO BC AD BC DO BC⋅=+⋅=⋅+⋅1()()2AD BC AC AB AC AB =⋅=+⋅-2222115()(32)222AC AB =-=-=．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是取BC 的中点D ，把AO BC ⋅转化为AD BC ⋅，再选取,AC AB 为基底，用基底进行运算．12．已知函数()()2ln x x t f x x+-=，t R ∈，若存在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),3-∞【答案】C【解析】先构造函数()()g x xf x =,再将存在性问题转化为对应函数最值问题，通过求最值得实数t 的取值范围. 【详解】令()()()2ln g x xf x x x t ==+-，则存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()0g x f x xf x =+'>',即()11120,22x t t x x x ⎛⎫+-><+ ⎪⎝⎭的最大值，因为11y 22x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在1[,22上单调递减，在2]上单调递增，所以11y 22x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最大值为11922224⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭,因此94t <，选C. 【点睛】利用导数解决数学问题，往往需要需要构造辅助函数.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等二、填空题13．已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若212n n S n T n +=+，则88a b =______. 【答案】3117【解析】利用等差数列的性质21(21)n n S n a -=-可把项的比转化为前n 项和的比． 【详解】∵数列{}n a ，{}n b 都是等差数列， ∴88158815152151311515217a a Sb b T ⨯+====+． 故答案为：3117． 【点睛】本题考查等差数列的性质：等差数列{}n a 中，2(,,*)m n p m n p N +=∈⇔2m n p a a a +=．由此有12121(21)()(21)2n n n n a a S n a ---+==-．14．观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________. 【答案】2F V E +-=【解析】试题分析：①三棱锥：5,6,9F V E ===,得5692F V E +-=+-=；②五棱锥：6,6,1F V E ===,得66102F V E +-=+-=；③立方体：6,8,1F V E ===,得68122F V E +-=+-=；所以归纳猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是：2F V E +-=，故答案为2F V E +-=【考点】归纳推理. 15．已知函数x 4f(x)=x+,g(x)=2+a x ，若[]121,1,2,3,2x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(,1]-∞【解析】满足题意时应有：f （x ）在11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于g （x ）在x 2∈[2，3]的最小值，由对勾函数的性质可知函数4f(x)=x+x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， f （x ）在 11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为f （1）=5，当x 2∈[2，3]时，g （x ）=2x+a 为增函数，g （x ）在x 2∈[2，3]的最小值为g （2）=a+4， 据此可得：5⩾a+4，解得：a ⩽1， 实数a 的取值范围是（﹣∞，1]， 故结果为：(],1-∞。

绝密★启用前湖南省五市十校2019年下学期高三年级第二次联考试题化学本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页。

全卷满分100分，考试时间90分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后。

再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷可能用到元素的相对原子质量：H1 N14 O16 Na23 S32 Ca40 Fe56 Cu64 Ba137一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列说法错误的是A.除去水垢中的CaSO4常用试剂有碳酸钠和盐酸B.可用碘水检验淀粉是否发生了水解C.煤干馏可以得到焦炉气、粗氨水、芳香族化合物、焦炭等物质D.天然纤维有羊毛、蚕丝、棉、麻等，羊毛、蚕丝的主要成分是蛋白质，棉、麻的主要成分是纤维素2.正确掌握化学用语和化学基本要领是学好化学的基础。

下列有关表述中正确的一组是A.过氧乙酸(CH3COOOH)与烃基乙酸(HOCH2COOH)所含官能团相同，互为同分异构体B.16O与18O互为同位素：H216O、D216O、H218O、D218O互为同素异形体C.SiH4、CH4、P4分子的空间构型为正四面体形；CO2、C2H2均为直线形分子D.Ca2＋的结构示意图为；NH4Cl的电子式为3.甲苯的二氯代物有A.8种B.9种C.10种D.H种4.下列陈述的知识正确的是A.C2H6与C3H8互为同系物，C2H4与C3H6也一定互为同系物B.一种化合物不是电解质就一定是非电解质C.离子化合物中可能含有共价键，共价化合物中也可能含有离子键D.中和反应都有盐和水生成，有盐和水生成的反应都属于中和反应5.江俊、宋礼教授合作设计的一种“松果结构”铂金属催化剂，可用于电解法制备氢气，在制氢效果不变的情况下，将铂金属的用量降低到传统商业催化剂的约175。

2020届湖南省五市十校高三上学期第二次联考（12月）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|1A x x =>-，{}|3B x x =<，则A B =I （ ） A ．()1,3- B ．(),3-∞C ．()1,-+∞D ．φ【答案】A【解析】利用集合交集的定义及其运算即可. 【详解】集合{}|1A x x =>-，{}|3B x x =<，则A B =I {}|13x x -<<. 故选：A 【点睛】本题考查集合交集的定义及其运算，属于基础题.2．已知i 为虚数单位，复数z 满足32iz i =+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用复数代数形式的除法运算化简求出z 即可. 【详解】复数z 满足32iz i =+，∴232(32)()23i i i iz i i ++-===--， 则z 在复平面内对应的点的坐标为（2，-3），位于第四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3．执行如图所示的程序框图，输出的S (= )A ．25B ．9C ．17D ．20【答案】C【解析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当41620T S =+=>，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可． 【详解】按照程序框图依次执行为1S =，0n =，0T =；S 9=，2n =，044T =+=；17S =，4n =，41620T S =+=>，退出循环，输出17S =．故应选C ． 【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）A ．12B ．15C ．20D ．21【答案】A【解析】分析：首先确定分层抽样的抽取比例，然后求解初中生中抽取的男生人数即可.详解：因为分层抽样的抽取比例为21130000.7100=⨯，所以初中生中抽取的男生人数是20000.612100⨯=人. 本题选择A 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解： (1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比． 5．已知()0,απ∈，且3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17-B ．7C ．17-或－7 D ．17或7 【答案】D【解析】由题意按0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭分类讨论得tan α，进而得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值即可. 【详解】已知()0,απ∈，且3sin 5α=，当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cosα2315⎛⎫-- ⎪⎝⎭45，则sin 3tan cos 4ααα==，∴3tan tan144tan 7341tan tan 1144παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--⨯； 当,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cosα＝2315⎛⎫-- ⎪⎝⎭45-，则sin 3tan cos 4ααα==-，∴3tan tan1144tan3471tan tan1144παπαπα+-+⎛⎫+===⎪⎝⎭-+⨯；综上：tan4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭17或7故选：D【点睛】本题考查三角函数的诱导公式的合理运用，分类讨论思想，易错点是三角函数的符号容易出错，属于基础题．6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且mα⊂，n⊂α，则“αβ∥”是“mβP且nβP”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由面面平行的判定定理得：“αβ∥”能得“mβP且nβP”，由“mβP且nβP”不得“αβ∥”，进而得到答案.【详解】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且mα⊂，n⊂α，则“αβ∥”得“mβP且nβP”，根据面面平行的判定定理得“mβP且nβP”不能得“αβ∥”，所以“αβ∥”是“mβP且nβP”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件、充要条件、不充分不必要条件的判断，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，属于基础题．7．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间1(3,)2--内单调递增；②函数y＝f(x)在区间1(,3)2-内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝12-时，函数y＝f(x)有极大值．则上述判断中正确的是()A．①②B．②③C．③④⑤D．③【答案】D【解析】对于①，函数y=f（x）在区间（﹣3，﹣12）内有增有减，故①不正确；对于②，函数y=f（x）在区间（﹣12，3）有增有减，故②不正确；对于③，函数y=f（x）当x∈（4，5）时，恒有f′（x）＞0．故③正确；对于④，当x=2时，函数y=f（x）有极大值，故④不正确；对于⑤，当x=﹣12时，f′（x）≠0，故⑤不正确．故选D．8．刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A3πB．32C．3πD．4π【答案】B【解析】由题意可得阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，再根据长方体的性质，即可求解的球的半径，利用体积公式，即可求解．【详解】由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1， ∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1， ∴长方体的对角线为3，∴外接球的半径为3， ∴外接球的体积为34333V ππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选B ．【点睛】本题主要考查了棱锥的结构特征与三视图应用问题，也考查了几何体外接球的应用问题，其中解答中根据三视图换原几何体，以及根据三视图的数量关系，合理利用球的性质求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，及运算与求解能力，属于中档题．9．已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(][),55,-∞-+∞U B ．(][),2525,-∞-+∞U C ．[]5,5- D ．[]25,25-【答案】C【解析】P 的轨迹为圆，考虑该圆和直线340x y m -+=有公共点（即相交或相切）可得实数m 的取值范围. 【详解】设(),P x y ，则()()1,,1,,PM x y PN x y =---=--u u u u vu u u v由PM PN ⊥u u u u v u u u v得221x y +=，因P 在直线340x y m -+=上，故圆心到直线的距离22134m d =≤+，故[]5,5m ∈-，故选C.【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果,A B 为定点，且动点M 满足()1MA MB λλ=≠，则动点M 的轨迹为圆；（2）如果ABC ∆中，BC 为定长，A 为定值，则动点A 的轨迹为一段圆弧． 10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，C 与抛物线28x y =的准线交于A 、B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）A ．B ．C ．2D ．4【答案】C【解析】设等轴双曲线C ：y 2-x 2＝a 2（a ＞0），28x y =的准线l ：y ＝﹣2，由C 与抛物线的准线交于A ，B 两点，且AB =A ，B 的坐标能求出C 的实轴长． 【详解】设等轴双曲线C ：y 2-x 2＝a 2（a ＞0），28x y =的准线l ：y ＝﹣2，∵C 与抛物线28x y =的准线l ：y ＝﹣2交于A ，B 两点，且AB =，∴A -2），B 2），将A 点坐标代入双曲线方程得a 2＝1，∴a ＝1． 所以实轴长为2. 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线、抛物线的性质和应用，合理地进行等价转化，属于基础题．11．一个圆锥的母线长为2+，且母线与底面所成角为4π，则该圆锥内切球的表面积为（ ）A ．2πB ．8πC D ．(6π+【答案】B【解析】由已知求得圆锥的底面半径与高，再由等面积法求出该圆锥内切球的半径，再由球的表面积公式得答案． 【详解】作出圆锥截面图如图所示，∵母线长为222+，圆锥的母线与底面的夹角为4π，∴圆锥底面半径与高均为22+．设内切球的半径为r ，则利用轴截面的等面积可得()()()()112=222222222222+2r +++⎡⎤⨯⨯⨯+⎣⎦∴r ＝2，∴该圆锥内切球的表面积为4π×22＝8π． 故选：B ．【点睛】本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键，属于中档题．12．已知()f x '是定义在R 上的函数()f x 的导函数，若()()3f x f x x =-+，且当0x ≥时，()232f x x '>，则不等式()()2212331f x f x x x +-<++的解集为（ ）A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由已知条件，构造函数()()32x g x f x =-，求导得()g x 在[)0,+∞上递增，又()()()()33022x x g x g x f x f x --=----=，得()g x 在R 上是偶函数.不等式()()2212331f x f x x x +-<++化简为()()1g x g x +<，得1x x +<，计算即可.【详解】当0x ≥时，满足()232f x x '>，则()2320f x x '->，构造函数()()32x g x f x =-，则()()()'3'''23022x g x f x f x x ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，所以()g x 在[)0,+∞上递增.且()()3f x f x x =-+在R 上成立，又()()32x g x f x -=-+，所以()()()()33022x x g x g x f x f x --=----=，所以()g x 在R 上是偶函数.则不等式()()2212331f x f x x x +-<++化简为()()233112x x f x f x +++-<，所以()()()()()()()33213311110222x x x x g x g x f x f x f x f x ++++-=+--+=+--<，得()()1g x g x +<，所以1x x +<，计算得21x <-. 故选：B 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.二、填空题13．设函数()()()()22,03,0x x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()5f 的值为________. 【答案】12【解析】利用函数的性质得f （5）＝f （2）＝f （﹣1），由此能求出f （5）的值． 【详解】∵函数()()()()2xx 2x 0f x f x 3x 0⎧-≤⎪=⎨-⎪⎩，，＞，∴f （5）＝f （2）＝f （﹣1）＝（﹣1）2﹣2﹣112=． 故答案为12． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知向量()42,6a m =+r ，()2,b m =r ，若向量a r ，b r反向，则实数m 的值为______.【答案】2-【解析】由题意存在实数k 使()0b ka k =<r r，得()()4,2,62m m k +=，解得m 的值即可. 【详解】已知向量()42,6a m =+r ，()2,b m =r ，若向量a r ，b r反向，则存在实数k 使()0b ka k =<r r ，所以()()4,2,62m m k +=，即2426km km k =+⎧⎨=⎩解得14k =（舍）或13k =-，进而2m =-. 故答案为：-2 【点睛】本题考查实数值的求法，注意向量共线的性质的合理运用，属于基础题．15．已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边为x 轴的正半轴，终边上有一点P 的坐标为()3,4-，则()()sin cos πθπθ-++=______.【答案】75-【解析】根据三角函数的定义，求出sin θ，cos θ，利用诱导公式即可求解. 【详解】 由题意有4sin 5θ=-，3cos 5θ=， 则()()sin cos sin cos πθπθθθ-++=-437555⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭. 故答案为：75- 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，属于中档题.16．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”若各项均为正数的等比数列{}n a 是一个“2020积数列”，且11a >，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为______. 【答案】1010【解析】利用新定义，求得数列{a n }的第1009项为1，再利用a 1＞1，q ＞0，即可求得结论． 【详解】由题意，a 2020＝a 1a 2…a 2020，∴a 1a 2…a 2019＝1，∴a 1a 2019＝a 2a 2018＝a 3a 2017＝…＝a 1009a 1011＝a 10092＝1，∵a 1＞1，q ＞0， ∴a 1008＞1，a 1009=1，a 1010<1，∴前n 项积最大时n 的值为1010． 故答案为：1010 【点睛】本题考查等比数列前n 项的乘积取最大值时n 的值的求法，考查等比数列的性质等基础知识、运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．三、解答题17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且52sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.（1）求角A ；（2）若3a b c =+，且ABC ∆外接圆的半径为1，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3A π=；（2）【解析】（1）由诱导公式和正弦定理，对52sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭化简得2sin cos sin C A C =，从而得1cos 2A =，进而得角A ；（2）由题意得ABC ∆外接圆的半径1R =，由正弦定理和（1）得2sin a R A ==由余弦定理得22()3a b c bc =+-，，从而得8bc =，再利用三角形面积公式计算即可. 【详解】 （1）∵52sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，∴2cos cos cos c A a B b A =+， 由正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos sin()sin C A A B B A A B C =+=+=， ∴2sin cos sin C A C =，又0C π<<，∴sin 0C ≠，∴1cos 2A =，又0A π<<，∴3A π=.（2）设ABC ∆外接圆的半径为R ，则1R =，由正弦定理和（1）得2sin a R A ==由余弦定理得22222cos()33a b c bc b c bc π=+-=+-，且3a b c =+，即3273bc =-，∴8bc =，∴ABC ∆的面积11sin 8222S bc A ==⨯⨯=. 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，也考查了诱导公式和三角形外接圆半径的转化，属于基础题.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =－，数列{}n b 满足12b =，128n n n b b a +-=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a -=；（2）()12326n n +-⋅+【解析】（1）令1n =，由11a S =计算出1a 的值，再令2n ≥，由1n n n a S S -=-计算出n a ，再验证1a 是否满足()2n a n ≥的表达式，由此可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由题意得出21282n n n n b b a ++-==，然后在等式两边同时除以12n +可得出11222n n n n b b ++-=，可知数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列，由此求出数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，可解出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】（1）当1n =时，111211a S ==-=；当2n ≥时，()()11112121222nn n n n n n n a S S ----=-=---=-=.11a =也适合12n n a -=，因此，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=；（2）21282n n n n b b a ++-==Q ，在等式两边同时除以12n +得11222n n n n b b ++-=，且112b =. 所以，数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，()121212n nb n n ∴=+-=-， ()212n n b n ∴=-⋅.()123123252212n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，得()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，上式-下式得()12312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⋅L ()()()31112122212322612n n n n n -++-=+--⋅=-⋅--，因此，()12326n n T n +⋅=-+.【点睛】本题考查由前n 项和n S 求数列通项n a ，同时也考查了构造法求数列的通项以及错位相减法求和，在利用前n 项和n S 求数列通项n a 时，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来计算，但需对1a 是否满足()2n a n ≥的表达式进行验证，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒.（1）证明：BC ∥平面PAD ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为43PCD ∆的面积. 【答案】（1）见解析；（2）7【解析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可；（2）取AD 的中点M ，连接PM ，CM ．证明CM ⊥AD ．再由已知证明PM ⊥AD ，PM ⊥平面ABCD ，可得PM ⊥CM ，设BC x =，则2AD x =，CM x =，2CD x =，3PM x =，2PC PD x ==，取CD 的中点N ，连接PN ，得PN ⊥CD ，且PN ＝142x ，由四棱锥P ABCD -的体积为43x ＝2．进而得到PCD ∆的面积. 【详解】（1）在平面ABCD 内，因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥. 又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故BC ∥平面PAD . （2）取AD 的中点M ，连接PM ，CM ，由12AB BC AD ==，及BC AD ∥，90ABC ∠=︒，得四边形ABCM 为正方形，则CM AD ⊥，因为侧面PAD 是等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，所以PM AD ⊥，因为PM ⊂平面PAD ，所以PM ⊥平面ABCD .因为CM ⊂平面ABCD ，所以PM CM ⊥.设BC x =，则2AD x =，CM x =，2CD x =，3PM x =，2PC PD x ==.因为四棱锥P ABCD -的体积为43，所以13ABCD V S PM =⋅()11234332x x x x =⨯+⋅=，所以2x =，取CD 的中点N ，连接PN ，则PN CD ⊥，所以14142PN x ==. 因此PCD ∆的面积1122142722S CD PN =⨯=⨯⨯=.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积和三角形面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．20．已知抛物线()2:20C y px p =>，直线1y x =-与C 相交所得的长为8．()1求p 的值；()2过原点O 直线l 与抛物线C 交于M 点，与直线1x =-交于H 点，过点H 作y 轴的垂线交抛物线C 于N 点，求证：直线MN 过定点． 【答案】（1）2（2）见证明【解析】()1直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理根据弦长公式列方程即可求出p的值；()2由()1可得24y x =，设2001,4M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出点N 的坐标，利用两点式可表示出直线MN 的方程()020414y y x y =--，从而可求得直线过定点． 【详解】()1由2y 2px y x 1⎧=⎨=-⎩，消x 可得2y 2py 2p 0--=，12y y 2p ∴+=，12y y 2p =-， ∴()22211211y y 4y y 24p 8p 8++-=+=，解得p 2=或p 4(=-舍去)，p 2∴=，()2由()1可得2y 4x =，设2001M y ,y 4⎛⎫⎪⎝⎭， ∴直线OM 的方程04y x y =， 当x 1=-时，H 04y y ∴=-， 代入抛物线方程2y 4x =，可得N 204x y =，20044N ,y y ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，∴直线MN 的斜率0002200208y y 4y k y 16y 44y +==--， 直线MN 的方程为2000204y 1y y x y y 44⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，整理可得()020414y y x y =--， 故直线MN 过点()1,0． 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长公式，直线过定点，属于中档题．判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ；（2）点斜式()0,y k x x =-直线过定点()0,0x .21．已知函数()cos xf x e x =-．（1）求()f x 在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求证：()f x 在,2π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上仅有2个零点． 【答案】（1）0x y -=；（2）证明见解析.【解析】（1）求出()0f 和()0f '，然后利用点斜式写出所求切线的方程；（2）利用当0x >时，cos x e x >来说明函数()y f x =在()0,∞+上没有零点，并利用函数()y f x =的单调性和零点存在定理证明出函数()y f x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且只有一个零点，并结合()00f =，可证明出函数()y f x =在区间,2π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有两个零点. 【详解】（1）()cos xf x e x =-Q ，则()sin xf x e x '=+，()00f ∴=，()01f '=.因此，函数()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，即0x y -=； （2）当0x >时，1cos x e x >≥，此时，()cos 0xf x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点；又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且只有一个零点.()sin x f x e x '=+，构造函数()sin x g x e x =+，则()cos x g x e x '=+，当02x π-<<时，()cos 0x g x e x '=+>，所以，函数()y f x '=在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，2102f e ππ-⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭Q ，()010f '=>，由零点存在定理知，存在,02t π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()0f t '=，且当2x t π-<<时，()0f x '<，当0t x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又202f e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以()02f f t π⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且只有一个零点.综上所述，函数()y f x =在区间,2π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有两个零点.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，以及利用导数研究函数零点个数问题，一般对于函数的零点个数问题，常利用单调性与零点存在定理来解决，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ． 【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫⎪⎝⎭； 设()22Q ,ρθ，则由2sin 3{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭；所以Q 2P = 【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题. 23．已知函数()32f x x x =--． （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）若()f x 的最大值为m ，a 、b 、c 为正数且a b c m ++=，求证：2223a b c ++≥．【答案】（1）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【解析】（1）分0x ≤、03x <<、3x ≥去绝对值，分段解不等式()2f x ≥，可得出该不等式的解集；（2）由（1）可将函数()y f x =表示为分段函数，可求出函数()y f x =的最大值为3m =，可得出3a b c ++=，然后利用柯西不等式得出()()()2222111a b c a b c ++++≥++，由此可证明出2223a b c ++≥.【详解】（1）当0x ≤时，()()32323f x x x x x x =--=-+=+，由()2f x ≥，得32x +≥，解得1x ≥-，此时10x -≤≤；当03x <<时，()()323233f x x x x x x =--=--=-，由()2f x ≥，得332x -≥，解得13x ≤，此时103x <≤； 当3x ≥时，()()323236f x x x x x x =--=--=--≤-，此时不等式()2f x ≥无解.综上所述，不等式()2f x ≥的解集为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）由（1）可知()3,033,033,3x x f x x x x x +≤⎧⎪=-<<⎨⎪--≥⎩.当0x ≤时，()33f x x =+≤；当03x <<时，()()336,3f x x =-∈-；当3x ≥时，()36f x x =--≤-.所以，函数()y f x =的最大值为3m =，则3a b c ++=. 由柯西不等式可得()()()2222111a b ca b c ++++≥++，即()222233ab c ++≥，即2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立. 因此，2223a b c ++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值函数的最值以及利用柯西不等式证明不等式，在求解绝对值不等式时，一般利用零点分段法去绝对值来求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.。

绝密★启用前湖南省五市十校2020届高三上学期第二次联考数学（理）试卷学校：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设集合{}0,021x M xN x x x ⎧⎫=≤=<<⎨⎬-⎩⎭，则M N =I ( ) A. {}01x x ≤< B. {}02x x ≤< C. {}01x x << D. {}02x x <<2.设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=( )A. 725-B.725C. 2425-D.24253.某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为( )A.43πB.3π C. 2π D.83π 4.以下说法错误的是( )A.命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B.“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C.若p q ∧为假命题，则p q 、均为假命题D.若命题2:R,10p x x x ∃∈++<，则2:R,10p x x ∀∈++≥ 5.若复数()22iR 1ia a +∈+是纯虚数，则复数22i a +在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为6cm 、深2cm 的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为( ) A.8cmB.10cmC.18cmD.20cm7.已知函数())cos(2)()2f x x x πϕϕϕ+++<的图像关于直线0x =对称，则( )A. ()f x 的最小正周期为π，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数B. ()f x 的最小正周期为π，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数C. ()f x 的最小正周期为2π，且在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函 D. ()f x 的最小正周期为2π，且在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 8.若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=,且[]0,1x ∈时()f x x =则方程()3log f x x =根的个数是( ) A.2B.3C.4D. 69.设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2241x y x +++的取值范围是( )A. []4,12B. []4,11C. []2,6D. []1,510.函数()()()21212ax x x f x x x ⎧+->⎪=⎨-+≤⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. (],1-∞-B. 1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C. 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦11.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,2b c ==，O 为ABC △的外心，则AO BC ⋅=( ) A. 132B.52 C. 52-D.612.已知()f x '是函数()()2ln x x b f x x+-=导函数，若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f x x f x '>-⋅，则实数b 的取值范围是( )A. (-∞B. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. (),3-∞二、填空题13.知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若212n n S n T n +=+，则88a b =____________. 14.观察分析下表中的数据：15.已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11[,1]2x ∀∈，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.16.以双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点(),0F c 为圆心,以a 为半径的圆与C 的一条渐近线交于,A B 两点,若23AB c =,则双曲线C 的离心率为__________.三、解答题17.设ABC △的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,已知11,2,cos 4a b C ===. 1.求ABC △的周长; 2.求()cos A C -的值.18.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且*1N 2n a n +=∈. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12nn n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和为n T .19.如图，在梯形ABCD 中，//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.(1)证明：BC ⊥平面ACFE ；(2)设点M 在线段EF 上运动，平面MAB 与平面ECB 所成锐二面角为θ，求cos θ的取值范围。