湖南省邵阳市2020届高三第三次联考试题卷数学(理)试题与答案
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2
3
4数学（理）参考答案第1页共5页2020届邵阳市高三第三次联考
数学（理）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题有12个小题，每小题5分，满分60分．
题号123456789101112答案CDDCBDDBABAA
二、填空题：本大题有4个小题，每小题5分，满分20分．
13．12114．3
215．4S
31
2316．①②③④
三、解答题：本大题有6个小题，满分70分．
17．（12分）
解：（1）
ABC
，
222ACB
，
cossin
22ACB
.………………1分
由2
3sin2cos
2AC
bCc
及正弦定理得，
2
3sinsin2sinsin2B
BCC．………………2分
sin0C，2
3sin2sin1cos2B
BB．………………3分
3sincos1BB，即2sin1
6B
，即1
sin
62B
．……4分
0B
．7
666B
．
5
66B
2
3B
．………………6分
（2）由余弦定理得：222
2cosbacacB，
7b，2
3B
，
222
73acacac，
49
3ac（当且仅当73
3ac时取等号），………………9分
S
△ABC=13493
sin
2412acBac（当且仅当73
3ac时取等号），
△ABC面积的最大值为493
12．
………………12分
18．（12分）
解：（1）△DAC中，
22DAAC，
60D△ADC为等边三角形且AC=
22．
又
2ABBC，△ABC为等腰直角三角形．………………………2分
取AC中点O，连OB，OD，
OBAC，
ODAC．
△DOB中，
OB=
2，OD=
6，DB=DA=2
2．数学（理）参考答案第2页共5
页222
DBOBOD，
ODOB．………………………4分
又OD⊥AC，
OB∩AC=0，
ODABC平面．
1
3DABCV
S
△ABC
OD=21126
26
323．………………………6分
（2）建立如图所示的坐标系O-xyz，则………………………7分
A（0，-
2，0），B（
2，0，0），C（0，
2，0），D（0，0，
6）．
(2,2,0)AEAB
，
01
(2,222,0)CECAAE
．
(0,2,6)CD
.设平面EDC的一个法向量
(,,)xyzm．
2(222)0,
260,CExyCOyz
m
m
令
y
，则
2x
，
3z
，
2,,
3
m．………………………9分
又面DCA的一个法向量
(1,0,0)n，
2222
|cos(,)|
1
(2)
3
mn=3
2，
2
3440
．………………………11分
解之得：2
3
或-2（舍）．
2AE
EB．………………………12分
19．（12分）
解：（1）曲线C上点M到焦点的距离等于它到准线的距离．
221
2p
，
1
2p
，
2p．………………………4分
（2）依题意，过点N的抛物线切线的斜率存在，
故可设过N的直线：
(2)ytkx，代入2
4yx得，
2
4480kyytk．………………………5分
与曲线C相切，则0,
0,k
得2210ktk．………………………7分
设NP，NQ的斜率分别为k
1，k
2，则k1k2=1
2．且21112,P
k
k
，
2
2
212
,Q
k
k
．………………………8分
当
12kk时，直线PQ的方程：
12
2
11
22
1222
21
11kk
yx
kk
kk
．数学（理）参考答案第3页共5页即：12
2
1121221kk
yx
kkkk
．
2
12111
x
kkk
．即：
2
121121112
()yx
kkkkkk
．
112
2
1212112()1
()kkk
x
kkkkk
．
2
1
2
1212121
()k
x
kkkkk
．
121212121
(2)xx
kkkkkk
．
直线PQ过定点（2，0）．……………10分当
12kk时，即
122
2kk，
则PQ所在的直线为
2x.过点(2，0)
综上可得，直线PQ过定点(2，0)……………12分
20．（12分）
解：（1）由题意10个学生中，线上学习时间不少于3小时的有4人，则X=0，1，2，3，
………………1分
3
6
3
101
0
6C
PX
C，21
64
3
101
1
2CC
PX
C，
12
64
3
103
2
10CC
PX
C，3
4
3
101
3
30C
PX
C，………………4分X的分布列：X0123
P1
61
23
101
30
11316
0123
6210305EX．………………6分
（2）以样本估计总体的线上学习时间少于3小时的概率3
5．
记Y为从6人中抽取的线上学习时间少于3小时的人数，则Y~B3
6,
5
．…8分
6
632
()
55kk
kPYkC
，k=0，1，2，…，6．
要使
()PYk最大，则617
1
66
615
1
663232
5555
3232
5555kkkk
kk
kkkk
kkCC
CC
，
，……………10分数学（理）参考答案第4页共5页解之得1621
55k，又
kΝ
4k．……………12分
21．（12分）
解（1）函数
()fx的定义域为
(,)，且
2
()666(1)6(1)(1)fxxaxaxxa
．……………1分
①若a=2，则()0fx
，因而
()fx在
(,)上单调递增．
②若a<2，则当x
(,1)及x
(1,)a时()0fx
，f(x)单调递增．
当x(-1，1-a)时，()0fx
，()fx单调递减．……………3分
③若a>2，则当x
(,1)a及x
(1,)时()0fx
，f(x)单调递增．
当x(1-a，-1)时，()0fx
，()fx单调递减．……………4分
综上，当a=2时，()fx在
(,)上单调递增；当a<2时，()fx在
(,1)，
(1,)a
上单调递增；在(-1，1-a)上单调递减；当a>2时，()fx在
(,1)a，
(1,)上单调
递增，在(1-a，-1)上单调递减．………………5分
（2）由题意知(1)236(1)5faa，1a，故32
()23fxxx．…………6分
欲证当1x时，2
(ln1)()mxxfx．
当1x时，2
1x，ln+1>1x．
只需证：
2()
(ln1)fx
m
xx
，即23
ln1x
m
x
在
(1,)上恒成立．……………7分设23
()((1,))
ln1x
hxx
x
，则
2213
2(ln1)(23)2ln
()
(ln1)(ln1)xxx
xx
hx
xx
．设3
()2lnxx
x
，则
223
()x
x
x
．
故当x
(1,)时，()0x
，()x
单调递增．……………8分又3ln163
(2)2ln20
22
，3
()20e
e
．
()0hx
有且只有一个根
0x，且2<
0x
0
03
2lnx
x．………10分
在
0(1,)x上()0hx
，h(x)单调递减，在
0(,+)x上()0hx
，h(x)单调递增．
函数h(x)的最小值00
00
0
02323
()24
3
ln1
1
2xx
hxx
x
x
．……………11分
又4m.
23
ln1x
m
x
在（1，+）上恒成立．
故2
(ln1)()mxxfx成立．……………12分
22．（10分）
解：（1）由12cos,12cos,
12sin12sinxx
yy
得
22
(1)(1)2.xy
