内江市 中考数学试题含答案解析

四川省内江市2020年中考数学试卷一、单选题（共12题；共24分）1.下列四个数中，最小的数是（）A. 0B. −1C. 5D. −12020【答案】 D【考点】有理数大小比较<0<5，【解析】【解答】∵−1<−12020∴最小的数是−1，故答案为：D．【分析】先根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出选项．2.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】中心对称及中心对称图形【解析】【解答】由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．故选：B【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．3.如图，已知直线a//b，∠1=50°，则∠2的度数为（）A. 140°B. 130°C. 50°D. 40°【答案】B【考点】平行线的性质【解析】【解答】如图，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝50°，∴∠2＝180°−50°＝130°，故答案为：B．【分析】利用平行线的性质即可解决问题．4.小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（）A. 80，90B. 90，90C. 90，85D. 90，95【答案】B【考点】中位数，众数【解析】【解答】把分数从小到大排列为：80,85,90,90,95故中位数为90，众数为90故答案为：B．【分析】根据中位数、众数的定义即可求解．5.将直线y=−2x−1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）A. y=−2x−5B. y=−2x−3C. y=−2x+1D. y=−2x+3【答案】C【考点】两一次函数图象相交或平行问题，平移的性质，图形的平移【解析】【解答】解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．∴新直线的解析式为y=-2x+1．故答案为：C．【分析】向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．6.如图，在ΔABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED=15，则SΔABC=（）A. 30B. 25C. 22．5D. 20【答案】 D【考点】相似三角形的判定与性质BC，故可以判【解析】【解答】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE= 12断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知SΔADE：SΔABC=1：4，则S：SΔABC=3：4，题中已知S四边形BCED=15，故可得SΔADE=5，SΔABC=20四边形BCED故本题选择D【分析】首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．7.如图，点A,B,C,D在⊙O上，∠AOC=120°，点B是AC⌢的中点，则∠D的度数是（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】A【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理【解析】【解答】连接OB，∵点B是AC⌢的中点，∴∠AOB＝12∠AOC＝60°，由圆周角定理得，∠D＝12∠AOB＝30°，故答案为：A．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝12∠AOC，再根据圆周角定理解答．8.如图，点A是反比例函数y=kx图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若ΔAOD的面积为1，则k的值为（）A. 43B. 83C. 3D. 4【答案】 D【考点】反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积【解析】【解答】点A的坐标为（m，2n），∴2mn=k，∵D为AC的中点，∴D（m，n），∵AC⊥x轴，△ADO的面积为1，∴S△ADO =12AD⋅OC=12(2n−n)⋅m=12mn=1，∴mn=2，∴k=2mn=4，故答案为：D．【分析】先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出mn=2，即可得出结论．9.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则正确的方程是（）A. 12x=(x−5)−5 B. 12x=(x+5)+5C. 2x=(x−5)−5D. 2x=(x+5)+5【答案】A【考点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题【解析】【解答】设索为x尺，杆子为( x−5)尺，根据题意得：12x=( x−5) −5．故答案为：A．【分析】设索为x尺，杆子为( x−5)尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x一元一次方程．10.如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M 处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB=3，BC=4，则EF的长为（）A. 3B. 5C. 5√136D. √13【答案】C【考点】勾股定理，矩形的性质，轴对称的性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，∴BD= √32+42=5，设AE 的长度为x ，由折叠可得：△ABE ≌△MBE ，∴EM=AE=x ，DE=4-x ，BM=AB=3，DM=5-3=2，在Rt △EMD 中，EM 2+DM 2=DE 2 ，∴x 2+22=（4-x ）2 ，解得：x= 32 ，ED=4- 32 = 52 ，设CF 的长度为y ，由折叠可得：△CBF ≌△NBF ，∴NF=CF=y ，DF=3-y ，BN=BC=4，DN=5-4=1，在Rt △DNF 中，DN 2+NF 2=DF 2 ，∴y 2+12=（3-y ）2 ，解得：x= 43 ，DF=3- 43 = 53 ，在Rt △DEF 中，EF= √DE 2+DF 2=√(52)2+(53)2=5√136 ，故答案为：C ．【分析】由矩形的性质和已知求出BD=5，根据折叠的性质得△ABE ≌△MBE ，设AE 的长度为x ，在Rt △EMD 中，由勾股定理求出DE 的长度，同理在Rt △DNF 中求出DF 的长度，在Rt △DEF 中利用勾股定理即可求出EF 的长度．11.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线 y =tx +2t +2 （ t >0 ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t 的取值范围是（ ） A. 12≤t <2 B. 12<t ≤1 C. 1<t ≤2 D. 12≤t ≤2 且 t ≠1【答案】 D【考点】一次函数与不等式（组）的综合应用，一次函数图象与坐标轴交点问题，数学思想【解析】【解答】∵ y =tx +2t +2 ，∴当y=0时，x= −2−2t ；当x=0时，y=2t+2，∴直线 y =tx +2t +2 与x 轴的交点坐标为（ −2−2t ，0），与y 轴的交点坐标为（0，2t+2）， ∵t>0，∴2t+2>2，当t= 12 时，2t+2=3，此时 −2−2t =-6，由图象知：直线 y =tx +2t +2 （ t >0 ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，当t=2时，2t+2=6，此时 −2−2t =-3，由图象知：直线 y =tx +2t +2 （ t >0 ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，当t=1时，2t+2=4， −2−2t =-4，由图象知：直线 y =tx +2t +2 （ t >0 ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，∴1≤t≤2且t≠1，2故答案为：D.【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.12.的倒数是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】有理数的倒数【解析】【解答】∵，∴的倒数是.故答案为：C【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解.二、填空题（共8题；共8分）13.函数y=1中，自变量x的取值范围是________ ．2x−4【答案】x≠2【考点】分式有意义的条件【解析】【解答】根据函数可知：2x−4≠0,解得：x≠2．故答案为：x≠2．【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.14.2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成．根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为________【答案】7×108【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】7亿=700000000= 7×108，故答案为：7×108．【分析】科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤∣a∣﹤10，n为整数，确定a值和n值即可解答．15.已知关于x的一元二次方程(m−1)2x2+3mx+3=0有一实数根为−1，则该方程的另一个实数根为________【答案】−13【考点】一元二次方程的根【解析】【解答】解：把x=-1代入(m−1)2x2+3mx+3=0得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，∵(m-1)2≠0，∴m ≠1．∴m=4.∴方程为9x2+12x+3=0..设另一个根为a,则-a= 39∴a=- 1.3．故答案为:- 13【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．16.如图，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为________．【答案】15.【考点】含30°角的直角三角形，矩形的性质，轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，过A作AG⊥BD于G，延长AG，使AG=EG，过E作EN⊥AB于N，交BD于M，则AM+MN=EN最短，∵四边形ABCD为矩形，BC=10，∠ABD=30°，∴AD=10,BD=20,AB=BD•cos30°=10√3,∵AG•BD=AD•AB,∴20AG=10×10√3,∴AG=5√3,AE=2AG=10√3,∵AE⊥BD,EN⊥AB,∠EMG=∠BMN,∴∠E=∠ABD=30°,∴EN =AE •cos30°=10√3×√32=15,∴AM +MN =15,即 AM +MN 的最小值为 15.故答案为： 15.【分析】如图，过A 作 AG ⊥BD 于 G ，延长 AG ，使 AG =EG ，过 E 作 EN ⊥AB 于 N ，交 BD 于 M ，则 AM +MN =EN 最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解 EN 即可得到答案． 17.分解因式： b 4−b 2−12= ________【答案】 (b 2+3)(b +2)(b −2)【考点】因式分解﹣运用公式法，十字相乘法因式分解【解析】【解答】 b 4−b 2−12= (b 2+3)(b 2−4)=(b 2+3)(b +2)(b −2)故答案为： (b 2+3)(b +2)(b −2) ．【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．18.若数a 使关于x 的分式方程 x+2x−1+a 1−x =3 的解为非负数，且使关于y 的不等式组 {y−34−y+13≥−13122(y −a)<0的解集为 y ≤0 ，则符合条件的所有整数a 的积为________ 【答案】 40【考点】解分式方程，解一元一次不等式组【解析】【解答】解：分式方程 x+2x−1+a 1−x =3 的解为x=5−a 2 且x≠1， ∵分式方程 x+2x−1+a 1−x =3 的解为非负数，∴ 5−a 2≥0 且 5−a 2 ≠1.∴a ≤ 5且a≠3.{y −34−y +13≥−1312①2(y −a)<0②解不等式①，得 y ≤0 .解不等式②，得y<a.∵关于y 的不等式组 {y−34−y+13≥−13122(y −a)<0 的解集为 y ≤0 ，∴a>0.∴0<a ≤ 5且a≠3.又a为整数，则a的值为1，2，4，5.符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5=40.故答案为：40.【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a ≤5且a≠3，根据不等式组的解集为y≤0，即可得出a>0，找出0<a ≤5且a≠3中所有的整数，将其相乘即可得出结论．19.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，0），直线l:y=√33x+√33与x轴交于点B，以AB为边作等边ΔABA1，过点A1作A1B1//x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边ΔA1B1A2，过点A2作A2B2//x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边ΔA2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是________【答案】√32(22020−1)【考点】含30°角的直角三角形，探索数与式的规律，一次函数图象与坐标轴交点问题【解析】【解答】如图，过A1作A1C⊥AB与C，过A2作A2C1⊥A1B1于C1，过A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根据直线方程与x轴交于点B（-1，0），与y轴交于点D（0，√33），∴OB=1,OD= √33,∴∠DBO=30º由题意可得：∠A1B1B=∠A2B2B1=30º,∠B1A1B=∠B2A2B1=60º∴∠A1BB1=∠A2B1B2=90º，∴AB=1，A1B1=2A1B=21，A2B2=2A2B1=22，A3B3=2A3B2=23，…A n B n=2n∴A1C= √32AB= √32×1，A1纵坐标为√32×1= √32(21−1)；A2C1= √32A1B1= √32×21，A2的纵坐标为√32×1+ √32×21= √32(20+21)= √32×3= √32(22−1)；A3C2= √32A2B2= √32×22,A3的纵坐标为√32×1+ √32×21+ √32×22= √32(20+21+22)= √32×7= √32(23−1)；…由此规律可得：A n C n-1= √32×2n−1,A n的纵坐标为√32(20+21+22+⋯+2n−1)= √32(2n−1)，∴A2020= √32(22020−1)，故答案为：√32(22020−1)【分析】如图，过A1作A1C⊥AB与C，过A2作A2C1⊥A1B1于C1，过A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根据直线方程与x轴交于点B（-1，0），且与x轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A1、A2、A3、的纵坐标，进而得到A n的纵坐标，据此可得A2020的纵坐标，即可解答．20.已知抛物线y1=−x2+4x（如图）和直线y2=2x+b．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x=2时，M的最大值为4；②当b=−3时，使M>y2的x的取值范围是−1<x< 3；③当b=−5时，使M=3的x的值是x1=1，x2=3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是________（填写所有符合题意结论的序号）【答案】②③④【考点】函数的表示方法，分段函数，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的其他应用【解析】【解答】解：对于①：当x=2时，y1=−22+4×2=4，y2=2×2+b=4+b，显然只要b>0，则M的值为4+b，故①不符合题意；对于②：当b=−3时，在同一直角坐标系内画出y1,y2的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立y1,y2的函数表达式，即−x2+4x=2x−3，求得交点横坐标为3和−1，观察图形可知M>y2的x的取值范围是−1<x<3，故②符合题意；对于③：当b=−5时，在同一直角坐标系内画出y1,y2的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立y1,y2的函数表达式，即−x2+4x=2x−5，求得其交点的横坐标为1+√6和1−√6，故M=3时分类讨论：当y1=−x2+4x=3时，解得x1=3或x2=1，当y2=2x−5=3时，解得x3=4>1+√6(舍)，故③符合题意；对于④：当b≥1时，函数y2≥y1，此时y2图像一直在y1图像上方，如下图所示，故此时M= y2，故M随x的增大而增大，故④符合题意．故答案为：②③④．【分析】根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可．三、解答题（共8题；共92分）)−1−|−2|+4sin60°−√12+(π−3)021.计算：(−12)−1−|−2|+4sin60°−√12+(π−3)0【答案】解：(−12=−2−2+2√3−2√3+1=−3【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值【解析】【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式和零次幂的运算法则分别对每项进行化简，再进行加减计算即可．22.如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A ＝∠D．（1）求证：AB=CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△CDF中，∠B＝∠C，AE=DF ，∠A＝∠D．∴△AEB≌△DFC．∴AB＝CD.（2）解：∵AB＝CD，AB＝CF，∴CD＝CF，∵∠B＝∠C=40°，∴∠D＝(180°－40°)÷2＝70°．【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B=∠C，根据AAS推出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求出CF=CD，推出∠D=∠CFE，即可求出答案．23.我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．（1）成绩为“B等级”的学生人数有________名；（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为________，图中m的值为________；（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．【答案】（1）5（2）72°；40（3）根据题意画树状图如下：∴P（女生被选中）= 46=23．【考点】总体、个体、样本、样本容量，扇形统计图，列表法与树状图法，概率公式【解析】【解答】（1）学生总人数为3÷15%=20（人）∴成绩为“B等级”的学生人数有20-3-8-4=5（人）故答案为：5；（2）“D等级”的扇形的圆心角度数为420×360°=72°×100=40，m= 820故答案为：72°；40；【分析】（1）先根据“A等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“B等级”的学生人数；（2）根据“D等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C等级”的人数即可求出m的值；（3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解．24.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？【答案】（1）过点P作PD⊥AB于点D，由题意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°，∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB，∴PB=AB=60（海里），答：B处到灯塔P的距离为60海里；（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，∴PB=AB=60（海里）在Rt△PBD中，=30√3（海里），PD=BPsin60°=60 ×√32∵30√3>50，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【分析】（1）作PD⊥AB于D．求出∠PAB、∠PBA、∠P的度数，证得△ABP为等腰三角形，即可解决问题；（2）在Rt△PBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定．25.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=2，BC=4√3，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明：连接OC，如图，∵OD⊥BC，∴CD=BD，∴OE为BC的垂直平分线，∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∴∠OBE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切．（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，BC= 2√3在Rt△OBD中，BD= 12∵OD2+BD2=OB2，∴(R−2)2+(2√3)2=R2，解得R=4，∴OD=2，OB=4，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，∴在Rt△OBE中，∠BEO=30º，OE=2OB=8，∴EF=OE-OF=8-4=4，即EF=4；（3）由∠OCD=∠OBD=30º和OD⊥BC知：∠COD=∠BOD=60º，∴∠BOC=120º，又BC= 4√3，OE=8，∴S阴影=S四边形OBEC−S扇形OBC= 12×8×4√3−120π·42360=16√3−163π,【考点】含30°角的直角三角形，勾股定理，切线的判定，扇形面积的计算，几何图形的面积计算-割补法【解析】【分析】（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD=BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理解得R=4，再利用含30º角的直角三角形边角关系可求得OE，利用EF=OE-OF即可解答；（3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用S阴影=S四边形OBEC−S扇形OBC代入数值即可求解．26.我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f(x)=mn．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18−1>9−2>6−3，所以3×6是18的最佳分解，所以f(18)=36=12．（1）填空：f(6)=________；f(9)=________ ；（2）一个两位正整数t（t=10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f(t)的最大值；（3）填空：① f(22×3×5×7)=_____________；② f(23×3×5×7)=_____________；③ f(24×3×5×7)=_____________；④ f(25×3×5×7)=_____________．【答案】（1）23；1（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，∴b−a＝6，∵1≤a≤b≤9，∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，∴t为39，28，17；∵39＝1×39＝3×13，∴f(39)＝313；28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f(28)＝47；17＝1×17，∴f(17)=117；∴f(t)的最大值47．（3）2021,1415,2021,1415【考点】探索数与式的规律，定义新运算【解析】【解答】（1）6＝1×6＝2×3，∵6−1＞3−2，∴f(6)＝23；9=1×9=3×3，∵9−1＞3−3，∴f(9)=1，故答案为：23；1；（3）①∵22×3×5×7=20×21∴f(22×3×5×7)=2021；② 23×3×5×7=28×30∴f(23×3×5×7)=2830=1415；③∵24×3×5×7=40×42∴f(24×3×5×7)=4042=2021；④∵25×3×5×7=56×60∴f(25×3×5×7)=5660=1415，故答案为：2021,1415,2021,1415．【分析】（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求f(6)＝23；9=1×9=3×3，由已知可求f(9)=1；（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，可求t的值，故可得到f(t)的最大值；（3）根据f(x)=mn的定义即可依次求解．27.如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B 顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．（1）连结CQ，求证：AP=CQ；（2）若AP=14AC，求CE:BC的值；（3）求证：PF=EQ．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC,∴∠ABP=∠CBQ，在△APB和△CQB中，{AB=BC∠ABP=∠CBQBP=QB，∴△APB≌△CQB(SAS)，∴AP=CQ．（2）设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，△ABC为等腰直角三角形，∴BC= √22AC=2√2x，在Rt△PCQ中，由勾股定理有：PQ=√PC2+CQ2=√9x2+x2=√10x，且△PBQ为等腰直角三角形，∴BQ=√22PQ=√5x，又∠BCQ=∠BAP=45°，∠BQE=45°，∴∠BCQ=∠BQE=45°，且∠CBQ=∠CBQ，∴△BQE∽△BCQ，∴BQBC=BEBQ，代入数据：√5x2√2x√5x，∴BE= 5√24x，∴CE=BC-BE= 3√24x，∴CE:BC3√242√2=38，故答案为：38．（3）在CE上截取CG，并使CG=FA，如图所示：∵∠FAP=∠GCQ=45°，且由(1)知AP=CQ，且截取CG=FA，故有△PFA≌△QGC(SAS)，∴PF=QG，∠PFA=∠CGQ，又∵∠DFP=180°-∠PFA，∠QGE=180°-∠CGQ，∴∠DFP=∠QGE，∵DA //BC，∴∠DFP=∠CEQ，∴∠QGE=∠CEQ，∴△QGE为等腰三角形，∴GQ=QE，故PF=QE．【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质【解析】【分析】(1)由旋转知△PBQ为等腰直角三角形，得到PB=QB，∠PBQ=90°，进而证明△APB≌△CQB 即可；(2)设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，又△ABC为等腰直角三角形，所以BC= √22AC=2√2x，PQ= √10x，再证明△BQE∽△BCQ，由此求出BE，进而求出CE:BC的值；(3)在CE上截取CG，并使CG=FA，证明△PFA≌△QGC，进而得到PF=QG，然后再证明∠QGE=∠QEG即可得到QG=EQ，进而求解．28.如图，抛物线 y =ax 2+bx +c 经过A （-1，0）、B （4，0）、C （0，2）三点，点D （x ， y ）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当 ΔBCD 的面积为3时，求点D 的坐标；（3）过点D 作 DE ⊥BC ，垂足为点E ， 是否存在点D ， 使得 ΔCDE 中的某个角等于 ∠ABC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】 （1）将A （−1，0）、B （4，0）、C （0，2）代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得：{a −b +c =016a +4b +c =0c =2，解得： {a =−12b =32c =2故抛物线的解析式为 y =−12x 2+32x +2 ．（2）如图2，过点D 作DM ∥BC ，交y 轴于点M ，设点M 的坐标为（0，m ），使得△BCM 的面积为3，CM=3×2÷4＝1.5，则m ＝2＋1.5＝ 72 ，M （0， 72 ）∵点B （4，0），C （0，2），∴直线BC 的解析式为y ＝− 12 x ＋2，∴DM 的解析式为y ＝− 12 x ＋ 72 ，联立抛物线解析式 {y =−12x +72y =−12x 2+32x +2 ， 解得 {x 1=3y 2=2 ， {x 2=1y 2=3． ∴点D 的坐标为（3，2）或（1，3）．（3）分两种情况考虑：①当∠DCE ＝2∠ABC 时，取点F （0，−2），连接BF ，如图3所示．∵OC ＝OF ，OB ⊥CF ，∴∠ABC ＝∠ABF ，∴∠CBF ＝2∠ABC ．∵∠DCB ＝2∠ABC ，∴∠DCB ＝∠CBF ，∴CD ∥BF ．∵点B （4，0），F （0，−2），∴直线BF 的解析式为y ＝ 12 x−2，∴直线CD 的解析式为y ＝ 12 x ＋2．联立直线CD 及抛物线的解析式成方程组得： {y =12x +2y =−12x 2+32x +2 ， 解得： {x 1=0y 1=2 （舍去）， {x 2=2y 2=3， ∴点D 的坐标为（2，3）；②当∠CDE ＝2∠ABC 时，过点C 作CN ⊥BF 于点N ，交OB 于H ．作点N 关于BC 的对称点P ，连接NP 交BC 于点Q ，如图4所示．∵∠OCH ＝90°−∠OHC ，∠OBF ＝90°−∠BHN ，∠OHC ＝∠BHN ，∴∠OCH ＝∠OBF ．在△OCH 与△OBF 中{∠COH =∠BOF =90°∠OCH =∠OBF ，∴△OCH ∽△OBF ，∴ OH OF =OC OB ，即 OH 2=24 ， ∴OH ＝1，H （1，0）．设直线CN 的解析式为y ＝kx ＋n （k≠0），∵C （0，2），H （1，0），∴ {n =2k +n =0 ，解得 {k =−2n =2， ∴直线CN 的解析式为y ＝−2x ＋2．连接直线BF 及直线CN 成方程组得：{y =12x −2y =−2x +2， 解得： {x =85y =−65 ， ∴点N 的坐标为（ 85,−65 ）．∵点B （4，0），C （0，2），∴直线BC 的解析式为y ＝− 12 x ＋2．∵NP ⊥BC ，且点N （ 85,−65 ），∴直线NP 的解析式为y ＝2x− 225 ．联立直线BC 及直线NP 成方程组得：{y =−12x +2y =2x −225 ， 解得： {x =6425y =1825 ， ∴点Q 的坐标为（ 6425,1825 ）．∵点N （ 85,−65 ），点N ，P 关于BC 对称，∴点P 的坐标为（ 8825,−6625 ）．∵点C （0，2），P （ 8825,−6625 ），∴直线CP 的解析式为y ＝ 211 x ＋2．将y ＝ 211 x ＋2代入 y =−12x 2+32x +2 整理，得：11x2−29x ＝0，解得：x 1＝0（舍去），x 2＝ 2911 ，∴点D 的横坐标为 2911 ．综上所述：存在点D ，使得△CDE 的某个角恰好等于∠ABC 的2倍，点D 的横坐标为2或 2911 ．【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题，二次函数的其他应用【解析】【分析】（1）根据点A 、B 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据三角形面积公式可求与BC 平行的经过点D 的y 轴上点M 的坐标，再根据待定系数法可求DM 的解析式，再联立抛物线可求点D 的坐标；（3）分∠DCE ＝2∠ABC 及∠CDE ＝2∠ABC 两种情况考虑：①当∠DCE ＝2∠ABC 时，取点F （0，−2），连接BF ，则CD ∥BF ，由点B ，F 的坐标，利用待定系数法可求出直线BF ，CD 的解析式，联立直线CD 及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D 的坐标；②当∠CDE ＝2∠ABC 时，过点C 作CN ⊥BF 于点N ，交OB 于H ．作点N 关于BC 的对称点P ，连接NP 交BC 于点Q ，由△OCH ∽△OBF 求出H 点坐标，利用待定系数法求出直线CN 的解析式，联立直线BF 及直线CN 成方程组，通过解方程组可求出点N 的坐标，利用对称的性质可求出点P 的坐标，由点C 、P 的坐标，利用待定系数法可求出直线CP 的解析式，将直线CP 的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x 的一元二次方程，解之取其非零值可得出点D 的横坐标．依此即可得解．。

2020年四川省内江市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）的倒数是（）A．2B．C．﹣D．﹣2解析：根据乘积为1的两个数是互为倒数，进行求解即可．参考答案：解：∵×2＝1，∴的倒数是2，故选：A．点拨：本题考查倒数的意义，理解和掌握乘积为1的两个数是互为倒数是正确解答的前提．2．（3分）下列四个数中，最小的数是（）A．0B．﹣C．5D．﹣1解析：根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小得出答案．参考答案：解：∵|﹣|＜|﹣1|，∴﹣＞﹣1，∴5＞0＞﹣＞﹣1，因此最小的数是﹣1，故选：D．点拨：本题考查有理数的大小比较，掌握两个负数比较，绝对值大的反而小，是正确判断的前提．3．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．参考答案：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．点拨：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．（3分）如图，已知直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．140°B．130°C．50°D．40°解析：由直线a∥b，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠3的度数，再结合∠2和∠3互补，即可求出∠2的度数．参考答案：解：∵直线a∥b，∴∠3＝∠1＝50°．又∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝130°．故选：B．点拨：本题考查了平行线的性质以及邻补角，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．5．（3分）小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．80，90B．90，90C．90，85D．90，95解析：先将数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解可得．参考答案：解：将数据重新排列为80，85，90，90，95，所以这组数据的中位数是90，众数为90，故选：B．点拨：本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．（3分）将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）A．y＝﹣2x﹣5B．y＝﹣2x﹣3C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x+3解析：根据函数图象向上平移加，向下平移减，可得答案．参考答案：解：直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，所得的直线是y＝﹣2x+1，故选：C．点拨：本题考查了一次函数图象与几何变换，图象平移的规律是：上加下减，左加右减．7．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（）A．30B．25C．22.5D．20解析：先根据三角形中位线的性质，证得：DE∥BC，DE＝BC，进而得出△ADE∽△ABC，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．参考答案：解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3，即S△ADE：15＝1：3，∴S△ADE＝5，∴S△ABC＝5+15＝20．故选：D．点拨：此题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方．8．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°解析：连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．参考答案：解：连接OB，如图，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝×120°＝60°，∴∠D＝∠AOB＝30°．故选：A．点拨：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．（3分）如图，点A是反比例函数y＝图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为（）A．B．C．3D．4解析：根据题意可知△AOC的面积为2，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．参考答案：解：∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，∴△AOC的面积为2，∵S△AOC＝|k|＝2，且反比例函数y＝图象在第一象限，∴k＝4，故选：D．点拨：本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．10．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（）A．x＝（x﹣5）﹣5B．x＝（x+5）+5C．2x＝（x﹣5）﹣5D．2x＝（x+5）+5解析：设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．参考答案：解：设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，依题意，得：x＝（x﹣5）﹣5．故选：A．点拨：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．11．（3分）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为（）A．3B．5C．D．解析：求出BD＝5，AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，证明△EDM∽△BDA，由相似三角形的性质得出，设DE＝x，则AE＝EM ＝4﹣x，得出，解得x＝，同理△DNF∽△DCB，得出，设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，则，解得y＝．由勾股定理即可求出EF的长．参考答案：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，∴BD＝＝＝5，∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M 处，∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，∴∠EMD＝90°，∵∠EDM＝∠ADB，∴△EDM∽△BDA，∴，设DE＝x，则AE＝EM＝4﹣x，∴，解得x＝，∴DE＝，同理△DNF∽△DCB，∴，设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，∴，解得y＝．∴DF＝．∴EF＝＝＝．故选：C．点拨：本题考查了翻折的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键．12．（3分）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（）A．≤t＜2B．＜t≤1C．1＜t≤2D．≤t≤2且t≠1解析：由y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），得出直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）或（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的t的值，结合图象即可得到结论．参考答案：解：∵y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则3＝2t+2，解得t＝；当直线经过（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则6＝2t+2，解得t＝2；当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，则4＝2t+2，解得t＝1；∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是≤t≤2且t≠1，故选：D．点拨：本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠2．解析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0；参考答案：解：根据题意得2x﹣4≠0，解得x≠2；∴自变量x的取值范围是x≠2．点拨：当函数表达式是分式时，分式要有意义，则考虑分式的分母不能为0．14．（5分）2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成．根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为7×108．解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．参考答案：解：7亿＝700000000＝7×108，故答案为：7×108．点拨：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15．（5分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为﹣．解析：把x＝﹣1代入原方程求出m的值，进而确定关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系可求出方程的另一个根．参考答案：解：∵方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0是关于x的一元二次方程，∴（m﹣1）2≠0即m≠1．把x＝﹣1代入原方程得，（m﹣1）2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，解得，m＝4，m＝1（不合题意舍去），当m＝4时，原方程变为：9x2+12x+3＝0，即，3x2+4x+1＝0，由根与系数的关系得：x1•x2＝，又x1＝﹣1，∴x2＝﹣故答案为：﹣．点拨：本题考查一元二次方程根的意义和解法，求解一元二次方程是得出正确答案的关键．16．（5分）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15．解析：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H ⊥AB于H．首先证明△ABA′是等边三角形，求出A′H，根据垂线段最短解决问题即可．参考答案：解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB＝＝10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H＝AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．点拨：本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）17．（7分）计算：（﹣）﹣1﹣|﹣2|+4sin60°﹣+（π﹣3）0．解析：先计算负整数指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．参考答案：解：原式＝﹣2﹣2+4×﹣2+1＝﹣2﹣2+2﹣2+1＝﹣3．点拨：本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握负整数指数幂和零指数幂的规定、熟记三角函数值、绝对值的性质、二次根式的性质．18．（9分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC 异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．解析：（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE ≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．参考答案：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．点拨：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出△ABE≌△CDF 是解此题的关键．19．（9分）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．（1）成绩为“B等级”的学生人数有5名；（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为72°，图中m的值为40；（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中间选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．解析：（1）A等的有3人，占调查人数的15%，可求出调查人数，进而求出B等的人数；（2）D等级占调查人数的，因此相应的圆心角为360°的即可，计算C等级所占的百分比，即可求出m的值；（3）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．参考答案：解：（1）3÷15%＝20（名），20﹣3﹣8﹣4＝5（名），故答案为：5；（2）360°×＝72°，8÷20＝40%，即m＝40，故答案为：72°，40；（3）“A等级”2男1女，从中选取2人，所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中女生被选中的有4种，∴P（女生被选中）＝＝．点拨：本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是求概率的前提．20．（9分）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？解析：（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定．参考答案：解：（1）∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°，∴PB＝AB＝60海里；（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝60，在Rt△PBH中，PH＝PB•sin60°＝60×＝30，∵30＞50，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．点拨：本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC 于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．解析：（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD＝BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB＝EC，证明△OCE≌△OBE（SSS），得出∠OBE＝∠OCE＝90°，根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；（2）设⊙O的半径为x，则OD＝x﹣2，OB＝x，由勾股定理得出（x﹣2）2+（2）2＝x2，解得x＝4，求出OE的长，则可求出EF的长；（3）由扇形的面积公式可得出答案．参考答案：（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC，∴CD＝BD，即OD垂直平分BC，∴EC＝EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OBE＝∠OCE＝90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x，在Rt△OBD中，BD＝BC＝2，∵OD2+BD2＝OB2，∴（x﹣2）2+（2）2＝x2，解得x＝4，∴OD＝2，OB＝4，∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OE＝2OB＝8，∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°，∴在Rt△OBE中，BE＝OB＝4，∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC＝2××4×4﹣，＝16﹣．点拨：本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）22．（6分）分解因式：b4﹣b2﹣12＝（b+2）（b﹣2）（b2+3）．解析：先利用十字相乘法，再利用平方差公式进行因式分解即可．参考答案：解：b4﹣b2﹣12＝（b2﹣4）（b2+3）＝（b+2）（b﹣2）（b2+3），故答案为：（b+2）（b﹣2）（b2+3）．点拨：本题考查十字相乘法、公式法分解因式，掌握十字相乘法、公式法的结构特征是正确应用的前提．23．（6分）若数a使关于x的分式方程+＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为40．解析：解分式方程的得出x＝，根据解为非负数得出≥0，且≠1，据此求出a≤5且a≠3；解不等式组两个不等式得出y≤0且y＜a，根据解集为y≤0得出a＞0；综合以上两点得出整数a的值，从而得出答案．参考答案：解：去分母，得：x+2﹣a＝3（x﹣1），解得：x＝，∵分式方程的解为非负数，∴≥0，且≠1，解得a≤5且a≠3，解不等式﹣≥﹣，得：y≤0，解不等式2（y﹣a）＜0，得：y＜a，∵不等式组的解集为y≤0，∴a＞0，∴0＜a≤5，则整数a的值为1、2、4、5，∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5＝40，故答案为：40．点拨：本题主要考查分式方程的解和解一元一次不等式组，解题的关键是根据分式方程的解的情况及不等式组解集的情况得出a的取值范围．24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：y ＝x+与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是．解析：先根据解析式求得B的坐标，即可求得AB＝1，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的纵坐标为，A2的纵坐标为，A3的纵坐标为，进而得到A n 的纵坐标为，据此可得点A2020的纵坐标．参考答案：解：∵直线l：y＝x+与x轴交于点B，∴B（﹣1，0），∴OB＝1，∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∴AB＝1，∵△ABA1是等边三角形，∴A1（﹣，），把y＝代入y＝x+，求得x＝，∴B1（，），∴A1B1＝2，∴A2（﹣，+×2），即A2（﹣，），把y＝代入y＝x+，求得x＝，∴B2（，），∴A2B2＝4，∴A3（3，+×4），即A3（3，），……，A n的纵坐标为，∴点A 2020的纵坐标是，故答案为．点拨：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得A n的纵坐标为，25．（6分）已知抛物线y1＝﹣x2+4x（如图）和直线y2＝2x+b．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＝2时，M的最大值为4；②当b＝﹣3时，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3；③当b＝﹣5时，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是②④．（填写所有正确结论的序号）解析：①求出y1，y2，求出m的值即可．②求出直线与抛物线的交点坐标，利用图象法解决问题即可．③画出图象，推出M＝3时，y1＝3，y2＝3转化为方程求出x的值即可．④当b＝1时，由，消去y得到，x2﹣2x+1＝0，因为△＝0，推出此时直线y＝2x+1与抛物线只有一个交点，推出b＞1时，直线y＝2x+b与抛物线没有交点，由此即可判断．参考答案：解：①当x＝2时，y1＝4，y2＝4+b，无法判断4与4+b 的大小，故①错误．②如图1中，b＝﹣3时，由，解得或，∴两个函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5）和（3，3），观察图象可知，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3，故②正确，③如图2中，b＝﹣5时，图象如图所示，M＝3时，y1＝3，∴﹣x2+4x＝3，解得x＝1或3，y2＝3时，3＝2x﹣5，解得x＝4，也符合条件，故③错误，④当b＝1时，由，消去y得到，x2﹣2x+1＝0，∵△＝0，∴此时直线y＝2x+1与抛物线只有一个交点，∴b＞1时，直线y＝2x+b与抛物线没有交点，∴M随x的增大而增大，故④正确．故答案为②④．点拨：本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）26．（12分）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝＝．（1）填空：f（6）＝；f（9）＝1；（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；（3）填空：①f（22×3×5×7）＝；②f（23×3×5×7）＝；③f （24×3×5×7）＝；④f（25×3×5×7）＝．解析：（1）仿照样例进行计算便可；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b+a，根据“交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54”确定出x与y的关系式，进而求出所有的两位数，进而确定出F（t）的最大值即可；（3）根据样例计算便可．参考答案：解：（1）6可分解成1×6，2×3，∵6﹣1＞3﹣2，∴2×3是6的最佳分解，∴f（6）＝，9可分解成1×9，3×3，∵9﹣1＞3﹣3，∴3×3是9的最佳分解，∴f（9）＝＝1，故答案为：；1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b+a，根据题意得，t′﹣t＝（10b+a）﹣（10a+b）＝9（b﹣a）＝54，∴b＝a+6，∵1≤a≤b≤9，a，b为正整数，∴满足条件的t为：17，28，39；∵F（17）＝，F（28）＝，F（39）＝，∵，∴F（t）的最大值为；（3）①∵22×3×5×7的是最佳分解为20×21，∴f（22×3×5×7）＝，故答案为：；②∵23×3×5×7的最佳分解为28×30，∴f（23×3×5×7）＝，故答案为；③∵24×3×5×7的最佳分解是40×42，∴f（24×3×5×7）＝＝，故答案为：；④∵25×3×5×7的最佳分解是56×60，∴f（25×3×5×7）＝＝，故答案为：．点拨：本题主要考查实数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．27．（12分）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．（1）连结CQ，求证：AP＝CQ；（2）若AP＝AC，求CE：BC的值；（3）求证：PF＝EQ．解析：（1）证明△BAP≌△BCQ（SAS）可得结论．（2）过点C作CH⊥PQ于H，过点B作BT⊥PQ于T．由AP ＝AC，可以假设AP＝CQ＝a，则PC＝3a，解直角三角形求出CH．BT，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）证明△PGB≌△QEB，推出EQ＝PG，再证明△PFG是等腰直角三角形即可．参考答案：（1）证明：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°．∴∠ABC＝∠PBQ．∴∠ABC﹣∠PBC＝∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ．在△BAP和△BCQ中，∵，∴△BAP≌△BCQ（SAS）．∴CQ＝AP．（2）解：过点C作CH⊥PQ于H，过点B作BT⊥PQ于T．∵AP＝AC，∴可以假设AP＝CQ＝a，则PC＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ＝∠BAP＝45°，∴∠PCQ＝90°，∴PQ＝＝＝a，∵CH⊥PQ，∴CH＝＝a，∵BP＝BQ，BT⊥PQ，∴PT＝TQ，∵∠PBQ＝90°，∴BT＝PQ＝a，∵CH∥BT，∴＝＝＝，∴＝．（3）解：结论：PF＝EQ，理由是：如图2，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF＝90°，∵∠BPQ＝45°，∴∠GPB＝45°，∴∠GPB＝∠PQB＝45°，∵PB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ＝PG，∵∠BAD＝90°，∴F、A、G、P四点共圆，连接FG，∴∠FGP＝∠FAP＝45°，∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF＝PG，∴PF＝EQ．点拨：本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE 中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据三角形面积公式可求与BC平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求DM的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF，则CD∥BF，由点B，F的坐标，利用待定系数法可求出直线BF，CD的解析式，联立直线CD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标；②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，由△OCH∽△OBF求出H点坐标，利用待定系数法求出直线CN的解析式，联立直线BF及直线CN成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，利用对称的性质可求出点P的坐标，由点C、P的坐标，利用待定系数法可求出直线CP的解析式，将直线CP的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，解之取其非零值可得出点D的横坐标．依此即可得解．参考答案：解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y ＝ax2+bx+c得：，解得：．故抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）法一：如图2，设点M的坐标为（0，m），使得△BCM的面积为3，3×2÷4＝1.5，则m＝2+1.5＝，M（0，）∵点B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∴DM的解析式为y＝﹣x+，联立抛物线解析式，解得，．∴点D的坐标为（3，2）或（1，3）．法二：如下图所示，过D作DG⊥x轴，垂足为G点，与BC交于K点，设D（a，b）（其中a＞0，b＞0），∴K（a，2﹣），∴，∴S△BCD＝S△CDK+S△BDK＝＝2b﹣4+a＝3，∴2b+a＝7，∵D在抛物线y＝﹣x2+x+2上，∴b＝，∴a2﹣4a+3＝0，∴（a﹣1）（a﹣3）＝0，∴a＝1或3，∵当a＝1时，b＝3，当a＝3时，b＝2，∴点D的坐标为（3，2）或（1，3）．（3）分两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF，如图3所示．∵OC＝OF，OB⊥CF，∴∠ABC＝∠ABF，∴∠CBF＝2∠ABC．∵∠DCB＝2∠ABC，∴∠DCB＝∠CBF，∴CD∥BF．∵点B（4，0），F（0，﹣2），∴直线BF的解析式为y＝x﹣2，∴直线CD的解析式为y＝x+2．联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：，解得：（舍去），，∴点D的坐标为（2，3）；②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图4所示．∵∠OCH＝90°﹣∠OHC，∠OBF＝90°﹣∠BHN，∠OHC＝∠BHN，∴∠OCH＝∠OBF．在△OCH与△OBF中，∴△OCH∽△OBF，∴＝，即＝，∴OH＝1，H（1，0）．设直线CN的解析式为y＝kx+n（k≠0），∵C（0，2），H（1，0），∴，解得，∴直线CN的解析式为y＝﹣2x+2．联立直线BF及直线CN成方程组得：，解得：，∴点N的坐标为（，﹣）．∵点B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2．∵NP⊥BC，且点N（，﹣），∴直线NP的解析式为y＝2x﹣．联立直线BC及直线NP成方程组得：，解得：，∴点Q的坐标为（，）．∵点N（，﹣），点N，P关于BC对称，∴点P的坐标为（，）．∵点C（0，2），P（，），∴直线CP的解析式为y＝x+2．将y＝x+2代入y＝﹣x2+x+2整理，得：11x2﹣29x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴点D的横坐标为．综上所述：存在点D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或．点拨：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）作铅垂线，计算三角形面积的方法；（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况求出点D的横坐标．。

中考数学试题及答案内江内江市中考数学试题及答案一、选择题1. 已知x+2y=6，3x-4y=-2，则x=____，y=____。

A) x=1，y=2 B) x=2，y=1 C) x=-1，y=2 D) x=2，y=-12. 若a:b=3:5，b:c=2:3，则a:c=____。

A) 2:3 B) 3:4 C) 4:5 D) 4:33. 25是下列哪一个数的因数？A) 42 B) 45 C) 50 D) 554. 直线y=2x-3与x轴的交点的坐标为____。

A) (1,0) B) (-1,0) C) (0,-3) D) (0,3)5. 若9-2(a+b)=5，且a=3，则b的值为____。

A) -11 B) -10 C) 11 D) 10二、填空题1. 在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=12cm，求∠ABC的大小为____°。

2. 已知正方形ABCD的边长为6cm，以BC为直径的圆的面积为____cm²。

3. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，2小时行驶的距离为____公里。

4. 在△ABC中，∠B=30°，边AC=6cm，边BC=8cm，则边AB的长度为____cm。

5. 若4x-1=2x+3，则x=____。

三、解答题1. 计算：$\frac{1}{3}+\frac{2}{5}$解：两个分数的分母相乘为15，得到$\frac{5}{15}+\frac{6}{15}=\frac{11}{15}$。

2. 解方程：$\frac{2}{3}x+4=10$解：将式子中的4移动到等号右边，并乘以3，得到$\frac{2}{3}x=6$。

然后，将等式两边都乘以$\frac{3}{2}$，得到$x=9$。

3. 计算：$(2+3)^2-4\cdot(5-1)$解：首先计算括号内的加法和减法，得到$(5)^2-4\cdot(4)$。

然后，计算乘法，得到$25-16=9$。

内江中考数学试题及答案在论述内江中考数学试题及答案时，我们将按照试题和答案的格式书写文章，以确保内容的准确性和整洁美观。

题目一：内江中考数学试题及答案第一部分：选择题1. 试题描述：已知函数f(x)=3x^2+2x+5，求f(2)的值。

试题答案：f(2) = 252. 试题描述：将一个正方形沿对角线折叠后，两个顶点重合，依次连接两个顶点同时得到的图形是什么？试题答案：等腰直角三角形第二部分：填空题1. 试题描述：已知在[1, 9]区间上，函数y=ax^2+bx+3的图像与x轴相交于点A(1,0)和点B(3,0)，则a=________，b=________。

试题答案：a=-1，b=122. 试题描述：已知直线y=kx+4与x轴交于点(2,0)，则k=________。

试题答案：k=-2第三部分：解答题1. 试题描述：已知集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，集合B={4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，求A∪B的元素个数。

试题答案：A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，元素个数为10。

2. 试题描述：一块长方形砖，宽为6 cm，长比宽多2 cm。

若用这种砖铺满长为18 cm、宽为8 cm的地板，至少需要多少块砖？试题答案：至少需要6块砖。

第四部分：应用题试题描述：某市新增人口每年以2%的速度递增，设2000年该市总人口为500万人，请问到2022年该市总人口约为多少人？试题答案：2022年该市总人口约为610万人。

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中考数学试题及答案内江一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 2B. 0.33333...C. √2D. 0.5答案：C2. 如果一个数的平方是16，那么这个数可能是：A. 4B. -4C. 4或-4D. 以上都不是答案：C3. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果其中一个底角是40°，那么顶角的度数是：A. 100°B. 80°C. 60°D. 40°答案：B4. 下列哪个函数是一次函数？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = x^3答案：B5. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是：A. 10π厘米B. 20π厘米C. 25π厘米D. 30π厘米答案：B6. 一个数的相反数是-3，那么这个数是：A. 3B. -3C. 0D. 6答案：A7. 下列哪个选项是不等式？A. 3x + 2 = 7B. 2x - 5 > 3C. 4x = 8D. 5x - 3 ≤ 7答案：D8. 如果一个多边形的内角和是900°，那么这个多边形的边数是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：C9. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是：A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A10. 下列哪个选项是二次根式？A. √4B. √(-4)C. √(2x + 3)D. √9答案：C二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的立方是-8，那么这个数是__-2__。

12. 如果一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度是__5__。

13. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是__±5__。

14. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是__4__。

15. 如果一个数的平方根是2，那么这个数是__4__。

16. 一个等腰三角形的底边长是6厘米，如果腰长是底边长的两倍，那么腰长是__12厘米__。

2018年四川省内江市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2018•内江）﹣3的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．−13D ．132．（3分）（2018•内江）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用科学记数法表示为（ ）A ．3.26×10﹣4毫米B ．0.326×10﹣4毫米C ．3.26×10﹣4厘米D ．32.6×10﹣4厘米3．（3分）（2018•内江）如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（ ）A ．认B ．真C ．复D ．习4．（3分）（2018•内江）下列计算正确的是（ ）A ．a +a=a 2B ．（2a ）3=6a 3C ．（a ﹣1）2=a 2﹣1D ．a 3÷a=a 25．（3分）（2018•内江）已知函数y=√x+1x−1，则自变量x 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜x ＜1 B ．x ≥﹣1且x ≠1 C ．x ≥﹣1 D ．x ≠1 6．（3分）（2018•内江）已知：1a ﹣1b =13，则ab b−a 的值是（ ） A ．13 B ．﹣13C ．3D ．﹣3 7．（3分）（2018•内江）已知⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，圆心距O 1O 2=4cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ）A ．外高B ．外切C ．相交D ．内切8．（3分）（2018•内江）已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且相似比为1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为（ ）A ．1：1B ．1：3C ．1：6D ．1：99．（3分）（2018•内江）为了了解内江市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指（）A．400B．被抽取的400名考生C．被抽取的400名考生的中考数学成绩D．内江市2018年中考数学成绩10．（3分）（2018•内江）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则如图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图是（）A．B．C．D．11．（3分）（2018•内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E 处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（）A．31°B．28°C．62°D．56°12．（3分）（2018•内江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2018•内江）分解因式：a3b﹣ab3=．14．（5分）（2018•内江）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是．15．（5分）（2018•内江）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是．16．（5分）（2018•内江）已知，A、B、C、D是反比例函数y=8x（x＞0）图象上四个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形（如图）的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形（阴影部分），则这四个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示）．三、解答题（本大题共5小题，共44分）17．（7分）（2018•内江）计算：√8﹣|﹣√2|+（﹣2√3）2﹣（π﹣3.14）0×（12）﹣2．18．（9分）（2018•内江）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点E ，F 分别是AB ，BC 上的点，AE=CF ，并且∠AED=∠CFD ．求证：（1）△AED ≌△CFD ；（2）四边形ABCD 是菱形．19．（9分）（2018•内江）为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布表如下（成绩得分均为整数）：组别成绩分组 频数 频率 147.5～59.5 2 0.05 259.5～71.5 4 0.10 371.5～83.5 a 0.2 483.5～95.5 10 0.25 595.5～107.5 b c 6107.5～120 6 0.15 合计 40 1.00根据表中提供的信息解答下列问题：（1）频数分布表中的a= ，b= ，c= ；（2）已知全区八年级共有200个班（平均每班40人），用这份试卷检测，108分及以上为优秀，预计优秀的人数约为 ，72分及以上为及格，预计及格的人数约为 ，及格的百分比约为 ；（3）补充完整频数分布直方图．20．（9分）（2018•内江）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC 的高为11米，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A=120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18米，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=34，求灯杆AB 的长度．21．（10分）（2018•内江）某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A 型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元．（1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B 两种型号的手机每部进价各是多少元？（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．①该商场有哪几种进货方式？②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）22．（6分）（2018•内江）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为．23．（6分）（2018•内江）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE=3，⊙O的半径r=2，直线AB不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积的最大值为．24．（6分）（2018•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4√a−1+10b，则△ABC的外接圆半径=．25．（6分）（2018•内江）如图，直线y=﹣x+1与两坐标轴分别交于A，B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，T n﹣1，用S1，S2，S3，…，S n﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△T n﹣1P n﹣2P n﹣1的面积，则S1+S2+S3+…+S n﹣1=．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）26．（12分）（2018•内江）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求证：2DE2=CD•OE；（3）若tanC=43，DE=52，求AD的长．27．（12分）（2018•内江）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}=﹣1，max{﹣2，﹣1，0}=0，max{﹣2，﹣1，a}={a(a≥−1)−1(a＜−1)解决问题：（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}=，如果max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则x的取值范围为；（2）如果2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，求x的值；（3）如果M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，求x的值．28．（12分）（2018•内江）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．2018年四川省内江市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2018•内江）﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B．3 C．−13D．13【考点】15：绝对值．【专题】11 ：计算题．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：|﹣3|=3．故﹣3的绝对值是3．故选：B．【点评】考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）（2018•内江）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用科学记数法表示为（）A．3.26×10﹣4毫米B．0.326×10﹣4毫米C．3.26×10﹣4厘米D．32.6×10﹣4厘米【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．【专题】1 ：常规题型．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000326毫米，用科学记数法表示为3.26×10﹣4毫米．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）（2018•内江）如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（）A．认B．真C．复D．习【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字．【专题】55：几何图形．【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形．【解答】解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真”．故选：B．【点评】本题考查了正方体的平面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．4．（3分）（2018•内江）下列计算正确的是（）A．a+a=a2B．（2a）3=6a3C．（a﹣1）2=a2﹣1 D．a3÷a=a2【考点】4C：完全平方公式；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．【分析】根据合并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幂的除法法则逐项计算即可．【解答】解：A，a+a=2a≠a2，故该选项错误；B，（2a）3=8a3≠6a3，故该选项错误C，（a﹣1）2=a2﹣2a+1≠a2﹣1，故该选项错误；D，a3÷a=a2，故该选项正确，故选：D．【点评】本题考查了并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幂的除法法则，解题的关键是熟记以上各种运算法则．5．（3分）（2018•内江）已知函数y=√x+1x−1，则自变量x 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜x ＜1 B ．x ≥﹣1且x ≠1 C ．x ≥﹣1 D ．x ≠1【考点】E4：函数自变量的取值范围．【专题】33 ：函数思想．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：{x +1≥0x −1≠0， 解得：x ≥﹣1且x ≠1．故选：B ．【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．6．（3分）（2018•内江）已知：1a ﹣1b =13，则ab b−a 的值是（ ） A ．13 B ．﹣13C ．3D ．﹣3 【考点】6B ：分式的加减法；64：分式的值．【专题】11 ：计算题；513：分式．【分析】由1a ﹣1b =13知b−a ab =13，据此可得答案． 【解答】解：∵1a ﹣1b =13， ∴b−a ab =13， 则ab b−a=3， 故选：C ．【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则与分式的性质．7．（3分）（2018•内江）已知⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外高B．外切C．相交D．内切【考点】MJ：圆与圆的位置关系．【专题】55：几何图形．【分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选：C．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．8．（3分）（2018•内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC 与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【考点】S7：相似三角形的性质．【专题】55D：图形的相似．【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．9．（3分）（2018•内江）为了了解内江市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指（）B．被抽取的400名考生C．被抽取的400名考生的中考数学成绩D．内江市2018年中考数学成绩【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量．【专题】54：统计与概率．【分析】直接利用样本的定义，从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，进而分析得出答案．【解答】解：为了了解内江市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指被抽取的400名考生的中考数学成绩．故选：C．【点评】此题主要考查了样本的定义，正确把握定义是解题关键．10．（3分）（2018•内江）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则如图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图是（）A．B．C．D．【考点】E6：函数的图象．【分析】根据在铁块开始露出水面到完全露出水面时，排开水的体积逐渐变小，根据阿基米德原理和称重法可知y的变化，注意铁块露出水面前读数y不变，离开水面后y不变，即可得出答案．【解答】解：露出水面前排开水的体积不变，受到的浮力不变，根据称重法可知铁块开始露出水面到完全露出水面时，排开水的体积逐渐变小，根据阿基米德原理可知受到的浮力变小，根据称重法可知y变大；铁块完全露出水面后一定高度，不再受浮力的作用，弹簧秤的读数为铁块的重力，故y不变．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，用到的知识点是函数值随时间的变化，注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．11．（3分）（2018•内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E 处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（）A．31°B．28°C．62°D．56°【考点】JA：平行线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE 的度数．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADC=90°，∵∠FDB=90°﹣∠BDC=90°﹣62°=28°，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠FDB=28°，∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠FBD=∠CBD=28°，∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．（3分）（2018•内江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 在第一象限，点B ，C 的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC ，直线AB 交y 轴于点P ，若△ABC 与△A′B′C′关于点P 成中心对称，则点A′的坐标为（ ）A ．（﹣4，﹣5）B ．（﹣5，﹣4）C ．（﹣3，﹣4）D ．（﹣4，﹣3）【考点】R4：中心对称；KW ：等腰直角三角形；R7：坐标与图形变化﹣旋转．【专题】531：平面直角坐标系．【分析】先求得直线AB 解析式为y=x ﹣1，即可得出P （0，﹣1），再根据点A 与点A'关于点P 成中心对称，利用中点公式，即可得到点A′的坐标．【解答】解：∵点B ，C 的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC ， ∴△ABC 是等腰直角三角形，∴A （4，3），设直线AB 解析式为y=kx +b ，则{3=4k +b 1=2k +b， 解得{k =1b =−1， ∴直线AB 解析式为y=x ﹣1，令x=0，则y=﹣1，∴P （0，﹣1），又∵点A 与点A'关于点P 成中心对称，∴点P 为AA'的中点，设A'（m ，n ），则m+42=0，3+n 2=﹣1， ∴m=﹣4，n=﹣5，∴A'（﹣4，﹣5），故选：A ．【点评】本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB 的解析式是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2018•内江）分解因式：a 3b ﹣ab 3= ab （a +b ）（a ﹣b ） ．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】0【解答】解：a 3b ﹣ab 3，=ab （a 2﹣b 2），=ab （a +b ）（a ﹣b ）．【点评】014．（5分）（2018•内江）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 25． 【考点】X4：概率公式；P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．【分析】由五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，∴从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是：25． 故答案为：25． 【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．（5分）（2018•内江）关于x 的一元二次方程x 2+4x ﹣k=0有实数根，则k 的取值范围是 k ≥﹣4 ．【考点】AA ：根的判别式．【专题】45 ：判别式法．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+4x ﹣k=0有实数根，∴△=42﹣4×1×（﹣k ）=16+4k ≥0，解得：k ≥﹣4．故答案为：k ≥﹣4．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．16．（5分）（2018•内江）已知，A 、B 、C 、D 是反比例函数y=8x（x ＞0）图象上四个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形（如图）的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形（阴影部分），则这四个橄榄形的面积总和是 5π﹣10 （用含π的代数式表示）．【考点】G5：反比例函数系数k 的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】11 ：计算题．【分析】通过观察可知每个橄榄形的阴影面积都是一个圆的面积的四分之一减去一个直角三角形的面积再乘以2，分别计算这5个阴影部分的面积相加即可表示．【解答】解：∵A 、B 、C 、D 、E 是反比例函数y=8x（x ＞0）图象上五个整数点， ∴x=1，y=8；x=2，y=4；x=4，y=2；x=8，y=1；∴一个顶点是A 、D 的正方形的边长为1，橄榄形的面积为：2(πr 24−r 22)=2(π−24)r 2=π−22； 一个顶点是B 、C 的正方形的边长为2，橄榄形的面积为：π−22r 2=2（π﹣2）；∴这四个橄榄形的面积总和是：（π﹣2）+2×2（π﹣2）=5π﹣10．故答案为：5π﹣10．【点评】本题主要通过考查橄榄形的面积的计算来考查反比例函数图象的应用，关键是要分析出其图象特点，再结合性质作答．三、解答题（本大题共5小题，共44分）17．（7分）（2018•内江）计算：√8﹣|﹣√2|+（﹣2√3）2﹣（π﹣3.14）0×（12）﹣2．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=2√2﹣√2+12﹣1×4=√2+8．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（9分）（2018•内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．求证：（1）△AED≌△CFD；（2）四边形ABCD是菱形．【考点】L9：菱形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．【专题】14 ：证明题．【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论；（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C．在△AED与△CFD中，{∠A=∠CAE=CF∠AED=∠CFD∴△AED≌△CFD（ASA）；（2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．【点评】考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关的性质与定理．19．（9分）（2018•内江）为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布表如下（成绩得分均为整数）：组别成绩分组频数频率147.5～59.520.5259.5～71.40.15371.5～83.5a0.2483.5～95.51.25595.5～17.5b c617.5～12060.15合计41.根据表中提供的信息解答下列问题：（1）频数分布表中的a=8，b=10，c=0.25；（2）已知全区八年级共有200个班（平均每班40人），用这份试卷检测，108分及以上为优秀，预计优秀的人数约为1200人，72分及以上为及格，预计及格的人数约为6800人，及格的百分比约为85%；（3）补充完整频数分布直方图．【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】（1）根据第一组的频数和频率结合频率=频数总数，可求出总数，继而可分别得出a、b、c的值．（2）根据频率=频数总数的关系可分别求出各空的答案．（3）根据（1）中a、b的值即可补全图形．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为2÷0.05=40人，∴a=40×0.2=8，b=40﹣（2+4+8+10+6）=10，c=10÷40=0.25，故答案为：8、10、0.25；（2）∵全区八年级学生总人数为200×40=8000人，∴预计优秀的人数约为8000×0.15=1200人，预计及格的人数约为8000×（0.2+0.25+0.25+0.15）=6800人，及格的百分比约为170200×100%=85%，故答案为：1200人、6800人、85%；（3）补全频数分布直方图如下：【点评】本题主要考查频数分布直方图及频率分布表的知识，难度不大，解答本题的关键是掌握频率=频数总数．20．（9分）（2018•内江）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A=120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18米，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=34，求灯杆AB 的长度．【考点】TA ：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】552：三角形．【分析】过点B 作BF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点A 作AG ⊥AF ，交BF 于点G ，则FG=AC=11．设BF=3x 知EF=4x 、DF=BF tan∠BDF，由DE=18求得x=4，据此知BG=BF ﹣GF=1，再求得∠BAG=∠BAC ﹣∠CAG=30°可得AB=2BG=2．【解答】解：过点B 作BF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点A 作AG ⊥AF ，交BF 于点G ，则FG=AC=11．由题意得∠BDE=α，tan ∠β=34． 设BF=3x ，则EF=4x在Rt △BDF 中，∵tan ∠BDF=BF DF ，∴DF=BF tan∠BDF =3x 6=12x ， ∵DE=18，∴12x +4x=18． ∴x=4．∴BF=12，∴BG=BF﹣GF=12﹣11=1，∵∠BAC=120°，∴∠BAG=∠BAC﹣∠CAG=120°﹣90°=30°．∴AB=2BG=2，答：灯杆AB的长度为2米．【点评】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．21．（10分）（2018•内江）某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A 型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元．（1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B 两种型号的手机每部进价各是多少元？（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．①该商场有哪几种进货方式？②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【专题】1 ：常规题型．【分析】（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，根据每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元以及商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40﹣a）部，根据花费的钱数不超过7.5万元以及A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍列出不等式组，求出不等式组的解集的正整数解，即可确定出购机方案；②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．列出w关于a的函数解析式，根据一次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，根据题意得：{x =y +50010x +20y =50000， 解得：{x =2000y =1500，答：A 、B 两种型号的手机每部进价各是2000元、1500元；（2）①设A 种型号的手机购进a 部，则B 种型号的手机购进（40﹣a ）部， 根据题意得：{2000a +1500(40−a)≤75000a ≥2(40−a)， 解得：803≤a ≤30， ∵a 为解集内的正整数，∴a=27，28，29，30，∴有4种购机方案：方案一：A 种型号的手机购进27部，则B 种型号的手机购进13部；方案二：A 种型号的手机购进28部，则B 种型号的手机购进12部；方案三：A 种型号的手机购进29部，则B 种型号的手机购进11部；方案四：A 种型号的手机购进30部，则B 种型号的手机购进10部；②设A 种型号的手机购进a 部时，获得的利润为w 元．根据题意，得w=500a +600（40﹣a ）=﹣100a +24000，∵﹣10＜0，∴w 随a 的增大而减小，∴当a=27时，能获得最大利润．此时w=﹣100×27+24000=21300（元）． 因此，购进A 种型号的手机27部，购进B 种型号的手机13部时，获利最大． 答：购进A 种型号的手机27部，购进B 种型号的手机13部时获利最大．【点评】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找出满足题意的等量关系与不等关系是解本题的关键．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）22．（6分）（2018•内江）已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为 1 ．【考点】AB ：根与系数的关系；A9：换元法解一元二次方程．【专题】11 ：计算题．【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：设x +1=t ，方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根分别是x 3，x 4， ∴at 2+bt +1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2，∴t 1+t 2=3，∴x 3+x 4+2=3故答案为：1【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．23．（6分）（2018•内江）如图，以AB 为直径的⊙O 的圆心O 到直线l 的距离OE=3，⊙O 的半径r=2，直线AB 不垂直于直线l ，过点A ，B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D ，C ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 12 ．【考点】LL ：梯形中位线定理．【专题】11 ：计算题．【分析】先判断OE 为直角梯形ADCB 的中位线，则OE=12（AD +BC ），所以S 四边形ABCD =OE•CD=3CD ，只有当CD=AB=4时，CD 最大，从而得到S 四边形ABCD 最大值．【解答】解：∵OE ⊥l ，AD ⊥l ，BC ⊥l ，而OA=OB ，∴OE 为直角梯形ADCB 的中位线，∴OE=12（AD +BC ）， ∴S 四边形ABCD =12（AD +BC ）•CD=OE•CD=3CD ，当CD=AB=4时，CD 最大，S 四边形ABCD 最大，最大值为12．【点评】本题考查了梯形中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．24．（6分）（2018•内江）已知△ABC 的三边a ，b ，c ，满足a +b 2+|c ﹣6|+28=4√a −1+10b ，则△ABC 的外接圆半径= 258． 【考点】MA ：三角形的外接圆与外心；16：非负数的性质：绝对值；1F ：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质：算术平方根；KQ ：勾股定理．【专题】17 ：推理填空题．【分析】根据题目中的式子可以求得a 、b 、c 的值，从而可以求得△ABC 的外接圆半径的长．【解答】解：∵a +b 2+|c ﹣6|+28=4√a −1+10b ，∴（a ﹣1﹣4√a −1+4）+（b 2﹣10b +25）+|c ﹣6|=0，∴（√a −1﹣2）2+（b ﹣5）2+|c ﹣6|=0，∴√a −1−2=0，b ﹣5=0，c ﹣6=0，解得，a=5，b=5，c=6，∴AC=BC=5，AB=6，作CD ⊥AB 于点D ，则AD=3，CD=4，设△ABC 的外接圆的半径为r ，则OC=r ，OD=4﹣r ，OA=r ，∴32+（4﹣r ）2=r 2，解得，r=258， 故答案为：258．【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、非负数的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．25．（6分）（2018•内江）如图，直线y=﹣x +1与两坐标轴分别交于A ，B 两点，将线段OA 分成n 等份，分点分别为P 1，P 2，P 3，…，P n ﹣1，过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T 1，T 2，T 3，…，T n ﹣1，用S 1，S 2，S 3，…，S n ﹣1分别表示Rt △T 1OP 1，Rt △T 2P 1P 2，…，Rt △T n ﹣1P n ﹣2P n ﹣1的面积，则S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1= 14﹣14n．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；D2：规律型：点的坐标．【专题】2A ：规律型；531：平面直角坐标系．【分析】如图，作T 1M ⊥OB 于M ，T 2N ⊥P 1T 1．由题意可知：△BT 1M ≌△T 1T 2N≌△T n ﹣1A ，四边形OMT 1P 1是矩形，四边形P 1NT 2P 2是矩形，推出S △BT 1M =12×1n×1n =12n ，S 1=12S 矩形OMT 1P 1，S 2=12S 矩形P 1NT 2P 2， 可得S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1=12（S △AOB ﹣n ⋅S △NBT 1）． 【解答】解：如图，作T 1M ⊥OB 于M ，T 2N ⊥P 1T 1．由题意可知：△BT 1M ≌△T 1T 2N ≌△T n ﹣1A ，四边形OMT 1P 1是矩形，四边形P 1NT 2P 2是矩形，∴S △BT 1M =12×1n ×1n =12n 2，S 1=12S 矩形OMT 1P 1，S 2=12S 矩形P 1NT 2P 2， ∴S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1=12（S △AOB ﹣n ⋅S △NBT 1）=12×（12﹣n ×12n 2）=14﹣14n． 故答案为14﹣14n． 【点评】本题考查一次函数的应用，规律型﹣点的坐标、三角形的面积、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分面积．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）26．（12分）（2018•内江）如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O 交斜边AC 于点D ，过圆心O 作OE ∥AC ，交BC 于点E ，连接DE ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）求证：2DE 2=CD•OE ；（3）若tanC=43，DE=52，求AD 的长．。

BACD2020年内江市中考数学试题（含答案解析）第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、21的倒数是（ ） A 、2 B 、21 C 、21-D 、2-2、下列四个数中，最小的数是（ ） A 、0B 、20201-C 、5D 、1-3、下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）4、如图，已知直线b a //，︒=∠501，则2∠的度数为（ ） A 、︒140 B 、︒130 C 、︒50 D 、︒405、小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A 、80，90B 、90，90C 、90，85D 、90，95 6、将直线12--=x y 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ） A 、52--=x y B 、32--=x y C 、12+-=x y D 、32+-=x y 7、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15=BCED S 四边形，则=∆ABC S （ ） A 、30 B 、25 C 、22.5 D 、20第7题图EBCD A第8题图OBCDAOxyC DA 1a2 b8、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，︒=∠120AOC ，点B 是⌒AC 的中点，则D ∠的度数是（ ） A 、︒30 B 、︒40 C 、︒50 D 、︒60 9、如图，点A 是反比例函数xky =图象上的一点，过点A 作x AC ⊥轴，垂足为点C ，D 为AC 的中点，若AOD ∆的面积为1，则k 的值为（ ）A 、34 B 、38C 、3D 、410、我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托。

折回索子却量竿，却比竿子短一托。

参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，36分）1．（3分）（2012•内江）﹣6的相反数为（）A．6B．C．D．﹣6解答：解：﹣6的相反数是：6，故选：A，2．（3分）（2012•内江）下列计算正确的是（）A．a2+a4=a6B．2a+3b=5ab C．（a2）3=a6D．a6÷a3=a2解答：解：A、a2+a4=a6，不是同底数幂的乘法，指数不能相加，故本选项错误；B、2a+3b=5ab，不是合并同类项，故本选项错误；C、（a2）3=a6，幂的乘方，底数不变指数相乘，故本选项正确；D、a6÷a3=a2，同底数幂的除法，底数不变指数相减，6﹣3≠2，故本选项错误．故选C．3．（3分）（2012•内江）已知反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则k的值为（）A．2B．C．1D．﹣2解答：解：∵反比例函数的图象经过点（1，﹣2），∴﹣2=，∴k=﹣2．故选D．4．（3分）（2012•内江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解答：解：∵从左到右第一个和第三个图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，但它们是轴对称图形；∵从左到右第二个和第四个图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形；∴既是轴对称又是中心对称图形的有两个，故选C．5．（3分）（2012•内江）如图，a∥b，∠1=65°，∠2=140°，则∠3=（）A．100°B．105°C．110°D．115°解答：解：过点A作AB∥a，∵a∥b，∴AB∥a∥b，∴∠2+∠4=180°，∵∠2=140°，∴∠4=40°，∵∠1=65°，∴∠3=∠1+∠4=65°+40°=105°．故选B．6．（3分）（2012•内江）一组数据4，3，6，9，6，5的中位数和众数分别是（）A．5和5.5 B．5.5和6 C．5和6 D．6和6解答：解：在这一组数据中6是出现次数最多的，故众数是6；将这组数据已从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数是5、6，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（5+6）÷2=5.5；故选B．7．（3分）（2012•内江）函数的图象在（）A．第一象限B．第一、三象限C．第二象限D．第二、四象限解答：解：∵中x≥0，中x≠0，故x＞0，此时y＞0，则函数在第一象限．故选A．8．（3分）（2012•内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=，则阴影部分图形的面积为（）A．4πB．2πC．πD．解答：解：连接OD．∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD=（垂径定理），故S△OCE=S△CDE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°（圆周角定理），∴OC=2，故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．故选D．9．（3分）（2012•内江）甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是（）A．B．C．D．解答：解：设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为（x+15）千米/时，根据题意，得=．故选C．10．（3分）（2012•内江）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为（）A．15 B．20 C．25 D．30解答：解：根据折叠的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF．则阴影部分的周长=矩形的周长=2（10+5）=30．故选：D．11．（3分）（2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C．D．解答：解：如图：连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO==；AC==；则sinA===．故选B．12．（3分）（2012•内江）如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C 的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．解答：解：∵正△ABC的边长为3cm，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm．①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=xcm（0≤x≤3）；根据余弦定理知cosA=，即=，解得，y=x2﹣3x+9（0≤x≤3）；该函数图象是开口向上的抛物线；②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=（6﹣x）cm（3＜x≤6）；则y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线；故选C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）（2012•内江）分解因式：ab3﹣4ab=ab（b+2）（b﹣2）．解答：解：ab3﹣4ab=ab（b2﹣4）=ab（b+2）（b﹣2）．故答案为：ab（b+2）（b﹣2）．14．（5分）（2012•内江）由一些大小相同的小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需的小正方形的个数最少为4．解答：解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，出可能两行都是两层．所以图中的小正方体最少4块，最多5块．故答案为：4．15．（5分）（2012•内江）如图所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是．解答：解：在6×6的网格中共有36个格点，而使得三角形面积为1的格点有8个，故使得三角形面积为1的概率为=，故答案为：．16．（5分）（2012•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD=9．解答：解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥DC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又∵BD=AC且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=DE=3，故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9．故答案为：9．三、解答题（共44分）17．（7分）（2012•内江）计算：．解答：解：原式=2﹣1+1+1﹣4+3=2．18．（9分）（2012•内江）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD．如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=60°，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米．（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度．解答：解：（1）分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．在Rt△ABF中，AB=16米，∠B=60°，sin∠B=，∴AF=16×=8，DG=8∴S△DCE=×CE×DG=×8×8=32需要填方：150×32=4800（立方米）；（2）在直角三角形DGC中，DC=16∴GC==24∴GE=GC+CE=32，坡度i===19．（9分）（2012•内江）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题：造型花卉甲乙A 80 40B 50 70（1）符合题意的搭配方案有几种？（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？解答：解：（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60﹣x）个，则有，解得37≤x≤40，所以x=37或38或39或40．第一方案：A种造型37个，B种造型23个；第二种方案：A种造型38个，B种造型22个；第三种方案：A种造型39个，B种造型21个．第四种方案：A种造型40个，B种造型20个．（2）分别计算三种方案的成本为：①37×1000+23×1500=71500元，②38×1000+22×1500=71000元，③39×1000+21×1500=70500元，④40×1000+20×1500=70000元．通过比较可知第④种方案成本最低．答：选择第四种方案成本最低，最低位70000元．20．（10分）（2012•内江）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：发言次数nA 0≤n＜3B 3≤n＜6C 6≤n＜9D 9≤n＜12E 12≤n＜15F 15≤n＜18（1）求出样本容量，并补全直方图；（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；（3）已知A组发言的学生中恰有1位男生，E组发言的学生中恰有1位女生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．解答：解：（1）∵B、E两组发言人数的比为5：2，E组发言人数占8%，∴B组发言的人数占20%，由直方图可知B组人数为10人，所以，被抽查的学生人数为：10÷20%=50人，C组人数为：50×30%=15人，补全直方图如图；（2）F组发言的人数所占的百分比为：1﹣6%﹣20%﹣30%﹣26%﹣8%=1﹣90%=10%，所以，估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数为：500×（8%+10%）=90人；（3）A组发言的学生：50×6%=3人，所以有1位女生，2位男生，E组发言的学生：50×8%=4人，所以有2位女生，2位男生，列表如下：画树状图如下：共12种情况，其中一男一女的情况有6种，所以P（一男一女）==．21．（9分）（2012•内江）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G 是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．解答：（1）证明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，∴∠CBE=∠ABE=45°，∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形，∴AB=AD=BC=CD，∴四边形ABCD是正方形；（2）当AE=2EF时，FG=3EF．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，∵AE=2EF，∴BE：DE=AE：EF=2，∴BC：AD=BE：DE=2，即BG=2AD，∵BC=AD，∴CG=AD，∵△ADF∽△GCF，∴FG：AF=CG：AD，即FG=AF=AE+EF=3EF．四、填空题（每小题6分，共24分）22．（6分）（2012•内江）已知三个数x，y，z，满足，则=﹣4．解答：解：∵，∴=﹣，=，=﹣，=++，整理得，+=﹣①，+=②，+=﹣③，①+②+③得，=﹣+﹣=﹣，则++=﹣，∴=﹣，于是=﹣4．故答案为﹣4．23．（6分）（2012•内江）已知反比例函数的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3…，M n，则=．解答：解：延长M n P n﹣1交M1P1于N，如图，∵当x=1时，y=1，∴M1的坐标为（1，1）；∵当x=n时，y=，∴Mn的坐标为（n，）；∴=P 1M1×P1M2+M2P2×P2M3+…+M n﹣1P n﹣1×P n﹣1M n=（M1P1+M2P2+…+M n﹣1P n﹣1）=M1N=（1﹣）=．故答案为．24．（6分）（2012•内江）已知a i≠0（i=1，2，…，2012）满足，使直线y=a i x+i（i=1，2，…，2012）的图象经过一、二、四象限的a i概率是．解答：解：∵a i≠0（i=1，2，…，2012）满足，∴a i有22个是负数，1990个是正数，∵a i＜0时直线y=a i x+i（i=1，2，…，2012）的图象经过一、二、四象限，∴使直线y=a i x+i（i=1，2，…，2012）的图象经过一、二、四象限的a i概率是=，故答案为：，25．（6分）（2012•内江）已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM取得最大值时，则M的坐标为（，0）．解答：解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．此时AM﹣BM=AM ﹣B′M=AB′．不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B．则M′A﹣M′B=M′A﹣M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．∴M′A﹣M′B＜AM﹣BM，即此时AM﹣BM最大．∵B′是B（3，﹣1）关于x轴的对称点，∴B′（3，1）．设直线AB′解析式为y=kx+b，把A（1，5）和B′（3，1）代入得：，解得，∴直线AB′解析式为y=﹣2x+7．令y=0，解得x=，∴M点坐标为（，0）．故答案为：（，0）．五、解答题（每小题12分，共36分）26．（12分）（2012•内江）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD 为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．解答：（1）证明：∵菱形AFED，∴AF=AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，即①BD=CF，②AC=CF+CD．（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，即AC=CF﹣CD．（3）AC=CD﹣CF．理由是：∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，即AC=CD﹣CF．27．（12分）（2012•内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．解答：解：（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，则：+==﹣，•==，若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是：x2+x+=0；（2）①当a=b时，原式=2②当a≠b时，∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，∴a+b=15，ab=﹣5，∴====﹣47；（3）∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=﹣c，ab=，∴a、b是方程x2+cx+=0的解，∴c2﹣4•≥0，c2﹣≥0，∵c是正数，∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4，∴正数c的最小值是4．28．（12分）（2012•内江）如图，已知点A（﹣1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，其顶点为M．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；（3）在抛物线上是否存在点N，使得S△BCN=4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．解答：解：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4；由射影定理，得：OC2=OA•OB=4，则OC=2，即点C（0，2）；设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣4），将C点代入上式，得：2=a（0+1）（0﹣4），a=﹣，∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；（2）直线CM与以AB为直径的圆相切．理由如下：如右图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接CD．由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为Rt△ABC斜边AB的中点，CD=AB．由（1）知：y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣（x﹣）2+，则点M（，），ME=﹣2=；而CE=OD=，OC=2；∴ME：CE=OD：OC，又∠MEC=∠COD=90°，∴△COD∽△CEM，∴∠CME=∠CDO，∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°，而CD等于⊙D的半径长，所以直线CM与以AB为直径的圆相切；（3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC=2；则：S△BCN=BC•h=×2×h=4，h=；过点B作BF⊥BC，且使BF=h=，过F作直线l∥BC交x轴于G．Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO=，BG=BF÷sin∠BGF=÷=4；∴G（0，0）或（8，0）．易知直线BC：y=﹣x+2，则可设直线l：y=﹣x+b，代入G点坐标，得：b=0或b=4，则：直线l：y=﹣x或y=﹣x+4；联立抛物线的解析式后，可得：或，则N1（2+2，﹣1﹣）、N2（2﹣2，﹣1+）、N3（2，3）．。

内江中考数学试题及答案一、选择题1.设函数f(x) = 2x + 1，那么f(3)的值为多少？A. 4B. 6C. 7D. 8答案：C2.已知a + b = 5，ab = 6，求a² + b²的值。

A. 14B. 25C. 29D. 37答案：B3.已知正方形ABCD的边长为8cm，P为AB边上任意一点，连接PC并延长至交BC于点E，如图所示。

若BE的长度为10cm，那么PC 的长度是多少？（图略）A. 6cmB. 8cmC. 12cmD. 14cm答案：C二、填空题1. 若m = 3，n = -2，求2m - 3n的值为 _______。

答案：122. 已知y = 2x² - 3x + 1，求当x = -2时，y的值为 _______。

答案：173. 设二次函数y = ax² + bx + 1的图像与x轴有两个交点，且顶点坐标为(2, 1)，则a + b的值为 _______。

答案：0三、解答题1. 已知一条直线上有三个点A(-2, 3)，B(4, 1)，C(x, 5)，且AC = 2AB，求点C的坐标。

解析：由题意可得：AC = 2AB即√[(x - (-2))² + (5 - 3)²] = 2√[(x - 4)² + (5 - 1)²]经过计算，得到：x = -8 或 x = 4所以，点C的坐标为(-8, 5) 或 (4, 5)。

2. 在平面直角坐标系中，点M(x, 0)与点N(0, y)关于直线y = -x对称，且点M到直线y = 3x的距离为2√2，求点N的坐标。

解析：由题意可得，点M到直线y = 3x的距离为2√2，即∣y - 3x∣ =2√2又因为点M与点N关于直线y = -x对称，所以点N的坐标为(0, -2x)。

代入∣y - 3x∣ = 2√2，得到：∣-2x - 3x∣ = 2√2解得：x = ±√2所以，点N的坐标为(0, ±2√2)。

2022年四川省内江市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. ﹣6的相反数是（ ）A. ﹣6B. ﹣16C. 6D.16【答案】C【解析】【分析】根据相反数的定义，即可解答．【详解】−6的相反数是：6，故选C.2. 某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是（ ）A. 34B. 33C. 32.5D. 31 【答案】B【解析】【分析】根据算术平均数的计算方法进行计算即可．【详解】解：这组数据的平均数为：25333631405++++＝33（辆），故选：B．【点睛】本题考查平均数，掌握算术平均数的计算方法是正确计算的关键．3. 下列运算正确的是（ ）A. a2+a3＝a5B. （a3）2＝a6C. （a﹣b）2＝a2﹣b2D. x6÷x3＝x2【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全平方公式，进行判断即可．【详解】A.a2和a3不是同类项，不能合并，故A不符合题意；B.（a3）2＝a6，故B符合题意；C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C不符合题意；D.x6÷x3＝x6﹣3＝x3，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全平方公式，是解题的关键．4. 2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误；B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误；C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．5. 下列说法错误的是（ ）A. 打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件B. 要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查C. 一组数据的方差越小，它的波动越小D. 样本中个体的数目称为样本容量【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的定义、全面调查的意义、方差的意义以及样本容量的定义进行判定即可．【详解】解：A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件，故A选项不符合题意；B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用全面调查调查，故B选项符合题意；C．一组数据的方差越小，它的波动越小，故C选项不符合题意；D．样本中个体的数目称为样本容量，故D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查统计的相关定义，掌握其定义和意义是解决问题关键．6. 如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（ ）A. 跟B. 党C. 走D. 听【答案】C【解析】【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“话”与“走”是对面，故答案为：C．【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．7. 如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠CBM＝∠CMB，利用等边对等角即可得MC＝BC＝8，进而可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝12，BC ＝AD ＝8，AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 是∠ABC 的平分线，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴MC ＝BC ＝8，∴DM ＝CD ﹣MC ＝12﹣8＝4，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，掌握其相关性质是解题的关键．8. 如图，数轴上的两点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，则下列式子中成立的是（ ）A. 1﹣2a ＞1﹣2bB. ﹣a ＜﹣bC. a +b ＜0D. |a |﹣|b |＞0【答案】A【解析】【分析】根据数轴得出a ＜b ，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案．【详解】解：由题意得：a ＜b ，∴﹣2a ＞﹣2b ，∴1﹣2a ＞1﹣2b ，∴A 选项的结论成立；∵a ＜b ，∴﹣a ＞﹣b ，∴B 选项的结论不成立；∵﹣2＜a ＜﹣1，2＜b ＜3， ∴12a <<，23b << ∴a b <，∴a +b ＞0，∴C 选项的结论不成立； ∵a b < ∴0a b -<，∴D选项的结论不成立．故选：A．【点睛】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识．9. 如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ）A. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位B. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位D. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位【答案】D【解析】【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．【详解】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．故选：D．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化，旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．10. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数8yx=和kyx=的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（ ）A. 38B. 22C. ﹣7D. ﹣22【答案】D【解析】 【分析】设点P （a ，b ），Q （a ，k a ），则OM ＝a ，PM ＝b ，MQ ＝k a -，则PQ ＝PM +MQ ＝k b a-，再根据ab ＝8，S △POQ ＝15，列出式子求解即可． 【详解】解：设点P （a ，b ），Q （a ，k a ），则OM ＝a ，PM ＝b ，MQ ＝k a -， ∴PQ ＝PM +MQ ＝k b a-． ∵点P 在反比例函数y ＝8x 的图象上， ∴ab ＝8．∵S △POQ ＝15， ∴12PQ •OM ＝15， ∴12a （b ﹣k a）＝15． ∴ab ﹣k ＝30．∴8﹣k ＝30，解得：k ＝﹣22．故选：D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．11. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为6，则这个正六边形的边心距OM 和 BC的长分别为（ ）A. 4，3π B. π C. 43π D. 2π 【答案】D【解析】【分析】连接OC 、OB ，证出BOC ∆是等边三角形，根据勾股定理求出OM ，再由弧长公式求出弧BC 的长即可．【详解】解：连接OC 、OB ，六边形ABCDEF 为正六边形，360606BOC ︒∴∠==︒， OB OC = ，BOC ∴∆为等边三角形，6BC OB ∴==，OM BC ⊥ ，132BM BC ∴==，OM ∴===BC 的长为6062180ππ⨯==． 故选：D ． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出OM 是解决问题的关键．12. 如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于两点（x 1，0）、（2，0），其中0＜x 1＜1．下列四个结论：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③2a ﹣c ＞0；④不等式ax 2+bx +c ＞﹣1c x x +c 解集为0＜x ＜x 1．其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】 【分析】根据函数图象可得出a ，b ，c 的符号即可判断①，当x ＝1时，y ＜0即可判断②；根据对称轴为12b x a=->，a ＞0可判断③；y 1＝ax 2+bx +c ，21c y x c x =-+数形结合即可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右边，与y 轴交于正半轴，∴a ＞0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＜0，∴①正确．∵当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，∴②错误．∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于两点（x 1，0）、（2，0），其中0＜x 1＜1，的∴2021222b a ++<-<， ∴3122b a <-<， 当322b a -<时，3b a >-， 当2x =时，420y a bc =++=，122b ac ∴=--， 1232a c a ∴-->-， ∴2a ﹣c ＞0，∴③正确；如图：设y 1＝ax 2+bx +c ，21c y x c x =-+， 由图值，y 1＞y 2时，x ＜0或x ＞x 1，故④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 函数y =中，自变量x 的取值范围是 .【答案】3x ≥．【解析】【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【详解】依题意，得x -3≥0，解得：x ≥3．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．14. 如图，在⊙O 中，∠ABC=50°，则∠AOC 等于_____【答案】100°【解析】【详解】试题分析：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角等于圆周角度数的2倍.根据题意可得：∠AOC=2∠ABC=2×50°=100°.考点：圆周角和圆心角15. 对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝11a b-，若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为 _____． 【答案】56【解析】【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】解：由题意得：11212x --＝1， 等式两边同时乘以2(21)x -得，2212(21)x x -+=-， 解得：56x ＝，经检验，x ＝56是原方程的根，∴x＝56，故答案为：5 6．【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．16. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝_____．【答案】48【解析】【分析】设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，然后分别求出S1、S2、S3，即可得到答案．【详解】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．【点睛】本题考查了正方形的面积，勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形两直角边与三个正方形的面积的关系，可寻找出三正方形面积之间的关系．三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）17. （111|()|2cos 452-︒--；（2）先化简，再求值：（221a b a b a +-+）÷b b a -，其中a b +4． 【答案】（1）2；（2）1b a +，14【解析】 【分析】（1）首先代入特殊角的三角函数值，进行乘方、绝对值运算，再进行乘法和加法运算；（2）首先把分式化简，再代入a 和b 的值计算．【详解】解：（1）原式＝1222⨯-+2＝2；（2）原式＝[()()()()a b a b a b a b a b a -++-+-]•b a b - ＝()()b b a b a b a b-⋅+- ＝1b a+．当a ，b 时，14= ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分式的化简求值、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的运算，掌握解题步骤是解决问题的关键．18. 如图，ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两个点，且满足BE =DF ．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）求证：四边形AECF 是平行四边形．【答案】证明见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可以得到AB //CD ，AB =CD ，再证明角相等，用SAS 证明两个三角形全等即可．（2）用（1）中全等三角形的结论我们得到边相等，角相等，再去证明平行．用一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形．【详解】证明：（1） 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB //CD ，AB =CD ，ABF CDE ∴∠=∠，在ABE ∆和CDF ∆中AB CD ABF CDE BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABE CDF ∴∆∆≌．（2）由（1）可知，ABE CDF ∆∆≌，,A E C F A E B D FC ∴=∠=∠，∴ AE //CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共5种，平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．19. 为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛．数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表： 分数段频数 频率 74.5﹣79.52 0.05 79.5﹣84.58 n 84.5﹣89.5 12 0.389.5﹣94.5 m 0.3594.5﹣99.5 4 0.1（1）表中m＝ ，n＝ ；（2）请补全频数分布直方图；（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）14；0.2（2）见解析（3）2 3【解析】【分析】（1）根据总数为40，频率为0.35，求出m，根据频数为8，总数为40，求出频率n；（2）根据89.5﹣94.5的频数为14，补全频数分布直方图即可；（3）先根据题意画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可．【小问1详解】解：m＝40×35%＝14，n＝8÷40＝0.2．故答案为：14，0.2．【小问2详解】补全频数分布直方图如下：【小问3详解】∵成绩在94.5分以上的选手有4人，男生和女生各占一半，∴2名是男生，2名是女生，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，∴确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为82 123．【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，画树状图或列表格求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键．20. 如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）【答案】（1）（）米；（2）【解析】【分析】（1）过点A 作AE ⊥l 于点E ，设CE =x ，在Rt △ADE 中可表示出DE ，在Rt △ACE 中可表示出AE ，通过解直角三角形ADE 求出x 即可；（2）过点B 作BF ⊥l ，垂足为F ，继而得出CE 的长，在Rt △BCF 中，求出CF ，继而可求出AB ．【小问1详解】解：过点A 作AE ⊥l ，垂足为E ，设CE ＝x 米，∵CD ＝60米，∴DE ＝CE +CD ＝（x +60）米，∵∠ACB ＝15°，∠BCD ＝120°，∴∠ACE ＝180°﹣∠ACB ﹣∠BCD ＝45°，在Rt △AEC 中，AE ＝CE •tan 45°＝x （米），在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，∴tan 30°＝AE ED ＝60x x∴x ＝，经检验：x ＝+30是原方程的根，∴AE ＝（）米，∴河的宽度为（）米；【小问2详解】过点B 作BF ⊥l ，垂足为F ，则CE ＝AE ＝BF ＝（）米，AB ＝EF ，∵∠BCD ＝120°，∴∠BCF ＝180°﹣∠BCD ＝60°，在Rt △BCF 中，CF ＝tan 60BF ︒∴AB ＝EF ＝CE ﹣CF ＝﹣（）＝，∴古树A 、B 之间的距离为【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是通过作高构造直角三角形，利用直角三角形解决问题．21. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC 交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF ．（1）判断直线AF 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若⊙O 的半径为6，AF ＝AC 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【答案】（1）直线AF 与⊙O 相切．理由见解析（2）6（3）6π．【解析】【分析】（1）连接OC ，证明△AOF ≌△COF （SAS ），由全等三角形的判定与性质得出∠OAF =∠OCF =90°，由切线的判定可得出结论；（2）由直角三角形的性质求出∠AOF =30°，可得出AE =12OA =3，则可求出答案；（3）证明△AOC 是等边三角形，求出∠AOC =60°，OC =6，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．【小问1详解】直线AF 与⊙O 相切．理由如下：连接OC ，∵PC 为圆O 切线，∴CP ⊥OC ，∴∠OCP ＝90°，∵OF ∥BC ，∴∠AOF ＝∠B ，∠COF ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠B ，∴∠AOF ＝∠COF ，∵在△AOF 和△COF 中，OA OC AOF COF OF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOF ≌△COF （SAS ），∴∠OAF ＝∠OCF ＝90°，∴AF ⊥OA ，又∵OA 为圆O 的半径，∴AF 为圆O 的切线；【小问2详解】∵△AOF ≌△COF ，∴∠AOF ＝∠COF ，∵OA ＝OC ，∴E 为AC 中点，即1,2AE CE AC OE AC ==⊥，∵∠90,6,OAF OA AF ︒===∴tan AF AOF OA ∠=== ∴∠AOF ＝30°， ∴132AE OA ==， ∴26AC AE ==；【小问3详解】∵AC ＝OA ＝6，OC ＝OA ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC ＝60°，OC ＝6，∵∠OCP ＝90°，∴CP ==∴S △OCP＝2116066622360AOC OC CP S ππ⋅⨯⋅=⨯⨯===扇形， ∴阴影部分面积=S △OCP ﹣S 扇形AOC＝6π-．【点睛】此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）22. 分解因式：a 4﹣3a 2﹣4＝_____．【答案】（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）【解析】【分析】首先利用十字相乘法分解为()()2214a a +- ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可．【详解】解：a 4﹣3a 2﹣4＝（a 2+1）（a 2﹣4）＝（a 2+1）（a +2）（a ﹣2），故答案为：（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）．【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象经过点()2,3,P 且与函数的()20=>y x x的图象交于点(,)Q m n .若一次函数y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是____．【答案】223m << 【解析】 【分析】分别求出过点P ，且平行于x 轴和y 轴时对应的m 值，即可得到m 的取值范围．【详解】当PQ 平行于x 轴时，点Q 的坐标为(),3m ，代入2y x =中，可得23m =； 当PQ 平行于y 轴时，点Q 的坐标为()2,n ，可得2m =；∵一次函数y 随x 的增大而增大，∴m 的取值范围是223m <<， 故答案：223m <<． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数图象的交点问题，找到两个临界是解决本题的关键．24. 已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，且2112x x x x +＝x 12+2x 2﹣1，则k 的值为 _____．【答案】2【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝k ﹣1，x 12﹣2x 1+k ﹣1＝0，再根据2112x x x x +＝x 12+2x 2﹣1，推出222(1)1k k ---＝4﹣k，据此求解即为可．【详解】解：∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，∴x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝k ﹣1，x 12﹣2x 1+k ﹣1＝0，∴x 12＝2x 1﹣k +1， ∵2112x x x x +＝x 12+2x 2﹣1， ∴2121212()2x x x x x x +-＝2（x 1+x 2）﹣k ， ∴222(1)1k k ---＝4﹣k ， 解得k ＝2或k ＝5，当k ＝2时，关于x 的方程为x 2﹣2x +1＝0，Δ≥0，符合题意；当k ＝5时，关于x 的方程为x 2﹣2x +4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意； ∴k ＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．25. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝4，点E 、F 分别是AB 、DC 上的动点，EF ∥BC ，则AF +CE 的最小值是 _____．【答案】10【解析】【分析】延长BC 到G ，使CG ＝EF ，连接FG ，证明四边形EFGC 是平行四边形，得出CE ＝FG ，得出当点A 、F 、G 三点共线时，AF +CE 的值最小，根据勾股定理求出AG 即可．【详解】解：延长BC 到G ，使CG ＝EF ，连接FG ，∵EF CG∥，EF＝CG，∴四边形EFGC平行四边形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）26. 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）35 30租金（元/辆）400320学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？（3）学校租车总费用最少是多少元？【答案】（1）参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人是（2）一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆（3）学校租车总费用最少是2800元．【解析】【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程；（2）首页判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可；（3）列出函数解析式w＝80m+2560，结合自变量取值范围求出最少总费用．【小问1详解】设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，根据题意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，∴30x+7＝30×8+7＝247，答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；【小问2详解】师生总数为247+8＝255（人），∵每位老师负责一辆车的组织工作，∴一共租8辆车，设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，根据题意得：3530(8)255 400320(8)3000m mm m+-≥⎧⎨+-≤⎩，解得3≤m≤5.5，∵m为整数，∴m可取3、4、5，∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；【小问3详解】设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，由（2）知：3≤m≤5.5，设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，∵80＞0，∴w随m的增大而增大，∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），答：学校租车总费用最少是2800元．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用、利用一次函数解决最小利润问题，解决问题的关键是根据题意得到相等关系或不相等关系列出方程、不等式组以及函数解析式解决问题．27. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，点M 、N 分别在AB 、AD 上，且MN ⊥MC ，点E 为CD 的中点，连接BE 交MC 于点F ．（1）当F 为BE 的中点时，求证：AM ＝CE ；（2）若EF BF ＝2，求AN ND的值； （3）若MN ∥BE ，求AN ND值． 【答案】（1）见解析（2）2737（3）27【解析】 【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF ≌ △ECF ，得BM ＝CE ，再利用点E 为CD 的 中点，即可证明结论；(2)利用△BMF ∽△ECF ，得12BM B EF CE F ==，从而求出BM 的长，再利用△ANM ∽△BMC ，得AN AM BM BC= ，求出AN 的长，可得答案； (3)首先利用同角的余角相等得 ∠CBF ＝ ∠CMB ，则tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，得CE BC BC BM= ，可得BM 的长，由（2）同理可得答案． 【小问1详解】证明：∵F 为BE 的中点，∴BF ＝EF ，∵四边形ABCD 是矩形，的∴AB∥CD，AB＝CD∴∠BMF＝∠ECF，∵∠BFM＝∠EFC，∴△BMF≌△ECF（AAS），∴BM＝CE，∵点E为CD的中点，∴CE＝12CD，∵AB＝CD，∴12BM CE AB==，∴AM BM=，∴AM＝CE；【小问2详解】∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴△BMF∽△ECF，∴12BMBEF CEF==，∵CE＝3，∴BM＝32，∴AM＝9 2，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，∵∠A＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴AN AM BM BC=，∴92 342AN=，∴7162 AN=，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣2716＝3716，∴272716373716ANDN==；【小问3详解】∵MN∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠BCM＝90°，∵∠BCM+∠BMC＝90°，∴∠CBF＝∠CMB，∴tan∠CBF＝tan∠CMB，∴CE BC BC BM=，∴344BM =，∴163 BM=，∴162633 AM AB BM=-=-=，由（2）同理得，AN AM BM BC=，∴23 1643AN=，解得：AN＝89，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣89＝289，∴8292879ANND==．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM 的长是解决（2）和（3）的关键． 28. 如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （2，0），与y 轴交于点C （0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D 为该抛物线上的一个动点，且在直线AC 上方，求点D 到直线AC 的距离的最大值及此时点D 的坐标；（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为1：5两部分，求点P 的坐标．【答案】（1）211242y x x =--+（2，点D 的坐标为（﹣2，2）； （3）点P 的坐标为（6，﹣10）或（﹣143，﹣109）． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；（2）过点D 作DH ⊥AB 于H ，交直线AC 于点G ，过点D 作DE ⊥AC 于E ，可用待定系数法求出直线AC 的解析式，设点D 的横坐标为m ，则点G 的横坐标也为m ，从而可以用m 的代数式表示出DG ，然后利用cos cos EDG CAO ∠=∠得到DE =，可得出关于m 的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；（3）根据S △PCB ：S △PCA =11():():,22C P C P EB y y AE y y BE AE ⨯-⨯-=即可求解． 【小问1详解】∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （2，0），与y 轴交于点C （0，2）．∴16404202a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得：14122a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴抛物线的解析式为211242y x x =--+； 【小问2详解】（2）过点D 作DH ⊥AB 于H ，交直线AC 于点G ，过点D 作DE ⊥AC 于E ，如图．设直线AC 的解析式为y ＝kx +t ，则402k t t -+=⎧⎨=⎩， 解得：122k t ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =+． 设点D 的横坐标为m ，则点G 的横坐标也为m ， ∴21112,2422DH m m GH m =--+=+ ∴221111224224DG m m m m m =--+--=--， ∵DE ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴∠EDG +∠DGE ＝∠AGH +∠CAO ＝90°，∵∠DGE ＝∠AGH ，∴∠EDG ＝∠CAO ，∴cos cos EDG CAO ∠∠＝＝OA AC =，∴DE DG =，∴2221)4)2)4DE DG m m m m m ==--=+=++，∴当m ＝﹣2时，点D 到直线AC ． 此时()()211222242D y =-⨯--⨯-+=， 即点D 的坐标为（﹣2，2）；【小问3详解】如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为1：5两部分，又∵S △PCB ：S △PCA ＝()()11::22C P C P EB y y AE y y EB AE ⨯-⨯-=， 则EB ：AE ＝1：5或5：1则AE ＝5或1，即点E 的坐标为（1，0）或（﹣3，0），将点E 的坐标代入直线CP 的表达式：y ＝nx +2，解得：n ＝﹣2或23， 故直线CP 的表达式为：y ＝﹣2x +2或y ＝23x +2，联立方程组22211242y x y x x =-+⎧⎪⎨=--+⎪⎩或222311242y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩， 解得：x ＝6或﹣143（不合题意值已舍去）， 故点P 的坐标为（6，﹣10）或（﹣143，﹣109）． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图形面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比。

精选文档内江市2021年中考数学试卷及答案分析一、选择题〔本大题共12小题，每题3分，共36分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的〕1．〔3分〕〔2021?内江〕9的算术平方根是〔〕A．﹣3B．±3C．3D．考点：算术平方根．剖析：算术平方根的观点：一般地，假如一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．依此即可求解．解答：解：9的算术平方根是3．应选：C．评论：本题主要考察了算术平方根的定义，算术平方根的观点易与平方根的观点混杂而致使错误．2．〔3分〕〔2021?内江〕用科学记数法表示，结果是〔〕A．×10﹣5B．×10﹣6C．×10﹣5D．61×10﹣7考点：科学记数法—表示较小的数．剖析：绝对值小于1的正数也能够利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不一样的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左侧起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：用科学记数法表示，结果是×10﹣6．应选：B．评论：本题考察用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×1﹣n，此中1≤|a|＜10，n为由原数左侧起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．〔3分〕〔2021?内江〕如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是〔〕A． B． C．D．考点：简单组合体的三视图．剖析：找到从上边看所获得的图形即可，注意全部的看到的棱都应表此刻俯视图中．解答：解：从上边看易得俯视图为．应选C．评论：本题考察了三视图的知识，俯视图是从物体的上边看获得的视图．.精选文档4．〔3分〕〔2021?内江〕有一组数据以下：3，a，4，6，7，它们的均匀数是5，那么这组数据的方差是〔〕A．10 B． C． D．2考点：方差；算术均匀数．剖析：第一依据算术均匀数的观点求出a的值，而后把数据代入方差公式求出数值．解答：解：∵3，a，4，6，7，它们的均匀数是5，∴=5，a=5，s2=[〔5﹣3〕2+〔5﹣5〕2+〔5﹣4〕2+〔5﹣6〕2+〔5﹣7〕2]=2．应选D．评论：本题主要考察了方差以及算术均匀数的知识，解答本题的重点是依据算术均匀数的观点求出a的值，本题难度不大．5．〔3分〕〔2021?内江〕函数y= + 中自变量x的取值范围是〔〕A．x≤2 B．x≤2且x≠1C．x＜2且x≠1D．x≠1考点：函数自变量的取值范围．剖析：依据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就能够求解．解答：解：依据二次根式存心义，分式存心义得：2﹣x≥0且x﹣1≠0，解得：x≤2且x≠1．应选：B．评论：本题考察函数自变量的取值范围，波及的知识点为：分式存心义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．6．〔3分〕〔2021?内江〕某十字路口的交通讯号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你仰头看信号灯时，是黄灯的概率为〔〕A．B．C．D．考点：概率公式．剖析：随机事件A的概率P〔A〕=事件A可能出现的结果数÷全部可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出仰头看信号灯时，是黄灯的概率为多少即可．解答：解：仰头看信号灯时，是黄灯的概率为：5÷〔30+25+5〕=5÷60=应选：A．.精选文档评论：本题主要考察了概率公式的应用，要娴熟掌握，解答本题的重点是要明确：〔1〕随机事件A的概率P〔A〕=事件A可能出现的结果数÷全部可能出现的结果数．〔2〕P〔必定事件〕=1．〔3〕P〔不行能事件〕=0．7．〔3分〕〔2021?内江〕以下运算中，正确的选项是〔〕A．a2+a3=a5B．a3?a4=a12C．a6÷a3=a2D．4a﹣a=3a考点：同底数幂的除法；归并同类项；同底数幂的乘法．剖析：依据同类项的定义及归并同类相法那么；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项剖析判断后利用清除法求解．解答：解：A、a2与a3不是同类项，不可以归并，故本选项错误；B、应为a3?a4=a3+4=a7，故本选项错误；C、应为a6÷a3=a6﹣3=a3，故本选项错误；、4a﹣a=〔4﹣1〕a=3a，正确．应选D．评论：本题主要考察了归并同类项及同底数幂的乘法、除法，娴熟掌握运算性质和法那么是解题的重点．8．〔3分〕〔2021?内江〕如图，在△ABC中，AB=AC，BD均分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延伸线于点E．假定∠E=35°，那么∠BAC的度数为〔〕A．40°B．45° C．60° D．70°考点：等腰三角形的性质；平行线的性质．剖析：依据平行线的性质可得∠CBD的度数，依据角均分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，依据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．解答：解：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，BD均分∠ABC，∴∠CBA=70°，AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．应选：A．评论：考察了平行线的性质，角均分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．重点是获得∠C=∠CBA=70°．.精选文档9．〔3分〕〔2021?内江〕植树节这日有20名同学共种了52棵树苗，此中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，依据题意，以下方程组正确的选项是〔〕A．B．C．D．考点：由实质问题抽象出二元一次方程组．剖析：设男生有x人，女生有y人，依据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方程组即可．解答：解：设男生有x人，女生有y人，依据题意可得：，应选D．评论：本题考察二元一次方程组的实质运用，找出题目包含的数目关系是解决问题的重点．10．〔3分〕〔2021?内江〕如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，那么∠ADP的度数为〔〕A．40°B．35°C．30° D．45°考点：切线的性质．剖析：连结DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．解答：解：连结BD，∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，∵PD是切线，∴∠ADP=∠ABD=30°，应选：C．.精选文档评论：本题考察了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解．11．〔3分〕〔2021?内江〕如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点 E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，那么这个最小值为〔〕A．B．2 C．2 D．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．剖析：因为点B与D对于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE 最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．解答：解：由题意，可得BE与AC交于点P．∵点B与D对于AC对称，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=A B=2 ．故所求最小值为 2 ．应选B．评论：本题考察了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点 P的地点是解决问题的重点．.精选文档12．〔3分〕〔2021?内江〕如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．假定双曲线y= 与正方形ABCD有公共点，那么k的取值范围为〔〕A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16考点：反比率函数与一次函数的交点问题．剖析：先依据题意求出A点的坐标，再依据AB=BC=3，AB、BC分别平行于x轴、y轴求出B、C两点的坐标，再依据双曲线 y= 〔k≠0〕分别经过A、C两点时k的取值范围即可．解答：解：点A在直线y=x上，此中A点的横坐标为1，那么把x=1代入y=x解得y=1，那么A的坐标是〔1，1〕，AB=BC=3，C点的坐标是〔4，4〕，当双曲线y=经过点〔1，1〕时，k=1；当双曲线y= 经过点〔4，4〕时，k=16，因此1≤k≤16．应选：C．评论：本题主要考察了反比率函数，用待定系数法求一次函数的分析式，解本题的重点是理解题意从而求出k的值．二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13．〔5分〕〔2021?内江〕分解因式：2x2y﹣8y= 2y〔x+2〕〔x﹣2〕．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：惯例题型．剖析：先提取公因式2y，再对余下的多项式利用平方差公式持续分解．解答：解：2x2y﹣8y，2=2y〔x﹣4〕，=2y〔x+2〕〔x﹣2〕．故答案为：2y〔x+2〕〔x﹣2〕．评论：本题考察了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式第一提取公因式，而后再用其余方法进行因式分解，同时因式分解要完全，直到不可以分解为止．.精选文档14．〔5分〕〔2021?内江〕如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角〔∠D，∠C〕向内折叠，点C，D恰巧落在AB边的点F处．假定AD=2，BC=3，那么EF的长为．考点：翻折变换〔折叠问题〕．剖析：先依据折叠的性质得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，那么DC=2EF，AB=5，再作AH⊥BC于H，因为AD∥BC，∠B=90°，那么可判断四边形ADCH为矩形，所以AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，而后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2 ，所以EF= ．解答：解∵分别以AE，BE为折痕将两个角〔∠D，∠C〕向内折叠，点C，D恰巧落在AB边的点F处，DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，DC=2EF，AB=5，作AH⊥BC于H，AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ADCH为矩形，∴AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，在Rt△ABH中，AH==2，∴EF=．故答案为：．评论：本题考察了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，地点变化，对应边和对应角相等．也考察了勾股定理．15〔．5分〕〔2021?内江〕对于x的方程x 2﹣6x+k=0的两根分别是x12=3，，x，且知足+那么k的值是2．考点：根与系数的关系．剖析：找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根.精选文档之，而后利用完好平方公式形后，将求出的两根之和与两根之代入，即可求出所求式子的．解答：解：∵3x2+2x 11=0的两个解分x1、x2，x1+x2=6，x1x2=k，+ = = =3，解得：k=2，故答案：2．点：此考了一元二次方程根与系数的关系，所求的代数式行正确的形是解决本的关．16．〔5分〕〔2021?内江〕如是由火柴棒搭成的几何案，第n个案中有2n〔n+1〕根火柴棒．〔用含n的代数式表示〕考点：律型：形的化．：．剖析：本可分写出n=1，2，3，⋯，所的火柴棒的根数．而后行即可得出最答案．解答：解：依意得：n=1，根数：4=2×1×〔1+1〕；n=2，根数：12=2×2×〔2+1〕；n=3，根数：24=2×3×〔3+1〕；⋯n=n，根数：2n〔n+1〕．点：本是一道找律的目，型在中考取常出．于找律的目第一找出哪些局部生了化，是依据什么律化的．三、解答〔本大共5小，共44分，解答写出必需的文字明或计算步〕17．〔7分〕〔2021?内江〕算：| 2|〔π2021〕0+〔〕﹣22sin60°+．考点：数的运算；零指数；整数指数；特别角的三角函数．剖析：本波及、零指数、整数指数、特别角的三角函数、二次根式化四个考点．每个考点分行算，而后依据数的运算法求得算果．解答：解：| 2|〔π2021〕0+〔〕﹣22sin60°+=2 1+2 +2=3+ ．点：本考数的合运算能力，是各地中考取常的算型．解决此目的关是熟特别角的三角函数，熟掌握、零指数、整数指数、二次根式化等考点的运算．.精选文档18．〔9分〕〔2021?内江〕如图，将?ABCD的边AB延伸至点E，使AB=BE，连结DE，EC，DE交BC于点O．〔1〕求证：△ABD≌△BEC；〔2〕连结BD，假定∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．考点：矩形的判断；全等三角形的判断与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．剖析：〔1〕依据平行四边形的判断与性质获得四边形 BECD为平行四边形，而后由SSS推出两三角形全等即可；〔2〕欲证明四边形BECD是矩形，只要推知BC=ED．解答：证明：〔1〕在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，那么BE∥CD．又∵AB=BE，BE=DC，四边形BECD为平行四边形，BD=EC．在△ABD与△BEC中，，∴△ABD≌△BEC〔SSS〕；〔2〕由〔1〕知，四边形BECD为平行四边形，那么OD=OE，OC=OB．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四边形BECD为矩形．评论：本题考察了平行四边形的性质和判断，矩形的判断，平行线的性质，全等三角形的性质和判断，三角形的外角性质等知识点的综合运用，难度较大．.精选文档19．〔9分〕〔2021?内江〕为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选用一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的局部学生成绩〔得分为整数，总分值为160分〕分为5组：第一组85～10；第二组100～115；第三组115～130；第四组130～145；第五组145～160，统计后获得以下列图的频数散布直方图〔每组含最小值不含最大值〕和扇形统计图，察看图形的信息，回复以下问题：1〕本次检查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数散布直方图增补完好；2〕假定将得分转变为等级，规定：得分低于100分评为“D〞，100～130分评为“C〞，130～145分评为“B〞，145～160分评为“A〞，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B〞的学生大概有多少名？〔3〕假如第一组只有一名是女生，第五组只有一名是男生，针对考试成绩状况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学说说做题的感想，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰巧是一名女生和一名男生的概率．考点：列表法与树状图法；用样本预计整体；频数〔率〕散布直方图；扇形统计图．剖析：〔1〕第一依据题意得：本次检查共随机抽取了该年级学生数为：20÷40%=50〔名〕；那么可求得第五组人数为：50﹣4﹣8﹣20﹣14=4〔名〕；即可补全统计图；〔2〕由题意可求得：考试成绩评为“B〞的学生大概有：×1500=420〔名〕；3〕第一依据题意画出树状图，而后由树状图求得全部等可能的结果与所选两名学生恰巧是一名女生和一名男生的状况，再利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：〔1〕依据题意得：本次检查共随机抽取了该年级学生数为：20÷40%=50〔名〕；那么第五组人数为： 50﹣4﹣8﹣20﹣14=4〔名〕；如图：.精选文档〔2〕依据题意得：考试成绩评为“B〞的学生大概有：×1500=420〔名〕；〔3〕画树状图得：∵共有16种等可能的结果，所选两名学生恰巧是一名女生和一名男生的有10种状况，∴所选两名学生恰巧是一名女生和一名男生的概率为：=．评论：本题考察了树状图法与列表法求概率的知识以及直方图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所讨状况数与总状况数之比．20．〔9分〕〔2021?内江〕我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔挺的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为千米的住所小区〔如图〕，问修建公路时，这个小区能否有居民需要搬家？〔参照数据：≈，≈〕考点：解直角三角形的应用-方向角问题．剖析：依据题意，在△MNP中，∠MNP=30°，∠PMN=45°，MN=2千米，能否搬家看P点到MN的距离与的大小关系，假定距离大于千米那么不需搬家，反之那么需搬家，所以求P点到MN的距离，作PD⊥MN于D点．解答：解：过点P作PD⊥MN于DMD=PD?cot45°=PD，ND=PD?cot30°=PD，MD+ND=MN=2，即PD+PD=2，∴PD== ﹣1≈﹣＞．答：修的公路不会穿越住所小区，故该小区居民不需搬家．评论：考察认识直角三角形的应用﹣方向角问题，“化斜为直〞是解三角形的根本思路，常需作垂线〔高〕，原那么上不损坏特别角〔30°、45°、60°〕．.精选文档21．〔10分〕〔2021?内江〕某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数目与用64000元购进空调的数目相等．〔1〕求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？〔2〕此刻商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总收益为y元，要求购进空调数目不超出电冰箱数目的2倍，总收益不低于13000元，请剖析合理的方案共有多少种？并确立赢利最大的方案以及最大收益；〔3〕实质进货时，厂家对电冰箱出厂价下调 k〔0＜k＜100〕元，假定商铺保持这两种家电的售价不变，请你依据以上信息及〔2〕问中条件，设计出使这100台家电销售总收益最大的进货方案．考点：一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．剖析：〔1〕设每台空调的进价为x元，那么每台电冰箱的进价为〔x+400〕元，依据“商城用80000元购进电冰箱的数目与用64000元购进空调的数目相等〞，列出方程，即可解答；〔2〕设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总收益为y元，那么y=〔2100﹣2000〕x+〔1750﹣1600〕〔100﹣x〕=﹣50x+15000，依据题意得：，获得，依据x为正整数，所以x=34，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有7种，利用一次函数的性质，确立赢利最大的方案以及最大收益；3〕当电冰箱出厂价下调k〔0＜k＜100〕元时，那么收益y=〔k﹣50〕x+15000，分两种状况议论：当k﹣50＞0；当k﹣50＜0；利用一次函数的性质，即可解答．解答：解：〔1〕设每台空调的进价为x元，那么每台电冰箱的进价为〔x+400〕元，依据题意得：，解得：x=1600，经查验，x=1600是原方程的解，x+400=1600+400=2000，答：每台空调的进价为1600元，那么每台电冰箱的进价为2000元．〔2〕设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总收益为y元，那么y=〔2100﹣2000〕x+〔1750﹣1600〕〔100﹣x〕=﹣50x+15000，依据题意得：，解得：，∵∵x为正整数，∵x=34，35，36，37，38，39，40，∵合理的方案共有7种，∵即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台；∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，.精选文档∴y随x的增大而减小，∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300〔元〕，答：当购进电冰箱34台，空调66台赢利最大，最大收益为13300元．3〕当厂家对电冰箱出厂价下调k〔0＜k＜100〕元，假定商铺保持这两种家电的售价不变，那么收益y=〔2100﹣2000+k〕x+〔1750﹣1600〕〔100﹣x〕=〔k﹣50〕x+15000，当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，∵，∴当x=40时，这100台家电销售总收益最大，即购进电冰箱40台，空调60台；当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，∵，∴当x=34时，这100台家电销售总收益最大，即购进电冰箱34台，空调66台；答：当50＜k＜100时，购进电冰箱 40台，空调60台销售总收益最大；当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总收益最大．评论：本题考察了列分式方程解实质问题的运用，一次函数的分析式的性质的运用，解答时依据总收益═冰箱的收益+空调的收益成立分析式是重点．四、填空题〔本大题共4小题，每题6分，共24分〕22．〔6分〕〔2021?内江〕在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，那么BC= 6 ．考点：含30度角的直角三角形；勾股定理．剖析：由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所对的直角边等于斜边的一半易得△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的长．解答：解：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，∴△ABC是直角三角形，∴BC== =6 ，故答案为：6 ．°评论：本题考察了含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，娴熟掌握性质及定理是解本题的重点．23．〔6分〕〔2021?内江〕在平面直角坐标系xOy中，过点P〔0，2〕作直线 l：y= x+b〔b 为常数且b＜2〕的垂线，垂足为点Q，那么tan∠OPQ=．考点：一次函数图象上点的坐标特点；解直角三角形．剖析：设直线l与坐标轴的交点分别为A、B，依据三角形内角和定理求得∴∠OAB=∠OPQ，.精选文档依据一次函数图象上点的坐标特点求得tan∠OAB=，从而便可求得．解答：解：如图，设直线l与坐标轴的交点分别为A、B，∵∠AOB=∠PQB=90°，∠ABO=∠PBQ，∴∠OAB=∠OPQ，由直线的斜率可知：tan∠OAB=，tan∠OPQ=；故答案为．评论：本题考察了一次函数图象上点的坐标特点，解直角三角形，求得∠OAB=∠OPQ是解题的重点．24．〔6分〕〔2021?内江〕如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的均分线GH过点D，交BE于点H，连结OH，FH，EG与FH交于点M，对于下边四个结论：①CH⊥BE；②HO BG；③S正方形ABCD：S正方形ECGF=1：；④EM：MG=1：〔1+〕，此中正确结论的序号为②．考点：四边形综合题．剖析：证明△BCE≌△DCG，即可证得∠BEC=∠DGC，而后依据三角形的内角和定理证得EHG=90°，那么HG⊥BE，而后证明△BGH≌△EGH，那么H是BE的中点，那么OH是△BGE的中位线，依据三角形的中位线定理即可判断②．依据△DHN∽△DGC求得两个三角形的边长的比，那么③④即可判断．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，BC=DC，∠BCE=90°，同理可得CE=CG，∠DCG=90°，.在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG，∴∠BEC=∠DGC，∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°，∴∠EDH+∠BEC=90°，∴∠EHD=90°，HG⊥BE，那么CH⊥BE错误，那么故①错误；∵在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH，BH=EH，又∵O是EG的中点，HOBG，故②正确；设EC和OH订交于点N．设HN=a，那么BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，那么NC=b，CD=2a，OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴，即，即a2+2ab﹣b2=0，解得：a=或a=〔舍去〕，那么，那么S正方形ABCD ：S正方形=〔〕2，故③错误；ECGF=EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴，∴= = = ．故④错误．故正确的选项是②．故答案是：②．.精选文档点：本考了正方形的性，以及全等三角形的判断与性，相像三角形的判断与性，正确求得两个三角形的的比是解决本的关．25．〔6分〕〔2021?内江〕数a，b足：a2+1= ，b2+1= ，2021|a﹣b|= 1 ．考点：因式分解的用；零指数．剖析：22，两式相减可得22，有〔a+b〕〔ab〕=，因为a+1=，b+1=a b=分解因式可得a=b，依此可得2021|a﹣b|=20210，再依据零指数的算法算即可求解．解答：解：∵a2+1=，b2+1=，两式相减可得a2b2=，a+b〕〔ab〕=，[ab〔a+b〕+1]〔a b〕=0，ab=0，即a=b，2021|a﹣b|=20210=1．故答案：1．点：考了因式分解的用，零指数，本关是获得a=b．五、解答〔本大共3小，每小12分，共36分，解答写出必需的文字明或演算步〕（26．〔12分〕〔2021?内江〕〔1〕填空：（ab〕〔a+b〕=a2b2；（a b〕〔a2+ab+b2〕=a3b3；ab〕〔a3+a2b+ab2+b3〕=a4b4．2〕猜想：〔a b〕〔a n﹣1+a n﹣2b+⋯+ab n﹣2+b n﹣1〕= a n b n〔此中n正整数，且n≥2〕．3〕利用〔2〕猜想的算：2928+27⋯+2322+2．考点：平方差公式．：律型．剖析：〔1〕依据平方差公式与多式乘以多式的运算法运算即可；〔2〕依据〔1〕的律可得果；.精选文档〔3〕原式形后，利用〔2〕得出的律算即可获得果．（22（ab〕〔a2+ab+b2〕=a3+a2b+ab2a2bab2b3=a3b3；3223432233223444〔ab〕〔a+ab+ab+b〕=a+a b+ab+abababab b=ab；故答案：a2b2，a3b3，a4b4；〔2〕由〔1〕的律可得：n n原式=a b，故答案：a n b n；987328642〕〔3〕22+2⋯+22+2=〔21〕〔2+2+2+2+2=342．点：此考了多式乘以多式，弄清中的律是解本的关．27．〔12分〕〔2021?内江〕如，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O点C，且的直径AB在段AE上．1〕明CE是⊙O的切；2〕假定△ACE中AE上的高h，用含h的代数式表示⊙O的直径AB；3〕点D是段AC上随意一点〔不含端点〕，接OD，当CD+OD的最小6，求⊙O的直径AB的．考点：的合；段的性：两点之段最短；等腰三角形的性；等三角形的判定与性；菱形的判断与性；角三角函数的定；特别角的三角函数．剖析：〔1〕接OC，如1，要CE是⊙O的切，只要到∠OCE=90°即可；2〕点C作CH⊥AB于H，接OC，如2，在Rt△OHC中运用三角函数即可解决；3〕作OF均分∠AOC，交⊙O于F，接AF、CF、DF，如3，易四形AOCF是菱形，依据称性可得DF=DO．点D作DH⊥OC于H，易得DH= DC，从而有CD+OD=DH+FD．依据两点之段最短可得：当F、D、H三点共，DH+FD 〔即CD+OD〕最小，而后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决．解答：解：〔1〕接OC，如1，.CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；〔2〕过点C作CH⊥AB于H，连结OC，如图2，由题可得CH=h．在Rt△OHC中，CH=OC?sin∠COH，h=OC?sin60°=OC，∴OC== h，∴AB=2OC=h；〔3〕作OF均分∠AOC，交⊙O于F，连结AF、CF、DF，如图3，那么∠AOF=∠COF=∠AOC=〔180°﹣60°〕=60°．∴OA=OF=OC，∴∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，∴依据对称性可得DF=DO．.精选文档过点D作DH⊥OC于H，OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴DH=DC?sin∠DCH=DC?sin30°=DC，CD+OD=DH+FD．依据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD〔即 CD+OD〕最小，此时FH=OF?sin∠FOH=OF=6，那么OF=4 ，AB=2OF=8 ．∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8 ．评论：本题主要考察了圆周角定理、切线的判断、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特别角的三角函数值、等边三角形的判断与性质、菱形的判断与性质、两点之间线段最短等知识，把CD+OD转变为DH+FD是解决第〔3〕小题的重点．28．〔12分〕〔2021?内江〕如图，抛物线与x轴交于点A〔﹣，0〕、点B〔2，0〕，与y 轴交于点C〔0，1〕，连结BC．〔1〕求抛物线的函数关系式；〔2〕点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为〔t﹣＜t＜2〕，求△ABN的面积S与t的函数关系式；〔3〕假定﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数分析式；相像三角形的性质．专题：综合题．剖析：〔1〕可设抛物线的分析式为 y=ax2+bx+c，而后只要运用待定系数法便可解决问题；〔2〕当﹣＜t＜2时，点N在x轴的上方，那么NP等于点N的纵坐标，只要求出AB，便可获得S与t的函数关系式；.精选文档〔3〕依据相像三角形的性质可得PN=2PO．因为PO=，需分﹣＜t＜和0＜t＜2两种状况议论，由PN=2PO获得对于t的方程，解这个方程，便可解决问题．解答：解：〔1〕设抛物线的分析式为2y=ax+bx+c，由题可得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+ x+1；〔2〕当﹣＜t＜2时，yN＞0，∴NP==yN=﹣t2+ t+1，S=AB?PN= ×〔2+ 〕×〔﹣t2+ t+1〕= 〔﹣t2+ t+1〕2=﹣ t+ t+ ；3〕∵△OPN∽△COB，∴=，=，PN=2PO．①当﹣＜t＜0时，PN= =yN=﹣t2+ t+1，PO= =﹣t，∴﹣ t2+ t+1=﹣2t，整理得：3t2﹣9t﹣2=0，解得：t1= ，t2= ．∵＞0，﹣＜＜0，.内江中考数学试题及答案分析41 精选文档∴t=，此时点 N 的坐标为〔 ， 〕；②当0＜t ＜2时，PN= =yN=﹣ t 2+ t+1，PO==t ，∴﹣ t 2+ t+1=2t ，整理得：3t 2﹣t ﹣2=0，解得：t3=﹣ ，t4=1．∵﹣＜0，0＜1＜2， ∴t=1，此时点N 的坐标为〔1，2〕． 综上所述：点N 的坐标为〔 ， 〕或〔1，2〕． 评论：本题主要考察了用待定系数法求二次函数的分析式、相像三角形的性质、解一元二次方程等知识，需要注意的是：用点的坐标表示有关线段的长度时，应先用坐标的绝对值表示线段的长度，而后依据坐标的正负去绝对值；解方程后要查验，不切合条件的解要舍去．.。

内江市二○二四年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷数学试题本试卷分为A卷和B卷两部分．A卷1至5页，满分100分；B卷6至8页，满分60分．全卷满分160分，考试时间120分钟．A卷（共100分）注意事项：1、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好．2、答A卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号．第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）1.下列四个数中，最大数是（）A.2-B.0C.1-D.3【答案】D【解析】【分析】本题考查了有理数大小比较的法则，①正数都大于0，②负数都小于0，③正数大于一切负数，④两个负数，绝对值大的其值反而小．根据有理数的大小比较选出最大的数即可．-<-<<，【详解】解：2103∴最大的数是3，故选：D．2.2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．【详解】解：A ．不是中心对称图形，故A 选项不合题意；B ．不是中心对称图形，故B 选项不合题意；C ．不是中心对称图形，故C 选项不合题意；D ．是中心对称图形，故D 选项合题意；故选：D ．3.下列单项式中，3ab 的同类项是（）A.33ab B.232a b C.22a b - D.3a b【答案】A【解析】【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可．【详解】解：A ．是同类项，此选项符合题意；B ．字母a 的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；C ．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；D ．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意．故选：A ．4.2023年我国汽车出口491万辆，首次超越日本，成为全球第一大汽车出口国，其中491万用科学记数法表示为（）A.44.9110⨯ B.54.9110⨯ C.64.9110⨯ D.74.9110⨯【答案】C【解析】【分析】本题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：491万64910000 4.9110==⨯，故选：C ．5.16的平方根是（）A.4- B.4 C.2 D.4±【答案】D【分析】题考查了平方根，熟记定义是解题的关键．根据平方根的定义计算即可．【详解】解：16的平方根是4±，故选：D ．6.下列事件时必然事件的是（）A.打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻B.从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级C.小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票D.从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》【答案】B【解析】【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断．【详解】解：A 、是随机事件，不符合题意，选项错误；B 、是必然事件，符合题意，选项正确；C 、是随机事件，不符合题意，选项错误；D 、是随机事件，不符合题意，选项错误；故选：B ．7.已知ABC 与111A B C △相似，且相似比为1:3，则ABC 与111A B C △的周长比为（）A.1:1B.1:3C.1:6D.1:9【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键．【详解】解：∵ABC 与111A B C △相似，且相似比为1:3，∴ABC 与111A B C △的周长比为1:3，故选B ．8.不等式34x x ≥-的解集是（）A.2x ≥- B.2x ≤- C.2x >- D.2x <-【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．【详解】解：移项得，34x x -≥-，合并同类项得，24x ≥-，系数化为1得，2x ≥-，故选：A ．9.如图，AB CD ∥，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，若64EFD ∠=︒，则BEF ∠的大小是（）A.136︒B.64︒C.116︒D.128︒【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．【详解】解：∵AB CD ∥，∴180BEF EFD ∠+∠=︒，∵64EFD ∠=︒，∴116180EFD BEF ∠︒=︒-，故选：C ．10.某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（）A.()0.6410.69x += B.()20.6410.69x +=C.()0.64120.69x += D.()20.64120.69x +=【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x ，根据2023年底森林覆盖率=2021年底森林覆盖率()21x ⨯+，据此即可列方程求解．【详解】解：根据题意，得()264%169%x +=即()20.6410.69x +=，故选：B ．11.如图所示的电路中，当随机闭合开关1S 、2S 、3S 中的两个时，灯泡能发光的概率为（）A.23 B.12 C.13 D.16【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可．【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关1S 和2S ，1S 和3S 时，灯泡能发光，画树状图如下：共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种，∴灯泡能发光的概率为4263=，故选：A ．12.如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为点B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O V 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O V 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，如此下去，……，若点B 的坐标为()0,3，则点37B 的坐标为（）．A.()180,135 B.()180,133 C.()180,135- D.()180,133-【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键．通过求出点A 的坐标，AB 、OA 、OB 的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可．【详解】 AB y ⊥轴，点B 的坐标为()0,3，∴3OB =，则点A 的纵坐标为3，代入34y x =-，得：4x =-，则点A 的坐标为()4,3-．∴3OB =，4AB =，22345OA =+=，由旋转可知，11223OB O B O B ===⋯=，1215OA O A O A ===⋯=，111224AB AB A B A B ====⋯=，∴11459OB OA AB =+=+=，1334512B B =++=，∴1335353712B B B B B B ==== ，∴()3711373719122252OB OB B B -=+=+⨯=．设点37B 的坐标为3,4a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则223732254OB a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得180a =-或180（舍去），则31354a -=，∴点37B 的坐标为()180,135-．故选C ．第Ⅱ卷（非选择题共64分）注意事项：1、第Ⅱ卷共3页，用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上．2、答题前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在函数1y x =中，自变量x 的取值范围是________；【答案】0x ≠【解析】【分析】本题考查函数的概念，根据分式成立的条件求解即可．熟练掌握分式的分母不等于零是解题的关键．【详解】解：由题意可得，0x ≠，故答案为：0x ≠．14.分解因式：25m m -=___________．【答案】()5mm -【解析】【分析】原式提取公因式即可得到结果．【详解】原式=()5mm -．故答案为：()5m m -．【点睛】本题考查了提公因式法．15.已知二次函数221y x x =-+的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，点()12,P y ，()23,Q y 在抛物线C 上，则1y ________2y （填“＞”或“＜”）；【答案】<【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线C 的解析式为()21y x =+，再利用二次函数图象的性质可得出答案．【详解】解：()22211y x x x =-+=-，∵二次函数221y x x =-+的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，∴抛物线C 的解析式为()21y x =+，∴抛物线开口向上，对称轴为=1x -，∴当1x >-时，y 随x 的增大而增大，∵23<，∴12y y <，故答案为：<．16.如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么tan ∠=EFC ________．【答案】43##113【解析】【分析】先根据矩形的性质得5BC AD ==，3CD AB ==，再根据折叠的性质得5AF AD ==，EF DE =，在Rt ABF 中，利用勾股定理计算出4BF =，则1CF BC BF =-=，设CE x =，则3DE EF x ==-，然后在Rt ECF 中根据勾股定理得到()22213x x +=-，解方程即可得到x ，进一步得到EF 的长，再根据正切数的定义即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴5BC AD ==，3CD AB ==，90B C ∠=∠=︒，∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处，∴5AF AD ==，EF DE =，∴在Rt ABF 中，4BF ==，∴541CF BC BF =-=-=，设CE x =，则3EF DE CD CE x==-=-∵在Rt ECF 中，222CE FC EF +=，∴()22213x x +=-，解得43x =，∴43CE =，∴4tan 3CE EFC FC ∠==．故答案为：43【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义．三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）17.（1）计算：()01222sin30---+︒（2）化简：()()222x x x+--【答案】（1）1；（2）4-【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及整式的混合运算．（1）本题主要考查了实数的运算，熟练掌握绝对值，零次幂和特殊三角函数是解决本题的关键．（2）本题主要考查了整式的混合运算，熟练地掌握平方差公式及合并同类项是解决本题的关键．【详解】解∶（1）原式11122=-+⨯111=-+，1=（2）原式224x x =--4=-18.如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，AD BE =，AC DF =，BC EF=（1）求证：ABC DEF ≌△△；（2）若55A ∠=︒，45E ∠=︒，求F ∠的度数．【答案】（1）见解析（2）80︒【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.（1）先证明AB DE =，再结合已知条件可得结论；（2）证明55A FDE ∠=∠=︒，再结合三角形的内角和定理可得结论.【小问1详解】证明：∵AD BE=∴AD DB BE DB +=+，即AB DE=∵AC DF =，BC EF=∴()SSS ABC DEF ≌【小问2详解】∵ABC DEF ≌△△，55A ∠=︒，∴55A FDE ∠=∠=︒，∵45E ∠=︒，∴18080F FDE E ∠=-∠-∠=︒19.某校为了解学生对“生命．生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行综合测试．测试结果分为A 级、B 级、C 级、D 级四个等级，并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是________；（2）扇形统计图中表示D 级的扇形圆心角的度数是________，并把条形统计图补充完整；（3）该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为A 级的学生大约有多少人？【答案】（1）40（2）72︒；补图见解析（3）90人【解析】【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）用B 级人数除以所占百分比即可求解；（2）用360︒乘以D 级所占百分比求解；用总人数乘以C 级所占百分比求出C 级的人数，然后补图即可；（3）用600乘以成绩为A 级的学生所占百分比即可．【小问1详解】解：本次抽样测试的学生人数为：1230%40÷=（名）答：答案为40；【小问2详解】解：扇形统计图中表示D 级的扇形圆心角的度数是：83607240⨯︒=︒C 级的人数为：4035%14⨯=（名）补充完整的条形统计图如图所示：；【小问3详解】解：66009040⨯=（人）答：该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为A 级的学生大约有90人．20.如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为()2,3-，点B 的坐标为()3,n（1）求这两个函数的表达式；（2）根据图象，直接写出关于x 的不等式k ax b x+<的解集【答案】（1）6y x =-，1y x =-+（2）20x -<<或3x >【解析】【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练地掌握待定系数法是解题的关键．（1）用待定系数法求反比例函数解析式以及一次函数解析式即可．（2）根据函数图像即可求解．【小问1详解】解：把A 的坐标()2,3-代入k y x=，得32k =-，解得6k =-，∴反比例函数的解析式为：6y x =-把B 的坐标()3n ,代入6y x=-，得623n =-=-∴B 的坐标()3,2-把()2,3A -，()3,2B -代入y ax b =+，得2332a b a b -+=⎧⎨+=-⎩解得：11a b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为：1y x =-+．【小问2详解】∵关于x 的不等式k ax b x +<的解集，即反比例函数k y x=的图像在一次函数y ax b =+的图像上方．∴根据图象，关于x 的不等式k ax b x +<的解集为：20x -<<或3x >．21.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．（1）求这两种粽子的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x 元()5270x ≤≤，y 表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y 关于x 的函数表达式并求出y 的最大值．【答案】（1）猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元（2）210120035000y x x =-+-或()210601000y x =--+，当60x =时，y 取得最大值为1000元【解析】【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题．（1）设豆沙粽每盒的进价为n 元，则猪肉粽每盒的进价为()20n +元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可；（2）根据题意可列出y 关于x 的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答．【小问1详解】解：设豆沙粽每盒的进价为n 元，则猪肉粽每盒的进价为()20n +元由题意得：5000300020n n=+解得：30n =经检验：30n =是原方程的解且符合题意∴2050n +=答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元．【小问2详解】解：设猪肉粽每盒售价x 元()5270x ≤≤，y 表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则()()()225018010521012003500010601000y x x x x x ⎡⎤=---=-+-=--+⎣⎦∵5270x ≤≤，100-<，∴当60x =时，y 取得最大值为1000元．B 卷（共60分）注意事项：加试卷共3页，请将答案直接填写在试卷上．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）22.已知实数a ，b 满足1ab =，那么221111a b +++的值为________．【答案】1【解析】【分析】先根据异分母的分式相加减的法则把原式化简，再把ab =1代入进行计算即可．【详解】解：221111a b +++()()22221111b a a b +++=++22222221a b a b a b ++=+++()2222221a b ab a b ++=+++∵1ab =∴原式222222222221112a b a b a b a b ++++===+++++．【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．23.如图，在ABC 中，40DCE ∠=︒，AE AC =，BC BD =，则ACB ∠的度数为________；【答案】100︒##100度【解析】【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差．根据三角形的内角和可得140CDE CED ∠+∠=︒，根据AE AC =，BC BD =得到ACE AEC ∠=∠，BCD BDC ∠=∠，从而140ACE BCD ∠+∠=︒，根据角的和差有ACB ACE BCD CDE ∠=∠+∠-∠，即可解答．【详解】解：∵40DCE ∠=︒，∴180140CDE CED DCE ∠+∠=︒-∠=︒，∵AE AC =，BC BD =，∴ACE AEC ∠=∠，BCD BDC ∠=∠，∴140ACE BCD CDE CED ∠+∠=∠+∠=︒∴14040100ACB ACE BCE ACE BCD CDE ∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：100︒24.一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数m 为“极数”，且33m 是完全平方数，则m =________；【答案】1188或4752【解析】【分析】此题考查列代数式解决问题，设出m 的代数式后根据题意得到代数式的取值范围是解题的关键，根据取值范围确定可能的值即可解答问题．设四位数m 的个位数字为x ，十位数字为y ，将m 表示出来，根据33m 是完全平方数，得到可能的值即可得出结论．【详解】解：设四位数m 的个位数字为x ，十位数字为y ，（x 是0到9的整数，y 是0到8的整数），∴()()()1000910099910010m y x y x y x =-+-++=--，∵m 是四位数，∴()9910010y x --是四位数，即()1000991001010000y x ≤--<，∵()31001033m y x =--，∴()101303100103033333y x £--<，∵33m 是完全平方数，∴()310010y x --既是3的倍数也是完全平方数，∴()310010y x --只有36，81，144，225这四种可能，∴33m 是完全平方数的所有m 值为1188或2673或4752或7425，又m 是偶数，∴1188m =或4752故答案为：1188或4752．25.如图，在ABC 中，60ABC ∠=︒，8BC =，E 是BC 边上一点，且2BE =，点I 是ABC 的内心，BI 的延长线交AC 于点D ，P 是BD 上一动点，连接PE 、PC ，则PE PC +的最小值为________．【答案】【解析】【分析】在AB 取点F ，使2BF BE ==，连接PF ，CF ，过点F 作FH BC ⊥于H ，利用三角形内心的定义可得出ABD CBD ∠=∠，利用SAS 证明BFP BEP ≌ ，得出PF PE =，则PE PC PF PC CF +=+≥，当C 、P 、F 三点共线时，PE PC +最小，最小值为CF ，利用含30︒的直角三角形的性质求出BH ，利用勾股定理求出FH ，CF 即可．【详解】解：在AB 取点F ，使2BF BE ==，连接PF ，CF ，过点F 作FH BC ⊥于H ，∵I 是ABC 的内心，∴BI 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，又BP BP =，∴()SAS BFP BEP ≌，∴PF PE =，∴PE PC PF PC CF +=+≥，当C 、P 、F 三点共线时，PE PC +最小，最小值为CF ，∵FH BC ⊥，60ABC ∠=︒，∴30BFH ∠=︒，∴112BH BF ==，∴FH ==7CH BC BH =-=，∴CF ==，∴PE PC +的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含30︒的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含30︒的直角三角形是解题的关键．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）26.已知关于x 的一元二次方程210x px -+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．（1）填空：12x x +=________，12x x =________；（2）求1211+x x ，111x x +；（3）已知221221x x p +=+，求p 的值．【答案】（1）p ，1；（2）212112p x x +=-，111x p x +=；（3）3p =．【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．（1）利用根和系数的关系即可求解；（2）1211+x x 变形为()21212122x x x x x x +-，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得21110x px -+=，即得1110x p x -+=，进而可得111x p x +=；（3）把方程变形为()21212221x x x x p +-=+，再把根和系数的关系代入得2221p p -=+，可得1p =-或3p =，再根据根的判别式进行判断即可求解．【小问1详解】解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ，故答案为：p ，1；【小问2详解】解：∵12x x p +=，121=x x ，∴()22212122121212122112x x x x x x p x x x x x x +-++===-，∵关于x 的一元二次方程210x px -+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ，∴21110x px -+=，∴1110x p x -+=，∴111x p x +=；【小问3详解】解：由根与系数的关系得，12x x p +=，121=x x ，∵221221x x p +=+，∴()21212221x x x x p +-=+，∴2221P p -=+，∴2230P p --=，解得1p =-或3p =，∴一元二次方程210x px -+=为210x x ++=或2310x x -+=，当1p =-时，2141130∆=-⨯⨯=-<，不合题意，舍去；当3p =时，()2Δ341150=--⨯⨯=>，符合题意；∴3p =．27.如图，AB 是O 的直径，C 是 BD 的中点，过点C 作AD 的垂线，垂足为点E ．（1）求证：ACE ABC ∽；（2）求证：CE 是O 的切线；（3）若2AD CE =，OA =，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）1π12-【解析】【分析】+（1）分别证明ACB AEC ∠=∠，BAC EAC ∠=∠，从而可得结论；（2）连接OC ，证明EAC ACO ∠=∠，可得OC AE ∥，再进一步可得结论；（3）连接DB 、OD ，证明四边形DECF 是矩形，可得DF EC =，再证明AD DB =，可得45DAB DBA ∠=∠=︒，可得290DOA DBA ∠=∠=︒，利用AOD AOD S S S =-△阴影部分扇形可得答案.【小问1详解】证明：∵AB 是O 的直径∴90ACB ∠=︒，又∵CE AD ⊥，∴90AEC ∠=︒，∴ACB AEC ∠=∠，∵C 是 BD 的中点，∴ BC D C =，∴BAC EAC ∠=∠，∴ACE ABC ∽；【小问2详解】证明：连接OC∵OA OC =，∴CAO ACO ∠=∠，∵BAC EAC ∠=∠，∴EAC ACO ∠=∠，∴OC AE ∥，∵CE AD ⊥，∴CE OC ⊥，∵OC 是O 的半径，∴CE 是O 的切线；【小问3详解】解：连接DB 、OD∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∵90AEC ECO ∠=∠=︒，∴四边形DECF 是矩形，∴DF EC =，∵OC 是半径，C 是 BD 的中点，∴DF FB =，OC DB ⊥，即22DB DF EC ==，∵2AD CE =，∴AD DB =，∴45DAB DBA ∠=∠=︒，∴290DOA DBA ∠=∠=︒，∴290π11π136022AOD AOD S S S ︒⨯=-=-=- 阴影部分扇形【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，熟练地掌握相似三角形的判定和切线的判定是解决本题的关键。

四川省内江市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（•内江）下面四个数中比﹣5小的数是（）A．1 B．0 C．﹣4 D．﹣6【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣5＜1，﹣5＜0，﹣5＜﹣4，﹣5＞﹣6，∴四个数中比﹣5小的数是﹣6．故选：D．2．（3分）（•内江）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们还有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响．2.3μm用科学记数法可表示为（）A．23×10﹣5m B．2.3×10﹣5m C．2.3×10﹣6m D．0.23×10﹣7m【解答】解：2.3μm=2.3×0.000001m=2.3×10﹣6m，故选：C．3．（3分）（•内江）为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，下列抽取老人的方法最合适的是（）A．随机抽取100位女性老人B．随机抽取100位男性老人C．随机抽取公园内100位老人D．在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人【解答】解：为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，在城市和乡镇各选10个点，每个点任选5位老人，这种抽取老人的方法最合适．故选D．4．（3分）（•内江）如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（）A．19°B．38°C．42°D．52°【解答】解：过C作CD∥直线m，∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，则∠a的余角是52°．故选D．5．（3分）（•内江）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：故选A．6．（3分）（•内江）下列图形：平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，等腰三角形不是中心对称图形，只是轴对称图形，所以，只是轴对称图形的有1个．故选A．7．（3分）（•内江）某中学对该校九年级45名女学生进行了一次立定跳远测试，成绩如表：这些立定跳远成绩的中位数和众数分别是（）A．9，9 B．15，9 C．190，200 D．185，200【解答】解：45名女学生的立定跳远测试成绩的中位数是最中间第23个数据190，众数是出现次数最多的数据200；故选：C．8．（3分）（•内江）下列计算正确的是（）A．3x2y+5xy=8x3y2B．（x+y）2=x2+y2C．（﹣2x）2÷x=4x D．+=1【解答】解：（A）3x2y与5xy不是同类项，故A不正确；（B）原式=x2+2xy+y2，故B不正确；（C）原式=4x2÷x=4x，故C正确；（D）原式=﹣=﹣1，故D不正确；故选（C）9．（3分）（•内江）端午节前夕，某超市用1680元购进A、B两种商品共60件，其中A型商品每件24元，B型商品每件36元．设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组：．故选：B．10．（3分）（•内江）不等式组的非负整数解的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵解不等式①得：x≥﹣，解不等式②得：x＜5，∴不等式组的解集为﹣≤x＜5，∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个，故选B．11．（3分）（•内江）如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y 轴上，点B的坐标为（0，3），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（）A．（，）B．（2，） C．（，）D．（，3﹣）【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=30°，点B的坐标为（0，3），∴AC=OB=3，∠CAB=30°，∴BC=AC•tan30°=3×=3，∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，∴∠B AD=30°，AD=3，过点D作DM⊥x轴于点M，∵∠CAB=∠BAD=30°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD=，∴AM=3×cos30°=，∴MO=﹣3=，∴点D的坐标为（，）．故选：A．12．（3分）（•内江）如图，过点A0（2，0）作直线l：y=x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段AA2107的长为（）A．（） B．（）C．（）D．（）【解答】解：由y=x，得l的倾斜角为30°，点A坐标为（2，0），∴OA=2，∴OA1=OA=，OA2=OA1═，OA3=OA2═，OA4=OA3═，…，∴OAn=（）n OA=2（）n．∴OA=2×（），AA2107的长×2×（）=（），故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（•内江）分解因式：3x2﹣18x+27= 3（x﹣3）2．【解答】解：3x2﹣18x+27，=3（x2﹣6x+9），=3（x﹣3）2．故答案为：3（x﹣3）2．14．（5分）（•内江）在函数y=+中，自变量x的取值范围是x≥2且x≠3 ．【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0且x﹣3≠0，解得：x≥2且x≠3．故答案为x≥2且x≠3．15．（5分）（•内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是π﹣．．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，∴CE=，∵OC=，∴OE=，∴∠OCE=30°，∴∠CO D=120°，∴图中阴影部分面积=﹣×3×=π﹣，故答案为：π﹣．16．（5分）（•内江）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE= ．【解答】解：如图，连接EF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB=90°，∠DCP=45°，∴AM=BM=1，在Rt△ADM中，DM===，∵AM∥CD，∴==，∴DP=，∵PF=，∴DF=DP=PF=，∵∠EDF=∠PDC，∠DFE=∠DCP，∴△DEF∽△DPC，∴=，∴=，∴DE=，∴CE=CD﹣DE=2﹣=．故答案为．三、解答题（共5小题，满分44分）17．（7分）（•内江）计算：﹣1﹣丨1﹣丨+×（）﹣2+（﹣π）0．【解答】解：原式=﹣1﹣|1﹣×|+2×4+1=﹣1﹣0+8+1=8．18．（9分）（•内江）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠1=∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∵AD⊥BD，∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，∴∠B=∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．19．（9分）（•内江）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：（1）这项被调查的总人数是多少人？（2）试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；（3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．【解答】解：（1）调查的总人数是：19÷38%=50（人）；（2）A组所占圆心角的度数是：360°×=108°；C组的人数有：50﹣15﹣19﹣4=12（人），补全条形图如图所示：（3）画树状图，共有12个可能的结果，恰好选中甲的结果有6个，∴P（恰好选中甲）==．20．（9分）（•内江）如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）【解答】解：由题知，∠DBC=60°，∠EBC=30°，∴∠DBE=∠DBC﹣∠EBC=60°﹣30°=30°．又∵∠BCD=90°，∴∠BDC=90°﹣∠DBC=90°﹣60°=30°．∴∠DBE=∠BDE．∴BE=DE．设EC=xm，则DE=BE=2EC=2xm，DC=EC+DE=x+2x=3xm，BC===x，由题知，∠DAC=45°，∠DCA=90°，AB=20，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC．∴x+60=3x，解得：x=30+10，2x=60+20．答：塔高约为（60+20）m．21．（10分）（•内江）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．【解答】解：（1）把A（﹣4，2）代入y=，得m=2×（﹣4）=﹣8，所以反比例函数解析式为y=﹣，把B（n，﹣4）代入y=﹣，得﹣4n=﹣8，解得n=2，把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得，解得，所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），∴S△AOB =S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；（3）由图可得，不等式kx+b﹣＞0的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．四、填空题（共4小题，每小题6分，满分24分）22．（6分）（•内江）若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣= ﹣2020 ．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，∴x2﹣2x=1，2x3﹣7x2+4x﹣=2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣，=2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣，=6x﹣3x2﹣，=﹣3（x2﹣2x）﹣=﹣3﹣=﹣2020，故答案为：﹣2020．23．（6分）（•内江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM ⊥AB，M为垂足，AM=AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是 1 ．【解答】解：如图所示：延长BA、CD，交点为E．∵CM平分∠BCD，CM⊥AB，∴MB=ME．又∵AM=AB，∴AE=AB．∴AE=BE．∵AD∥BC，∴△EAD∽△EBC．∴=．∴S四边形ADBC =S△EBC=．∴S△EBC=．∴S△EAD=×=．∴S四边形AMCD =S△EBC﹣S△EAD=﹣=1．故答案为：1．24．（6分）（•内江）设α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，则= 47 ．【解答】解：方程（x+1）（x﹣4）=﹣5可化为x2﹣3x+1=0，∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，∴α+β=3，αβ=1，∴（α+β）2=α2+β2=7，（α2+β2）2=α4+β4=47，∴==47，故答案为：47．25．（6分）（•内江）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= 4．【解答】解：作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=4，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB ∥PC ， ∴四边形ABCP 是平行四边形， ∴PA=BC ， ∴PA+BQ=CB+BQ=QC===4．故答案为4五、解答题（共3小题，满分36分） 26．（12分）（•内江）观察下列等式： 第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a 6== ﹣ ；（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：a n = = ﹣；（3）a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6= （得出最简结果）；（4）计算：a 1+a 2+…+a n ．【解答】解：（1）由题意知，a==﹣，6故答案为：，﹣；==﹣，（2）an故答案为：，﹣；（3）原式=﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=﹣=，故答案为：；（4）原式=﹣+﹣+…+﹣=﹣=．27．（12分）（•内江）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE（1）求证：AC2=AE•AB；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．【解答】证明：（1）如图1，连接BC，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴=，∴∠A=∠ABC，∵EC=AE，∴∠A=∠ACE，∴∠ABC=∠ACE，∵∠A=∠A，∴△AEC∽△ACB，∴，∴AC2=AE•AB；（2）PB=PE，理由是：如图2，连接OB，∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP=90°，∴∠PBN+∠OBN=90°，∵∠OBN+∠COB=90°，∴∠PBN=∠COB，∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，∠COB=2∠A，∴∠PEB=∠COB，∴∠PEB=∠PBN，∴PB=PE；（3）如图3，∵N为OC的中点，∴ON=OC=OB，Rt△OBN中，∠OBN=30°，∴∠COB=60°，∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，∠A=∠COB=30°，∴∠PEB=2∠A=60°，∠ABP=90°﹣30°=60°，∴△PBE是等边三角形，Rt△OBN中，BN==2，∴AB=2BN=4，设AE=x，则CE=x，EN=2﹣x，Rt△CNE中，x2=22+（2﹣x）2，x=，∴BE=PB=4﹣=，Rt△OPB中，OP===，∴PQ=﹣4=．则线段PQ的最小值是．28．（12分）（•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y 轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）、B（4，0）、点C（0，3），分别代入y=ax2+bx+c（a≠0），得，解得，所以该抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+3；（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．∴MB=6﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，3）．在Rt△BOC中，BC==5．如图1，过点N作NH⊥AB于点H．∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴，即=，∴HN=t．=MB•HN=（6﹣3t）•t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+，∴S△MBN当△PBQ存在时，0＜t＜2，∴当t=1时，=．S△PBQ最大答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；（3）如图2，在Rt△OBC中，cos∠B==．设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．∴MB=6﹣3t．当∠MNB=90°时，cos∠B==，即=，化简，得17t=24，解得t=，当∠BMN=90°时，cos∠B==，化简，得19t=30，解得t=，综上所述：t=或t=时，△MBN为直角三角形．。

2022年四川省内江市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣6的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．D．2．某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是（）A．34 B．33 C．32.5 D．313．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a3）2＝a6C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．x6÷x3＝x24．2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列说法错误的是（）A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查C．一组数据的方差越小，它的波动越小D．样本中个体的数目称为样本容量6．如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（）A．跟B．党C．走D．听7．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（）A．2 B．4 C．6 D．88．如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0 9．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt △ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（）A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位10．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（）A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣2211．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．4，B．3，πC．2，D．3，2π12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）函数的自变量x的取值范围是．14．（5分）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于．15．（5分）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．16．（5分）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）17．（8分）（1）计算：+|（﹣）﹣1|﹣2cos45°；（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝﹣，b＝+4．18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．19．（9分）为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛．数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表：分数段频数频率74.5﹣2 0.0579.58 n79.5﹣84.584.5﹣12 0.389.5m0.3589.5﹣94.594.5﹣4 0.199.5（1）表中m＝，n＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．20．（9分）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB ＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）22．（6分）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝．23．（6分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是．24．（6分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且+＝x12+2x2﹣1，则k的值为．25．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）26．（12分）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）35 30租金（元/辆）400 320学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？（3）学校租车总费用最少是多少元？27．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；（2）若＝2，求的值；（3）若MN∥BE，求的值．28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．2022年四川省内江市中考数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣6的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．D．【分析】根据相反数的定义，即可解答．【解答】解：﹣6的相反数是6，故选：A．【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．2．某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是（）A．34 B．33 C．32.5 D．31【分析】根据算术平均数的计算方法进行计算即可．【解答】解：这组数据的平均数为：＝33（辆），故选：B．【点评】本题考查实数平均数，掌握算术平均数的计算方法是正确计算的关键．3．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a3）2＝a6C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．x6÷x3＝x2【分析】根据合并同类项的法则，幂的乘方的运算法则以及同底数幂除法的运算法则计算并作出判断即可．【解答】解：A．a2和a3不是同类项，不能合并，故不符合题意；B．（a3）2＝a6，故符合题意；C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故不符合题意；D．x6÷x3＝x6﹣3＝x3，故不符合题意．故选：B．【点评】本题综合考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键，属于基础题型．4．2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．【解答】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，C选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选：C．【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握它们的定义是解答本题的关键．5．下列说法错误的是（）A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查C．一组数据的方差越小，它的波动越小D．样本中个体的数目称为样本容量【分析】根据随机事件的定义，抽样调查和全面调查的特点，方差的特点，样本容量的定义解答即可．【解答】解：A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件，故A选项不符合题意；B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用全面调查调查，故B选项符合题意；C．一组数据的方差越小，它的波动越小，故C选项不符合题意；D．样本中个体的数目称为样本容量，故D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了随机事件，抽样调查和全面调查，方差的，样本容量，熟练掌握相关的定义和特点是解答本题的关键．6．如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（）A．跟B．党C．走D．听【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“话”与“走”是对面，故答案为：C．【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．7．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由平行四边形的得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，再证∠CBM＝∠CMB，则MC＝BC＝8，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，∴∠ABM＝∠CMB，∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CBM＝∠CMB，∴MC＝BC＝8，∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明MC＝BC是解题的关键．8．如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0 【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：由题意得：a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴1﹣2a＞1﹣2b，∴A选项的结论成立；∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴B选项的结论不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴|a|＜|b|，∴a+b＞0，∴C选项的结论不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴|a|＜|b|，∴|a|﹣|b|＜0，∴D选项的结论不成立．故选：A．【点评】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt △ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（）A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．【解答】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．故选：D．【点评】本题考查的是坐标与图形变化，旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（）A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22【分析】设点P（a，b），则Q（a，），依据已知条件利用待定系数法解答即可．【解答】解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝﹣，∴PQ＝PM+MQ＝b﹣．∵点P在反比例函数y＝的图象上，∴ab＝8．∵S△POQ＝15，∴PQ•OM＝15，∴×a（b﹣）＝15．∴ab﹣k＝30．∴8﹣k＝30，解得：k＝﹣22．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．4，B．3，πC．2，D．3，2π【分析】连接OB、OC，根据正六边形的性质求出∠BOC，根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，根据垂径定理求出BM，根据勾股定理求出OM，根据弧长公式求出的长．【解答】解：连接OB、OC，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC为等边三角形，∴BC＝OB＝6，∵OM⊥BC，∴BM＝BC＝3，∴OM＝＝＝3，的长为：＝2π，故选：D．【点评】本题考查的是正多边形和圆、弧长的计算，正确求出正六边形的中心角是解题的关键．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，∴a＞0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，∴①正确．∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②错误．∵抛物线对称轴x＝﹣＞1，a＞0，∴b＜﹣2a，∵a+b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴2a﹣c＞a＞0，∴③正确．如图：设y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，故④错误．故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）函数的自变量x的取值范围是x≥3 ．【分析】根据被开方数非负列式求解即可．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14．（5分）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于100°．【分析】根据圆周角定理解答即可．【解答】解：由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC＝50°，∴∠AOC＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15．（5分）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝1，解得：x＝．经检验，x＝是原方程的根，∴x＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了解分式方程，本题是新定义型题目，准确理解新规定并熟练应用是解题的关键．16．（5分）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝48 ．【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．【点评】本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理和乘法公式表示三个正方形的面积是求解本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）17．（8分）（1）计算：+|（﹣）﹣1|﹣2cos45°；（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝﹣，b＝+4．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案；（2）先根据分式的运算法则化简分式，再代入求值．【解答】解：（1）原式＝×2+2﹣2×＝+2﹣＝2．（2）原式＝[+]•＝•＝．当a＝﹣，b＝+4时，原式＝．【点评】本题考查了二次根式的运算，特殊角的函数值，负指数次幂的运算，以及分式的化简求值，正确熟练的运算是解题的关键．18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABD ＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．19．（9分）为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛．数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表：分数段频数频率2 0.0574.5﹣79.58 n79.5﹣84.512 0.384.5﹣89.5m0.3589.5﹣94.54 0.194.5﹣99.5（1）表中m＝14 ，n＝0.2 ；（2）请补全频数分布直方图；（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．【分析】（1）由样本容量乘以频率得出m的值，再由频率的定义求出n的值即可；（2）由（1）的结果，补全频数分布直方图即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）m＝40×35%＝14，n＝8÷40＝0.2，故答案为：14，0.2；（2）补全频数分布直方图如下：（3）∵成绩在94.5分以上的选手有4人，男生和女生各占一半，∴2名是男生，2名是女生，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，∴确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．【点评】此题考查了树状图法求概率、频数分布表和频数分布直方图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（9分）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）【分析】（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，则DE＝（x+60）米，先利用平角定义求出∠ACE＝45°，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，先利用平角定义求出∠BCF＝60°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝30+30，经检验：x＝30+30是原方程的根，∴AE＝（30+30）米，∴河的宽度为（30+30）米；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），∴古树A、B之间的距离为20米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，证明△AOF≌△COF（SAS），由全等三角形的判定与性质得出∠OAF ＝∠OCF＝90°，由切线的判定可得出结论；（2）由直角三角形的性质求出∠AOF＝30°，可得出AE＝OA＝3，则可求出答案；（3）证明△AOC是等边三角形，求出∠AOC＝60°，OC＝6，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．【解答】解：（1）直线AF与⊙O相切．理由如下：连接OC，∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠AOF＝∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴AF⊥OA，又∵OA为圆O的半径，∴AF为圆O的切线；（2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF＝∠COF，∵OA＝OC，∴E为AC中点，即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，∴tan∠AOF＝，∴∠AOF＝30°，∴AE＝OA＝3，∴AC＝2AE＝6；（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，OC＝6，∵∠OCP＝90°，∴CP＝OC＝6，∴S△OCP＝OC•CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，∴阴影部分的面积为S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．【点评】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）22．（6分）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a+2）（a﹣2）．【分析】先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．23．（6分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点P（2，3），与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点Q（m，n）．若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是＜m＜2 ．【分析】过点P分别作x轴，y轴的平行线，与双曲线分别交于点A，B，利用解析式分别求得A，B坐标，依据题意确定点Q的移动范围，从而得出结论．【解答】解：过点P作PA∥x轴，交双曲线与点A，过点P作PB∥y轴，交双曲线与点B，如图，∵P（2，3），反比例函数y＝，∴A（，3），B（2，1）．∵一次函数y的值随x值的增大而增大，∴点Q（m，n）在A，B之间，∴＜m＜2．故答案为：＜m＜2．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法，反比例函数的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，确定点Q的移动范围是解题的关键．24．（6分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且+＝x12+2x2﹣1，则k的值为 2 ．【分析】根据x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，把+＝x12+2x2﹣1变形再整体代入可得＝4﹣k，解出k的值，并检验即可得k＝2．【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵+＝x12+2x2﹣1，∴＝2（x1+x2）﹣k，∴＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；∴k＝2，故答案为：2．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，从而根据已知得到关于k的方程，注意最后要由求得的k值检验原方程是否有实数根．25．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是10 ．【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，则四边形EFGC是平行四边形，得CE＝FG，则AF+CE＝AF+FG，可知当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，利用勾股定理求出AG的长即可．【解答】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，∵EF∥CG，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线将AF+CE的最小值转化为AG的长是解题的关键．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）26．（12分）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）35 30租金（元/辆）400 320学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？（3）学校租车总费用最少是多少元？【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，可得：30x+7＝31x﹣1，即可解得参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；（2）根据每位老师负责一辆车的组织工作，知一共租8辆车，设租甲型客车m辆，可得：，解得m的范围，解得一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；（3）设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，由一次函数性质得学校租车总费用最少是2800元．【解答】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，根据题意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，∴30x+7＝30×8+7＝247，答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；（2）师生总数为247+8＝255（人），∵每位老师负责一辆车的组织工作，∴一共租8辆车，设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，根据题意得：，解得3≤m≤5.5，∵m为整数，∴m可取3、4、5，∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，由（2）知：3≤m≤5.5，设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，∵80＞0，∴w随m的增大而增大，∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），答：学校租车总费用最少是2800元．【点评】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式．27．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；（2）若＝2，求的值；（3）若MN∥BE，求的值．【分析】（1）根据矩形的性质，利用AAS证明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用点E为CD的中点，即可证明结论；（2）利用△BMF∽△ECF，得，从而求出BM的长，再利用△ANM∽△BMC，得，求出AN的长，可得答案；（3）首先利用同角的余角相等得∠CBF＝∠CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，得，可得BM的长，由（2）同理可得答案．【解答】（1）证明：∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD∴∠BMF＝∠ECF，。