2019年广东省揭阳市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

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2019年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A＝{x|x2+x﹣6＜0}，B＝（﹣2，2），则∁

AB＝（ ）

A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2] C．（2，3） D．[2，3）

2．（5分）已知向量

，若，则λ的值

为（ ）

A．﹣3 B

． C

． D．3

3．（5分）已知是复数z的共轭复数，（z+1）（﹣1）是纯虚数，则|z|＝（ ）

A．2 B

． C．1 D

．

4．（5

分）若，则sin4α﹣cos4α的值为（ ）

A

． B

． C

． D

．

5．（5分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新

的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组

20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生

产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（ ）

A．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟

B．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高

C．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80

D．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．

6．（5分）函数f（x）在[0，+∞）单调递减，且为偶函数．若f（2）＝﹣1，则满足f（x﹣

3）≥﹣1的x的取值范围是（ ）

A．[1，5] B．[1，3] C．[3，5] D．[﹣2，2]

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7．（5分）如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则

该几何体的体积为（

）

A

． B．52 C

． D．56

8．（5分）某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、

化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为（ ）

A．6 B．12 C．24 D．48

9．（5

分）过双曲线两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个

交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（ ）

A． B

． C

． D．2

10．（5分）如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中

△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，记正方形为区域Ⅰ，图中阴影

部分为区域Ⅱ，在△ABC上任取一点，此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为p

1、p

2，则

（ ）

A．p

1＝p

2 B．p

1＜p

2 C．p

1≤p

2 D．p

1≥p

2

11．（5分）已知△ABC中，AB＝AC＝3，sin∠ABC＝2sinA，延长AB到D使得BD＝AB，

连结CD，则CD的长为（ ）

A

． B

． C

． D．3

12．（5分）已知函数f（x）＝cosπx

，，若∃x

1、x

2∈[0，1]，使得f

（x

1）＝g（x

2），则实数a的取值范围是（ ）

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A

． B

．

C

． D

．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）命题“对∀x∈[﹣1，1]，x2+3x﹣1＞0”的否定是 ；

14．（5分）在曲线f（x）＝sinx﹣cosx

，的所有切线中，斜率为1的切线

方程为 ．

15．（5分）已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A、B满足△SAB为等边三角形，且面积为，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为 ．

16．（5分）已知点P在直线x+2y﹣1＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0上，M（x

0，y

0）为PQ

的中点，且y

0＞2x

0+1

，则的取值范围是 ．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必

考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）

必考题：共60分

17．（12分）已知数列{a

n}的前n项和为S

n，且，（其中p、m为常数），又

a

1＝a

2＝3．

（1）求数列{a

n}的通项公式；

（2）设b

n＝log

3a

n，求数列{a

n•b

n}的前n项和T

n．

18．（12分）如图，在四边形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，点C在AB上，且AB⊥CD，

AC＝BC＝CD＝2，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC

所成的角为45°．

（1）求证：平面PBC⊥平面DEBC；

（2）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．

19．（12分）某地种植常规稻A和杂交稻B，常规稻A的亩产稳定为500公斤，今年单价为

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3.50元/公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元/公斤的可能性为60%，

变为3.70元/公斤的可能性为30%．统计杂交稻B的亩产数据，得到亩产的频率分布直方

图如下；统计近10年来杂交稻B的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）

的关系，得到的10组数据记为（x

i，y

i）（i＝1，2，…10），并得到散点图如图，参考数

据见

下．

（1）估计明年常规稻A的单价平均值；

（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B的亩产平均值；以

频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B的亩产超过765公斤的概率；

（3）判断杂交稻B的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相

关？若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；调查得知明年此地

杂交稻B的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻A和杂交稻B中选择，明年种植哪种水

稻收入更高？ 统计参考数据：＝1.60，＝2.82

，（x

i））y

i）＝﹣0.52

，（x

i）2＝0.65，

附：线性回归方程，b

＝．

20．（12分）

已知点在椭圆C

：上，椭圆C的焦距为2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）斜率为定值k的直线l与椭圆C交于A、B两点，且满足|OA|2+|OB|2的值为常数，

（其中O为坐标原点）

（i）求k的值以及这个常数；

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（ii）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值k的直线l

与椭圆

交于A、B两点，且满足|OA|2+|OB|2的值为常数，则k的值以及这个常数是多少？

21．（12

分）设函数（a、b∈R），

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）有两个零点x

1、x

2，求证：x

1+x

2+2＞2ax

1x

2．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标

方程为ρ2cos2θ＝a2（a∈R，a为常数），过点P（2，1）、倾斜角为30°的直线l的参数

方程满足，（t为参数）．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且|PA|•|PB|＝2，求a和

||PA|﹣|PB||的值．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，

（1）求函数f（x）的值域；

（2）若x∈[﹣2，1]时，f（x）≤3x+a，求实数a的取值范围．

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2019年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．【解答】解：根据题意，集合A＝{x|x2+x﹣6＜0}＝（﹣3，2），

又由B＝（﹣2，2），则∁

AB＝（﹣3，﹣2]；

故选：B．

2．【解答】解：；

∵；

∴；

∴λ＝﹣3．

故选：A．

3．【解答】解：设复数z＝a+bi，a、b∈R， 则＝a﹣bi，

∴（z+1）（﹣1）＝z•﹣z+﹣1＝a2+b2﹣2bi﹣1，且为纯虚数，

∴a2+b2﹣1＝0，且﹣2b≠0，

∴|z|＝＝1．

故选：C．

4．【解答】

解：由，得cos2α

＝，

∴sin4α﹣cos4α＝（sin2α+cos2α）（sin2α﹣cos2α）

＝﹣cos2α

＝﹣．

故选：D．

5．【解答】解：由茎叶图的性质得：

在A

中，第一种生产方式的工人中，有：＝75%的工人完成生产任务所需要

的时间至少80分钟，故A正确；

在B中，第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，故B正确；