二倍角的正弦、余弦、正切 习题精选

二倍角的三角函数精选题29道一．选择题（共7小题）1．已知sinα﹣cosα＝，则sin2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．2．若sinα＝，则cos2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．4．已知sin2α＝，则cos2（α+）＝（）A．B．C．D．5．已知α为第二象限角，sinα+cosα＝，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．6．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．7．若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0二．多选题（共1小题）（多选）8．已知，下面结论正确的是（）A．若f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为π，则ω＝2B．存在ω∈（1，3），使得f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称C．若f（x）在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是D．若f（x）在上单调递增，则ω的取值范围是（0，]三．填空题（共15小题）9．﹣＝．10．若sin x＝﹣，则cos2x＝．11．若sin（﹣α）＝，则cos（+2α）的值为．12．设sin（+θ）＝，则sin2θ＝．13．已知sinα＝+cosα，且α∈（0，），则的值为．14．（文）函数f（x）＝cos2x+2sin x的最小值为．15．已知α、β均为锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝，则cos2β＝．16．已知，则sin2x＝．17．计算：cos215°﹣sin215°＝．18．函数f（x）＝sin2（2x﹣）的最小正周期是．19．设α为锐角，若，则＝．20．已知sin（﹣x）＝，则sin2x＝．21．已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cos2α，则cosα＝．22．函数的定义域为，则值域为．23．已知sin2α＝，则cos2（α+）＝．四．解答题（共6小题）24．已知函数f（x）＝sin（﹣x）sin x﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在[，]上的单调性．25．设函数f（x）＝﹣sin2ωx﹣sinωx cosωx（ω＞0），且y＝f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．26．已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．27．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+2sin2﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当x∈（﹣，）时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y＝f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．28．设f（x）＝4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．（Ⅰ）求函数y＝f（x）的值域（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．29．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足＝，•＝3．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若b+c＝6，求a的值．二倍角的三角函数精选题29道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．已知sinα﹣cosα＝，则sin2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．【解答】解：∵sinα﹣cosα＝，∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α＝，∴sin2α＝﹣，故选：A．【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题．2．若sinα＝，则cos2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】cos2α＝1﹣2sin2α，由此能求出结果．【解答】解：∵sinα＝，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．故选：B．【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sinαcosα＝2cos2α，结合角的范围可求sinα＞0，cosα＞0，可得cosα＝2sinα，根据同角三角函数基本关系式即可解得sinα的值．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα＝．故选：B．【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．已知sin2α＝，则cos2（α+）＝（）A．B．C．D．【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin2α＝，∴cos2（α+）＝[1+cos（2α+）]＝（1﹣sin2α）＝×（1﹣）＝．故选：A．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．5．已知α为第二象限角，sinα+cosα＝，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα＝，利用cos2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α【解答】解：∵sinα+cosα＝，两边平方得：1+sin2α＝，∴sin2α＝﹣，①∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣sin2α＝，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα＝，②∴cos2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）＝（﹣）×＝﹣．故选：A．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα＝是关键，属于中档题．6．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．【分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于cosα的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得sinα的值．【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，即3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos．∵α∈（0，π），∴α∈（，π），则sinα＝＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应用，是基础题．7．若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0【分析】先求出2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，即可判断．【解答】解：α为第四象限角，则﹣+2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，则﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2α＜0，故选：D．【点评】本题考查了角的符号特点，考查了转化能力，属于基础题．二．多选题（共1小题）（多选）8．已知，下面结论正确的是（）A．若f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|的最小值为π，则ω＝2B．存在ω∈（1，3），使得f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称C．若f（x）在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是D．若f（x）在上单调递增，则ω的取值范围是（0，]【分析】先将f（x）化简，对于A，由条件知，周期为2π，然后求出ω；对于B，由条件可得﹣+＝+kπ（k∈Z），然后求出ω＝﹣1﹣3k（k∈Z），即可求解；对于C，由条件，得﹣≤2π＜﹣，然后求出ω的范围；对于D，由条件，得，然后求出ω的范围，再判断命题是否成立即可．【解答】解：∵f（x）＝1﹣2cos2（ωx+）＝﹣cos（2ωx+）＝sin（2ωx+），∴周期T＝＝．A．由条件知，周期为2π，∴w＝，故A错误；B．函数图象右移个单位长度后得到的函数为y＝sin（2ωx﹣+），其图象关于y轴对称，则﹣+＝+kπ（k∈Z），∴ω＝﹣1﹣3k（k∈Z），故对k＝﹣1，存在ω＝2∈（1，3），故B正确；C．由f（x）＝sin（2ωx+）且f（x）在[0，2π]上恰有7个零点，可得﹣≤2π＜﹣，∴⩽ω＜，故C正确；D．由条件，得，∴ω⩽，又ω＞0，∴0＜ω⩽，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质和三角函数的图象变换，考查了转化思想和推理能力，属中档题．三．填空题（共15小题）9．﹣＝．【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．【解答】解：cos2﹣sin2＝cos（2×）＝cos＝．故答案为：【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．10．若sin x＝﹣，则cos2x＝．【分析】由已知利用二倍角公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵sin x＝﹣，∴cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×（﹣）2＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11．若sin（﹣α）＝，则cos（+2α）的值为．【分析】利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为2﹣1，再利用诱导公式化为2﹣1，将条件代入运算求得结果．【解答】解：∵＝cos2（+α）＝2﹣1＝2﹣1＝2×﹣1＝，故答案为：．【点评】本题考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，把要求的式子化为2﹣1＝2﹣1，是解题的关键．12．设sin（+θ）＝，则sin2θ＝﹣．【分析】利用两角和的正弦公式可得+＝，平方可得+sin2θ＝，由此解得sin2θ的值．【解答】解：∵sin（+θ）＝，即+＝，平方可得+sin2θ＝，解得sin2θ＝﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的正弦的应用，属于基础题．13．已知sinα＝+cosα，且α∈（0，），则的值为﹣．【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵sinα＝+cosα，即sinα﹣cosα＝，∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．14．（文）函数f（x）＝cos2x+2sin x的最小值为﹣3．【分析】利用二倍角公式对已知函数化简，f（x）＝cos2x+2sin x＝﹣2sin2x+2sin x+1结合﹣1≤sin x≤1及二次函数的性质可求函数的最小值【解答】解：∵f（x）＝cos2x+2sin x＝﹣2sin2x+2sin x+1＝﹣2+∵﹣1≤sin x≤1当sin x＝﹣1时，函数有最小值﹣3故答案为：﹣3【点评】本题主要考查了二倍角公式及二次函数闭区间上的最值的求解，属于基础试题15．已知α、β均为锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝，则cos2β＝．【分析】先求出sin2α和cos2α的值，再求出sin2（α+β）和cos2（α+β）的值，再利用两角和差的三角公式求出cos2β＝cos[2（α+β）﹣2α]的值．【解答】解：∵α、β均为锐角，且sinα＝，故cosα＝＝＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝2cos2α﹣1＝．∵cos（α+β）＝，∴sin（α+β）＝＝，∴sin2（α+β）＝2sin（α+β）cos（α+β）＝，cos2（α+β）＝2cos2（α+β）﹣1＝，则cos2β＝cos[2（α+β）﹣2α]＝cos2（α+β）cos2α+sin2（α+β）sin2α＝×+＝，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．16．已知，则sin2x＝．【分析】由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．【解答】解：∵，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．17．计算：cos215°﹣sin215°＝．【分析】由二倍角的余弦公式可得cos215°﹣sin215°＝cos30°，从而得到结果．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，cos215°﹣sin215°＝cos30°＝．故答案为：．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．18．函数f（x）＝sin2（2x﹣）的最小正周期是．【分析】先利用二倍角公式对函数解析式进行化简，进而通过三角函数的性质求得周期．【解答】解：f（x）＝sin2（2x﹣）＝根据三角函数的性质知T＝＝故答案为：【点评】本题考查了倍角公式和三角函数周期性的应用．要求学生对三角函数的相关公式及性质熟练记忆．19．设α为锐角，若，则＝．【分析】根据α为锐角，为正数，可得α+是锐角，利用平方关系可得sin（α+）．接下来配角，得到cosα，sinα，再用二倍角公式可得sin2α，cos2α，最后用两角和的正弦公式得到的值即可． 【解答】解：因为α为锐角，为正数，可得α+是锐角，所以sin （α+）＝，所以cos α＝cos （α+）＝＝＝．sin α＝sin （α+）＝＝＝．由此可得sin2α＝2sin αcos α＝；cos2α＝cos 2α﹣sin 2α＝．sin ＝．cos＝．所以＝sin2αcos+cos2αsin＝＝．故答案为：．【点评】本题着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．20．已知sin （﹣x ）＝，则sin2x ＝．【分析】依题意，利用诱导公式与二倍角的余弦公式即可求得答案． 【解答】解：∵sin （﹣x ）＝，∴sin2x ＝cos （﹣2x ）＝cos2（﹣x ）＝1﹣2sin 2（﹣x ）＝1﹣2×＝，故答案为：．【点评】本题考查诱导公式与二倍角的余弦，考查观察与基本运算能力，属于中档题．21．已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cos2α，则cos α＝ ．【分析】由二倍角公式和同角的三角函数关系，计算即可． 【解答】解：由1﹣2sin2α＝cos2α，得1﹣cos2α＝2sin2α， 即2sin 2α＝4sin αcos α；又α∈（0，π），所以sinα≠0，所以sinα＝2cosα＞0；由sin2α+cos2α＝（2cosα）2+cos2α＝5cos2α＝1，解得cosα＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题．22．函数的定义域为，则值域为[﹣，0]．【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的值域．【解答】解：∵函数＝﹣cos x sin x＝﹣sin2x的定义域为，∴2x∈[0，]，sin2x∈[0，1]，∴y＝﹣sin2x∈[﹣，0]，故答案为：[﹣，0]．【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式、正弦函数的定义域和值域，属于基础题．23．已知sin2α＝，则cos2（α+）＝．【分析】用二倍角的余弦公式化简后代入已知即可．【解答】解：∵sin2α＝，∴cos2（α+）＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．四．解答题（共6小题）24．已知函数f（x）＝sin（﹣x）sin x﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在[，]上的单调性．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）根据2x﹣∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（﹣x）sin x﹣x＝cos x sin x﹣（1+cos2x）＝sin2x﹣cos2x﹣＝sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为＝π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．25．设函数f（x）＝﹣sin2ωx﹣sinωx cosωx（ω＞0），且y＝f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出ω的值（Ⅱ）通过x的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝﹣sin2ωx﹣sinωx cosωx＝＝＝．因为y＝f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为π又ω＞0，所以，解得ω＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）＝﹣sin（2x﹣），当时，，所以，因此，﹣1≤f（x），所以f（x）在区间[]上的最大值和最小值分别为：．【点评】本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数，三角函数的周期，正弦函数的值域与单调性的应用，考查计算能力．26．已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．【分析】先将原函数化简为y＝A sin（ωx+φ）+b的形式（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，]上的最值．（2）将x0代入化简后的函数解析式可得到sin（2x0+）＝，再根据x0的范围可求出cos（2x0+）的值，最后由cos2x0＝cos（2x0+）可得答案．【解答】解：（1）由f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1，得f（x）＝（2sin x cos x）+（2cos2x﹣1）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为π．因为f（x）＝2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（0）＝1，f（）＝2，f（）＝﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．（Ⅱ）由（1）可知f（x0）＝2sin（2x0+）又因为f（x0）＝，所以sin（2x0+）＝由x0∈[，]，得2x0+∈[，]从而cos（2x0+）＝﹣＝﹣．所以cos2x0＝cos[（2x0+）﹣]＝cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin＝．【点评】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y＝A sin（ωx+φ）的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力．27．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+2sin2﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当x∈（﹣，）时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y＝f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．【分析】（1）f（x）＝2sin（ωx+φ﹣），利用函数是奇函数，0＜φ＜π，且相邻两对称轴间的距离为，即可求出当x∈（﹣，）时，f（x）的单调递减区间；（2）根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y＝g（x），即可求出当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）f（x）＝sin（ωx+φ）+2sin2﹣1＝sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）＝2sin（ωx+φ﹣）∵函数是奇函数，0＜φ＜π∴φ＝，∴f（x）＝2sinωx，∵相邻两对称轴间的距离为，∴＝π，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin2x，∵x∈（﹣，），∴2x∈（﹣π，），∴f（x）的单调递减区间为（﹣，﹣）；（2）将函数y＝f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，可得函数y＝2sin2（x ﹣）＝2sin（2x﹣）的图象；再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）＝2sin（4x﹣）的图象．当x∈[﹣，]时，4x﹣∈[﹣π，]，﹣1≤sin（4x﹣）≤∴函数g（x）的值域为[﹣2，]．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．28．设f（x）＝4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．（Ⅰ）求函数y＝f（x）的值域（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．【分析】（I）由题意，可由三角函数的恒等变换公式对函数的解析式进行化简得到f（x）＝sin2ωx+1，由此易求得函数的值域；（II）f（x）在区间上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的子集，由此可根据复合三角函数的单调性求出用参数表示的三角函数的单调递增区间，由集合的包含关系比较两个区间的端点即可得到参数ω所满足的不等式，由此不等式解出它的取值范围，即可得到它的最大值．【解答】解：f（x）＝4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π）＝4（cosωx+sinωx）sinωx+cos2ωx＝2cosωx sinωx+2sin2ωx+cos2ωx﹣sin2ωx＝sin2ωx+1，∵﹣1≤sin2ωx≤1，所以函数y＝f（x）的值域是[]（II）因y＝sin x在每个区间[]，k∈z上为增函数，令，又ω＞0，所以，解不等式得≤x≤，即f（x）＝sin2ωx+1，（ω＞0）在每个闭区间[，]，k∈z上是增函数又有题设f（x）在区间上为增函数所以⊆[，]，对某个k∈z成立，于是有．解得ω≤，故ω的最大值是．【点评】本题考查三角恒等变换的运用及三角函数值域的求法，解题的关键是对所给的函数式进行化简，熟练掌握复合三角函数单调性的求法，本题考查了转化的思想，计算能力，属于中等难度的题29．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足＝，•＝3．30．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若b+c＝6，求a的值．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式利用＝求得cos A，进而求得sin A，进而根据求得bc的值，进而根据三角形面积公式求得答案．（Ⅱ）根据bc和b+c的值求得b和c，进而根据余弦定理求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为，∴，又由，得bc cos A＝3，∴bc＝5，∴（Ⅱ）对于bc＝5，又b+c＝6，∴b＝5，c＝1或b＝1，c＝5，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝20，∴【点评】本题主要考查了解三角形的问题．涉及了三角函数中的倍角公式、余弦定理和三角形面积公式等，综合性很强．。

卓越个性化教案GFJW0901典型例题题型3：二倍角的正弦、余弦、正切公式（一）直接利用公式（无条件）化简求值1=( )A．sin4cos4+B．sin4cos4--C．sin4D．cos42．设212tan13cos66,,21tan13a b c===+则有（）A.a b c>>B.a b c<<C.a c b<<D.b c a<<3．函数221tan21tan2xyx-=+的最小正周期是( )A．4πB．2πC．πD．2π4、cos10cos80sin20⋅=.5．求值：001001cos20sin10(tan5tan5)2sin20-+--6.sin124cos 2-的值．（二）带条件的题型化简求值7．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ）A .1925B .1625C .1425D .7258．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724-9、已知32,244x k k ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则co s 2x 的值是 （ ） A 、725-B 、2425-C 、2425D 、72510、已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是 （ ） A 、56π-B 、23π-C 、 712π- D 、34π- 11．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= 。

12、若tan2α=，则tan α= ；sin 2cos2αα-= .13．已知sin cos 22θθ+=那么sin θ的值为 ,cos 2θ的值为 。

14、已知1cos sin 21cos sin x xx x-+=-++，则sin x 的值为 （ ）A 、45B 、45-C 、35-D 、15、已知12sin 41342x x πππ⎛⎫⎛⎫+=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则式子cos 2cos 4xx π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A 、1013-B 、2413C 、513D 、1213-16．已知,135)4sin(,40=-<<x x ππ求)4cos(2cos x x+π的值。

聖37练二俗*的正弦、余務和正切公式（A ）应知应金名师提■•- *、■»—",••• ' ' / * •' / ・•・• j. • • '八gizcog1 .和角三角函数公式，令a”即得二倍角公式. 2. cos 2g ・co«a—siMan 1 — 201）。

= Zcos 1 2。

一 1. 2.公式中a 是任童的•注意二倍角的相对性•如a=2 •° 2I *JI Q•4- tan 5 in订3•公式3中.aHh+于且aH 勞+于MW Z3. y=»in xcos x 最小值为cos 号=+侧cos a 等于7. AABC 中• un A= ■则 cos 2A 尊于4.AN 18(A)25q 1 —tan 2 22. 5^T 沒 um22・5・靜丁10. tan 2a=^ .则 tan a1 AABC 中.cos 八■誉•则sin 2J 4弩于⑻-埸2 sin 15°cos 15’等于理解那析题（C ）土揺MB 演练题组4■知识点：二信角正弦公式死M 记忆(A)-|-(C) +(D)]6(A)-l (C)*(D)l4. sina=#,则 cos 2« 等尸 (C)W(D)"255. sin 275#—sin 215*等于 (B)y，厂、（C ）_T・知识点：二倍用余獄公光理斡与记忆(A)T<B)f7(C)-#①）一壬8. tan a"2.则 tan 2a 等于 (A)令(B)y（心(D)-#•知识点：二伶角正切公与记忆(A 〉*(B)2(0-2专・4a=2・(2G ・常考• 1• 2. sin a+cos a 5"可，则 $i n 2a 等于3. sin 10°sin 70*sin 50°等于:5. sin z+cos 工=+ •具° cos 4/ 尊于6. y=oos : a 晟小正周期为9•叫"于L •则器等于(A)*2 RS 汁2013•则卷十圖2a 等于1. sin o=〒•则 cos(n —2a)等于(C 〉*2. a 为锐角.cosj a+卡）=$则叫 N+舊）为⑷鼾3.已知角0的顶点与原点重合•始边与丄轴正半紬重合,终边在査线，=乙上•则C8知等于<D >|1. sin a=y tJO sin 2a 等于 ♦类显:二借角正就公；（A>25⑻一欝(C)±|| （D ）H(A)T(B)-|(0-4-(D)-£（A 〉寺（嗚■売型:二余处公：4・sinnanY0.则/l+m2z 等于 氏变形及应用(A)Qcos x(B) —72cos x (C)V2sin x(D) —>/2sin T(A)81⑻普47 81(A)ir(B)2«(C)于（D ）于7-4Fycos 2 15。

二倍角的正弦、余弦、正切公式[学习目标] 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一 二倍角公式的推导(1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α. 思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答案 ∵cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二 二倍角公式的常用变形(1)sin 2α2sin α＝cos α，sin 2α2cos α＝sin α； (2)(sin α±cos α)2＝1±sin 2α；(3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2； (4)1－cos α＝2sin 2α2,1＋cos α＝2cos 2α2. 二倍角的余弦公式cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α变形较多，应用灵活．其中sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2也称作降幂公式，1－cos α2＝sin 2α2，1＋cos α2＝cos 2α2也称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．思考 函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12的最小正周期是 ． 答案 π解析 ∵f (x )＝32sin 2x ＋12(2cos 2x －1) ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.题型一 利用倍角公式化简求值例1 求下列各式的值． (1)cos π12cos 512π； (2)13－23cos 215°. 解 (1)原式＝cos π12·sin π12＝12sin π6＝14. (2)原式＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30° ＝－36. 跟踪训练1 求下列各式的值．(1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3cos 50°. 解 (1)cos 72°cos 36°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2(12cos 50°＋32sin 50°)12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4. 题型二 三角函数式的化简或证明例2 求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4 A ＝右边，∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .跟踪训练2 化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ. 解 方法一 原式＝(1－cos 2θ)＋sin 2θ(1＋cos 2θ)＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(cos θ＋sin θ)＝tan θ.方法二 原式＝(sin θ＋cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)－(cos θ－sin θ)](sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝2sin θ2cos θ＝tan θ. 题型三 利用二倍角公式给值求值例3 已知sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16，且α∈(π2，π)，求sin 4α的值． 解 ∵(π4＋α)＋(π4－α)＝π2， ∴sin(π4－α)＝cos(π4＋α)． ∵sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16， ∴2sin(π4＋α)cos(π4＋α)＝13， ∴sin(π2＋2α)＝13，∴cos 2α＝13. 又∵α∈(π2，π)，∴2α∈(π，2π)． ∴sin 2α＝－1－cos 22α＝－223， ∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－429. 跟踪训练3 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值．解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x . ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1213， ∴原式＝2×1213＝2413.合理配凑、巧用倍角公式求解例4 求cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11的值． 分析 添加“sin π11”及系数2，创造条件，注意重复使用倍角公式． 解 原式＝－cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π11 ＝－24sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π1124sin π11 ＝－sin 16π11cos 5π1124sin π11＝sin 5π11cos 5π1124sin π11＝12·sin 10π1124sin π11＝sinπ1125sin π11＝132.1.12sin π12cos π12的值等于( ) A.14 B.18 C.116D.122．sin 4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.323.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α等于( ) A ．tan 2α B ．tan α C ．1 D.124．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，则sin 2x ＝ . 5．求值：sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.一、选择题 1．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－2472．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.233．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13 B ．－79 C.13 D.794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－125．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是( ) A.459 B.259 C ．－459 D ．－2596．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( ) A ．－105 B.105 C ．－155 D.155二、填空题7．2sin 222.5°－1＝ .8．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .9．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝ . 10．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是 ． 三、解答题11．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值．12．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α.13．求值：sin 2α＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α.当堂检测答案1.答案 B解析 原式＝14sin π6＝18. 2．答案 B解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.答案 A解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 4．答案 －2425解析 sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos 2[(x －π4)]＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫2102－1＝－2425. 5．解 ∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.课时精练答案一、选择题1．答案 D解析 cos x ＝45，x ∈(－π2，0)，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×(－34)1－(－34)2＝－247，故选D. 2．答案 A解析 因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos[2⎝⎛⎭⎫α＋π4]2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A. 3．答案 B解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79. 4．答案 A解析 ∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12. ∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭⎫－12＝3.5．答案 A解析 设底角为θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，顶角为π－2θ. ∵sin θ＝53，∴cos θ＝1－sin 2θ＝23. ∴sin(π－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×53×23＝459.6．答案 C解析 ∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15， ∴cos θ<0，cos θ＝－15. ∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0. ∵sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155. 二、填空题7．答案 －22解析 原式＝－cos 45°＝－22. 8．答案 116解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 9．答案 3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2 ＝tan θ2＝3. 10．答案 2解析 ∵f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 三、解答题11．解 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 12．解 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0， ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6. 13．解 原式＝1－cos 2α2＋1－cos ⎝⎛⎭⎫23π＋2α2＋ 1－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α2＝32－12cos 2α－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫23π＋2α＋cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α ＝32－12cos 2α－cos 2π3·cos 2α ＝32－12cos 2α＋12cos 2α＝32.。

二倍角的正弦、余弦、正切的习题精选一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若ABC ∆的内角A 满足322sin =A ，则=+A A cos sin ( ) （A ）315 （B ）315- （C ）35 （D ）35-2. 若412sin =α，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,4ππα，则=-ααsin cos （ ） A.23 B. 23- C. 23± D.433. 设π20≤≤x ,且x x x cos sin 2sin 1-=-,则( ) A. π≤≤x 0 B.474ππ≤≤x C. 454ππ≤≤x D. 232ππ≤≤x 4.=⋅+αααα2cos cos 2cos 12sin 22 ( ) A. αtan B. α2tan C. 1 D.215. 若等腰三角形的顶角正弦为2524，则底角的余弦是（ ） A. 53 B. 54 C. 53或54 D.53±6. 若α是锐角，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. ααcos 2sin >B. ααsin 2sin >C. αα2cos 2cos >D. αα2cos 2cos <7. 若⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈ππα23,2，则()2cos 1πα--的值是（ ）A. 2sinαB. 2cosαC. 2sinα- D.2cosα-8. 设⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα2,23，则化简α2cos 21212121++的结果是（ ） A. 2sinαB. 2sinα- C. 2cosαD.2cosα-9. 设⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，()2tan 2cot 2cos 1αααα-+=f ，则()αf 取得最大值时α的值是（ ）A.2πB.3πC.4πD.6π10. 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈-=ππθθ2,23,54sin ，则2tan θ的值是（ ）A.21 B. 21- C. 32- D.2- 11. 设()02tan ≠=mn nmA ，则A n A m sin cos -的值是（ ）A. nB. n -C. mD.m -12. 已知32tan =α，则=αcos （ ）（A ）54（B ） 54- （C ）154 （D ）53-二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 求值=178cos 174cos 172cos17cosππππ.14. 在等腰三角形ABC 中，若C B =，且53sin =B ，则=A cos .15. 设5:82sin :sin =xx ，则=x 2cos .16. 若322cos =θ，则=+θθ44cos sin .三.解答题（本大题共6小题，满分74分） 17. (12分) 已知51cos sin ,02=+<<-x x x π，求x x cos sin -的值.18. (12分) 已知22tan =α，求（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值； （2）ααααcos 2sin 3cos sin 6-+的值．19. (12分) 求证：2tan 2cos cos 2cos cos 12sin cos θθθθθθθ=+++.20. (12分) 已知()πβα,0,∈,212tan =α,且()135sin =+βα,求βcos 的值.21. (12分) 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,0,1354sin πααπ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+απα4cos 2cos 的值.22. (14分)已知324cos 1cos 1+=+-θθ,且141sin >⎪⎭⎫⎝⎛θ,求2tanθ的值.答案： 一．选择题1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．D 7．D 8．D 9．C 10. B 11. D 12. B 二．填空题 13.161 14. 257- 15. 25716. 1811三．解答题.17. 解:由()251cos sin 21cos sin 2=+=+x x x x 知2524cos sin 2-=x x ,所以 ()2549cos sin 21cos sin 2=-=-x x x x ,而由02<<-x π知0cos ,0sin ><x x ,故0cos sin <-x x ,即57cos sin -=-x x .18. 解: (1)342tan 12tan2tan 2-=-=ααα,故71tan 1tan 14tan -=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπα. (2)672tan 31tan 6cos 2sin 3cos sin 6=-+=-+αααααα.19. 证明:()()()θθθθθθθθθ2cos 2cos 1cos sin 2cos 2cos 1cos 12sin cos ⋅+⋅=++=左边右边===+=2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin 2θθθθθθ. 20. 解: 由万能置换公式知,542tan 12tan2sin 2=+=ααα,532tan 12tan 1cos 22=+-=ααα,所以α为锐角.又由()0sin sin >+>βαα知βα+是钝角,所以()1312cos -=+βα,因此 ()[]()()6516sin sin cos cos cos cos -=+++=-+=αβααβααβαβ.21. 解:⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-4,04παπ,故13124cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ, 1691204cos 4sin 242sin 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=απαπαπα,而1354sin 4cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπ,所以原式=1324.22. 解:3242tan 2cos22sin 2cos 1cos 1222+===+-θθθθθ,故()132tan +±=θ而由141s i n >⎪⎭⎫ ⎝⎛θ知0sin <θ,即Z k k k ∈<<-,22πθππ,所以Z k k k ∈<<-,22πθππ,即2θ在第二、四象限，因此有132tan --=θ.。

专题4二倍角的三角函数（一）二倍角的正弦S 2α：sin2α＝2sin αcos α（二）二倍角的余弦C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；（三）二倍角的正切T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α；公式应用的条件：α≠24k ππ+且α≠k π＋2π(k ∈Z )，当α＝k π＋2π(k ∈Z )时，tan α不存在，求tan2α的值可采用诱导公式（四）二倍角公式的逆用、变形1.逆用形式：2sin αcos α＝sin2α；sin αcos α＝12sin2α；cos α＝sin2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos2α；2tan α1－tan 2α＝tan2α．2.变形用形式：1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos2α＝2cos 2α；1－cos2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos2α2；sin 2α＝1－cos2α2．题型一公式的正用【典例1】（2022春·江苏南京·高一南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知()0,απ∈，1tan 2α=，则cos2α＝（）A ．15B ．35C ．45D ．1225【典例2】（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量3sin ,2,1,1cos a b αα=-=-，若2a b ⋅=-，则tan2α=（）A ．1213-B ．613-C ．125-D ．65-【典例3】（2022春·江苏徐州·高一校考竞赛）求sin sin sin 181818的值.由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．题型二公式的逆用【典例4】（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）设212tan13cos 66,,21tan 13a b c ︒=︒-︒==-︒则有（）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b<<D ．b<c<a正确的是（）A ．tan 25tan 3525tan 35︒+︒+︒⋅︒=B ．22ππ1cos sin 12122-=C ．2tan22.51tan45tan 22.52︒=︒-︒D．12sin10=(1)求值()4sin 67cos 27sin 23cos 27tan 40-- ；(2)已知ππ1sin sin 634αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ,32α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α的值当出现（或可化成）公式右端结构形式时，注意“逆用”公式，简化解题过程.题型三公式的变用【典例7】（2023秋·重庆沙坪坝·=（）A ．1BCD 122122212212222sin cos sin cos π，Z sin cos sin cos sin θθθθθk θθθθθ⎛⎫+-+++=≠∈ ⎪+++-⎝⎭．【典例9】（2023·江苏·高一专题练习）已知cos 2,252θθπ=<<．(1)求tan θ的值；(2)求22cos sin 24θθπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2．题型四三角函数式化简问题【典例10】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）化简：1cos15sin15·sin170cos15sin15⎫︒+︒-⎪⎪︒︒-︒⎝⎭____.sin21tan tan2ααα⎛⎫+=⎪⎝⎭__．︒-︒cos40sin501︒+︒︒1.三角公式化简求值的策略(1)使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型五三角恒等式证明问题【典例13】（2023·江苏·高一专题练习）证明：ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【典例14】（2023·江苏·高一专题练习）求证：tan 1sin 2cos 2ααα=++【典例15】（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）（1）化简：cos()2sin sin αβαβ--；（2）求证：1sin cos sin 1sin cos 1cos θθθθθθ+-=+++．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023·江苏·高一专题练习）1sin cos ,sin25ααα+=-=（）A ．2425-B ．2425C ．1225D ．1225-2．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知2sin 2cos24θ+=，则sin 2θ=A ．1516-B ．1516C ．34-D ．34tan 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．512B ．43-C ．34D ．43A ．0B ．2cos αC π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭D π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭5．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）若51sin 123⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．9B ．9-C ．79D ．79-sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．25B ．25-C ．65D ．65-7．（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）已知0,απ∈，且sin cos 5αα-=，则22sin2cos sin ααα=-（）A ．247B ．12C ．12-D ．247-，且，则α=（）A ．9B ．18C ．27oD ．36o【答案】D【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到()cos 29sin 9α+=，结合090α<< 得到29909α+=- ，求出α.【详解】因为()()sin181sin 22sin 9cos 91sin 2αα+=+，所以()22cos 9cos 22sin 9cos 91sin 2αα=+，整理得：cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα=+ ，cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα-= ，()cos 29sin 9α+= ，因为090α<< ，所以929189α<+< ，所以29909α+=- ，解得：36α= 故选：D.二、多选题9．（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考期中）下列等式成立的是（）A ．22cos 15sin 15-B ．sincos 882ππ=C ．1sin 4040sin 702=D ．tan152=10．（2022春·江苏徐州·高一统考期中）已知sin cos 5αα+=，以下选项正确的是（）A ．24sin 225α=±B ．7sin cos 5αα-=±C ．7cos 225α=±D ．447sin cos 25αα-=±11．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）24cos 20︒=___________.12.（2022春·江苏盐城·高一统考期中）若(,2)2απ∈_____．13．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知tan 2θ=-π02θ<<.(1)求tan θ；(2)求22cos sin 12π4θθθ+-⎛⎫- ⎪⎝⎭.14．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）（1）已知2sin sin 22α=-，求sin cos cos2ααα+的值；（2）已知ππ22x -<<，1sin cos 5x x +=，则2sin22sin 1tan x x x+-．15．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量()()sin ,1,3,cos m n αα=-=-，其中,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥ ．(1)求tan α和sin 2α的值；(2)若sin()αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β的值．16．（2022春·江苏盐城·高一盐城中学校考期中）已知向量()cos ,sin a αα=，122b ⎫=-⎪⎪⎝⎭，02πα<<．(1)若a b ⊥时，求sin 21cos 2αα+的值；(2)若a b -= sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．。

二倍角的正弦、余弦、正切公式[基础自测]1．思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )[解析] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误．(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α. [答案] (1)× (2)√ (3)× 2．sin 15°cos 15°＝________.14 [sin 15°cos 15°＝12×2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.] 3．12－cos 2π8＝________. －24 [12－cos 2π8＝12－1＋cos π42＝12－12－12×22＝－24.]4．若tan θ＝2则tan 2θ＝________. －43 [tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43.] [合 作 探 究·攻 重 难]给角求值(1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( ) A ．14 B ．－14 C ．18D ．－18(2)求下列各式的值：①cos 415°－sin 415°；②1－2sin 275°；③1－tan 275°tan 75°；④1sin 10°－3cos 10°.(1)D [(1)∵cos 3π7＝－cos 4π7，cos 5π7＝－cos 2π7，∴cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7cos 2π7cos 4π7＝8sin π7cos π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝4sin 2π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝2sin 4π7cos 4π78sin π7＝sin 8π78sin π7＝－18. (2)①cos 415°－sin 415°＝(cos 215°－sin 215°)(cos 215°＋sin 215°)＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32.②1－2sin 275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. ③1－tan 275°tan 75°＝2×1－tan 275°2tan 75° ＝2×1tan 150°＝－2 3.④1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.][规律方法] 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[跟踪训练] 1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)1sin 50°＋3cos 50°.[解] (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.给值求值、求角问题(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[思路探究] 依据以下角的关系设计解题思路求解：(1)α＋π4与2α＋π2，α－π4与2α－π2具有2倍关系，用二倍角公式联系； (2)2α＋π2与2α差π2，用诱导公式联系． [解] (1)∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22×725＝－31250.(2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴原式可化为1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3， 即α＝－π4或α＝5π12.母题探究：1.在例2(1)的条件下，求sin 4α的值．[解] 由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×725×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝－336625.2．将例2(1)的条件改为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．[解] ∵0＜x ＜π4，∴π4－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.又cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.[规律方法] 解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到\f(π,4)±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似的变换还有：cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.化简证明问题[探究问题]1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形．2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导．(1)化简：1tan θ＋1＋1tan θ－1＝________.(2)证明：3tan 12°－3sin 12°(4cos212°－2)＝－4 3.[思路探究](1)通分变形．(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值(1)－tan 2θ[(1)原式＝tan θ－1＋tan θ＋1(tan θ＋1)(tan θ－1)＝2tan θtan2θ－1＝－2tan θ1－tan2θ＝－tan2θ.(2)左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°(2cos212°－1)＝23⎝⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin(12°－60°)sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43＝右边，所以原等式成立．][规律方法]证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°B [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32；sin 215°＋cos 215°＝1，故选B.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4B [易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.]3．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝________. 6 [sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.]4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.3 [∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π知sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝2π3， ∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.] 5．已知π2＜α＜π，cos α＝－45. (1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．[解](1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π，所以sin α＝3 5，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－24 25，cos 2α＝2cos2α－1＝7 25，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.。