二倍角的正弦、余弦、正切公式

两倍角的正弦余弦正切公式正弦、余弦和正切是三角函数中最基本的函数之一，它们在数学和物理中有着广泛的应用。

而两倍角的正弦、余弦和正切公式则是在解决复杂问题时经常用到的重要工具。

本文将详细介绍两倍角的正弦、余弦和正切公式及其应用。

一、两倍角的正弦公式在解决一些三角函数的复杂问题时，经常会遇到求两倍角正弦值的情况。

根据两倍角的正弦公式，我们可以用已知的角的正弦值来求解两倍角的正弦值。

两倍角的正弦公式如下：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为已知角的角度。

例如，已知角θ的正弦值为0.6，我们可以利用两倍角的正弦公式求解sin(2θ)。

根据公式，sin(2θ) = 2sinθcosθ，代入已知值，则有sin(2θ) = 2 × 0.6 × cosθ。

二、两倍角的余弦公式与两倍角的正弦公式类似，两倍角的余弦公式也是求解复杂问题中常用的工具。

根据两倍角的余弦公式，我们可以用已知角的余弦值来求解两倍角的余弦值。

两倍角的余弦公式如下：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ同样，θ为已知角的角度。

例如，已知角θ的余弦值为0.8，我们可以利用两倍角的余弦公式求解cos(2θ)。

根据公式，cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ，代入已知值，则有cos(2θ) = 0.8^2 - (1 - 0.8^2)。

三、两倍角的正切公式两倍角的正切公式在解决复杂问题时也非常有用。

根据两倍角的正切公式，我们可以用已知角的正切值来求解两倍角的正切值。

两倍角的正切公式如下：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)同样，θ为已知角的角度。

例如，已知角θ的正切值为1.5，我们可以利用两倍角的正切公式求解tan(2θ)。

根据公式，tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)，代入已知值，则有tan(2θ) = (2 × 1.5) / (1 - 1.5^2)。

二倍角的正弦、余弦、正切(一) ●教学目标(一)知识目标1.二倍角的正弦、余弦、正切公式：(1)sin2α＝2sin αcos α (α为任意角)(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α (α为任意角)＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α(3)tan2α＝),24,2(tan 1tan 22Z ∈++≠-k k k ππππααα(二)能力目标1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.(三)德育目标1.引导学生发现数学规律；2.让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用；3.培养学生的创新意识.●教学重点1.二倍角公式的推导；2.二倍角公式的简单应用.●教学难点理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.●教学方法让学生推导倍角公式，从而了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，从而加深对倍角公式的理解，同时培养逻辑推理能力.(启发诱导式)●教具准备投影片二张第一张（§4.7.1 A ）：二倍角公式：sin2α＝2sin αcos α(α为任意角)cos2α＝cos 2α－sin 2α(α为任意角)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+≠+≠∈-=242tan 1tan 22tan 2ππαππααααk k k Z 利用sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α还可变形为：cos2α＝2cos 2α－1或cos2α＝1－2sin 2α第二张（§4.7.1 B ）：练习题：1.已知cos α＝ｍ，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.2.化简cos （θ＋15°）＋cos （θ－15°）－θ2cos 23 ●教学过程Ⅰ.课题导入师：前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推. 生：先回忆和角公式sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β当α＝β时，sin （α＋β）＝sin2α＝2sin αcos α即：sin2α＝2sin αcos α(S 2α)cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β当α＝β时cos （α＋β）＝cos2α＝cos 2α－sin 2α即：cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)tan （α＋β）＝βαβαtan tan 1tan tan -+ 当α＝β时 tan2α＝αα2tan 1tan 2- (打出投影片§4.7.1 A ，让学生对照).Ⅱ.讲授新课师：同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α还可以变形为：cos2α＝2cos 2α－1或：cos2α＝1－2sin 2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式Ｓ2α、C 2α中，角α可以是任意角；但公式T 2α只有当α≠2π＋ｋπ及α≠4π＋2πk （ｋ∈Ｚ）时才成立，否则不成立(因为当α＝2π＋ｋπ，ｋ∈Ｚ时，tan α的值不存在；当α＝4π＋2πk ，ｋ∈Ｚ时tan2α的值不存在). 当α＝2π＋ｋπ（ｋ∈Ｚ）时，虽然tan α的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：即：tan2α＝tan2（2π＋ｋπ）＝tan （π＋2ｋπ）＝tan π＝0(2)在一般情况下，sin2α≠2sin α例如：16sin 2233sin =≠=ππ；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝ｋπ（ｋ∈Ｚ)时，sin2α＝2sin α＝0成立］.同样在一般情况下cos2α≠2cos αtan2α≠2tan α(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为 2α的2倍，将α作为2α的2倍，将2α作为4α的2倍，将3α作为23α的2倍等等. 下面，来看一些例子：［例1］已知sin α＝135，α∈（2π，π），求sin2α，cos2α，tan2α的值. 解：∵sin α＝135，α∈（2π，π） ∴cos α＝－.1312)135(1sin 122-=--=-α ∴sin2α＝2sin αcos α＝2×169120)1312(135-=-⨯， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×169119)135(2=， tan2α＝.1191201191691691202cos 2sin -=⨯-=αα (打出投影片§4.7.1 B ，师生共同完成).师：1.题中cos α＝ｍ，由此虽不能确定sin α的值，但由于已知α所在象限，所以也可确定其符号，从而求解.生：解：∵cos α＝ｍ，α在第二象限.∴sin α＝221cos 1m -=-α∴sin2α＝2sin αcos α＝221m -·ｍ＝2ｍ21m -cos2α＝2cos 2α－1＝2ｍ2－1tan2α＝12122cos 2sin 22--=m m m αα 或由tan α＝m m 21cos sin -=ααtan2α＝1212tan 1tan 2222--=-m m m αα 师：2.分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.生：解：cos （θ＋15°）＋cos （θ－15°）－23cos2θ ＝θθθ2cos 232)]15(2cos[12)15(2cos[1-︒-++︒++ =1＋21［cos （2θ＋30°）＋cos （2θ－30°）］－23cos2θ =1＋21［cos2θcos30°–sin2θsin30°+cos2θcos30°+sin2θsin30°］－23cos2θ ＝1＋21×2cos2θcos30°－23cos2θ ＝1＋23cos2θ－23cos2θ＝1 评述：二倍角公式的等价变形：22cos 1cos ,22cos 1sin 22αααα+=-=，可以进行“升（降）幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.Ⅲ.课堂练习生：(板演练习)课本P 44 1、3、4.解： 1.(1)2sin67°30′cos67°30′＝sin135°＝22 (2)cos 28π－sin 28π＝cos 4π＝23 (3)2cos 212π－1＝cos 6π＝23 (4)1－2sin 275°＝cos150°＝－23 (5)︒-︒5.22tan 15.22tan 22＝tan45°＝1 (6)sin15°cos15°＝21sin30°＝41 (7)1－2sin 2750°＝cos1500°＝cos （4×360°＋60°）＝cos60°＝21 (8)3300tan 150tan 1150tan 22-=︒=︒-︒ 3.解：∵sin α＝0.8 α∈（0，2π） ∴cos α＝0.6∴sin2α＝2sin αcos α＝0.96cos2α＝1－2sin 2α＝－0.284.解：∵tan α＝21 ∴tan2α＝34tan 1tan 22=-ααⅣ.课时小结要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.Ⅴ.课后作业(一)课本P 47习题4.7 1、 2.(二)1.预习课本P 43例2、例32.预习提纲如何灵活应用二倍角公式进行化简、求值、证明? ●板书设计 课题 二倍角公式及推导 例题●备课资料1.若270°＜α＜360°，则α2cos 21212121++等于 ( ) A.sin2α B.cos 2α C.－sin 2α Ｄ.－cos 2α 解：∵cos2α＝2cos 2α－1cos α＝2cos 22α－1∴ααα22cos 2121)1cos 2(212121212cos 21212121+=-++=++ 又∵270°＜α＜360° 135°＜2α＜180° ∴原式＝2cos 2cos )12cos 2(2121cos 212122αααα-==-+=+ 答案：Ｄ2.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40° sin70°＝cos20°∴原式＝21cos80°cos40°cos20°＝21×︒︒︒︒︒20sin 20sin 20cos 40cos 80cos︒⨯⨯︒︒⨯=︒⨯︒︒︒⨯=20sin 212180sin 80cos 2120sin 2140sin 40cos 80cos 21 16120sin 212121160sin 21=︒⨯⨯⨯︒= 3.求证：8cos 4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3证明：8cos4θ＝8（cos2θ）2＝8(22cos1θ+)2＝2（cos22θ＋2cos2θ＋1）＝2（44cos1θ+）＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3●教学后记。

正弦余弦正切的二倍角公式
二倍角公式是用来计算正弦、余弦和正切的二倍角的公式。

在三角函
数中，二倍角指的是原角的角度加倍。

正弦、余弦和正切的二倍角公式有
以下三个：
1.正弦的二倍角公式：
sin(2θ) = 2sinθcosθ
正弦的二倍角公式表示了正弦函数的二倍角与原角之间的关系。

根据
这个公式，我们可以将正弦的二倍角的值表示为正弦与余弦的乘积的两倍。

这个公式可以用来计算正弦函数的值，特别是在需要计算较大角度的正弦
值时非常有用。

2.余弦的二倍角公式：
cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ
= 1 - 2sin^2θ
= 2cos^2θ - 1
余弦的二倍角公式表示了余弦函数的二倍角与原角之间的关系。

根据
这个公式，我们可以将余弦的二倍角的值表示为余弦与正弦的平方之差，
或者正弦的二倍角的平方之差与1的差。

这个公式可以用来计算余弦函数
的值。

3.正切的二倍角公式：
tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)
正切的二倍角公式表示了正切函数的二倍角与原角之间的关系。

根据这个公式，我们可以将正切的二倍角的值表示为原角的正切的两倍除以1减去原角正切的平方。

这个公式可以用来计算正切函数的值。

这些二倍角公式在解决三角函数相关问题时非常有用，尤其是在需要计算较大角度的三角函数值时。

它们为我们提供了一个简便的方法来计算正弦、余弦和正切的二倍角。

二倍角的正弦余弦和正切公式二倍角公式是用来求解二倍角的三角函数的公式，以正弦、余弦和正切为例，其公式分别为：1.正弦的二倍角公式：正弦的二倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ该公式说明了一个角的正弦的两倍可以通过该角的正弦和余弦相乘来得到。

2.余弦的二倍角公式：余弦的二倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos2θ - sin2θ该公式说明了一个角的余弦的两倍可以通过该角的余弦平方与正弦平方的差来得到。

3.正切的二倍角公式：正切的二倍角公式可以表示为：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)该公式说明了一个角的正切的两倍可以通过该角的正切的两倍与1减去该角的正切的平方的商来得到。

这些二倍角公式可用于简化复杂的三角函数表达式，以便更轻松地计算和求解。

下面将更详细地解释这些公式的推导和应用。

根据三角函数的定义，正弦函数可以表示为：sinθ = 对边 / 斜边令角度Φ等于2θ，则有：sinΦ = 对边 / 斜边那么对边到底边的距离可以通过利用余弦函数来表示为：sinΦ = cos(Φ - 90°)将Φ代入，并展开cosine函数的定义：sin2θ = cos(2θ - 90°)根据余弦的差积公式：cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ将(2θ-90°)分解为(2θ)与(90°)：cos(2θ - 90°) = cos2θcos90° + sin2θsin90°由于cos90° = 0且sin90° = 1，可以化简为：cos(2θ - 90°) = sin2θ因此，可得到正弦的二倍角公式：sin2θ = cos(2θ - 90°)由于cos(2θ - 90°) = sin2θ，所以可以进一步化简为：sin(2θ) = 2sinθcosθ根据三角函数的定义，余弦函数可以表示为：cosθ = 邻边 / 斜边令角度Φ等于2θ，则有：cosΦ = 邻边 / 斜边那么邻边到底边的距离可以通过利用正弦函数来表示为：cosΦ = sin(Φ + 90°)将Φ代入，并展开sine函数的定义：cos2θ = sin(2θ + 90°)根据正弦的和积公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ将(2θ+90°)分解为(2θ)与(90°)：sin(2θ + 90°) = sin2θcos90° + cos2θsin90°由于cos90° = 0且sin90° = 1，可以化简为：sin(2θ + 90°) = cos2θ因此cos2θ = sin(2θ + 90°)由于sin(2θ + 90°) = cos2θ，所以可以进一步化简为：cos(2θ) = cos2θ - sin2θ根据三角函数的定义，正切函数可以表示为：tanθ = 对边 / 邻边令角度Φ等于2θ，则有：tanΦ = 对边 / 邻边可以利用正弦和余弦的定义来表示对边和邻边：tanΦ = sinΦ / cosΦ将Φ代入，根据正弦和余弦的二倍角公式：tan(2θ) = sin(2θ) / cos(2θ)通过之前推导的正弦和余弦的二倍角公式代入，即可得到正切的二倍角公式：tan(2θ) = (2sinθcosθ) / (cos^2θ - sin^2θ)由于正弦的倒数是余弦，所以可以进一步化简为：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)综上所述，正弦、余弦和正切的二倍角公式可以帮助我们计算和求解二倍角的三角函数。

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式【知识导航】1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题.【知识梳理】【做一做1】已知sin α=3,cos α=4,则sin 2α等于 ()A.7B.12C.12D.24解析:sin2α=2sinαcosα=2425.答案:D【做一做2】已知cos α=13,则cos 2α等于()A.13B.23C.−79D.79解析:cos2α=2cos2α-1=2−1=−7.答案:C【做一做3】已知tan α=3,则tan 2α等于()A.6B.−34C.−38D.98解析:tan2α=2tanα1-tanα=2×31-32=−3.答案:B二倍角公式的变形公式剖析:(1)公式的逆用:2sinαcosα=sin2α;sinαcosα=1sin2α; cosα=sin2α;cos2α-sin2α=cos2α;2tanα1-tan2α=tan2α.(2)公式的有关变形:1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2;1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α.(3)升幂和降幂公式:升幂公式:1+sinα=sinα2+cosα22;1-sinα=sinα2-cosα22;1+cosα=2cos2α2;1−cosα=2sin2α2.降幂公式:cos2α=1+cos2α2;sin2α=1-cos2α2.【典例分析】题型一利用二倍角公式求值【例1】求下列各式的值:(1)co sπcos2π;(2)12−cos2π8;(3)ta nπ−1tanπ12.分析:第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值;第(2)(3)题需将所求的式子变形,逆用二倍角公式化简求值.解:(1)原式=2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5=sin2π5cos2π52sinπ5=sin4π54sinπ=sinπ54sinπ=14.(2)原式=1-2cos2π8=−2cos2π8-1=−12cosπ4=−24.(3)原式=tan2π12-1tanπ12=−2×1-tan2π122tanπ12=-2×1tanπ6=33=-2 3.【变式训练1】求下列各式的值:(1)si nπ12cos π12; (2)1-2sin 2750°; (3)1sin10°− 3cos10°. 解:(1)原式=2sin π12cos π122=sin π62=14.(2)原式=cos(2×750°)=cos1500° =cos(4×360°+60°)=cos60°=1.(3)原式=cos10°- 3sin10°=2 12cos10°- 32sin10°=4(sin30°cos10°-cos30°sin10°)=4sin20°=4.题型二知值求值【例2】已知si n π4-x =513,0<x <π4,求cos2xcos π4+x的值. 分析:注意角的关系 π4+x + π4-x =π2,注意诱导公式的应用cos2x=si n π2+2x ,利用倍角公式解题.解:原式=sin π2+2x cos π4+x=2sin π4+x cos π4+xcos π4+x=2si n π+x .∵si n π-x =cos π+x =5,且0<x <π,∴π+x ∈ π,π,sin π+x = 1-cos 2 π+x =12,∴原式=2×12=24.反思已知某角的三角函数值求值,要认真观察已知角与所求的和或差是特殊角或二倍角等,用诱导公式变形后,利用有关公式求值.【变式训练2】(1)已知si n α-π6 =35,且α是锐角,则sin 2α-π3 =__________,cos 2α-π3 =__________,tan 2α-π=__________;(2)若si n π+θ =30<θ<π,则cos 2θ=__________. 解析:(1)由题意知co s α-π6 =45,∴si n 2α-π3 =2sin α-π6 cos α-π6 =2425,cos 2α-π3 =725,tan 2α-π3 =247. (2)∵si n π4+θ =35,0<θ<π4,∴co s π4+θ =45.∴cos2θ=si n π+2θ =sin2 π+θ=2si n π+θ cos π+θ =2×3×4=24. 答案:(1)24724(2)24题型三化简与证明【例3】化简:(1 3tan10cos70° 1+cos40°(2)2cos 2α-12tan π4-α sin π4+α. 分析:先把切化弦,再结合三角函数公式求解。

二倍角的正弦余弦正切公式二倍角的正弦、余弦和正切公式是通过将角度加倍而获得的三角函数公式。

具体而言，对于角度θ，其二倍角的正弦、余弦和正切可以分别表示为sin(2θ)、cos(2θ)和tan(2θ)。

在本文中，我们将详细介绍二倍角的正弦、余弦和正切公式。

一、二倍角的正弦公式二倍角的正弦公式可以通过三角函数的和差公式来推导。

首先，我们知道sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B。

将A和B都设置为θ，我们有sin(θ + θ) = sin θ cos θ + cos θ sin θ，即sin(2θ)= 2 sin θ cos θ。

根据双角恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1，我们可以用cos^2θ替换上述公式中的1 - sin^2θ，得到sin(2θ) = 2 sin θ √(1 -sin^2θ)。

二、二倍角的余弦公式二倍角的余弦公式也可以通过三角函数的和差公式进行推导。

同样地，我们有cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B。

将A和B都设置为θ，我们有cos(θ + θ) = cos θ cos θ - sin θ sin θ，即cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ。

根据双角恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1，我们还可以用1 -cos^2θ替换上述公式中的sin^2θ，得到cos(2θ) = cos^2θ - (1 - cos^2θ) = 2cos^2θ - 1三、二倍角的正切公式二倍角的正切公式是由正弦和余弦的二倍角公式得出的。

我们知道tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)，因此tan(2θ) = sin(2θ) / cos(2θ)。

将上述推导出的sin(2θ)和cos(2θ)代入该公式中，我们可以得到tan(2θ) = 2 sin θ cos θ / (2cos^2θ - 1)。

需要注意的是，当2θ为90度的倍数时，由于cos(90°) = 0，上述公式的分母将为0，因此tan(2θ)将不存在。

二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式知识点包括倍角公式、条件求值问题常有两种解题途径、证明三角恒等式常用方法、二倍角公式的使用技巧等部分，有关二倍角的正弦、余弦、正切公式的详情如下：
倍角公式
条件求值问题常有两种解题途径
①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；
②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
证明三角恒等式常用方法
从左边推到右边；
从右边推到左边；
找中间量，常用技巧：切化弦，降次消元，拆项拆角，“1”的代换以及公式变形等．指导思想是统一三角函数名称，统一为相同的角．
二倍角公式的使用技巧
1．正用：从条件出发，顺着问题的线索，以“展开”公式的方式使用．
2．逆用：逆向转换，应用时要求对公式特点有一个整体感知．
主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α等．
3．变形用：将公式进行简单等价变形后，利用其新形式．主要形式有1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，
4．三角函数式的化简要注意“三变”：
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，其手法通常有：“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等．。