分式方程及其解法

1 9.3分式方程（1）

一、内容和内容解析

1．内容

分式方程的概念和解法

2．内容解析

分式方程是分母中含有未知数的方程，它是整式方程的延伸与发展，它是初中阶段是要学的又一类方程．

解分式方程的基本思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程．在去分母时方程两边所乘的最简公分母可能为零，因而所解整式方程的解不一定是分式方程的解，所以，检验整式方程的解是不是分式方程的解是解分式方程中必不可少的一步．

基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：分式方程的解法．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）理解分式方程的概念．

（2）理解并掌握解分式方程的一般步骤，并学会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单分式方程．

（3）了解检验在解分式方程中的必要性．

2．目标解析

目标（1）是让学生理解分式方程的概念，掌握分式方程的特征——分母中含有未知数，并学会判断一个方程是否为分式方程．

目标（2）是让学生知道解分式方程的一般步骤是去分母、解整式方程、检验、写出分式方程的解；熟悉解分式方程的基本思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想；让学生知道去分母的关键是找各分母的最简公分母；目前只要求学生掌握去分母后能转化为一元一次方程的分式方程的解法．

目标（3）是让学生知道在解分式方程去分母时两边同乘了最简公分母可能会等于零，会使原分式方程无意义，因而需要检验．

三、教学问题诊断分析

学生在只学习一元一次方程及二元一次方程等简单整式方程的基础上学习分式方程，在用去分母将分式方程转化为整式方程，通过先求出整式方程的解进而检验是否为分式方程的解，为什么有些整式方程的解是原分式方程的解，而有一些不是原分式方程的解，学生一时难以接受，更不明白为什么会出现有些分式方程无解的情况．

基于以上分析，本课的教学难点是：了解去分母解分式方程检验的必要性．

1 分式方程的解法

多年的教学，总结了一下分式方程的解法，供大家参考，希望对大家有所帮助。

方法1：计算法

例 解方程 32223xxx

解：移项，得

是原方程的根时，检验：当计算，得4,022440164022164-032223xxxxxxxxxxxx

原理：分式的值为0，分子为0，分母不为0.方法是把所有的项集中于方程左边，右边为0 ，从而利用分式的值为0求出未知数。

方法2：分式相等法

例 解方程 32223xxx

解：原方程化为

416412344322322232222322222322xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

经检验，x=4是原方程的解。

原理：两分式相等，分母相等，分子也相等。

方法3：等式性质法

例 解方程 32223xxx

解：方程两边同乘22xx得

4164123443223222322xxxxxxxxxx

经检验，x=4是原方程的解。

原理：利用等式性质，去分母化为整式方程。方法2结合方法3，降低去分母的难度。

2 方法4：比例式法

例 解方程 415xx

解：两外项的乘积等于两內项的乘积

55554154xxxxxx

经检验，x=-5是原方程的解。

一、知识清单

1.分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程.

2.解分式方程的基本思想是：去分母，化为整式方程.

3.解分式方程的一般步骤是：

去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1→检验.

4.分式方程增根：使最简公分母为0的未知数的值叫做分式方程的增根.

二、基础夯实

1.解下列分式方程：

（1）xxx23124 （2）1)2)(1(21xxxx

2.当m为何值时，分式方程131212xxxm会产生增根？

三、经典例题

例1.我们容易求得分式方程2211xx的解为2x或21x（口头检验一下）.

（1）方程3311xx的解为 ；

（2）以x为未知数的方程ccxx11的解为 ；

（3）解方程：526423234xxxx

分式方程的解法

例2.解方程45342312xxxxxxxx

例3.解方程xxxxxxx11)1999)(1998(1...)2)(1(1)1(1.

例4.当a为何值时，以x为未知数的方程324xax无解？

例5.解方程组（1）514131accacbbcbaab （2）4311127116511yxxzxzzyzyyx

四、方法归纳

1.解分式方程常用的方法：去分母法、部分分式法、逐项通分或整体通分法、裂项相消法、

换元法、倒置变换法等，还可以巧妙应用“ccxx11”型的解是cx或cx1.

2.利用增根的意义解题是一类重要题型，其方法为：（1）先将分式方程转化为整式方程；

（2）从原分式方程中求出使分母为零的增根；（3）把增根代入所得到的整式方程中.

分式方程的解法总

结

分式方程的解法

分式方程的解法是数学思想

中转化化归思想

的又一

体现

:把分式方程转化为

整

式方程进行求解

,转化的方法是利用等式的性质在分式方程的左右

两边分别乘

以各

分母的最简公分母

.

解分式方程的一

般步骤

:

(l)去

分母:在

分式方程的左右

两边

分别乘以最简公分母

9把分式方程转化为整

式方程(目

前只学习可

转化为一

元一

次方程的分式方程);

(2)解

整式方程

:

(3)检

验:把

整

式方程的解代入最简公分母

,结果不为0的

是原分式方

程的解(也

叫根),否

则就是增根

,必须舍去

.

例⒈

解分式方杜

孑是T+1=√

纡·

解:《

男~D十1=丁

耳(此步是为了正

确确定分式方程的最简公分母

)

方程两边同时乘以

《万

-1)得

:

3+石

(万ˉ

1)=万2

解这个整

式方程得

:

男=3

检验

:把丌

=3代入丙

←-1)得

:

3×

l3-1)≠0

所以丌=3是

原分式方程的

解

.

习

题1.解

方程

:

⑴

白

=争

⑵三

=⊥·

艿

艿一2

第1页

习题

2。解方程

:

⑴

孟〓

圭:

⑵

≠⒒-爿

纡砘

例⒉

觞程

击=砉·

眸

圭

=面

希习

方程两边同时乘以

←+lX艿-1)得

:

X十1=2

解这

个整

式方程得

:

豸=1

检验

:把丌

=1代入

←十

1》-D得

:

ll+1)×ll-1)=0

所以J=1是

增根

,原分式方程无解

.

注意:解

分式方程必

须

检验(即

验根),增

根表示原分式方程无解

.

增根

在例2的

解法中

,x〓1虽

是整式方程J+1〓

2的

解

,但却使分式

方程左右

两边的

分式无意义

,不适合原

分式方程的解,y=1就

是增根

.

使分式方程的最

简公分母等于0的

解

,不是原分式方程的解

,是增根

.

一

般地

,解分式方程时

,去分母后所得整式方程的

解可能使最简公分母为

0,即

产生

增根

,因此一

定要检验

:将整式方程的

解代入最简公分母

,如果最简公分母不

为

0,则整

式方程的解是原

分式方程的解

;否则

,这个解不是原分式方

程的解

,是增

根

,原分式方程无解

.

重要的

事情说三

遍

:解分式方程要检验

,解分式方程要检验

,解分式方程要

:

第2页

验

注意

:

(l)增

根使最简公

分母等于

0。

(2)增

根表示原分式

方程无解。