2018版高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换学案 新人教A版必修4

3.2 简单的三角恒等变换

1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.(重点)

2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.(难点、易错点)

[基础·初探]

教材整理 半角公式

阅读教材P139～P140例2以上内容，完成下列问题.

sinα2＝± 1－cos α2，

cosα2＝± 1＋cos α2，

tanα2＝± 1－cos α1＋cos α，

tanα2＝sin α2cosα2＝sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2＝sin α1＋cos α，

tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2＝1－cos αsin α.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)cos α2＝1＋cos α2.( )

(2)存在α∈R，使得cos α2＝12cos α.( ) 2 (3)对于任意α∈R，sin α2＝12sin α都不成立.( )

(4)若α是第一象限角，则tan α2＝1－cos α1＋cos

α.( )

【解析】 (1)×.只有当－π2＋2kπ≤α2≤π2＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos α2＝1＋cos

α2.

(2)√.当cos α＝－3＋1时，上式成立，但一般情况下不成立.

(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立.

(4)√.若α是第一象限角，则α2是第一、三象限角，此时tan α2＝1－cos α1＋cos α成立.

【答案】 (1)× (2)√

(3)× (4)√

[小组合作型]

化简求值问题

(1)已知cos θ＝－35，且180°

(2)化简：＋sin α＋cos αsin α2－cos α22＋2cos α(180°

【精彩点拨】

(1)①cos θ＝－35→tan

θ2＝

±1－cos θ1＋cos θ→tan θ2的值；

②cos θ＝－35→tan θ2＝1－cos θsin θ或tan θ2＝sin θ1＋cos θ→tan θ2的值.

对于(1)的思考要注意符号的选择.

(2)化α为α2，消去数值1，再升幂判断α2的范围，然后化简得结论.

【自主解答】 (1)法一：∵180°

∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－－351＋－35＝－2.

法二：∵180°

∴sin θ＝－1－cos2θ＝－1－925＝－45，

∴tan θ2＝1－cos θsin θ＝1－－35－45＝－2.

(2)原式

＝2cos2α2＋2sin α2cos α2sin α2－cos α22·2cos2α2

＝2cos

α2cos α2＋sin α2sin α2－cos

α22cos α2

＝cos

α2－cos

αcos α2.

∵180°

∴原式＝cos α2－cos α－cos α2＝cos α.

1.解决给值求值问题的方法及思路

(1)给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题.

(2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用.

2.三角函数化简的思路及原则： 4 (1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.

(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：

①运用公式之后能否出现特殊角；

②运用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；

③运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件.

(3)对于三角函数的和差化积，有时因为使用公式不同，或选择题的思路不同，化积结果可能不一致.

[再练一题]

1.(1)已知sin α＝55，cos α＝255，则tan α2等于(

)

A.2－5 B.2＋5

C.5－2 D.±(5－2)

(2)已知π

1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos

α. 【导学号：00680075】

【解析】 (1)因为sin α＝55>0，cos α＝255>0，

所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一、三象限，

所以tan α2>0，故tan α2＝1－cos α1＋cos α

＝1－2551＋255＝5－2.

【答案】 C

(2)原式＝sin α2＋cos α222cos α2－2sin α2 5 ＋sin α2－cos α222cos α2＋2sin α2.

∵π0，

∴原式＝sin α2＋cos α22－2sin α2＋cos α2＋sin α2－cos α222sin α2－cos

α2

＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22

＝－2cos α2.

三角恒等式的证明

(1)求证：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2；

(2)求证：

2sin xcos xx＋cos x－x－cos x＋＝1＋cos xsin x.

【精彩点拨】 (1)可由左向右证：先把左边cos2 θ降幂化为同角后整理可证.

(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化.

【自主解答】 (1)左边＝1＋2cos2θ－cos 2θ＝1＋2×1＋cos 2θ2－cos 2θ＝2＝右边.

所以原等式成立.

(2)左边＝2sin xcos x2sinx2cosx2－2sin2x22sinx2cosx2＋2sin2x2

＝2sin

xcos x4sin2x2cos2x2－sin2x2＝sin x2sin2x2 6 ＝cos x2sinx2＝2cos2x22sinx2cosx2＝1＋cos xsin x＝右边.

所以原等式成立.

三角恒等式证明的五种常用方法：

(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简.

(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.

(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.

(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”.

(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.

[再练一题]

2.求证：α＋βα－βsin2αcos2β＝1－tan2βtan2α.

【证明】 法一：左边

＝αcos β＋cos αsin βαcos β－cos αsin βsin2αcos2 β

＝sin2αcos2β－cos2αsin2βsin2αcos2β＝1－cos2αsin2βsin2αcos2β

＝1－tan2βtan2α＝右边，

∴原等式成立.

法二：右边＝1－cos2αsin2βsin2αcos2β

＝sin2αcos2β－cos2αsin2βsin2αcos2β

＝αcos β＋cos αsin βαcos β－cos αsin βsin2αcos2β

＝α＋βα－βsin2αcos2β＝左边，

∴原等式成立.

7 三角函数在实际问题中的应用

如图3­2­1所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？

图3­2­1

【精彩点拨】 设∠AOB＝α→建立周长lα→求l的最大值

【自主解答】 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，

∴l＝OA＋AB＋OB

＝R＋Rsin α＋Rcos α

＝R(sin α＋cos α)＋R

＝2Rsinα＋π4＋R.

∵0

∴l的最大值为2R＋R＝(2＋1)R，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，

即当α＝π4时，△OAB的周长最大.

1.解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.

2.在求解过程中，要注意三点：(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；(2)注意实际问题中变量(角α)的范围；(3)重视三角函数有界性的影响.

[再练一题]

3.有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？

【解】 如图所示，设∠AOB＝θθ∈0，π2，则AB＝asin θ，OA＝acos θ.