湖南省邵阳市2024届高三第一次联考数学试题
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一、单选题
二、多选题1. 在中,内角的对边分别为,若
,且,则(
)
A
.1B.C.D
.2
2. 若曲线在处的切线与曲线也相切,则(
)
A.B.C
.1D
.2
3.
袋子中有5
个大小质地完全相同的球,其中2
个红球,3
个黄球,从中不放回地依次随机摸出2
个球,则两次都摸到红球的概率为(
)
A.B.C.D.
4. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成,最中间的是圆形的天心石,围绕天心石的是扇环形的石板,从内到外各圈的石板数组成等差数列
,它的前n项和为,且,,则( )
A
.2079B
.2059C
.2022D
.1890
5. 设函数的零点为a,函数的零点为b
,则(
)
A.B.C.D.
6. 圆
的圆心到双曲线的一条渐近线的距离是(
)
A
.B
.C
.D
.
7. 已知数列,,则数列的前100
项和为(
)
A.B.C.D.
8. 已知,
是双曲线的左、右焦点,点M
在双曲线的右支上,设M
到直线的距离为d,则的最小值为
(
)
A
.7B.C
.8D.
9.
如图,在棱长为1的正方体中( )
A.与的夹角为
B.二面角的余弦值为
C.与平面所成角的正切值为
D.点到平面
的距离为湖南省邵阳市2024届高三第一次联考数学试题
湖南省邵阳市2024届高三第一次联考数学试题三、填空题
四、解答题10.
设单位圆O
与x
轴的左、右交点分别为A
、B
,直线l:(其中)分别与直线、交于C
、D
两
点,则(
)
A.时,l的倾斜角为
B.,点A
、B
到l
的距离之和为定值
C.,使l
与圆O
无公共点
D.,恒有
11. 若非零实数满足,则下列不等式不一定成立的是(
)
A.B
.C
.D.
12.
已知复数z满足,则下列说法中正确的是(
)
A
.复数z的模为B
.复数z
在复平面内所对应的点在第四象限
C
.复数z的共轭复数为D
.
13. 已知角的终边过点,则=_________.
14.
某工厂从其所生产的某种配件中随机抽取了一部分进行质量检测,其某项质量测试指标值X服从正态分布,且X落在区间
内的配件个数为1359
,则可估计所抽取的这批配件共有______万个.附:若随机变量服从正态分布,则,,.
15. 设,,三条直线,,,则与的交点M到的距离的最大值为 __
.
16. 已知数列的前项为,,数列为等比数列,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
17.
已知函数.
(1)讨论的极值点个数;
(2)若有两个极值点,直线过点.
(i)证明:;
(ii
)证明:.
18. 如图,在多面体中,底面是边长为2的菱形,,四边形是矩形,和分别是和的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)若平面平面,,求平面与平面所成角的余弦值.
19. 2022
年12
月15
至16
日,中央经济工作会议在北京举行.
关于房地产主要有三点新提法,其中“
住房改善”
位列扩大消费三大抓手的第一位.
某房地产开发公司旗下位于生态公园的楼盘贯彻中央经济工作会议精神,推出了为期10
天的促进住房改善的惠民优惠售房活动,该楼盘售楼部
统计了惠民优惠售房活动期间到访客户的情况,统计数据如下表:(注:活动开始的第i天记为,第i天到访的人次记为,)
(单位:天)1234567
(单位:人次)12224268132202392
(1)根据统计数据,通过建模分析得到适合函数模型为(c
,d
均为大于零的常数).
请根据统计数据及下表中的数据,求活动到访人
次y
关于活动开展的天次x
的回归方程,并预测活动推出第8
天售楼部来访的人次;
参考数据:其中;参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
;
(2)
该楼盘营销策划部从有意向购房的客户中,随机通过电话进行回访,统计有效回访发现,客户购房意向的决定因素主要有三类:A
类是楼
盘的品质与周边的生态环境,B
类是楼盘的品质与房子的设计布局,C
类是楼盘的品质与周边的生活与教育配套设施.
统计结果如下表:
类别A
类B
类C
类
频率0.40.20.4
从被回访的客户中再随机抽取3
人聘为楼盘的代言人,视频率为概率,记随机变量X
为被抽取的3
人中A
类和C
类的人数之和,求随机变量X
的
分布列和数学期望.
20. 如图,在正方体中,E
,F
分别为AB,的中点.
(1)证明:平面;
(2)设平面与平面的交线为l,求二面角的正弦值.
21.
第二十二届卡塔尔世界杯足球赛(FIFAWorldCupQatar2022
)决赛中,阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.
某校为了丰富学
生课余生活,组建了足球社团.
足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关,随机抽取了男、女同学各100
名进行调查,部分数据如表所
示:
喜欢足球不喜欢足球合计
男生40
女生30
合计
(1)根据所给数据完成上表,并判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关?
(2)
社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2
名男生和1
名女生示范点球射门.
已知男生进球的概率为
,女生进球的概率为,每人射门一
次,假设各人射门相互独立,求3
人进球总次数的分布列和数学期望.
附:.