分式方程及解法

石井初中八年级数学导学案

课题：可化为一元一次方程的分式方程的解法（1）主备人：李占锋 使用人

学习目标：1、理解分式方程的概念

2、掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法。

自学指导

自学课本P12—15。重点学习可化为一元一次方程的分式方程的解法，认识解分式方程可能产生増根，理解检验的必要性并会进行检验。

自学自练：

1、问题：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.

设轮船在静水中的速度为x，则轮船在顺水中的速度为 , 轮船在逆水中的速度为 ;轮船在顺水中航行80千米所需的时间为 ，逆水航行60千米所需的时间为 。可列出方程 .

2、方程中含有 ，并且分母中 的方程叫分式方程

3、判断下列各式哪个是分式方程．

(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5)

4、看课本14页解分式方程的实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去 ，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的 .

5、解方程： 12112xx.

解得的X=1代入原方程，方程的左边和右边分母都为0，左右两个分式都没有意义，应当舍去。解分式方程必须检验，方法是

6、 解方程：271326xxx

请记录下你的困惑： 当堂检测

1．分式方程572xx的解为

2．分式方程2857xx的解为

3．若分式751y的值为12，则y＝

1 分式方程的解法

多年的教学，总结了一下分式方程的解法，供大家参考，希望对大家有所帮助。

方法1：计算法

例 解方程 32223xxx

解：移项，得

是原方程的根时，检验：当计算，得4,022440164022164-032223xxxxxxxxxxxx

原理：分式的值为0，分子为0，分母不为0.方法是把所有的项集中于方程左边，右边为0 ，从而利用分式的值为0求出未知数。

方法2：分式相等法

例 解方程 32223xxx

解：原方程化为

416412344322322232222322222322xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

经检验，x=4是原方程的解。

原理：两分式相等，分母相等，分子也相等。

方法3：等式性质法

例 解方程 32223xxx

解：方程两边同乘22xx得

4164123443223222322xxxxxxxxxx

经检验，x=4是原方程的解。

原理：利用等式性质，去分母化为整式方程。方法2结合方法3，降低去分母的难度。

2 方法4：比例式法

例 解方程 415xx

解：两外项的乘积等于两內项的乘积

55554154xxxxxx

经检验，x=-5是原方程的解。

一、知识清单

1.分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程.

2.解分式方程的基本思想是：去分母，化为整式方程.

3.解分式方程的一般步骤是：

去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1→检验.

4.分式方程增根：使最简公分母为0的未知数的值叫做分式方程的增根.

二、基础夯实

1.解下列分式方程：

（1）xxx23124 （2）1)2)(1(21xxxx

2.当m为何值时，分式方程131212xxxm会产生增根？

三、经典例题

例1.我们容易求得分式方程2211xx的解为2x或21x（口头检验一下）.

（1）方程3311xx的解为 ；

（2）以x为未知数的方程ccxx11的解为 ；

（3）解方程：526423234xxxx

分式方程的解法

例2.解方程45342312xxxxxxxx

例3.解方程xxxxxxx11)1999)(1998(1...)2)(1(1)1(1.

例4.当a为何值时，以x为未知数的方程324xax无解？

例5.解方程组（1）514131accacbbcbaab （2）4311127116511yxxzxzzyzyyx

四、方法归纳

1.解分式方程常用的方法：去分母法、部分分式法、逐项通分或整体通分法、裂项相消法、

换元法、倒置变换法等，还可以巧妙应用“ccxx11”型的解是cx或cx1.

2.利用增根的意义解题是一类重要题型，其方法为：（1）先将分式方程转化为整式方程；

（2）从原分式方程中求出使分母为零的增根；（3）把增根代入所得到的整式方程中.

分式方程的解法总

结

分式方程的解法

分式方程的解法是数学思想

中转化化归思想

的又一

体现

:把分式方程转化为

整

式方程进行求解

,转化的方法是利用等式的性质在分式方程的左右

两边分别乘

以各

分母的最简公分母

.

解分式方程的一

般步骤

:

(l)去

分母:在

分式方程的左右

两边

分别乘以最简公分母

9把分式方程转化为整

式方程(目

前只学习可

转化为一

元一

次方程的分式方程);

(2)解

整式方程

:

(3)检

验:把

整

式方程的解代入最简公分母

,结果不为0的

是原分式方

程的解(也

叫根),否

则就是增根

,必须舍去

.

例⒈

解分式方杜

孑是T+1=√

纡·

解:《

男~D十1=丁

耳(此步是为了正

确确定分式方程的最简公分母

)

方程两边同时乘以

《万

-1)得

:

3+石

(万ˉ

1)=万2

解这个整

式方程得

:

男=3

检验

:把丌

=3代入丙

←-1)得

:

3×

l3-1)≠0

所以丌=3是

原分式方程的

解

.

习

题1.解

方程

:

⑴

白

=争

⑵三

=⊥·

艿

艿一2

第1页

习题

2。解方程

:

⑴

孟〓

圭:

⑵

≠⒒-爿

纡砘

例⒉

觞程

击=砉·

眸

圭

=面

希习

方程两边同时乘以

←+lX艿-1)得

:

X十1=2

解这

个整

式方程得

:

豸=1

检验

:把丌

=1代入

←十

1》-D得

:

ll+1)×ll-1)=0

所以J=1是

增根

,原分式方程无解

.

注意:解

分式方程必

须

检验(即

验根),增

根表示原分式方程无解

.

增根

在例2的

解法中

,x〓1虽

是整式方程J+1〓

2的

解

,但却使分式

方程左右

两边的

分式无意义

,不适合原

分式方程的解,y=1就

是增根

.

使分式方程的最

简公分母等于0的

解

,不是原分式方程的解

,是增根

.

一

般地

,解分式方程时

,去分母后所得整式方程的

解可能使最简公分母为

0,即

产生

增根

,因此一

定要检验

:将整式方程的

解代入最简公分母

,如果最简公分母不

为

0,则整

式方程的解是原

分式方程的解

;否则

,这个解不是原分式方

程的解

,是增

根

,原分式方程无解

.

重要的

事情说三

遍

:解分式方程要检验

,解分式方程要检验

,解分式方程要

:

第2页

验

注意

:

(l)增

根使最简公

分母等于

0。

(2)增

根表示原分式

方程无解。