2011年深圳市高三年级第一次调研考试(文科)数学试题

高三年级第一次模拟考试60分.在每小题给出的四个选项中，有且合 题目要畚考公式：样本败据x lt 鬲的标准差 尸¥门如一訝+他— 英叩丘为样車屮均数柱体的体积公式Y=*其中/为底!ftl 曲积・h 为海341(1)复数 I ~i = (A) 1+2i (B) 1-2i(C) 2-i (D) 2+i⑵函数的定义域为(A) (-1,2) (B) (0, 2] (C) (0, 2) (D) (-1,2] ⑶ 己知命题p ：办I 砒+ llX ，则了为 锥体的体积公式v=*h 乩中$为底面面枳，h 为商 耶的親血祝*休枳公式$=4庆，評It 中月为球的半牲(A) (C)函数|；宀林匚阴的图象可以由函数'尸沁酬的图象 (A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 (A)右+4观(B)「(C) 2 (D) 8一、选择题：本大题共12小题，毎小题5〕 分，共 只有一 项 符(B)(D)(A) (C)向左平移个单位得到JL个单位得到(B)向右平移3个单位得到 向左平移设变量x 、y 满足约束条件 ⑸ (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 5(D)向右平移个单位得到g+2y —2 鼻(h[2x +工一7冬6则的最小值为(6)等比数列｛an ｝的公比a>1,血，则-血+口 $+他"卜彌=(8) 算法如图，若输入 m=210,n= 119,则输出的n 为 (A) 2 (B) 3 (C) 7 (D) 11(9) 在 中，/恥C 权」，AB=2, AC=3,则 = (A) 10 (B)-10(C) -4 (D) 4(10) 点A 、B 、C D 均在同一球面上，其中 的体积为(11) 已知何m 2 '黑⑴-代2侧集合」「等于D |『工=对止卡(B)卜： (12) 抛物线 的焦点为F,点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2).若点F 恰为 的重心，则直线 BC 的方程为 (A)龙卄一0 (B)： tT '■(C)Ly=0 (D) | It \.■二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.(13) 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，从全班 50名同学中按男生、女生用分层 抽样的方法随机地抽取一个容量为 10的样本进行分析•己知抽取的样本中男生人数为 6,则班内女生人数为 ________ .Lif ］町= :—(14) 函数.文+】(X 〉0)的值域是 _________ .(15) 在数列1禺1中，尙=1,如 厂％ = 2门丨，则数列的通项 □」= _________ .—7 --- F ------(16) —P 尺的一个顶点P ( 7，12)在双曲线 产 3上，另外两顶点 F1、F2为该双曲线是正三角形，AD 丄平面 AD=2AB=6则该球(D)(C) 卜 j(—Ak 土(D)(A) (B) 15 (C)的左、右焦点，则屮八几的内心的横坐标为 __________ .三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分)在厶ABC 中，角A 、B C 的对边分别为a 、b 、c, A=2B,呦占」5 ' (I ) 求cosC 的值；[c\(II)求的值•(18) (本小题满分12分)某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查， 右表是在某单位得到的数据(人数)•(I )能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(II)从反对“男女同龄退休”的甲、 乙等6名男士中选出2人进行陈述，求甲、乙至少有- 人被选出的概率.反对 合计|男 5 6 H 1 女II1 3 "14 合计 16925(19) (本小题满分12分)如图，在三棱柱.A 尅匚 "Q 中，CC1丄底面ABC 底面是边长为2的正三角形，M N 、G 分别是棱CC1 AB, BC 的中点. (I ) 求证：CN//平面AMB1 (II)若X 严2迄，求证:平面AMG.(20) (本小题满分12 分)X'设函数:「—L(I )当a=0时，求曲线在点(1, f(1))处的切线 方程;P(K 2^k) 0.25 Od U 0J0 kL323 2.072 2.706__ ，讯耐一比严 ____(a+附:(II )讨论f(x)的单调性•(21) (本小题满分12分)中心在原点0，焦点F1、F2在x 轴上的椭圆E 经过点C(2, 2),且 ―二◎土：:(I) 求椭圆E 的方程；(II) 垂直于0C 的直线I 与椭圆E 交于A B 两点，当以AB 为直径的圆P 与y 轴相切时，求 直线I 的方程和圆P 的方程•请考生在第(22)、( 23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 •作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 •(22) (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，AB 是圆0的直径，以B 为圆心的圆B 与圆0的一个交点为P.过点A 作直线交圆Q 于 点交圆B 于点M N. (I )求证：QM=QNi110(II)设圆0的半径为2,圆B 的半径为1,当AM= 时，求MN 的长.(23) (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数 方程 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，.已知直线I 的参数方程为 (t 为参数,(I )求曲线C 的直角坐标方程；(II)设直线I 与曲线C 相交于A B 两点，当a 变化时，求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设曲线C 的极坐标方程为2cos 0 L朋& *并在两种坐标系中取相同的长度单位(I) 求不等式的解集S;(II) 若关于x不等式应总=1我=；『；：纂釧有解，求参数t的取值范围(18) 解: 由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关.…5分(H)记反对“男女同龄退休”的6男士为ai , i = 1, 2，…，6,其中甲、乙分别为a2,从中选出2人的不同情形为： a1a2, a1a3, a1a4, a1a5, a1a6, a2a3, a2a4, a2a5 , a2a6, a3a4, a3a5, a3a6 , a4a5, a4a6, a5a6,…9分共15种可能，其中甲、乙至少有1人的情形有9种，93 所求概率为P = .…12分(19)解:(I)设 AB1的中点为 P ,连结NP 、MP1 1•/ CM^ — A1 , NP^— A1 , • CM^ NP,2 2文科数学参考答案 一、 选择题: A 卷: ADCDC B 卷: BCDAB 二、 填空题： (13) 20 三、 解答题： (17)解：DACB ADDCAB(14) BB CA(-1,1)(15) n2(16) 1(I)： B =(0,亍)，••• cosB = 1— s in 2B =•/ A = 2B ,「.4si nA = 2si nBcosB = , cosA = cos2B = 1 — 2si n2B = 5 , ••• cosC = cos[ —(A + B)] = — cos(A + B) = si nAsi nB — cosAcosB =— 2.525 'sinC =1 — cos2C=11 .525 ，根据由正弦定理,c si nC 11b sinB 5…12分(I) K2= 25 X (5 X 3— 6 X11)216 X 9X 11 X 142.932 > 2.706 a1 ,• CNPK是平行四边形,• CN// MP•/ CN平面AMB1 MP平面AMB1 • CN//平面AMB1 …4分(n)v cc 仏平面 ABC •••平面 CC1B1E L 平面 ABC ， •/ AG 丄 BC, • AGL 平面 CC1B1B • B1M L AG •/ CC1 丄平面 ABC 平面 A1B1C1 //平面 ABC •- CC L AC, CC1 丄 B1C1 ,在 Rt △ MCA 中 , AM k CM 即 AC2= 6. 同理，B1M=6.•/ BB1/ CC1, • BB1 丄平面 ABC •- BB1 丄 AB, • AB1= B1B2+ AB2= C1C2+ AB2= 2.3 , • AM2+ B1M2= AB2, • B1ML AM 又 AG A AM= A , • B1ML 平面 AMG (20)解：, , x2 x(x — 2) (I)当 a = 0 时，f(x) = , f (x)=—亠exex1 1f(i) =T ，f (i) =-^，曲线y = f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程为(2x — a)ex — (x2 — ax 土 a)ex e2x(1 )若 a = 2,贝U f (x) w 0 , f(x)在(一a , +s )单调递减. …7 分(2 )若 a v 2,贝 U…10分 …12分1y =肓(x — 1) +(x — 2)(x — a)exA Bf (x)当x€ ( —a , a)或x€ (2 , +a )时，f (x) v 0,当x € (a , 2)时，f (x) > 0 , 此时f(x)在(—a , a)和(2 , +a )单调递减，在(a , 2)单调递增.(3)若a> 2,贝U当x€ ( —a , 2)或x€ (a , +a )时，f (x) v 0,当x € (2 , a)时，f (x) >0 , 此时f(x)在(—a , 2)和(a , +a )单调递减，在(2 , a)单调递增. …12分x2 y2(21)解：(I)设椭圆E的方程为02+ b2 = 1 (a>b> 0),贝y a2+ b2记c= ,a2—b2 ,不妨设F1( — c , 0) , F2(c , 0),则C f1= ( —c—2, —2) , C f2= (c —2, —2),则C f1 • C f2= 8 —c2 = 2 , c2 = 6,即a2 —b2= 6.由①、②得a2= 12, b2= 6. 当m= 3时，直线I 方程为y =— x + 3, 此时，x1 + x2 = 4，圆心为(2 , 1)，半径为2,圆P 的方程为(x — 2)2 + (y — 1)2 = 4; 同理，当 m=— 3时，直线I 方程为y = — x — 3，圆P 的方程为(x + 2)2 + (y + 1)2 = 4. …12分 (22)解：(I)连结 BM BN BQ BP. •/ B 为小圆的圆心，••• BM= BN 又••• AB 为大圆的直径，• BQL MN , •- QM= QN …4 分 (n)v AB 为大圆的直径，•/ APB= 90 , • AP 为圆B 的切线，• AP2= AM- AN …6分 由已知 AB= 4, PB= 1 , AP2= AB2- PB2= 15,所以曲线C 的直角坐标方程为 y2= 2x .(n)将直线l 的参数方程代入 y2 = 2x ,得t2sin2 a — 2tcos a — 1= 0.所以椭圆E 的方程为 x2 y2 i2+ 6 = 1. (也可通过2a = iCFlI + |C ?2|求出a ) (n)依题意，直线 0C 斜率为1，由此设直线I 的方程为y = — X + m 代入椭圆 E 方程，得 3x2 — 4m 灶2m2- 12= 0. 由△= 16m2- 12(2m2 — 12) = 8(18 — m2),得 m2< 18. 4m 2m2— 12 记 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)，贝U x1 + x2=^ , x1x2 = -—. 3 3 x1 + x2 圆P 的圆心为（一_， y1 + y2 2 ），半径r = 当圆P 与y 轴相切时, x1 + x2 r = 1 2 1， 2x1x2 = (x1 + x2)2 4 2(2m2 — 12)= 3 = 4m2 —,m2= 9v 18. …10分 (I)由 2cos 0 p = sinr v ，得(p sin 0 )2 = 2 p cos 0, …6分 7 6设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则4C0S2 a 4 2 + = ------------------------ sin4 a sin2 a sin2 a当a =—亍时，|AB|取最小值2 .…10分 (24)解：—x + 3, x v — 3,(I) f(x) = — 3x — 3,— 3<x < 0,x — 3, x >0.如图，函数y = f(x)的图象与直线 y = 7相交于横坐标为 x1 =— 4，x2 = 10的两点, 由此得 S = [ — 4, 10].\ :I…6分(n)由(I )知，f (x )的最小值为一3,则不等式 f(x) + |2t —3| < 0有解必须且只需—3 + |2t — 3| < 0,解得0W t < 3,所以t 的取值范围是[0 , 3]. t1 + t2 = 2C0S a sin2 at1t2 sin2 a :.|AB| = |t1 - t2| = (t1 + t2)2 - 4t1t2 …10分。

2008年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）2008.3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{1,2}M =，则满足条件{1,2,3,4}M N = 的集合N 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8 2. 已知命题“若p 则q ”为真，则下列命题中一定为真的是（ ） A ．若p ⌝则q ⌝ B ．若q ⌝则p ⌝ C ．若q 则pD ．若q ⌝则p 3. 若π02α-<<，则点(cos ,sin )Q αα位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 在等差数列{}n a 中，已知5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S = （ ）A ．45B ．50C ．55D ．605. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 （ ）A ．3π2B ．2πC ．3πD ．4π6. 函数2()2x f x x =-的零点个数是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7. 电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数πsin 6I A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0A >，0ω≠）的图像如图所示，则当150t =时，电流强度是 （ ）A ．5-安B ．5安 C．安 D ．10安8. 若函数()23k kh x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是 （ ）A ．[2,)-+∞B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞-D ．(,2]-∞9. 甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数i x y +的实部大于虚部的概率是（ ）A ．16B ．512C ．712D ．1310. 在xOy 平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意n *∈N ，连接原点O 与点(,4)n P n n -，用()g n 表示线段n OP 上除端点外的整点个数，则(2008)g = （ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分．其中第13题前一空2分，后一空3分；第14、15两小题是选做题，考生只能选做一题，若两题都做，则只以第14题的得分为最后得分．11. 已知||3u = ，||4v =，以u 与v 同向，则u v ⋅= ．12. 准线方程为2x =的抛物线的标准方程是 ．13. 图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线π3θ=（ρ∈R ）与圆4cos ρθ=+θ交于A 、B 两点，则AB = ．15. 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD =6AC =，圆O的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为 ．D三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）在ABC∆中，已知3AC =，sin cos A A += （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积3S =，求BC 的值．17. （本小题满分12分）如图是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为 截面，且AB AD a ==，BF DH b ==．（Ⅰ）证明：截面四边形EFGH 是菱形； （Ⅱ）求三棱锥F ABH -的体积．C某旅游商品生产企业，2007年某商品生产的投入成本为1元/件，出厂价为流程图的输 出结果p 元/件，年销售量为10000件，因2008年国家长假的调整，此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为x （01x <<），则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计销售量增加的比例为0.8x ．已知得利润=（出厂价-投入成本）⨯年销售量．（Ⅰ）写出2008年预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（Ⅱ）为使2008年的年利润比2007年有所增加，问：投入成本增加的比例x 应在什么范围内？19. （本小题满分14分）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）已知点(0,1)A 和直线l ：y x m =+，线段AB 是椭圆E 的一条弦且直线l 垂直平 分弦AB ，求实数m 的值．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中0n a ≠，1a 为常数，且1a -、n S 、1n a +成等差数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n b S =-，问：是否存在1a ，使数列{}n b 为等比数列？若存在，求出1a 的值； 若不存在，请说明理由．21. （本小题满分14分）已知抛物线21()4f x ax bx =++与直线y x =相切于点(1,1)A ． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若对任意[1,9]x ∈，不等式()f x t x -≤恒成立，求实数t 的取值范围．2008年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分．其中第13题前一空2分，后一空3分；第14、15两小题是选做题，考生只能选做一题，若两题都做，则只以第14题的得分为最后得分． 11．12 12．28y x =-13．41，4(1)n -14．815三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 解：（Ⅰ）由πsin cos 4A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭得πsin 14A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由此及0πA <<，即ππ5π444A <+< 得ππ42A +=，故π4A =；（Ⅱ）由1sin 32S bc A ===得c =，由此及余弦定理得2222cos 98235a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，故a17. 解：（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ∥平面CDHG ，且平面EFGH 分别交平面ABFE 、 平面CDHG 于直线EF 、GH ，所以EF ∥GH ．同理，FG ∥EH ．因此，四边形EFGH 为平行四边形． (1)因为BD AC ⊥，而AC 为EG 在底面ABCD 上的射影，所以EG BD ⊥． 因为BF D H =，所以FH ∥BD ． 因此，FH EG ⊥． (2)由（1）、（2）可知：四边形EFGH 是菱形；（Ⅱ）因为DA ⊥平面ABFE ，HD ∥AE ，所以H 到平面ABF 的距离为DA a =．于是，由等体积法得所求体积211113326F ABH H ABF ABF V V S DA ab a a b --∆==⋅⋅=⨯⨯=．18. 解：（Ⅰ）由流程图可知： 1.2p =．依题意，得[1.2(10.75)1(1)]10000(10.8)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+28006002000x x =-++（01x <<）；（Ⅱ）要保证2008年的利润比2007年有所增加，当且仅当(1.21)1000001y x >-⨯⎧⎨<<⎩，即2800600001x x x ⎧-+>⎨<<⎩． 解之得304x <<． 19. 解：（Ⅰ）2214x y +=； （Ⅱ）由条件可得直线AB 的方程为1y x =-+．于是，有22218580514B y x x x x x y =-+⎧⎪⇒-=⇒=⎨+=⎪⎩，315B B y x =-+=-．设弦AB 的中点为M ，则由中点坐标公式得45M x =，15M y =，由此及点M 在直线l 得 143555m m =+⇒=-． 20. 解：（Ⅰ）依题意，得112n n S a a +=-．于是，当2n ≥时，有111122n n n n S a a S a a +-=-⎧⎨=-⎩． 两式相减，得13n n a a +=（2n ≥）． 又因为211123a S a a =+=，0n a ≠，所以数列{}n a 是首项为1a 、公比为3的等比数列．因此，113n n a a -=⋅（n *∈N ）；（Ⅱ）因为111(13)1131322n n n a S a a -==⋅--，所以 111111322n n n b S a a =-=+-⋅．要使{}n b 为等比数列，当且仅当11102a +=，即12a =-．21. 解：（Ⅰ）依题意，有1(1)1144(1)21f a b a f a b ⎧=++=⎪⇒=⎨⎪'=+=⎩，12b =． 因此，()f x 的解析式为21()2x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）由()f x t x -≤（19x ≤≤）得212x t x -+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（19x ≤≤），解之得221)1)t ≤≤（19x ≤≤）由此可得2min 1)]4t ≤=且2max 1)]4t ≥=，所以实数t 的取值范围是{|4}t t =．。

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：样本数据1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y 的回归方程：y a bx =+其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =- 锥体体积公式1212,n n x x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+== 13V Sh =其中S 为底面积，h 为高 第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若()2,,x i i y i x y R -=+∈，则复数x yi +=（ ） A.2i -+ B.2i + C.12i - D.12i + 答案：B解析： ()iyi x x y iy i xi i y i i x +=+∴==∴+=-+=-22,12,222.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ） A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂ 答案：D 解析：{}4,3,2,1=⋃N M ,Φ=⋂N M ,()(){}6,5,4,3,2,1=⋃N C M C U U ,()(){}6,5=⋂N C M C U U3.若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )A.1(,0)2-B.1(,)2-+∞ C.1(,0)(0,)2-⋃+∞ D.1(,2)2-答案：C 解析：()()+∞⋃⎪⎭⎫⎝⎛-∈∴≠+>+∴≠+,00,21112,012,012log 21x x x x4.曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）A.1B.2C.eD.1e答案：A 解析： 1,0,0'===e x e y x5.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ）A.18B.20C.22D.24答案：B 解析：20,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S6.观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20117的末两位数字为（ ） A.01 B.43 C.07 D.49答案：B 解析： ()()()()()()343***2011,200922011168075,24014,3433,492,7=∴=-=====f f f f f x f x7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均值为x ，则（ ） A.e o m m x ==B.e o m m x =<C.e o m m x <<D.o e m m x <<答案：D 计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选DA.y = x-1B.y = x+1C.y = 88+12x D.y = 176 C 线性回归方程bx a y +=，()()()∑∑==---=ni ini iix x yyx x b 121，x b y a -=9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）答案：D 左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案。

深圳中学2011届高三数学基础练习题4（文科）命题人：郭本龙一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数214y x x =-在它的图象上点M 处的切线平行于x 轴，则点M 的坐标为（A ） (2,1)- （B ）(0,0) （C ）3(1,)4-（D ）(4,0)2.设定义在R 上的函数()f x 满足()()217f x f x ⋅+=，若()12f =，则()2007f = （A ）17 （B ）2 （C ）172（D ）2173．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23）4．已知函数xy a b =+的图象过第二、三、四象限，那么（A ）1,1a b >>- （B ）1,1a b ><- （C ）01,1a b <<>- （D ）01,1a b <<<-5．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度6．若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 （A ） ()2,2- （B ） []2,2- （C ） (),1-∞- （D ）()1,+∞7．某公司在广州、深圳两地销售同一款汽车，利润（单位：万元）分别为21 5.060.15L x x =-和22L x =，其中x 为销售量（单位：辆）。

若该公司在广州、深圳共销售了15辆车，则能获得的最大利润为（ ）万元（A ）45.606 （B ）45.6 （C ）45.56 （D ）45.518．已知函数5)(23-+-=x x kx x f 在R 上单调递增, 则实数k 的取值范围是 （A ）),31(∞+（B ）]31,0(（C ）)31,0(（D ）),31[∞+9．下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是 A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =xe D ()ln(1)f x x =+10．已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是A (,1)(2,)-∞-⋃+∞B (1,2)-C (2,1)-D (,2)(1,)-∞-⋃+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．已知直线y x b =+与曲线232y x x =++相切，则实数b 的取值为 ．12． 若函数()log (21)a f x x =-在区间(,)a +∞上是单调减函数，则实数a 的取值范围是 ．13．若函数21144(log )2log 5y x x =-+在定义域[2,4]上有最大值a ，最小值b ，则a b -=.14．曲线xy e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ．填空题答案填在下面：11． 12．13． 14．班级 姓名 学号 得分11. 1 12.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭13.7414.22e11. 1 12.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭13.7414.22e。

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题．．．卷上作答无效．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=（M N ）I ð （A ）{}12，（B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4xy x R =∈ （B ）2(0)4xy x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24yx =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.(3)设向量,a b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A （B （C （D【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，A C l ⊥,C 为垂足,B β∈，B D l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则C D = （A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, A C l ⊥,∴AC ⊥平面β,A C B C ∴⊥BC ∴=又B D l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12(B)1 4- (C)14(D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111((2)()()2(12222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = (A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离O M =,在R t O M N ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12O N O M ==故圆N 的半径r ==,∴圆N的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

2024年深圳市高三年级第一次调研考试 第1页 共8页2024年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共40分。

二、选择题：每小题6分，共18分。

说明：第9、10题全部选对得6分，选对1个得3分，有选错得0分；第11题全部选对得6分，每选对1个得2分，有选错得0分．三、填空题：每小题5分，共15分。

12．； 13 14．18． 四、解答题： 15．（13分）证明：（1）设等差数列{}n S n 的公差为d ，则41341S Sd =+，即135S d +=，①………………1分因为21214S a a S =+=+，所以由2121S Sd =+，得124S d +=．②…………………………2分由①、②解得12S =，1d =，所以1n Sn n=+，即(1)n S n n =+，……………………………3分当2n …时，1(1)(1)2n n n a S S n n n n n −=−=+−−=，当时，112a S ==，上式也成立，所以*2()n a n n =∈N ，………………………………5分因为当2n …时，12n n a a −−=，所以数列{}n a 是等差数列．…………………………………6分解：（2）由（1）可知+122242n n n n b a n nb a n n +===++，…………………………………………………7分 当2n …时，12112112112=613(1)n n n n n b b b n n b b b b b n n n n −−−−−⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++……， π3−1n =2024年深圳市高三年级第一次调研考试 第2页 共8页因为16b =满足上式，所以*12()(1)n b n n n =∈+N ． ……………………………………………9分1111111212[(1)()()]12(1)12223111n T n n n n =−+−++−=⨯−=−+++，……………………11分 因为当*121n ∈+N 时，，，3，5，11，所以{6,8,9,10,11}M =． …………………13分 16．（15分）证明：（1）不妨设3AD AP ==， ∵120PAD ∠=︒，2DM MP =，∴33DP =，23DM =，3PM =， ………………………………………………………1分 由余弦定理得222cos303AM AP MP AP MP =+−⋅︒=，在ADM △中，222AD AM DM +=，∴MA AD ⊥， …………………………………………2分 ∵平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD 平面PAD AD =，MA ⊂平面PAD ，∴MA ⊥平面ABCD ．∵BD ⊂平面ABCD ，∴MA BD ⊥，……………………………………………………………4分 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，…………………………………………………………5分 又∵ACMA A =，且AC ⊂平面ACM ，MA ⊂平面ACM ，∴BD ⊥平面ACM ． ……6分解：（2）在平面ABCD 内，过点B 作AD 的垂线，垂足为N ，∵平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD平面PAD AD =，∴BN ⊥平面ADP ，…………………………………………7分 又∵四边形ABCD 是菱形，60ADC ∠=︒，∴30BDA ∠=︒， ∴ACD △,ABC △均为等边三角形，………………………8分 以点A 为坐标原点，AD ，AM 及过点A 平行于NB 的直线分别 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系（如图），则(0,0,0)A ，333(,0,)22B −，(3,0,0)D ，333(,,0)22P −，……………………………9分 由（1）BD ⊥平面ACM ， ∴933(,0,)22BD =−为平面ACM 的一个法向量，…………………………………………10分 设平面ABP 的法向量为(,,)x y z =m ，1n =2xPBCM D zyAN2024年深圳市高三年级第一次调研考试 第3页 共8页则0,0,AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即30,230,2x x y ⎧−+=⎪⎪⎨⎪−+=⎪⎩……………………………………………………………11分令x ==m ， ………………………………………………………………12分∵|cos ,|BD <>==m …………………………………………………………14分 ∴平面ACM 与平面ABP．……………………………………………15分 17．（15分）解：（1）由题可知332211()(1)3313()24f αααααα=+−=−+=−+， …………………………2分因为01α<<，所以当12α=时，()f α的最小值为14． ……………………………………4分（2）由题设知，X 的可能取值为1，2，3，4．………………………………………………5分①当1X =时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．因此，212112128(1)3333333381P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，……………………………………………………6分 ②当2X =时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．因此，222221212112364(2)()2()2()()433333333819P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯==， (8)分③当3X =时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．因此，33121220(3)()2()2333381P X ==⨯⨯+⨯⨯=，……………………………………………………10分④当4X =时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．因此，441217(4)()()3381P X ==+=．……………………………………………………………………12分所以X 的分布列为…………………………………………………13分2024年深圳市高三年级第一次调研考试 第4页 共8页因此，X 的数学期望832017208()1234818818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………15分 18．（17分）解：（1）当0a =时，2()2ln f x x x x =−−，则1()2(1ln )22(ln 1)f x x x x x x x'=−⋅+⋅−=−++，……………………………………………1分令()()g x f x '=，则1()2(1)g x x'=−+，因为2[e ,1]x −∈，所以()0g x '<．则()g x 在2[e ,1]−上单调递减，……………………………2分 又因为22(e )2(1e )0f −−'=−>，(1)40f '=−<，所以20(e ,1)x −∃∈使得0()0f x '=，()f x 在20(e ,)x −上单调递增，在0(,1)x 上单调递减． 因此，()f x 在2[e ,1]−上的最小值是2(e )f −与(1)f 两者中的最小者．…………………………3分 因为22422(e )4e e e (4e )0f −−−−−=−=−>，(1)1f =−，所以函数()f x 在2[e ,1]−上的最小值为1−．………………………………………………………4分（2）111()[1e (1)e ]2(1ln )2x x f x a x x x x x++'=⋅+−−⋅+⋅−1e 2(ln 1)x ax x x +=−++，由()0f x '=，解得1ln 12(ln 1)2(ln 1)e e x x x x x x x a x +++++++==，…………………………………………6分 易知函数ln 1y x x =++在(0,)+∞上单调递增，且值域为R ，令ln 1x x t ++=，由()0f x '=，解得2et ta =，设2()e t th t =，则2(1)()e t t h t −'=，因为当1t <时，()0h t '>，当1t >时，()0h t '<，所以函数()h t 在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．根据2(1)eh =，t →−∞时，()h x →−∞，2lim ()lim 0e t t t h t →+∞→+∞==, 得()h t 的大致图像如图所示． ………………………………………………………………………7分因此有： （ⅰ）当2ea >时，方程()h t a =无解，即()f x '无零点，()f x 没有极值点；………………8分2024年深圳市高三年级第一次调研考试 第5页 共8页（ⅱ）当2ea =时，ln ()2e 2(ln 1)x x f x x x +'=−++， 利用e 1x x +…，得()2(ln 1)2(ln 1)0f x x x x x '++−++=…，此时()f x 没有极值点； ……9分 （ⅲ）当20ea <<时，方程()h t a =有两个解，即()f x '有两个零点，()f x 有两个极值点； （ⅳ）当0a …时，方程()h t a =有一个解，即()f x '有一个零点，()f x 有一个极值点． 综上，当0a …时，()f x 有一个极值点；当20ea <<时，()f x 有两个极值点；当2e a …时，()f x没有极值点．……………………………………………………………………………………………11分（3）先证明当π(0,)4x ∈时，sin πx x >． 设sin π()((0,))4x n x x x =∈，则2(cos )sin ()x x x n x x ⋅−'=， 记π()cos sin ((0,))4p x x x x x =−∈，则()1cos (sin )cos sin 0p x x x x x x x '=⋅+⋅−−=−<，()p x 在π(0,)4上单调递减， ……………………………………………………………………13分 当π(0,)4x ∈时，()(0)0p x p <=，()0n x '<，则()n x 在π(0,)4上单调递减，π()()4n x n >=，即当π(0,)4x ∈时，不等式sin x x >…………………………………………………14分 由（2）知，当函数()f x 无极值点时，2ea ≥，则1e π0244a <≤<，…………………………15分在不等式sin x x >12x a =，则有12sin 2a a >，即不等式1sin2πa a >……………………………………………………………………17分 19．（17分）解：（1）设点(,)P x y||mn x m=−，……………………………………2分2024年深圳市高三年级第一次调研考试 第6页 共8页即222()()mx m y x n n−+=−， 经化简，得C 的方程为222221x y n n m+=−，………………………………………………………3分 当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线． ………………………………………………4分 （2）设点11(,)M x y ，22(,)N x y ，33(,)M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =−=−，(i)由（1）可知C 的方程为221168x y +=，A，(B −，因为//AM BN===，因此，M ，A ，M '三点共线，且||||BN AM '==，…………………………………5分（法一）设直线MM '的方程为x ty =+C的方程，得22(2)80t y ++−=，则13y y +=，13282y y t =−+， ………………………………………………………6分 由（1）可知11||4AM x x ==，3||4BN AM x '==，所以11||||||||||||AM BN AM BN AM BN ++=⋅1313(4)(4)(2)(2)++= 13213134(4()2114()2y y y y ty y −⋅+===++（定值）．………8分（法二）设MAx θ∠=，解得AM =，4=，解得AM '=， 所以11111||||||||AM BN AM AM+=+=='（定值）.………………8分由椭圆定义8BQ QM MA ++=，得8QM BQ AM =−−，//AM BN ，∴8||||||||BQ AMAM QM BN BQ BQ−−==，2024年深圳市高三年级第一次调研考试 第7页 共8页解得(8||)||||||||AM BN BQ AM BN −⋅=+，同理可得(8||)||||||||BN AM AQ AM BN −⋅=+， ……………………………………………………………10分所以(8||)||(8||)||8(||||)2||||||||||||||||||||BN AM AM BN AM BN AM BN AQ BQ AM BN AM BN AM BN −⋅−⋅+−⋅+=+=+++2882611||||AM BN =−=−=+．因为AB =ABQ △的周长为6+． …………………………………12分(ii) 当m n >时，曲线C 的方程为222221x yn m n−=−，轨迹为双曲线， 根据（ⅰ）的证明，同理可得M ，A ，M '三点共线，且||||BN AM '=， （法一）设直线MM '的方程为x sy m =+，联立C 的方程，得2222222222[()]2()()0m n s n y sm m n y m n −−+−+−=，∴221322222()()sm m n y y m n s n −+=−−−，222132222()()m n y y m n s n −=−−，（*） ………………………………13分因为211||()m n mAM x x n n m n=−=−，3||||m BN AM x n n '==−，所以1111||||||||||||||||AM AM AM BN AM AM AM AM '++=+=''⋅2222131322221313()()()()()()()()m m sm m n sm m n x n x n y y n n n n n n m m sm m n sm m n x n x n y y n n n n n n−−−+−+++==−−−−++2213222222213132222()()()()()sm m n y y n n m s m n ms m n y y y y n n n −++=−−+++， 将（*）代入上式，化简得22112||||nAM BN m n +=−，…………………………………………15分 （法二）设MAx θ∠=，依条件有2()cos AMmn n m AM mθ=−+，解得22cos m n AM n m θ−=−， 同理由2()cos AM mn n m AM mθ'='−−，解得22cos m n AM n m θ−'=+，2024年深圳市高三年级第一次调研考试 第8页 共8页所以2222221111cos cos 2||||||||n m n m nAM BN AM AM m n m n m n θθ−++=+=+='−−−.…………………15分 由双曲线的定义2BQ QM MA n +−=，得2QM n AM BQ =+−，根据||||||||AM QM BN BQ =，解得(2||)||||||||n AM BN BQ AM BN +⋅=+， 同理根据||||||||AM AQ BN QN =，解得(2||)||||||||n BN AM AQ AM BN +⋅=+， 所以(2||)||(2||)||2||||||||2||||||||||||n BN AM n AM BN AM BN AQ BQ n AM BN AM BN AM BN +⋅+⋅⋅+=+=++++222222211||||m n m n n n n nAM BN −+=+=+=+，……………………………16分 由内切圆性质可知，1(||||||)2S AB AQ BQ r =++⋅， 当S r λ=时，2221()(||||||)222m n m n AB AQ BQ m n nλ++=++=+=（常数）． 因此，存在常数λ使得S r λ=恒成立，且2()2m n nλ+=．……………………………………17分。

山东省实验中学2011级高三第一次模拟考试 数学试题（文科） (2014.3)第I 卷（选择题 50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知i 为虚数单位，复数212,21i z a i z z z =+=-=，且，则实数a 的值为 A.2B.2-C.2或2-D.20±或2.已知全集{}{}()2=12,680,U U R A x x B x x x C A B =->=-+<⋂，且则等于A.[)14-，B.(]23，C.()23，D.()14-，3.cossincos sin 12121212ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为A.B.12-C.124.若一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为 A.12B.32C.1D.135.已知x 、y 的取值如下表所示：若y 与x 线性相关，且0.95yx a ∧=+，则a 的值为A.2.2B.2.9C.2.8D.2.66.下列结论错误．．的是 A.命题“若23404x x x --==，则”的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则” B.“4x =”是“2340x x --=”的充分条件C.命题“若200m x x m >+-=，则方程有实根”的逆命题为真命题D.命题“若2200=0m n m n +==，则且”的否命题是“若220.m n +≠则0m ≠或0n ≠”7.设,z x y x y =+，其中实数满足200,0x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为12，则z 的最小值为A.3-B.6-C.3D.68.已知ABC ∆的三边长为a 、b 、c ，满足直线2201ax by c x y ++=+=与圆相离，则ABC ∆是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上情况都有可9.抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于A.B.C.210.已知函数()()()()()21010xx f x f x x a f x x -⎧-≤⎪==+⎨->⎪⎩，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 A.(],0-∞B.[)0,1C.(),1-∞D.[)0,+∞第II 卷（非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量(),,2,a b a b a b a ==-⊥ 满足，则向量a b与的夹角为_______.12.如果执行右边的框图，输入N=5，则输出的数等于_________. 13.若ABC ∆三边长a,b,c 满足等式()()a b c a b c ab +-++=，则角C 的大小为_______.14.已知数列{}12132143211121231234n a ⋅⋅⋅为：，，，，，，，，，，，依它的前10项的规律，则50a =___.15.若函数()y f x =是奇函数，则()y f x =的图像关于y 轴对称；②若函数()f x 对任意()()()121f x x R f x f x -∈+=+满足，则4是函数()f x 的一个周期；③若log 3log 30,0m n m n <<<<<1则；④若()[)1x af x e-=+∞在，上是增函数，则1a ≤.其中正确命题的序号是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题满分12分）已知函数()()cos sin 244f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （II ）若将()f x 的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17.（本小题满分12分）对山东省实验中学高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图：（I ）求出表中M ，p 及图中a 的值；（II ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求两人来自同一小组的概率.18.（本小题满分12分）如图，点C 是以AB 为直径的圆上一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在的平面垂直，且DE//BC ，1,2, 3.2DC BC DE BC AC CD ⊥====（I ）证明：EO//平面ACD ；（II ）证明：平面ACD ⊥平面BCDE ； （III ）求三棱锥E-ABD 的体积.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}250,,n a d a a >的公差且是方程{}212270n x x b -+=的两根，数列的前n 项和为()*11,3,23.n n n T b b T n N +==+∈且满足（I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）设数列{}n c 满足，nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和.n M20.（本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，焦点与短轴两端点构成等腰直角三角形.（I ）求椭圆C 的标准方程.（II ）过点()2,0P l C A B -作直线与椭圆交于、两点，求1AF B ∆的面积的最大值.21.（本小题满分14分） 已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-. （I ）函数()()()22f x f 在点，处的切线与30x y ++=平行，求a 的值； （II ）讨论函数()f x 的单调性；（III ）对于任意()()()12121221,0,,,x x x x f x f x x x ∈+∞>->-有，求实数a 的范围.。

2024年深圳市高三年级第一次调研考试数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角α的终边过点)3,4(，则=+2sin(παA.54 B.54-C.53 D.53-1.【答案】A【解析】由已知，可得54434cos 22=+==r x α，则54cos )2sin(==+απα，故选A.2.已知i 为虚数单位，若iiz +=12，则=⋅z z A.2 B.2C.i2- D.i22.【答案】B【解析一】由已知，可得i i i i i i i i z +=+=-+-=+=1222)1)(1()1(212，即i z -=1，则2)1)(1(=-+=⋅i i z z ，故选B.【解析二】由已知，可得22412122222==+=+==⋅ii i i z z z ，故选B.【解析三】由已知，i i z +=12，即i i z --=12，则224)12(122=-=--⋅+=⋅i i i i i z z ，故选B.3.已知函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，在区间),0(+∞上单调递增，且对任意1x ，2x ，均有)()()(2121x f x f x x f =成立，则下列函数中符合条件的是A.x y ln = B.3xy = C.xy 2= D.xy =3.【答案】D【解析一】对于选项A ，显然0≠x ，与题设)(x f 的定义域为R 相矛盾，故A 错误；对于选项B ，显然3x y =是奇函数，故B 错误；对于选项C ，由于⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-0,20,22x x y x x x ，显然122222)(022==⋅≠==⋅---x x x x x x f ，故C 错误；对于选项D ，符合题意；故选D.【解析二】采用特殊值法，也可快速排除错误选项，确定选项D 正确.4.已知a ，b 是夹角为︒120的两个单位向量，若向量b a λ+在向量a 上的投影向量为a 2，则=λA.2- B.2C.332-D.3324.【答案】A【解析一】由已知，可得a ab a a a a b a a )120cos 1()(22︒+===λ，即λ2112-=，则2-=λ，故选A.【解析二】如图所示，a OA =，b OB =，结合已知条件，显然2-=λ，故选A.【解析三】逐项代入检验，结合运算或图象，亦可快速判定A 选项正确.a ab bλOB A DCE︒60bλ5.由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为{}n a ，即01=a ，22=a ，43=a ，…，若2024=n a ，则=n A.34B.33C.32D.305.【答案】B【解析一】由已知条件，结合分类、分步计数原理，可得①1位数：有3个，即0，2，4；②2位数：可先排首位，可选择2或4，由于可重复，个位数可选择0或2或4，故满足条件的2位数共有61312=⋅C C 个；③3位数：同上，共有18131312=⋅⋅C C C 个；以上一共有27个数，满足条件的4位数按从小到大的顺序排列分别为：200028=a ，200229=a ，200430=a ，202031=a ，202232=a ，202433=a ，故选B.6.已知某圆台的上、下底面半径分别为1r ，2r ，且122r r =，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为A.328πB.340π C.356π D.3112π6.【答案】C【解析一】如图所示，要使球与圆台的上、下底面及侧面均相切，即球是圆台的内切球，易得内切球的半径22121===r r r R ，则21=r ，222=r ，又圆台的高为42==R h ，则圆台的体积为3564)482(31)(31(31212221πππ=⋅++=⋅++=++=h r r r r h S S S S V 下上下上，故选C.∙∙∙1O A B CDE F l l O2O 1r 2r R∙∙∙1O A B CDE F ll O2O 1r 2r RGh7.已知数列{}n a 满足121==a a ，)(,2,12,2*2N k k n a k n a a nn n ∈⎩⎨⎧=--=+=+，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则=50S A.624 B.625C.626D.6507.【答案】C【解析一】由已知，当12-=k n 时，有22=-+n n a a ，即数列{}n a 的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列；当k n 2=时，有12-=+nn a a ，即数列{}n a 的偶数项是以1为首项，1-为公比的等比数列（也可看成02=++n n a a ，偶数项和为0）；则626)1(1])1(1[1)222425125()()(255042493150=----⨯+⨯⨯+⨯=+++++++=a a a a a a S 故选C.【解析二】（逐项列举求和法）由已知，11=a ，12=a ，33=a ，14-=a ，55=a ，16=a ，77=a ，18-=a ，依此类推，可得到数列{}n a 的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，偶数项是由1和1-组成的摆动数列，则62610122)491(2550=+⨯++⨯=S ，故选C.8.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线E 的右支交于A ，B 两点，若1AF AB =，且双曲线E 的离心率为2，则=∠1cos BAF A.873-B.43-C.81 D.81-8.【答案】D【解析一】由已知，双曲线E 为等轴双曲线，即b a =，为了方便讨论，不妨设1==b a ，则双曲线E 的方程可简化为122=-y x ，且2=c ，2221=F F ，由于221BF AF AB AF +==，则22212==-=a AF AF BF ，4221=+=a BF BF ，故43422)22(242cos 22221221222121=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠BF BF F F BF BF BF F ，8116921)1cos 2(2cos )2cos(cos 21221211-=⋅-=-∠-=∠-=∠-=∠BF F BF F BF F BAF π故选D.xyO2F 1F AB二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的A.众数为12 B.平均数为14C.中位数为14.5D.第85百分位数为169.【答案】BC【解析一】由已知，将所给10个数据按从小到大的顺序排列，得到8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，对于选项A ，众数显然是16（出现了3次），故A 错误；对于选项B ，由于14101401020183161321298==++⨯++⨯++，故B 正确；对于选项C ，由于第5个数为13，第6个数为16，则中位数为5.1421613=+，故C 正确；对于选项D ，由于5.885.010=⨯，则第85百分位数为第9个数，即18，故D 错误；综上所述，故选BC.10.设1>a ，0>b ，且b a -=2ln ，则下列关系式可能成立的是A.b a = B.ea b =- C.ba 2024= D.eab >10.【答案】AC【解析一】由已知，1>a ，0>b ，则2ln 20<-=<a b ，22ln 1ln 0<-=<=b a ，1ln >+a a ，对于选项A ，若b a =，则a a -=2ln ，即2ln =+a a ，显然等式有可能成立，故A 正确；对于选项B ，若e a b =-，则)(2ln e a a +-=，即e a a -=+2ln ，显然等式不成立，故B 错误；对于选项C ，若b a 2024=，则20242ln a a -=，即22024ln =+aa ，显然等式有可能成立，故C 正确；对于选项D ，由于a a a a a ab ln 2)ln 2(-=-=，记1,ln 2)(>-=x x x x x f ，则x x x f ln 1)1(ln 2)(-=+-='，易得当e x =时，)(x f 有极大值为e e e e e f =-=ln 2)(，则当1>x 时，e x f ≤)(，即当1>a 时，e a a a a f ab ≤-==ln 2)(，故D 错误；综上所述，故选AC.【解析二】（图象法）对于选项A ，若b a =，则a a -=2ln ，可看作2ln +-=x x ，1>x ，分别作出对应函数图象，显然函数x y ln =与2+-=x y 的图象在1>x 处有交点，即零点存在，故A 正确；对于选项B ，若e a b =-，则)(2ln e a a +-=，可看作e x x -+-=2ln ，1>x ，分别作出对应函数图象，显然函数x y ln =与e x y -+-=2的图象在1>x 处无交点，即此时零点在存在，故B 错误；对于选项C ，若b a 2024=，则20242ln a a -=，可看作220241ln +-=x x ，1>x ，分别作出对应函数图象，显然函数x y ln =与220241+-=x y 的图象在1>x 处有交点，即此时零点存在，故C 正确；xy2+-=x y xy ln =122Oxyex y -+-=2xy ln =O1y220241+-=x y xy ln =O1对于选项D ，由于a a a a a ab ln 2)ln 2(-=-=，记1,ln 2)(>-=x x x x x f ，则x x x f ln 1)1(ln 2)(-=+-='，易得当e x =时，)(x f 有极大值为e e e e e f =-=ln 2)(，则当1>x 时，e x f ≤)(，即当1>a 时，e a a a a f ab ≤-==ln 2)(，故D 错误；综上所述，故选AC.11.如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B ，C ，D ，E 在同一个平面内，若点M 在四边形BCDE 内（包含边界）运动，N 为AE 的中点，则A.当M 为DE 的中点时，异面直线MN 与CF 所成角为3πB.当//MN 平面ACD 时，点M 的轨迹长度为22C.当ME MA ⊥时，点M 到BC 的距离可能为3D.存在一个体积为310π的圆柱体可整体放入Ω内11.【答案】ACD【解析一】对于选项A ，当M 为DE 的中点时，易知BF AD MN ////，则异面直线MN 与CF 所成角即为3π=∠BFC ，故A 正确；xyxx x y ln 2-=OeeFBCDMENA∙∙（第11题图）FBCDMENA∙∙对于选项B ，取BC 的中点为P ，DE 的中点为Q ，显然有//NQ 平面ACD ，当点M 与点Q 重合时，有//MN 平面ACD ；易得平面//NPQ 平面ACD ，由面面平行的性质可知，只要点M 在PQ 上移动时，都能保证//MN 平面ACD ，即此时点M 的轨迹长度为4=PQ ，故B 错误；对于选项C ，当ME MA ⊥时，有2π=∠AME ，即点M 在以N 为球心，AE 为直径的球面上（类似圆的直径所对圆周角为直角），又点M 在四边形BCDE 内（包含边界）运动，则点M 在平面BCDE 与球N 的交面上运动，如图所示，记点A 、点N 在平面BCDE 内的投影分别为1O ，O ，则它们均落在CE 上，显然点M 的运动轨迹在以O 为圆心，1OO 为半径的圆弧21M M 上，又222111===CE E O CO ，则圆O 的半径为2411==CE OO ，又3431==BE OD ，2211==BE B M ，422==BE D M ，233113-=-=OM OD D M ，则点M 到BC 的距离的取值范围为]4,23[-，又]4,23[3-∈，故C 正确；FBCDQENA∙∙∙P ∙MBCDEN A∙∙∙1O O ACE1O NOBCDE O1M 2M 1D 2D 3M 1O对于选项D ，由对称性可考虑在上半部分正四棱锥中放入一个内接最大圆柱即可，设此时圆柱的底面半径为r ，高为h ，作圆柱的平行于CD 边的轴截面APQ ，易得221==CD PO ，32=AP ，则在AOP Rt ∆中，有2222=-=OP AP AO ，又F AO Rt 1∆～AOP Rt ∆，则OP FO AO AO 11=，即r r AO 22221==，则)2(222211r r AO AO OO h -=-=-==，20<<r ，则此时圆柱的体积为27232)3222(2422)2(24)2(2322πππππ=++-⋅≤⋅⋅-=-==r r r rr r r r h r V ，当且仅当22r r =-，即34=r 时，等式成立，即该八面体能放入的圆柱的体积为310272642ππ>=V ，故D 正确；综上所述，故选ACD.CEA QPO1O r h F三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π，其图象关于点)0,32(π中心对称，则=ϕ____________.12.【答案】3π-【解析一】由已知，函数)sin()(ϕω+=x x f 的最小正周期为π，则22==ππω，又其图象关于点)0,32(π中心对称，则0)322sin()32(=+⋅=ϕππf ，即πϕπk =+34，Z k ∈，解得ππϕk +-=34，Z k ∈，又2πϕ<，即22πϕπ<<-，取1=k ，则此时3πϕ-=，显然符合题意，故填3π-.13.设点)0,2(-A ，)0,21(-B ，)1,0(C ，若动点P 满足PB P A 2=，且AC AB AP μλ+=，则μλ2+的最大值为____________.13.【答案】3422+【解析一】（三角换元）由已知，动点P 满足PB P A 2=，即动点P 到定点A 与它到定点B 的距离之比为常数（阿氏圆），设),(y x P ，则由PB P A 2=，可得2222)21(2)2(y x y x ++=++，即122=+y x ，即动点P 在单位圆上运动，故可设)sin ,(cos θθP ，则)sin ,2(cos θθ+=AP ，)0,23(=AB ，)1,2(=AC ，又AC AB AP μλ+=，则),223(),2()0,23()sin ,2(cos μμλμμλθθ+=+=+，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+μθμλθsin 2232cos ，则)sin 22(cos 32θθλ-+=，故34)4sin(32234sin 32cos 32sin 2)sin 22(cos 322++=++=+-+=+πθθθθθθμλ，即34222+≤+μλ，当4πθ=时等式成立，故μλ2+的最大值为3422+.【解析二】（平面向量等和线）由已知，动点P 满足PB P A 2=，即动点P 到定点A 与它到定点B 的距离之比为常数（阿氏圆），设),(y x P ，则由PB P A 2=，可得2222)21(2)2(y x y x ++=++，即122=+y x ，即动点P 在单位圆上运动，又)0,2(-A ，)0,21(-B ，)1,0(C ，取AC 的中点为D ，则21,1(-D ，又AC AB AP μλ+=，则AD AB AP μλ2+=，若P 为BD 与圆的交点，则此时B ，D ，P 三点共线，即12=+μλ显然不是最大值；平移BD 与圆相切时得到切线EF ，记切点为F ，显然当点P 与F 重合时，μλ2+取得最大值；又121(1021-=----=BD k ，则1-=EF k ，即直线EF 的倾斜角为︒135，则在OFE Rt ∆中，有1==EF OF ，2=OE ，则22+=+=OE AO AE ，又23=AB ，则32242322)2(max +=+==+AB AE μλ（平面向量等和线性质），故μλ2+的最大值为3422+.∙∙A B1-2-Cyx O DE F14.已知函数)0)()()(()(321>---=a x x x x x x a x f ，设曲线)(x f y =在点))(,(i i x f x 处切线的斜率为)3,2,1(=i k i ，若1x ，2x ，3x 均不相等，且22-=k ，则314k k +的最小值为_________.14.【答案】18【解析一】由已知，0>a ，0)(=x f 有三个不等实根，即曲线)(x f y =与x 轴有三个交点，且其图象为“N ”型；又)])(())(())([()(213132x x x x x x x x x x x x a x f --+--+--='为了方便讨论，不妨设321x x x <<，令m x x =-23，n x x =-12，则n m x x x x x x +=-+-=-)()(122313，故)())(())(()(1312312111n m an x x x x a x x x x a x f k +=--=--='=，02))(()(321222<-=--='=x x x x a x f k ，即2))((2312=--x x x x a ，则2=amn ，m n m a x x x x a x f k )())(()(231333+=--='=，则184104210)4(5)(4)(4222231=+=⋅+≥++=+++=+amn m n a m n a amn m n m a n m an k k 当且仅当m n 2=，即)(42312x x x x -=-时等式成立，故314k k +的最小值为18.【解析二】由已知，0>a ，0)(=x f 有三个不等实根，即曲线)(x f y =与x 轴有三个交点，且其图象为“N ”型，为了方便讨论，不妨设321x x x <<，又)])(())(())([()(213132x x x x x x x x x x x a x f --+--+--='，则))(()(312111x x x x a x f k --='=，2))(()(321222-=--='=x x x x a x f k ，))(()(231333x x x x a x f k --='=，故323132123121121))(())((2x x x x x x x x x x x x k k k ---=----=-=，即32311)(2x x x x k --=，121332122313323))(())((2x x x x x x x x x x x x k k k ---=----=-=，即213112133)(2)(2x x x x x x x x k --=--=，显然，31321211x x x x k --⋅=，31213211x x x x k --⋅=，则211131=+k k ，即1)11(231=+k k ，则18)425(2)441(211)(4(2413311331313131=⋅+≥+++=++=+k k k k k k k k k k k k k k ，当且仅当23214k k =时，等式成立，故故314k k +的最小值为18.。

绝密★启用前 试卷类型：A2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科） 2011.3本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 参考结论：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0 1 2A =，，，集合{}2B x x =>，则A B = A ．{}2B ．{}0 1 2，，C ．{}2x x >D ．∅2．复数34i i +()（其中i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．双曲线2214y x -=的渐近线方程为A ．1x =±B ．2y =±C ．2y x =±D ．2x y =±4．已知:p 直线1:10l x y --=与直线2:20l x ay +-=平行，:1q a =-，则p 是q 的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设数列{}1n -()的前n 项和为n S ，则对任意正整数n ，n S =A ．112n n ⎡⎤--⎣⎦() B ．1112n --+()C ．112n -+()D ．112n --()6．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ +=A ．OHB ．OGC ．FOD ．EO7．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数24f x x π+()()，sin 23g x x π=+()()，cos 6h x x π=-()()的部分图象（如图），则 A ．a 为f x ()，b 为g x ()，c 为h x () B ．a 为h x ()，b 为f x ()，c 为g x () C ．a 为g x ()，b 为f x ()，c 为h x () D ．a 为h x ()，b 为g x ()，c 为f x ()8．已知圆面2221C x a y a -+≤-:()的面积为S ，平面区域24D x y +≤:与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值范围是A ．() 2-∞，B ．(] 2-∞，C ．()() 1 1 2-∞- ，，D ．()(] 1 1 2-∞- ，， c baQ0.00040.00030.00020.00019．如图所示程序框图，其作用是输入空间直角坐标平面中一点P a b c ()，，，输出相应的点 Q a b c ()，，．若P 的坐标为2 3 1()，，，则 P Q ，间的距离为 （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=” ）A ．0 BCD．10．若实数t 满足f t t =-()，则称t 是函数f x ()的一个次不动点．设函数ln f x x =()与函数e x g x =()（其中e 为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m ，则 A ．0m < B ．0m = C ．01m << D ．1m >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11．某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）．为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在2500 3000[，)（元）段应抽出 人．12．已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如下，则它的左(侧)视图的面积是 ．直观图 正视图13100x x ≤()则x 和y 可能满足的一个关系式是 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中， P Q ，是曲线C :4sin ρθ=上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为 ．15．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于 A B ，的点，CD AB ⊥，垂足为D ，已知2AD =，CB =CD = ．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量4 2cos 52b α= (，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若222b c a +-=，求tan A α+()的值．如图，在四棱锥S ABCD -中，AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB =，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM AB =，DM DC =，SM AD ⊥．（1）证明：BM ⊥平面SMC ；（2）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为1V 与V ，求1V V的值．18．（本小题满分14分）已知函数313f x x ax b =-+()，其中实数 a b ，是常数． （1）已知{}0 1 2a ∈，，，{}0 1 2b ∈，，，求事件A “10f ≥()”发生的概率；（2）若f x ()是R 上的奇函数，g a ()是f x ()在区间[]1 1-，上的最小值，求当1a ≥时g a ()的解析式．19．（本题满分12分）如图，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．ABEMSDCBA已知椭圆222210x y C a b a b+=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA 的距离． （1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．21．（本小题满分14分）设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ． （1）已知11a =，2d =，（ⅰ）求当n ∈N *时，64n S n +的最小值； （ⅱ）当n ∈N *时，求证：132********n n n S S S S S S +++++< ； （2）是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在，则求1a 的取值范围；若不存在，则说明理由．2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．5. 数列{}(1)n-是首项与公比均为1-的等比数列.6. ,a OP OQ =+利用平行四边形法则做出向量OP OQ + ，再平移即发现. .a FO =7．从振幅、最小正周期的大小入手：b 的振幅最大，故b 为()f x ；a 的最小正周期最大，故a 为(),h x 从而c 为()g x .8. 圆面222:()1C x a y a -+≤-的圆心(,0)a 在平面区域:24x y +<内,则210(,1)(1,2).204a a a ⎧->⇔∈-∞-⎨+<⎩ 9. 程序框图的作用是将三个实数按从小到大的顺序排列，若(2,3,1)P ，则(1,2,3)Q . 10.画图即知:函数ln y x =的图象与直线y x =-有唯一公共点(,),t t -e ln().x x x x x t =-⇔=-⇔=- 故两个函数的所有次不动点之和()0.m t t =+-=或利用函数ln y x =的图象与函数e xy =的图象关于直线y x =对称即得出答案.二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．11．25. 12．. ．(108)2y x -=． 14．4． 15．第13题写或不写100x ≤都可以，写成如2108y x=-等均可.11. 画出左(侧)视图如图,其面积为 12.每个个体被抽入样的概率均为100110000100=，在)3000,2500[内的频率为0.0005×（3000－2500）＝0.25，频数为10 000×0.25＝2 500人，则该范围内应当抽取的人数为2 500×1001＝25人. 13. 将各11 ,12,13,14,15对应的函数值分别写成297,296,295,294,293, 分母成等差数列,可知分母11(11)(1)9711108.n a a n n n =+--=-+=- 14. 最长线段PQ 即圆22(2)4x y +-=的直径. 15.根据射影定理得222(2)6,12.CB BD BA BD BD BD CD AD BD =⨯⇔=+⇔==⨯= 三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量4 2cos 52b α= (，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C∠所对的边，若222b c a +-，求tan A α+()的值．【命题意图】本题主要考查向量的数量积、二倍角公式、同角间三角函数关系、余弦定理、两角和的正切公式等基础知识，以及运算求解能力.解: (1) (1,sin )2a α=-,4(,2cos ),52b α= a b ⊥42s i nc o s 0,522a b αα∴⋅=-+=即4sin .5α=……………………3分 α为第二象限角,3sin 4cos ,tan .5cos 3αααα∴==-==- ………………………6分(2) 在ABC ∆中,222,b c a +-222cos 2b c a A bc +-∴== …………………………………………9分(0,π)A ∈ , π,tan 1,4A A ∴== ……………………11分 tan tan 1tan().1tan tan 7A A A ααα+∴+==-- ……………………14分17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB =，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM AB =，DM DC =，SM AD ⊥．（1）证明：BM ⊥平面SMC ；（2）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为1V 与V ，求1VV的值．【命题意图】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.（1） 证明: 平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SAD 平面ABCD AD =,SM ⊂平面SAD ，SM AD ⊥SM ∴⊥平面ABCD ,…………………1分 BM ⊂ 平面,ABCD.SM BM ∴⊥ …………………2分四边形ABCD 是直角梯形，AB //CD ,,AM AB =,DM DC =,MAB MDC ∴∆∆都是等腰直角三角形,45,90,.AMB CMF BMC BM CM ∴∠=∠=︒∠=︒⊥………………4分SM ⊂ 平面SMC ，CM ⊂平面SMC ，SM CM M = , BM ∴⊥平面SMC …………………………………………6分（2） 解: 三棱锥C SBM -与三棱锥S CBM -的体积相等,MSDCBA由( 1 ) 知SM ⊥平面ABCD ,得1113211()32SM BM CMV V SM AB CD AD ⨯⨯=⨯+⨯,……………………………………………9分设,AB a =由3CD AB =,,AM AB =,DM DC =得3,,,4,CD a BM CM AD a ====从而13.(3)48V V a a a ⨯==+⨯ ……………………………12分18．（本小题满分14分）已知函数313f x x ax b =-+()，其中实数 a b ，是常数． （1）已知{}0 1 2a ∈，，，{}0 1 2b ∈，，，求事件A “10f ≥()”发生的概率； （2）若f x ()是R 上的奇函数，g a ()是f x ()在区间[]1 1-，上的最小值，求当1a ≥时g a ()的解析式．【命题意图】本小题主要考查古典概型、函数的奇偶性与零点、导数、解不等式等知识, 考查化归与转化、分类列举等数学思想方法，以及运算求解能力.解：(1) 当{}{}0,1,2,0,1,2a b ∈∈时，等可能发生的基本事件(,)a b 共有9个：(00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).，，，，，，，，，，，，，，，，…………………………4分其中事件A “1(1)03f a b =-+≥”，包含6个基本事件： (00)(01)(02)(11)(12)(22).，，，，，，，，，，， …………………………4分故62()93P A ==．…………………………6分 答：事件“(1)0f ≥”发生的概率23.………………7分(2) 31(),3f x x a x b =-+是R 上的奇函数，得(0)0,0.f b ==………………8分∴31(),3f x x ax =- 2()f x x a '=-, ………………………9分 ① 当1a ≥时，因为11x -≤≤，所以()0f x '≤，()f x 在区间[]1,1-上单调递减， 从而1()(1)3g a f a ==-；……………………11分 ② 当1a ≤-时，因为11x -≤≤，所以()0f x '>，()f x 在区间[]1,1-上单调递增， 从而1()(1)3g a f a =-=-+. ……………………13分 综上，知1,13().1,13a a g a a a ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩……………………14分 19．（本题满分12分）如图，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．【命题意图】本小题主要考查二次函数的切线、最值等知识，考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数解法一：以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为2(0y ax x =≤≤∵点C 的坐标为(2,1)，∴221a =，14a =AB E故边缘线OC 的方程为21(02)4y x x =≤≤. ……4分 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为21(,)(02)4P t t t <<，∵12y x '=， ∴直线EF 的的方程可表示为211()42y t t x t -=-，即21124y tx t =-，…………6分 由此可求得21(2,)4E t t -，21(0,)4F t -.∴2211|||(1)|144AF t t =---=-，2211|||()(1)|144BE t t t t =---=-++，…8分设梯形ABEF 的面积为()S t ，则[]1()||||||2S t AB AF BE =⋅+2211(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++ 2155(1)222t =--+≤. ……………………………………………………………10分∴当1t =时，5().2S t =，故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.………11分答：当0.75m, 1.75m AF BE ==时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为22.5m . ………………………………………………………………………12分 解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为21(02)y ax x =+≤≤∵点C 的坐标为(2,2)， ∴2212a +=，14a = 故边缘线OC 的方程为211(02)4y x x =+≤≤. ………4分 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为21(,1)(02)4P t t t +<<，∵12y x '=， ∴直线EF 的的方程可表示为2111()42y t t x t --=-，即211124y tx t =-+，…6分 由此可求得21(2,1)4E t t -+，21(0,1)4F t -+.∴21||14AF t =-，21||14BE t t =-++，……………7分设梯形ABEF 的面积为()S t ，则[]1()||||||2S t AB AF BE =⋅+2211(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++ 2155(1)222t =--+≤. ……………………………………………………………10分∴当1t =时，5().2S t =，故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.………11分答：当0.75m, 1.75m AF BE ==时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为22.5m . ………………………………………………………………………12分 20．（本题满分14分）已知椭圆222210x y C a b a b+=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA 的距离． （1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质、点关于直线对称等知识，考查数形结合、方程等数学思想方法，以及运算求解能力.解：(1)由点(,0)F ae -，点(0,)A b及b 得直线FA 的方程为1x ae +=-0ey -+=，…………………2分 ∵原点O 到直线FA=e ==………………………………………5分故椭圆C的离心率2e =. …………………………………7分(2) 解法一：设椭圆C 的左焦点F (,0)2-关于直线:20l x y +=的对称点为00(,)P x y ，则有0001,22220.22x y =⎪⎨⎪⎪⋅+=⎪⎩ …………………………………………10分解之，得00,1010x a y ==.P 在圆224x y +=上∴22()()41010a a +=， ∴22228,(1) 4.a b e a ==-=……………………………………13分故椭圆C 的方程为22184x y +=, 点P 的坐标为68(,).55………………………………………14分解法二：因为F (,0)2a -关于直线l 的对称点P 在圆O 上，又直线:20l x y +=经过 圆22:4O x y +=的圆心(0,0)O ,所以F (,0)2-也在圆O 上, ………9分从而22()04+=，22228,(1) 4.a b e a ==-= ………………………10分故椭圆C 的方程为22184x y +=. ………………………………………11分(2,0)F - 与00(,)P x y 关于直线l 的对称,0001,22220.22y x x y ⎧=⎪+⎪∴⎨-⎪⋅+=⎪⎩ …………………………………………12分 解之，得0068,55x y ==.…………………………………………13分故点P 的坐标为68(,).55………………………………………14分21．（本小题满分14分）设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ． （1）已知11a =，2d =，（ⅰ）求当n ∈N *时，64n S n +的最小值； （ⅱ）当n ∈N *时，求证：132********n n n S S S S S S +++++< ； （2）是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在，则求1a 的取值范围；若不存在，则说明理由．【命题意图】本小题主要考查等差数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力. (1) (ⅰ) 解: 11,2,a d ==21(1),2n n n d S na n -∴=+=646416,n S n n n +=+≥= 当且仅当64,n n=即8n =时,上式取等号. 故64n S n+的最大值是16.……………………………………………………4分 (ⅱ) 证明: 由(ⅰ)知2n S n =，当n ∈N *时,2222211111(2)4(2)n n n n S S n n n n +⎡⎤++==-⎢⎥++⎣⎦，……6分 222222132422311111111114134244(2)n n n S S S S S S n n +⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 2222222111111111412435(1)(2)n n n ⎡⎤⎛⎫=+++-++++⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦222211111,412(1)(2)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦……………………………………8分 22110,(1)(2)n n +>++22132422311115().41216n n n S S S S S S ++∴+++<+< ……………………………………9分 (2)对n ∀∈N *,关于m 的不等式1(1)m a a m d n =+-≥的最小正整数解为32n c n =-，当1n =时，111(1)1a c d a +-=≥；……………………10分 当2n ≥时，恒有11(1)(2)n n a c d na c d n+-≥⎧⎨+-<⎩，即11(31)(3)0(31)(4)0d n a d d n a d -+-≥⎧⎨-+-<⎩,从而111310(31)2(3)014,1.31033(31)2(4)0d d a d d a d d a d -≥⎧⎪-⨯+-≥⎪⇔=≤<⎨-≤⎪⎪-⨯+-<⎩……………………12分 当114,133d a =≤<时,对n ∀∈N *,且2n ≥时, 当正整数n m c <时,有1111.33n c m a a n --+<+<……………………13分 所以存在这样的实数1a ,且1a 的取值范围是41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………14分。