高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换(第2课时)预习导航学案 新人教A版必修4

§3.2 简单的三角恒等变换

学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.

2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．

知识点一 半角公式

sin α2＝±1－cos α2，

cos α2＝±1＋cos α2，

tan α2＝±1－cos

α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos

αsin α

.

思考 半角公式对任意角都适用吗？

答案 不是，要使得式子有意义的角才适用．

知识点二 辅助角公式

辅助角公式：

asin

x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋θ).其中tan θ＝ba

1．若α≠kπ，k∈Z，则tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin

α恒成立．( √ )

2．辅助角公式asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ所在的象限由a，b的符号决定，φ与点(a，b)同象限．( √

)

3．sin

x＋3cos x＝2sinx＋π6.( × )

提示 sin x＋3cos x＝212sin x＋32cos x＝2sinx＋π3.

题型一 应用半角公式求值

例1 已知sin θ＝45，5π2

题点 利用半角公式化简求值

解 ∵sin θ＝45，且5π2

∵5π4

tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.

反思感悟 利用半角公式求值的思路

(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．

(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．

(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2α2＝1－cos α2，cos2α2＝1＋cos α2计算．

第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时

导入新课

思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(π4＋α)－(π4－α)，π4＋α＝π2－(π4－α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开．

思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y＝asinx＋bcosx的函数转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，本节主要研究函数y＝asinx＋bcosx的周期、最值等性质．三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．

推进新课

新知探究

提出问题

①三角函数y＝sinx，y＝cosx的周期，最大值和最小值是多少？

②函数y＝asinx＋bcosx的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？

活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期都是2π.三角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y＝sinx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，且最小正周期是2π，函数y＝sin2x的周期是kπ(k∈Z且k≠0)，且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是－1，所以这两个函数的值域都是[－1,1]．

函数y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2(aa2＋b2sinx＋ba2＋b2cosx)，

∵(aa2＋b2)2＋(ba2＋b2)2＝1，从而可令aa2＋b2＝cosφ，ba2＋b2＝sinφ，

1 1.2.1 两角差的余弦函数

整体设计

教学分析

本节教材的安排是从复习向量引入,直接利用向量的知识推导了两角差的余弦公式,并单独作为一节.这样安排的用意是想突出两角差的余弦函数,从逻辑关系上来看,本章的其他所有公式都是以两角差的余弦为基础变化而来的,这对学生来说,学习本章就有一个清晰的逻辑关系.同时也突出体现了向量这一工具的强大威力,使第二章的向量有了用武之地.

本节作为全章的重要课时,对于如何推导两角差的余弦公式可做多方面的设计探讨,因为凭直觉得出cos(α-β)=cosα-cosβ是学生经常出现的错误.因此在教学中,也可引导学生对cos(α-β)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假,这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出推导证明“两角差的余弦公式”的方案.这对发展学生的思维有一定的好处.由此可得两种推导思路:一是引导学生利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出α-β角,利用学过的三角函数知识探索,联系已经学过的三角函数知识探索有关三角函数的问题是很自然的.但学生独立地运用单位圆上的三角函数线进行探索存在一定的困难,教师要作恰当地引导.二是引导学生充分利用向量数量积探究两角差的余弦公式,但要抓住三个要点:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,注意联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其讨论线索进行探索,然后再作反思,予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则),其中完善的过程既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.

本节主要是对数学公式的发现探究的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生了解公式的来龙去脉;②使学生认识公式的结构特征加以记忆;③使学生掌握公式的推导和证明过程;④通过应用举例使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题,也为推导其他和差公式作准备.

实用标准文档

文案大全

两角和与差的正弦、余弦和正切

基础梳理

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；

(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；

(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；

(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；

(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；

(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.

3．有关公式的逆用、变形等

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；

(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，

sin α±cos α＝2sinα±π4.

4．函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．

两个技巧

(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2实用标准文档

文案大全 －α－β2；α－β2＝α＋β2－α2＋β.

(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．

三个变化

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．