[精品]2019届高考数学二轮复习寒假作业一注意解题的速度文48

2019届高三数学寒假作业本答案查字典数学网整理了2019届高三数学寒假作业本答案，希望为你我都带来好运，祝大家新年快乐，万事如意!一、选择题，每小题只有一项是正确的。

1.已知集合，则( RA)B = ( )A. B. C. D.2.R上的奇函数满足，当时，，则A. B. C. D.3.如果对于正数有，那么 ( )A.1B.10C.D.4.已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q=()A. 1或﹣B. 1C. ﹣D. ﹣25.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么，这个圆心角所对的弧长是 ()A.2B.sin 2C.2sin 1D.2sin 16.将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A. y=sin(2x﹣ )B. y=sin(2x﹣ )C. y=sin( x﹣ )D. y=sin( x﹣ )7.如图，菱形的边长为， , 为的中点，若为菱形内任意一点(含边界)，则的最大值为A. B. C. D.98.设是正数，且，则A. B.C. D.9.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为( )A. B. C. D.二、填空题10.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是.11.已知，为平面，m，n为直线，下列命题：①若m∥n，n∥，则m∥ ②若m，m，则∥③若=n，m∥，m∥，则m∥n; ④若，m，n，则mn.其中是真命题的有▲ .(填写所有正确命题的序号)12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2A，cosA= ，b=5，则△ABC的面积为.13.(5分)(2019陕西)设f(x)= 若f(f(1))=1，则a= .三、计算题14.(本题满分14分)本大题共有2小题，第1小题7分，第2小题7分。

寒假作业(二十九) 小题限时保分练——贵阳质检试题节选(注意命题点分布)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B ∵A ∩B 有4个子集，∴A ∩B 中有2个不同的元素，∴a ∈A ，∴a 2－3a <0，解得0<a <3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)．2．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－ia ＋i 为纯虚数，则复数z ＝2a ＋2i 的模等于( )A. 2B.11C. 3D. 6解析：选C 由题意，设2－ia ＋i＝t i(t ≠0)，则2－i ＝－t ＋ta i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝2，ta ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－2，a ＝12，∴z ＝1＋2i ，|z |＝ 3.3．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D 由题可知b <a <0，所以A 、B 、C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.4．已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且a ⊥(a －2b )，则|b |＝( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选B 由a ⊥(a －2b )得，a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝0，则|a －b |＝ a －b2＝ |a |2－2a ·b ＋|b |2＝|b |＝2，选项B 正确．5．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( )42C.72D ．1解析：选A 设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n n －2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，又{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相同，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝ d2，a 1－d 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝12，a 1＝14，∴a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝114.6．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0，|x ＋y |≤1，使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，则z 1＝ax＋y ＋1的最小值为( )A ．0B ．－2C ．1D ．－1解析：选A 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，∴－a ＝1，a ＝－1，∴当x ＝1，y ＝0或x ＝0，y ＝－1时，z ＝ax ＋y ＝－x ＋y 有最小值－1，∴ax ＋y ＋1的最小值是0.7．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A.433B.5333解析：选B 由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥P ­ABCDE ， 所以体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＋22×3＝533.8．如图所示的程序框图，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18解析：选B 依次运行程序框图中的语句可得，n ＝2，x ＝2t ，a ＝1；n ＝4，x ＝4t ，a ＝3；n ＝6，x ＝8t ，a ＝3.此时结束循环，输出的a x ＝38t≥3，则8t ≥1，即t ≥18.9．已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4 C.13D.15解析：选C 由题意，设|AB |＝3k ，|BF 2|＝4k ，|AF 2|＝5k ，则BF 1⊥BF 2，|AF 1|＝|AF 2|－2a ＝5k －2a ，又|BF 1|－|BF 2|＝5k －2a ＋3k －4k ＝4k －2a ＝2a ，∴a ＝k ，∴|BF 1|＝6a ，|BF 2|＝4a ，又|BF 1|2＋|BF 2|2＝|F 1F 2|2，即13a 2＝c 2，∴e ＝c a＝13. 10．三棱锥P ­ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球表面积为( )A.25π3B.25π232解析：选D 由题可知，△ABC 中AC 边上的高为15－9＝6，球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ，设DA ＝DB ＝DC ＝x ，∴x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝564，∴R 2＝x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫PC 22＝758＋1＝838(其中R 为三棱锥外接球的半径)，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝83π2.11.一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数y ＝2x1＋x 2(x >0)的图象上，如图，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是( )A ．π B.π3 C.π4D.π2解析：选A ∵y ＝2x 1＋x2(x >0)，∴yx 2－2x ＋y ＝0，将其视为关于x 的一元二次方程，设x 1，x 2是其两根，∴绕x 轴旋转而成的几何体的体积V ＝πy 2|x 1－x 2|＝πy 2·4－4y2y＝2π14－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－122≤π，当且仅当y 2＝12，即y ＝22时等号成立．12．已知函数f (x )＝x x，关于x 的不等式f 2(x )＋af (x )>0只有2个整数解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，ln 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 2，－13ln 6C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－ln 2，－13ln 6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13ln 6，ln 2解析：选 C f ′(x )＝12x·2·x －xx2＝1－x x 2(x >0)，令f ′(x )＝0，得x＝e 2，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞上单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＝2e，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,1<e 2<2，不等式f 2(x )＋af (x )>0只有2个整数解，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a <f ，－a <f ，－a ≥f，解得－ln 2<a ≤－13ln 6，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－ln 2，－13ln 6. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分)13．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2 cm 的圆，中间有边长为0.5 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为________．解析：由题意得，所求概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122π＝14π. 答案：14π14．若⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－2n展开式中的常数项是70，则n ＝________.解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－2n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2n ，∴T r ＋1＝C r 2n (－1)r x 2n －2r，令2n －2r ＝0，即n ＝r ，∴C n2n ＝70， 又C 48＝70，∴n ＝4. 答案：415．已知点A (0,2)，抛物线C 1：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 1相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值等于________．解析：过点M 作准线的垂线，垂足为H ， 则|FM |＝|MH |， ∵|FM ||MN |＝|MH ||MN |＝15， ∴tan ∠NMH ＝2，即k MF ＝－2， ∴2－00－a 4＝－2，解得a ＝4. 答案：4 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－nsin πx2＋2n ，x ∈[2n ，2n ＋，－n ＋1sin πx 2＋2n ＋2，x ∈[2n ＋1，2n ＋(n ∈N)，若数列{a m }满足a m ＝f (m )(m ∈N *)，数列{a m }的前m 项和为S m ，则S 105－S 96＝________.解析：∵S 105＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 105，S 96＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 96，∴S 105－S 96＝a 97＋a 98＋a 99＋a 100＋a 101＋a 102＋a 103＋a 104＋a 105＝f (97)＋f (98)＋f (99)＋f (100)＋f (101)＋f (102)＋f (103)＋f (104)＋f (105)＝(－1)49×sin97π2＋2×48＋2＋(－1)49×sin 98π2＋2×49＋(－1)50×sin 99π2＋2×49＋2＋(－1)50×sin 100π2＋2×50＋(－1)51×sin101π2＋2×50＋2＋(－1)51×sin 102π2＋2×51＋(－1)52×s in 103π2＋2×51＋2＋(－1)52×sin 104π2＋2×52＋(－1)53×sin 105π2＋2×52＋2＝97＋98＋99＋100＋101＋102＋103＋104＋105＝909. 答案：909。

小题提速练(四)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋3x －4)}，B ＝{y |y ＝21－x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2] B ．(1，2] C ．[2，4)D ．(－4，0)解析：选B.∵A ＝{x |x 2＋3x －4＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－4}，B ＝{y |0＜y ≤2}，∴A ∩B ＝(1，2]，故选B.2．已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A.12 B ．22C. 2D ．1解析：选B.解法一：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以z ＝1＋i （1－i ）2＝1＋i －2i ＝－12＋12i ，所以|z |＝22，故选B. 解法二：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋i （1－i ）2＝|1＋i||1－i|2＝22，故选B.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝ln|x |C ．y ＝cos xD ．y ＝2－|x |解析：选D.显然函数y ＝2－|x |是偶函数，当x ＞0时，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在区间(0，＋∞)上是减函数．故选D. 4．命题“∀x ＞0，xx －1＞0”的否定是( )A ．∃x ＜0，x x －1≤0B ．∃x ＞0，0≤x ≤1C ．∀x ＞0，x x －1≤0D ．∀x ＜0，0≤x ≤1解析：选B.∵xx －1＞0，∴x ＜0或x ＞1，∴xx －1＞0的否定是0≤x ≤1，∴命题的否定是∃x ＞0，0≤x ≤1，故选B.5．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则分别应抽取老年人、中年人、青年人的人数是( )A ．7，11，18B ．6，12，18C ．6，13，17D ．7，14，21解析：选D.因为该单位共有27＋54＋81＝162(人)，样本容量为42，所以应当按42162＝727的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，且分别应抽取的人数是7、14、21，选D.6．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成的三棱锥C ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A.12 B ．22C.24D ．14解析：选D.由三棱锥C ABD 的正视图、俯视图得三棱锥C ABD 的侧视图为直角边长是22的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥C ABD 的侧视图的面积为14，故选D.7．已知平面上的单位向量e 1与e 2的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12 B ．3 C.32D ．34解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1，0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x －3y3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为S ＝12×1×32＝34，故选D.8．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0，⎭⎪⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，若方程f (x )＝a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－62，2 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫62，2 解析：选B.由函数f (x )的部分图象可得，T 4＝7π12－π3＝π4，∴函数f (x )的最小正周期为π，最小值为－ 2，所以A ＝ 2，ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2的坐标代入得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，因为|φ|≤π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.若f (x )＝a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上有两个不等的实根，即在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2函数f (x )的图象与直线y ＝a 有两个不同的交点，结合图象(略)，得－22≤a ＜ 2，故选B. 9．设{a n }是公比q ＞1的等比数列，若a 2 016和a 2 017是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 018＋a 2 019＝( )A ．18B ．10C ．25D ．9解析：选A.∵a 2 016，a 2 017是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＋a 2 017＝2，a 2 016·a 2 017＝34，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016（1＋q ）＝2，a 22 016q ＝34， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝12，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝32，q ＝13，∵q ＞1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝12，q ＝3， ∴a 2 018＋a 2 019＝a 2 016(q 2＋q 3)＝18，故选A.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24 B ．22 C.28D ．216解析：选C.设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎪⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝± 2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立，得⎩⎨⎧y ＝－ 2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C.11．在球O 内任取一点P ，则点P 在球O 的内接正四面体中的概率是( ) A.112π B ．312π C.2 39πD ．36π解析：选C.设球O 的半径为R ，球O 的内接正四面体的棱长为 2a ，所以正四面体的高为233a ，所以R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 3－R 2，即3a ＝2R ，所以正四面体的棱长为26R 3，底面面积为12×26R 3×2R ＝233R 2，高为4R 3，所以正四面体的体积为8 327R 3，又球O 的体积为4π3R 3，所以P 点在球O 的内接正四面体中的概率为2 39π，故选C. 12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜2，a n ＝f (n )(n ∈N *)，若数列{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2解析：选B.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜2，∴a n ＝f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）n ，n ≥2，－12，n ＝1，∵数列{a n }是单调递减数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，－12＞2a －4，解得a ＜74，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是________________________________________________________________________．解析：记题中圆的圆心为O ，则O (1，0)，因为P (2，－1)是弦AB 的中点，所以直线AB 与直线OP 垂直，易知直线OP 的斜率为－1，所以直线AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.答案：x －y －3＝014．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：解析：设该货运员运送甲种货物x 件，乙种货物y 件，获得的利润为z 元，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤110，10x ＋20y ≤100，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤11，x ＋2y ≤10，x ∈N ，y ∈N ，z ＝8x ＋10y ，作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，结合图象可知，当直线z ＝8x ＋10y 经过点A (4，3)时，目标函数z ＝8x ＋10y 取得最小值，z min ＝62，所以获得的最大利润为62元．答案：6215．已知0＜x ＜32，则y ＝2x ＋93－2x的最小值为________．解析：解法一：∵y ＝2x ＋93－2x ＝5x ＋6x （3－2x ），设5x ＋6＝t ，则x ＝t －65，∵0＜x ＜23，∴6＜t ＜283，∴y ＝5x ＋6x （3－2x ）＝25t －2t 2＋39t －162＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，记f (t )＝t ＋81t ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，易知f (t )在(6，9)上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫9，283上是增函数，∴当t ＝9时函数f (t )＝t ＋81t取得最小值，最小值为18，∴当t ＝9时函数y ＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39取得最小值，最小值为253.解法二：y ＝42x ＋93－2x ＝13[2x ＋(3－2x )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫42x ＋93－2x ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋18x 3－2x ＋4（3－2x ）2x ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋2 18x 3－2x ·4（3－2x ）2x ＝253(当且仅当18x 3－2x ＝4（3－2x ）2x 即x ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时取等号)．答案：25316．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞2恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x 1≠x 2，所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2表示函数f (x )图象上任意两点的连线的斜率，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞2恒成立，则f ′(x )＝x ＋ax≥2(a ＞0)对任意正实数x 恒成立，又x ＋a x≥2 a ，所以2 a ≥2，所以a ≥1.答案：a ≥1。

试卷知识归纳整理第一轮1月28日-29日《云南师大附中2019适应性考试》函数、导数及其应用第二轮1月30日-1月31日《湖北八校2019届高三第一次联考》三角函数与解三角形第三轮2月1日-2月2日摸底卷（一）平面向量、数列第四轮2月3日-2月4日摸底卷（二）立体几何第五轮2月7日-2月8日摸底卷（三）解析几何第六轮2月9日-2月10日摸底卷（四）不等式、坐标系与参数方程试卷知识归纳整理第一轮1月28日-29日《云南师大附中2019适应性考试》函数、导数及其应用第二轮1月30日-1月31日《湖北八校2019届高三第一次联考》三角函数与解三角形第三轮2月1日-2月2日摸底卷（一）平面向量、数列第四轮2月3日-2月4日摸底卷（二）立体几何第五轮2月7日-2月8日摸底卷（三）解析几何把握逆袭最佳时机，你的数学定会上一个档次，别犹豫，赶快行动起来！作业任务轮次轮次时间时间完成情况完成情况2019届高三文科数学寒假作业任务及要求 (2019年1月28日—2月10日)把握逆袭最佳时机，你的数学定会上一个档次，别犹豫，赶快行动起来！作业任务要求：1.两天一轮次，每天1.5-2小时，认真独立完成试卷，整理好基础知识和方法；2.每轮次第二天晚上八点之前将作业拍照发给小组长，小组长打分统计后汇报老师。

你有多自律，离2019年六月的成功就有多近！2019届高三文科数学寒假作业任务及要求 (2019年1月28日—2月10日)第六轮2月9日-2月10日摸底卷（四）不等式、坐标系与参数方程要求：1.两天一轮次，每天1.5-2小时，认真独立完成试卷，整理好基础知识和方法；2.每轮次第二天晚上八点之前将作业拍照发给小组长，小组长打分统计后汇报老师。

你有多自律，离2019年六月的成功就有多近！。

第19讲 函数与方程思想(对应学生用书(文)、(理)65～68页)考试说明指出：“高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查，使用填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相结合的角度进行深入考查．”函数的思想就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想就是分析数学问题中各个量及其关系，建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解，使问题得以解决．函数和方程的思想简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，一般情况下，凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想．函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考要考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．1. 设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________． 答案：1解析：a ＋2＝3，a ＝1，而a 2＋4＞3不用讨论．2. 已知实数m 、n 满足m 3－3m 2＋5m ＝1，n 3－3n 2＋5n ＝5，则m ＋n ＝________． 答案：2解析：∵ m 3－3m 2＋5m ＝1， ∴ (m －1)3＋2(m －1)＋2＝0.①∵ n 3－3n 2＋5n ＝5，∴ (1－n)3＋2(1－n)＋2＝0.②设f(x)＝x 3＋2x ＋2，则①等价于f(m －1)＝0，②等价于f(1－n)＝0，于是f(m －1)＝f(1－n)．又显然f(x)为(0，＋∞)是的增函数，∴ m －1＝1－n ， ∴ m ＋n ＝2.3. 若不等式(mx －1)[3m 2－( x ＋ 1)m －1]≥0对任意m ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的值为________．答案：1解析：显然x>0，若x ≤0，则mx －1＜0，而当m 充分大时，3m 2－( x ＋ 1)m －1＞0，与题设矛盾．而当x ＞0时，要使(mx －1)[3m 2－( x ＋ 1)m －1]≥0，对m ∈R ＋恒成立，则关于m 的方程mx －1＝0与3m 2－( x ＋ 1)m －1＝0在(0，＋∞)内有相同的根．所以3×⎝⎛⎭⎫1x 2－( x ＋ 1)×1x －1＝0，解得x ＝1, x ＝－32(舍去)．4. 已知关于x 的方程sin 2x ＋cosx ＋a ＝0有实根，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤－54，1解析：a ＝－sin 2x －cosx ＝⎝⎛⎭⎫cosx －122－54，最小值为－54，最大值为1.题型一 利用函数与方程思想求范围问题例1 若a 、b 为正数，且ab ＝a ＋b ＋3，求a ＋b 的取值范围．解：(解法1)将ab ＝a ＋b ＋3看成是含两个未知数的方程，可以用一个字母去表示另一个字母，再代入到a ＋b 中，转化为一元函数．∵ b ＝a ＋3a －1，∴ a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝2＋(a －1)＋4a －1.由b ∈R ＋得a ＞1，∴ a ＋b ＝2＋(a－1)＋4a －1≥2＋2（a －1）×4a －1＝6，当且仅当a －1＝4a －1即a ＝3时取等号，故a ＋b的取值范围是[6，＋∞)．(解法2)直接利用基本不等式ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，构造不等式，然后解不等式即可．∵ ab ＝a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴ (a ＋b)2－4(a ＋b)－12≥0，∴ (a＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0，从而得a ＋b ≥6(当且仅当a ＝b ＝3时取等号)．点评：本题解法很多，关键要学会转化．若a 、b 为正数，且ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围．解：a>0，b>0，a ＋b ≥2ab ，∴ ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，ab －2ab －3≥0，ab ≥3，ab ≥9，当且仅当a ＝b 时取等号，故ab ∈[9，＋∞)． 题型二 利用函数与方程思想解数列问题例2 设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r 、t ∈N *，都有S r S t ＝⎝⎛⎭⎫r t 2.(1) 求数列{a n }的通项公式(用a 1表示)；(2) 设a 1＝1，b 1＝3，b n ＝Sb n －1(n ≥2，n ∈N *)，求证：数列{log 3b n }为等比数列；(3) 在(2)的条件下，求T n ＝∑n k ＝2 b k －1b k －1.(1) 解：因为a 1＝S 1≠0，令t ＝1，r ＝n ，则S r S t ＝⎝⎛⎭⎫r t 2，得S n S 1＝n 2，即S n ＝a 1n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a 1(2n －1)，且当n ＝1时，此式也成立．故数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1(2n －1)．(2) 证明：当a 1＝1时，由(1)知a n ＝a 1(2n －1)＝2n －1，S n ＝n 2.依题意，n ≥2时，b n ＝Sb n －1＝b 2n －1，于是log 3b n ＝log 3b 2n －1＝2log 3b n －1(n ≥2，n ∈N )，且log 3b 1＝1， 故数列{log 3b n }是首项为1，公比为2的等比数列.(3) 解：由(2)得log 3b n ＝1×2n －1＝2n －1，所以b n ＝32n －1(n ∈N *).于是b k －1b k －1＝32k －232k －1－1＝()32k －2＋1－1()32k －2＋1()32k －2－1＝132k －2－1－132k －1－1. 所以T n ＝∑k ＝2nb k －1b k －1＝∑k ＝2n ⎝⎛⎭⎫132k －2－1－132k －1－1＝12－132n －1－1. 设a 1、d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1) 若S 5＝5，求S 6及a 1； (2) 求d 的取值范围．解：(1) 由题意知S 6＝－15S 5＝－3，∴ ⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，S 6＝6a 1＋6×52d ＝－3，解得a 1＝7，d ＝－3，∴ S 6＝－3，a 1＝7. (2) ∵ S 5S 6＋15＝0，∴ (5a 1＋10d)(6a 1＋15d)＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，则(4a 1＋9d)2＝d 2－8，∴ d 2－8≥0， 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.题型三 利用函数与方程思想处理解析几何问题例3 已知△ABC 三内角A 、B 、C 的大小成等差数列，且tanA ·tanC ＝2＋3，又知顶点C 的对边c 上的高等于43，试求△ABC 的三边a 、b 、c 及三内角．解：由A 、B 、C 成等差数列，可得B ＝60°.在△ABC 中，由tanA ＋tanB ＋tanC ＝tanA ·tanB ·tanC ，得 tanA ＋tanC ＝tanB(tanA ·tanC －1)＝3(1＋3)．所以tanA ·tanC 是方程x 2－3(1＋3)x ＋2＋3＝0的两根，解得x 1＝1，x 2＝2＋ 3.不妨设A<C ，则tanA ＝1，tanC ＝2＋3，∴ A ＝π4，C ＝5π12.由此容易得到a ＝8，b ＝46，c ＝43＋4.△ABC 中，求证：cosA ·cosB ·cosC ≤18.证明：设k ＝cosA ·cosB ·cosC ＝12[cos(A ＋B)＋cos(A －B)]·cosC ＝12[－cosC ＋cos(A －B)]cosC.整理得cos 2C －cos(A －B)·cosC ＋2k ＝0，它可看作是关于cosC 的一元二次方程．所以Δ＝cos 2(A －B)－8k ≥0，即8k ≤cos 2(A －B)≤1.所以k ≤18，即cosA ·cosB ·cosC ≤18.题型四 利用函数与方程思想解函数问题例4 已知函数f(x)＝xlnx－ax(x ＞0且x ≠1)．(1) 若函数f(x)在(1，＋∞)上为减函数，求实数a 的最小值；(2) 若 x 1、x 2∈[e ，e 2]，使f(x 1)≤f′(x 2)＋a 成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 因为f(x)在(1，＋∞)上为减函数，所以f′(x)＝lnx －1（lnx ）2－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立．所以当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)max ≤0.又f′(x)＝lnx －1（lnx ）2－a ＝－⎝⎛⎭⎫1lnx 2＋1lnx －a＝－⎝⎛⎭⎫1lnx －122＋14－a ，故当1lnx ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x)max ＝14－a.所以14－a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14.(2) 命题“若 x 1、x 2∈[e ，e 2]，使f(x 1)≤f′(x 2)＋a 成立”等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f(x)min ≤f ′(x)max ＋a ”．由(1)，当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x)max ＝14－a ，∴ f ′(x)max ＋a ＝14.问题等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f(x)min ≤14”．① 当a ≥14时，由(1)f(x)在[e ，e 2]上为减函数，则f(x)min ＝f(e 2)＝e 22－ae 2≤14，故a ≥12－14e2.②当a ＜14时，由于f′(x)＝－⎝⎛⎭⎫1lnx －122＋14－a 在[e ，e 2]上为增函数，故f′(x)的值域为[f′(e)，f ′(e 2)]，即⎣⎡⎦⎤－a ，14－a . 若－a ≥0，即a ≤0，f ′(x)≥0在[e ，e 2]上恒成立，故f(x)在[e ，e 2]上为增函数，于是，f(x)min ＝f(e)＝e －ae ≥e ＞14，不合题意；若－a ＜0，即0＜a ＜14，由f′(x)的单调性和值域知存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使f′(x 0)＝0，且满足：当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x)＜0，f(x)为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x)＞0，f(x)为增函数．所以f(x)min ＝f(x 0)＝x 0lnx 0－ax 0≤14，x 0∈(e ，e 2)．所以a ≥1lnx 0－14x 0＞1lne 2－14e ＞12－14＝14，与0＜a ＜14矛盾，不合题意． 综上，得a ≥12－14e 2.设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)，且f(1)＝－a2.(1) 求证：函数f(x)有两个零点；(2) 设x 1、x 2是函数f(x)的两个零点，求|x 1－x 2|的取值范围； (3) 求证：函数f(x)的零点x 1、x 2至少有一个在区间(0，2)内．(1) 证明：∵ f(1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，∴ 3a ＋2b ＋2c ＝0，∴ c ＝－32a －b ，∴ f(x)＝ax 2＋bx －32a －b.又Δ＝b 2－4a ⎝⎛⎭⎫－32a －b ＝b 2＋6a 2＋4ab ＝(2a ＋b)2＋2a 2，∵ a ＞0，∴ Δ＞0恒成立，故函数f(x)有两个零点．(2) 解：若x 1、x 2是函数f(x)的两个零点，则x 1、x 2是方程f(x)＝0的两根，∴ x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－b a －32，∴ |x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎫－b a 2－4⎝⎛⎭⎫－b a －32 ＝⎝⎛⎭⎫b a ＋22＋2≥2，∴ |x 1－x 2|的取值范围是[2，＋∞)．(3) 证明：f(0)＝c ，f(2)＝4a ＋2b ＋c ，由(1)知3a ＋2b ＋2c ＝0，∴ f(2)＝a －c.① 当c ＞0时，有f(0)＞0，又a ＞0，∴ f(1)＝－a2＜0，∴ 函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点；② 当c ≤0时，f(2)＝a －c ＞0，f(1)＜0，f(0)＝c ≤0， ∴ 函数f(x)在区间(1，2)内有一个零点．综合①②可知函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．点评：结合二次函数、二次方程间的关系，利用二次方程根的分布、根与系数关系、零点存在性定理解决．1. (2018·江苏卷)已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是____________．答案：⎝⎛⎭⎫－22，0解析：⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0⎩⎨⎧－22<m<22，－32<m<0 m ∈⎝⎛⎭⎫－22，0.2. (2018·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP→＝2，则AB →·AD →的值是________．答案：22解析：(解法1)基底法，考虑将条件中涉及的AP →、BP →向量用基底AB →、AD →表示，而后实施计算．AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，则AP →·BP →＝2＝⎝⎛⎭⎫AD→＋14AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2.因为AB ＝8，AD ＝5，则2＝25－316·64－12AB →·AD →，故AB →·AD →＝22.(解法2)坐标法，不妨以A 点为坐标原点，AB 所在直线作为x 轴建立平面直角坐标系，可设A(0，0)，B(8，0)，D(a ，t)，P(a ＋2，t)，C(a ＋8，t)，则AP →＝(a ＋2，t)，BP →＝(a －6，t)．由AP →·BP →＝2，得a 2＋t 2－4a ＝14，由AD ＝5，得a 2＋t 2＝25，则4a ＝11，所以AB →·AD →＝8a ＝22.3. (2018·江苏卷)已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是____________．答案：⎝⎛⎭⎫0，12 解析：作出函数的简图，由图象分析可得a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.4. (2018·湖北卷)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)，若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．答案：±3解析：由题意，得a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)．因为(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(3＋λ)(3－λ)＋(3＋λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.5. (2018·江苏卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1) 若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；(2) 设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d<0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值； (3) 证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．(1) 证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n ，于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．(2) 解：由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d.因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.因为d<0，所以m －2<0，故m ＝1，从而d ＝－1.当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ）2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ）2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”，因此d 的值为－1.(3) 证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)．令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)． 下证{b n }是“H 数列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n ＋1）2a 1(n ∈N *)，于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n （n ＋1）2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H数列”．同理可证{c n }也是“H 数列”． 所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列” {b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．6. (2018·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b)，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.(1) 若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2) 若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解：设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． (1) 因为B(0，b)，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a. 又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b2＝1，解得b 2＝1. 故所求椭圆的方程为x22＋y 2＝1.(2) 因为B(0，b)，F 2(c ，0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c 2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b ，所以点A 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b （a 2－c 2）a 2＋c 2.因为直线F 1C 的斜率为 b ()a 2－c 2a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15，因此e ＝55.(本题模拟高考评分标准，满分16分)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝3，a n b n ＝2，b n ＋1＝a n ⎝⎛⎭⎫b n －21＋a n，n ∈N *.(1) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝2a n －5，对于任意给定的正整数p ，是否存在正整数q 、r(p<q<r)，使得1c p ，1c q ，1c r成等差数列？若存在，试用p 表示q 、r ；若不存在，说明理由．(1) 证明：因为a n b n ＝2，所以a n ＝2b n，则b n ＋1＝a n b n －2a n 1＋a n ＝2－4b n1＋2b n＝2－4b n ＋2＝2b nb n ＋2，(2分)所以1b n ＋1＝1b n ＋12.又a 1＝3，所以b 1＝23，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为32，公差为12的等差数列，(4分)即1b n ＝32＋(n －1)×12＝n ＋22，所以b n ＝2n ＋2.(6分) (2) 解：由(1)知a n ＝n ＋2，所以c n ＝2a n －5＝2n －1， ① 当p ＝1时，c p ＝c 1＝1，c q ＝2q －1，c r ＝2r －1， 若1c p ，1c q ，1c r 成等差数列，则22q －1＝1＋12r －1(*)， 因为p<q<r ，所以q ≥2，r ≥3，22q －1<1，1＋12r －1>1，所以(*)不成立. (9分)② 当p ≥2时，若1c p ，1c q ，1c r成等差数列，则22q －1＝12p －1＋12r －1，所以12r －1＝22q －1－12p －1＝4p －2q －1（2p －1）（2q －1）， 即2r －1＝（2p －1）（2q －1）4p －2q －1，所以r ＝2pq ＋p －2q4p －2q －1，(12分)欲满足题设条件，只需q ＝2p －1，此时r ＝4p 2－5p ＋2，(14分)因为p ≥2，所以q ＝2p －1>p ，r －q ＝4p 2－7p ＋3＝4(p －1)2＋p －1>0，即r>q.(15分) 综上所述，当p ＝1时，不存在q 、r 满足题设条件；当p ≥2时，存在q ＝2p －1，r ＝4p 2－5p ＋2，满足题设条件．(16分)1. 在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，则通项a n ＝__________． 答案：3n －5解析：显然公差不为零，故通项为n 的一次函数，设a n ＝an ＋b ，a 、b 为常数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋b ＝10，12a ＋b ＝31 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－5，∴ a n ＝3n －5. 2. 设函数f(x)＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，f ⎝⎛⎭⎫xm －4m 2f(x)≤f(x －1)＋4f(m)恒成立，则实数m 的取值范围是____________．答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞解析：(解法1)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ⎝⎛⎭⎫x m ＋4m 2f(x)≥0， 即(x －1)2－1＋4m 2－4－x 2m2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，整理得⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0， 因为x 2＞0，所以1－1m 2＋4m 2≥2x ＋3x2.设g(x)＝2x ＋3x2，x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 于是题目化为1－1m2＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞恒成立的问题． 为此需求g(x)＝2x ＋3x2，x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞的最大值．设u ＝1x ，则0＜u ≤23.函数g(x)＝h(u)＝3u 2＋2u 在区间⎝⎛⎦⎤0，23上是增函数，因而在u ＝23处取得最大值． h ⎝⎛⎭⎫23＝3×49＋2×23＝83， 所以1－1m 2＋4m 2≥g(x)max ＝83，整理得12m 4－5m 2－3≥0，即(4m 2－3)(3m 2＋1)≥0，所以4m 2－3≥0，解得m ≤－32或m ≥32，因此实数m 的取值范围是m ∈(－∞，－32]∪[32，＋∞)．(解法2)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ⎝⎛⎭⎫x m ＋4m 2f(x)≥0，即 (x －1)2－1＋4m 2－4－x 2m2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，整理得⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0， 令F(x)＝⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3.由于F(0)＝－3＜0，则其判别式Δ＞0，因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点，所以为使F(x)≥0对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞恒成立，必须使F ⎝⎛⎭⎫32为最小值， 即实数m 应满足⎩⎨⎧1－1m 2＋4m 2＞0，F ⎝⎛⎭⎫32≥0，解得m 2≥34，因此实数m 的取值范围是m ∈(－∞，－32]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.3. 已知函数g(x)＝xlnx ，设0＜a ＜b ，求证：0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2. 证明：g(x)＝xlnx ，g ′(x)＝lnx ＋1.构造函数F(x)＝g(a)＋g(x)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋x 2，则F′(x)＝g′(x)－2g′⎝⎛⎭⎫a ＋x 2＝lnx －ln a ＋x 2.当0＜x ＜a 时，F ′(x)＜0，因此F(x)在(0，a)上为减函数； 当x ＞a 时，F ′(x)＞0，因此F(x)在(a ，＋∞)上为增函数． 从而，当x ＝a 时，F(x)有极小值F(a)． 因为F(a)＝0，b ＞a ，所以F(b)＞0，即0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2.再构造函数G(x)＝F(x)－(x －a)ln2，则G′(x)＝lnx －ln a ＋x2－ln2＝lnx －ln(a ＋x)．当x ＞0时，G ′(x)＜0，因此G(x)在(0，＋∞)上为减函数． 因为G(a)＝0，b ＞a ，所以G(b)＜0，即g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2.综上，得0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2. 点评：确定变量，构造函数证明不等式．请使用“课后训练·第19讲”活页练习，及时查漏补缺！。

小题提速练(一)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |x |≤2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[2，5] B ．(2，5] C ．[－1，2]D ．[－1，2)解析：选B.由题得A ＝[－1，5]，B ＝[－2，2]，则∁R B ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(2，5]，故选B.2．如果复数m 2＋i1＋m i是纯虚数，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．0或1D ．0或－1通解：选D.m 2＋i 1＋m i ＝（m 2＋i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝m 2＋m ＋（1－m 3）i1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D. 优解：设m 2＋i 1＋m i ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则有b i(1＋m i)＝m 2＋i ，即－mb ＋b i ＝m 2＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－mb ＝m 2，b ＝1，解得m ＝－1或0，故选D.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．4C ．6D ．8通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C.优解：目标函数z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x ＝3，y ＝0时，z ＝3；当x ＝6，y ＝0时，z ＝6；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以z max ＝6，故选C.4．若双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73B ．54 C.43D ．53解析：选D.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为y ＝±ba x ，所以根据一条渐近线经过点(3，－4)，可知3b ＝4a ∴b a ＝43.∴e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53. 5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，c ＝ln 3π，则( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c 通解：选B.因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞0，c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.优解：因为a 3＝12＞b 3＝127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B. 6．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x ＋2－x解析：选C.因为y ＝2x为增函数，y ＝2－x为减函数，所以y ＝2x－2－x为增函数，又y ＝2x －2－x为奇函数，所以选C.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.4 33π B ．12π C.33π D ．36π 解析：选D.由三视图可知该几何体为一个半圆锥，其中圆锥的底面半圆的半径为1，母线长为2，所以圆锥的高为3，所以该几何体的体积V ＝13×12π×12× 3＝36π，故选D.8．已知函数y ＝sin ()2x ＋φ在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选 A.由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，k ∈Z .当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A 正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，也不关于直线x ＝π3对称，故B 、D错误．故选A.9．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－3 3πB ．4－6 3πC.13－32πD ．23解析：选B.设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝ ⎛⎭⎪⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－6 3r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－6 3π，故选B.10．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析：选D.①f (x )＝x ，这个函数可使f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )成立，∵f (x ＋y )＝x ＋y ，x ＋y ＝f (x )＋f (y )， ∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，故①对应丁．②寻找一类函数g (x )，使得g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)具有这种性质，令g (x )＝a x，g (y )＝a y，则g (x ＋y )＝ax ＋y＝a x ·a y＝g (x )·g (y )，故②对应甲．③寻找一类函数h (x )，使得h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，对数函数具有这种性质，令h (x )＝log a x ，h (y )＝log a y ，则h (x ·y )＝log a (xy )＝log a x ＋log a y ＝h (x )＋h (y )，故③对应乙．④令m (x )＝x 2，这个函数可使m (xy )＝m (x )·m (y )成立，∵m (x )＝x 2，∴m (x ·y )＝(xy )2＝x 2y 2＝m (x )·m (y )，故④对应丙．故选D.11．已知抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由题意得，焦点F (0，1)，对于①，l AB 为y ＝x ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y＋1＝0，得y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，故①错误；对于②，|AB |min ＝2p ＝4，故②错误；因为y ′＝x2，则l AM ∶y －y A ＝x A 2(x －x A )，即l AM ：y ＝12x A x －y A ，同理l BM：y ＝12x Bx －y B，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x Ax －y A，y ＝12x Bx －y B，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B 2，x A ·x B 4.设l AB 为y ＝kx ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，AB 的斜率为1时，x M ＝2，故④错误，故选B.12．已知函数f (x )＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B ．12＜x 0＜1 C.22＜x 0＜ 2 D ．2＜x 0＜ 3解析：选D.由题意，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(x 0)＝2x 0，f (x 0)＝x 20，所以切线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20.因为l 也与函数y ＝ln x (0＜x ＜1)的图象相切，设切点坐标为(x 1，ln x 1)，易知y ′＝1x，则切线l 的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，即y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，又0＜x 1＜1，所以x 0＞1，所以1＋ln(2x 0)＝x 2，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln2 2＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，所以存在x 0∈(2，3)，使得g (x 0)＝0，故 2＜x 0＜3，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________．解析：因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b ）＝0，故|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝12，故a 与b 的夹角为60°.答案：60°14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为________．解：该程序框图的执行过程如下：v ＝1，i ＝2；v ＝1×2＋2＝4，i ＝1；v＝4×2＋1＝9，i ＝0；v ＝9×2＋0＝18，i ＝－1，此时输出v＝18.答案：1815．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________．解析：解法一：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，|AF |＝3，由抛物线的定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2.如图，不妨设点A 在第一象限，将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，所以点A 的纵坐标为2 2，即A (2，2 2)，所以直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－ 2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2，所以点B 的横坐标为12，所以|BF |＝12－(－1)＝32.解法二：如图，不妨设点A 在第一象限，设∠AFx ＝θ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则由抛物线的定义知x A＋1＝2＋3cos θ＝3，解得cos θ＝13.又|BF |＝x B ＋1＝1－|BF |cos θ＋1＝2－13|BF |，所以|BF |＝32.答案：3216．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝5 3，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________．解析：如图，在△ABC 中，BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以c os∠CDB ＝CD BD ＝52x.在△ACD 中，AD＝x ，CD ＝5，AC ＝5 3，则cos∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝x 2＋52－（5 3）22×x ×5.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos∠ADC ＝－cos∠CDB ，即x 2＋52－（5 3）22×x ×5＝－52x，解得x ＝5，所以AD 的长为5.答案：5。

小题提速练(二)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知i 是虚数单位，则2i 1－i＝( ) A ．－1＋iB ．1＋iC ．1－iD ．－1－i解析：选A.2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋i ，故选A. 2．已知集合A ＝{y |y ＝e x ，x ∈R }，B ＝{x ∈R |x 2－x －6≤0}，则A ∩B ＝( )A ．(0，2)B ．(0，3]C ．[－2，3]D ．[2，3] 解析：选B.由已知得A ＝(0，＋∞)，B ＝[－2，3]，所以A ∩B ＝(0，3]，故选B.3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )A ．9B ．19C ．33D ．51解析：选C.m ＝1，S ＝1，满足条件，S ＝1＋2×1＝3，m ＝1＋2＝3；满足条件，S ＝3＋2×3＝9，m ＝3＋2＝5；满足条件，S ＝9＋2×5＝19，m ＝5＋2＝7；满足条件，S ＝19＋2×7＝33，m ＝7＋2＝9，不满足条件，输出的S 的值为33，故选C.4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则双曲线的离心率为( ) A.52B ． 5 C.3＋12 D ．3＋1 解析：选B.由已知得b a ＝2，所以e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋22＝ 5，故选B. 5．如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A ．72B ．144C ．216D ．105＋3 145解析：选A.由三视图知，该几何体是一个三棱锥，底面直角三角形的面积为12×6×8＝24，设三棱锥的高为9，所以该几何体的体积为13×24×9＝72，故选A. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝ 13，则△ABC 的面积为( ) A. 3B ．132C ．2 3D ． 13解析：选A.由余弦定理知( 13)2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，因为a ＝4b ，所以13＝16b 2＋b 2－2×4b ×b ×12，解得b ＝1，所以a ＝4，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3，故选A. 7．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝3x －2y 的最大值是( )A ．－6B ．－3C ．3D ．6解析：选D.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线3x －2y ＝0，易知当直线经过点A 时，z ＝3x －2y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y ＋2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－32，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，所以z max ＝3×1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝6，故选D.8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则ω的最小正值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选 B.将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π6的图象，因为函数g (x )的图象关于y 轴对称，所以－ωπ3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，易知当k ＝－1时，ω取最小正值2，故选B.9．“a ＞1”是“3a ＞2a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 是增函数，又a ＞1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＞1，所以3a ＞2a ；若3a ＞2a ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＞1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫320，所以a ＞0，所以“a ＞1”是“3a ＞2a”的充分不必要条件，故选A.10．若函数f (x )＝2x 2＋ln x －ax 在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(4，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(－∞，4)D ．(－∞，4] 解析：选D.由已知得f ′(x )＝4x ＋1x－a (x ＞0)，因为函数f (x )是定义域上的单调递增函数，所以当x ＞0时，4x ＋1x －a ≥0恒成立．因为当x ＞0时，函数g (x )＝4x ＋1x ≥4，当且仅当x ＝12时取等号，所以g (x )∈[4，＋∞)，所以a ≤4，即实数a 的取值范围是(－∞，4]，故选D.11．已知数列{a n }满足a 1＝2，4a 3＝a 6，数列{a n n }是等差数列，则数列{(－1)na n }的前10项和S 10＝( )A ．220B ．110C ．99D ．55 解析：选B.设数列{a n n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 33＝2＋2d ，a 66＝2＋5d ，4a 3＝a 6，解得d ＝2，所以a n n ＝2＋2(n －1)＝2n ，即a n ＝2n 2，所以数列{(－1)n a n }的前10项和S 10＝－2×1＋2×22－2×32＋…＋2×102＝2×(3＋7＋11＋15＋19)＝110，故选B.12．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (3)＝0，且不等式f (x )>－xf ′(x )在(0，＋∞)上恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B.g (x )＝0即xf (x )＝－lg|x ＋1|，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，由已知得xf (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为奇函数，所以xf (x )为偶函数且零点为3，－3，0，在同一坐标系中作出函数y ＝xf (x )和y ＝－lg|x ＋1|的图象，易知交点有3个，故g (x )的零点个数为3.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．命题p ：∃x 0＞1，使得x 20－2x 0＜1，则¬p 是________．解析：根据特称命题的否定是全称命题得，¬p ：∀x ＞1，x 2－2x ≥1.答案：∀x ＞1，x 2－2x ≥114．已知向量a ＝(2，5t －1)，b ＝(t ＋1，－1)，若a ⊥b ，则t ＝________．解析：因为a ＝(2，5t －1)，b ＝(t ＋1，－1)，a ⊥b ，所以(2，5t －1)·(t ＋1，－1)＝0，所以2(t ＋1)－(5t －1)＝0，解得t ＝1.答案：115．设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________． 通解：由tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13，即sin θcos θ＝－13 ①，又sin 2 θ＋cos 2 θ＝1 ②，所以由①②解得sin θ＝1010，cos θ＝－3 1010， 所以sin θ＋cos θ＝1010－3 1010＝－105. 优解：由θ为第二象限角且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，得θ＋π4为第三象限角，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－55，所以sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－105. 答案：－10516．已知A ，B ，C ，D 是半径为5的球面上的点，且BC ＝CD ＝DB ＝3 3，当四面体ABCD 的体积最大时，AB ＝________．解析：由已知可得，△BCD 是边长为3 3的等边三角形，设△BCD 的中心为O 1，则BO 1＝23×3 3×sin 60°＝3，要使四面体ABCD 的体积最大，则有四面体ABCD 的高为5＋ 52－32＝9，此时AB ＝ 92＋32＝3 10.答案：3 10。

山东潍坊 2019 年高三二轮要点考试理科数学试题数学( 理工农医类 ) 2018 、 3 本试卷共 4 页、分第一卷 ( 选择题 ) 和第二卷 ( 非选择题 ) 两部分、共 150 分、考试时间l20 分钟、第一卷 ( 选择题共 60 分)本卷须知1 ·答第 1 卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号、考斌科目用铅笔涂写在答题卡上、2 ·每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑、如需变动、用橡皮擦洁净后，再改涂其余答案标号【一】选择题：本大题共 l2 小题，每题 5 分，共 60 分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的、1、会合，会合N=A、 (0 、 +∞) B 、(1 ， +∞)C、(0 ，1) D 、 (0 ， 1) ∪ (i ，+∞ )2、复数A 、一 i B、i C、5i D、4/5+i3、不等式的解集为A、α ≥ 48、α ≤ 4C、α ≥ 5D、α ≤ 55、将函数 y=cos2x 的图象向右平移π /4 个单位，获得函数的图象，那么f〔 x〕的表达式可以是6、运转右图所示的程序框图，假定输出结果为13/7 ，那么判断框中应当壤的条件是A、 k>5B.k>6C、 k>7D、 k>87. 向量α =(cosx,sinx)，b=8、函数 f(x)=，那么函数y=f(x+1)的大数图象为9、在空间中、l 、 m、 n 是三条不一样的直线，α 、β 、γ 是三个不一样的平面，那么以下结论错误的选项是A、假定α∥ β，α∥ γ，那么β ∥ γB、假定 l ∥ α， l ∥β，α ∩β =m，那么 l ∥ mC、α ⊥ β，α ⊥ γ，β ∩ γ=l ，那么 l ⊥ αD、假定α∩ β =m，β∩ γ =l ，γ ∩ α=n， l ⊥ m， l ⊥ n，那么10、直线 4h 一 4y—k=0 与抛物线y2=x 交于 A、 B 两点，假定m⊥ n，那么弦AB的中点到直线 x+1/2=0 的距离等于A、 7/4B 、 2C.9/4D 、 411、矩形 ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ ACD折起，那么三棱锥—ABC的外接球的表面积等于A、 4πB、 8πC、 16πD、 24π12、假定直角坐标平面内的两点P、 Q知足条件：①P、 Q都在函数y=f(x)的图象上；② P、Q对于原点对称、那么称点对 [P ，Q]是函数 Y=f(x)的一对“友善点对”( 点对 [P ，Q]与[Q， P] 看作同一对“友好点对” ) 、D函数，f(x)= ，那么此函数的“友善点对”有A、0 对B、1 对C、2 对D、3 对第Ⅱ ( 非选择题 90 分)本卷须知 -1、将第二卷答案用0、 5mm的黑色署名笔答在答题纸的相应地点上。

必备五解题模板给力模板一函数性质的应用典型例题例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则f(lo16)的值是.答案-1解析因为-3<lo16<-2,所以-1<lo16+2<0,即-1<lo1<0.(转化)又f(x)是周期为2的奇函数,所以f(lo16)=f1=-f-1=-f=-(-1)=-1.(求值)故填-1.(结论)▲模板构建已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路如下:跟踪集训1.(2018南京第一学期期中考试)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,当x∈[0, ]时,f(x)=2x,那么f(6)的值为.模板二函数的零点典型例题例2 根据表格中的数据,可以断定方程e x-(x+ )=0(e≈ .7 )的一个根所在的区间是(填序号).①(-1,0);②(0,1);③(1, );④( , ).答案③解析令f(x)=e x-(x+2),显然f(x)在R上为连续函数,由已知得,f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.40-4>0,f(3)=20.12-5>0.由于f(1)·f( )<0,因此方程e x-(x+2)=0的一个根在区间(1,2)内,故填③.▲模板构建函数零点存在性定理就是根据函数f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间的方法.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为:跟踪集训2.(2018江苏南京多校高三上学期第一次段考)已知函数f(x)=lgx+x-9在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n= .模板三三角函数的性质典型例题例3 已知函数f(x)=2sin cos-sin(2x+3π).(1)求f(x)的最小正周期;(2)若将f(x)的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.解析(1)f(x)=2sin cos-sin(2x+3π)=sin+sin2x=sin2x+cos2x=2sin,(化简)∴f(x)的最小正周期T==π.(2)由已知得g(x)=f=2sin,=2sin=2cos,∵x∈0,,∴ x+∈,,(换元)故当2x+=π,即x=时,g(x)min=g=-2;当2x+ = ,即x=0时,g(x)max =g=1.(结论)▲模板构建 在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.解题思路:跟踪集训3.已知函数f(x)=2 2x-acos 2x+b(a,b∈R). (1)若a>0,求函数f(x)的单调增区间; (2)当x∈ -,时,函数f(x)的最大值为3,最小值为1- ,求ab 的值.模板四 解三角形 典型例题例4 如图,在△ABC 中,已知AC=7,∠B= 5°,D 是边AB 上的一点,AD= ,∠ADC=1 0°.求:(1)CD 的长; ( )△ABC 的面积.解析 (1)在△ACD 中,AC=7,AD= ,∠ADC=1 0°,(定已知) 由余弦定理得AC 2=AD 2+CD 2- AD·CDc s∠ADC,(选定理) 72=32+CD 2- × ·CDc s1 0°,解得CD=5.(得结论) (2)在△BCD 中,∠B= 5°,CD=5,(定已知) 由正弦定理得s n∠ =s n =s n75°=5s n 5°,(选定理)解得BD=5 5,(得结论)所以S △ABC =S △ACD +S △BCD =1AD·CDs n∠ADC+1CD·BDs n∠BDC=1× ×5s n1 0°+1×5×5 5s n60°=75 55.▲模板构建利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形边角之间的互化,当已知三角形中的两边及其一边的对角,或两角及其一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;若已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:跟踪集训4.(2018江苏淮海中学模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2=b2+c2-bc,a=15b.(1)求sinB的值;的值.(2)求cos1模板五利用函数性质解不等式典型例题例5 已知定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(-2)=9,且f(x)的导数f'(x)在[0,+∞)上恒有f'(x)<4x,则不等式f(x)<2x2+1的解集为.答案(-∞,- )∪( ,+∞)解析设g(x)=f(x)-2x2-1,(构函数)则g'(x)=f'(x)-4x.(析性质)因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),而g(-x)=f(-x)-2(-x)2-1=f(x)-2x2-1=g(x),所以函数g(x)为偶函数,故g(x)=g(|x|),(析性质)因为当x∈[0,+∞)时,f'(x)<4x,故g'(x)=f'(x)-4x<0,所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递减.(析性质)而g(2)=f(2)- × 2-1=f(-2)-9=0,故由g(x)<0,即g(|x|)<g(2),得|x|>2.(巧转化)解得x<-2或x>2.所以不等式f(x)<2x2+1的解集为(-∞,- )∪( ,+∞).(写解集)▲模板构建 利用函数性质解题主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下:跟踪集训5.设函数f(x)是奇函数,其导函数为f'(x),f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是 . 模板六 基本不等式的应用 典型例题例6 设x,y 是正实数,且x+y=1,则+1的最小值是 . 答案 1解析 设x+2=s,y+1=t,则s+t=4,(换元) 所以+1=( - )+( -1)= - + - 1=1-2,(巧拼凑)因为 +1 =1 1 (s+t)=1 5 ≥ ,当且仅当t= ,s= ,即x= ,y=1时,取等号,(得定值) 所以+1≥1,即 +1的最小值是1.(得结论)▲模板构建 拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:跟踪集训6.(2018江苏盐城中学高三考前热身)已知正实数a,b 满足1+1- =1,则3a+2b 的最小值为 .模板七 不等式恒成立问题 典型例题例7 已知x>0,y>0,且+1=1,若x+2y-(m2+2m)>0恒成立,则实数m的取值范围为.答案(-4,2)解析记t=x+2y,由原不等式恒成立可得m2+2m<t min.(分离参数)因为+1=1,所以t=x+2y=(x+2y)1=4++.而x>0,y>0,所以+≥ ·=4当且仅当=,即x=2y时等号成立.所以t=4++≥ + = ,即t min=8.(求最值)故m2+2m<8,即(m-2)(m+4)<0,(建关系)解得-4<m<2.(求范围)所以实数m的取值范围为(-4,2).▲模板构建分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:跟踪集训7.若g(x)=--,h(x)=-,不等式 a (x)+h( x)≥0对任意x∈[1, ]恒成立,则实数a的取值范围是.模板八线性规划问题典型例题例8 设变量x,y满足约束条件-0,-5100,-0,则目标函数z=3x-4y的最大值为.答案 3解析如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分),当直线z=3x-4y在x轴上的截距取最大值时,目标函数z取得最大值.由图可知,当直线z=3x-4y经过点C时,z取最大值,由-5100,-0,解得5,,即C(5,3),故目标函数z的最大值z max= ×5- × = .▲模板构建线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合.其基本的解题步骤如下:跟踪集训8.(2018江苏盐城时杨中学月考)若变量x,y 满足约束条件 ,1 -1,,且z=2x+y 的最大值和最小值分别为m 和n,则m-n= . 模板九 数列的通项与求和 典型例题例9 已知数列 1是等差数列,且a 3=1,a 2=4a 7.(1)求{a n }的通项公式;(2)若b n =a n a n+1(n∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1) 1为等差数列,设其公差为d,由已知得,1=8,1 =17,(找关系)即1 1+2d=8,1 1+d=1 1 16 ,解得11=2,d=3,于是1=2+3(n-1),整理得a n =1-1.(求通项)(2)由(1)知a n =1-1,故b n =a n a n+1=1( -1)( )=11-1-1,(求通项)所以S n =1 1-15 15-11-1-1(定方法) =1 1-1=( ).(求结论)▲模板构建 数列的通项与求和问题的解题步骤如下:跟踪集训9.(2018江苏泰州期末)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2=2,S 5=15.等比数列{b n }满足b 2=4,b 5=32. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .模板十空间中的平行与垂直典型例题例10 如图,平面ABB1A1为圆柱的轴截面,O1、O分别为上、下底面圆的圆心,点C为底面圆周上异于A,B 的任意一点.(1)求证:BC⊥平面A1AC;(2)若D为AC的中点,求证:A1D∥平面O1BC.证明(1)因为AB为☉O的直径,点C为☉O上异于A,B的任意一点,所以BC⊥AC.(巧转化)又在圆柱中,AA1⊥底面☉O,所以AA1⊥BC,而AA1∩AC=A,(用定理)所以BC⊥平面A1AC.(得结论)(2)如图,取BC的中点E,连接DE,O1E.因为D为AC的中点,所以在△ABC中,DE∥AB,且DE=1AB.(巧转化)又在圆柱中,A1O1∥AB,且A1O1=1AB,所以DE∥A1O1,且DE=A1O1,所以四边形A1DEO1为平行四边形,所以A1D∥O1E.又A1D⊄平面O1BC,EO1⊂平面O1BC,(用定理)所以A1D∥平面O1BC.(得结论)▲模板构建证明空间中的平行与垂直的步骤如下:跟踪集训10.(2018江苏盐城中学模拟)在如图所示的多面体中,AE⊥底面BEFC,AD∥EF∥BC,BE=AD=EF=1BC,G是BC的中点.求证:(1)AB∥平面DEG;( )EG⊥平面BDF.模板十一直线与圆典型例题例11 在平面直角坐标系xOy中,圆C的半径为1,圆心在直线l:y=2x-4上.存在直线,使其交圆C的弦长总为,则该直线的方程为.答案y=2x-4-5或y=2x-4+5.解析显然,所求直线的斜率存在.设所求直线的方程为y=kx+b,圆心C(m,2m-4),由已知得,所以圆心C到所求直线的距离总为1,则=1对任意的m恒成立,(求距离)即|(k-2)m+4+b|=11对任意的m恒成立,∴-0,11,∴,-5,(恒成立)∴所求直线的方程为y=2x-4-5或y=2x-4+5.(得结论)▲模板构建几何法是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来确定直线和圆的位置关系的方法,其基本步骤如下:跟踪集训11.(2018江苏联考)已知点A(-3,0),B(-1,-2),若圆(x-2)2+y2=r2(r>0)上恰有两点M,N,使得△MAB和△NAB的面积均为4,则r的取值范围是.模板十二圆锥曲线中的最值与范围问题典型例题例12 平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点 ,1在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.①求的值;②求△ABQ面积的最大值.解析(1)将1代入椭圆方程,有+1=1,又e==-=,解得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为16+=1.①设P(x0,y0),=λ(λ>0),由题意知Q(-λx0,-λy0).因为0+0=1,(-0)16+(-0)=1,即00=1,所以λ=2或λ=-2(舍去),即=2.②设A(x1,y1),B(x2,y2),(设点)将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,(联立方程) 由Δ>0,可得m2<4+16k2,(a)又x1+x2=-1,x1x2=-161,所以|x1-x2|=16-1.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=1 m · x1-x2|=16-1=(16-)1=2-11.设1=t.(设出参数)将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 由Δ≥0,可得m2≤1+ k2.(b)由(a)(b)可知0<t≤1,S= ( -)=2- t,(目标函数)故S≤ ,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时,S取最大值2.由①知△ABQ的面积为3S,所以△ABQ面积的最大值为6.(得出结论)▲模板构建与圆锥曲线有关的最值问题的变化因素较多,解题时需要在变化的过程中掌握运动规律,抓住主变元,目标函数法是避免此类问题出错的法宝,应注意目标函数式中自变量的限制条件(如直线与椭圆相交,Δ>0等).解题步骤如下:跟踪集训12.(2018江苏南通模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点A、B是椭圆C上的任意两点,O是坐标原点,且OA垂直OB.①求证:存在一个定圆,使得直线AB始终为该定圆的切线,并求出该定圆的方程;②求△AOB面积的最大值.模板十三圆锥曲线中的探索性问题典型例题例13 在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)在y轴上是否存在点P,使得当k变化时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解析(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).对于y=,因为y'=1x,所以y=在x=2处的导数值为,在x=-2处的导数值为-,所以曲线C在(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0,在(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(2)假设存在符合题意的点P(0,b),(假设存在) 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线PM,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入曲线C 的方程,整理得x 2-4kx-4a=0,(联立方程) 所以x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4a, 所以k 1+k 2= 1-b 1+ -b =1 (a -b)( 1 ) 1=( ) . 当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以存在点P(0,-a)符合题意.(得出结论)▲模板构建 圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现,常用假设存在法求解,其解题要点如下:跟踪集训13.(2018江苏兴化一中模拟)椭圆M: +=1(a>b>0)的离心率为,点P(0,2)关于直线y=-x 的对称点在椭圆M 上.(1)求椭圆M 的方程;(2)如图,椭圆M 的上、下顶点分别为A 、B,过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C,D. ①求 · 的取值范围;②当AD 与BC 相交于点Q 时,试问:点Q 的纵坐标是不是定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.模板十四 应用性问题 典型例题例14 (2018江苏淮阴中学阶段检测)如图所示,江苏省淮阴中学有一块矩形空地ABCD,其中AB=10米,BC=10 ,计划在此矩形空地区域内为学生建灯光运动场,△BEF 区域内安装一批照明灯(E,F 点在线段AC 上),且∠EBF= 0°,△BEF 外其余区域建运动场. (1)若E 在距离A 点4米处,求点E,F 之间的距离;(2)为了使运动场地区域最大化,要求△BEF 面积应尽可能地小,记∠ABE=θ,请用θ表示△BEF 的面积S(θ),当S(θ)最小时,求θ的值.解析 (1)由题意得∠BAC=60°,∠ACB= 0°,AC= 0米. ∵∠BFE=∠BCF+∠CBF= 0°+∠CBF,∠ABE=∠ABC -∠EBF -∠CBF= 0°- 0°-∠CBF, ∴∠BFE+∠ABE= 0°.△ABE 中,由余弦定理得BE=2 1 米. c s∠ABE=1 1,△BEF 中,s n 0°=s n∠ =c s∠ , ∴EF=c s∠ =1米.( )△ABE 中,s n60°=s n[1 0°-( 60°)]=10s n(60°),则BE=5s n( 60°).△BCF 中, s n 0°= s n(60° 0°)=10s n( 0°),则BF=5c s 米. ∴S(θ)=1BE·BFs n 0°=75c s s n( 60°)= s n(60°).∵θ∈(0°,60°),∴当2θ+60°= 0°,即θ=15°时,S(θ)最小. 答:当θ=15°时,三角形BEF 的面积最小. ▲模板构建跟踪集训14.(2018江苏兴化一中模拟)某公司拟购买一块地皮建休闲公园,如图,从公园入口A沿AB,AC方向修建两条小路,休息亭P与入口的距离为3米(其中a为正常数),过P修建一条笔直的鹅卵石健身步行带,步行带交.两条小路于E、F处,已知∠BAP= 5°,tan∠CAB=15(1)设AE=x米,AF=y米,求y关于x的函数关系式及定义域;(2)试确定E,F的位置,使三条路围成的三角形AEF地皮购价最低.模板十五求空间角(理科专用)典型例题例15 (2018江苏徐州铜山中学期中)如图,在三棱锥A-BOC中,AO,OB,OC两两互相垂直,点D,E分别为棱BC,AC的中点,F在棱AO上,且满足OF=1OA,已知OA=OC=4,OB=2.(1)求异面直线AD与OC所成角的余弦值;(2)求二面角C-EF-D的正弦值.解析(1)如图,以O为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得:O(0,0,0),A(0,0,4),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),E(0,2,2),F(0,0,1),所以=(1,2,-4),=(0,4,0),所以cos<,>=·== 11.因此异面直线AD与OC所成角的余弦值为 11.(2)平面AOC的一个法向量为=(2,0,0).设m=(x,y,z)为平面DEF的一个法向量,又=(0,-2,-1),=(-1,0,2),则·EF0,·DE0,即0,-0.不妨取z=2,则x=4,y=-1,所以m=(4,-1,2)为平面DEF的一个法向量,从而cos<,m>=OB·OB == 11,设二面角C-EF-D的大小为θ,则|cosθ|=1.因为θ∈[0,π],所以sinθ=1-c s=1051.因此二面角C-EF-D的正弦值为1051.▲模板构建空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:跟踪集训15.(2018南京、盐城一模)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M 为PC的中点,AC=4,BD=2,OP=4.(1)求直线AP与BM所成角的余弦值;(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.模板十六离散型随机变量典型例题例16 现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是5,答对每道乙类题的概率都是5,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.解析(1)设事件A为“张同学至少取到1道乙类题”,则事件为“张同学所取3道题都是甲类题”.(定性)因为P()=C6C10=16,(定型)所以P(A)=1-P()=56.(求值)(2)X 所有可能的取值为0,1,2,3.(定元) P(X=0)=C × 5×15=1 5,P(X=1)=C 1×5×5×15+C × 5× 5=1 5, P(X=2)=C× 5 ×15+C 1× 5× 5× 5=571 5, P(X=3)=C× 5 × 5= 61 5.(定型)故X 的分布列为X 0123P1 5 1 5 571 5 61 5所以E(X)=0× 1 5+1× 1 5+ ×571 5+ × 61 5=2.(求值)▲模板构建 公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及独立重复试验、条件概率等的求解方法或计算公式求解离散型随机变量的概率的方法.其基本步骤如下:跟踪集训16.盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1,x 2,x 3,随机变量X 表示x 1,x 2,x 3中的最大数.求X 的概率分布和数学期望E(X).答案精解精析模板一函数性质的应用跟踪集训1.答案-4解析奇函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,则最小正周期是8,则f(6)=f(-2)=-f(2)=-4.模板二函数的零点跟踪集训2.答案 5解析函数f(x)在(0,+∞)上递增,且f(5)=lg5-<0,f(6)=lg6>0,所以函数零点在区间(5,6)上,则n=5.模板三三角函数的性质跟踪集训3.解析(1)因为f(x)=2asinxcosx+asin2x-acos2x+b==2asin-6+b.又a>0,所以函数f(x)的单调增区间为-6k ,k ,k∈Z.(2)当x∈-,时,2x-6∈-,,2sin-6∈[-2,],则当a>0时,函数f(x)的最大值为a+b,最小值为-2a+b.所以a b , -1- ,解得a=1,b=3-.当a<0时,函数f(x)的最大值为-2a+b,最小值为a+b.所以a b1- , - ,解得a=-1,b=1.综上,a=1,b=3-a=-1,b=1.模板四解三角形跟踪集训4.解析(1)在△ABC中,根据余弦定理及a2=b2+c2-bc得,cosA=-=1. 因为A∈(0,π),所以A=.在△ABC 中,由正弦定理s n =s n得sinB=sinA=15× = 55.(2)因为a=15b>b,所以A>B,即0<B<.又sinB= 55,所以cosB= 1-s n B = 55.在△ABC 中,A+B+C=π, 所以cos1 =cos - -1 =-cos=- c s c s -s n s n=-55- 55 =- 1010. 模板五 利用函数性质解不等式跟踪集训5.答案 {x|x<-1或0<x<1} 解析 令g(x)= ( ),则当x>0时,g'(x)= ( )- ( )<0,则g(x)在x∈(0,+∞)上单调递减,又函数f(x)是奇函数,则g(-x)= (- )- = ( )=g(x),则g(x)是偶函数,g(-1)=(-1)-1=0=g(1),f(x)>0⇔xg(x)>0⇔ 0, ( ) 0或0,( ) 0,解得0<x<1或x<-1.模板六 基本不等式的应用跟踪集训 6.答案 3+ 5解析 令a+b=x,a-b=y,则1 +1=1,1 = -1>0,x>0,则x>1,y>0,a=,b= -,3a+2b=+x-y=5 =1 (5x+y)· 1 1 =1 6 5 ≥ +1 × ·5 =3+ 5,当且仅当 =5,y= 5x 时,取等号,故3a+2b 的最小值为3+ .模板七 不等式恒成立问题跟踪集训 7.答案 a≥-171解析 a (x)+h( x)≥0,即 a·- -+-≥0,a·( x -2-x )+22x +2-2x ≥0,令2x -2-x=t,t∈,15,则22x +2-2x =t 2+2,2at+t 2+ ≥0,t 2+ ≥-2at,- a≤m n,y=t+t,∈,15递增,t=时,y min =176,则- a≤176,解得a≥-171.模板八 线性规划问题跟踪集训 8.答案 6解析 画出可行域如图所示,由z=2x+y 得y=-2x+z.当直线y=-2x+z 经过点A(-1,-1)时,z 取得最小值n=-3; 当直线y=-2x+z 经过点C(2,-1)时,z 取得最大值m=3. ∴m -n=6.模板九 数列的通项与求和跟踪集训9.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,因为满足a 2=2,S 5=15, 所以1 ,5 1515,解得 1 1, 1,所以a n =1+(n-1)·1=n,因为等比数列{b n }满足b 2=4,b 5=32,设其公比为q,则 1 , 1 ,解得 1 , , 所以数列{b n }的通项公式为b n =b 1q n-1=2n.(2)由(1)知:a n b n =n· n ,所以T n =1× + × 2+ +n× n,① 所以2T n =1× 2+ × 3+ +n× n+1,② 由②-①得T n =-(2+22+23+ + n)+n· n+1=- (1- )1-+n· n+1,故T n =(n-1)2n+1+2.模板十 空间中的平行与垂直跟踪集训10.证明 (1)∵BC= AD,G 是BC 的中点,∴AD=BG,又∵AD∥BC,∴四边形ADGB 是平行四边形,∴AB∥DG. ∵AB ⊄平面DEG,DG ⊂平面DEG,∴AB∥平面DEG.(2)易知四边形ADFE 是矩形,连接GF,∵DF∥AE,AE⊥底面BEFC,∴DF⊥平面BCFE,EG ⊂平面BCFE,∴DF⊥EG. ∵EF∥BG,EF=BG,且EF=BE,∴四边形BGFE 为菱形,∴BF⊥EG, 又BF∩DF=F,BF ⊂平面BFD,DF ⊂平面BFD,∴EG⊥平面BDF.模板十一 直线与圆跟踪集训 11.答案,解析 由题意可得|AB|= (-1 )(- -0)=2 ,根据△MAB 和△NAB 的面积均为4,可得两点M,N 到直线AB 的距离为2 . 由于直线AB 的方程为-0- -0=-1,即x+y+3=0.若圆上只有一个点到直线AB 的距离为2 则圆心(2,0)到直线AB 的距离为=r+2 ,解得r=;若圆上只有3个点到直线AB 的距离为2 则圆心(2,0)到直线AB 的距离为=r-2 解得r=.综上,r 的取值范围是,.模板十二 圆锥曲线中的最值与范围问题跟踪集训12.解析 (1)设椭圆的半焦距为c,由题意得 =,且a=2,得c= ,b=1, ∴所求椭圆方程为+y 2=1.( )①证明:当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为x=±55,原点O 到直线AB 的距离为55.当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=kx+m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则由1, ,得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, Δ=16(1+4k 2-m 2)>0, x 1+x 2=-1 ,x 1x 2= -1 ,由 · =x 1x 2+y 1y 2=5 - -1=0,得m 2=5(1+k 2),∴原点O 到直线AB 的距离d==(1 )=5.综上所述,原点O 到直线AB 的距离为 55,即该定圆方程为x 2+y 2=5.②当直线AB 的斜率不存在时,AB=55,当直线AB 的斜率存在时,|AB|= 1 |x 1-x 2|=5116 1, 当k≠0时,|AB|= 5116≤ ,当且仅当k=±1时等号成立.当k=0时,|AB|=55,∴ AB 的最大值为 5.由①知,点O 到直线AB 的距离为 5,∴S △AOB 的最大值为1× 5× 5=1.模板十三 圆锥曲线中的探索性问题跟踪集训13.解析 (1)因为点P(0,2)关于直线y=-x 的对称点为(-2,0),且(-2,0)在椭圆M 上,所以a=2.又e=,故c= ,则b 2=a 2-c 2=4-3=1.所以椭圆M 的方程为+y 2=1.( )①当直线l 的斜率不存在时,C(0,1),D(0,-1),所以 ·=-1. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=kx+2,C(x 1,y 1),D(x 2,y 2), ,1,消去y 整理得(1+4k 2)x 2+16kx+12=0,由Δ>0,可得4k 2>3,且x 1+x 2=-161 ,x 1x 2= 11 , 所以 · =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=-1+171,所以-1< · <1,综上, · ∈ -1,1. ②是.由题意得,AD:y= -1x+1,BC:y= 1 11x-1,联立方程组,消去x 得y=1 1 - 1,又4kx 1x 2=-3(x 1+x 2),解得y=1,故点Q 的纵坐标为定值1.模板十四 应用性问题跟踪集训14.解析 (1)解法一:由tan∠CAB=15得s n∠CAB=11,c s∠CAB=51,且s n∠FAP=s n(∠CAB -∠PAE)=s n(∠CAB - 5°)=76. 由题可知S △AEF =S △AEP +S △AFP ,所以1AE·AF·s n∠CAB=1AE·AP·s n∠PAE+1AP·AF·s n∠FAP, 得1xy·1 1 =1x· a· +1·y· a·76, 即11xy=3ax+ 11ay,所以y=1-7.由 0,1 -70得定义域为 7, ∞ . 解法二:由tan∠CAB=1 5,得s n∠CAB=1 1 ,c s∠CAB=51 , s n∠FAP=s n(∠FAE -∠PAE)=s n(∠FAE - 5°)=7 6.设∠FPA=θ,△APF 中,由正弦定理得 s n∠ = s n∠ =s n∠ , 所以PF=7 6y s n,s n∠AFE=.同理可得PE=x s n ,FE= 11xy as n.由PF+PE=FE, 即7 6y s n +x s n =1 1xy ,整理得y=1-7,由 0,1 -70,得定义域为 7, ∞ . 解法三:以AB 所在直线为x 轴,点A 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则E(x,0),P(3a,3a),由tan∠CAB=15,得s n∠CAB=11,c s∠CAB=51,所以F 51 y,11 y , 因为 与 共线,所以 51 y - a (-3a)= 11 y - a (x-3a),所以y=1-7,由 0,1 -70 得定义域为 7, ∞ .(2)设三条路围成地皮购价为y 元,地皮购价为k 元/平方米,则y=k·S △AEF (k 为正常数), 所以要使y 最小,只要使S △AEF 最小即可.由题可知S △AEF =1 AE·AF·s n∠CAB=1 xy·1 1 =61 xy=61 x·1 -7 =6-7,定义域为 7, ∞ .令t=4x-7a>0, 则S △AEF =67= ·1 at =1 a≥·1 a = 1a 2.当且仅当t=7a,即x=7时取等号, 所以,当x=7时,S △AEF 最小,所以y 最小.答:当点E 距离A 点7米时,三条路围成地皮购价最低.模板十五 求空间角(理科专用)跟踪集训15.解析 (1)因为四边形ABCD 是菱形,所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD,所以以O 为原点,直线OA,OB,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(-2,0,0),M(-1,0,2). 所以 =(-2,0,4), =(-1,-1,2), 所以 · =10, | |=2 5,| |= 6.则cos<,>=·== 06.故直线AP与BM所成角的余弦值为 06.(2)=(-2,1,0),=(-1,-1,2).设平面ABM的一个法向量为n=(x,y,z),则·AB0,·BM0,即-0,--0.令x=2,则y=4,z=3.所以平面ABM的一个法向量为n=(2,4,3).又平面PAC的一个法向量为=(0,1,0),所以n·=4,|n|=,||=1.则cos<n,>=·OBOB==.故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为.模板十六 离散型随机变量跟踪集训16.解析 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球, 所以P=C C C C=6 1 6=51.(2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P(X=4)=CC =11 6.{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P(X=3)=C C 51 C C 61C= 0 61 6=16 .于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-16 -11 6=111 . 所以随机变量X 的概率分布如下表:因此随机变量X 的数学期望 E(X)= ×111+ ×16+ ×11 6= 0.。

高考微点1集合—、集合间的基本关系［微要点］1 .集合间的基本关系的两个重要结论(1) A ? B 包含A = B 和A B 两种情况，两者必居其一，若存在x € B 且x ?A ,说明A M B , 只能是A B.(2) 集合相等的两层含义：若 A ? B 且B ? A ,贝U A = B ;若A = B ,贝U A ? B 且B ? A. 2.集合间的基本关系中的两个易误点(1) 注意 和？的区别，虽然两者均表示集合间的包含关系， 但前者是后者“工”情形时的包含关系.(2) 解题时，出现 A ? B 时，务必注意对集合 A 进行分类讨论，即分 A = ?和A M ?两种情 况进行分类讨论，并注意对端点值的检验.［微练习］21 .下列集合中，集合 A = {x|x<5x}的真子集是( )A . {2,5}B . (6,+^ )C . (0,5)D . (1,5)解析：选D A = {x|x 2<5x} = (0,5)，根据真子集的概念可知，只有选项 D 满足.2.已知集合 A = ix |y = log 2(x - 1 i !M B ={x|x<2m - 1}，且 A ?? R B,则 m 的最大值是1 3 3以2m — 1< 2,解得m w 4.故m 的最大值为］答案：34二、集合的基本运算［微要点］1.集合的运算及表示运算自然语言付号语言Venn 图解析：依题意,x |y = Iog2(x -2》?R B = {x|x >2m — 1}，又 A ?? R B , 所1 x>2(1) (A n B)? A, (A n B)? B; A n B= B n A; A? (A U B), B? (A U B); A U B= B U A.(2) 若A? B,贝U A n B= A;若A n B = A,贝U A? B.若A? B,贝U A U B = B;若A U B= B，贝U A? B.(3) ?U(?U A)= A, A U (?U A)= U , A n (?U A) = ?.3. 集合运算中的易误点遇到A n B= ?时，你是否注意到“极端”情况： A = ?或B= ?;同样在应用条件A U B =B? A n B= A? A? B时，不要忽略A= ?的情况.［微练习］1 .设集合A= {-2, - 1,0,1,2}, B= {x|x2+ x —2< 0}，贝V A n B =( )A. {0,1,2}B. {—2, —1,0}C . { —1,0,1}D . {—2,—1,0,1}解析：选 D 因为B= {x|x2+ x —2<0} = {x|—2< x< 1}，所以A n B= { —2,—1,0,1}.2 .设集合A= {1,2,6} , B= {2,4}, C = {x€ R |—1 < x< 5}，则(A U B)n C =( )A. {2}B. {1,2,4}C. {1,2,4,5} D . {x € R |—1 < x< 5}解析：选B••A = {1,2,6}, B = {2,4} , /A U B= {1,2,4,6}.又C= {x €R | —1< x< 5}, "A UB)n C= {1,2,4}.故选B.3 .已知集合A= {x|—3vx<6} , B= {x|2vx<7}，贝U A n (?R B)=( )A. (2,6)B. (2,7)C . (—3,2］D . (—3,2)解析：选C因为？R B={X|X W 2 或x> 7}，所以 A n (?R B)= {x|—3<x< 2}.故选 C.4•若集合A= {x| x= x2—2, x € R }, B = {1, m},若 A U B= B,贝V m 的值为()A. 2B.—1C. —1 或2 D . 2 或2解析：选 A 因为 A = {x|.x =- x 2— 2, x€R }，所以 A = {2}.因为 B = {1, m}，且 A U B = B ，所以m = 2，故选A.[微咼考 考点综合训练]1 .已知集合 A = {x|x 2— 3x + 2w 0}, B = {X|1v2x <4}，则 A n B =( )A . {x|1< x w 2}B . {x|1<x < 2}C . {x|1w x<2}D . {x|0w x<2}解析：选 C A = {x|x 2 — 3x + 2w 0} = {x|1W x w 2} ,B = {x|1<2 x <4} = {x|0<x<2}，所以 A n B ={x|1w x<2}.故选 C.2 .若全集为实数集 R ，集合A = {x|log1 (2x — 1)>0}，则？R A =()2B . (1 ,+^ )解析：选D 因为全集为实数集 R ,集合A = {x|log 1 (2x — 1)>0} = {x|0<2x — 1<1}=2 1 x 2<x<13.已知集合 A = {4,a},B = {x® |x 2— 5x + 4>0}，若 A n (?z B)z ?，则实数 a 的值为()B . 3D . 2 或 3因为 B = {x 甩 |x 2— 5x + 4> 0}，所以?Z B = {xC Z |x 2— 5x + 4<0} = {2,3}，又5.设A = {x|x 2— 4x + 3w 0}，B = {x|ln(3— 2x)v0}，则图中阴影部分表示的集合为— a 3 、，2丿C .」，3丿U [1 ,+^ )— a, 1 U [1 ,+s )解析：选D集合 A = {4, a},4 .已知集合若 A n (?z B)工?，贝U a = 2 或 a = 3,故选 D.f，集合N = x，则()B .N ? M解析：选D 由题意知集合M 表示能被20整除的正整数，集合 N 表示能被40整除的整数，所以M n N="i x 40 ®*.故选 D .B.A.，所以？R A = x x w 1 或x > 1a ，2 J，+a ).故选 D.解析：选 B A= {x|x2—4x + 3w 0} = {x|1< x< 3}, B= {x|ln(3 —2x)<0} = {x|0<3 —2x<1}3=x ivx<2 r,图中阴影部分表示的集合为A QB = c x IVXV3 i,故选B.6.已知全集U = {x € N1 w x w 9}，集合A= {0,1,3,4}，集合B= {y|y= 2x, x€ A}，则(?U A) Q (?u B)=( )A. {5,7}B. { —1,5,7,9}C. {5,7,9}D . { —1,1,2,3,4,5,6,7,8,9}解析：选 C 因为U = {x €N |—1W x w 9}，所以U = {0,1 , 2,3,4,5,6,7,8,9} •因为集合 A = {0,1,3,4}，集合B = {y|y= 2x, x €A}，所以B= {0,2,6,8}.所以?u A= {2,5,6,7,8,9} , ?u B = {1,3,4,5,7,9}，所以(?u A)Q (?u B)= {5,7,9}，故选C.7 .已知集合A = {x|x2—2x—3>0, x € Z},集合B = {x|x>0}，则集合？z A Q B的子集的个数为()A. 3B. 4C. 7 D . 8解析：选 D •••集合A= {x|x —2x—3>0, x^Z},「？Z A = {x|x —2x—3w 0, x®}= {x|—1 w x w 3, x = {—1,0,1,2,3}.又集合B= {x|x>0},「.集合?Z A Q B= {1,2,3}，则集合?Z A Q B的子集个数为23= 8.故选D.8.已知集合A = {0,1,2m}, B = {x|1v 22—x< 4}，若A Q B = {1,2m}，则实数m 的取值范围是()A. 0,B. 1 1C. 0, 2 U 2，1 D - (0,1)解析：选 C 因为B = {x|1< 22—x< 4}，所以 B = {x|0< 2—x< 2}，所以B= {x|0< x< 2}.在数轴上标出集合B，集合A Q B，如图1或图2所示,0 1 2m2图2从图中可知，0< 2m< 1或1< 2m< 2，解得0< m<十或丁< m< 1,所以实数m的取值范围是0, 2 u 1, 1 .故选C.全称命题、特称命题的否定命题 命题的否定? x € M , p(x) ? xM ,綈 p(x 0)? xM , p(x 0)? x € M ,綈 p(x)3.四种命题的真假关系(1) 若两个命题互为逆否命题，则它们的真假性相同.(2) 若两个命题互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系. 4. 含有逻辑联结词的命题真假判断口诀 p V见真即真，p A 见假即假，p 与綈p i 真假相反.5. 注意两个易误点(1) 区分命题的否定与否命题，已知命题为“若 p ,则q ”，则该命题的否定为“若则綈q”，其否命题为“若綈p ,则綈q ”.(2) 在对全称命题和特称(存在性)命题进行否定时，不要忽视对量词的改变.［微练习］1 •命题：“ ？ x o >0，使2 x 0(x o - a)>1 ”的否定是( )A. ? x>0,使 2 x (x - a)>1B. ? x>0,使 2 x (x - a )w 1C. ? x w 0,使 2 x (x — a )w 1D. ? x w 0,使 2 x (x — a)>1咼考微点2常用逻辑用语、四种命题的相互关系及逻辑联结词四种命题间的相互关系愼命題： 若円則g 互 否何:M P［微要点］p ,互为互逆 互逼逆否互解析：选B 命题的否定为？x>0,使2 x (x —a)w 1.2.命题："若函数f（x）= x—ax + 3在［1 ,+m）上是增函数，则a w 2”的否命题（）A .与原命题同为假命题B.与原命题一真一假C .为假命题D .为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的否命题为“若函数f（x）= x1 2—ax+ 3在［1, +s）上不是增函数，则a>2 ”，为真命题，故选 D.3.已知p：? x0€ R, mx；J + 1 w 0, q：? x€ R, x2+ mx +1>0，若p V q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A. [2,+ IB. (— °°, —2]C . (— i,—2]U [2, + i)D . [—2,2]解析：选A 由p：? x°駅, mx°+ 1W 0,可得m<0;由q：? x€R, x + mx+ 1>0,可得△= m2—4<0,解得—2<m<2.因为p V q为假命题，所以p与q都是假命题，若p是假命题,则有m> 0;若q是假命题，则有m W —2或m> 2,故实数m的取值范围为［2, + ）.故选A.二、充要条件［微要点］1 .已知i 是虚数单位，a, b€ R,则"a= b= 1 ”是"(a+ bi)2= 2i” 的()1 A是B的充分不必要条件是指：A? B且B A;2 A的充分不必要条件是B是指：B? A且A =B,在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误.［微练习］A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选 A 因为当 a = b= 1 时，(a+ bi)2= (1 + i)2= 2i,而由(a+ bi)2= 2i，得a= b= 1或a= b=- 1,所以“a= b= 1”是“(a+ bi)2= 2i”的充分不必要条件.故选 A.2 .已知条件p：x+ y z—2，条件q：x, y不都是一1,贝U p是q的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选A 因为p：x+ y z —2, q：x z —1，或y M -1，所以綈p：x+ y=—2,綈q：x =—1,且y=—1,因为綈q?綈p但綈p "綈q,所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.3. 定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f' (x)，则“ f' (x)为偶函数”是“ f(x)为奇函数”的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选B -.f(x)为奇函数，/f(—x)=—f(x). /[f( —x)]' = [—f(x)]' , f (—x)•—x)' =—f' (x), /f' (—x) = f' (x),即f' (x)为偶函数；反之，若f' (x)为偶函数，女口f' (x) = 3x2, f(x) = x3+ 1满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“ f' (x)为偶函数”是“ f(x)为奇函数”的必要不充分条件.故选 B.- > -- >4. (2018西安八校联考)在厶ABC中，“ AB -BC >0”是“△ ABC是钝角三角形”的( )A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件-- > ---- > ■ ■---------------------- > --- > --------- > --- >解析：选A 设AB与BC的夹角为0,因为AB ・BC>0, 即卩|AB||・BC|cos >0，所以cos 6>0 , 0<90 °又0为厶ABC内角B的补角，所以/ B>90 ° △ ABC是钝角三角形；当厶ABC-- > --- >为钝角三角形时，/ B不一定是钝角.所以-B -C >0”是△ ABC是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.[微高考考点综合训练]1 .已知命题p：若a>|b|，贝U a2>b2;命题q：若x2= 4，则x = 2.下列说法正确的是()A.“ p V q”为真命题B.“ p A q”为真命题C. q为真命题 D .以上均不正确解析：选A 由条件知p为真命题，q为假命题，所以“ pVq”为真命题，故选 A.2.在△ ABC中，“ sin B = 1”是“△ ABC为直角三角形”的()A •充分不必要条件B.必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件n解析：选A 在△ABC中，若sin B= 1，贝U B= Q，所以△ ABC为直角三角形；若厶ABC为直角三角形，贝U sin B= 1或sin A= 1或sin C= 1.所以在厶ABC中，“sin B= 1”是“AABC为直角三角形”的充分不必要条件，故选 A.3 .已知命题p：? a € R，方程ax + 4= 0有解；命题q：? m o>0，直线x+ m o y—1= 0 与直线2x+ y+ 3= 0平行.给出下列结论，其中正确的个数是()①命题"p A q”是真命题；②命题"p A (綈q)”是真命题；③命题"(綈p) V q”为真命题；④命题“(綈p) V (綈q)”是真命题.A. 1B. 2C . 3D . 4解析：选B 因为当a= 0时，方程ax+ 4= 0无解，所以命题p为假命题；当1 —2m = 0, 1即m= 2时两条直线平行，所以命题q是真命题.所以綈p为真命题，綈q为假命题，所以①②错误，③④正确.4.命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则？x€ R, f(—X)M f(x).命题q：f(x) =x|x|在(—a, 0)上是减函数，在(0,+^ )上是增函数.则下列判断错误的是()A. p为假命题C. p V q为真命题B. 綈q为真命题D . p A q为假命题解析：选C 函数f(x)不是偶函数，仍然可以？x°€R，满足f(—x°)= f(X0),因此命题p厂2x2, x> 0,为假命题.函数f(x)= x|x|= 在( —a , 0)和(0,+ a)上都是增函数，因此命题—x2, x<0q为假命题.所以綈q为真命题，p V q为假命题，pAq为假命题.故选 2 25.方程」匕+一匕=1表示双曲线的一个充分不必要条件是(m—2 m十3 C. )A. —3< m<0B. —3<m<2C. —3< m<4D. —1<m<3解析：选A2 2方程+ —J = 1表示双曲线的充要条件是m—2 m+3(m —2)(m+ 3)<0 ? —3<m<2,所以它的一个充分不必要条件是(一3,2)的真子集.6 .已知非空集合M , P，则命题“ M ? P”为假命题的充要条件是( )C . ? X1 € M , X i € P 且X2 € M , x? PD. ? x o€ M, X o P解析：选DM ? P等价于？x €M, x€P,因为“ M ? P ”是假命题，所以其否定为？X o €M，x o P，它是真命题，故“ M ? P”为假命题的充要条件是？X o€M，X o P.故选D.7 .有下列几个命题：①“若a>b,则a2>b2”的否命题；②“若x + y= 0,则x, y互为相反数”的逆命题；③“若X2<4，则一2vxv2”的逆否命题.其中真命题的序号是 __________ .解析：①原命题的否命题为“若a w b,则a2w b2”，假命题.②原命题的逆命题为“若x, y互为相反数，则x + y= 0”，真命题•③原命题的逆否命题为“若x> 2或x< - 2，则X2》4 ”，真命题.答案：②③8•若命题“ ？x o€ R，使得x2 + (a-1)x°+ 1<0”是真命题，则实数a的取值范围是__________ .解析：•••“? X o€R，使得x0+ (a- 1)x o+ 1<0” 是真命题，•••△= (a- 1)2-4>0,即(a —1)2>4, •*a>3 或a<—1.答案：(—8, —1) u (3,+^ )高考微点3函数的图象和性质一、函数及其表示［微要点］1. 函数的基本问题(1) 函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(2) 函数的三种表示法：列表法、图象法和解析法.(3) 分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.2. 掌握求函数解析式的常用方法(1) 待定系数法.(2) 换元法(或配凑法).(3) 构造方程组法(消元法).3. 注意两个易误点(1)函数的定义域的表现形式是集合，因此，求出函数的定义域后，一定要表示成集合或2所以 f(— 2)= Iog 2[( — 2)2 + 5] = Iog 29> 0, f(f(— 2)) = f(log 29)= 3X 4IOg29= 3 X 丹蜩二 3X 2Iog29=3 X 81= 243.故选 B.代入 f(x)= 2f 1 X — 1 中，求得 f(x)= 3 X + 3.答案：3 X +1二、函数的图象［微要点］1.掌握函数图象的四种变换平移 变换—向左侑平移a① y -f (x )个单^q O>0)y = f(x 也)；—向上迁平移b②y=f (x)个单^―b>0)y =f(x) ±区间的形式，否则，就会因为格式不对而扣分. (2)求函数的定义域时最容易忽视条件的限制，如求函数 x>0， X M 0,忽视In X M 0的限制.f(x) =盒的定义域,只考虑到［微练习］1函数y =両三的定义域为( (0,4)B . (4,+^ ) (0,4) U (4,+^ )D . (0,+^ )解析：选C 由条件可得Iog 2x — 2M 0且X>0 ,解得X €(0,4) U 4, +).故选C.IOg2(X2 .设 f(x) = 「2+1)X v 0, i 3(t — 1 X , X > 0,A . 27 243 1 C.271 2431解析：选 B f 1 = 3(t — 1)2= 6,即(t — 1) 「log(x + 5 } x v 0,=2,解得 t = 5.故 f(x) = j| 3X 4X , X >0,3 .已知函数f(x)的定义域为 解析:且B.6,则f(f( — 2))的值为(—1,贝U f(x) =在 f(x)= 2f —1 (0,+^)，且 f(x) = 2f 12f(x)衣—1对称 变换① y — f(— x)与y — f(x)的图象关于y 轴对称；② y —— f(x)与y — f(x)的图象关于x 轴对称； ③ y —— f(— x)与y — f(x)的图象关于原点对称伸缩 变换①要得到y — a f(x) (a>0)的图象，可将y — f(x)的图象上每点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(a<1)到原来的a 倍，横坐标不变；②要得到y —f(a x)(a>0)的图象，可将y — f(x)的图象上每点的横坐标伸长(a<1)或缩短(a>1)到原来的a 倍，纵坐标不变 翻折 变换①对于y — f(x)的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到 y — | f(x)|的图象；② 保留y —f(x)在y 轴右边的图象，并作 y 轴右边的图象关于 y 轴对称的图象，即得y — f(|x |)的图象2.辨明两种对称关系(1) 一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对 称，且为奇函数，后者是两个不同的函数图象对称.(2) —个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称也不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数图象的对称关系.［微练习］1.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则 2-x 2A - f(x)=2" COSXB. f(x)= =2COSX x解析：选D A 中，当X T + 8时，f(x)T —8，与题图不符，故不成立； B 为偶函数, 与题图不符，故不成立； C 中，当X T 0+时，f(x)<0，与题图不符，故不成立•选D.nco^x2 .函数f(x)=------- 1的图象大致是(x +If(x)=-f(x) = COSXx f(x)的解析式n1 D ;在区间(0,+ 8)上，当 x T 0 时，COS2X T 1, x + 一- +^,贝V f(x)i 0,排除 B.故选 C.2x—1, 0< x v 1,故y =— f(2 — x)= 图象应为B. l x — 2, 1 < x < 2.三、函数的性质［微要点］1.函数的性质单调性设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域1内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2 ,当x 1< x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(f(x 1)>f(x 2)),则函数f(x)在区间D 上是增函数(减函数)奇偶性如果对于函数f(x)的疋义域内任意一个X ,都有f( — x) = f(x) (f(— x) = — f(x)),那么函数f(x)叫做偶函数(奇函数)周期性对于函数y = f(x),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x + T)= f(x)，那么就称函数 y = f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期解析：选C因为 f(- x)=- nCO#-_1 =- f(x),x + 1x所以f(x)是定义域上的奇函数, 所以排除A 、1, 0< x v 1, 以 f(2 — x)=|2 — x , K x < 2, C D2 — x q o,2］，所 解析:3.已知定义在区间［0,2］上的函数y = f(x)的图象如图所示，则y = — f(2 — x) 的图象为( 1 2 *2. 函数性质中常用结论⑴若函数f(x), g(x)在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质：① 当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)+ g(x)是增(减)函数. ② 当f(x), g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则 f(x) g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则 f(x) g(x)是减(增)函数.⑵若一个奇函数f(x)在x = 0处有定义，则f(0) = 0;若一个函数y = f(x)既是奇函数又是 偶函数，则f(x)= 0.⑶两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数，之积(商)为偶函数•一个奇函数与一个偶函数 的积(商)为奇函数.⑷若f(x)为偶函数，则f(x) = f(|x|) •3 •注意两个易误点(1)若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集. (2)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.[微练习]1 .已知函数f(x) = x2 — 2x — 3，则该函数的单调递增区间为 ( )A . (— a, 1]B . [3,+^ )C . (— a, — 1]D . [1，+a )解析：选B 由x 2— 2x — 3>0,得x > 3或x < — 1.当x >3时，函数t = x 2— 2x — 3为增 函数.••$= .t 为增函数，.••若函数f(x)为增函数，则函数f(x)的单调递增区间为[3,+a ).故 选B.2 .若函数f(x) = x 1 — e x ： 1，则函数f(x)的图象关于( )A.原点对称 B . x 轴对称C. y 轴对称D . y = x 对称 、C 2 '、e x — 1e -11解析：选 C f(x)的定义域为 R .^f(x)= x 1—x . 1 = x ,则 f(— x)= ( — x)=< e 十 1 丿 e +1e —+ 1xx1 — e e — 1(—x) • x = x ・ =f(x),「.f(x)是偶函数，.••函数f(x)的图象关于y 轴对称.故选 C.1+ e x e x + 1(5)若 f(x + T) = — f(x), f(x + T)=2T.，贝U f(x)的最小正周期为3.若函数y = 2—X , x € (m , n ］的最小值为0，则m 的取值范围是()x + 1 A . (1,2) B . (- 1,2) C. [1,2)D . [- 1,2)2 — x3 — x — 1 3解析：选B 函数y == = — 1，在x€(— 1 ,+8)时，函数y 是单调递 x + 1 x + 1 x + 1减函数，在x = 2时，y = 0根据题意x €(m , n ］时，y 的最小值为0,•'m 的取值范围是一1<m<2.若f(2m —1)+ f(m — 2)>0,贝U m 的取值范围是(A . (1 ,+^ )D . ( — ^, 1]4x + a解析：选B ・.f(x)=—是奇函数，且定义域为x••f(x)= 2x — 2 —，显然函数f(x)在R 上单调递增. ••f(2m — 1) + f(m — 2) > 0,••f(2m — 1)> — f(m — 2),「.f(2m — 1)> f(2 — m), ••2m — 1 >2 — m ,解得 m > 1.5•函数y = f(x)在区间[0,2]上单调递增，且函数 f(x + 2)是偶函数，则下列结论成立的是 ( ) A . f(1)<f 号 <f 2B . f f <f(1)vf 5C. f 7 vf 2 <f (1) D. f5 vf (1)<f7解析：选B 因为函数f(x + 2)是偶函数，所以f(x + 2) = f(— x + 2)，即函数f(x)的图象关 于x = 2对称，又因为函数 y = f(x)在区间［0,2］上单调递增，所以函数 y = f(x)在区间［2,4］上单 调递减.因为 f(1) = f(3), 7>3>2，所以 f 7 <f(3)<f 2，即 f 2 vf(1)vr 5 .［微高考考点综合训练］1 .函数y = 1 — log 3X 的定义域为()A . (0,1］B . ［1,3］4x + a4.已知函数f(x) = gL 是奇函数， B . [1 ,+^ )40 + aR ，…f(0) = ~2°~ = 0 ,•・a = —1,C. (0,3］ D . (1,3］解析：选C 由题意得1 —log a x>0,且x>0,「.0vx< 3.故选C.x + -^, x>2, 2 .已知函数f(x) = x —2,x 2+ 2, x < 2,B . 2 D . 11解析：选 C 守⑴=12+ 2= 3,「.f[f(1)] = f(3) = 3+3.函数f(x)= lg(|x|— 1)的大致图象是(解析：选 B •••函数 f(x)= lg(|x| — 1),•'f( — x) = lg(|x|— 1)= f(x),「.f(x)是偶函数,数函数图象的特点知选 B.A . 5B . 6C . 7D . 8解析：选 C f(8) = f(f(8 + 5)) = f(f(13)) = f(10) = 7.故选 C.x , x w 0,x — 125.下列四个函数：①y = 3— x ;②y = 2 (x >0);③y = x + 2x — 10;④y = $ 1一，x > 0. lx其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A . 1B . 2则 f[f(1)]=()1= 4.故选 C. 3 — 2当x€(1 ,+^)时，函数f(x)为增函数，当x € — m，— 1)4 .已知函数f(n)=n — 3, n > 10,|f (f (n + 5》n<10 ,其中 n € N ，贝U f(8)=(C . 3D . 4解析：选B ①y= 3 —x的定义域和值域均为R;②y= 2 X，(x> 0)的定义域为(0 ,+^)，值域为1,+^ ；3y= x2+ 2x—10的定义域为R，值域为［—11,+ );x, X W 0,④y= 1的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，1, x>0共有2个，故选B.6.定义在R 上的函数f(x)满足f(—x)=—f(x), f(x)= f(x+ 4)，且当x€ (—1,0)时，f(x)x 1=2 + 5，贝y f(log220)=( )4A. 1B.-54C. —1D. — 4解析：选C 因为x€R，且f(—x)=—f(x),所以函数f(x)为奇函数，因为f(x) = f(x+ 4),所以f(x)是周期函数且周期为 4.所以f(log220)= f(log220 —4) = f log24=—f 喝；=—f i|o g24y=— ?。

限时规范训练七 导数的综合应用限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )取极大值．则上述判断中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④⑤D ．③解析：选D.当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f (x )无极值，⑤错．故选D.2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：选C.f ′(x )＝4x －1x＝x －x ＋x，∵x ＞0，由f ′(x )＝0得x ＝12.∴令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.故C 正确．3．已知函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )＞f (x )，则( ) A ．f (2)＜e 2f (0) B ．f (2)≤e 2f (0) C ．f (2)＝e 2f (0)D ．f (2)＞e 2f (0)解析：选D.由题意构造函数g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f x －f xex＞0，则g (x )＝f xex在R 上单调递增，则有g (2)＞g (0)，故f (2)＞e 2f (0)．4．不等式e x－x ＞ax 的解集为P ，且[0,2]⊆P ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，e －1) B ．(e －1，＋∞) C ．(－∞，e ＋1)D ．(e ＋1，＋∞)解析：选A.由题意知不等式e x－x ＞ax 在区间[0,2]上恒成立，当x ＝0时，不等式显然成立，当x ≠0时，只需a ＜e xx －1恒成立，令f (x )＝e xx－1，f ′(x )＝e xx －x 2，显然函数在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值e －1，则a ＜e －1，故选A.5．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当x ＞1时，f (x )与g (x )的大小关系是( )A ．f (x )＞g (x )B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＝g (x )D ．f (x )与g (x )的大小关系不确定解析：选B.由题意得f (x )与x 轴的交点(1,0)在g (x )上，所以a ＋b ＝0，因为函数f (x )，g (x )的图象在此公共点处有公切线，所以f (x )，g (x )在此公共点处的导数相等，f ′(x )＝1x，g ′(x )＝a －b x 2，以上两式在x ＝1时相等，即1＝a －b ，又a ＋b ＝0，所以a ＝12，b ＝－12，即g (x )＝x 2－12x ，f (x )＝ln x ，令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －x 2＋12x ，则h ′(x )＝1x －12－12x 2＝2x －x 2－12x2＝－x －22x2，因为x ＞1，所以h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以h (x )＜h (1)＝0，所以f (x )＜g (x )．故选B.6．设函数f (x )＝ax 3－x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]都有f (x )≥0，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2]B ．[0，＋∞)C ．[0,2]D ．[1,2]解析：选C.∵f (x )＝ax 3－x ＋1，∴f ′(x )＝3ax 2－1，当a ＜0时，f ′(x )＝3ax 2－1＜0，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝a ＜0，不符合题意．当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝0，符合题意． 当a ＞0时，由f ′(x )＝3ax 2－1≥0，得x ≥13a 或x ≤－13a ，当0＜13a ＜1，即a ＞13时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13a，13a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎥⎤13a ，1上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －＝－a ＋1＋1＝2－a ≥0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 3－13a ＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a ≥427a ＞13，∴13＜a ≤2； 当13a ≥1，即0＜a ≤13时，f (x )在[－1,1]上单调递减， f (x )min ＝f (1)＝a ＞0，符合题意．综上可得，0≤a ≤2.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )＞0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)的零点个数为________．解析：因为g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，又g (x )＞g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点．答案：08．在函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2(x ＞0)的图象上任取两个不同点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，总能使得f (x 1)－f (x 2)≥4(x 1－x 2)，则实数a 的取值范围为________．解析：不妨设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，∵f (x 1)－f (x 2)≥4(x 1－x 2)，∴f x 1－f x 2x 1－x 2≥4，∵f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2(x ＞0)∴f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)，∴a x ＋2(x ＋1)≥4，∴a ≥－2x 2＋2x ，又－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12≤12，∴a ≥12. 答案：a ≥129．设函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，且f (3)＝0，则不等式x －1f x≥0的解集为________． 解析：∵函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，∴f ′(x 0)＝3x 20－6x 0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，设f (x )＝x 3－3x 2＋c ，又f (3)＝0，∴33－3×32＋c ＝0，解得c ＝0，∴f (x )＝x 3－3x 2，∴x －1f x ≥0可化为x －1x 3－3x 2≥0，解得0＜x ≤1或x ＜0或x ＞3. 答案：(－∞，0)∪(0,1]∪(3，＋∞)三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <m ，求m 的最小值．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①若a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意．②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增． 故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点． 因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0， 故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0. 令x ＝1＋12n ，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12n ，从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e.而⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋123>2，所以m 的最小值为3. 11．设函数f (x )＝e mx＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1，求m 的取值范围． 解：(1)证明：f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1≤0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f ′(x )＞0.若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1＞0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1＜0，f ′(x )＞0.所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f －f －1，f－－f －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1，e －m＋m ≤e－1.①设函数g (t )＝e t－t －e ＋1，则g ′(t )＝e t－1. 当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0. 故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0，故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0. 当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m ＞1时，由g (t )的单调性，g (m )＞0，即e m－m ＞e －1； 当m ＜－1时，g (－m )＞0，即e －m＋m ＞e －1. 综上，m 的取值范围是[－1,1]．12．已知函数f (x )＝mx 4x 2＋16，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －m |，其中m ∈R 且m ≠0. (1)判断函数f (x )的单调性；(2)当m ＜－2时，求函数F (x )＝f (x )＋g (x )在区间[－2,2]上的最值；(3)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≥2，g x ，x ＜2，当m ≥2时，若对于任意的x 1∈[2，＋∞)，总存在唯一的x 2∈(－∞，2)，使得h (x 1)＝h (x 2)成立，试求m 的取值范围．解：(1)依题意，f ′(x )＝m－x2x 2＋2＝m －x ＋xx 2＋2，①当m ≥0时，解f ′(x )≥0得－2≤x ≤2，解f ′(x )＜0得x ＜－2或x ＞2；所以f (x )在[－2,2]上单调递增，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减． ②当m ＜0时，解f ′(x )≤0得－2≤x ≤2，f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞2； 所以f (x )在[－2,2]上单调递减；在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增． (2)当m ＜－2，－2≤x ≤2时，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －m |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ＝2m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[－2,2]上单调递减，由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减，所以F (x )＝f (x )＋g (x )＝mx 4x 2＋16＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[－2,2]上单调递减；∴F (x )max ＝F (－2)＝4×2m－m16＝2m ＋2－m16；F (x )min ＝F (2)＝2m －2＋m16.(3)当m ≥2，x 1∈[2，＋∞)时，h (x 1)＝f (x 1)＝mx 14x 21＋16，由(1)知h (x 1)在[2，＋∞)上单调递减， 从而h (x 1)∈(0，f (2)]，即h (x 1)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，m 16；当m ≥2，x 2＜2时，h (x 2)＝g (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x 2－m |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ·2x 2在(－∞，2)上单调递增， 从而h (x 2)∈(0，g (2))，即h (x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2；对于任意的x 1∈[2，＋∞)，总存在唯一的x 2∈(－∞，2)，使得h (x 1)＝h (x 2)成立，只需m16＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2，即m 16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2＜0成立即可．记函数H (m )＝m16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2，易知H (m )＝m16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2在[2，＋∞)上单调递增，且H (4)＝0. 所以m 的取值范围为[2,4)．。

客观题提速练一(时间:45分钟满分:80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2018·云南昆明一中月考)复数(i是虚数单位)的虚部为( )(A)i (B)1 (C)-i (D)-12.(2018·四川南充二模)已知全集U=R,集合A={x|x>0},B={x|0<x<1},则(∁U A)∪B等于( )(A){x|0<x<1} (B){x|x≤0}(C){x|x<1} (D)R3.在区间[1,4]上随机取一个数x,则事件“log4x≥”发生的概率为( )(A)(B)(C)(D)4.(2018·四川南充二模)已知tan α=2,则的值为( )(A)-3 (B)3 (C)(D)-5.(2018·云南昆明一中月考)已知数列{a n}的前n项和为S n=n2,则a3+a8的值是( )(A)200 (B)100 (C)20 (D)106.若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )(A)6 (B)2 (C)1 (D)37.(2018·江西高三质量检测)已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:>0,且﹁q的一个必要不充分条件是﹁p,则a的取值范围是( )(A)[-3,0](B)(-∞,-3]∪[0,+∞)(C)(-3,0)(D)(-∞,-3)∪(0,+∞)8.(2018·云南昆明一中月考)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A为C上一点,以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,若∠BFD=120°,△ABD的面积为2,则p等于( )(A)1 (B)(C)(D)29.(2018·全国Ⅱ卷)函数f(x)=的图象大致为( )10.(2018·云南昆明一中月考)已知函数f(x)=ax3-x2+b在x=1处取得极值,令函数g(x)=,程序框图如图所示,若输出的结果K>,则判断框内可填入的条件为( )(A)n<2 018?(B)n≤2 018?(C)n≤2 019?(D)n<2 019?11.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是( )(A)[-3,1](B)[-4,2](C)(-∞,-3]∪[1,+∞)(D)(-∞,-4]∪[2,+∞)12.(2018·榆林三模)定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f′(x1)=,f′(x2)=,则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数f(x)=x3-x2+a是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是( )(A)(,) (B)(,3)(C)(,1) (D)(,1)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2018·云南昆明一中月考)若等比数列{a n}的前n项和S n=m·4n-1+t(其中m,t是常数),则= .14.(2018·云南曲靖一中质量监测)已知a=(,-),|b|=2,且a⊥(a-2b),则a与b夹角的余弦值为.15.(2018·全国Ⅱ卷)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.16.(2018·云南昆明一中月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+2b2=3c2,a=6sin A,则c的最大值为.1.B 由题意,====i,故选B.2.C 因为U=R,A={x|x>0},所以U A={x|x≤0},又因为B={x|0<x<1},所以(U A)∪B={x|x<1},故选C.3.B 由log4x≥,得x≥2,所以在区间[1,4]上随机取一个数x,事件“log4x≥”发生的概率为P==.故选B.4.A 因为tan α=2,所以===-3.故选A.5.C 当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-(n-1)2=2n-1,由于a n=2n-1(n≥2),也适合a1=1,所以a n=2n-1(n∈N*),所以a3+a8=5+15=20.故选C.6.C 由三视图可知,该几何体是个三棱锥,它的高h=3,底面积S=×1×2=1,所以V=×1×3=1.故选C.7.A 由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,故p:-3≤x≤1;命题q:x>a+1或x<a,故﹁q:a≤x≤a+1.由﹁q的一个必要不充分条件是﹁p,可知﹁q是﹁p的充分不必要条件,故解得-3≤a≤0.故选A.8.A 因为∠BFD=120°,所以圆的半径|FA|=|FB|=2p,|BD|=2p,由抛物线定义知,点A到准线l的距离d=|FA|=2p,所以|BD|·d=2p·p=2,所以p=1,选A.9.B 因为y=e x-e-x是奇函数,y=x2是偶函数,所以f(x)=是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项.因为f(1)==e-,e>2,所以<,所以f(1)=e->1,排除C,D选项.故选B.10.B 由题意,f′(x)=3ax2-x,而f′(1)=3a-1=0,解得a=,故g(x)===-.由程序框图可知,当n=2时,K=,n=3时,K=,n=4时,K=,n=5时,K=,…n=2 018时,K=,欲输出K>,须n≤2 018.11.A f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称,又f(x)在[1,+∞)单调递减,且x∈[-1,0],由f(m+2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1.12.C 由题意可知,因为f(x)=x3-x2+a,在区间[0,a]存在x1,x2(0<x1<x2<a),满足f′(x1)=f′(x2)==a2-a,因为f(x)=x3-x2+a,所以方程3x2-2x=a2-a在区间(0,a)上有两个不相等的解.令g(x)=3x2-2x-a2+a(0<x<a),则解得<a<1.所以实数a的取值范围是(,1).故选C.13.解析:a1=S1=m+t,a2=S2-S1=3m,a3=S3-S2=12m,由数列{a n}是等比数列得=a1a3,所以9m2=12m(m+t),化简得m=-4t,所以=-4.答案:-414.解析:因为a=(,-),|b|=2,且a⊥(a-2b),所以a·(a-2b)=a2-2a·b=0,且|a|=1.所以a·b=,所以cos<a,b>===.答案:15.解析:由不等式组画出可行域,如图(阴影部分).目标函数z=x+y取得最大值⇔斜率为-1的平行直线x+y=z(z看作常数)的截距最大,由图可得直线x+y=z过点C时z取得最大值.由得点C(5,4),所以z max=5+4=9.答案:916.解析:由a2+2b2=3c2,由余弦定理及基本不等式可得,cos C===+≥2=,所以sin C=≤,当且仅当a∶b∶c=∶∶时等号成立,所以sin C的最大值是,又因为a=6 sin A,所以==6,所以c=6sin C≤2.所以c的最大值为2.答案:2。

寒假作业(一) 集合与常用逻辑用语(注意解题的速度)一、选择题1．设集合A ＝{x |log 2x <0}，B ＝{m |m 2－2m <0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，2) B ．(0,1) C ．(0,2)D ．(1,2)解析：选C 由题意可得A ＝(0,1)，B ＝(0,2)，所以A ∪B ＝(0,2)．2．(2017·沈阳一检)命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12解析：选D 命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12”即可．3．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}． 4．若集合M ＝⎩⎨⎧x ∈R ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＋2x －1≤0，N 为自然数集，则下列选项中正确的是( )A ．M ⊆{x |x ≥1}B ．M ⊆{x |x >－2}C ．M ∩N ＝{0}D ．M ∪N ＝N解析：选C ∵M ＝⎩⎨⎧x ∈R ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＋2x －1≤0＝{x |－2≤x <1}，N 为自然数集，∴M ⊆{x |x ≥1}错误，M ⊆{x |x >－2}错误，M ∩N ＝{0}正确，M ∪N ＝N 错误．5．(2018届高三·洛阳五校联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示的阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D 由Venn 图知阴影部分表示的集合为(∁R A )∩B ，依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，故(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}．6．设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x ||x |≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( ) A ．－1<x ≤1 B ．x ≤1 C ．x >－1D ．－1<x <1解析：选D 由题意可知，x ∈A ⇔x >－1，x ∉B ⇔－1<x <1，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是－1<x <1.7．已知集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝{x |x 2－3x ≤0，x ∈N}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,4} B ．{－2，－1,0} C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}解析：选D ∵A ＝{x ||x |≤2}＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－3x ≤0，x ∈N}＝{0,1,2,3}，∴A ∩B ＝{0,1,2}．8．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6，故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． 9．已知命题p ：∀a ∈R ，方程ax ＋4＝0有解；命题q ：∃m 0>0，直线x ＋m 0y －1＝0与直线2x ＋y ＋3＝0平行．给出下列结论，其中正确的有( )①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是真命题； ③命题“(綈p )∨q ”为真命题； ④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 因为当a ＝0时，方程ax ＋4＝0无解，所以命题p 为假命题；当1－2m ＝0，即m ＝12时两条直线平行，所以命题q 是真命题．所以綈p 为真命题，綈q 为假命题，所以①错误，②错误，③正确，④正确．故正确的命题有2个．10．下列说法中正确的是( )A ．“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的充要条件B ．若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1<0 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．命题“若α＝π6，则sin α＝12”的否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”解析：选D 当f (0)＝0时，函数f (x )不一定是奇函数，如f (x )＝x 2，所以A 错误；若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1≤0，所以B 错误；p ，q 只要有一个是假命题，则p ∧q 为假命题，所以C 错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D 正确．11．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕：A i ⊕A j ＝A k ，k 为i ＋j 除以4的余数(i ，j ＝0,1,2,3)，则满足关系式(x ⊕x )⊕A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 因为x ∈S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，故x 的取值有四种情况．若x ＝A 0，根据定义得，(x ⊕x )⊕A 2＝A 0⊕A 2＝A 2，不符合题意，同理可以验证x ＝A 1，x ＝A 2，x ＝A 3三种情况，其中x ＝A 1，x ＝A 3符合题意，故选C.12．若f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(3，＋∞)解析：选D P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，因为函数f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x ＋t <2}＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则有2－t <－1，即t >3.二、填空题13．已知全集为R ，集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}，则A ∪∁R B ＝________. 解析：因为A ＝{x |x －1≥0}＝[1，＋∞)，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}＝{x |x 2－5x ＋6≥0}＝{x |x ≤2或x ≥3}，∁R B ＝(2,3)，所以A ∪∁R B ＝[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)14．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，m ≥2tan x ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，2tan x 的最大值为2tan π3＝23，∴m ≥23，实数m 的最小值为2 3.答案：2 315．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－x≤16，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－x≤16＝{x |22≤2x －2≤24}＝{x |4≤x ≤6}＝[4,6]，∵A ⊆B ，∴a ≤4，b ≥6，∴a －b ≤4－6＝－2，即a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]16．设全集U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤2x }，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4x }，给出以下命题：①A ∩B ＝A ，②A ∪B ＝B ，③A ∩(∁U B )＝∅，④B ∩(∁U A )＝U ，其中正确命题的序号是________．解析：集合A 表示的是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部的点构成的集合，集合B 表示的是以(2,0)为圆心，2为半径的圆及其内部的点构成的集合，易知A ⊆B ，利用Venn 图可知，①②③正确，④错误．答案：①②③。

高考微点1 集 合一、集合间的基本关系[微要点]1．集合间的基本关系的两个重要结论 (1)A ⊆B 包含A ＝B 和A B 两种情况，两者必居其一，若存在x ∈B 且x ∉A ，说明A ≠B ，只能是AB .(2)集合相等的两层含义：若A ⊆B 且B ⊆A ，则A ＝B ；若A ＝B ，则A ⊆B 且B ⊆A . 2．集合间的基本关系中的两个易误点 (1)注意和⊆的区别，虽然两者均表示集合间的包含关系，但前者是后者“≠”情形时的包含关系．(2)解题时，出现A ⊆B 时，务必注意对集合A 进行分类讨论，即分A ＝∅和A ≠∅两种情况进行分类讨论，并注意对端点值的检验．[微练习]1．下列集合中，集合A ＝{x |x 2<5x }的真子集是( ) A ．{2,5} B ．(6，＋∞) C ．(0,5)D ．(1,5)解析：选D A ＝{x |x 2<5x }＝(0,5)，根据真子集的概念可知，只有选项D 满足． 2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x －12，B ＝{x |x <2m －1}，且A ⊆∁R B ，则m 的最大值是________．解析：依题意，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x －12＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，∁R B ＝{x |x ≥2m －1}，又A ⊆∁R B ，所以2m －1≤12，解得m ≤34.故m 的最大值为34.答案：34二、集合的基本运算[微要点]1． 集合的运算及表示(1)(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B；A∩B＝B∩A；A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；A∪B＝B∪A.(2)若A⊆B，则A∩B＝A；若A∩B＝A，则A⊆B.若A⊆B，则A∪B＝B；若A∪B＝B，则A⊆B.(3)∁U(∁U A)＝A，A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅.3．集合运算中的易误点遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B ＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．[微练习]1．设集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|x2＋x－2≤0}，则A∩B＝()A．{0,1,2} B．{－2，－1,0}C．{－1,0,1} D．{－2，－1,0,1}解析：选D因为B＝{x|x2＋x－2≤0}＝{x|－2≤x≤1}，所以A∩B＝{－2，－1,0,1}．2．设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R |－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,5} D．{x∈R |－1≤x≤5}解析：选B∵A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4,6}．又C＝{x∈R |－1≤x≤5}，∴(A∪B)∩C＝{1,2,4}．故选B.3．已知集合A＝{x|－3<x<6}，B＝{x|2<x<7}，则A∩(∁R B)＝()A．(2,6) B．(2,7)C．(－3,2] D．(－3,2)解析：选C因为∁R B＝{x|x≤2或x≥7}，所以A∩(∁R B)＝{x|－3<x≤2}．故选C.4．若集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R }，B＝{1，m}，若A∪B＝B，则m的值为() A．2 B．－1C．－1或2 D．2或2解析：选A因为A＝{x|x＝x2－2，x∈R }，所以A＝{2}．因为B＝{1，m}，且A ∪B＝B，所以m＝2，故选A.[微高考——考点综合训练]1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |1<2x <4}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |1<x ≤2} C ．{x |1≤x <2} D ．{x |0≤x <2}解析：选C A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1<2 x <4}＝{x |0<x <2}，所以A ∩B ＝{x |1≤x <2}．故选C.2．若全集为实数集R ，集合A ＝{x |log 12(2x －1)>0}，则∁R A ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(1，＋∞)C.⎣⎡⎦⎤0，12∪[1，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞) 解析：选D 因为全集为实数集R ，集合A ＝{x |log 12(2x －1)>0}＝{x |0<2x －1<1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12<x <1，所以∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12或x ≥1＝⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞)．故选D.3．已知集合A ＝{4，a }，B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩(∁Z B )≠∅，则实数a 的值为( )A ．2B ．3C ．2或4D ．2或3解析：选D 因为B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4≥0}，所以∁Z B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4<0}＝{2,3}，又集合A ＝{4，a }，若A ∩(∁Z B )≠∅，则a ＝2或a ＝3，故选D.4．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x 4∈N *且x 10∈N *，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x40∈Z ，则( ) A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ∪N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x20∈Z D ．M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x40∈N * 解析：选D 由题意知集合M 表示能被20整除的正整数，集合N 表示能被40整除的整数，所以M ∩N=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x40∈N *.故选D. 5.设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B ．⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎣⎡⎭⎫1，32 D ．⎝⎛⎦⎤32，3解析：选B A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1<x <32，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <32，故选B.6．已知全集U ＝{x ∈N |－1≤x ≤9}，集合A ＝{0,1,3,4}，集合B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5,7}B ．{－1,5,7,9}C ．{5,7,9}D ．{－1,1,2,3,4,5,6,7,8,9}解析：选C 因为U ＝{x ∈N |－1≤x ≤9}，所以U ＝{0,1，2,3,4,5,6,7,8,9}．因为集合A ＝{0,1,3,4}，集合B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，所以B ＝{0,2,6,8}．所以∁U A ＝{2,5,6,7,8,9}，∁U B ＝{1,3,4,5,7,9}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝{5,7,9}，故选C.7．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0，x ∈Z }，集合B ＝{x |x >0}，则集合∁Z A ∩B 的子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8解析：选D ∵集合A ＝{x |x 2－2x －3>0，x ∈Z }，∴∁Z A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈Z }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈Z }＝{－1,0,1,2,3}．又集合B ＝{x |x >0}，∴集合∁Z A ∩B ＝{1,2,3}，则集合∁Z A ∩B 的子集个数为23＝8.故选D.8．已知集合A ＝{0,1,2m }，B ＝{x |1＜22－x ＜4}，若A ∩B ＝{1,2m }，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(0,1)解析：选C 因为B ＝{x |1＜22－x ＜4}，所以B ＝{x |0＜2－x ＜2}，所以B ＝{x |0＜x ＜2}．在数轴上标出集合B ，集合A ∩B ，如图1或图2所示，从图中可知，0＜2m ＜1或1＜2m ＜2，解得0＜m ＜12或12＜m ＜1，所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫12，1.故选C.高考微点2 常用逻辑用语一、四种命题的相互关系及逻辑联结词[微要点]1．四种命题间的相互关系2．全称命题、特称命题的否定3．四种命题的真假关系(1)若两个命题互为逆否命题，则它们的真假性相同．(2)若两个命题互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系．4．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反．5．注意两个易误点(1)区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”．(2)在对全称命题和特称(存在性)命题进行否定时，不要忽视对量词的改变．[微练习]1．命题：“∃x0>0，使2 x0(x0－a)>1”的否定是()A．∀x>0，使2 x (x－a)>1B．∀x>0，使2 x (x－a)≤1C．∀x≤0，使2 x (x－a)≤1D．∀x≤0，使2 x (x－a)>1解析：选B命题的否定为∀x>0，使2 x (x－a)≤1.2．命题：“若函数f(x)＝x2－ax＋3在[1，＋∞)上是增函数，则a≤2”的否命题() A．与原命题同为假命题B．与原命题一真一假C．为假命题D．为真命题解析：选D原命题显然为真，原命题的否命题为“若函数f(x)＝x2－ax＋3在[1，＋∞)上不是增函数，则a>2”，为真命题，故选D.3．已知p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为()A．[2，＋∞)B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．[－2,2]解析：选A由p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，可得m<0；由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，可得Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.因为p∨q为假命题，所以p与q都是假命题，若p是假命题，则有m≥0；若q是假命题，则有m≤－2或m≥2，故实数m的取值范围为[2，＋∞)．故选A.二、充要条件[微要点]1．充分条件与必要条件的三种判定方法q利用集合间的包含关系．例如，若(1)A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；(2)A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．[微练习]1．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为当a＝b＝1时，(a＋b i)2＝(1＋i)2＝2i，而由(a＋b i)2＝2i，得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的充分不必要条件．故选A.2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．3．定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′，∴f ′(－x )·(－x )′＝－f ′(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f ′(x )＝3x 2，f (x )＝x 3＋1满足条件，但f (x )不是奇函数，所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.4．(2018·西安八校联考)在△ABC 中，“AB ―→·BC ―→>0”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设AB ―→与BC ―→的夹角为θ，因为AB ―→·BC ―→>0，即|AB ―→|·|BC ―→|cos θ>0，所以cos θ>0，θ<90°，又θ为△ABC 内角B 的补角，所以∠B >90°，△ABC 是钝角三角形；当△ABC 为钝角三角形时，∠B 不一定是钝角．所以“AB ―→·BC ―→>0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.[微高考——考点综合训练]1．已知命题p ：若a >|b |，则a 2>b 2；命题q ：若x 2＝4，则x ＝2.下列说法正确的是( ) A ．“p ∨q ”为真命题 B ．“p ∧q ”为真命题 C ．q 为真命题D ．以上均不正确解析：选A 由条件知p 为真命题，q 为假命题，所以“p ∨q ”为真命题，故选A. 2．在△ABC 中，“sin B ＝1”是“△ABC 为直角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 在△ABC 中，若sin B ＝1，则B ＝π2，所以△ABC 为直角三角形；若△ABC 为直角三角形，则sin B ＝1或sin A ＝1或sin C ＝1.所以在△ABC 中，“sin B ＝1”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件，故选A.3．已知命题p ：∀a ∈R ，方程ax ＋4＝0有解；命题q ：∃m 0>0，直线x ＋m 0y －1＝0与直线2x ＋y ＋3＝0平行．给出下列结论，其中正确的个数是( )①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是真命题；③命题“(綈p )∨q ”为真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 因为当a ＝0时，方程ax ＋4＝0无解，所以命题p 为假命题；当1－2m＝0，即m ＝12时两条直线平行，所以命题q 是真命题．所以綈p 为真命题，綈q 为假命题，所以①②错误，③④正确．4．命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )A ．p 为假命题B ．綈q 为真命题C ．p ∨q 为真命题D ．p ∧q 为假命题解析：选C 函数f (x )不是偶函数，仍然可以∃x 0∈R ，满足f (－x 0)＝f (x 0)，因此命题p 为假命题．函数f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，因此命题q 为假命题．所以綈q 为真命题，p ∨q 为假命题，p ∧q 为假命题．故选C.5．方程x 2m －2＋y 2m ＋3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是( )A ．－3<m <0B ．－3<m <2C ．－3<m <4D ．－1<m <3解析：选A 方程x 2m －2＋y 2m ＋3＝1表示双曲线的充要条件是(m －2)(m ＋3)<0⇒－3<m <2，所以它的一个充分不必要条件是(－3,2)的真子集．6．已知非空集合M ，P ，则命题“M ⊆P ”为假命题的充要条件是( ) A ．∀x ∈M ，x P B ．∀x ∈P ，x ∈MC ．∃x 1∈M ，x 1∈P 且x 2∈M ，x 2PD ．∃x 0∈M ，x 0P解析：选D M ⊆P 等价于∀x ∈M ，x ∈P ，因为“M ⊆P ”是假命题，所以其否定为∃x 0∈M ，x 0P ，它是真命题，故“M ⊆P ”为假命题的充要条件是∃x 0∈M ，x 0P .故选D.7．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题．②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题．答案：②③8．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是_____．解析：∵“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，∴Δ＝(a －1)2－4>0，即(a－1)2>4，∴a >3或a <－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)高考微点3 函数的图象和性质一、函数及其表示[微要点]1．函数的基本问题(1)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (2)函数的三种表示法：列表法、图象法和解析法．(3)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．2．掌握求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法． (2)换元法(或配凑法)． (3)构造方程组法(消元法)． 3．注意两个易误点(1)函数的定义域的表现形式是集合，因此，求出函数的定义域后，一定要表示成集合或区间的形式，否则，就会因为格式不对而扣分．(2)求函数的定义域时最容易忽视条件的限制，如求函数f (x )＝1x ln x 的定义域，只考虑到x >0，x ≠0，忽视ln x ≠0的限制．[微练习]1．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( )A ．(0,4)B ．(4，＋∞)C ．(0,4)∪(4，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 由条件可得log 2x －2≠0且x >0，解得x ∈(0,4)∪(4，＋∞)．故选C.2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋t )，x ＜0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为( ) A ．27 B ．243 C.127D ．1243解析：选B f ⎝⎛⎭⎫12＝3(t －1)21＝6，即(t －1)21＝2，解得t ＝5.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋5)，x ＜0，3×4x ，x ≥0，所以f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29＞0，f (f (－2))＝f (log 29)＝3×4log 29＝3×22log 29＝3×2log 292＝3×81＝243.故选B.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x－1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13. 答案：23x ＋13二、函数的图象[微要点]1．掌握函数图象的四种变换2．辨明两种对称关系(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数图象对称．(2)一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称也不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数图象的对称关系．[微练习]1.已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝2－x 22xB ．f (x )＝cos xx 2C ．f (x )＝－cos 2xxD ．f (x )＝cos xx解析：选D A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x →0＋时，f (x )<0，与题图不符，故不成立．选D.2．函数f (x )＝cos π2x x ＋1x的图象大致是()解析：选C 因为f (－x )＝－cos π2x x ＋1x ＝－f (x )，所以f (x )是定义域上的奇函数，所以排除A 、D ；在区间(0，＋∞)上，当x →0时，cos π2x →1，x ＋1x →＋∞，则f (x )→0，排除B.故选C.3.已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为()解析：选B 由y ＝f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1，1＜x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0≤x ＜1，2－x ，1≤x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ＜1，x －2，1≤x ≤2.图象应为B. 三、函数的性质[微要点]1．函数的性质2．函数性质中常用结论(1)若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： ①当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数．②当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f (x )·g (x )也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f (x )·g (x )是减(增)函数．(2)若一个奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；若一个函数y ＝f (x )既是奇函数又是偶函数，则f (x )＝0.(3)两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数，之积(商)为偶函数．一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数．(4)若f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)． (5)若f (x ＋T )＝－f (x )，f (x ＋T )＝1f (x )(T >0)等，则f (x )的最小正周期为2T . 3．注意两个易误点(1)若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集． (2)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．[微练习]1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 由x 2－2x －3≥0，得x ≥3或x ≤－1.当x ≥3时，函数t ＝x 2－2x －3为增函数．∵y ＝t 为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．故选B.2．若函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1，则函数f (x )的图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．y ＝x 对称解析：选C f (x )的定义域为R .∵f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x －1e x ＋1，则f (－x )＝(－x )·e －x－1e －x＋1＝(－x )·1－e x 1＋e x ＝x ·e x －1e x ＋1＝f (x )，∴f (x )是偶函数，∴函数f (x )的图象关于y 轴对称．故选C.3．若函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2) C ．[1,2)D ．[－1,2)解析：选B 函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，在x ∈(－1，＋∞)时，函数y 是单调递减函数，在x ＝2时，y ＝0.根据题意x ∈(m ，n ]时，y 的最小值为0，∴m 的取值范围是－1<m <2.4．已知函数f (x )＝4x ＋a2x 是奇函数，若f (2m －1)＋f (m －2)≥0，则m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选B ∵f (x )＝4x ＋a 2x 是奇函数，且定义域为R ，∴f (0)＝40＋a20＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝2x －2－x，显然函数f (x )在R 上单调递增． ∵f (2m －1)＋f (m －2)≥0，∴f (2m －1)≥－f (m －2)，∴f (2m －1)≥f (2－m )， ∴2m －1≥2－m ，解得m ≥1.5．函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72 B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52 C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1) D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫72解析：选B 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝⎛⎭⎫72<f (3)<f ⎝⎛⎭⎫52，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. [微高考——考点综合训练]1．函数y ＝1－log 3x 的定义域为( ) A ．(0,1] B ．[1,3] C ．(0,3]D ．(1,3]解析：选C 由题意得1－log 3x ≥0，且x >0，∴0<x ≤3.故选C. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f [f (1)]＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C ∵f (1)＝12＋2＝3，∴f [f (1)]＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C. 3．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )解析：选B ∵函数f (x )＝lg(|x |－1)， ∴f (－x )＝lg(|x |－1)＝f (x )，∴f (x )是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－1)时，函数f (x )为减函数，结合对数函数图象的特点知选B.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10，其中n ∈N ，则f (8)＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C f (8)＝f (f (8＋5))＝f (f (13))＝f (10)＝7.故选C.5．下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x ＞0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，1x ，x ＞0.其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ； ②y ＝2x －1(x ＞0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝⎛⎭⎫12，＋∞；③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，1x，x ＞0的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.6．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( )A ．1B ．45C ．－1D ．－45解析：选C 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，因为f (x )＝f (x ＋4)，所以f (x )是周期函数且周期为4.所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝⎛⎭⎫log 254 ＝－f ⎝⎛⎭⎫－log 254＝－f ⎝⎛⎭⎫log 245＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2log 254＋15 ＝－⎝⎛⎭⎫45＋15＝－1，故选C.7．设函数f (x )＝2x x －2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M ＝( )A.23 B ．38C.32 D ．83解析：选D 易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3,4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83.8．设定义在R 上的偶函数f (x )满足：对于任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，均有(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))>0，则当n ∈N *时，有( )A ．f (－n )<f (n －1)<f (n ＋1)B ．f (n －1)<f (－n )<f (n ＋1)C ．f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)D ．f (n ＋1)<f (n －1)<f (－n )解析：选C 不妨设x 1<x 2≤0，由(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))>0得f (x 2)>f (x 1)，则f (x )在(－∞，0]上是增函数．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，可得f (n ＋1)<f (n )<f (n －1)(n ∈N *)．又f (n )＝f (－n )，所以f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)．故选C.9．已知函数f (x )＝e x －1ex ，若f (a 2－4a )＋f (3)<0，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选C 因为f (－x )＝e －x －1e －x ＝1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，又f (x )在R上单调递增，所以由f (a 2－4a )＋f (3)<0，得f (a 2－4a )<－f (3)＝f (－3)，所以a 2－4a <－3，解得1<a <3.10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域为[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,4] C.⎣⎡⎭⎫12，1D ．(0,1)解析：选A 因为f (x )的值域为[4，＋∞)，而当x ≤2时，f (x )的最小值为4，所以当x ＞2时，f (x )＝3＋log a x 的值域是[4，＋∞)的子集，则3＋log a x ≥4，所以log a x ≥1，又x ＞2，所以1＜a ≤2.故选A.11．已知函数f (x )是奇函数，且满足f (2－x )＝f (x )(x ∈R )，当0<x ≤1时，f (x )＝ln x ＋2，则函数y ＝f (x )在区间(－2,4]上的零点个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 由函数f (x )是奇函数且满足f (2－x )＝f (x )知，f (x )是周期为4的周期函数，且关于直线x ＝1＋2k (k ∈Z )成轴对称，关于点(2k,0)(k ∈Z )成中心对称．当0<x ≤1时，令f (x )＝ln x ＋2＝0，得x ＝1e 2，由此得y ＝f (x )在区间(－2,4]上的零点分别为－2＋1e 2，－1e 2，0，1e 2，2－1e 2，2,2＋1e 2，4－1e2，4，共9个零点，故选C.12．对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称函数f (x )为“局部奇函数”．若函数f (x )＝4x －m ·2x ＋m 2－3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．[－1,2]C ．[－22，2 2 ]D ．[－22，1－ 3 ] 解析：选B 根据“局部奇函数”的定义可知，函数f (－x )＝－f (x )有解，即f (－x )＝4－x－m ·2－x ＋m 2－3＝－(4x －m ·2x ＋m 2－3)有解，∴4x ＋4－x －m (2x ＋2－x)＋2m 2－6＝0有解，即(2 x＋2－x)2－m (2 x＋2－x)＋2m 2－8＝0有解．设t ＝2 x＋2－x，则t ＝2 x＋2－x≥2，∴方程(2x＋2－x )2－m (2 x ＋2－x)＋2m 2－8＝0有解等价于t 2－mt ＋2m 2－8＝0在t ≥2时有解．设g (t )＝t 2－mt ＋2m 2－8，其图象的对称轴为直线t ＝m2.若m ≥4，则Δ＝m 2－4(2m 2－8)≥0，即7m 2≤32，此时m 不存在；若m <4，要使t 2－mt ＋2m 2－8＝0在t ≥2时有解，则⎩⎪⎨⎪⎧g (2)＝2(m 2－m －2)≤0，Δ≥0，解得－1≤m ≤2.综上可得，－1≤m ≤2.故选B. 13．已知f (1－cos x )＝sin 2x ，则f (x 2)的解析式为________．解析：f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x .令1－cos x ＝t ，t ∈[0,2]，则cos x ＝1－t ，所以f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]，则f (x 2)＝－x 4＋2x 2，x ∈[－2， 2 ]．答案：f (x 2)＝－x 4＋2x 2，x ∈[－2， 2 ]14．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f (log 214)＝－3，则a 的值为________．解析：∵奇函数f (x )满足f (log 124)＝－3，又log 124＝－2<0，∴f (2)＝－f (－2)＝3.又∵当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，∴f (2)＝a 2＝3，解得a ＝3(负值舍去)．答案： 315．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝221，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝⎛⎭⎫12，3216．已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π2x ，x ∈[－1，0)，ax 2＋ax ＋1，x ∈[0，＋∞)，若f ⎝⎛⎭⎫t －13>－12，则实数t 的取值范围为________．解析：当x ∈[－1,0)时，函数f (x )＝sin π2x 单调递增，且f (x )∈[－1,0)，当x ∈[0，＋∞)时，函数f (x )＝ax 2＋ax ＋1，此时函数f (x )单调递增且f (x )≥1，综上，当x ∈[－1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，由f (x )＝sin π2x ＝－12得π2x ＝－π6，解得x ＝－13，则不等式f ⎝⎛⎭⎫t －13>－12，等价于f ⎝⎛⎭⎫t －13>f ⎝⎛⎭⎫－13，∵函数f (x )是增函数，∴t －13>－13，即t >0.故t 的取值范围为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)高考微点4 基本初等函数一、二次函数的图象与性质[微要点]1．二次函数在给定区间上的最值二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (不妨设a >0)在区间[m ，n ]上的最大或最小值如下： (1)当－b2a∈[m ，n ]，即对称轴在所给区间内时 f (x )的最小值在对称轴处取得，其最小值是f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ；若－b 2a ≤m ＋n2，f (x )的最大值为f (n )；若－b 2a ≥m ＋n2，f (x )的最大值为f (m )． (2)当－b2a[m ，n ]，即给定的区间在对称轴的一侧时 f (x )在[m ，n ]上是单调函数．若－b2a <m ，f (x )在[m ，n ]上是增函数，f (x )的最小值是f (m )，最大值是f (n )；若n <－b2a，f (x )在[m ，n ]上是减函数，f (x )的最小值是f (n )，最大值是f (m )．2．注意一个易误点易忽视二次函数表达式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中的系数a ≠0.[微练习]1．若二次函数y ＝2x 2＋bx ＋c 关于y 轴对称，且过点(0,3)，则函数的解析式为( ) A ．y ＝2x 2＋x ＋3 B ．y ＝2x 2＋3 C ．y ＝2x 2＋x －3D ．y ＝2x 2－3解析：选B 由题可知函数y ＝f (x )为偶函数，则b ＝0.又过点(0,3)，则c ＝3，故解析式为y ＝2x 2＋3.故选B.2．定义运算：xy ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy ＜0.例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f (x )＝x 2(2x －x 2)的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x 2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x ＞2或x ＜0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x ＞2或x ＜0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D.3．函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20,4] B ．(－20,4) C.⎣⎡⎦⎤－20，92 D ．⎝⎛⎭⎫－20，92 解析：选C 由函数f (x )＝－2x 2＋6x ，可知二次函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝32，当－2≤x <32时，函数f (x )单调递增，当32≤x ≤2时，函数f (x )单调递减，∴f (x ) max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－2×94＋6×32＝92，f (x )min ＝min{f (－2)，f (2)}，又f (－2)＝－8－12＝－20，f (2)＝－8＋12＝4，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－20，92，故选C. 4．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，f (x )＝－1<0，符合题意．当m ≠0时，由f (x )<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，(－m )2－4m ×(－1)<0，解得－4<m <0.故实数m 的取值范围是(－4,0]． 答案：(－4,0]二、指数式与对数式[微要点]1．指数幂(1)分数指数幂与根式互化： anm＝na m；anm -＝1n a m，其中a >0，m ，n ∈N *.(2)幂的运算性质a s a t＝a s ＋t，a s at ＝a s －t，(a s )t ＝a st ，(ab )t ＝a t b t ，其中a >0，b >0，s ，t ∈Q.2．对数式 (1)换底公式 log a N ＝log b Nlog b a(a >0，a ≠1，N >0，b >0，b ≠1)． (2)对数的运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M ； ④log a m b n ＝nm log a b . 3．注意三个易误点(1)根式化简中易混淆n a n 与(na )n 而出错． (2)易忽视指数式、对数式中的底数a >0且a ≠1. (3)对数的运算性质中真数应大于零．[微练习]1．已知a >0，则下列运算正确的是( ) A ．a 34·a 34＝aB ．a 34·a-34＝0 C.⎝⎛⎭⎫a 232＝a 94D ．a 13÷a-23＝a答案：D2．计算：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝________.解析：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝2×12log 210－log 25＋(23) 23－1＝log 2105＋22－1＝1＋4－1＝4.答案：43．已知1log 2a ＋1log 3a ＝2，则a ＝________.解析：1log 2a ＋1log 3a＝2⇒log a 2＋log a 3＝2，即log a 6＝2⇒a 2＝6，a ＞0⇒a ＝ 6. 答案： 6三、指、对、幂函数的图象及性质[微要点]指数函数与对数函数、幂函数活学巧记口诀(1)指数增减要看清，抓着底数不放松．反正底数大于零，不等于1已表明．底数若是大于1，图象从下向上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0,1)点．(2)对数增减有思路，函数图象看底数．底数只能大于0，等于1来也不行．底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减．图象都过(1,0)点．(3)幂函数，啥模样，幂指坐在肩膀上；图象要过点(1,1)，单调先记一象限；正幂递增负幂减，奇偶性质定左边 (其意思为“幂指数坐在x 的肩膀上”，图象都要过点(1,1)．当n >0时，第一象限图象是上坡递增；当n <0时，第一象限图象是下坡递减，即“正幂递增负幂减”．通过函数的奇偶性来确定y 轴左边图象的增减特征，即“奇偶性质定左边”．如，偶函数y ＝x 23在[0，＋∞)递增，那么在(－∞，0)递减；奇函数y ＝x -13在(0，＋∞)递减，那么在(－∞，0)也递减)．[微练习]1．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x n 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解析：选B 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3.当n ＝1时，f (x )＝x －2＝1x 2，在(0，＋∞)上是减函数；当n ＝－3时，f (x )＝x 18，在(0，＋∞)上是增函数．故n ＝1符合题意，应选B.2．若函数y ＝(log 21a )x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为y ＝(log 21a ) x 在R 上为增函数，所以log 21a >1，解得0<a <12.故选A.3．若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4 x －2x +1－3的最小值为( ) A ．－4 B ．－3 C ．－1D ．0解析：选A ∵x log 52≥－1，∴2 x ≥15，则f (x )＝4x －2 x +1－3＝(2x )2－2×2 x －3＝(2 x－1)2－4.当2 x ＝1时，f (x )取得最小值－4.4．若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( ) A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b cD ．c a ＞c b解析：选B 法一：因为0＜c ＜1，所以y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，又0＜b ＜a ，所以log c a ＜log c b ，故选B.法二：取a ＝4，b ＝2，c ＝12，则log 412＝－12＞log 212，排除A ；421＝2＞221，排除C ； ⎝⎛⎭⎫124＜⎝⎛⎭⎫122，排除D ；故选B.[微高考——考点综合训练]1．函数y ＝log (2x －1)3x －2的定义域是( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2x －1≠1，3x －2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x ≠1，x >23，解得x >23且x ≠1.2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选C 由幂函数的定义知k ＝1，又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.3．当0<a <1时，在同一平面直角坐标系中，函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图象是( )解析：选C y ＝a －x 等价于y ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，因为0<a <1，所以1a >1，故y ＝a －x 为增函数，y ＝log a x 为减函数，结合图象知，选C.4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象过点P (－1,11)，且其对称轴是x ＝1，则a ＋b 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A 因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象的对称轴是x ＝1，所以－b2a＝1 ①，又f (－1)＝a －b ＋5＝11，所以a －b ＝6 ②，联立①②，解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋b ＝－2，故选A.5．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 因为f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1，所以1<a ＋1<2，而f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以有f (a ＋1)>f (2)．6．已知a 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，a ]，都有f (x )∈[－a ，a ]，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．(0，＋∞)D ．(0,2]解析：选D 当0＜a ＜1时，f (0)＝a ，f (a )≥－a ，即a 2－2a ＋a ≥－a ，因此0＜a ＜1；当a ≥1时，f (0)＝a ，f (1)≥－a ，f (a )≤a ，即1－2＋a ≥－a ，a 2－2a ＋a ≤a ，因此1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围为(0,2]．7．已知f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值为( )A ．4B ．2C ．6D ．8解析：选B ∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2，f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0,1]时， f (x )是增函数；当x ∈⎝⎛⎦⎤1，32时，f (x )是减函数．故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝2. 8．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选D 方程|a x －1|＝2a (a >0，且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|ax －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图①，∴0<2a <1，即0<a <12；②当a >1时，如图②，而y ＝2a >1不符合要求．∴0<a <12.9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x＋a 的图象经过第二、三、四象限，g (a )＝f (a )－f (a ＋1)，则g (a )的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,2)D ．(－∞，2)解析：选A ∵函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 x ＋a 的图象经过第二、三、四象限，∴a <－1.则g (a )＝f (a )－f (a ＋1)＝⎝⎛⎭⎫13a ＋a －⎝⎛⎭⎫13a ＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫13a ⎝⎛⎭⎫1－13＝23·⎝⎛⎭⎫13a .∵a <－1，∴⎝⎛⎭⎫13a >3，则23·⎝⎛⎭⎫13a >2，故g (a )的取值范围是(2，＋∞)．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x －x ，x >0，－ln (－x )＋x ，x <0，则关于m 的不等式f ⎝⎛⎭⎫1m <ln 12－2的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(0,2) C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选C 因为函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，－x <0，f (－x )＝－ln x －x ＝f (x )，同理，当x <0时，也有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝－ln 2－2＝ln 12－2，所以由偶函数的性质知 f⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1m <f (2)，且m ≠0，所以⎪⎪⎪⎪1m >2，且m ≠0，解得0<m <12或－12<m <0. 11．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，对任意的x 1∈[－1,2]，存在x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．⎣⎡⎭⎫12，3 C ．[3，＋∞)D ．(0,3]解析：选A 当x ∈[－1,2]时，函数f (x )＝x 2－2x 的值域为A ＝[－1,3]，g (x )＝ax ＋2(a＞0)的值域为B ＝[2－a ，2＋2a ]，由题意知B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，2＋2a ≤3，又a ＞0，所以0＜a ≤12.故选A.12．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫22，12.若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，有g (x )＝f (x )，且函数g (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．g (π)<g (3)<g (2)B ．g (2)<g (3)<g (π)C ．g (π)<g (2)<g (3)D ．g (2)<g (π)<g (3)解析：选B 因为函数f (x )的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以a 21＝22⇒a ＝12.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上单调递减．函数g (x ＋2)为偶函数，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )且f (x )单调递减，所以x ∈[2,6]时，g (x )单调递增，根据对称性，可知距离对称轴x ＝2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g (2)<g (3)<g (π)．故选B.13．已知函数f (x )＝log a (x －1)＋2，则其图象恒过定点________．解析：由log a 1＝0，令x －1＝1，得x ＝2，此时y ＝2.所以函数f (x )的图象恒过定点(2,2)． 答案：(2,2)14．已知f (x )＝x m (m －2)，m ∈Z 为奇函数且在(0，＋∞)上为减函数，则f ⎝⎛⎭⎫12 018＝________. 解析：因为f (x )＝x m (m －2)是奇函数，所以m (m ∈Z )为奇数．又f (x )＝x m (m －2)是(0，＋∞)上的减函数，则由幂函数的性质可知m (m －2)<0，解得0<m <2，故m ＝1，所以f (x )＝x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12 018＝2 018.答案：2 01815．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．解析：令a x ＝t ，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y ma x ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3.当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上单调递增， 则y ma x ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13.综上知a ＝3或a ＝13.答案：3或1316．已知函数f (x )＝x 4＋e |x |，则满足不等式2f (ln t )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤f (2)的实数t 的取值范围为________．解析：因为f (x )＝x 4＋e |x |，所以f (－x )＝f (x )，因为2f (ln t )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤f (2)，所以2f (ln t )－f (－ln t )＝2f (ln t )－f (ln t )≤f (2)，即f (ln t )≤f (2)，因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以|ln t |≤2，解得e －2≤t ≤e 2.答案：[e －2，e 2]高考微点5 函数与方程一、函数模型[微要点]建立函数模型解应用问题的步骤如下：[微练习]1．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B (x －A )，x >A .已知某家庭今年前四个月的煤气费如表所示.若五月份该家庭使用了22 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．12.5元 B ．12元 C ．11.5元D ．11元解析：选A 由题意得C ＝4.将(25,14)，(35,19)代入f (x )＝4＋B (x －A )，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋B (25－A )＝14，4＋B (35－A )＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝12.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12(x －5)，x >5.故当x ＝22时，f (22)＝12.5.故选A.2．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p (单位：毫克/升)不断减少，已知p 与时间t (单位：小时)满足p (t )＝p 0230t-，其中p 0为t ＝0时的污染物数量．又测得当t ∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p (60)＝( )A ．150毫克/升B ．300毫克/升C ．150ln 2毫克/升D ．300ln 2毫克/升解析：选C 因为当t ∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝12p 0－p 030－0，所以p 0＝600ln 2，因为p (t )＝p 0230t -，所以p (60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)． 二、函数与方程[微要点]1．零点存在性定理2．已知函数有零点(方程有根)，求参数值(范围)的方法[微练习]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0解析：选D 当x ≤1时，令f (x )＝2x －1＝0，得x ＝0；当x ＞1时，令f (x )＝1＋log 2x＝0，得x ＝12，又x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点为0，故选D.2．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，0 B ．⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12D ．⎝⎛⎭⎫12，34解析：选C 因为f ⎝⎛⎭⎫14＝e 41＋4×14－3＝e 41－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 21＋4×12－3＝e 21－1>0，f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12<0，所以f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为⎝⎛⎭⎫14，12. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，1]解析：选A 画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0≤1－a <1，即0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上0<a ≤1，故选A.[微高考——考点综合训练]1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x 2－2D ．y ＝－x 3解析：选B y ＝log 2x 在(－1,0]上没有意义，故A 不满足题意；y ＝x 2－2在(－1,0)上单调递减，故C 不满足题意；y ＝－x 3在(－1,1)上单调递减，故D 不满足题意；∵y ＝2x －1在(－1,1)上单调递增，f (－1)＜0，f (1)＞0，∴在(－1,1)内存在零点，故选B.2．某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只解析：选A 由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100×log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．3．(2018·唐山模拟)奇函数f (x )，偶函数g (x )的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f (g (x ))，g (f (x ))的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )。

高考微点1 集 合一、集合间的基本关系[微要点]1．集合间的基本关系的两个重要结论 (1)A ⊆B 包含A ＝B 和A B 两种情况，两者必居其一，若存在x ∈B 且x ∉A ，说明A ≠B ，只能是AB .(2)集合相等的两层含义：若A ⊆B 且B ⊆A ，则A ＝B ；若A ＝B ，则A ⊆B 且B ⊆A . 2．集合间的基本关系中的两个易误点 (1)注意和⊆的区别，虽然两者均表示集合间的包含关系，但前者是后者“≠”情形时的包含关系．(2)解题时，出现A ⊆B 时，务必注意对集合A 进行分类讨论，即分A ＝∅和A ≠∅两种情况进行分类讨论，并注意对端点值的检验．[微练习]1．下列集合中，集合A ＝{x |x 2<5x }的真子集是( ) A ．{2,5} B ．(6，＋∞) C ．(0,5)D ．(1,5)解析：选D A ＝{x |x 2<5x }＝(0,5)，根据真子集的概念可知，只有选项D 满足． 2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x －12，B ＝{x |x <2m －1}，且A ⊆∁R B ，则m 的最大值是________．解析：依题意，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x －12＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，∁R B ＝{x |x ≥2m －1}，又A ⊆∁R B ，所以2m －1≤12，解得m ≤34.故m 的最大值为34.答案：34二、集合的基本运算[微要点]1． 集合的运算及表示(1)(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B；A∩B＝B∩A；A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；A∪B＝B∪A.(2)若A⊆B，则A∩B＝A；若A∩B＝A，则A⊆B.若A⊆B，则A∪B＝B；若A∪B＝B，则A⊆B.(3)∁U(∁U A)＝A，A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅.3．集合运算中的易误点遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B ＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．[微练习]1．设集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|x2＋x－2≤0}，则A∩B＝()A．{0,1,2} B．{－2，－1,0}C．{－1,0,1} D．{－2，－1,0,1}解析：选D因为B＝{x|x2＋x－2≤0}＝{x|－2≤x≤1}，所以A∩B＝{－2，－1,0,1}．2．设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R |－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,5} D．{x∈R |－1≤x≤5}解析：选B∵A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4,6}．又C＝{x∈R |－1≤x≤5}，∴(A∪B)∩C＝{1,2,4}．故选B.3．已知集合A＝{x|－3<x<6}，B＝{x|2<x<7}，则A∩(∁R B)＝()A．(2,6) B．(2,7)C．(－3,2] D．(－3,2)解析：选C因为∁R B＝{x|x≤2或x≥7}，所以A∩(∁R B)＝{x|－3<x≤2}．故选C.4．若集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R }，B＝{1，m}，若A∪B＝B，则m的值为() A．2 B．－1C．－1或2 D．2或 2解析：选A因为A＝{x|x＝x2－2，x∈R }，所以A＝{2}．因为B＝{1，m}，且A ∪B＝B，所以m＝2，故选A.[微高考——考点综合训练]1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |1<2x <4}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |1<x ≤2} C ．{x |1≤x <2} D ．{x |0≤x <2}解析：选C A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1<2 x <4}＝{x |0<x <2}，所以A ∩B ＝{x |1≤x <2}．故选C.2．若全集为实数集R ，集合A ＝{x |log 12(2x －1)>0}，则∁R A ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(1，＋∞)C.⎣⎡⎦⎤0，12∪[1，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞) 解析：选D 因为全集为实数集R ，集合A ＝{x |log 12(2x －1)>0}＝{x |0<2x －1<1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12<x <1，所以∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12或x ≥1＝⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞)．故选D.3．已知集合A ＝{4，a }，B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩(∁Z B )≠∅，则实数a 的值为( )A ．2B ．3C ．2或4D ．2或3解析：选D 因为B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4≥0}，所以∁Z B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4<0}＝{2,3}，又集合A ＝{4，a }，若A ∩(∁Z B )≠∅，则a ＝2或a ＝3，故选D.4．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x 4∈N *且x 10∈N *，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x40∈Z ，则( ) A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ∪N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x20∈Z D ．M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x40∈N * 解析：选D 由题意知集合M 表示能被20整除的正整数，集合N 表示能被40整除的整数，所以M ∩N=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x40∈N *.故选D. 5.设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B ．⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎣⎡⎭⎫1，32 D ．⎝⎛⎦⎤32，3解析：选B A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1<x <32，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <32，故选B.6．已知全集U ＝{x ∈N |－1≤x ≤9}，集合A ＝{0,1,3,4}，集合B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5,7}B ．{－1,5,7,9}C ．{5,7,9}D ．{－1,1,2,3,4,5,6,7,8,9}解析：选C 因为U ＝{x ∈N |－1≤x ≤9}，所以U ＝{0,1，2,3,4,5,6,7,8,9}．因为集合A ＝{0,1,3,4}，集合B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，所以B ＝{0,2,6,8}．所以∁U A ＝{2,5,6,7,8,9}，∁U B ＝{1,3,4,5,7,9}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝{5,7,9}，故选C.7．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0，x ∈Z }，集合B ＝{x |x >0}，则集合∁Z A ∩B 的子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8解析：选D ∵集合A ＝{x |x 2－2x －3>0，x ∈Z }，∴∁Z A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈Z }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈Z }＝{－1,0,1,2,3}．又集合B ＝{x |x >0}，∴集合∁Z A ∩B ＝{1,2,3}，则集合∁Z A ∩B 的子集个数为23＝8.故选D.8．已知集合A ＝{0,1,2m }，B ＝{x |1＜22－x ＜4}，若A ∩B ＝{1,2m }，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(0,1)解析：选C 因为B ＝{x |1＜22－x ＜4}，所以B ＝{x |0＜2－x ＜2}，所以B ＝{x |0＜x ＜2}．在数轴上标出集合B ，集合A ∩B ，如图1或图2所示，从图中可知，0＜2m ＜1或1＜2m ＜2，解得0＜m ＜12或12＜m ＜1，所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫12，1.故选C.高考微点2 常用逻辑用语一、四种命题的相互关系及逻辑联结词[微要点]1．四种命题间的相互关系2．全称命题、特称命题的否定3．四种命题的真假关系(1)若两个命题互为逆否命题，则它们的真假性相同．(2)若两个命题互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系．4．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反．5．注意两个易误点(1)区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”．(2)在对全称命题和特称(存在性)命题进行否定时，不要忽视对量词的改变．[微练习]1．命题：“∃x0>0，使2 x0(x0－a)>1”的否定是()A．∀x>0，使2 x (x－a)>1B．∀x>0，使2 x (x－a)≤1C．∀x≤0，使2 x (x－a)≤1D．∀x≤0，使2 x (x－a)>1解析：选B命题的否定为∀x>0，使2 x (x－a)≤1.2．命题：“若函数f(x)＝x2－ax＋3在[1，＋∞)上是增函数，则a≤2”的否命题() A．与原命题同为假命题B．与原命题一真一假C．为假命题D．为真命题解析：选D原命题显然为真，原命题的否命题为“若函数f(x)＝x2－ax＋3在[1，＋∞)上不是增函数，则a>2”，为真命题，故选D.3．已知p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为()A．[2，＋∞)B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．[－2,2]解析：选A由p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，可得m<0；由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，可得Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.因为p∨q为假命题，所以p与q都是假命题，若p是假命题，则有m≥0；若q是假命题，则有m≤－2或m≥2，故实数m的取值范围为[2，＋∞)．故选A.二、充要条件[微要点]1．充分条件与必要条件的三种判定方法q利用集合间的包含关系．例如，若(1)A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；(2)A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．[微练习]1．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为当a＝b＝1时，(a＋b i)2＝(1＋i)2＝2i，而由(a＋b i)2＝2i，得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的充分不必要条件．故选A.2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．3．定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′，∴f ′(－x )·(－x )′＝－f ′(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f ′(x )＝3x 2，f (x )＝x 3＋1满足条件，但f (x )不是奇函数，所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.4．(2018·西安八校联考)在△ABC 中，“AB ―→·BC ―→>0”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设AB ―→与BC ―→的夹角为θ，因为AB ―→·BC ―→>0，即|AB ―→|·|BC ―→|cos θ>0，所以cos θ>0，θ<90°，又θ为△ABC 内角B 的补角，所以∠B >90°，△ABC 是钝角三角形；当△ABC 为钝角三角形时，∠B 不一定是钝角．所以“AB ―→·BC ―→>0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.[微高考——考点综合训练]1．已知命题p ：若a >|b |，则a 2>b 2；命题q ：若x 2＝4，则x ＝2.下列说法正确的是( ) A ．“p ∨q ”为真命题 B ．“p ∧q ”为真命题 C ．q 为真命题D ．以上均不正确解析：选A 由条件知p 为真命题，q 为假命题，所以“p ∨q ”为真命题，故选A. 2．在△ABC 中，“sin B ＝1”是“△ABC 为直角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 在△ABC 中，若sin B ＝1，则B ＝π2，所以△ABC 为直角三角形；若△ABC 为直角三角形，则sin B ＝1或sin A ＝1或sin C ＝1.所以在△ABC 中，“sin B ＝1”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件，故选A.3．已知命题p ：∀a ∈R ，方程ax ＋4＝0有解；命题q ：∃m 0>0，直线x ＋m 0y －1＝0与直线2x ＋y ＋3＝0平行．给出下列结论，其中正确的个数是( )①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是真命题；③命题“(綈p )∨q ”为真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 因为当a ＝0时，方程ax ＋4＝0无解，所以命题p 为假命题；当1－2m＝0，即m ＝12时两条直线平行，所以命题q 是真命题．所以綈p 为真命题，綈q 为假命题，所以①②错误，③④正确．4．命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )A ．p 为假命题B ．綈q 为真命题C ．p ∨q 为真命题D ．p ∧q 为假命题解析：选C 函数f (x )不是偶函数，仍然可以∃x 0∈R ，满足f (－x 0)＝f (x 0)，因此命题p 为假命题．函数f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，因此命题q 为假命题．所以綈q 为真命题，p ∨q 为假命题，p ∧q 为假命题．故选C.5．方程x 2m －2＋y 2m ＋3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是( )A ．－3<m <0B ．－3<m <2C ．－3<m <4D ．－1<m <3解析：选A 方程x 2m －2＋y 2m ＋3＝1表示双曲线的充要条件是(m －2)(m ＋3)<0⇒－3<m <2，所以它的一个充分不必要条件是(－3,2)的真子集．6．已知非空集合M ，P ，则命题“M ⊆P ”为假命题的充要条件是( ) A ．∀x ∈M ，x P B ．∀x ∈P ，x ∈MC ．∃x 1∈M ，x 1∈P 且x 2∈M ，x 2PD ．∃x 0∈M ，x 0P解析：选D M ⊆P 等价于∀x ∈M ，x ∈P ，因为“M ⊆P ”是假命题，所以其否定为∃x 0∈M ，x 0P ，它是真命题，故“M ⊆P ”为假命题的充要条件是∃x 0∈M ，x 0P .故选D.7．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题．②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题．答案：②③8．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是_____．解析：∵“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，∴Δ＝(a －1)2－4>0，即(a－1)2>4，∴a >3或a <－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)高考微点3 函数的图象和性质一、函数及其表示[微要点]1．函数的基本问题(1)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (2)函数的三种表示法：列表法、图象法和解析法．(3)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．2．掌握求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法． (2)换元法(或配凑法)． (3)构造方程组法(消元法)． 3．注意两个易误点(1)函数的定义域的表现形式是集合，因此，求出函数的定义域后，一定要表示成集合或区间的形式，否则，就会因为格式不对而扣分．(2)求函数的定义域时最容易忽视条件的限制，如求函数f (x )＝1x ln x 的定义域，只考虑到x >0，x ≠0，忽视ln x ≠0的限制．[微练习]1．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( )A ．(0,4)B ．(4，＋∞)C ．(0,4)∪(4，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 由条件可得log 2x －2≠0且x >0，解得x ∈(0,4)∪(4，＋∞)．故选C.2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋t )，x ＜0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为( ) A ．27 B ．243 C.127D ．1243解析：选B f ⎝⎛⎭⎫12＝3(t －1)21＝6，即(t －1)21＝2，解得t ＝5.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋5)，x ＜0，3×4x ，x ≥0，所以f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29＞0，f (f (－2))＝f (log 29)＝3×4log 29＝3×22log 29＝3×2log 292＝3×81＝243.故选B.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x－1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13. 答案：23x ＋13二、函数的图象[微要点]1．掌握函数图象的四种变换2．辨明两种对称关系(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数图象对称．(2)一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称也不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数图象的对称关系．[微练习]1.已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝2－x 22xB ．f (x )＝cos xx 2C ．f (x )＝－cos 2xxD ．f (x )＝cos xx解析：选D A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x →0＋时，f (x )<0，与题图不符，故不成立．选D.2．函数f (x )＝cos π2x x ＋1x的图象大致是()解析：选C 因为f (－x )＝－cos π2x x ＋1x ＝－f (x )，所以f (x )是定义域上的奇函数，所以排除A 、D ；在区间(0，＋∞)上，当x →0时，cos π2x →1，x ＋1x →＋∞，则f (x )→0，排除B.故选C.3.已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为()解析：选B 由y ＝f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1，1＜x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0≤x ＜1，2－x ，1≤x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ＜1，x －2，1≤x ≤2.图象应为B. 三、函数的性质[微要点]1．函数的性质2．函数性质中常用结论(1)若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： ①当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数．②当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f (x )·g (x )也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f (x )·g (x )是减(增)函数．(2)若一个奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；若一个函数y ＝f (x )既是奇函数又是偶函数，则f (x )＝0.(3)两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数，之积(商)为偶函数．一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数．(4)若f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)． (5)若f (x ＋T )＝－f (x )，f (x ＋T )＝1f (x )(T >0)等，则f (x )的最小正周期为2T . 3．注意两个易误点(1)若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集． (2)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．[微练习]1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 由x 2－2x －3≥0，得x ≥3或x ≤－1.当x ≥3时，函数t ＝x 2－2x －3为增函数．∵y ＝t 为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．故选B.2．若函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1，则函数f (x )的图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．y ＝x 对称解析：选C f (x )的定义域为R .∵f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x －1e x ＋1，则f (－x )＝(－x )·e －x－1e －x＋1＝(－x )·1－e x 1＋e x ＝x ·e x －1e x ＋1＝f (x )，∴f (x )是偶函数，∴函数f (x )的图象关于y 轴对称．故选C.3．若函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2) C ．[1,2)D ．[－1,2)解析：选B 函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，在x ∈(－1，＋∞)时，函数y 是单调递减函数，在x ＝2时，y ＝0.根据题意x ∈(m ，n ]时，y 的最小值为0，∴m 的取值范围是－1<m <2.4．已知函数f (x )＝4x ＋a2x 是奇函数，若f (2m －1)＋f (m －2)≥0，则m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选B ∵f (x )＝4x ＋a 2x 是奇函数，且定义域为R ，∴f (0)＝40＋a20＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝2x －2－x，显然函数f (x )在R 上单调递增． ∵f (2m －1)＋f (m －2)≥0，∴f (2m －1)≥－f (m －2)，∴f (2m －1)≥f (2－m )， ∴2m －1≥2－m ，解得m ≥1.5．函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72 B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52 C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1) D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫72解析：选B 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝⎛⎭⎫72<f (3)<f ⎝⎛⎭⎫52，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. [微高考——考点综合训练]1．函数y ＝1－log 3x 的定义域为( ) A ．(0,1] B ．[1,3] C ．(0,3]D ．(1,3]解析：选C 由题意得1－log 3x ≥0，且x >0，∴0<x ≤3.故选C. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f [f (1)]＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C ∵f (1)＝12＋2＝3，∴f [f (1)]＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C. 3．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )解析：选B ∵函数f (x )＝lg(|x |－1)， ∴f (－x )＝lg(|x |－1)＝f (x )，∴f (x )是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－1)时，函数f (x )为减函数，结合对数函数图象的特点知选B.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10，其中n ∈N ，则f (8)＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C f (8)＝f (f (8＋5))＝f (f (13))＝f (10)＝7.故选C.5．下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x ＞0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，1x ，x ＞0.其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ； ②y ＝2x －1(x ＞0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝⎛⎭⎫12，＋∞；③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，1x，x ＞0的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.6．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( )A ．1B ．45C ．－1D ．－45解析：选C 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，因为f (x )＝f (x ＋4)，所以f (x )是周期函数且周期为4.所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝⎛⎭⎫log 254 ＝－f ⎝⎛⎭⎫－log 254＝－f ⎝⎛⎭⎫log 245＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2log 254＋15 ＝－⎝⎛⎭⎫45＋15＝－1，故选C.7．设函数f (x )＝2x x －2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M ＝( )A.23 B ．38C.32 D ．83解析：选D 易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3,4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83.8．设定义在R 上的偶函数f (x )满足：对于任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，均有(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))>0，则当n ∈N *时，有( )A ．f (－n )<f (n －1)<f (n ＋1)B ．f (n －1)<f (－n )<f (n ＋1)C ．f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)D ．f (n ＋1)<f (n －1)<f (－n )解析：选C 不妨设x 1<x 2≤0，由(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))>0得f (x 2)>f (x 1)，则f (x )在(－∞，0]上是增函数．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，可得f (n ＋1)<f (n )<f (n －1)(n ∈N *)．又f (n )＝f (－n )，所以f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)．故选C.9．已知函数f (x )＝e x －1ex ，若f (a 2－4a )＋f (3)<0，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选C 因为f (－x )＝e －x －1e －x ＝1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，又f (x )在R上单调递增，所以由f (a 2－4a )＋f (3)<0，得f (a 2－4a )<－f (3)＝f (－3)，所以a 2－4a <－3，解得1<a <3.10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域为[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,4] C.⎣⎡⎭⎫12，1D ．(0,1)解析：选A 因为f (x )的值域为[4，＋∞)，而当x ≤2时，f (x )的最小值为4，所以当x ＞2时，f (x )＝3＋log a x 的值域是[4，＋∞)的子集，则3＋log a x ≥4，所以log a x ≥1，又x ＞2，所以1＜a ≤2.故选A.11．已知函数f (x )是奇函数，且满足f (2－x )＝f (x )(x ∈R )，当0<x ≤1时，f (x )＝ln x ＋2，则函数y ＝f (x )在区间(－2,4]上的零点个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 由函数f (x )是奇函数且满足f (2－x )＝f (x )知，f (x )是周期为4的周期函数，且关于直线x ＝1＋2k (k ∈Z )成轴对称，关于点(2k,0)(k ∈Z )成中心对称．当0<x ≤1时，令f (x )＝ln x ＋2＝0，得x ＝1e 2，由此得y ＝f (x )在区间(－2,4]上的零点分别为－2＋1e 2，－1e 2，0，1e 2，2－1e 2，2,2＋1e 2，4－1e2，4，共9个零点，故选C.12．对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称函数f (x )为“局部奇函数”．若函数f (x )＝4x －m ·2x ＋m 2－3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．[－1,2]C ．[－22，2 2 ]D ．[－22，1－ 3 ] 解析：选B 根据“局部奇函数”的定义可知，函数f (－x )＝－f (x )有解，即f (－x )＝4－x－m ·2－x ＋m 2－3＝－(4x －m ·2x ＋m 2－3)有解，∴4x ＋4－x －m (2x ＋2－x)＋2m 2－6＝0有解，即(2 x＋2－x)2－m (2 x＋2－x)＋2m 2－8＝0有解．设t ＝2 x＋2－x，则t ＝2 x＋2－x≥2，∴方程(2x＋2－x )2－m (2 x ＋2－x)＋2m 2－8＝0有解等价于t 2－mt ＋2m 2－8＝0在t ≥2时有解．设g (t )＝t 2－mt ＋2m 2－8，其图象的对称轴为直线t ＝m2.若m ≥4，则Δ＝m 2－4(2m 2－8)≥0，即7m 2≤32，此时m 不存在；若m <4，要使t 2－mt ＋2m 2－8＝0在t ≥2时有解，则⎩⎪⎨⎪⎧g (2)＝2(m 2－m －2)≤0，Δ≥0，解得－1≤m ≤2.综上可得，－1≤m ≤2.故选B. 13．已知f (1－cos x )＝sin 2x ，则f (x 2)的解析式为________．解析：f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x .令1－cos x ＝t ，t ∈[0,2]，则cos x ＝1－t ，所以f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]，则f (x 2)＝－x 4＋2x 2，x ∈[－2， 2 ]．答案：f (x 2)＝－x 4＋2x 2，x ∈[－2， 2 ]14．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f (log 214)＝－3，则a 的值为________．解析：∵奇函数f (x )满足f (log 124)＝－3，又log 124＝－2<0，∴f (2)＝－f (－2)＝3.又∵当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，∴f (2)＝a 2＝3，解得a ＝3(负值舍去)．答案： 315．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝221，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝⎛⎭⎫12，3216．已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π2x ，x ∈[－1，0)，ax 2＋ax ＋1，x ∈[0，＋∞)，若f ⎝⎛⎭⎫t －13>－12，则实数t 的取值范围为________．解析：当x ∈[－1,0)时，函数f (x )＝sin π2x 单调递增，且f (x )∈[－1,0)，当x ∈[0，＋∞)时，函数f (x )＝ax 2＋ax ＋1，此时函数f (x )单调递增且f (x )≥1，综上，当x ∈[－1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，由f (x )＝sin π2x ＝－12得π2x ＝－π6，解得x ＝－13，则不等式f ⎝⎛⎭⎫t －13>－12，等价于f ⎝⎛⎭⎫t －13>f ⎝⎛⎭⎫－13，∵函数f (x )是增函数，∴t －13>－13，即t >0.故t 的取值范围为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)高考微点4 基本初等函数一、二次函数的图象与性质[微要点]1．二次函数在给定区间上的最值二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (不妨设a >0)在区间[m ，n ]上的最大或最小值如下： (1)当－b2a∈[m ，n ]，即对称轴在所给区间内时 f (x )的最小值在对称轴处取得，其最小值是f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ；若－b 2a ≤m ＋n2，f (x )的最大值为f (n )；若－b 2a ≥m ＋n2，f (x )的最大值为f (m )． (2)当－b2a[m ，n ]，即给定的区间在对称轴的一侧时 f (x )在[m ，n ]上是单调函数．若－b2a <m ，f (x )在[m ，n ]上是增函数，f (x )的最小值是f (m )，最大值是f (n )；若n <－b2a，f (x )在[m ，n ]上是减函数，f (x )的最小值是f (n )，最大值是f (m )．2．注意一个易误点易忽视二次函数表达式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中的系数a ≠0.[微练习]1．若二次函数y ＝2x 2＋bx ＋c 关于y 轴对称，且过点(0,3)，则函数的解析式为( ) A ．y ＝2x 2＋x ＋3 B ．y ＝2x 2＋3 C ．y ＝2x 2＋x －3D ．y ＝2x 2－3解析：选B 由题可知函数y ＝f (x )为偶函数，则b ＝0.又过点(0,3)，则c ＝3，故解析式为y ＝2x 2＋3.故选B.2．定义运算：xy ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy ＜0.例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f (x )＝x 2(2x －x 2)的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x 2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x ＞2或x ＜0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x ＞2或x ＜0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D.3．函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20,4] B ．(－20,4) C.⎣⎡⎦⎤－20，92 D ．⎝⎛⎭⎫－20，92 解析：选C 由函数f (x )＝－2x 2＋6x ，可知二次函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝32，当－2≤x <32时，函数f (x )单调递增，当32≤x ≤2时，函数f (x )单调递减，∴f (x ) max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－2×94＋6×32＝92，f (x )min ＝min{f (－2)，f (2)}，又f (－2)＝－8－12＝－20，f (2)＝－8＋12＝4，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－20，92，故选C. 4．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，f (x )＝－1<0，符合题意．当m ≠0时，由f (x )<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，(－m )2－4m ×(－1)<0，解得－4<m <0.故实数m 的取值范围是(－4,0]． 答案：(－4,0]二、指数式与对数式[微要点]1．指数幂(1)分数指数幂与根式互化： anm＝na m；anm -＝1n a m，其中a >0，m ，n ∈N *.(2)幂的运算性质a s a t＝a s ＋t，a s at ＝a s －t，(a s )t ＝a st ，(ab )t ＝a t b t ，其中a >0，b >0，s ，t ∈Q.2．对数式 (1)换底公式 log a N ＝log b Nlog b a(a >0，a ≠1，N >0，b >0，b ≠1)． (2)对数的运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M ； ④log a m b n ＝nm log a b . 3．注意三个易误点(1)根式化简中易混淆n a n 与(na )n 而出错． (2)易忽视指数式、对数式中的底数a >0且a ≠1. (3)对数的运算性质中真数应大于零．[微练习]1．已知a >0，则下列运算正确的是( ) A ．a 34·a 34＝aB ．a 34·a-34＝0 C.⎝⎛⎭⎫a 232＝a 94D ．a 13÷a-23＝a答案：D2．计算：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝________.解析：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝2×12log 210－log 25＋(23) 23－1＝log 2105＋22－1＝1＋4－1＝4.答案：43．已知1log 2a ＋1log 3a ＝2，则a ＝________.解析：1log 2a ＋1log 3a＝2⇒log a 2＋log a 3＝2，即log a 6＝2⇒a 2＝6，a ＞0⇒a ＝ 6. 答案： 6三、指、对、幂函数的图象及性质[微要点]指数函数与对数函数、幂函数活学巧记口诀(1)指数增减要看清，抓着底数不放松．反正底数大于零，不等于1已表明．底数若是大于1，图象从下向上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0,1)点．(2)对数增减有思路，函数图象看底数．底数只能大于0，等于1来也不行．底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减．图象都过(1,0)点．(3)幂函数，啥模样，幂指坐在肩膀上；图象要过点(1,1)，单调先记一象限；正幂递增负幂减，奇偶性质定左边 (其意思为“幂指数坐在x 的肩膀上”，图象都要过点(1,1)．当n >0时，第一象限图象是上坡递增；当n <0时，第一象限图象是下坡递减，即“正幂递增负幂减”．通过函数的奇偶性来确定y 轴左边图象的增减特征，即“奇偶性质定左边”．如，偶函数y ＝x 23在[0，＋∞)递增，那么在(－∞，0)递减；奇函数y ＝x -13在(0，＋∞)递减，那么在(－∞，0)也递减)．[微练习]1．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x n 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解析：选B 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3.当n ＝1时，f (x )＝x －2＝1x 2，在(0，＋∞)上是减函数；当n ＝－3时，f (x )＝x 18，在(0，＋∞)上是增函数．故n ＝1符合题意，应选B.2．若函数y ＝(log 21a )x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为y ＝(log 21a ) x 在R 上为增函数，所以log 21a >1，解得0<a <12.故选A.3．若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4 x －2x +1－3的最小值为( ) A ．－4 B ．－3 C ．－1D ．0解析：选A ∵x log 52≥－1，∴2 x ≥15，则f (x )＝4x －2 x +1－3＝(2x )2－2×2 x －3＝(2 x－1)2－4.当2 x ＝1时，f (x )取得最小值－4.4．若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( ) A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b cD ．c a ＞c b解析：选B 法一：因为0＜c ＜1，所以y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，又0＜b ＜a ，所以log c a ＜log c b ，故选B.法二：取a ＝4，b ＝2，c ＝12，则log 412＝－12＞log 212，排除A ；421＝2＞221，排除C ； ⎝⎛⎭⎫124＜⎝⎛⎭⎫122，排除D ；故选B.[微高考——考点综合训练]1．函数y ＝log (2x －1)3x －2的定义域是( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2x －1≠1，3x －2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x ≠1，x >23，解得x >23且x ≠1.2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选C 由幂函数的定义知k ＝1，又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.3．当0<a <1时，在同一平面直角坐标系中，函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图象是( )解析：选C y ＝a －x 等价于y ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，因为0<a <1，所以1a >1，故y ＝a －x 为增函数，y ＝log a x 为减函数，结合图象知，选C.4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象过点P (－1,11)，且其对称轴是x ＝1，则a ＋b 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A 因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象的对称轴是x ＝1，所以－b2a＝1 ①，又f (－1)＝a －b ＋5＝11，所以a －b ＝6 ②，联立①②，解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋b ＝－2，故选A.5．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 因为f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1，所以1<a ＋1<2，而f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以有f (a ＋1)>f (2)．6．已知a 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，a ]，都有f (x )∈[－a ，a ]，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．(0，＋∞)D ．(0,2]解析：选D 当0＜a ＜1时，f (0)＝a ，f (a )≥－a ，即a 2－2a ＋a ≥－a ，因此0＜a ＜1；当a ≥1时，f (0)＝a ，f (1)≥－a ，f (a )≤a ，即1－2＋a ≥－a ，a 2－2a ＋a ≤a ，因此1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围为(0,2]．7．已知f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值为( )A ．4B ．2C ．6D ．8解析：选B ∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2，f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0,1]时， f (x )是增函数；当x ∈⎝⎛⎦⎤1，32时，f (x )是减函数．故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝2. 8．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选D 方程|a x －1|＝2a (a >0，且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|ax －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图①，∴0<2a <1，即0<a <12；②当a >1时，如图②，而y ＝2a >1不符合要求．∴0<a <12.9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x＋a 的图象经过第二、三、四象限，g (a )＝f (a )－f (a ＋1)，则g (a )的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,2)D ．(－∞，2)解析：选A ∵函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 x ＋a 的图象经过第二、三、四象限，∴a <－1.则g (a )＝f (a )－f (a ＋1)＝⎝⎛⎭⎫13a ＋a －⎝⎛⎭⎫13a ＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫13a ⎝⎛⎭⎫1－13＝23·⎝⎛⎭⎫13a .∵a <－1，∴⎝⎛⎭⎫13a >3，则23·⎝⎛⎭⎫13a >2，故g (a )的取值范围是(2，＋∞)．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x －x ，x >0，－ln (－x )＋x ，x <0，则关于m 的不等式f ⎝⎛⎭⎫1m <ln 12－2的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(0,2) C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选C 因为函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，－x <0，f (－x )＝－ln x －x ＝f (x )，同理，当x <0时，也有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝－ln 2－2＝ln 12－2，所以由偶函数的性质知 f⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1m <f (2)，且m ≠0，所以⎪⎪⎪⎪1m >2，且m ≠0，解得0<m <12或－12<m <0. 11．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，对任意的x 1∈[－1,2]，存在x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．⎣⎡⎭⎫12，3 C ．[3，＋∞)D ．(0,3]解析：选A 当x ∈[－1,2]时，函数f (x )＝x 2－2x 的值域为A ＝[－1,3]，g (x )＝ax ＋2(a＞0)的值域为B ＝[2－a ，2＋2a ]，由题意知B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，2＋2a ≤3，又a ＞0，所以0＜a ≤12.故选A.12．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫22，12.若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，有g (x )＝f (x )，且函数g (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．g (π)<g (3)<g (2)B ．g (2)<g (3)<g (π)C ．g (π)<g (2)<g (3)D ．g (2)<g (π)<g (3)解析：选B 因为函数f (x )的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以a 21＝22⇒a ＝12.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上单调递减．函数g (x ＋2)为偶函数，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )且f (x )单调递减，所以x ∈[2,6]时，g (x )单调递增，根据对称性，可知距离对称轴x ＝2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g (2)<g (3)<g (π)．故选B.13．已知函数f (x )＝log a (x －1)＋2，则其图象恒过定点________．解析：由log a 1＝0，令x －1＝1，得x ＝2，此时y ＝2.所以函数f (x )的图象恒过定点(2,2)． 答案：(2,2)14．已知f (x )＝x m (m －2)，m ∈Z 为奇函数且在(0，＋∞)上为减函数，则f ⎝⎛⎭⎫12 018＝________. 解析：因为f (x )＝x m (m －2)是奇函数，所以m (m ∈Z )为奇数．又f (x )＝x m (m －2)是(0，＋∞)上的减函数，则由幂函数的性质可知m (m －2)<0，解得0<m <2，故m ＝1，所以f (x )＝x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12 018＝2 018.答案：2 01815．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．解析：令a x ＝t ，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y ma x ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3.当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上单调递增， 则y ma x ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13.综上知a ＝3或a ＝13.答案：3或1316．已知函数f (x )＝x 4＋e |x |，则满足不等式2f (ln t )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤f (2)的实数t 的取值范围为________．解析：因为f (x )＝x 4＋e |x |，所以f (－x )＝f (x )，因为2f (ln t )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤f (2)，所以2f (ln t )－f (－ln t )＝2f (ln t )－f (ln t )≤f (2)，即f (ln t )≤f (2)，因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以|ln t |≤2，解得e －2≤t ≤e 2.答案：[e －2，e 2]高考微点5 函数与方程一、函数模型[微要点]建立函数模型解应用问题的步骤如下：[微练习]1．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B (x －A )，x >A .已知某家庭今年前四个月的煤气费如表所示.若五月份该家庭使用了22 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．12.5元 B ．12元 C ．11.5元D ．11元解析：选A 由题意得C ＝4.将(25,14)，(35,19)代入f (x )＝4＋B (x －A )，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋B (25－A )＝14，4＋B (35－A )＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝12.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12(x －5)，x >5.故当x ＝22时，f (22)＝12.5.故选A.2．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p (单位：毫克/升)不断减少，已知p 与时间t (单位：小时)满足p (t )＝p 0230t-，其中p 0为t ＝0时的污染物数量．又测得当t ∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p (60)＝( )A ．150毫克/升B ．300毫克/升C ．150ln 2毫克/升D ．300ln 2毫克/升解析：选C 因为当t ∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝12p 0－p 030－0，所以p 0＝600ln 2，因为p (t )＝p 0230t -，所以p (60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)． 二、函数与方程[微要点]1．零点存在性定理2．已知函数有零点(方程有根)，求参数值(范围)的方法[微练习]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0解析：选D 当x ≤1时，令f (x )＝2x －1＝0，得x ＝0；当x ＞1时，令f (x )＝1＋log 2x＝0，得x ＝12，又x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点为0，故选D.2．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，0 B ．⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12D ．⎝⎛⎭⎫12，34解析：选C 因为f ⎝⎛⎭⎫14＝e 41＋4×14－3＝e 41－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 21＋4×12－3＝e 21－1>0，f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12<0，所以f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为⎝⎛⎭⎫14，12. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，1]解析：选A 画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0≤1－a <1，即0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上0<a ≤1，故选A.[微高考——考点综合训练]1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x 2－2D ．y ＝－x 3解析：选B y ＝log 2x 在(－1,0]上没有意义，故A 不满足题意；y ＝x 2－2在(－1,0)上单调递减，故C 不满足题意；y ＝－x 3在(－1,1)上单调递减，故D 不满足题意；∵y ＝2x －1在(－1,1)上单调递增，f (－1)＜0，f (1)＞0，∴在(－1,1)内存在零点，故选B.2．某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只解析：选A 由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100×log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．3．(2018·唐山模拟)奇函数f (x )，偶函数g (x )的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f (g (x ))，g (f (x ))的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )。