分式方程(定义及解法)

石井初中八年级数学导学案

课题：可化为一元一次方程的分式方程的解法（1）主备人：李占锋 使用人

学习目标：1、理解分式方程的概念

2、掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法。

自学指导

自学课本P12—15。重点学习可化为一元一次方程的分式方程的解法，认识解分式方程可能产生増根，理解检验的必要性并会进行检验。

自学自练：

1、问题：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.

设轮船在静水中的速度为x，则轮船在顺水中的速度为 , 轮船在逆水中的速度为 ;轮船在顺水中航行80千米所需的时间为 ，逆水航行60千米所需的时间为 。可列出方程 .

2、方程中含有 ，并且分母中 的方程叫分式方程

3、判断下列各式哪个是分式方程．

(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5)

4、看课本14页解分式方程的实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去 ，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的 .

5、解方程： 12112xx.

解得的X=1代入原方程，方程的左边和右边分母都为0，左右两个分式都没有意义，应当舍去。解分式方程必须检验，方法是

6、 解方程：271326xxx

请记录下你的困惑： 当堂检测

1．分式方程572xx的解为

2．分式方程2857xx的解为

3．若分式751y的值为12，则y＝

1 分式方程的解法

多年的教学，总结了一下分式方程的解法，供大家参考，希望对大家有所帮助。

方法1：计算法

例 解方程 32223xxx

解：移项，得

是原方程的根时，检验：当计算，得4,022440164022164-032223xxxxxxxxxxxx

原理：分式的值为0，分子为0，分母不为0.方法是把所有的项集中于方程左边，右边为0 ，从而利用分式的值为0求出未知数。

方法2：分式相等法

例 解方程 32223xxx

解：原方程化为

416412344322322232222322222322xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

经检验，x=4是原方程的解。

原理：两分式相等，分母相等，分子也相等。

方法3：等式性质法

例 解方程 32223xxx

解：方程两边同乘22xx得

4164123443223222322xxxxxxxxxx

经检验，x=4是原方程的解。

原理：利用等式性质，去分母化为整式方程。方法2结合方法3，降低去分母的难度。

2 方法4：比例式法

例 解方程 415xx

解：两外项的乘积等于两內项的乘积

55554154xxxxxx

经检验，x=-5是原方程的解。

分式方程知识点归纳

分式方程是指含有分子和分母的方程，分子和分母分别为代数式或数字，并且方程中包含有未知数的方程。下面将分式方程的知识点进行归纳，以便更好地理解和应用分式方程。

一、基本概念：

1.分式方程的定义：含有未知数、带有分式形式的等式称为分式方程。

2.分式的定义：分式是由一个或多个代数式构成的比。

二、分式方程的解的性质：

1.分式方程的等价方程：分式方程可以转化为多项式方程进行求解，这样可以得到等价的方程，两者的解是相同的。

2.分式方程的根的性质：一个分式方程的解，如果使得分式方程中的分子等于0，则该解就是方程的根。

三、分数的性质：

1.分式的约分：分式的分子和分母同时除以它们的公因式，可以得到分式的约分式。

2.分式的通分：将不同分母的分式通过找到它们的最小公倍数，转化为具有相同分母的等价分式。

3.分数的四则运算：分数之间可以进行加减乘除的运算，需要注意分子和分母的相应运算。

四、分式方程的解法： 1.乘法解法：对分式方程的两边同乘以一个使得方程中的分母消去的数，从而化简为一个多项式方程。

2.加减消去解法：对分式方程的两边同乘以使得方程中的分母消去的数，然后将方程中的分式整理为一个多项式，并进行求解。

3.代入解法：将分式方程中的一个未知数表示成另一个未知数的代数式，再代入到分式方程中，得到一个不含有代入的未知数的分式方程，进而进行求解。

4.通分解法：对分式方程的两边同时乘以方程中所有的分母的积，将分式方程化简为一个多项式方程进行求解。

五、分式方程的解的判定：

1.当方程的分式的分子为0时，方程的解为0。

2.当方程的分式的分子和分母存在着相同的因式时，方程的解为使得分式方程中的分子等于0的值。

3.当分式方程的分母的值等于0时，方程没有解。

六、应用：

分式方程在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学和金融学中，经常需要使用分式方程来解决实际问题。比如计算财务利润率、财务收益率、物体的运动速度等。

明老师初中数学课堂八年级下册分式方程

本文主要针对八年级下册分式方程这个数学知识点进行讲解。介绍分式方程的定义、解法和注意事项。希望通过本文的讲解，能为初中八年级学生更好地掌握这一知识点提供帮助。

一、分式方程是什么？

分式方程是指方程中含有未知数在分式中或分式的分母中，通常表示为$\frac{a}{x}+b=c$或$\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}=c$等形式。其中$\frac{a}{x}$和$\frac{b}{x^2}$为分式项，$c$为常数项，$x$为未知数。

二、分式方程的解法

解分式方程的方法和解一元一次方程类似，主要分为以下步骤：

步骤一：去分母。将方程两端的分式化为通分式，使方程转化为一元一次方程。

步骤二：移项。将常数项移到等式的右边，将含有未知数的项移到等式的左边。

步骤三：化简。对于复杂的式子，可以利用乘法分配律、化简平方等方法将式子化简为更简单的形式。

步骤四：求解。使用解一元一次方程的方法求解未知数的值。

步骤五：检验。将求得的解代入原方程中，检验方程是否成立。

例如，对于方程$\frac{2}{x-3}=4$，我们可以首先将其化简为$2=4(x-3)$，然后移项得$2=4x-12$，进一步化简为$x=\frac{2+12}{4}=3$。最后，将$x=3$代入原方程中检验可知这个解是正确的。

三、分式方程的注意事项

1.分母不能为0。在消去分母的过程中，需要确保分母不为0，否则方程无解。

2.化简时要注意符号。由于分数中含有分子和分母，因此在化简过程中需要特别注意符号的变化，防止出现错误。

3.求解时要考虑特殊情况。有时候方程解可能存在特殊情况，如等式两边可能同时为0，或者含有根号时可能会出现正负号的问题，需要在求解时特别注意。

四、分式方程的实际应用

分式方程在实际生活中有着广泛的应用，如在化学中用于计算物质的比例、计算机网络中用于计算带宽利用率等等。此外，分式方程还可以用于求解有关人口、财富、能源等方面的实际问题，具有很重要的意义。