006 第六章 扭转

②求扭矩（扭矩按正方向设）
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mC 0 ,
T1 m2 0 T1 m2 4.78kN m T2 m2 m3 0 ,
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
m2
1
m3
2
m1
3
m4
A
m2 m2
1
T1
B
2
C
n 3 D
P m 9549 n
P 500 1 m1 9549 9549 15.9 103 (N m) 15.9(kN.m) n 300 P2 150 m2 m3 9549 9549 4.78 103 (N m) 4.78(kN.m) n 300 P4 200 m4 9549 9549 6.37 103 (N m) 6.37(kN.m) n 300
A A D 2 0

1 D 4 32
O
D
WT
IP
max

IP
D 2
D 2 d 2

1 D3 16
d
1 (D4 d 4 ) 32
2、空心圆截面——
I P dA 2 3d
2 A

d O D
1 D 4 (1 4 ) 32
WT
IP
D 2

二、内力：T（扭矩）
5
1、内力的大小：（截面法）
mx 0 T m 0 T m
m
m x
Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方，若 其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
+
T
-
6
3、注意的问题
（1）、截开面上设正值的扭矩方向。 （2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
1、校核刚度；
max
max
2、设计截面尺寸；I T p
G[ ] 3、确定外荷载。 T GI p[ ] max
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[例] 功率为150 kW，转速为15.4 转/秒的电动机转子轴如图所 示，许用剪应力 []=30 M Pa, 试校核其强度。 m m 解：①求扭矩及扭矩图
4、扭矩图：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。 作法：同轴力图： [例] 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从 动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
m2
m3
m1
m4
n
A B C D
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[例] 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从 动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。 解：①计算外力偶矩
三、内力：T（扭矩） 1、内力的大小确定、画内力图
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2、内力的符号规定： 右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方，若 其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。 3、注意的问题
A
T
B D3 =135
C D2=75 D1=70
1.55 kN.m
x
②计算并校核剪应力强度
P TBC m 9545 n 150 9545 15.4 * 60 1.55 103 ( N .m)
T T max Wt 1 d 3 16 1.55103 23MP a [ ] 3 0.07 16
2
d T dx GI p
T Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。
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二、圆轴中τmax的确定
T T T max max 横截面上—— IP IP WT max
Ip—截面的极惯性矩，单位： m4 mm4
T
—抗扭截面模量，单位：m3 mm3 。
三、公式的使用条件：
TL GI P
——T=常量,且分段。
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单位：弧度（rad）。GIP——抗扭刚度。
T L GI P

rad
m ——单位长度的扭转角，
二、刚度条件：
max
Tmax GI P
0 m
Tmax 1800 max GI P
三、刚度计算：
16 716.2 D2 = =0.045( m)=45 mm 4) 40 106 (1- 0.5 d 2 = 0.5D2=23 mm
A1 = D 2(1- 2) =1.28 A2 2 d12
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§6—6 非圆截面杆的扭转
一、非圆截面杆与圆截面杆的区别 圆杆扭转时—— 横截面保持为平面； 非圆杆扭转时—— 横截面由平面变 为曲面（发生翘曲）。
由刚度条件得：
Tmax 180 max GIP
d4 T 180 Ip 32 G [ ]
d1 4
32 T 180 4 32 7024180 84(mm) 2 2 9 G [ ] 3.14 8010 1
d 2 4
32 T 180 4 32 4210180 74.4(mm) 2 2 9 G [ ] 3.14 8010 1
1 D3 (1 4 ) 16

d D
16
§6—4 圆轴扭转时的变形、刚度计算
T GI P d
一、变形：（相对扭转角） d d T
dx dx GI P T dx GI P
Tdx L GI P —— T T (x)
TL GI P —— T=常量
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[例] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 500 马力， 输出功率分别 P2 = 200马力及 P3 = 300马力，已知： G=80 GPa ，[ ]=70 M Pa，[ ]=1º ，试确定： /m ①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ P1 A 500 B 400 P2 P3 C
解：
P 7.5 T=9549 n = 9549 100
=716.2 N.m
T 16 T max= = =40 MPa 3 Wt1 d1
3
d1=
16 716. 2 =0.045( m)=45 mm 40 106
23
max=
T
Wt2 =
16 M
=40 MPa D23(1- 4)
1
注意！ h b
T
1 max
TL TL GIt Ghb3
T ,
GI t
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对于狭长矩形( 即 :
六、非圆截面杆扭转的有关规律： 1、截面周边各点处剪应力的方向与周边平行（相切）。 2、在凸角处的剪应力等于零。
h 10 ) ; b
1 3
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扭转变形小结
1
§6—1 工程实例、概念
一、工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。 m
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
F F
m
m
2
3、机器中的传动轴工作时受扭。
m 4、钻井中的钻杆工作时受扭。 m
3
二、扭转的概念 受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用
面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 轴：主要发生扭转变形的杆。
一、扭转的概念 受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面 垂直杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
二、外力：m （外力偶矩）
P m 9549 (N m) ——功率 P千瓦，转速 n转／分。 n P m 7024 (N m) ——功率 P马力，转速 n转／分。 n
4
§6—2 外力偶矩、扭矩
一、外力：m （外力偶矩） 1、已知：功率 P千瓦(KW），转速 n转／分(r／min； rpm)。 外力偶矩： m 9549 P (N m)
n
2、已知：功率 P马力(Ps)，转速 n转／分(r／min；rpm)。
P 外力偶矩： m 7024 (N m) n
τ τ2 τ 1 A
O
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5、剪应变的变化规律： bb1 b b1 Rd tg dx dx dx
G1G d tg dx dx
d dx
a
b b1
二）物理关系：弹性范围内工作时
d G → G → G dx
T3 m4
m3
T2 6.37
T3 m4 0 , T2 m4 6.37kN m
③绘制扭矩图 BC段为危险截面。
T（kN.m）
– 4.78
x
–
9.56
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§6-3-2 圆轴扭转时的应力和强度条件
一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题） 几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律
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二、研究方法：弹性力学的方法研究 三、非圆截面杆扭转的分类： 2、约束扭转。 1、自由扭转（纯扭转） 四、分析两种扭转： 1、自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸）， 任意两相邻截面翘曲程度相同。 受力特点：两端受外力偶作用。 变形特点:相邻两截面翘曲完全相同，纵向长度不变，所以纵 向应变等于零。 应力特点：横截面上正应力等于零，剪应力不等于零。 2、约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘 曲程度不同。 受力特点：两端受外力偶作用。
max P
方向垂直于半径。
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应力分布
（实心截面）
（空心截面）
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三）静力关系：
A dA dA dA