分式及分式方程解法讲义

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分式及分式方程

一、知识讲解

1．分式

用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成AB的形式，若B中含有字母，式子AB就叫做分式．

2，当x____时，分式无意义；当x_____时，分式的值为0.

3．分式的基本性质

AB=,AMAAMBMBBM（其中M是不等于零的整式）

4．分式的符号法则

ab=aaabbb．

5．分式的运算

（1）加减法：,ababacadbccccbdbd．

（2）乘除法：ab·,cacacadaddbdbdbcbc

（3）乘方（ab）n=nnab（n为正整数）

6．约分

根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分．

7．通分

根据分式的基本性质，•把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分．

易混,易错点分析:

1,在分式通分时最简公分母的确定方法(1)系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

2,取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.(3)如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.2,在分式约分时分子分母公因式的判断方法(1)系数取分子,分母系数的最大公约数作为公因式的系数.(2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.(3)如果分子,分母是多项式,则应先把分子,分母分解因式,然后判断公因式.

3,分式计算的最后结果必须是最简形式. 学习好资料 欢迎下载

重点,难点:1,繁杂形式的分式通分及整式与分式结合形式的通分.2,约分化简.

二、例题解析

例1 填空题：

（1）若分式2242xxx的值为零，则x的值为________；

（2）若a，b都是正数，且1a－1b=222,ababab则，则=______．

【解答】解题要点:分式的分子为零,且分母不为0.（1）由x2=4，得x=±2，把x=2代入分母，得x2－x－2=4－2－2=0，

把x=－2•代入分母，得x2－x－2=4+2－2=4≠0，故答案为－2．

（2）由整体代换法：把1a－1b=22baababab化为，b2－a2=2ab，

即a2－b2=－2ab，代入22222abababababab中得=12，故答案为12．

例2 选择题：

（1）已知两个分式：A=2411,422Bxxx，其中x≠±2，

那么A与B的关系是（ ）

A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．A大于B

（2）已知23,2343abcabcabc则的值为（ ）

A．－57 B．57 C．97 D．－97

【解答】（1）B=22112(2)42244xxxxxx，

∴A+B=0，A，B互为相反数，选C．

（2）设234abc=k，则a=2k，b=3k，c=4k，

代入232399,3377abcabckabcabck中可得，选C．

例3先化简再求值：2221412211aaaaaa，其中a满足a2－a=0．

【解答】原式=21(2)(2)(1)(1)2(1)1aaaaaaa=（a－2）（a+1）=a2－a－2 学习好资料 欢迎下载

由a2－a=0得原式=－2

（2011四川南充市，15，6分）先化简，再求值：21xx(xx1－2),其中x=2.

【答案】解：方法一：21(2)1xxxx=221211xxxxxx=12(1)(1)(1)(1)xxxxxxxx

=121(1)(1)xxxx=12(1)(1)(1)(1)xxxxxx=12(1)(1)xxxx=121(1)(1)(1)(1)xxxxxxx

=(1)(1)(1)xxx=11x

当x=2时，11x=121=-1

方法二：21(2)1xxxx=212()1xxxxxx=2121xxxxx=1(1)(1)xxxxx

=(1)(1)(1)xxxxx=11x

当x=2时，11x=121=-1.

分式方程

一、知识点.

1．分式方程的概念

分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程．

2．解分式方程的基本思想方法

分式方程去分母换元 整式方程．

3．解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验

4．列分式方程解应用题的步骤和注意事项

列分式方程解应用题的一般步骤为：

①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；

②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；

③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；

④解方程并检验；

⑤写出答案．

注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，学习好资料 欢迎下载

还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．

二、例题解析

例1 解方程：2xx+22xx=284x．

【分析】由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是──去分母法，并且在解此方程时必须验根．

【解答】去分母，得x（x－2）+（x+2）=8．

x2－2x+x2+4x+4=8

整理，得x2+x－2=0．

解得x1=－2，x2=1．

经检验，x1=1为原方程的根，x2=－2是增根．

∴原方程的根是x=1．

【点评】去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程．注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法．

例2 已知关于x的方程2x2－kx+1=0的一个解与方程211xx=4的解相同．

（1）求k的值；

（2）求方程2x2－kx+1=0的另一个解．

【分析】解分式方程必验根．

【解答】（1）∵211xx=4，

∴2x+1=4－4x，

∴x=12．

经检验x=12是原方程的解．把x=12代入方程2x2－kx+1=0，解得k=3．

（2）解2x2－3x+1=0，得x1=12，x2=1．

∴方程2x2－kx+1=0的另一个解为x=1．

【点评】分式方程与一元二次方程“珠联壁合”，旨在通过分式方程的解来确定一元二次方程的待定系数，起到通过一题考查多个知识点的目的．

课后作业 学习好资料 欢迎下载

一 选择（36分）

1 下列运算正确的是（ ）

A -40=1 B （-3）-1=31 C （-2m-n）2=4m-n D （a+b）-1=a-1+b-1

2 分式28,9,12zyxxyzxxzy的最简公分母是（ ）

A 72xyz2 B 108xyz C 72xyz D 96xyz2

3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（ ）

A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000

4 如果把分式yxx232中的x,y都扩大3倍，那么分式的值（ ）

A 扩大3倍 B 不变 C 缩小3倍 D 扩大2倍

5 若分式6522xxx的值为0，则x的值为（ ）

A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3

6 计算1111112xx的结果是（ ）

A 1 B x+1 C xx1 D 11x

7 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x人挖土，其它的人运土，列方程

①3172xx ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372xx上述所列方程，正确的有（ ）个A 1 B 2 C 3 D 4

8 在mayxxyxx1,3,3,21,21,12中，分式的个数是（ ）

A 2 B 3 C 4 D 5

9 若分式方程xaxax321有增根，则a的值是（ ）

A -1 B 0 C 1 D 2

10 若3,111baabbaba则的值是（ ）

A -2 B 2 C 3 D -3 学习好资料 欢迎下载

11 把分式方程12121xxx，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ）

A 1-(1-x)=1 B 1+(1-x)=1 c 1-(1-x)=x-2 D 1+(1-x)=x-2

12 已知 kbaccabcba，则直线y=kx+2k一定经过（ ）

A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限

二 填空（21分）

1 写出一个分母至少含有两项且能够约分的分式

2 abababa2332222

3 7m=3,7n=5,则72m-n=

4 一组按规律排列的式子：0,,,,41138252ababababab，其中第7个式子是

第n个式子是

5 2312008410=

6 方程04142xxx的解是

7 若2222,2babababa则=

三 化简（12分）

1 dcdbacab234322222 2 111122aaaaaa