等边三角形课件
一、等边三角形的定义
等边三角形，又称正三角形，是指三边长度都相等的三角形。这是一个非常基础且重要的几何概念。想象一下，三条边长度完全一样，构成的三角形形状规整，角度也具有特定的规律。
二、等边三角形的性质
1、 边的性质
等边三角形的三条边长度相等。这是其最显著的特征之一。无论从哪个角度测量，三条边的长度都是一致的。
2、 角的性质
等边三角形的三个内角也相等，且每个内角都是 60 度。这是因为三角形的内角和为 180 度，而三个角相等，所以每个角就是 180 度除以 3，等于 60 度。
3、 对称性
等边三角形具有很高的对称性。它既是轴对称图形，有三条对称轴，分别是三条边的高所在的直线；同时也是旋转对称图形，绕着其中心旋转 120 度后能与自身重合。
4、 稳定性 在实际应用中，等边三角形具有良好的稳定性。比如在建筑结构、机械设计等领域，利用等边三角形的稳定性可以增强结构的牢固程度。
三、等边三角形的判定方法
1、 定义法
如果一个三角形的三条边长度都相等，那么它就是等边三角形。这是最直接也是最根本的判定方法。
2、 三个角相等
如果一个三角形的三个角都相等，那么它也是等边三角形。因为三个角相等，每个角都是 60 度，所以必然是等边三角形。
四、等边三角形的周长和面积计算
1、 周长
由于等边三角形的三条边长度相等，假设边长为 a，那么周长 C 就等于 3a。
2、 面积
计算等边三角形的面积，我们可以使用公式：面积 S ＝ √3/4 × a² 。其中 a 是等边三角形的边长。
为了更好地理解这个公式，我们可以将等边三角形分成两个直角三角形。通过勾股定理求出高，然后再计算面积。
五、等边三角形在实际生活中的应用 1、 建筑领域
在一些建筑结构中，等边三角形的稳定性被充分利用，比如屋顶的支撑结构、桥梁的设计等。
2、 艺术设计
等边三角形的规整和对称美在艺术设计中经常被运用，创造出富有节奏感和平衡感的作品。
九年级数学等边三角形的判定和30°直角三角形性质导学案（总第 课时）
主备人（班级）________ 审核（姓名）__________ 2012年___月____日
学习目标:
1、进一步学习证明的基本步骤和书写格式。
2、掌握证明与等边三角形、30°直角三角形有关性质定理和判定定理
学习重点:
等边三角形的判定定理、30°直角三角形性质定理
学习难点:
等边三角形的判定定理、30°直角三角形性质定理的灵活运用
导学过程:
一、复习引入
1、三条边都________三角形叫等边三角形。
2、等边三角形又叫___________三角形，它的三条边都_______，三个角都等于________
二、探究新知
1、探究等边三角形的判定
①根据定义：三条边都________三角形叫等边三角形。
引导学生写出符号语言表示：
∵
∴
②、议一议：三个内角都相等的三角形是等边三角形吗？
引导学生根据等边三角形的定义和等角对等边写出自己的思路
引导学生总结：三个内角都_______的三角形是等边三角形
引导学生写出符号语言表示：
∵
∴
③合作交流：有一个内角为60°的三角形是等边三角形
引导学生写出符号语言表示：
∵
∴
2、探究30°直角三角形的性质：
①做一做，想一想：两个含30°角的三角尺，能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由。
②想一想，议一议：在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？
③引导学生自学课本的证明过程并强调
④引导学生总结结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的________。
⑤强调符号语言表示：
∵
1：等腰△ABC中，过其中一个顶点的直线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，求三内角的度数。
2：已知，如图1，在平面直角坐标系中，A（0,4），B（4,0）.
(1) BD平分∠ABO的外角，∠ADO=45°，求∠BAD的大小；
(2) 在（1）中，求OBAE的值；
(3) 如图2，点P在OB上，AP⊥PF，∠OBF=135°，问PFAP是否变化？
y y
A D A F
E
B
O x O P B x
图1 图2
3：在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，BF=AC。
（1）求证：AE=EF；
（2）若EF=EG，点G在BC上。求证：∠ABG+∠AEG=180°； A
（3）在（2）的条件下，若∠FEG=α，求∠FAG的大小。
E
F
B D G C
4：如图，D是等边△ABC内一点，DB=DA，BP=AB，∠P=30°.求证：BD平分∠PBC。
A
P
B C
D 5：（1）如图，在等边△ABC中，在BC边上任取一点P，过点P作AC的平行线，过点C作AB的平行线，两线交于点Q，求证:AP=BQ.
(2) 在上面的条件下，点P在BC边上任意运动，延长AP交BQ于D，问AD与BD+CD之间是否存在确定关系？若存在，请指明这个关系，并证明你的结论，若不存在，请说明理由。
A
C
B P
Q
6：如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD=AE，AF⊥BE交BC于F，FG⊥CD交AC于H，交BE的延长线于G。
（1）求证：GE=GH； G
（2）问BG，AF，FG有何数量关系？证明你的结论。
A
D E
H
B C
F
7:如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
《等边三角形》教案3
第一课时
★新课标要求
一、知识与技能
1．熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度．
2．熟识等边三角形的性质及判定．
二、过程与方法
经历探索、发现、应用等数学活动的过程，获得解决问题的经验，学会与他人合作交流，从交流中获益．
三、情感、态度与价值观
从归纳、探究、操作等活动中激发学生的兴趣，增强他们学好数学的信心．
★教学重点
等边三角形的性质及其应用．
★教学难点
简洁的逻辑推理．
★教学方法
教师给出问题，鼓励学生自己发现规律；学生动手动脑，与同学进行讨论，大胆发表自己的见解．
★教学过程
一、引入新课
教师活动：提出问题：
1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的?
等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角”．把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即AB与AC重合，点B与点C重合，线段BD与CD也重合，所以∠B＝∠C．
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”．由于AD为等腰三角形的对称轴，所以BD＝CD，AD为底边上的中线；∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD又为底边上的高，因此“三线合一”．
2．若等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为多少?
教师活动：出示今天的学习任务：
1．熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度．
2．熟识等边三角形的性质及判定．
二、进行新课
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等．我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
等边三角形具有什么性质呢?
1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想．
2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的?
等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°．
