河北省唐山市区县联考2020届高三上学期第一次段考数学(文)试卷

唐山一中2019-2020学年度第一学期期中考试高三年级 文科数学试卷卷Ⅰ（选择题 共60分）一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分）1. 已知全集U =R ，集合91A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭和{}44,B x x x Z =-<<∈关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 无穷多个【答案】B 【解析】 【分析】先解分式不等式得集合A ，再化简B ，最后根据交集与补集定义得结果. 【详解】因为91(0,9)A xx ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，{}{}44,3,2,1,0,1,2,3B x x x Z =-<<∈=---， 所以阴影部分所表示集合为(){0,1,2,3}U C A B =---,元素共有4个，故选B【点睛】本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 已知数列{}n a 满足11a =，1n n a ra r +=+，(*n ∈N ，r R ∈，0r ≠)，则“1r =”是“数列{}n a 为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立.【详解】当1r =时，111n n n n a ra r a a ++=+⇒=+，所以数列{}n a 为公差为1的等差数列，即充分性成立；21123,12,2n n a ra r a a r a r r +=+=∴==+，所以若数列{}n a 为等差数列，则2412,1r r r r =++∴=或12r =，即必要性不成立， 综上，“1r =”是“数列{}n a 为等差数列”的充分不必要条件， 故选A【点睛】本题考查等差数列定义以及充要关系判定，考查基本分析化简求证能力，属中档题. 3. 已知向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b α=，,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且//a b ，则sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.13- B.13C.3D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行可构造方程求得sin α，由同角三角函数关系求得cos α；根据诱导公式可求得结果. 【详解】//a b 11tan cos sin 033ααα∴-⋅=-=，解得：1sin 3α=,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭cos 3α∴==- sin cos 23παα⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭ 故选：C【点睛】本题考查向量平行关系的应用、同角三角函数关系与诱导公式求解三角函数值的问题；关键是能够根据向量平行关系求得sin α.4. 函数()()13,2log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨--≥⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为（ ）A. ()1,2B. 4(,)3-∞C. 4(1,)3D. [)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】先根据分段函数转化为两个不等式组，解得结果. 【详解】因为()1f x >，所以121x x e -<⎧⎨>⎩或()32log 11x x ≥⎧⎨-->⎩因此210x x <⎧⎨->⎩或21013x x ≥⎧⎪⎨<-<⎪⎩，12x <<或x ∈∅，即12x <<故选:A【点睛】本题考查分段函数性质以及解指对数不等式，考查基本分析求解能力，属中档题. 5. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p (单位：毫克/升)不断减少，已知p 与时间t (单位：小时)满足p (t )＝302t p -⨯，其中p 0为t ＝0时的污染物数量．又测得当t ∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p (60)＝( ) A. 150毫克/升 B. 300毫克/升 C. 150ln 2毫克/升 D. 300ln 2毫克/升【答案】C 【解析】 【分析】由当30t =时，污染物数量的变化率是102ln -，求出0p ，再利用关系式，可求60p （） 的值．【详解】选C 因为当t ∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，所以p 0＝600ln 2，因为p (t )＝302tp -⨯，所以p (60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．【点睛】本题考查指数函数的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．6. 已知22a x x =++lg3b =，12c e -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D.b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】借助第三量比较大小关系.【详解】因为12221112()221244a x x x e -=++=++-≥->>12122lg3lg3lg3lg101e b e b c c==<<=∴< 所以b c a << 故选D【点睛】本题考查比较大小以及二次函数值域，考查基本分析判断能力，属中档题. 7. 已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A. 3 B. 4C.92D.112【答案】B 【解析】【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥8. 函数321y x =-的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】 分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．【详解】∵函数()f x =∴()()f x f x -==-∴函数()f x =当x 向右趋向于1时，()f x 趋向于+∞，故排除D ； 当x 向左趋向于1时，()f x 趋向于-∞，故排除B 、C. 故选A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除9. 若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）． A. 1- B. 32e -- C. 35e -D. 1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a ex ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'， 因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e-=--，故()()212x f x x x e--'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．10. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B ＝2C,2b cos C －2c cos B ＝a ，则角A 的大小为( ) A.2π B.3π C. 4π D.6π 【答案】A 【解析】【详解】由正弦定理得()2sin cos 2sin cos sin sin B C C A B C -==+ sin cos cos sin B C B C =+，2sin cos 3sin cos ,sin 2cos 3sin cos 2B C C B C C C C ==，()2222cos 3cos sin C C C =-，21tan ,tan 3C C ==，2,B C C =∴为锐角, 所以,,632C B A πππ===，故选A.11. 实数a ，b ，c 成等差，点()1,1P -在动直线:20l ax by c ++=上的射影为M ，点()2,2N 则线段MN 长度的取值范围为（ ）A.B. C. ⎡⎣ D. ⎤⎦【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件确定动直线:20l ax by c ++=过定点，再确定M 点轨迹，最后根据点与圆位置关系求最值.【详解】因为a ，b ，c 成等差，所以2b a c =+，因此:20l ax by c ++=过定点(1,1)A -, 因为点()1,1P -在动直线:20l ax by c ++=上的射影为M ，所以M 点轨迹为以AP 为直径的圆，即222x y +=，从而[MN ON ON ∈+=,（O 为坐标原点）故选B【点睛】本题考查直线过定点、圆的轨迹以及点与圆的位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.12. 已知函数,0()2(1),0xx m e mx x f x e x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e为自然对数的底），若方程()()0f x f x 有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（ ）． A. (0,)e B. (,)e +∞C. (0,2)eD. (2,)e +∞【答案】D 【解析】 【分析】首先需要根据方程特点构造函数()()()F x f x f x =+-,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数()F x 在()0,+∞上的零点个数，再转化成方程1e 2x x m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.【详解】因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数，()00F ≠，所以零点成对出现，依题意，方程()()0f x f x -+=有两个不同的正根，又当0x >时，()e 2xmf x mx -=-+，所以方程可以化为：e e e 02xx x m mx x -++-=，即1e 2xx m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记()e (0)xg x x x =>，()()e10xg x x ='+>，设直线12y m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()g x 图像相切时的切点为(),e t t t ，则切线方程为()()e e 1t ty t t x t -=+-，过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()1e e 112t t t t t t ⎛⎫-=+-⇒= ⎪⎝⎭或12-（舍弃），所以切线的斜率为2e ，由图像可以得2e m >.选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.卷Ⅱ（非选择题 共90分）二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13. 已知i 为虚数单位，a 为实数，复数()()12z i a i =-+在复平面内对应的点为M ，若点M在第四象限，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】1(,)2+∞ 【解析】【详解】因为()()12(2)(12)z i a i a a i =-+=++-，又点M 在第四象限，所以2011202a a a +>⎧∴>⎨-<⎩，故答案为1(,)2+∞【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 函数()21ln 2f x x x ax =++存在与直线30x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(],1-∞ 【解析】试题分析：由题意，得1()f x x a x'=++，故存在切点，使得，所以有解．由于，所以（当且仅当取等号），即．考点：1、导数的几何意义；2、基本不等式．【思路点晴】求解时要充分借助题设和直线与函数代表的曲线相切的的条件,建立含参数的方程,然后运用存在变量使得方程有解,再进一步转化为求函数的值域问题．求值域时又利用题设中的，巧妙运用基本不等式使得问题简捷巧妙获解．15. 执行如图所示的程序框图，若输出5k =，则输入p 的取值范围为__________．【答案】(]7,15 【解析】执行程序一次，1,2s k ==，执行第二次后3,3s k ==，执行第三次后7,4s k ==，执行第四次后15,5s k ==，此时应该跳出循环，所以715p <≤，故填7,15]（． 16. 已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，,4,23BC CD BC CD AB AD ⊥====，则三棱锥A BCD -的外接球的大圆面积为________． 【答案】9π 【解析】 【分析】球的切接问题是最近高考的热点之一，解题的关键是利用所给几何体的特征，找到球心，求出半径；找球心常用方法就是先找到多面体的一个三角形面的外心，球心在过这个外心且垂直于这个平面的直线上，再利用已知条件求出半径，如本题就釆用这种方法；或者是看所给多面体是否能放入某个正方体或长方体中，借助正方体或长方体的外接球去求解.【详解】解：如下图所示，设BD 的中点为E ，，连结,AE EC ，因为AB AD =，所以AE BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，所以AE ⊥平面BCD ，又因为BCD ∆是等腰直角三角形，所E 为BCD ∆的外心，42,22BD CE ==，所以球心O 一定在直线AE 上，222AE AB BE CE =-=<，所以球心O 在线段AE 的延长线上，设OE x =，则三棱锥外接球半径22R x AE x BE =+=+，即()22222x x +=+，解得1x =，所以3R =，所以三棱锥A BCD -的外接球的大圆面积29S R ππ==.【名师点睛】本题主要考查球的切接问题与球的性质，属中档题. 考点：1.球的切接问题；2.球的性质.三．解答题（共6小题，计70分）17. 在ABC ∆中，5cos 13B =-，3sin 5C =. (1)求sin A 的值； (2)设ABC ∆的面积332，求BC 边上的高. 【答案】（1）3365（2）6 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角关系以及两角和正弦公式求解，（2）先根据正弦定理以及三角形面积公式求BC ，再利用三角形面积公式求高. 【详解】解：(1)5cos 013B =-<， B ∴为钝角，12sin 13B =， B 为钝角C ∴为锐角， 3sin 5C =，4cos 5C ∴=. ()sin sin A B C ∴=+=sin cos cos sin B C B C +124533313513565=⨯-⨯=. (2)::sin :sin :sin a b c A B C =11:20:13=，设11a k =，20b k =，13c k =，BC 边上的高为h 则2133sin 6622S ab C k ===，12k =112a ∴=，11133222S h =⨯=， 6h ∴=.BC 边上的高为6.【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式以及两角和正弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 在数列{}n a 中，11a =，23a =，且对任意的n ∈N *，都有2132n n n a a a ++=-. （Ⅰ）证明数列{}1n+n a a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12nn n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意的n ∈N *都有1n nS m a ≥+，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）13m ≤- 【解析】 【分析】 （Ⅰ）2132n n n a a a ++=-可变形为2112n n n na a a a +++-=-，故1{}n n a a +-是等比数列.利用累加法可以求出{}n a 的通项.（Ⅱ）由（Ⅰ）知11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==-----，用裂项相消法可求nS ，求出1n n S a -的最小值后可得m 的取值范围.【详解】（Ⅰ）由2132n n n a a a ++=-可得2112()n n n n a a a a +++-=-．又11a =，23a =，所以2120a a -=≠，故2112n n n na a a a +++-=-.所以1{}n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列.所以12nn n a a +-=.所以1211()()n n n a a a a a a -=+-++-21222n =++++21n =-.（Ⅱ）因为12(21)(21)n n n n b +=--11(21)(21)(21)(21)n n n n ++---=--1112121n n +=---.所以12n n S b b b =+++223+1111111212121212121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭+11=121n --.又因为对任意的*n N ∈都有1n n S m a ≥+，所以11112121n n+m ≤----恒成立， 即1min 1112121n n m +⎛⎫≤-- ⎪--⎝⎭,即当1n =时，13m ≤-. 【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB ==，13BAA π∠=，D 为1AA 的中点，点C 在平面11ABB A 内的射影在线段BD 上.(1)求证：1B D CBD ⊥平面；(2)若CBD ∆是正三角形，求三棱柱111ABC A B C -的体积.【答案】（1）见证明；(2)34【解析】 【分析】（1）分别证明1CE B D ⊥和1BD B D ⊥，结合直线与平面垂直判定，即可．（2）法一：计算1A AB S ，结合1113C A AB A AB V S CE -=⋅和11113ABC A B C C A AB V V --=，即可．法二 :计算111ABB A PCC Q V -，结合11111112ABC A B C ABB A PCC Q V V --=，计算体积，即可．法三：结合11122ABC A B C ABC D ABD V S h S CE -=⨯=⋅，计算结果，即可．【详解】(1)证明：设点C 在平面11ABB A 内的射影为E ，则E BD ∈，CE CBD 平面⊂，且11CE ABB A ⊥平面，因111B D ABB A ⊂平面，所以1CE B D ⊥.在ABD ∆中，1AB AD ==，3BAD π∠=，则323ABD ADB πππ-∠=∠==，在11A B D ∆中，1111A B A D ==，1123B A D π∠=， 则11112326A B D A DB πππ-∠=∠==， 故1362B DB ππππ∠=--=，故1BD B D ⊥.因CE BD E ⋂=，故1B D CBD ⊥平面. (2)法一、1111133ABC A B C A ABC C A AB V V V ---==，由(1)得11CE ABB A ⊥平面，故CE 是三棱锥1C A AB -的高，CBD ∆是正三角形，1BD AB AD ===，3CE =，111113sin12sin223A ABS AB AA BAAπ=⋅∠=⨯⨯⨯=，111133133224C A AB A ABV S CE-=⋅=⨯⨯=，故三棱柱的体积1111334ABC A B C C A ABV V--==，故三棱柱111ABC A B C-的体积为34.法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因PAC BACS S=且高一样，故11111ABC A B C APC A QCV V--=，故1111111112ABC A B C APC A QC ABB A PCC QV V V---==，由(1)得11CE ABB A⊥平面，故CE是四棱柱111ABB A PCC Q-的高，故11111133sin12sin322 ABB A PCC Q ABB AV S CE AB AA BAD CEπ-=⋅=⨯∠⨯=⨯⨯⨯=，故1111111324ABC A B C ABB A PCC QV V--==，故三棱柱111ABC A B C-的体积为34.法三、在三棱锥C ABDV-中，由(1)得CE ABD⊥平面，CE是三棱锥C ABD-的高，6分记D到平面ABC的距离为D h，由D ABC C ABDV V--=得1133ABC D ABDS h S CE=⋅，即ABDDABCS CEhS⋅=，D为1AA的中点，故A到平面ABC的距离为22ABDDABCS CEhS⋅=，11113322211sin2324ABC A B C ABC D ABDV S h S CEπ-=⨯=⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=.故三棱柱111ABC A B C-的体积为34.【点睛】本道题考查了直线与平面垂直判定，考查了三棱柱的体积计算公式，难度较大．20. 已知1x =为函数()()2ln f x x ax x x =-+的一个极值点.（1）求实数a 的值，并讨论函数()f x 的单调性；（2）若方程()22f x mx x =+有且只有一个实数根，求实数m 的值.【答案】（1）见解析；（2）1- 【解析】【详解】（1）()()2ln f x x ax x x =-+，()0,x ∈+∞．()()()2ln 1f x x x a x a =+---'．∵ 1x =为函数()()2ln f x x ax x x =-+的一个极值点，∴ ()()1110,2f a a =--=='，故()()22ln f x x x x x =-+，()()()()22ln 1112ln f x x x x x x =+--=-+'．令()0f x '=，解得1x =或x =∴ 当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当,1x e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； （2）方程()()222ln 2f x x x x x mx x =-+=+，整理得()()222ln f x x x x x mx =--=．因为()0,x ∈+∞，所以有()()222ln 2ln 1x x x x x x m x x----==． 令()()2ln 1211ln x x g x x xx x--⎛⎫==--⎪⎝⎭，则()22ln 1x x g x x='+-． 令()2ln 1h x x x =+-，()210h x x'=+>，故()h x 在()0,∞+上是增函数． ∵ ()10h =，∴ 当()0,1x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增； ∴ ()()min 110g x g ==-<．∵ 当0x →或x →+∞时，()g x →+∞，∴ 方程()22f x mx x =+有且只有一个实数根时，实数1m =-．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．21. 已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若cos cos a b A B =且()221sin 2cos cos 2A CB -=+，求角C 的大小； (2)若ABC ∆为锐角三角形，且4A π=，2a =，求ABC ∆面积的取值范围.【答案】（1）2C π=（2）(1⎤⎦【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理化简cos cos a bA B=得A B =，再代入条件()221sin 2cos cos 2A CB -=+化简得2C π=，（2）根据正弦定理以及三角形面积公式得ABC ∆)14B π-+，再根据锐角三角形确定B 角范围，最后根据正弦函数性质求取值范围. 【详解】(1)由于cos cos a bA B=，由正弦定可得sin cos sin cos 0A B B A -=， 即()sin 0A B -=，(),0,A B π∈，A B ∴=，故22C A π=-，22C B π=-，又()221sin 2cos cos 2A CB -=+， 所以()221cos2cos sin 222C C C -=+， 即()1cos 1cos 12cos 222C C C +--=+ ()2cos cos 0C C ∴-=由于2cos 0C -≠，所以cos 0C =，由于C 是三角形的内角， 故2C π=.(2)由sin sin sin a b c A B C===b B =，c C =，所以ABC ∆面积为1sin sin 2S bc A B C ==3sin()4B B π=-)14B π=-+由于ABC ∆为锐角三角形，所以0202C B ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即304202B B πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得42B ππ<<，所以32444B πππ<-<，sin(2)124B π<-≤，所以21S <≤.即ABC ∆面积的取值范围是(1⎤⎦.【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式、二倍角公式以及辅助角公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 22. 已知1()2(2)ln f x ax a x x=--+（0)a ≥ （1）当a ＝0时，求f （x ）的极值； （2）当a ＞0时，讨论f （x ）的单调性；（3）若对任意的a ∈（2, 3），x-1, x 2∈[1, 3]，恒有（m －ln3）a －2ln3＞|f （x 1）－f （x-2）|成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 的极大值为1()2ln 222f =-，无极小值；（2）①当02a <<时，()f x在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是增函数，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数；②当2a =时，()f x 在()0,∞+上是增函数；③当2a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 （3）133m ≥. 【解析】【详解】（1）当0a =时，221121-2()2ln ()=-=(0)x f x x f x x x x x x=--⇒>、 由21-2()=0x f x x 、>,解得12x <，可知()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. ∴()f x 的极大值为1()2ln 222f =-，无极小值.2221112(2)1(2)()2(2)ln ()=2(2)ax a x f x ax a x f x a a x x x x-++=--+⇒+-+=、①当02a <<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是增函数，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数；②当2a =时，()f x 在()0,∞+上是增函数； ③当2a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数（3）当23a <<时，由（2）可知()f x 在[]1,3上是增函数， ∴122()()(3)(1)4(2)ln 33f x f x f f a a -≤-=-++. 由12(ln3)2ln3()()m a f x f x -->-对任意的a ∈（2, 3），x-1, x 2∈[1, 3]恒成立， ∴12max (ln3)2ln3()()m a f x f x -->- 即2(ln 3)2ln 34(2)ln 33m a a a -->-++对任意23a <<恒成立， 即243m a>+对任意23a <<恒成立， 由于当23a <<时，382134933a <+<，∴133m ≥.。

唐山市2020届高三上学期期末统一考试数学【试题总体说明】本套试题严格按照《考试说明》的要求，精心设计，力求创新．所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度，基础题、中档题和难题的比例控制在必做题部分为4:4:2；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查；（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；（4）深入探究2020高考试题，精选合适的试题进行改编；（5）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色．（6）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力，总体来说，本套试卷很好地体现了2020年高考数学学科《考试说明》的精神，体现了2020年高考数学的命题趋势和方向，有较高的模拟训练的价值． 说明：1．本试卷包括三道大题，22道小题，共150分。

其中第一道大题为选择题。

2．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

3．做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。

4．考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS nSh V 31其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V3234,4R V R S其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．复数1(1)(1)i i= （ ） A ．2i B ．-2iC ．2D ．-2【答案】 A【解析】21(1)(1)(1)(1)(1) 2.i i i i i i故选A. 2．函数1lg(2)y x（ ）A ． 0,8B ． 2,8C ． 2,8D ． 8,【答案】B【解析】由题意可知，1lg(2)0,x 整理得：210,lg(2)1lg10,20,x x x解得28,x 故函数的定义域为(2,8]. 此题需注意真数大于零这个隐含条件.3．设()4xf x e x ，则函数()f x 的零点位于区间（ ）A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3） 【答案】 C【解析】利用判断零点所在区间的方法，验证区间端点值的正负即可.22(1)1430,(2)2420,(1)(2)0,f e e f e e f f Q 故选C.4．已知双曲线的渐近线为3y x ，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）A ．221824x y B ．121124x yC ．221248x y D ．221412x y【答案】D【解析】由题意可设双曲线方程为22221(,0)x y a b a b，利用已知条件可得：22222343,,1244b b a a ab c a b即双曲线方程为221.412x y 故选D.5．执行右面的程序框图，如果输出的是341a ，那么判断框（ ） A ．4?k B ．5?k C ．6?k D ．7?k 【答案】 C【解析】利用框架图可知，11411,12;a a k k21213232415,13;4121,14;a a k k a a k k4343544185,15;41341.a a k k a a要使得输出的结果是341,a 判断框中可以是6?k 故答案为C. 6．2(sin 22.5cos 22.5) 的值为（ ）A ．212B ．212C ．21D ．2【答案】 B【解析】22(sin 22.5cos 22.5)12sin 22.5cos 22.51sin 451.oo ooo故答案为B.7．若01,10a b ，则函数1y b x a的图象为（ ）【答案】 C 【解析】函数1y b x a的图像可以看做由函数1y x的图像向左平移a 个单位，然后向下平移b 的单位得到，结合反比例函数图像和a b 、的范围可知正确答案为C 。

河北省唐山市2020届高三上学期期末考试数学【文】试题及答案河北省唐山市 数学（文）试题说明：一、本试卷分为第I 卷和第II 卷．第I 卷为选择题；第II 卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回，第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． (1)函数y =的定义域为(A)[一5，2] (B)（一∞，—5]U[2，+oo ） (C)[一5,+ ∞)(D)[2,+ ∞)(2)函数2()12sin 2xf x =-的最小正周期为 (A) 2π (B)π （C ）2π(D)4π(3)"k<9’’是“方程221259x y k k +=--表示双曲线”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(4)设变量x 、y 满足10,30,230,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数z=2x+3y 的最小值为(A)7(B) 8(C) 22(D) 23(5)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 7=8,则a 4= (A)1 (B) 4(C)2(D) (6)己知1()1,()2,f x x f a x=+-=则()f a -= (A )－4 (B －2(C )－1(D )－3(7)抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是(A)19(B)16(C)118(D)112（8）己知(12)3,1,()1,1.a x a x f x nx x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是 (A)(一∞，一1](B)(一l ，12) (C)[－1，12) (D)（0，12） (9)执行如图所示的算法，则输出的结果是 (A)1(B)43(C)54(D)2(10)右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于 (A)13(B)23(C)1 (D)43(11)椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 0y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为(A)12(B)12(C)2， 一l (12)设函数3()1()f x ax x x R =-+∈，若对于任意x ∈[一1，1]都有()f x ≥0，则实数a 的取值范围为 (A)(-∞, 2](B)[0+∞)(C)[0,2] (D)[1,2]第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． (13)若复数z 满足z=i(2+z)（i 为虚数单位），则z= 。

绝密★启用前河北省唐山市2020届高三年级上学期摸底考试数学（文）试题试卷类型：A注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2{0,1,2,3},{20}A B x x x ==-< ,则A∩B ＝A.{0,1,2}B.{0,1}C. {3}D.{1}2.已知p,q ∈ R,1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根,则p·q ＝A.－4B.0C.2D.43.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 5＝－2,S 15＝150,则公差d ＝A.6B.5C.4D.34.已知a ＝ln3,b ＝log310,c ＝lg3, 则a,b,c 的大小关系为A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b 5.函数21()x f x x-=的图像大致为6.双曲线C ：x 2－y 2＝2的右焦点为F,点P 为C 的一条渐近线上的点,O 为坐标原点。

若PO PF = ,则S △OPF ＝ A.14 B.12C.1D.27.已知sin()24απ=－,则sinα＝ A.1225- B.1225C.2425-D.2425 8.右图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由一个半圆和一个四分之一圆构成,两个阴影部分分别标记为A 和M 。

在此图内任取一点,此点取自A 区域的概率记为P(A),取自M 区域的概率记为P(M),则A.P(A)>P(M)B.P(A)<P(M)C.P(A)＝P(M)D.P(A)与P(M)的大小关系与半径长度有关9.右图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图,若先后输入x ＝1900,x ＝2400,则输出的结果分别是(注：xMODy 表示x 除以y 的余数)。

2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2+2x≤0}，则A∩B中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．42．设i是虚数单位，复数z=2+i3−i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．如图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是（）A．男性的平均预期寿命逐渐延长B．女性的平均预期寿命逐渐延长C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．已知向量a→，b→满足|a→+b→|＝|b→|，且|a→|＝2，则a→⋅b→=（）A．2B．1C．﹣1D．﹣25．设sin（π4+θ）=13，则sin2θ＝（）A．−19B．−79C．19D．796．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3），则该圆柱形容器能放米（ ） A ．900 斛B ．2700斛C ．3600斛D ．10800斛7．已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，a 2＝b 2＝m ，a 3＝b 3＝n ，若m ，n 为正数，且m ≠n ，则（ ） A ．a 1＜b 1 B ．a 1＞b 1 C ．a 1＝b 1D ．a 1，b 1的大小关系不确定8．抛物线x 2＝2py （p ＞0）上一点A 到其准线和坐标原点的距离都为3，则p ＝（ ） A ．8B ．6C ．4D ．29．函数f （x ）＝tan x ﹣x 2在(−π2，π2)上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设函数f(x)=sin(x +2π3)，则下列结论中错误的是（ ）A ．f （x ）的图象关于点（π3，0）对称B ．f （x ）的图象关于直线x =π6对称 C ．f （x ）在[0，π3]上单调递减D ．f （x ）在[−π3，0]上的最大值为111．已知四棱锥P ﹣ABCD 的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，且AB ＝AD ＝1，BC ＝CD ＝2，若球O 的表面积为36π，则PA ＝（ ） A ．2B ．√6C ．√31D ．√3312．已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，M 是C 的渐近线上一点，且MF ⊥x 轴，过F 作直线OM 的平行线交C 的渐近线于点N （O 为坐标原点），若MN ⊥ON ，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2√33B ．√3C ．√62D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≤0x −3y +1≤0，则z ＝2x ﹣y 的最小值为 ．14．曲线f （x ）＝e x +2sin x ﹣1在点（0，f （0））处的切线方程为 ．15．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n +1＝a n +tn （n ∈N *，t 为非零常数），且a 1，a 2，a 3成等比数列，则a n ＝ ．16．已知f(x)=a(1x−2x)+lnx ，f （x ）有极大值f （x 1）和极小值f （x 2），则a 的取值范围是 ；f （x 1）+f （x 2）＝ ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某高校艺术学院2019级表演专业有27人，播音主持专业9人，影视编导专业18人．某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取6人作为志愿者．（1）分别写出各专业选出的志愿者人数；（2）将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式列出所有可能的结果，并求表演专业的志愿者A 与播音主持专业的志愿者分在一组的概率．18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c =√3asinC −ccosA ． （1）求角A ；（2）设D是BC边上一点，若∠ADB=2π3，且AD＝1，a＝3，求b，c．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等边三角形，且AA1⊥底面ABC，AB＝2√2，A1A ＝3，D，E分别为AC，A1C1的中点，点F在棱CC1上，且FC＝1．（1）证明：平面BEF⊥平面BDF；（2）求点D到平面BEF的距离．20．已知P是x轴上的动点（异于原点O），点Q在圆O：x2+y2＝4上，且|PQ|＝2．设线段PQ的中点为M．（1）当直线PQ与圆O相切于点Q，且点Q在第一象限，求直线OM的斜率；（2）当点P移动时，求点M的轨迹方程．21．已知a＞0，函数f（x）＝2ax3﹣3（a2+1）x2+6ax﹣2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在R上仅有一个零点，求a的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C：ρ＝4sinθ，直线l：ρcosθ＝2．以极点O为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程，直线l的直角坐标方程；（2）点A在圆C上，AB⊥l于B，记△OAB的面积为S，求S的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣2|x﹣1|﹣1．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）是否存在实数a，使得f（x）的图象与x轴有唯一的交点？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2+2x≤0}，则A∩B中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算求出A∩B，从而可得出A∩B的元素个数．解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2≤x≤0}，∴A∩B＝{﹣1，0}，∴A∩B中元素的个数是2．故选：B．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，集合元素的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．设i是虚数单位，复数z=2+i3−i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简z，从而求出其在复平面内对应的点所在的象限．解：∵i是虚数单位，复数z=2+i3−i=(2+i)(3+i)(3−i)(3+i)=5+5i10=12+12i；则z在复平面内对应的点（12，12）位于第一象限；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．如图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是（）A．男性的平均预期寿命逐渐延长B．女性的平均预期寿命逐渐延长C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性【分析】根据柱状统计图即可判断．解：由柱状统计图可知无论男女的平均预期寿命都在逐渐延长，且很明显女性平均预期寿命延长幅度略高于男性，故A、B、D正确，C错误，故选：C．【点评】本题考查了柱状统计图，考查了合情推理的问题，属于基础题．4．已知向量a→，b→满足|a→+b→|＝|b→|，且|a→|＝2，则a→⋅b→=（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【分析】根据条件可表示出2a→⋅b→=−a→2，代入即可得到所求值．解：因为|a→+b→|＝|b→|，即有|a→+b→|2＝|b→|2，所以a→2+2a→⋅b→+b→2=b→2，则2a→⋅b→=−a→2＝﹣4，所以a→⋅b→=−2，故选：D．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属于基础题．5．设sin （π4+θ）=13，则sin2θ＝（ ）A ．−19B ．−79C ．19D ．79【分析】将已知由两角和的正弦公式展开可得√22（sin θ+cos θ）=13，两边平方可得12（1+sin2θ）=19，即可得解． 解：∵sin （π4+θ）=13，∴√22（sin θ+cos θ）=13，∴两边平方，可得：12（1+sin2θ）=19，解得：sin2θ=−79， 故选：B ．【点评】本题主要考查了二倍角的正弦公式及两角和的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．6．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3），则该圆柱形容器能放米（ ） A ．900 斛B ．2700斛C ．3600斛D ．10800斛【分析】由底面圆周长五丈四尺求出圆柱底面半径，根据圆柱的体积公式计算出对应的体积，除以1.62得答案．解：设圆柱的底面半径为r ，则2πr ＝54，得r ＝9， 故米堆的体积为π×92×18＝4374立方尺， ∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴该圆柱形容器能放米4374÷1.62≈2700斛， 故选：B ．【点评】本题考查圆柱体积的求法，考查圆的周长公式的应用，是基础题．7．已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，a 2＝b 2＝m ，a 3＝b 3＝n ，若m ，n 为正数，且m ≠n ，则（ ） A ．a 1＜b 1B ．a 1＞b 1C ．a 1＝b 1D ．a 1，b 1的大小关系不确定【分析】本题先根据等差中项和等比中项的性质可列式并计算出a 1、b 1关于m 、n 的表达式，然后应用作差法比较a 1、b 1的大小，进行不等式的计算即可得到正确选项． 解：由题意，可知∵数列{a n }是等差数列，且a 2＝m ，a 3＝n ， ∴2a 2＝a 1+a 3，即2m ＝a 1+n ， 解得a 1＝2m ﹣n ，又∵数列{b n }是等比数列，且b 2＝m ，b 3＝n ， ∴b 22＝b 1b 3，即m 2＝nb 1， 解得b 1=m 2n，∴a 1﹣b 1＝2m ﹣n −m 2n=−(m−n)2n，∵m ，n 为正数，且m ≠n ， ∴（m ﹣n ）2＞0， ∴a 1﹣b 1=−(m−n)2n＜0，即a 1＜b 1． 故选：A ．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列与不等式的综合问题．考查转化与化归思想，方程思想，不等式的运算能力，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题． 8．抛物线x 2＝2py （p ＞0）上一点A 到其准线和坐标原点的距离都为3，则p ＝（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2【分析】先根据抛物线的方程写出其准线方程，从而得到点A 的纵坐标，将其代入抛物线方程求得A 的横坐标，再利用两点间距离公式建立关于p 的方程，解之即可得解． 解：由抛物线x 2＝2py 可知，其准线方程为y =−p2，∵点A 到其准线的距离为3，∴y A =3−p 2，∴x A 2=2p ⋅(3−p2)，又点A 到原点的距离为3，∴|OA|2=x A 2+y A 2=2p(3−p 2)+(3−p2)2=32，解得p ＝4． 故选：C ．【点评】本题考查抛物线的准线方程，两点间距离公式，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．9．函数f （x ）＝tan x ﹣x 2在(−π2，π2)上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，结合选项直接得解． 解：函数f （x ）既不是奇函数也不是偶函数，故排除选项B 、D ； 又f(π4)=1−π216＞0，故排除选项C ．故选：A ．【点评】本题考查函数图象的运用，考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题． 10．设函数f(x)=sin(x +2π3)，则下列结论中错误的是（ ） A ．f （x ）的图象关于点（π3，0）对称B ．f （x ）的图象关于直线x =π6对称 C ．f （x ）在[0，π3]上单调递减D ．f （x ）在[−π3，0]上的最大值为1【分析】根据三角函数的图象与性质间的关系判断A ，B 选项；结合换元思想研究f （x ）的单调性，进一步判断C ，D 选项．解：对于A ，因为f(π3)=sin(π3+2π3)=0，故A 对；对于B ，f(π6)=sin(π6+2π3)=sin 5π6=12≠±1，故B 错； 对于C ，x ∈[0，π3]时，x +2π3∈[2π3，π]，这是y ＝sin x 的减区间，结合复合函数“同增异减”可知，C 对；对于D ，x ∈[−π3，0]时，x +2π3∈[π3，2π3]，可知当x +2π3=π2，即x =−π6时，f （x ）max ＝1，故D 对．故选：B ．【点评】本题考查正弦（型）函数的对称性、单调性及最值的判断方法，注意转化思想的应用，同时考查学生的运算能力和推理能力．属于中档题．11．已知四棱锥P ﹣ABCD 的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，且AB ＝AD ＝1，BC ＝CD ＝2，若球O 的表面积为36π，则PA ＝（ ） A ．2B ．√6C ．√31D ．√33【分析】先分析底面四边形ABCD 的外接圆，利用三角形全等得到底面四边形ABCD 的外接圆的圆心M 为AC 的中点，从而面四边形ABCD 的外接圆的半径r =√52，易知球O的球心O 在过点M 的底面ABCD 的垂线上，由球O 的表面积求出球O 的半径，再利用勾股定理即可求出PA 的值．解：设底面四边形ABCD 的外接圆为圆M ，如图所示：，∵AB ＝AD ，BC ＝CD ，AC ＝AC ， ∴△ADC ≌△ABC ， ∴∠ADC ＝∠ABC ，又因为圆内接四边形对角互补，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°， ∴底面四边形ABCD 的外接圆的圆心M 为AC 的中点，∵AD ＝1，CD ＝2，∠ADC ＝90°，∴AC =√5，即面四边形ABCD 的外接圆的半径r =√52，过点M 作底面ABCD 的垂线，则球O 的球心O 在垂线上，如图所示：，过球心O 作ON ⊥PA 于点N ，故四边形AMON 为矩形， ∵球O 的表面积为36π，∴4πR 2＝36π，∴R ＝3，在Rt △OAM 中：AM ＝r =√52，OA ＝R ＝3，∴OM =32−(52)2=√312，在Rt △PON 中：ON ＝AM ＝r =√52，OP ＝R ＝3，∴PN =32−(52)2=√312，∴PA ＝PN +AN ＝PN +OM =√31， 故选：C ．【点评】本题主要考查了四棱锥的外接球，是中档题． 12．已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，M 是C 的渐近线上一点，且MF ⊥x 轴，过F 作直线OM 的平行线交C 的渐近线于点N （O 为坐标原点），若MN ⊥ON ，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2√33B ．√3C ．√62D ．2【分析】把x ＝c 代入渐近线y =bax ，可求得点M 的坐标，由于OM ∥NF ，利用点斜式写出直线NF 的方程，将其与渐近线y =−b ax 联立，可求得点N 的坐标，然后结合MN ⊥ON ，直线的斜率之积为﹣1，可得到关于a 、b 、c 的等量关系式，最后结合c 2＝a 2+b 2和e =ca 即可求得离心率．解：根据题意，作出如图所示的图形，由题意可知，点F （c ，0），渐近线方程为y =±bax ， ∵MF ⊥x 轴，∴把x ＝c 代入y =b ax ，得y =bc a ，∴点M （c ，bca）， ∵OM ∥NF ，∴直线NF 的方程为y =b a(x −c)，联立{y =ba (x −c)y =−b a x，解得{x =c2y =−bc 2a ，∴点N (c 2，−bc2a )， ∵MN ⊥ON ，∴bc a −(−bc2a )c−c 2⋅(−ba)=−1，化简得，a 2＝3b 2，∴离心率e =√c 2a 2=√a 2+b 2a 2=√1+b 2a2=√1+13=2√33．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的渐近线、离心率等几何性质，还涉及到了两条直线的平行与垂直关系、交点坐标等知识点，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≤0x −3y +1≤0，则z ＝2x ﹣y 的最小值为 ﹣2 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≤0x −3y +1≤0，作出可行域如图所示，化目标函数z ＝2x ﹣y 为y ＝2x ﹣z ，{x −y +1=0x −3y +1=0解得C （﹣1，0），由图可知，当直线y ＝2x ﹣z 过C （﹣1，0）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．曲线f （x ）＝e x +2sin x ﹣1在点（0，f （0））处的切线方程为 y ＝3x ．【分析】先求出函数f （x ）的导数，然后分别求出x ＝0处的导数值、函数值，最后代入点斜式求解．解：由已知得f ′（x ）＝e x +2cos x ， ∴f ′（0）＝3，f （0）＝0， 故切线方程为：y ＝3x ． 故答案为：y ＝3x ．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，注意抓住切点满足的条件列方程．属于基础题．15．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n +1＝a n +tn （n ∈N *，t 为非零常数），且a 1，a 2，a 3成等比数列，则a n ＝22．【分析】由a 1，a 2，a 3成等比数列可得t 的方程，可得a n +1＝a n +n ，运用累加法可求a n ． 解：a 2＝a 1+t ＝1+t ，a 3＝a 2+2t ＝1+3t ，依题意a 1，a 2，a 3成等比数列，即（1+t ）2＝1（1+3t ）， 解得 t ＝0（舍去），t ＝1；n ≥2时，a 2﹣a 1＝1，a 3﹣a 2＝2，…a n ﹣a n ﹣1＝n ﹣1，以上各式相加得a n ﹣a 1＝1+2+…+（n ﹣1）=12n （n ﹣1），即有a n =n 2−n+22．n ＝l 时，表达式也成立，所以∀n ∈N*，a n =n 2−n+22；故答案为：n 2−n+22．【点评】本题考查等比数列的定义、利用递推式求数列通项，以及累加法的应用，属中档题．16．已知f(x)=a(1x −2x)+lnx ，f （x ）有极大值f （x 1）和极小值f （x 2），则a 的取值范围是 （0，√24） ；f （x 1）+f （x 2）＝ ﹣ln 2 ． 【分析】先求导，根据函数有f （x ）有极大值f （x 1）和极小值f （x 2），即可求出2ax 2﹣x +a ＝0有两个正根，可得a 的取值范围，由f （x 1）+f （x 2）＝a （1x 1−2x 1）+lnx 1+a（1x 2−2x 2）+lnx 2，即可求出．解：f （x ）＝a （1x−2x ）+lnx ，x ＞0，∴f ′（x ）＝a （−12−2）+1x =−2ax 2+x−ax 2，∵f （x ）有极大值f （x 1）和极小值f （x 2）， ∴f ′（x ）=−2ax 2+x−ax2=0，即2ax 2﹣x +a ＝0有两个正根， ∴{△=1−8a 2＞0x 1+x 2=12a ＞0x 1x 2=12＞0， 解得0＜a ＜√24；∴0＜x 1＜12＜x 2，∴f （x 1）+f （x 2）＝a （1x 1−2x 1）+lnx 1+a （1x 2−2x 2）+lnx 2＝a （1x 1−2x 1+1x 2−2x 2）+lnx 1x 2＝a （x 1+x 2x 1x 2−2（x 1+x 2）﹣ln 2＝a （1a−1a）﹣ln 2＝﹣ln 2．故答案为：（0，√24），﹣ln 2．【点评】本题考查了导数和函数极值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某高校艺术学院2019级表演专业有27人，播音主持专业9人，影视编导专业18人．某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取6人作为志愿者．（1）分别写出各专业选出的志愿者人数；（2）将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式列出所有可能的结果，并求表演专业的志愿者A与播音主持专业的志愿者分在一组的概率．【分析】（1）利用分层抽样的性质能求出表演专业、播音主持专业、影视编导专业选取的人数．（2）设表演专业的3位志愿者为A，B，C，播音主持专业的志愿者为D，影视编导的志愿者为E，F，将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，利用列举法能求出结果．解：（1）某高校艺术学院2019级表演专业有27人，播音主持专业9人，影视编导专业18人．某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取6人作为志愿者．表演专业选取：6×2727+9+18=3人，播音主持专业选取：6×927+9+18=1人，影视编导专业选取：6×1827+9+18=2人．（2）设表演专业的3位志愿者为A，B，C，播音主持专业的志愿者为D，影视编导的志愿者为E，F，将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，所有可能的结果有6种，分别为：①{A，D}，{B，E}，{C，F}；②{A，D}，{C，E}，{B，F}；③{B，D}，{A，E}，{C，F}；④{B，D}，{C，E}，{A，F}；⑤{C，D}，{A，E}，{B，F}；⑥{C，D}，{B，E}，{A，F}．其中A与D分在一组的情况有2种，∴表演专业的志愿者A与播音主持专业的志愿者分在一组的概率p=26=13．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c=√3asinC−ccosA．（1）求角A；（2）设D是BC边上一点，若∠ADB=2π3，且AD＝1，a＝3，求b，c．【分析】（1）由正弦定理得：√3sin A﹣cos A＝2，再利用辅助角公式即可求出角A；（2）由三角形面积公式可得bc＝3，再在△ABC中，运用余弦定理即可求出b，c的值．解：（1）由正弦定理得：a sin C＝c sin A，所以2c=√3c sin A﹣c cos A，从而√3sin A﹣cos A＝2，所以2（sin A⋅√32−12⋅cosA）＝2，即sin（A−π6）＝1，又因为A∈（0，π），所以A=2π3；（2）因为S△ABC=12bcsinA=12a⋅AD⋅sin2π3，所以bc＝a＝3，在△ABC中，由余弦定理得：b2+c2+bc＝a2，所以（b﹣c）2＝9﹣3bc＝0，所以b＝c，故b＝c=√3．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等边三角形，且AA1⊥底面ABC，AB＝2√2，A1A ＝3，D，E分别为AC，A1C1的中点，点F在棱CC1上，且FC＝1．（1）证明：平面BEF⊥平面BDF；（2）求点D到平面BEF的距离．【分析】（1）由A1A⊥平面ABC，得A1A⊥BD，再由△ABC为等边三角形，D为AC 的中点，得BD⊥AC，由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1A1，得BD⊥EF．求解三角形证明EF⊥DF，得到EF⊥平面BDF，进一步可得平面BEF⊥平面BDF；（2）作DM⊥BF，垂足为M，由（1）可知平面BEF⊥平面BDF，得到DM⊥平面BEF，即DM即为点D到平面BEF的距离，求解三角形得答案．【解答】（1）证明：∵A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴A1A⊥BD，∵△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，又A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，得BD⊥EF．在△DEF中，DE＝3，EF=√6，DF=√3，满足DE2＝DF2+EF2，∴EF⊥DF．又BD∩DF＝D，∴EF⊥平面BDF，又∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BDF；（2）解：作DM⊥BF，垂足为M，由（1）可知平面BEF⊥平面BDF，DM⊂平面BEF，平面BEF∩平面BDF＝BF，∴DM⊥平面BEF，∴DM即为点D到平面BEF的距离．在△BDF中，BD=√6，DF=√3，BF＝3．满足BF2+DF2＝BD2，∴BD⊥DF．故DM=BD⋅DFBF=√2．即点D到平面BEF的距离为√2．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了点到平面距离的求法，是中档题．20．已知P是x轴上的动点（异于原点O），点Q在圆O：x2+y2＝4上，且|PQ|＝2．设线段PQ的中点为M．（1）当直线PQ与圆O相切于点Q，且点Q在第一象限，求直线OM的斜率；（2）当点P移动时，求点M的轨迹方程．【分析】（1）根据条件求得P的坐标以及Q的坐标，进而求得M的坐标，进而求得结论；（2）设出M的坐标，结合中点坐标公式求出Q的坐标，代入圆的方程即可求出结论．解：（1）连接OQ，当直线PQ与圆O相切于点Q；则OQ⊥PQ，因为|OQ|＝|PQ|＝2；则|OP|＝2√2，点Q在第一象限，P（2√2，0），Q（√2，√2）；因为线段PQ的中点为M，得M（3√22，√22）；所以直线OM的斜率为1 3．（2）设M（x，y）（x≠0），由|OQ|＝|PQ|＝2，由M为PQ的中点，得P（4x3，0）则Q（2x3，2y）；把Q（2x3，2y）代入x2+y2＝4；整理得：x29+y2＝1；所以点M 的轨迹方程为：x 29+y 2＝1，（x ≠0）．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，注意运用代入法，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．21．已知a ＞0，函数f （x ）＝2ax 3﹣3（a 2+1）x 2+6ax ﹣2． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）在一、选择题上仅有一个零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出导数后，发现导数可以因式分解，从而需要讨论两个根a 和1a 的大小，得到单调性．（2）在（1）的基础上，分类判定零点情况，最后综合得到答案．解：（1）由题可知：f ′（x ）＝6ax 2﹣6（a 2+1）x +6a ＝6（x ﹣a ）（ax ﹣1）， 令f′(x)=0，则，x =a 或x =1a．当1a ＞a ，即0＜a ＜1时，x ＜a 或x ＞1a时，f′(x)＞0，此时，f （x ）在（﹣∞，a ），(1a ，+∞)单调递增，f （x ）在(a ，1a)单调递减； 当a ＝1时，f ′（x ）≥0恒成立，所以f （x ）在R 上单调递增． 当1a ＜a ，即a ＞1时，x ＜1a或x ＞a 时，f′(x)＞0，此时，f （x ）在(−∞，1a )，(a ，+∞)上单调递增，f （x ）在(1a ，a)单调递减．综上，当0＜a ＜1时，f （x ）的增区间为(−∞，a)和(1a，+∞)，f （x ）的减区间为(a ，1a)； 当a ＝1时，f （x ）在R 上单调递增；当a ＞1时，f （x ）的增区间为(−∞，1a )和(a ，+∞)，f （x ）的减区间为(1a ，a)．（2）由题可得：f （a ）＝﹣a 4+3a 2﹣2＝（a 2﹣1）（2﹣a 2）；f(1a )=1−1a 2由（1）可得：当0＜a ＜1时，f(a)＜0，f(1a )＜0，所以f （x ）仅在(1a，+∞)有一个零点，满足要求； 当a ＝1时，f （x ）仅有一个零点x ＝1，满足要求；当a ＞1时，f(1a )＞0，又f （x ）在R 上仅有一个零点，则f （a ）＞0，即2−a 2＞0，解得1＜a ＜√2，综上，若f （x ）在R 上仅有一个零点，则a 的取值范围时(0，√2)．【点评】结合导数单调性考查了学生对于常见的含参一元二次讨论，考查了学生的计算能力，分类讨论思想及逻辑推理能力，属于中档题．选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C ：ρ＝4sin θ，直线l ：ρcos θ＝2．以极点O 为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）点A 在圆C 上，AB ⊥l 于B ，记△OAB 的面积为S ，求S 的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角形的面积公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）圆C ：ρ＝4sin θ，转换为直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2＝4．转换为参数方程为{x =2cosθy =2+2sinθ（θ为参数）． 直线l ：ρcos θ＝2．转换为直角坐标方程为x ＝2．（2）设A （2cos α，2+2sin α），（0＜α＜2π），则：B （2，2+2sin α），所以S △OAB ＝2（1﹣cos α）（1+sin α）=[√2sin(α−π4)+1]2，当α−π4=π2时，(S △OAB )max =3+2√2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +a |﹣2|x ﹣1|﹣1．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞0的解集；（2）是否存在实数a ，使得f （x ）的图象与x 轴有唯一的交点？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）将a ＝1代入，分类讨论解不等式，再取并集即可；（2）分a ＞﹣1，a ＜﹣1及a ＝﹣1讨论即可得出结论．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＞0化为|x +1|﹣2|x ﹣1|﹣1＞0，当x ≤﹣1时，不等式化为x ﹣4＞0，无解；当﹣1＜x ＜1时，不等式化为3x ﹣2＞0，解得23＜x ＜1； 当x ≥1时，不等式化为﹣x +2＞0，解得1≤x ＜2；综上，不等式的解集为(23，2)； （2）存在，当a ＞﹣1时，则f(x)={x −a −3，x ＜−a3x +a −3，−a ≤x ≤1−x +a +1，x ＞1，此时f （x ）的最大值为f （1）＝a ，所以a ＝0时满足题意；当a ＜﹣1时，则f(x)={x −a −3，x ＜1−3x −a +1，1≤x ≤−a −x +a +1，x ＞−a，此时f （x ）的最大值为f （1）＝﹣a ﹣2，所以a ＝﹣2满足题意；当a ＝﹣1时，f （x ）＝﹣|x ﹣1|﹣1＜0，不满足题意；综上，实数a 的值为a ＝0或a ＝﹣2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题．。

唐山市2019—2020学年度高三年级第一学期期末考试文科数学参考答案一．选择题： A 卷：ADCBC BDADA ADB 卷：ADDBC BCADA AD 二．填空题： 13．314．－315．416．215三．解答题：17．解：（1）设{a n }的公差为d ，则a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝9， 则a 1＋d ＝3．①因为{b n }是等比数列，且b 1＝a 2，b 2＝a 5，b 3＝a 11，所以(a 1＋d )(a 1＋10d )＝(a 1＋4d )2，化简得，a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ．② 由①②解得，a 1＝2，d ＝1，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1． …6分（2）由（1）得b 1＝a 2＝3，b 2＝a 5＝6， 设公比为q ，则q ＝2，故b n ＝3×2n －1，则T n ＝b 1－b n q 1－q ＝3－3×2n 1－2＝3×2n－3．…12分18．解：（1…2分 将列联表中的数据代入公式计算得k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝900(300×175－300×125)2600×300×425×475≈5.573＜6.635， …4分所以，不能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“选择物理与学生的性别有关”． …6分（2）该学校选择“史地化”组合的男生、女生的比为2∶3，所以从选择“史地化”组合的同学中按性别用分层抽样的方式抽取5名同学，其中男生2名，女生3名．记男生分别为A 1，A 2，女生分别为B 1，B 2，B 3，从5名同学中随机抽取3名同学共有 {A 1，A 2，B 1}，{A 1，A 2，B 2}，{A 1，A 2，B 3}，{A 1，B 1，B 2}，{A 1，B 1，B 3}， {A 1，B 2，B 3}，{A 2，B 1，B 2}，{A 2，B 1，B 3}，{A 2，B 2，B 3}，{B 1，B 2，B 3}， 10种等可能的结果． 其中，恰有一名男生包含{A 1，B 1，B 2}，{A 1，B 1，B 3}，{A 1，B 2，B 3}， {A 2，B 1，B 2}，{A 2，B 1，B 3}，{A 2，B 2，B 3} 6种等可能的结果，所以恰有1名男生的概率P ＝610＝ 35． …12分19．解：（1）因为AB 是圆的直径， 所以BC ⊥AC ，因为PC 垂直圆所在的平面， 所以PC ⊥BC ，又因为AC ∩PC ＝C ， 所以BC ⊥平面PAC ．因为D ，E 分别是棱PB ，PC 的中点， 所以BC ∥DE ，从而有DE ⊥平面PAC ． …4分（2）同理可知AC ⊥平面PBC ，又AC 平面ACD ， 则平面PBC ⊥平面ACD ．过E 引CD 的垂线，垂足为O ， 则EO ⊥平面ACD ，所以EO 长度即为点E 到平面ACD 的距离． …8分由已知及AB ＝PC ＝2，AC ＝1，可得BC ＝2DE ＝3，CE ＝1，在直角△CED 中，CD ＝72，则EO ＝CE ×DE CD ＝217． 所以点E 到平面ACD 的距离为217．…12分20．解：（1）由题意得F (1，0)，设l ：x ＝my ＋1，代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4． 则4m ＝4，解得m ＝1．所以直线l 的方程为x －y －1＝0． …4分（2）设直线PA ，PB ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．由题意可解得C (－1，－ 2 m )，k 3＝－ 2 m －2－1－1＝ 1m＋1．…6分而k 1＋k 2＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝y 1－2my 1＋y 2－2my 2＝2m－2 m ( 1y 1＋ 1 y 2)＝ 2 m －2(y 1＋y 2)my 1y 2＝ 2m＋2．…10分 则k 1＋k 2＝2k 3，所以，直线PA ，PC ，PB 的斜率成等差数列．…12分BPAEDCO21．解：（1）g (x )＝f '(x )＝ x2－1＋cos x ，所以g '(x )＝ 12－sin x ．…2分由g '(x )＝0且x ∈[0，2π]，得x ＝ π 6或5π6．当x 变化时，g '…5分所以g (x )的单调递减区间为( π 6，5π6)；g (x )的单调递增区间为[0， π 6)，(5π6，2π]．…6分（2）由（1）得，当x ∈[0，2π]时，f '(x )的极小值f '(5π6)＜f '(π)＝ π2－2＜0；极大值f '( π6)＞f (0)＝0，又f '(2π)＝π＞0，所以存在x 1∈( π 6，5π6)，x 2∈(5π6，2π)，使得f '(x 1)＝f '(x 2)＝0，且当x …8分从而f (x 1)＞f (0)＝0；f (x 2)＜f (π)＝π24－π＜0，又f (2π)＝π2－2π＞0，所以f (x )在(0，π)，(π，2π]内各有一零点，又f (0)＝0，所以f (x )在[0，2π]内有3个零点． …10分 当x ∈(－∞，0)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )＞f (0)＝0， 所以f (x )在(－∞，0)上没有零点．当x ∈(2π，＋∞)时，f (x )＞π2－2π＋sin x ≥π2－2π－1＞0， 所以f (x )在(2π，＋∞)上没有零点．综上，f (x )在R 上仅有三个零点． …12分 22．解：（1）因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以圆C ：ρ＝2cos θ，直线l ：ρsin θ＝2．…4分（2）设A (ρA ，θ)，B (ρB ，θ＋α)，－ π 2＜θ＜ π2．依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB sin (θ＋α)＝2，ρB cos α＝ρA ． 所以2cos θsin (θ＋α)＝2cos α，从而cos θsin θcos α＋cos 2θsin α＝cos α，所以tan α＝1－cos θsin θ cos 2θ＝tan 2θ－tan θ＋1＝(tan θ－ 1 2)2＋ 3 4， 所以tan θ＝12时，tan α取得最小值 34． …10分23．解：（1）因为( 2 a ＋ 1 b)(2a ＋b )＝2b a ＋2ab＋5≥9，又2a ＋b ＝3，故此， 2 a ＋ 1 b ≥3，当且仅当 b a ＝ ab，即a ＝b ＝1时等号成立． …4分（2）因为(2a ＋b )(c ＋d )＝2ac ＋bd ＋bc ＋2ad ≥2ac ＋bd ＋22acbd ＝(2ac ＋bd )2， 所以2ac ＋bd ≤3，当且仅当bc ＝2ad 时等号成立，此时2a c ＝ b d ＝2a ＋b c ＋d ＝3，故当 a c ＝ 3 2时，2ac ＋bd 取得最大值． …10分注：试题有其他解法，参照答案赋分．。

河北唐山市区县联考2020届高三上学期第一次段考数学试题（文）一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分） 1.已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =（ ）A ．{}01x x ≤≤B ．{}11x x -<≤ C ．{}0,1D ．{}12.命题“ ”的否定是（ ）A ．B ．C ．D ． 3.设0.52a =，0.5log 0.6b =，4tan5c π=，则（ ） A.a b c << B.c b a << C. b c a << D.c a b << 4.若，则 =（ ）A ．B ．C ．D ．5.设 是两条直线， ， 表示两个平面，如果 ， ，那么“ ”是 “ ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6.函数图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．7.已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ）A.-B.C.8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且以2为周期，当[0,1)x ∈时，()31x f x =-，则13(log 12)f 的值为（）A ．53-B ．53C ．13-D ．139.已知三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若DC ⊥平面ABC 60ACB ∠=，AB =DC =O 的表面积为（ ）A ．24πB ．30πC ．36πD ．42π10.若函数在区间 内单调递增，则实数 的取值范围为( ) A.B.C.D.11.定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数11()(13)2x g x x -⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．812.若存在两个正实数,x y 使得等式(1ln )ln x x x y ay +=-成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．210,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．21,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13.函数()f x =的定义域为__________． 14.已知α，β为锐角，且(1)(1)4αβ--=，则αβ+=_____． 15.设函数()()e1xf x x =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．16.已知四边形 为矩形, , 为 的中点,将 沿 折起,得到四棱 锥 ,设 的中点为 ,在翻折过程中,得到如下有三个命题: ① 平面 ，且 的长度为定值 ；②三棱锥 的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得 .其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（共6小题，共70分） 17.（10分）设命题p ：函数21()2ln 2f x x x ax =--在区间[]2,3单调递增，命题 0,q x R ∃∈： 使得2002860x ax a +--≤.如果命题“p 或q”是真命题，命题“p 且q”是假命题，求实数a 的取值范围.18.（12分）在平面直角坐标系 中，已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负 半轴重合，它的终边过点．(1)求的值；(2)若角 满足，求 的值．19.（12分）已知()()211e 2x f x x ax =--． (I)当a =2时，求函数()f x 的单调区间；(II)若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围.20.（12分）如图，在三棱柱ABM DCN -中，四边形ABCD 是菱形，四边形MADN 是矩形，E 、F 分别为棱MA 、DC 的中点.（1）求证：//EF 平面MNCB ；（2）若2AB AM ==，120ABC ∠=︒，且平面MADN ⊥平面ABCD ，求四棱锥E BCNM -的体积.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA =//AB CD ，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱PA 上一点.（1）若13PE PA =，求证：PC //平面EBD ； （2）求证：平面EBC ⊥平面PAC ；（3）在侧棱PD 上是否存在点F ，使得AF ⊥平面PCD ？若存在，求出线段PF 的长； 若不存在，请说明理由．22.（12分）设()()ln ,f x ax bx x f x =+ 在x e =处的切线方程是0x y e +-=， （其中 2.718...e =为自然对数的底数）. （1）求,a b 的值 （2）证明：()21x f x x e≤+【参考答案】一、选择题1-5 CDBAA 6-10 BACCD 11 B 12 D二、填空题 13.()0,1(1,]e 14.23π 15.1(,)2-∞- 16.①②三、解答题17.解：当P 为真命题：()2f x x a x =--'，()'0f x ≥在[2,3]恒成立，即2a x x ≤-，∵2x x-为单调增函数，∴min 2()1a x x≤-=，即1a ≤；当q 为真命题时，即()244860a a ∆=++≥，∴4a ≤-或2a ≥-；由题意p ，q 一真一假，即当p 真q 假：42a --＜＜；当q 真p 假：1a >， 综上所述，42a --＜＜或1a >.18.解：（1）由题意，角 的终边经过点,则由三角函数的定义，可得,所以.（2）因为，所以,又因为 ，所以 当时，； 当时，. 综上所述：或. 19.解：(I) 当a =2时，'f ()x(e 2)x x =-()-ln 2∞，减()ln 2+∞，增 （II ）由(I )得()'e (e )x xf x x ax x a =-=-.① 若1a >，则当(,0)x ∈-∞时，0,e 1,e 0,x x x a <<-<所以'()0f x >； 当(0,ln )x a ∈时，ln 0,e e 0,x a x a a >-<-=所以'()0f x <． 所以()f x 在0x =处取得极大值.② 若1a ≤，则当(0,1)x ∈时，0x >，e e 10x x a -≥->，所以'()0f x >． 所以0不是f (x )的极大值点．综上可知，a 的取值范围是（1，+∞）．20.证明：（1）取NC 的中点G ，连接FG ，MG ， 因为//ME ND 且12ME ND =， 又因为F ，G 分别为DC ，NC 的中点，//FG ND 且12FG ND =， 所以FG 与ME 平行且相等，所以四边形MEFG 是平行四边形， 所以//EF MG ，又MG ⊂平面MNCB ，EF ⊄平面MNCB ， 所以//EF 平面MNCB .（2）取AD 的中点K ，在ABK ∆中，2AB =，1AK =，60BAK ∠=︒， ∴2222cos603BK AB AK AB AK =+-⨯⨯︒=， ∴222AB AK BK =+，∴90AKB ∠=︒，即AK BK ⊥. ∵平面MADN ⊥平面ABCD ，平面MADN 平面ABCD AD =，又BK ⊂平面ABCD ，∴BK ⊥平面MADN .2E BCNM E BMN A BMN B AMN V V V V ----===11||233AMN S BK ∆=⋅⋅=⋅=，∴即四棱锥E BCNM -21.（Ⅰ）设AC BD G ⋂=，连结EG ， 由已知AB//CD ，DC 1=，AB 2=,得AG AB 2GC DC ==.由1PE PA 3=,得AE2EP=. 在ΔPAC 中，由AE AGEP GC=，得EG //PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ， 所以PC //平面EBD .（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥.由已知得AC =BC =AB 2=，所以222AC BC AB +=.所以BC AC ⊥.又PA AC A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面PAC . （Ⅲ）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ， 由DC PA ⊥，DC AD ⊥，PA AD A ⋂=，得DC ⊥平面PAD .因为AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD .由PA =AD 1=，PA AD ⊥，得3PF 2=.22.解：（1）()ln f x a b b x '=++ 由题意，可得()1()0f e a b b f e ae be =++=-⎧⎨=+='⎩解得1,1a b ==- （2）由（1）知()ln f x x x x =- 令()21ln (0)x h x x x x x x e =--->，则()1ln 2xh x x x e '=-+- ()1120x h x x e''=---<,(1)0h '<，当()0,0x h x '→>()()01g x g ''≤=，又()10g '<，所以()00,1x ∃∈，使得()00h x '=即00012ln x x x e =-+所以()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减 所以()()0200000max 1ln x h x h x x x x x e==--- ()0000022000000000111121x xx x x x x x x x x x x x e e e e e ⎛⎫⎛⎫=+---=+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()0001x m x x e =-，()00110x m x e'=+> 又()()00,10m m <>所以()10,1x ∃∈，使得()10m x =此时 111x x e =，()11ln x x =- ()10h x '=01x x ∴=，()00m x ∴≤，()()00h x h x ∴≤≤；故()21x f x x e≤+。

河北省唐山市2020年高三第一次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1-=A ，{}022≤+=x x x B ，则B A I 中元素的个数是A ．1B ．2C ．3D ．42．设i 是虚数单位，复数ii z -+=32，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010 年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．右图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是A ．男性的平均预期寿命逐渐延长B ．女性的平均预期寿命逐渐延长C ．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D ．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．已知向量a ，b 满足|a +b |=|b |，且l a |=2，则a ·b =A ． 2B ．1C ．-1D ． -25．设31)4sin(=+θπ，则θ2sin = A ．91 B ．97 C ．91- D ．97- 6．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文=10尺，1斛=1．62立方尺，圆周率π=3），则该圆柱形容器能放米A ．900 斛B ．2700斛C ．3600斛D ．10800斛7．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n b a m b a ====3322，，若m ，n 为正数，且m≠n ，则A ．11b a <B ．11b a >C ．11b a =D ．11b a ，的大小关系不确定8．抛物线)0(22>=p py x 上一点A 到其准线和坐标原点的距离都为3，则p =A ．8B ．6C ．4D ．29．函数2tan )(x x x f -=在)2,2(ππ-上的图象大致为10．设函数)32sin()(π+=x x f ，则下列结论中错误的是 A ．)(x f 的图象关于点)0,3(π对称 B ．)(x f 的图象关于直线6π=x 对称 C ．)(x f 在]3,0[π上单调递减 D ．)(x f 在]0,3[π-上的最大值为111．已知四棱锥ABCD P -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，且AB=AD=1，BC=CD=2，若球O 的表面积为36π，则PA=A ．2B ．6C ．31 C ．3312．已知F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的右焦点，M 是C 的渐近线上一点，且MF ⊥x 轴，过F 作直线OM 的平行线交C 的渐近线于点N （O 为坐标原点），若MN ⊥ON ，则双曲线C 的离心率是A ．2B ．3C ．26 D ．332二、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥+-0130301y x y x y x ，则y x z -=2的最小值为 ．14．曲线1sin 2)(-+=x e x f x在点))0(,0(f 处的切线方程为 ． 15．在数列{}n a 中，已知tn a a a n n +==+111，（t N n ，*∈为非零常数），且321a a a ，，成等比数列，则=n a .16．已知x x xa x f ln )21()(+-=，)(x f 有极大值)(1x f 和极小值)(2x f ，则a 的取值范围是 ；)()(21x f x f += ．（本题第一空2分，第二空3分．）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某高校艺术学院2019级表演专业有27人，播音主持专业9人，影视编导专业18人．某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取6人作为志愿者．（1）分别写出各专业选出的志愿者人数；（2）将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式列出所有可能的结果，并求表演专业的志愿者A 与播音主持专业的志愿者分在一组的概率．18．（12分）ABC ∆的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，已知A c C a c cos sin 32-=．（1）求角A;（2）设D 是BC 边上一点，若32π=∠CDB ，且AD=1， a=3，求b ，c ．19．（12分）如图，三棱柱111C B A ABC -的底面为等边三角形，且⊥1AA 底面ABC ，22=AB ，31=A A ，E D ，分别为11C A AC ，的中点，点F 在棱1CC 上，且1=FC ．（1）证明：平面⊥BEF 平面BDF ；（2）求点D 到平面BEF 的距离．20．（12分）已知P 是x 轴上的动点（异于原点O ），点Q 在圆422=+y x O ：上，且|PQ|=2．设线段PQ 的中点为M.（1）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，且点Q 在第一象限，求直线OM 的斜率:（2）当点P 移动时，求点M 的轨迹方程．21．（12分）已知a>0，函数26)1(32)(223-++-=ax x a ax x f ．（1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 在R 上仅有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆θρsin 4:=C ， 直线2cos =θρ：l ．以极点O 为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）点A 在圆C 上，l AB ⊥于B ，记△OAB 的面积为S ，求S 的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 己知函数112)(---+=x a x x f ．（1）当1=a 时，求不等式0)(>x f 的解集；（2）是否存在实数a ，使得)(x f 的图象与x 轴有唯一的交点？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．。

2020届河北唐山市区县高三上学期第一次段考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =（）A ．{}01x x ≤≤ B ．{}11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】先分别求出集合A ，B ，由此利用交集定义能求出A ∩B ． 【详解】∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，-1，-2，… }，∴{}0,1A B ⋂=． 故选：C ． 【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，注意条件x Z ∈，属于易错题． 2．命题“4,0x R x x ∀∈+≥”的否定是（ ） A ．4,0x R x x ∀∈+< B ．4,0x R x x ∀∈+≤ C ．4000,0x R x x ∃∈+≥ D ．4000,0x R x x ∃∈+<【答案】D【解析】利用全称命题的否定的规则写出其否定即可. 【详解】命题的否定为：0x R ∃∈，4000x x +<，故选D. 【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝. 3．设0.52a =，0.5log 0.6b =，4tan 5c π=，则（ ） A.a b c <<B.c b a <<C.b c a <<D.c a b <<【答案】B【解析】由指数函数的性质得1a >，由对数函数的性质得()0,1b ∈，根据正切函数的性质得0c <，即可求解，得到答案． 【详解】由指数函数的性质，可得0.521a =>，由对数函数的性质可得()0.5log 0.60,1b =∈， 根据正切函数的性质，可得4tan 05c π=<，所以c b a <<，故选B. 【点睛】本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 4．若cos （πθ4-）=12，则sin2θ=（ ）A.12-B. C.12【答案】A【解析】由三角函数的诱导公式，化简得2sin 2cos[2()]2cos ()144ππθθθ=-=--，即可求解. 【详解】 因为1cos()42πθ-=， 又由2211sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()12()124422πππθθθθ=-=-=--=⨯-=-，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中利用三角函数的诱导公式和余弦函数的倍角公式，准确化简运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．设,m n 是两条直线， a ， β表示两个平面，如果m α⊂， //a β，那么“n β⊥”是“m n ⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由充分充分不必要条件的判定发放进行判断即可. 【详解】如果m α⊂， //a β，那么由n β⊥则可得到n α⊥ 即可得到m n ⊥；反之由m n ⊥，m α⊂， //a β，不能得到n β⊥，故，如果m α⊂， //a β，那么“n β⊥”是“m n ⊥”的充分不必要条件.故选A. 【点睛】本题考查分充分不必要条件的判定，属基础题. 6．函数图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先判断函数的奇偶性，再求，利用排除法可得解.【详解】 由题意得，，所以，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令，则，。

河北省唐山市第一高级中学2019-2020学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量，则的面积等于A．1 B．C．7 D．参考答案：C2. 若实数x，y满足，且z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，则m等于（）A．B．﹣C．1 D．参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最小值，判断目标函数的最优解，求解a即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图，z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，可知目标函数的最优解过点A，由，解得A（，3），﹣=a﹣3，解得m=1；故选：C．3. 已知复数满足，则复数A. B. C. D.参考答案：【答案解析】C 由得z==故选C。

4. 观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量之间关系最强的是A． B． C．D．参考答案：在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，四个选项中，即等高的条形图中所占比例相差越大，则分类变量关系越强，故选．5. 在体积为的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是的等腰直角三角形，则的最小值是（）A. B. C. D.参考答案：B[由多面体的三视图知该多面体是如图所示的三棱锥，，且，当球是这个三棱锥的外接球时其体积最小，将这个三棱锥补成正方体，其外接球的直径就是正方体的对角线，所以，故选B.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．6. 已知集合，则A． B． C．D．参考答案：.试题分析：由题意知，，所以，故应选.考点：1、集合间的基本关系；7. 已知数列的前项和为，且满足数列是等比数列，若，则的值是（）A． B． C． D．参考答案：考点：等差数列的性质8. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. B. C. D.参考答案：A由三视图可知几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，∴=,故选A.9. 设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）A．4 B．6 C．12 D．24参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用向量数量积的公式进行转化，利用线性规划求出最优解，建立a，b的关系，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣x+，由图象知当直线经过点A时，y=﹣x+时，直线的截距最大，此时z最大为12，由得，即A（4，6），此时4a+6b=12，即+=1，∴=（）（+）=1+1++≥2+2=4，当且仅当=，即9b2=4a2，时取等号，则的最小值为4，故选：A．10. 把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B由题意可知，硬币的圆心必须落在小正方形中，如图：该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）=lnx﹣ax2，且函数f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率是，则a= ．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率是，∴，又，∴，得．故答案为：12. 已知集合,对它的非空子集A,先将A中的每个元素分别乘以,再求和(如A={1,3,6},可求得和为),则对M的所有非空子集,这些和的总和是_________________.参考答案：答案：9613. （坐标系与参数方程）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点A和B，则。

唐山市一中2020届高三上学期10月模拟考数学文科试卷一、单选题1．设全集I R =，{}24M x x =|>，2|11N x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，如图所示：则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}|2x x < B ．{}|21x x -<< C ．{}|22x x -≤≤ D ．{}|12x x <≤2．i 为虚数单位，则201611i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）A ．i -B ．1C ．iD ．-13．函数2ln xy x=的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．4．将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．23π 5．已知向量a 与b 的夹角为60,2,5a b ==，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A ．32 B ．2 C ．52D ．3 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为3n n S a =+，则数列{}2n a 的前n 项和为（ ）A ．912n -B ．914n -C ．918n -D ．91n -7．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，则函数()()()sin042g x f x x x π=-≤≤的零点之和为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．88．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f +++-<的解集为（ ） A ．(),2012-∞- B ．()2016,2012-- C ．(),2016-∞- D ．()20160-，9．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在(]0,2上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则ω的取值范围是（ ） A ．513,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．513,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦C ．713,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．713,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦10．已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，*()n T n N ∈，若211n n S n T n -=+，则实数126a b =（ ） A ．154B ．158C ．237D ．311．数列满足，，若不等式，对任何正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2222tan bcA b c a=+-，2a =，S 为ABC ∆的面积，则2cos cos S B C +的最大值（ ）A ．4B ．2 C ．3D ．213．已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+≤<关于直线6x π=-对称，则()0f =______．14．已知0a >，0b >，且113a b b a+=-，则b 的最大值为_________．{}n a 114a =1144n n a a +=-322121n n a a a n a a a λ+++++<+n λ7434783815．已知不等式组1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，若对任意的(,)x y D ∈，不等式2x y t -≤恒成立，则实数t 的取值范围是_____．本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及简单应用问题，属于基础题．16．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB 、直角边AC ，ABC ∆的三边所围成的区域.若10BC=，过点A 作AD BC ⊥于D ，当ABD ∆面积最大时，黑色区域的面积为_________.三、解答题17．已知向量()2cos 1,2sin a x x ωω=+r，()()6cos 3,cos 0b x x ωωω=->r.（1）当2x k πωπ≠+，k Z ∈时，若向量()1,0c =r，()3,0d =u r ，且()()//a c b d -+r r r u r，求224sin cos x x ωω-的值；（2）若函数()f x a b =⋅的图象的相邻两对称轴之间的距离为4π，当,86x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．18．已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求11x y+的最小值； (2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．19．在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,BC 边上的中线AD m =,且满足2224a bc m +=. (1)求BAC ∠的大小；(2)若2a =，求ABC ∆的周长的取值范围20．已知函数 为 上的偶函数， 为 上的奇函数，且 .求 ， 的解析式；若函数在 上只有一个零点，求实数 的取值范围.21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()=21,1n n n S a n +-≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意的整数4m >，都有451117 (8)m a a a +++<22．函数()11ln 2f x x x =+-， ()221122x g x e x ax a =---（e 是自然对数的底数， a R ∈）． （Ⅰ）求证： ()()2112f x x ≥--+；（Ⅱ）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.91=， []2.13-=-，若对任意10x ≥，都存在20x >，使得()()12g x f x ⎡⎤≥⎣⎦成立，求实数a 的取值范围．解析一、单选题 1．设全集IR =，{}24M x x =|>，2|11Nx x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，如图所示：则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}|2x x < B ．{}|21x x -<< C ．{}|22x x -≤≤ D ．{}|12x x <≤【答案】D【解析】先确定阴影部分表示的集合运算是：U N M ð，然后根据条件求解出N 和U Mð，最后根据交集运算得到结果. 【详解】因为图中阴影部分表示的集合为：U N M ð，又因为{}24M x x =|>，所以{|2Mx x =<-或}2x >，所以{}U |22M x x =-≤≤ð，又因为2|11Nx x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，所以{}|13N x x =<≤， 所以{}U |12M x N x =<≤ð.故选：D. 【点睛】本题考查集合的Venn 图表示以及补集和交集混合运算，难度较易.求解Venn 图所表示的集合时，先将Venn 图表示的集合运算写出来，然后再根据相应的集合和运算去求解结果.2．i 为虚数单位，则201611i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）A ．i -B ．1C ．iD ．-1【答案】B【解析】先计算11i i +-的结果，然后利用虚数单位i 的运算性质计算201611i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的结果. 【详解】因为()()()()11121112i i i i i i i i +++===--+， 因为41i =，所以()201650420164111i i i i +⎛⎫=== ⎪-⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算和虚数单位i 的运算性质，难度较易.虚数单位i 的运算性质：43n i i -=，421n i -=-，41n i i -=-，41n i =（*n N ∈）.3．函数2ln xy x=的图象大致为（ ） A ．B ．C ． D ．【答案】D【解析】试题分析：函数的定义域为()(0,1) 1.⋃+∞．求导()()()()22ln ln 'ln 1ln ln x x x x x y x x ''⋅-⋅-==，令0y '<可得0x e <<，结合定义域可知()(0,1) 1.e ⋃令0y '>可得x e >，即函数ln xy x=在()()0,1,1.e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，由图可知选D ．【考点】1．利用导数研究函数的单调性；2．函数的图像．【方法点睛】求函数的单调区间的方法： （1）求导数()y f x '='； （2）解方程()0f x '=；（3）使不等式()0f x '>成立的区间就是递增区间，使()0f x '<成立的区间就是递减区间．由此再结合函数的图像即可判断出结果． 4．将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．23π 【答案】D【解析】先利用辅助角公式将函数变形，然后写出向左平移后的函数，由函数图象关于原点对称可知函数为奇函数，由此得到关于m 的方程，从而确定m 的最小值. 【详解】 因为3cos sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以左移m 个单位后得到函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又因为函数图象关于原点对称，所以函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是奇函数，所以,3m k k Z ππ+=∈且0m >，所以min 233m πππ=-=，此时1k =. 故选：D. 【点睛】（1）三角函数图象的平移也是遵循“左加右减，上加下减”的原则； （2）分析正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ的奇偶性：若()f x 为奇函数，则有,k k Z ϕπ=∈，若()f x 为偶函数，则有,2k k Z πϕπ=+∈.5．已知向量a 与b 的夹角为60,2,5a b ==，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A ．32 B ．2 C ．52D ．3【答案】A【解析】试题分析：投影为()222cos 6085322a b a a a b aa-⋅--===. 【考点】向量概念及运算． 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为3n n S a =+，则数列{}2n a 的前n 项和为（ ）A ．912n -B ．914n -C ．918n -D ．91n -【答案】A【解析】先根据3nn S a =+求解出{}n a 的通项公式，然后分析{}2n a 也为等比数列，根据等比数列的求和公式进行求和即可. 【详解】因为3nn S a =+，所以()1132n n S a n --=+≥，所以()1232n n a n -=⋅≥，且113S a a ==+，所以0233a ⋅=+，所以1a =-，所以123n n a -=⋅，因为221129n n nn a a a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭且214a =，所以{}2n a 是首项为4公比为9的等比数列， 所以{}2n a 的前n 项和为：()41991192n n --=-. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的通项求解以及用定义法判断等比数列，难度一般.（1）求解数列通项过程中涉及到11,n n S a --的时候，要注意说明2n ≥，并考虑验证1n =的情况；（2）用定义法判断一个数列{}n a 是等比数列：证明1n na q a +=（q 为非零常数），且10a ≠. 7．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，则函数()()()sin042g x f x x x π=-≤≤的零点之和为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．8【答案】C 【解析】先根据()()1f x f x +=-得到()f x 的周期，再根据()f x 在[]0,1x ∈时的解析式以及()f x 是偶函数可作出()f x 在[]0,4x ∈时的函数图象，再作出sin2y x π=在[]0,4x ∈时的图象，根据图象的对称性分析图象交点的横坐标之和即为函数()g x 的零点之和.【详解】 因为()()1f x f x +=-，所以()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期2T =，()()()sin042g x f x x x π=-≤≤的零点即为()f x 与sin2y x π=图象交点的横坐标，在同一坐标系中作出()f x 与sin2y x π=的图象如图所示：因为12,x x 关于1x =对称，所以122x x +=，又因为33x =，所以123235x x x ++=+=.故选：C. 【点睛】本题考查从函数的性质角度分析图象以及函数与方程的综合应用，着重考查了数形结合思想的应用，难度一般.（1）函数()()()hx f x g x =-的零点()()f x g x ⇔=的方程根()f x ⇔与()g x 图象交点的横坐标，注意三者之间的关系；（2）数形结合思想的命题方向：函数零点个数、方程根的个数、函数性质分析、求参数范围或不等式解集等. 8．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f +++-<的解集为（ ） A ．(),2012-∞- B ．()2016,2012-- C ．(),2016-∞- D ．()20160-，【答案】A【解析】试题分析：由题观察联想可设22()(),()2()()g x x f x g x xf x x f x ''==+，结合条件;22()()f x xf x x '+>得22()2()()0,()(),g x xf x x f x g x x f x ''=+>=为增函数。

河北唐山市区县联考2020届高三上学期第一次段考数学试题（理）一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1.已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则AB =（ ） A ．{}01x x ≤≤ B ．{}11x x -<≤ C ．{}0,1 D ．{}1 2.命题“∀x ∈R,|x|+x 4≥0”的否定是（ ）A ． ∀x ∈R,|x|+x 4<0B ． ∀x ∈R,|x|+x 4≤0C ． ∃x 0∈R,|x 0|+x 04≥0D ． ∃x 0∈R,|x 0|+x 04<03.设0.52a =，0.5log 0.6b =，4tan 5c π=，则（ ） A.a b c << B.c b a << C. b c a <<D.c a b << 4.若cos(π4−θ)=12，则sin2θ=（ ）A ． −12B ． −√32C ． 12D ． √325.设m,n 是两条直线， a ， β表示两个平面，如果m ⊂α， a//β，那么“n ⊥β”是 “m ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6、函数f(x)=(21+e x −1)cosx 图象的大致形状是（ ） A ．B ．C ．D ． 7.已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ）A.-B.C.D.28.设函数()f x 在R 上可导，导函数为(),(1)()f x y x f x ''=-图像如图，则( )A ．()f x 有极大值(2)f ，极小值(1)fB ．()f x 有极大值(2)f -，极小值(1)fC ．()f x 有极大值(2)f ，极小值(2)f -D ．()f x 有极大值(2)f -，极小值(2)f9.已知三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若DC ⊥平面ABC ， 60ACB ∠=，AB =DC =O 的表面积为（ ）A ．24πB ．30πC ．36πD ．42π10.若函数f (x )=log 12(−x 2+4x +5)在区间(3m −2,m +2)内单调递增，则实数m 的取值 范围为( )A. [43,2] B .[43,3] C. [43,+∞) D. [43,2) 11.定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设 函数11()(13)2x g x x -⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．812.已知函数()2x e e f x e x -=+-(e 为自然对数的底数)，()ln 4g x x ax ea =--+.若存在 实数12,x x ，使得12()()12e f x g x -==，且211||x e x ≤≤，则实数a 的最大值为（ ） A.52e B.25e e + C. 1 D. 2e二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.函数()f x =的定义域为__________． 14.若211(2)3ln 2mx dx x+=+⎰，则实数m 的值为____________. 15.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =- 在 [],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“关联函数”，区间[],a b 称为“关联区间”.若()ln f x x x =-与()2g x m x=-+在[]1,3上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是_________.16.已知四边形ABCD 为矩形, AB =2AD =4,M 为AB 的中点,将ΔADM 沿DM 折起,得到四棱锥 A 1−DMBC ,设A 1C 的中点为N ,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①BN//平面A 1DM ，且BN 的长度为定值√5；②三棱锥N −DMC 的最大体积为2√23； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得DM ⊥A 1C .其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（共6小题，共70分）17.（10分）设命题p ：函数21()2ln 2f x x x ax =--在区间[]2,3单调递增，命题 0,q x R ∃∈： 使得2002860x ax a +--≤.如果命题“p 或q”是真命题，命题“p 且q”是假命题，求实数a 的取值范围.18.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−35,−45)．(1)求sin(α+π3)的值；(2)若角β满足sin(α+β)=513，求cosβ的值．19.（12分）如图，已知四棱锥中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC SC SD===，BC SD⊥.（1）求证：SC⊥平面SAD；（2）设12AE EB=，求平面SEC与平面SBC所成的二面角的正弦值.20.（12分）已知函数()()()()221=21ln ,ln 2f x x x a xg x x -++=． (1)当4a =-时，求()f x 的单调区间；(2)若()g x 的图象总在()f x '的图象下方(其中()f x '为()f x 的导函数)，求a 的取值范围．21.（12分）如图，四棱锥P ABCD —的底面是菱形， ⊥PO 底面ABCD ，O ，E 分 别是,AD AB 的中点6,5,60AB AP BAD ==∠=︒.（Ⅰ）求证： AC PE ⊥；（Ⅱ）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（III ）在DC 边上是否存在点F ，使BF 与PA ，若存在，确定点 F 的位置；若不存在，说明理由.22.（12分）已知曲线()ln 2(0)f x ax x ax a =-≠在点(1,(1))P f 处的切线与直线10x y --= 垂直.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若12m <<，证明：2()ln f x x mx x <--.——★ 参*考*答*案 ★—— 一、选择题1-5 CDBAA 6-10 BACCD 11 B 12 D二、填空题13.()0,1(1,]e 14.1 15.113ln 2,ln 33⎛⎤-- ⎥⎝⎦16.①② 三、解答题17.解：当P 为真命题：()2f x x a x =--'，()'0f x ≥在『2,3』恒成立，即2a x x≤-， ∵2x x -为单调增函数，∴min 2()1a x x ≤-=，即1a ≤； 当q 为真命题时，即()244860a a ∆=++≥，∴4a ≤-或2a ≥-； 由题意p ，q 一真一假，即当p 真q 假：42a --＜＜；当q 真p 假：1a >， 综上所述，42a --＜＜或1a >.18.解：（1）由题意，角α的终边经过点P (−35,−45),则OP =√(−35)2+(−45)2=1 由三角函数的定义，可得sinα=−45,cosα=−35,所以sin (α+π3)=12sinα+√32cosα=12×(−45)+√32×(−35)=−4+3√310. （2）因为sin(α+β)=513，所以 cos(α+β)=±√1−sin(α+β)2=±√1−(513)2=±1213,又因为β=(α+β)−α，所以cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα当cos(α+β)=1213时，cosβ=−5665； 当cos(α+β)=−1213时，cosβ=1665.综上所述：cosβ=−5665或cosβ=1665.19.（1）证明： BC ⊥SD ，BC ⊥CD 则BC ⊥平面SDC , 又//BC AD则AD ⊥平面SDC ，SC ⊂平面SDC SC ⊥AD 又在△SDC 中，SC =SD =2, DC =AB SC 2+SD 2=DC 2则SC ⊥SD ，又SD AD D =所以 SC ⊥平面SAD（2）解：作SO ⊥CD 于O ，因为BC ⊥平面SDC ,所以平面ABCD ⊥平面SDC ，故SO ⊥平面ABCD以点O 为原点，建立坐标系如图.则S C (0,0), A (2，,0),B (2设E (2,y ,0),因为12AE EB =所以1),2y y y+=∴=即E((2,42=(0,2,-2),(2,-,0),=(2,0,0)3SC CE CB==(,,),=(,b,c)SEC n x y z SBC ma设平面的法向量为平面的法向量为2=0·=0,2·=02=03SC nCE n x y⎧⎧⎪∴⇒⎨⎨-⎩⎪⎩令3z=，则3y=，x==(22,3,3)n·=0·=0SC mCB m⎧∴⇒⎨⎩20a⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1b=，则1c =，0a==(0,1,1)m∴313cos<,>===13||||1882m nm nm n∴+1320.解：（1）当4a=-时，()()233320x xf x x xx x--=-'-=>，故函数的递增区间为()3,+∞，减区间为()0,3.（2）由题意得212lnax xx+-+>恒成立，即221ln2a x x x x+>-+恒成立.令()22ln2h x x x x x=-+，则()2ln2ln22h x x x x=-'++令()()t x h x='，则()()2ln+1x xt xx-='，令()()'tx xϕ=，则()1xxxϕ'-=，当()0,1x∈时，()0xϕ'>，()xϕ递增；当()1,x∈+∞时，()0xϕ'<，()xϕ递减，所以()()10xϕϕ≤=，所以()0t x'≤，所以()h x'在()0,∞+上递减，()10h'=，所以当()0,1x∈时，()0h x'>，()h x递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 递减.所以()()max 11h x h ==，故0a >.21.解：(Ⅰ)由菱形的性质可得：AC BD ⊥，结合三角形中位线的性质可知：OE BD ，故OE AC ⊥，PO ⊥底面ABCD ，AC ⊆底面ABCD ，故AC OP ⊥，且OP OE O ⋂=，故AC ⊥平面POE ，PE ⊆平面POE ，AC PE ∴⊥(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥，以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()()()30,0,4,,00,0,0,2P B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设平面POE 的一个法向量为(),,m x y z =,则：40302m OP z m OB x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，据此可得平面POE 的一个法向量()3,1,0m =-， 而()3,4PB =-，设直线PB与平面POE 所成角为θ，则33sin 213PB mPB m θ⋅===⨯⨯ (Ⅲ)由题意可得：()()()3,0,0,,3,0,0D C A --，假设满足题意的点F存在， 设(),,F x y z ，(01)DF DC λλ=<<，得：()()3,,x y z λ+=-，即：330x y z λ=--⎧⎪=⎨⎪=⎩,点F的坐标为()3,0F λ--，据此可得：()3BF λ=---,()3,0,4PA =-，结合题意有：5BF PABF PA ⋅==⨯⨯，解得：12λ=. 故点F 为CD 中点时满足题意.22.解：（1）由()ln 2f x ax x ax =-，得()()'ln 12ln f x a x a a x a =+-=-， 所以()'1f a =-，因为曲线()ln 2f x ax x ax =-在点()()1,1P f 处的切线与直线10x y --=垂直，所以()111a a -⨯=-⇒=，则()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-.令()'0f x x e =⇒=，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减；当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增，则函数()f x 的最小值为()f e e =-. （2）要证()2ln f x x mx x <--，即证2ln 2ln x x x x mx x -<--， 又因为0x >，所以即证ln ln 2x x x m x -<--.记()ln F x x x =-，则()1'1F x x =-， 所以当()0,1x ∈时，()'0F x >，()F x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()'0F x <，()F x 单调递减，所以当1x =时，()F x 有最大值()11F =-.又记()ln 2x G x m x =--，则()21ln 'x G x x-=-，当()0,x e ∈时，()'0G x >，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，()'0G x >，()G x 单调递增， 所以()G x 的最小值为()12G e m e =--.因为12m <<，所以1121m e e-->->-， 所以()()min max G x F x >，所以()2ln f x x mx x <--成立.。

河北唐山市区县联考2020届高三上学期第一次段考数学试题（文）一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分） 1.已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =（ ）A ．{}01x x ≤≤B ．{}11x x -<≤ C ．{}0,1D ．{}12.命题“ ”的否定是（ ）A ．B ．C ．D ． 3.设0.52a =，0.5log 0.6b =，4tan5c π=，则（ ） A.a b c << B.c b a << C. b c a << D.c a b <<4.若，则 =（ ）A ．B ．C ．D ．5.设 是两条直线， ， 表示两个平面，如果 ， ，那么“ ”是 “ ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6.函数图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．7.已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ）A.-B.C.D.28．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且以2为周期，当[0,1)x ∈时，()31x f x =-，则13(log 12)f 的值为（）A ．53-B ．53C ．13-D ．139.已知三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若DC ⊥平面ABC 60ACB ∠=，AB =DC =O 的表面积为（ ）A ．24πB ．30πC ．36πD ．42π10.若函数在区间 内单调递增，则实数 的取值范围为( ) A.B.C.D.11.定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数11()(13)2x g x x -⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．812.若存在两个正实数,x y 使得等式(1ln )ln x x x y ay +=-成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．21,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13.函数()f x =的定义域为__________． 14.已知α，β为锐角，且(1)(1)4αβ=，则αβ+=_____． 15.设函数()()e1xf x x =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．16.已知四边形 为矩形, , 为 的中点,将 沿 折起,得到四棱 锥 ,设 的中点为 ,在翻折过程中,得到如下有三个命题: ① 平面 ，且 的长度为定值 ；②三棱锥 的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得 .其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（共6小题，共70分） 17.（10分）设命题p ：函数21()2ln 2f x x x ax =--在区间[]2,3单调递增，命题 0,q x R ∃∈： 使得2002860x ax a +--≤.如果命题“p 或q”是真命题，命题“p 且q”是假命题，求实数a 的取值范围.18.（12分）在平面直角坐标系 中，已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负 半轴重合，它的终边过点．(1)求的值；(2)若角 满足，求 的值．19.（12分）已知()()211e 2x f x x ax =--． (I)当a =2时，求函数()f x 的单调区间；(II)若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围.20.（12分）如图，在三棱柱ABM DCN -中，四边形ABCD 是菱形，四边形MADN 是矩形，E 、F 分别为棱MA 、DC 的中点.（1）求证：//EF 平面MNCB ； （2）若2AB AM==，120ABC ∠=︒，且平面MADN ⊥平面ABCD ，求四棱锥E BCNM -的体积.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA =//AB CD ，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱PA 上一点.（1）若13PE PA =，求证：PC //平面EBD ； （2）求证：平面EBC ⊥平面PAC ； （3）在侧棱PD 上是否存在点F ，使得AF ⊥平面PCD ？若存在，求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．22.（12分）设()()ln ,f x ax bx x f x =+ 在x e =处的切线方程是0x y e +-=， （其中 2.718...e =为自然对数的底数）. （1）求,a b 的值 （2）证明：()21x f x x e≤+【参考答案】一、选择题1-5 CDBAA 6-10 BACCD 11 B 12 D 二、填空题 13.()0,1(1,]e 14.23π 15.1(,)2-∞- 16.①②三、解答题17.解：当P 为真命题：()2f x x a x =--'，()'0f x ≥在[2,3]恒成立，即2a x x ≤-，∵2x x-为单调增函数，∴min 2()1a x x≤-=，即1a ≤；当q 为真命题时，即()244860a a ∆=++≥，∴4a ≤-或2a ≥-；由题意p ，q 一真一假，即当p 真q 假：42a --＜＜；当q 真p 假：1a >， 综上所述，42a --＜＜或1a >.18.解：（1）由题意，角 的终边经过点,则由三角函数的定义，可得,所以.（2）因为，所以,又因为 ，所以 当时，； 当时，. 综上所述：或. 19.解：(I) 当a =2时，'f ()x(e 2)x x =-()-ln 2∞，减()ln 2+∞，增 （II ）由(I )得()'e (e )x xf x x ax x a =-=-.① 若1a >，则当(,0)x ∈-∞时，0,e 1,e 0,x x x a <<-<所以'()0f x >； 当(0,ln )x a ∈时，ln 0,e e 0,x a x a a >-<-=所以'()0f x <． 所以()f x 在0x =处取得极大值.② 若1a ≤，则当(0,1)x ∈时，0x >，e e 10x x a -≥->，所以'()0f x >． 所以0不是f (x )的极大值点．综上可知，a 的取值范围是（1，+∞）．20.证明：（1）取NC 的中点G ，连接FG ，MG ， 因为//ME ND 且12ME ND =， 又因为F ，G 分别为DC ，NC 的中点，//FG ND 且12FG ND =， 所以FG 与ME 平行且相等，所以四边形MEFG 是平行四边形， 所以//EF MG ，又MG ⊂平面MNCB ，EF ⊄平面MNCB ， 所以//EF 平面MNCB .（2）取AD 的中点K ，在ABK ∆中，2AB =，1AK =，60BAK ∠=︒， ∴2222cos603BK AB AK AB AK =+-⨯⨯︒=， ∴222AB AK BK =+，∴90AKB ∠=︒，即AK BK ⊥.∵平面MADN ⊥平面ABCD ，平面MADN 平面ABCD AD =，又BK ⊂平面ABCD ，∴BK⊥平面MADN .2E BCNM E BMN A BMN B AMN V V V V ----===11||2333AMN S BK ∆=⋅⋅=⋅=，∴即四棱锥E BCNM -的体积为3.21.（Ⅰ）设AC BD G ⋂=，连结EG ， 由已知AB//CD ，DC 1=，AB 2=,得AG AB 2GC DC ==.由1PE PA 3=,得AE2EP=. 在ΔPAC 中，由AE AGEP GC=，得EG //PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ， 所以PC //平面EBD .（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥.由已知得AC =BC =，AB 2=，所以222AC BC AB +=.所以BC AC ⊥.又PA AC A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面PAC . （Ⅲ）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ， 由DC PA ⊥，DC AD ⊥，PA AD A ⋂=，得DC ⊥平面PAD .因为AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD .由PA =AD 1=，PA AD ⊥，得3PF 2=.22.解：（1）()ln f x a b b x '=++ 由题意，可得 ()1()0f e a b b f e ae be =++=-⎧⎨=+='⎩解得1,1a b ==-（2）由（1）知()ln f x x x x =- 令()21ln (0)x h x x x x x x e =--->，则()1ln 2xh x x x e '=-+- ()1120x h x x e''=---<,(1)0h '<，当()0,0x h x '→>()()01g x g ''≤=，又()10g '<，所以()00,1x ∃∈，使得()00h x '=即00012ln x x x e =-+所以()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减 所以()()0200000max 1ln x h x h x x x x x e==--- ()0000022000000000111121x xx x x x x x x x x x x x e e e e e ⎛⎫⎛⎫=+---=+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()0001x m x x e =-，()00110x m x e'=+> 又()()00,10m m <>所以()10,1x ∃∈，使得()10m x =此时 111x x e=，()11ln x x =- ()10h x '=01x x ∴=，()00m x ∴≤，()()00h x h x ∴≤≤；故()21xf x x e≤+。

2020届河北唐山市区县高三上学期第一次段考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =（）A ．{}01x x ≤≤ B ．{}11x x -<≤C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【解析】先分别求出集合A ，B ，由此利用交集定义能求出A ∩B ． 【详解】∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，-1，-2，… }，∴{}0,1A B ⋂=． 故选：C ． 【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，注意条件x Z ∈，属于易错题． 2．命题“4,0x R x x ∀∈+≥”的否定是（ ） A ．4,0x R x x ∀∈+< B ．4,0x R x x ∀∈+≤ C ．4000,0x R x x ∃∈+≥ D ．4000,0x R x x ∃∈+<【答案】D【解析】利用全称命题的否定的规则写出其否定即可. 【详解】命题的否定为：0x R ∃∈，4000x x +<，故选D. 【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝. 3．设0.52a =，0.5log 0.6b =，4tan 5c π=，则（ ） A.a b c << B.c b a << C.b c a << D.c a b <<【答案】B【解析】由指数函数的性质得1a >，由对数函数的性质得()0,1b ∈，根据正切函数的性质得0c <，即可求解，得到答案． 【详解】由指数函数的性质，可得0.521a =>，由对数函数的性质可得()0.5log 0.60,1b =∈， 根据正切函数的性质，可得4tan 05c π=<，所以c b a <<，故选B. 【点睛】本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 4．若cos （πθ4-）=12，则sin2θ=（ ）A.12-B. C.12【答案】A【解析】由三角函数的诱导公式，化简得2sin 2cos[2()]2cos ()144ππθθθ=-=--，即可求解. 【详解】 因为1cos()42πθ-=， 又由2211sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()12()124422πππθθθθ=-=-=--=⨯-=-，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中利用三角函数的诱导公式和余弦函数的倍角公式，准确化简运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．设,m n 是两条直线， a ， β表示两个平面，如果m α⊂， //a β，那么“n β⊥”是“m n ⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由充分充分不必要条件的判定发放进行判断即可.【详解】如果m α⊂， //a β，那么由n β⊥则可得到n α⊥ 即可得到m n ⊥；反之由m n ⊥，m α⊂， //a β，不能得到n β⊥，故，如果m α⊂， //a β，那么“n β⊥”是“m n ⊥”的充分不必要条件.故选A. 【点睛】本题考查分充分不必要条件的判定，属基础题. 6．函数图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先判断函数的奇偶性，再求，利用排除法可得解.【详解】 由题意得，，所以，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令，则，。