高中数学必修5：等比数列及其性质 知识点及经典例题(含答案)

四、等比数列1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示（0q ≠）．递推式表示为1n na q a +=或1(2)nn a q n a -=≥． 例如：数列{}n a 满足12n n a a +=，则数列{}n a 是公比为2的等比数列．特别注意：等比数列中任何一项都不为0，公比0q ≠，若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，除了0,0,0,L 这样的常数列之外，其余的也都是等比数列． 注：10a >，1q >时，{}n a 是递增的等比数列；10a >，01q <<时，{}n a 是递减的等比数列； 10a <，01q <<时，{}n a 是递增的等比数列； 10a <，1q >时，{}n a 是递减的等比数列； 1q =时，{}n a 是非零常数列； 0q <时，{}n a 是摆动数列．2．等比中项若三个数a ，G ，b 成等比数列，则G 叫作a 与b 的等比中项． 此时2G ab = 例如：2和8的等比中项为4±． 注：①一个等比数列，从第2项起，每一项都是它的前后两项的等比中项，即212n n n a a a ++=，每一项都是前后距离相同两项的等比中项，即2n n m n m a a a -+=．②当三个数成等比数列时，当四个数成等比数列时，常设这3．等比数列的通项公式等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则11n n a a q -=．4．等比数列的性质（1）等比数列{}n a 的第m 项为m a ，则n mn m a a q -=．★ 例如：7652812310a a q a q a q a q -=====L ．（2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，若2m n p +=，则2m n p a a a =．★例如：2192837465a a a a a a a a a ====，12132n n n a a a a a a --===L ．（3）下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,L 组成公比为mq 的等比数列． 例如：135721,,,,,,n a a a a a -L L 组成公比为2q 的等比数列；51015205,,,,,,n a a a a a L L 组成公比为5q 的等比数列．（4）{}n a 是公比为q 的等比数列，则{}n ka 也是等比数列，公比为q ． （5）{}n a ,{}n b 都是等比数列，则{}n ka ，{||}n a ，2{}n a ，1{}n a ，{}n n a b ，{}n na b 也是等比数列．5．判断一个数列是等比数列的方法 （1）定义法：1n na q a +=（常数）．★ （2）等比中项法：212+=n n n a a a +或211-+=n n n a a a ．★ （3）通项公式法：11=n n a a q-（公比为q ）．（4）前n 项和公式法：(0,0)nn S Aq A A q =-≠≠．例10 已知11a =，121n n a S +=+，试判断{}n a 是否为等比数列，并证明． 解析：121n n a S +=+，则121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得112()2n n n n n a a S S a +--=-=，故13(2)n n a a n +=≥又21121213a S a =+=+=，所以213a a = 所以{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列． 例11 已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+．（1）求证：数列{1}n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．解析：（1）121n n a a +=+Q ，两边同时加1，有112(1)n n a a ++=+由11a =知1120a +=≠，所以10n a +≠，故1121n n a a ++=+ 数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．（2）{1}n a +是等比数列，通项为1111(1)222n n nn a a q --+=+=⨯= 故21nn a =-．数学浪子整理制作，侵权必究。

第一部分必修五数列知识点整理第二章 数列1、数列的定义及数列的通项公式：①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值②i.归纳法若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +iv. 若()nn S f a =，先求1a 11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：112121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=-2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。

② 通项0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；d ＞0时，na 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。

③ 前n 1(1)2n n na d -=+，0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。

④ 性质：ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。

iii. 若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。

iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2a bA +=。

3.等比数列： ① 定义：1n na q a +=（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。

② 通项时为常数列)。

③.前n 项和需特别注意,公比为字母时要讨论.④.性质：ii.{}仍为等比数列则为等比数列 ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k q 。

iii. {}232,,,,n n n n n n a S S S S --K 为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在正项等比数列{a n }中，a 3·a 5＝4，则a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6·a 7＝( )【导学号：47172072】A ．64B ．128C ．256D ．512【解析】 a 3·a 5＝a 1·a 7＝a 2·a 6＝a 24＝4，∵a n ＞0，∴a 4＝2，∴a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6·a 7＝(a 24)3·a 4＝a 74＝27＝128.【答案】 B2．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】 ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4，∴b 6·b 8＝b 27＝16.【答案】 D3．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 不妨设a >b ，由题意得⎩⎨⎧ a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0， 则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎨⎧ ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎨⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.【答案】 D4．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，则下面说法中不正确的是( )【导学号：47172073】A ．{a n ＋2＋a n }是等比数列B ．对于k ∈N *，k ＞1，a k －1＋a k ＋1≠2a kC ．对于n ∈N *，都有a n a n ＋2＞0D ．若a 2＞a 1，则对于任意n ∈N *，都有a n ＋1＞a n【解析】 对于A ，{a n ＋2＋a n }是公比为q 的等比数列，正确；对于B ，对于k ∈N *，k ＞1，a k －1＋a k ＋1＝a k q ＋a k q ， ∵q ≠1，∴a k －1＋a k ＋1≠2a k ，正确；对于C ，a n a n ＋2＝a 2n q 2＞0，正确；对于D ，若a 2＞a 1，q ＞1，则对于任意n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，故不正确．故选D.【答案】 D5．在等比数列{a n }中，a 5a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 15a 5＝( ) A ．3B.13 C ．3或13 D ．－3或－13【解析】 ∵a 5a 11＝a 3a 13＝3，又a 3＋a 13＝4，∴⎩⎨⎧ a 3＝1a 13＝3或⎩⎨⎧a 3＝3a 13＝1，又a 15a 5＝q 10＝a 13a 3，∴a 15a 5的值为3或13. 【答案】 C二、填空题6．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.【解析】 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝a ·c＝(5＋26)(5－26)＝1.又b >0，∴b ＝1.【答案】 17．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N ＋，则S 10的值为________．【解析】 由a 27＝a 3a 9，d ＝－2，可得[a 1＋6×(－2)]2＝[a 1＋2×(－2)]·[a 1＋8×(－2)]，即(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.【答案】 1108．已知{a n }是公差不为零的等差数列，且a 7，a 10，a 15是等比数列{b n }的连续三项，若b 1＝3，则b n ＝________.【解析】 ∵{a n }是公差不为零的等差数列，设首项为a 1，公差为d ，∵a 7，a 10，a 15是等比数列{b n }的连续三项，∴(a 1＋9d )2＝(a 1＋6d )(a 1＋14d )，整理可得d ＝－23a 1.设数列{b n }的公比为q ，则q ＝a 10a 7＝a 1＋9d a 1＋6d ＝53， ∴b n ＝b 1q n －1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1. 【答案】 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1 三、解答题9．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1·b 2·b 3＝－3，求此等比数列的通项公式a n .【导学号：47172074】 【解】 由b 1＋b 2＋b 3＝3，得log 2(a 1·a 2·a 3)＝3，∴a 1·a 2·a 3＝23＝8，∵a 22＝a 1·a 3，∴a 2＝2，又b 1·b 2·b 3＝－3， 设等比数列{a n }的公比为q ，得log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2q ·log 2(2q )＝－3， 解得q ＝4或14，。

等差与等比数列的综合问题【知识概述】一、两种数列综合考查有以下几种命题方式：1.嵌套式：将一种数列嵌套在另外一种数列中作为一个知识点进行考查；2.拼盘式：在一个综合问题中，将两种数列像一个拼盘一样拼在一起，来综合考查这两种数列的各种概念与性质3.引申式：将等差数列或者等比数列进行引申，将它与其他的数学知识产生联系，从而在考查数列知识的同时考查数学的其他相关知识二、等差数列与等比数列在一定情况下可以互相转换1.若{}n a 为等差数列{}(0,1)n a a a a ⇔>≠为等比数列；2.若{}n a 为等比数列{log }(0,1)a n a a a ⇔>≠为等差数列.【学前诊断】1．[难度] 易已知等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则4a = .2．[难度] 中设{}n a 为等差数列，{}n b 是各项都是正数的等比数列，111a b ==, 243a a b +=，243b b a =，求及{}n b 的前10项的和10S 及10T .3．[难度] 中设{}n a 是等差数列，1()2n a n b =，已知b 1＋b 2＋b 3＝821，b 1b 2b 3＝81. （1）求证：数列{b n }是等比数列；（2）求等差数列{a n }的通项a n .【经典例题】{}n a例1．设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37,S =且1233,3,4a a a ++构成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）令31ln ,1,2n n b a n +==…, 求数列{}n b 的前n 项和n T .例2．已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =+，数列{}n b 的前n 项和2n n T b =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设 2n n n c a b =，证明：当且仅当n ≥3时，1n c +< n c .例3．已知等差数列的公差d 不为0，设，（1）若 ，求数列的通项公式；（2）若成等比数列，求q 的值；（3）若.例4．已知数列{}n a 中，112a =,点*1(,2)()n n n a a n +-∈N 在直线y x =上. （1）令11n n nb a a +=--,求证数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项；（3）设n S ，n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和,是否存在实数λ使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭等差数列？ 若存在，试求出λ，若不存在,则说明理由.【本课总结】}{n a 121-+++=n n n q a q a a S *1121,0,)1(N n q q a q a a T n n n n ∈≠-++-=-- 15,1,131===S a q }{n a 3211,,,S S S d a 且=*2222,1)1(2)1(1,1N n q q dq T q S q q n n n∈--=+--±≠）证明（1.等差和等比数列是两个基本的数列模型，是高考的重点和热点，将两种数列综合在一起进行考查是常见的命题形式，难度低中等，但若是在等差、等比数列的基础上引申和创新的问题，则一般难度较大，对考生的观察理解能力和灵活利用所学知识分析和解决问题的能力要求较高，命题的规律则通常是以一种类型数列为主导，兼顾另一种数列的相关知识，如中项公式等，目的是从基本量的角度给出确定数列的条件.解决等差数列与等比数列综合问题的关键，是能够熟练、准确和综合的运用相关的知识.注重总结常见问题的题型特征和命题规律以及相应的解题方法，并能比较深刻的理解和掌握问题中所蕴含的数学思想方法.2.请同学们体会如何将两种特殊数列进行综合，如何把他与其它的知识进行综合，不同的综合方式构成了不同难度的试题形式，当等差数列和等比数列综合的时候，要对这两个数列的基本知识进行很好的把握，把问题做适当的分解，便可以获得恰当的解题方法【活学活用】1．[难度] 中公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 .2. [难度] 中已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项;（2）求数列{}2n a 的前n 项和n S3. [难度] 难已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3655a a =，2716a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式： （2）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：*312123()2222n n n b b b b a n =++++∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .{}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S。

等比数列知识点总结与典型例题2、通项公式:4、等比数列的前n 项和S n 公式:(1)当 q 1 时，S n na in⑵当q 1时，5罟5、等比数列的判定方法:等比数列等比中项：a n 2a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0){a n }为等比数列通项公式：a nA B n A B 0{a n }为等比数列1、等比数列的定义:a n 1a n 2,且n N * ， q 称为公比n 1a naga iB n a i0,A B0，首项：a 1;公比：q推广：a na m qa nama n m — \ a m3、等比中项：（1）如果a, A, b 成等比数那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或A ab注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（（2）数列a n 是等比数列2 a n a n 1aq qA'B nA' ( A, B,A',B'为常数)(1) 用定义：对任意的都有a n 1qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0）{a n }为a n6、等比数列的证明方法:依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 17、等比数列的性质：(2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。

(3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。

特别的，当m n 2k 时，得2a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{a n}中，a1 a9 64, a3 a7 20, 求a11.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出a i和q，可得an ；或注意到下标1 9 3 7，可以利用性质可求出a3、a y，再求a ii.总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1 ] {an}为等比数列，a仁3，a9=768,求a6。

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。

（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

高中数学必修5等比数列精选题目（附答案）1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.①已知a 1，q ，n ，a n ，S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想.②在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 一、等比数列的基本运算1.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 注：等比数列基本运算中的2种常用数学思想2．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 23．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．324．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.二、等比数列的判定与证明5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列． 注：1．掌握等比数列的4种常用判定方法通项公式法若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列前n 项和公式法若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列2．等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可． 6．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n ，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列．7．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．三、等比数列的性质(一) 等比数列项的性质8.(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－ 2 或 29.(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16(二) 等比数列前n 项和的性质11.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16注：应用等比数列性质解题时的2个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．12．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( )A.12 B ．－12C ．－29D ．－1913．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.巩固练习:1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( )A ．4 B.52C ．2D.122．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±24．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 019＝( )A ．22 018－12B ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 018C ．22 019－12D ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 0195．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝21，a 2＋a 4＋a 6＝42，则S 9＝( ) A ．255 B ．256 C ．511D ．5126．已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n <0，则( ) A ．a 1<0,0<q <1B ．a 1<0，q >1C ．a 1>0,0<q <1D ．a 1>0，q >17．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．8．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 9．(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝a 5，a 4＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.10．已知等比数列{a n }为递减数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.11．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·甘肃诊断)设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127.(1)求a 5的值；(2)求数列{a n }的前n 项和．参考答案：1.[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.2.解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4. 3.解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.4.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14， 则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.5.[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n ＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． 6.证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6.由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n ，即a n＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n )＝2(a n ＋1－2a n )， 又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列． 7.解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得 b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．8.[解析]设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.9.解：由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A. 11.[解析] 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )， 解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.12.解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋3a 1，所以a 3a 1＝q 2＝2.因为a 2a 5a 8＝a 35＝－8，所以a 5＝－2，即a 1q 4＝－2，所以4a 1＝－2，所以a 1＝－12，故选B. 13.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.练习：1.解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C.2.解析：选C 由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3.解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3q2＝1，故选A.4.解析：选A 由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4. 又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 019＝12(1－22 019)1－2＝22 018－12，故选A.5.解析：选C 设等比数列的公比为q ，由等比数列的定义可得a 2＋a 4＋a 6＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＝q (a 1＋a 3＋a 5)＝q ×21＝42，解得q ＝2.又a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝a 1×21＝21，解得a 1＝1.所以S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝1×(1－29)1－2＝511.故选C.6.解析：选A ∵S n <0，∴a 1<0，又数列{a n }为递增等比数列，∴a n ＋1>a n ，且|a n |>|a n ＋1|， 则－a n >－a n ＋1>0，则q ＝－a n ＋1－a n ∈(0,1)，∴a 1<0,0<q <1.故选A.7.解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得16＝q 4，解得q ＝2， 所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1×(1－27)1－2＝127.8.解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48. 答案：12,489.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2a 4＝a 5，a 4＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝a 1q 4，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.10.解析：设公比为q ，由a 25＝a 10， 得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q . 又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， 得2q 2－5q ＋2＝0， 解得q ＝12()q ＝2舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝12n .11.解：(1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1， 而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.12.解：(1)由题可知a 3＋1＝8，a 7＋1＝128， 则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024， 可得a 5＋1＝32，即a 5＝31. (2)设数列{a n ＋1}的公比为q ，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋1＝(a 1＋1)q 2，a 5＋1＝(a 1＋1)q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1＝2，q ＝2，所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1，利用分组求和可得，数列{a n }的前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .。

专题等比数列【知识导图】【目标导航】1.记住并理解等比数列的定义，并能用定义判断一个数列是否为等比数列；2．记住等比数列的通项公式，并能进行相关运算；3记住等比中项的定义，并能进行简单的应用.4记住等比数列的常见性质，并会用这些性质解答一些简单的等比数列问题.【重难点精讲】重点一、等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．重点二、等比数列的递推公式与通项公式已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q(q≠0)，填表：递推公式通项公式a n＝q(n≥2)a n＝a1q n－1a n－1重点三、等比中项(1)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项．(2)如果G是x和y的等比中项，那么G2＝xy，即G＝±xy.重点四、等比数列的项与序号的关系(1)两项关系通项公式的推广：a n＝a m·q n－m(m、n∈N*)．(2)多项关系项的运算性质若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q.特别地，若m＋n＝2p(m、n、p∈N*)，则a m·a n＝a2p.重点五、等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，(n为正奇数)．即a1·a n＝a2·a n－1＝a k·a n－k＋1＝a2n-12重点六、等比数列的运算数列的性质(1)若{a n}是公比为q的等比数列，则①{c·a n}(c是非零常数)是公比为cq的等比数列；②{|a n|}是公比为|q|的等比数列．(2)若{a n}、{b n}分别是公比为q1、q2的等比数列，则数列{a n·b n}是公比为q1·q2的等比数列．重点七、等比数列的单调性(1)当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时，等比数列{a n}为递增数列；(2)当a1>0,0<q<1或a1<0，q>1时，等比数列{a n}为递减数列；(3)当q＝1时，数列{a n}是常数列；(4)当q<0时，数列{a n}是摆动数列．【典题精练】考点1、等比数列的通项公式例1．【云南省中央民族大学附属中学芒市国际学校2017-2018学年高二下学期期中】数列{}n a满足111,43(2)n n a a a n -==+≥,则此数列的通项公式n a =________【答案】1241n n a -=⋅-.【解析】 ()1432n n a a n -=+≥Q ，()()11412n n a a n -∴+=+≥11a =Q ，则112a +=∴数列{}1n a +是以2为首项，4为公比的等比数列1124n n a -∴+=⋅，1241n n a -=⋅-故答案为1241n n a -=⋅-考点点睛：求等比数列的通项公式与求等差数列的通项公式一样，运用方程的思想，建立基本量的方程(或方程组)求解，在a 1，a n ，n ，q 四个量中，已知三个可求另一个． 考点2、等比数列的判定与证明例2．已知方程2110n n a x a x +-+=的两个根为,αβ，且6263ααββ-+=.（1）用n a 表示1n a +.（2）求证：23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.（3）若116a =，求数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）1326n n a a ++=；（2）证明见解析；（3）2132n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】（1）由韦达定理，得11n n n a a a αβαβ+⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，代入题设条件，得11623n n n a a a +⨯-⨯=，即1326n n a a ++=. （2）∵11232221233632222333n n n n n n a a a a a a +⎛⎫+--- ⎪⎝⎭===---， ∴23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列. （3）由（2）知，11221332n n a a -⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵116a =，∴2132n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 考点点睛：判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (常数)或a n a n －1＝q (常数)(n ≥2)⇔{a n }为等比数列． (2)等比中项法a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列． (3)通项法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1、q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列． 考点3、等比中项例3．【北京市东城二十二中2016-2017学年高一下学期期中】求23+与23-的等差中项为__________，等比中项为__________．【答案】2 ±1【解析】 23+和23-的等差中项为：232322++-=， 23+和23-的等比中项为(23)(23)1±+-=±．考点点睛：等比中项的应用主要有两点：①计算，与其它性质综合应用，起到简化计算、提高解题速度的作用．②用来判断或证明等比数列．考点4、等比数列的性质例4．若数列{}n a 是等比数列，下列命题正确的个数为（ ）① {}2n a 、{}2n a 均为等比数列； ②{}ln na 成等差数列； ③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭、{}n a 成等比数列； ④{}n ca 、{}n a k ±均为等比数列 A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】若数列{a n }是等比数列，且首项为a 1，公比为q ，则a n =a 1•q n ﹣1， 则2n a =a 12•q 2（n ﹣1），这是一个以a 12为首项，以q 2为公比的等比数列，a 2n =a 1•q 2n ﹣1=a 1q•q 2（n ﹣1）=a 2•q 2（n ﹣1），这是一个以a 2为首项，以q 2为公比的等比数列，故①正确；当q ＜0时，数列{a n }存在负项，此时lga n 无意义，故②错误；1n a =11a •1q （n ﹣1），这是一个以11a 为首项，以1q为公比的等比数列，|a n |=|a 1|•|q|n ﹣1，这是一个以|a 1|为首项，以|q|为公比的等比数列，故③正确；当c=0时，ca n =0，此时数列{ca n }不是等比数列，当k=﹣a 1时，a 1+k=0，此时{a n +k}不是等比数列，当k=a 1时，a 1﹣k=0，此时{a n ﹣k}不是等比数列，故④错误故选：C ．考点点睛：(1)若{a n }为等比数列，则{1a n}，{|a n |}，{a 2n }，{pa n }(p ≠0)，{a n a n ＋k }均为等比数列； (2)若{a n }，{b n }均为等比数列，则{a n b n }，{a n b n}都是等比数列． (3)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q .(4)若等比数列的下标具有某种规律时，应考虑应用性质求解．考点5、等比数列的设项技巧例5．已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．【答案】－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.【解析】 设四个数为2a q －a 、a q、a 、aq ， 则由题意得⎩⎨⎧ a 2q ＝162a q －a ·aq ＝－128，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝8q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8q ＝4. 因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32. 考点点睛：等比数列中的设项方法与技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a ，aq ，aq 2或a q，a ，aq . (2)若四个数成等比数列，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设a q 3，a q，aq ，aq 3. 考点6、方程思想在等比数列中的应用例6．已知等比数列{a n }中，a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n . 【答案】9【解析】解法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＋a 1q 5＝36a 1q 3＋a 1q 6＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝128q ＝12.∴a n ＝a 1q n －1＝128×(12)n －1＝12，∴(12)n －1＝(12)8，∴n －1＝8，∴n ＝9. 解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3＋a 6＝36，∴a n ＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝q (a 3＋a 6)＝36q ＝18，∴q ＝12. ∴a 3＋a 6＝a 3＋a 3q 3＝a 3(1＋q 3)＝98a 3＝36，∴a 3＝32，∴a n ＝a 3q n －3＝32×(12)n －3＝12， ∴(12)n －3＝(12)6，∴n －3＝6，∴n ＝9.。

高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关： 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系 （4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（ ） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

等比数列1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q 推广：n mn m n n n m n m m ma a a a q q q a a ---=⇔=⇔= 3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A ab =± 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}nn n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n mn m a a q-=。

（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：-a ^ = q q=0” n_2,且n- N , q 称为公比 a n A.2、通项公式:nAa.an- a .qqq3、等比中项:(1) 如果a,A,b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2=ab 或A = ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个( (2) 数列：a n f 是等比数列=a n 2二a nd a n.1 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1) 当 q =1 时，S n =na .(2) 当q 胡时，看^_二=口31 -q 1 -q鱼= A-A B n =A'B n -A'( A,B,A',B'为常数)1 -q 1 -q5、等比数列的判定方法：数列(2)等比中项：a n 2 =a n 何4佃何」=0)二｛a n ｝为等比数列 (3)通项公式：a^ A B n A B- o = g ｝为等比数列 6、等比数列的证明方法:依据定义：若 五二qq=0 n —2,且n N *或a .1二qa 「=｛a n ｝为等比数列 a n 4 7、等比数列的性质：a .;公比:q推广: (1)用定义：对任意的都有a n 1二qa n 或□二q(q 为常数,a na n = 0）二｛a n ｝为等比nn=A Baiq = 0, A = 0 ］，首项:(2)对任何m“ N*，在等比数列｛a n｝中，有a n二a m q®。

注： a i a n 二 a 2 'an J = a3a n _2 …等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1 .等比数列｛a .｝中，a i a ? =64, a 3 ' a ? =20,求 a^ .思路点拨：由等比数列的通项公式， 通过已知条件可列出关于a i 和q 的二元 方程组，解出a i 和q ，可得an ；或注意到下标1 ^3 ?，可以利用性质可求 出a 3、a ?，再求an . 解析：8法一：设此数列公比为q ，则a1 a ^ a1 a 2q =64⑴Ia3+a ?=a 1q +ag =20(2)由(2) 得: ag 2(1 q 4) =20 (3)2an"am二ak…a-i 0.-2q 4 一5q 2 2=0,解得 q 2 = 2或 q 2 =£ 当 q 2 =2 时，a - =2 , a -- =a- q10 =64 ;当心时，a -=32 , a —qJ .'/法——:• a - a ? = a 3 已7 = 64, ^又 a 3 ' a^ = 20 , 二a 3、a 7为方程x 2 —20x • 64 =0的两实数根,2…a^ = = 1 ^或 a ii = 64 .a 3总结升华:① 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算 量；② 解题过程中具体求解时， 要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的, 故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三:【变式1】｛an ｝为等比数列，a 仁3, a9=768,求a6。

等比数列一、知识点：1.等比数列定义：q aa nn =+1 (，n N +∈)的常数为不等于0q ，，q 0≠且等比数列任何项不为0。

2.等比数列通项公式：q a a n n 11-=3.等比数列前n 项和公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==11111111，q qqq，q n a a q a a S n n n4.等比中项：如果3个数a ，G ，b 成等比数列，则有ab G =2或ab G ±=，把G 叫a 与b的等比中项； 5.等比数列的判定方法：①定义法：q aa nn =+1 (，n N +∈)的常数为不等于0q ⇔数列{}a n为等比数列；②用等比中项证明：()0212≠⋅=++a a a a n n n n ⇔数列{}a n为等比数列；6.等比数列性质：①若m+n=p+v ，则a a a a v p n m ⋅=⋅；②qa a mn m n -⋅=；③，、、、，，S S S S S m m m m m 232--成等比数列。

二、范例精讲例1.等比数列{}a n中，73=a ，前3项和为213=S，则公比q=（ ）A.1B.21-C.1或21-D.-1或21例2.等比数列{}a n中，，a 11=310=a，则=a a a a a a 876543（ ）A.27B.81C.3D.243 例3.设等比数列{}a n的公比q=2，前n 项和Sn，则=aS 24（ ） A.2 B.4 C.215 D.217例4.各项均为正数的等比数列{}a n的前n 项和为Sn，若23=S ，86=S ，则=S9例5.已知{}a n为等比数列，，a23=，a a 32042=+求通项公式.三、练习1.等比数列{}n a 中，已知112733n a a q ===，，，则n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 2．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的第4项为（ ） A ．81 B ．243 C ．27 D ．192 3．12+与12-，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．21 4．在公比为整数的等比数列{}n a 中，若,12,64231=+=+a a a a 则该数列的第3项为（ ）A ．56B ．512C ．524D ．5485． 如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么( )A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-96. 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1a 5 =24，则a 1a 2a 3a 4a 5等于( ) A.210 B.220 C.215 D.216 7．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则15a =___________8．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47a a ⋅=___-2________ 9．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，10,3312=+=a a a ，求n S .10．在各项均为正数的等比数列{}n a 中T n 表示前n 项的积，若T 5 =1，则（ ） A ．13=a B ．11=aC ．14=aD ．15=a11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若，aa 464=则a a a a 92822212log log log log +++=12．设等比数列{}a n的前n 项和为Sn，，S S 2148=则=S S 412（ ） A ．1：2 B.2：3 C.3：1 D.3：4 13.若数列{}a n满足:a 1=1,021=-+a an n ,则=a n14.设a 1=2，数列{}a n 21+是公比为2的等比数列，则=a 6 15.在等比数列{}a n 中,，a33=93=S ,则公比q= 16.在等比数列{}a n中,，，S Sm m60202==求S m 3.17.在等比数列{}a n中,，aa n661=+，a a n 12812=⋅-，S n 126=求n 和q.等比数列答案一、知识点：1.等比数列定义：q aa nn =+1 (，n N +∈)的常数为不等于0q ，，q 0≠且等比数列任何项不为0。

等比数列知识点并附例题及解析1、等比数列的定义：2、通项公式：一a1qn？1.a1nq？A.bn？a1？Q0，a？B0第一项：A1；工笔：qqana？QN阿曼曼？QQ0 n？2和N？n*Q被称为公共比率an？1.晋升：安？amqn？Mqn？M3.等比平均项：（1）如果a,a,b成等比数列，那么a叫做a与b的等差中项，即：a2?ab或A.注：只有两个具有相同符号的数字具有相等比率的中间项，并且它们的相等比率的中间项具有两个（（2）系列？一这是一个等比序列吗？an2？一1.一14.等比序列的前n项和Sn的公式：（1）当q?1时，sn?na1（2）当q?1时，sn??a1?1?qn?1?q?a1?anq1?qa1a?1qn?a?a?bn?a'bn?a'（a,b,a',b'为1?q1?q常数）5.比例顺序的判断方法：（1）用定义：对任意的n，都有an?1?qan或为等比数列（2）等比例中位数：an2？一1安？1（an？1an？1？0）？{an}是比例序列（3）的通项公式：an？A.bn？A.B0{an}是等比序列6和等比序列的证明方法：an?1?q(q为常数，an?0)?{an}an依据定义：若一QQ0 n？2和N？n*？还是一个？1.卡恩？{an}是等比序列吗？17.等比序列的性质：（2）对任何m,n?n*，在等比数列{an}中，有an?amqn?m。

（3）如果我？NsT（m，N，s，T？N*），那么？是像尤其是当我？N在2K，一个？是Ak2注：A1？一a2？一1.a3an？2.ak（4）数列{an}，{bn}为等比数列，则数列{}，{k?an}，{ank}，{k?an?bn}，{n}bnan（k为非零常数）均为等比数列。

（5）序列{an}是一个等比序列。

每k（k？N*）取出一件物品（am、am？k、am？2K、am？3k、？）这仍然是一个等比序列（6）如果{an}是各项均为正数的等比数列，则数列{logaan}是等差数列（7）若{an}为等比数列，则数列sn，s2n?sn，s3n?s2n,???，成等比数列（8）若{an}为等比数列，则数列a1?a2?????an，an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比数列a1？0，那么{an}是递增序列{（9）① 什么时候问？1，A1？0，那么{an}是递减序列A1吗？0，则{an}是递减序列② 当0{③ 什么时候问？1、序列为常数序列（此时序列也是等距序列）；④ 什么时候问？0，该序列是一个摆动序列。

等差等比数列基础知识点（一）知识归纳: 1. 概念与公式：①等差数列: 1°.定义: 若数列 称等差数列； 2°.通项公式:3°.前n 项和公式: 公式:②等比数列：1°.定义若数列 （常数）, 则 称等比数列； 2°.通项公式:3°.前n 项和公式: 当q=1时 2. 简单性质:1°.若 是等差数列, 则 2°.若 是等比数列, 则 ②中项及性质:1°.设a, A, b 成等差数列, 则A 称a 、b 的等差中项, 且 2°.设a,G ,b 成等比数列, 则G 称a 、b 的等比中项, 且 ③设p 、q 、r 、s 为正整数, 且 一、 1°.若 是等差数列, 则 二、 2°.若 是等比数列，则三、 选择题1.在等差数列 中, ,且 , , 成等比数列, 则 的通项公式为 （ ） （A ）13+=n a n（B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a2.已知 成等比数列, 且 分别为 与 、 与 的等差中项, 则 的值为 （ ） （A ）21（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 3.若两个等差数列 、 的前 项和分别为 、 , 且满足 , 则 的值为 （ ） （A ）97 （B ）78 （C ）2019 （D ）874.已知数列 的前 项和为 ,则数列 的前10项和为 （ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60二、填空题5.各项都是正数的等比数列 , 公比 ,成等差数列, 则公比 = 6、已知等差数列 , 公差 , 成等比数列, 则 = 7、已知数列{}n a 满足n na S 411+=,则n a =四、 解答题8、已知等差数列 的公差与等比数列 的公比相等, 且都等于 , , , ,求 。

等 比 数 列[考点梳理]1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的________等于同一________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的________，且G 2＝________或G ＝________.3．等比数列的通项公式(1)若{a n }是等比数列，则通项a n ＝________或a n ＝________.当n －m 为大于1的奇数时，q 用a n ，a m 表示为q ＝________；当n －m 为正偶数时，q ＝________．(2)a n ＝a 1q n －1可变形为a n ＝Aq n ，其中A ＝________；点(n ，a n )是曲线________上一群孤立的点．4．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }中，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧________，q ＝1，________＝ ________，q ≠1. 求和公式的推导方法是：________，为解题的方便，有时可将求和公式变形为S n ＝Bq n －B (q ≠1)，其中B ＝________且q ≠0，q ≠1.5．等比数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1＝a n q 且a 1≠0(q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝a 1q －1q n －a 1q －1＝Bq n －B ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＝a 1q －1是常数，且q ≠0，q ≠1⇒{a n }是等比数列．6．等比数列的性质(1)在等比数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ·a q ＝a m ·a n ；若2m ＝p ＋q ，则a 2m ＝a p ·a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．(2)若{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{p ·a n }(p ≠0)，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍为等比数列且公比分别为________，________，________，________.(3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…仍为等比数列，公比为________．(4)公比不为－1的等比数列前n 项和为S n (S n ≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成等比数列，且公比为________．(5)对于一个确定的等比数列，在通项公式a n ＝a 1q n －1中，a n 是n 的函数． ①当a 1＞0，________或a 1＜0，________时，等比数列{a n }是递增数列； ②当a 1＞0，________或a 1＜0，________时，等比数列{a n }是递减数列； ③当________时，它是一个常数列； ④当________时，它是一个摆动数列． 自查自纠：1．比 常数 公比 2．等比中项 ab ±ab3．(1)a 1q n －1a m q n －mn －m a n a m ±n －m a na m (2)a 1q y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1q q x4．na 1 a 1（1－q n ）1－q a 1－a n q 1－q 乘公比，错位相减 a 1q －16．(2)1q 1 q 1 q 1q 2 q 1q 2(3)q m (4)q n (5)①q ＞1 0＜q ＜1 ②0＜q ＜1 q ＞1 ③q ＝1 ④q ＜0[基础自测]对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解：由等比数列的性质，得a 9a 6＝a 6a 3＝q 3≠0，因此，a 3，a 6，a 9一定成等比数列．故选D.已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.18解：∵{a n }为等比数列，∴a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)，得a 4＝2，而a 1＝14，q 3＝a 4a 1＝8，得公比q ＝2， ∴a 2＝a 1q ＝12.故选C.已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝1，则数列{a n }的前10项和S 10为( ) A.43(210－1) B.43(210＋1) C.43(2－10－1) D.43(2－10＋1) 解：∵2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1a n＝－12.又a 2＝1，∴a 1＝－2，∴数列{a n }是－2为首项，－12为公比的等比数列，∴S 10＝a 1（1－q 10）1－q ＝－2（1－2－10）1＋12＝43(2－10－1)．故选C.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝_____．解：由3S 1，2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，也即3a 2＝a 3，得公比q ＝3，∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1.故填3n －1. 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解：由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.故S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.故填2；2n ＋1－2.[典例解析]类型一 等比数列的判定与证明设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)证明：由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2（n ≥2）， ②①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)，故{b n }是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以12为首项，34为公差的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，得a n ＝(3n －1)·2n －2.归纳小结：(1)证明数列{b n }是等比数列，常用方法：①定义法；②等比中项法．(2)证明数列不是等比数列，可举一个反例或用反证法．设{}a n 是公比为q 的等比数列.(1)推导{}a n 的前n 项和公式；(2)设q ≠1, 证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解：(1) 设{}a n 的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1, ① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，()1－q S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 1()1－q n1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1， q ＝1，a 1()1－q n 1－q， q ≠1. (2) 证明(反证法)：假设数列{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，()ak ＋1＋12＝()a k＋1()ak ＋2＋1，a2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＋1＝a 1q k －1a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0. ∴q ＝1，与已知矛盾．∴数列{a n ＋1}不是等比数列．类型二 等比数列基本量的计算(1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为________．解：根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，∴1＋q ＋q 2q 2＝3，整理得2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12.故填1或－12.(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝________.解：设{a n }的公比为q ，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52， ①a 2＋a 4＝（a 1＋a 3）q ＝54， ②②÷①得q ＝12，∴a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n＝2n－1.故填2n －1.(3)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }前n 项和T n .解：(Ⅰ)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1，两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)，即6a n ＝9(a n －a n －1)，∴a n ＝3a n －1.∴数列{a n }是以13为首项，3为公比的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(Ⅱ)∵b n ＝1a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，b 1＝1a 1＝3，∴{b n }是以3为首项，13为公比的等比数列，∴T n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .归纳小结：在等比数列五个基本量a 1，q ，n ，a n ，S n 中，已知其中三个量，可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前n 项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量，计算有时要整体代换，根据前n 项和公式列方程还要注意对q 是否为1进行讨论．(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172解：设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 4＝a 23＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7，故a 3＝1，1q 2＋1q ＋1＝7，解得q ＝12，q ＝－13(舍去)．∴a 1＝4，q ＝12. ∴S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.故选B.(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________.解：设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15， 两式相除，得q 1＋q 2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎨⎧a 1＝－16，q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4.故填4或－4. 类型三 等比数列的性质(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝________.(2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________.(3)设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S nT n＝n2n ＋1，则logb 5a 5＝________. 解：(1)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，不妨令S 3＝2，则S 6＝1，代入解得S 9＝32，S 9∶S 3＝3∶4.故填3∶4.(2)解法一：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①：a 41·q54a 41·q6＝q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160 ＝(a 41·q 6)·(q 16)10＝210＝1 024. 解法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p ， 设T 1＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1，T 4＝a 13·a 14·a 15·a 16＝8，∴T 4＝T 1·p 3＝1·p 3＝8，p ＝2.∴T 11＝a 41·a 42·a 43·a 44＝T 1·p 10＝210＝1 024.故填1 024.(3)由题意知S 9T 9＝lg （a 1·a 2·…·a 9）lg （b 1·b 2·…·b 9）＝lg a 95lg b 95＝lg a 5lg b 5＝logb 5a 5＝919.故填919.归纳小结：(1)等比数列有很多子数列仍是等比数列，本题是性质“在等比数列中，若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列”的应用，特别注意其前提条件是S n ≠0.(2)等比数列中，依次m 项积仍为等比数列，但公比发生改变．(3)利用性质“当m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)时，有a m ·a n ＝a p ·a q ”转化条件．在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1，求数列{a n }的通项公式．解法一：设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则 T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得T 2n ＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)，∴a n ＝lg T n＝n ＋2(n ≥1)． 解法二：依题意，可设这n ＋2个数依次为1，a ，a 2，…，a n ，100；∴T n ＝100a 1＋2＋…＋n ，a n＝lg T n ＝n （n ＋1）2lg a ＋2，又∵a n ＋1＝100，∴a n ＝n ＋2(n ≥1)．[归纳小结]1．注意等比数列每一项均不为0，q 也不为0.2．等比数列中，已知五个元素a 1，a n ，n ，q ，S n 中的任意三个，便可求出其余两个．可类比上节等差数列“名师点睛”栏1进行探究．3．准确理解等比数列的定义及各公式的等价形式，灵活运用等比数列的性质． 4．在含字母参数的等比数列求和时，应分q ＝1与q ≠1两种情况进行讨论．5．学习等比数列，要善于将其与等差数列进行类比，如等差数列中与“和”有关的性质可类比等比数列中与“积”有关的性质，还可对二者的思维形式、方法与技巧进行类比．6．等比数列通项公式的求法有： (1)观察法．(2)公式法：①a n ＝⎩⎨⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）；②等比数列{a n }的通项公式． (3)构造法：①a n ＋1＝pa n ＋q ; ②a n ＋1＝pa n ＋q n ； ③a n ＋1＝pa n ＋f (n ); ④a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n .[课后作业]1．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 1·a 10＝27，log 3a 2＋log 3a 9＝( )A ．9B ．6C ．3D ．2解：∵a 2a 9＝a 1a 10＝27，∴log 3a 2＋log 3a 9＝log 3a 2a 9＝log 327＝3.故选C.2．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6，48成等差数列，则{a n }的前8项和为( ) A ．127 B ．255 C ．511 D ．1 023解：∵2a 4，a 6，48成等差数列，∴2a 6＝2a 4＋48，∴2a 1q 5＝2a 1q 3＋48，又∵q ＝2，∴a 1＝1，∴S 8＝1×（1－28）1－2＝255.故选B.3．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．10解：设该等比数列为{a n }，其前n 项的积为T n ，则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2·a n －1·a n ＝9，(a 1·a n )3＝3×9＝33， ∴a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ，T n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，∴T 2n ＝(a 1·a n)n ，即7292＝312＝3n ，∴n ＝12.故选B. 4．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A ．150 B ．120 C ．150或－200 D ．400解：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80.S 40＝150.故选A. 5．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且 a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 017，则a 2 011＋ a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2.017×1013B ．2.017×1014C ．2.018×1013D ．2.018×1014解：由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lg a n ＋1a n ＝1，即a n ＋1a n＝10，所以{a n }是公比为10的等比数列．∵(a 2001＋a 2 002＋…＋a 2 010)·q10＝a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020，∴a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020＝2.017×1013.故选A.6．若数列{a n }是正项递减等比数列，T n 表示其前n 项的积，且T 8＝T 12，则当T n 取最大值时，n 的值等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解：∵T 8＝T 12，∴a 9a 10a 11a 12＝1，又a 9a 12＝a 10a 11＝1，且数列{a n }是正项递减数列，∴a 9>a 10>1>a 11>a 12，因此T 10取最大值．故选B.7．在等比数列{a n }中，a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解：∵q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2.|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12（1－2n ）1－2＝2n －1－12.故填－2；2n －1－12.8．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________.解：∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1，∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.故填1 024.9．等比数列{c n }满足c n ＋1＋c n ＝10·4n －1(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝log 2c n ，求a n ，S n .解：设数列{c n }的公比为q ，由题意知，c 1＋c 2＝10，c 2＋c 3＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧c 1＋c 1q ＝10，c 1q ＋c 1q 2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c 1＝2，q ＝4.∴c n ＝2·4n －1＝22n －1，∴a n ＝log 222n －1＝2n －1，S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n [1＋（2n －1）]2＝n 2.10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1， 又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.当n ＝1时，a 1＝1，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2（1－4n ）1－4＝2（4n －1）3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2（4n －1）3＝22n ＋1＋13.11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d. 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d ，10，18＋d.依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，由于第4项为10，所以公比为2.其通项公式为b n ＝b 3·q n －3＝5·2n －3.(2)证明：数列{b n }的前n 项和S n ＝54（1－2n ）1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)由等比数列性质，a 1a 2a 3＝a 32＝125，故a 2＝5. 设数列{a n }的公比为q ，则由|a 2－a 3|＝10有|5－5q |＝10.∴q －1＝±2，得q ＝－1或q ＝3. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝5×3n －2或a n ＝5×(－1)n －2. (2)若a n ＝5×3n －2，则1a n ＝15×13n －2＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列． 从而1a 1＋1a 2＋…＋1a m＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 1－13＝910[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ]＜910＜1.若a n ＝5×(－1)n ，则1a n ＝15×(－1)n ＝－15×(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列．当m 为偶数，即m ＝2k (k ∈N *)时，1a 1＋1a 2＋…＋1a m ＝0＜1.当m 为奇数，即m ＝2k －1(k ∈N *)时，1a 1＋1a 2＋…＋1a m ＝－15＜1.综上可知，对任何正整数m ，总有1a 1＋1a 2＋…＋1a m＜1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．。

等比数列【知识梳理】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a ，b 的等比中项，这三个数满足关系式G ＝±ab .3．等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠0)，则通项公式为：a n ＝a 1q n －1.【常考题型】题型一、等比数列的判断与证明【例1】 已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．[解] 依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ，于是b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n . 而b n b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫124－n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2. ∴数列{b n }是公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝2n －3.【类题通法】证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 为常数且q ≠0)或a n a n －1＝q (q 为常数且q ≠0，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列． (3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．【对点训练】1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列． 证明：∵S n ＝2－a n ，∴S n ＋1＝2－a n ＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1.∴a n ＋1＝12a n .又∵S 1＝2－a 1，∴a 1＝1≠0.又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0，∴a n ＋1a n＝12. ∴{a n }是等比数列.题型二、等比数列的通项公式【例2】 在等比数列{a n }中，(1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .[解] (1)因为⎩⎨⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎨⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.(2)法一：因为⎩⎨⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ④ 由④③得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1， 即26－n ＝20，所以n ＝6.法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6.【类题通法】与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式，a n ＝a 1·q n －1(a 1q ≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q ≠0验证求得的结果．【对点训练】2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是( )A ．405B ．－405C ．135D ．－135(2)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：(1)选A ∵a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3， ∴a 5＝405.(2)根据条件求出首项a 1和公比q ，再求通项公式．由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9>0⇒a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.a 25＝a 10>0⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .答案：(1)A (2)2n题型三、等比中项【例3】 设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )A ．2B.4 C ．6 D ．8[解析] ∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ，∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)，k ＝4.[答案] B【类题通法】等比中项的应用主要有两点：①计算，与其它性质综合应用．可以简化计算、提高速度和准确度．②用来判断或证明等比数列．【对点训练】3．已知1既是a 2与b 2的等比中项，又是1a 与1b 的等差中项，则a ＋b a 2＋b 2的值是( )A ．1或12B.1或－12 C ．1或13 D ．1或－13解析：选D 由题意得，a 2b 2＝(ab )2＝1，1a ＋1b ＝2，∴⎩⎨⎧ ab ＝1，a ＋b ＝2或⎩⎨⎧ab ＝－1，a ＋b ＝－2.因此a ＋b a 2＋b 2的值为1或－13. 【练习反馈】1．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则公比q 等于( )A.14B.12 C ．2 D ．8 解析：选B ∵{a n }为等比数列，∴a 4＋a 6＝(a 1＋a 3)q 3，∴q 3＝18，∴q ＝12.2．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( )A ．9B.3 C ．－3 D ．－9解析：选D a 1＝a 2－3，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6， 由于a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 23＝a 1a 4，所以(a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6)，解得a 2＝－9.3．在数列{a n }中，a 1＝2，且对任意正整数n,3a n ＋1－a n ＝0，则a n ＝________. 解析：∵3a n ＋1－a n ＝0，∴a n ＋1a n＝13， 因此{a n }是以13为公比的等比数列，又a 1＝2，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.答案：2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1 4．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 解析：由题意得2q 2－2q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }单调递增，得q ＞1，∴q ＝2.答案：25．(1)已知{a n }为等比数列，且a 5＝8，a 7＝2，该数列的各项都为正数，求a n .(2)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝23，求项数n .(3)若等比数列{a n }中a n ＋4＝a 4，求公比q .解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1q 4＝8，a 1q 6＝2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ q 2＝14a 1＝128， ∵a n ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝12，a 1＝128.∴a n ＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝28－n . (2)由a n ＝a 1·q n －1，得13＝98⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，得n ＝4. (3)∵a n ＋4＝a 4q (n ＋4)－4＝a 4q n ，又a n ＋4＝a 4，∴q n ＝1，∴当n 为偶数时，q ＝±1；当n 为奇数时，q ＝1.。