高中数学第一章计数原理1.2.3排列组合习题课学案含解析新人教A版选修2_3

高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列（第3课时）教案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列（第3课时）教案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1 排列第三课时教学目标知识与技能利用捆绑法、插空法解决排列问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程,从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识,正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．错误!错误!提出问题：7位同学排队,根据上一节课所学的方法，解决下列排列问题．(1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成两排(前3后4），共有多少种不同的排法？（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法?（4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演．活动成果：解：(1）问题可以看作：7个元素的全排列A错误!＝5 040。

(2）根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5 040.(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A错误!＝720。

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2 排列与组合§1。

2.1 排列与组合－排列(一）【教学目标】1．知识与技能①理解排列的概念；②能推导出排列数公式，并熟记排列数公式（两个）。

③能解决简单的排列问题。

2．过程与方法通过计数原理能推导出排列数公式，通过实例，理解排列与顺序有关的特征。

3．情感、态度、价值观排列是日常生活中常用的一种计数方法，也是本章的一个重点知识也是高考考点。

【预习任务】阅读教材P14-P18，完成下列问题：1．（1)写出排列的概念并列出排列定义中的要点.(2)请举出日常生活中与排列有关的实例（至少两个).2．（1）写出排列数的定义并说明排列和排列数的区别。

（2）排列数公式的推导的根据是什么?涉及的数学思想是什么？（3）写出排列数的计算公式，并总结公式特征（两个）：【自主检测】1．课本P20练习2、3、42．集合},|{4N m A x x P m∈==中的元素个数为_______。

【组内互检】排列数的计算公式(两个）§1.2。

2 排列与组合－排列(二）【教学目标】1．知识与技能①能根据排列“有序”的特征识别排列问题，会解排列中“在”与“不在”、“相邻"与“不相邻”问题。

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2 组合［课时作业]［A组基础巩固]1．某中学一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是（）A．C错误!＋C错误!＋C错误!B．C错误!C错误!C错误!C．A错误!＋A错误!＋A错误!D．C错误!解析：分三类:一年级比赛的场数是C错误!，二年级比赛的场数是C错误!，三年级比赛的场数是C2，3，再由分类加法计数原理可求．答案：A2．已知平面内A,B，C，D这4个点中任何3点均不共线，则以其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A．3 B．4C．12 D．24解析：C错误!＝4。

答案：B3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ）A．12种B．10种C．9种D．8种解析：分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C错误!＝2（种）选派方法；第二步,选派两名学生到甲地，另外两名到乙地,共有C错误!＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12（种）．答案:A4．C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!的值为（）A．C错误!B．C错误!C．C420D．C错误!解析：原式＝（C错误!＋C错误!）＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝(C错误!＋C错误!)＋C错误!＋…＋C17，20＝（C错误!＋C错误!)＋…＋C错误!＝C错误!＝C错误!＝C错误!。

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1 排列[课时作业］[A组基础巩固］1．已知A错误!＝7A错误!，则n的值为（)A．6 B．7C．8 D．2解析：由排列数公式得：n（n－1）＝7(n－4）(n－5)，∴3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或错误!（舍去)．答案：B2．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案种数为( )A．A88B．A错误!C．A错误!A错误!D．2A错误!解析：安排4名司机,有A错误!种方案，安排4名售票员，有A错误!种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成,由分步乘法计数原理知共有A4，4A错误!种方案．故选C。

答案：C3．有3名男生和5名女生站成一排照相，如果男生不排在最左边且两两不相邻，则不同的排法有（）A．A错误!·A错误!种B．A错误!·A错误!种C．A错误!·A错误!种D．A错误!·A错误!种解析:插空法，注意考虑最左边位置.5名女生先排，有A错误!种排法,除去最左边的空共有5个空位供男生选，有A错误!种排法，故共有A错误!·A错误!种不同的排法．故选C.答案：C4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．3×3! B．3×（3！)3C．（3！）4D．9!解析：把一家三口看作一个排列,然后再排列这3家，所以有（3！）4种．答案：C5．一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有（)A．240种B．600种C．408种D．480种解析:将四人排成一排共有A错误!种排法；产生5个空位，将五个空椅和一个空椅构成的两个元素插入共有A25种方法；由分步乘法计数原理，满足条件的坐法共有A44·A错误!＝480种．答案:D6．在书柜的某一层上原来共有5本不同的书,如果保持原有书的相对顺序不变，再插进去3本不同的书，那么共有________种不同的插入法．(用数字回答)解析：试想原来的5本书与新插入的3本书已经放好，则这3本新书一定是这8本书中的某3本，因此“在5本书中插入3本书"就与“从8本书中抽出3本书”对应，故符合题意的插法共有A错误!＝336种．答案:3367．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：记5件产品为A、B、C、D、E,A、B相邻视为一个元素，先与D、E进行排列，有A错误! A错误!种方法;再将C插入，仅有3个空位可选，共有A错误!A错误!×3＝2×6×3＝36种不同的摆法．答案：368．从集合{0,1,2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C,所得直线经过坐标原点的有________条．解析:易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A、B，有A2，种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A2，6＝30(条）．6答案：309．用0,1,2，3，4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的（1）六位奇数；(2）个位数字不是5的六位数．解析：(1）解法一（从特殊位置入手)分三步完成，第一步先填个位，有A错误!种填法，第二步再填十万位，有A错误!种填法，第三步填其他位,有A错误!种填法，故共有A错误!A错误!A错误!＝288个六位奇数．解法二（从特殊元素入手）0不在两端有A错误!种排法，从1,3，5中任选一个排在个位有A错误!种排法,其他各位上用剩下的元素做全排列有A4，4种排法，故共有A错误!A错误!A错误!＝288个六位奇数．解法三（排除法)6个数字的全排列有A错误!个，0，2,4在个位上的排列数为3A错误!个，1，3，5在个位上，0在十万位上的排列数有3A4，4个,故对应的六位奇数的排列数为A6，6－3A55－3A错误!＝288个．（2）解法一(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数．故符合题意的六位数共有A错误!－2A错误!＋A错误!＝504个．解法二（直接法）个位不排5，有A错误!种排法，但十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类．第一类：当个位排0时,有A错误!个．第二类：当个位不排0时，有A错误!A错误!A错误!个．故共有符合题意的六位数A错误!＋A错误!A错误!A错误!＝504个．10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个歌曲,3个舞蹈,3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?（1）一个歌曲节目开头，另一个放在最后压台;(2)2个歌曲节目互不相邻;（3)2个歌曲节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解析：(1)先排歌曲节目有A2，2种排法,再排其他节目有A错误!种排法，所以共有A错误!A错误!＝1 440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A错误!种排法，再从其中7个空（包括两端)中选2个排歌曲节目,有A错误!种插入方法,所以共有A错误!A错误!＝30 240种排法．(3)把2个相邻的歌曲节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共有A错误!种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A错误!种插入方法，最后将2个歌曲节目互换位置，有A错误!种排法，故所求排法共有A错误!A错误!A错误!＝2 880种排法．［B组能力提升]1．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．36种B．42种C．48种D．54种解析:分两类：第一类:甲排在第一位，共有A错误!＝24种排法;第二类：甲排在第二位，共有A13·A错误!＝18种排法，所以共有编排方案24＋18＝42种，故选B。

广东省肇庆市高中数学第一章计数原理1．２.２组合教案新人教Ａ版选修2-３编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(广东省肇庆市高中数学第一章计数原理 1.２．2 组合教案新人教A版选修2－3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为广东省肇庆市高中数学第一章计数原理 1.2.２组合教案新人教A版选修2-３的全部内容。

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2.2组合教学目标:1。

理解组合的意义，掌握组合数的计算公式； ２。

能正确认识组合与排列的联系与区别 教学重点:理解组合的意义，掌握组合数的计算公式第一课时一、复习引入：1分类加法计数原理:做一件事情，完成它可以有ｎ类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2。

分步乘法计数原理:做一件事情，完成它需要分成ｎ个步骤,做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法３.排列的概念：从n 个不同元素中，任取m (m n ≤)个元素(这里的被取元素各不相同）按照一．定的顺序．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号m n A 表示 5．排列数公式：(1)(2)(1)mnA n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤)６阶乘:!n 表示正整数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘规定0!1=．7.排列数的另一个计算公式：m nA =!()!n n m -８。

1.2.3 组合与组合数公式【学习目标】1.正确理解组合与组合数的概念;2.弄清组合与排列之间的关系;3.掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算.重点难点重点:组合的概念和组合数公式难点:组合的概念和组合数公式【使用说明与学法指导】预习教材P 21~ P 23,找出疑惑之处复习1:什么叫排列?排列的定义包括两个方面,分别是取元素和排顺序 . 复习2:排列数的定义:从个不同元素中,任取个元素的排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号表示复习3:排列数公式:m n A =(,,m n N m n *∈≤【问题导学】组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出m (m n ≤个元素合成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.组合数的概念:从n 个不同元素中取出m (m n ≤个元素的所有不同组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数....用符号 m n C 表示. 组合数公式及性质:问题1:“abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合?问题2:我们知道,“排列”与“排列数”是两个不同的概念,那么“组合”与“组合数”是同一个概念吗?为什么?【合作探究】问题1:判断下列问题是组合还是排列,并求出相应的组合数或排列数.(1若已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,则集合的子集中有3个元素的有多少个?(28人相互发一个电子邮件,共写了多少个邮件?(38人相互握手一次,共握了多少次手?(4在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?解析:(1与顺序无关,是组合问题.共有3735C=个.(2发电子邮件有先后之分,与顺序有关是排列问题,共有2856A=个.(3相互握手无顺序,是组合问题,共有2828C=次.(4飞机票与起点站、终点站有关,是排列问题,共有2412A=种.机票价格只与两站的距离有关,是组合问题,共有246C=种.新知:排列不仅与元素有关,而且与元素的排列顺序有关,组合只与元素有关,与顺序无关,要区分排列与组合,可以选择一个结果,交换这个结果中两个元素先后顺序,看是否对结果产生影响,若无新变化,则是组合问题.变式:判断下列问题是组合还是排列:(1把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法?(2从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数?(3从9名学生中选出4名参加一个联欢会,有多少种不同选法?问题2:(1计算4331073C C A -;(2证明11m m n n mC nC --=.解析:(14331073C C A -=43107C A -=1098776504321⨯⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯⨯ (2证明:左边=!(1!!(!(1!(!n n n m m n m m n m -==---(1!(1!(!n n m n m -==--11m n nC --==右边. 新知:组合数的两个公式的应用有所区别,一般地,公式m mn n m mA C A =常用于,n m 为具体自然数的题目,偏向于具体组合数的计算;公式m n C =!!(!n m n m -常用于,n m 为字母或含有字母的式子的题目,偏向于方程的求解或有关组合数的恒等式的证明.变式:(1求值:591n n n n C C --++(2求证:11m m n n m C C n m++=-. 解析:5509190n n n n n n -≤⎧⎪-≥⎪⎨-≤+⎪⎪-≥⎩,解得45n ≤≤.又n N +∈,所以4=5n n =或.当4n =时,原式1545=+=5C C .当5n =时同理得原式=16.问题3:计算:(19796959898982C C C ++; (25555555678910C C C C C C +++++. 解析:(1原式=9796969598989898((C C C C +++=979697399991001001009998161700321C C C C ⨯⨯=+====⨯⨯(2原式= 6555556678910(C C C C C C+++++=65555657789101111462C C C C C C C =++++==== 新知:(1当2n m >时,通常不直接计算m n C ,而改为计算n m n C -(2注意组合数两个性质的灵活应用(凑项、拆项、变用、逆用等.变式:计算:(1598781007C C C + ; (2012345555555C C C C C C +++++ (311n n n n C C -+. 解析:(1原式=5006.(2原式=0125552(C C C ++=32.(3原式=(1(11n n n n n n C C +---+ =111n n C C +=(1n n + 【深化提高】解方程:232551616x x x C C +++=.错解:∵232551616x x x C C +++=, ∴23255x x x ++=+,即2230x x --=,解得11x =-(舍去,23x =,∴原方程的解为3x =.错因:错解的原因有二:一是将组合数的方程转化为代数方程时不等价.事实上, +=,,,,;x y n n x y x y n C C n x n y x y N =⎧⎪=⇔≥≥⎨⎪∈⎩或二是最后得出的结果没有检验,出现根的取舍错误.正解:∵232551616x x x C C +++=, ∴23255x x x ++=+,或2(32+(55=16x x x +++,即2230x x --=或2890x x +-=∴1x =-或3x =或9x =-或1x =.经检验3x =,9x =-不合题意,舍去,故原方程的解为1x =-,或1x =.【学习评价】●自我评价你完成本节导学案的情况为( .A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差●当堂检测A 组(你一定行:1.下列四个问题属于组合问题的是(CA.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作.B.从0,1,2,3,4这5个数字中选出3个不同的数字,组成一个三位数.C.从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式.D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员.2.若3212n nA C =,则n 等于( A A.8 B.5或6 C.3或4 D.4B 组(你坚信你能行:3. 5688C C +得值为(B A.36 B.84 C.88 D.5044.已知2110100x x C C +-=,则x = 1或3 .C 组(我对你很有吸引力哟:5. 已知456,,n n nC C C 成等差数列,求12n C 的值. 解析:由已知得5462n n nC C C =+,所以 !!!25!(5!4!(4!6!(6!n n n n n n =+--- 整理得221980n n -+=解得7n =或14n =,要求12nC 的值,故12n ≥,所以14n =,则 122141414139121C C ⨯===⨯.【小结与反思】用后觉得难度、容量都大了。

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1.2.3 组合与组合数公式1。

理解组合的意义；2。

掌握组合数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题．一、选择题1.组合数(1,)r n C n r n r N >≥∈、恒等于（ D ）A. 11r+1+1r n C n -- B. 11(n+1)(r+1)r n C -- C. 11nr r n C -- D. 11r n n C r -- 2. 2973100100101(C +C )A ÷的值为（ C ）A.6B.101C. 16 D 。

11013.假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件,其中至少有2件次品的抽法有（ B ）A 。

223198C C 种B 。

233231973197()C C C C +种C. 34200197C C -种 D 。

5142003197()C C C -种4. 式子2171010C +C ()m m m N +-+∈的值的个数为（ A )A 。

1B 。

2 C.3 D. 45。

异面直线,a b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是（ B )A. 20 B 。

1.2.2 组合1．组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个____．预习交流1排列与组合有何联系与区别？2．组合数、组合数公式(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的______，用符号____表示．(2)组合数公式：C m n＝____＝______________，C m n＝________.规定C0n＝1.(m，n∈N*，且m≤n)预习交流2(1)已知平面内A，B，C，D，E五个点中任何3个点都不在一条直线上，这五个点确定的三角形个数为( )．A．A35B．A25C．C35D．C38(2)下列计算结果为28的是( )．A．A24＋C26B．C27C．A28D．C283．组合数的性质性质1：C m n＝______.性质2：C m n＋1＝________.预习交流3(1)C1820＝__________；(2)C28＋C38＝__________.(可用组合数回答)答案：1．组合预习交流1：提示：联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．2．(1)组合数 C mn(2)A mn A m mnn －n －n －m ＋m ！n ！m ！n －m ！预习交流2：(1)提示：C (2)提示：D3．C n －m n C m n ＋C m －1n预习交流3：提示：(1)C 220；(2)C 39一、组合概念的理解与应用判断下列问题是排列问题还是组合问题，并分别求出对应的方法数．(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同选法？思路分析：明确组合、排列的定义是解题的关键．若问题是否与顺序有关不明显，可以尝试写出其中的一个结果进行判断，再运用排列数与组合数公式求值．1．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为__________．2．中国、日本、韩国、朝鲜四国举行女足邀请赛，赛制采取单循环赛方式，请列举出所有各场比赛的双方．区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．二、与组合数有关的计算1．计算：(1)3C 38－2C 25＋C 88；(2)C 98100＋C 199200；(3)C 16＋C 26＋C 37.思路分析：先考虑利用组合数的性质对原式进行化简，然后利用组合数公式展开计算．2．证明：m C m n ＝n C m －1n －1.思路分析：式子中涉及字母，可以用阶乘式证明．1．计算：C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝__________.2．计算：C 46＋C 1012＝__________.3．若C x 15＝C 2x －615，则x ＝__________.(1)组合数公式的选取：涉及具体数字的可以用展开式计算，涉及字母的可以用阶乘式计算．(2)性质1：C m n ＝C n －m n 主要应用于简化运算．性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 从右到左两个组合数合为一个，实现了由繁到简的化简过程，主要应用于组合数的化简．三、简单组合问题现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 思路分析：首先确定是否是组合问题，再确定完成事情是分步，还是分类．1．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有__________种(用数字作答)．2．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有__________种．解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．四、有限制条件的组合问题1．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )．A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种思路分析：两类选修课选3门，依据A 类选修课选1门或2门进行分类，每类需要利用分步乘法计数原理解决．2．2012年“嘉庚”“敬贤”杯海峡两岸龙舟赛于2012年6月9日至11日在厦门市集美区举行．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，且既会划左舷又会划右舷的最多选1人，则不同的选法有( )．A ．4种B ．36种C ．40种D ．92种思路分析：既会划左舷又会划右舷是多面手，是特殊元素，可以从他们的参与情况入手分类讨论．1．某班级要从4名男生2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )．A ．14B ．24C ．28D ．482．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )．A ．360B ．520C ．600D ．720(1)解有约束条件的组合问题与解有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法．(2)要正确理解题中的关键词(如“都”与“不都”，“至少”与“至多”，“含”与“不含”等)的确切含义，正确分类，合理分步．(3)分配问题的一般思路是先选取，再分配．答案：活动与探究1：解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．分配方法有C 45＝5种．(2)是排列问题，选出的2个数有角色差异(作分子与作分母)．不同的分数有A 25＝20个．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．不同的选法有C 49＝126种．迁移与应用：1.20 解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C 36＝20种．2．解：单循环赛，指双方只赛一场， 因此所有各场比赛双方为中国——日本；中国——韩国； 中国——朝鲜；日本——韩国； 日本——朝鲜；韩国——朝鲜．活动与探究2：1.解：(1)3C 38－2C 25＋C 88＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＋1＝149.(2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150.(3)C 16＋C 26＋C 37＝C 27＋C 37＝C 38＝8×7×63×2×1＝56.2．证明：左边＝m ·n ！m ！n －m ！＝n n －！m －！n －m ！＝nn －！m －！n －m ！＝n C m －1n －1＝右边，∴m C mn ＝n C m －1n －1.迁移与应用：1.165 解析：∵C 22＝C 33＝1，∴原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 311＝11×10×93×2＝165.2．81 解析：C 46＋C 1012＝C 26＋C 212＝6×52×1＋12×112×1＝15＋66＝81. 3．6或7 解析：由已知x ＝2x －6或x ＋2x －6＝15， ∴x ＝6或x ＝7.活动与探究3：解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45.(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法，即C 26＋C 24＝21(种)．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90(种)．迁移与应用：1.140 解析：第1步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有C 37种不同的选法；第2步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有C 34种不同的选法．根据分步乘法计数原理，共有C 37C 34＝140种不同的安排方案．2．21 解析：分两类：一类是2个白球有C 26＝15种取法，另一类是2个黑球有C 24＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．活动与探究4：1.A 解析：分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 24＋C 23·C 14＝30种选法．2．C 解析：第一类：无既会划左舷又会划右舷的有C 33·C 34＝4种选法．第二类：只有一名既会划左舷又会划右舷的有C 12(C 23C 34＋C 33C 24)＝2(3×4＋6)＝36种选法． ∴共有40种选法．迁移与应用：1.A 解析：(间接法)6人中选派4人的组合数为C 46，其中都选男生的组合数为C 44，所以至少有1名女生的选派方案有C 46－C 44＝14种．2．C 解析：分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C 12C 35A 44＝2×10×24＝480种选法．第二类，甲、乙都参加时，则有C 25(A 44－A 22A 33)＝10(24－12)＝120种选法． ∴共有480＋120＝600种选法．1．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( )． A ．8 B ．5或6C ．3或4D ．4 2．(C 2100＋C 97100)÷A 3101的值为( )． A ．6B ．101C.16D ．11013．从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为( )．A ．C 36·C 24B ．C 26·C 34 C ．C 510D ．A 36·A 244．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有__________种．5．6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有__________种．答案：1．A 解析：A 3n ＝n (n －1)(n －2)，12C 2n ＝6n (n －1)， ∴n －2＝6，n ＝8.2．C 解析：(C 2100＋C 97100)÷A 3101＝(C 2100＋C 3100)÷A 3101＝C 3101÷A 3101＝A 3101A 33÷A 3101＝1A 33＝16.3．A 解析：由已知女生抽取3人，男生抽取2人，则抽取方法有C 36·C 24种．4．34 解析：(间接法)共有C 47－C 44＝34种不同的选法．5．15 解析：当选用信息量为4的网线时有C 25种；当选用信息量为3的网线时有(C 12C 12＋C22)种，共有C25＋C12C12＋C22＝15(种)．。

1.2.2 组合（一）三归纳小结四课堂作业1．若C x6＝C26，则x的值为( )A．2 B．4 C．4或2 D．32．(2014·陕西理，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为( )A．15B．25C．35D．453．C22＋C23＋C24＋…＋C216等于( )A．C215 B．C316 C．C317 D．C4174．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆( )A．220个 B．210个 C．200个D．1320个5．(2015·潍坊市五县高二期中)5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( ）A．A45种 B．45种 C．54种 D．C45种6．(2015·福建南安市高二期中)将标号为A、B、C、D、E、F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A、B的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A．12种 B．18种 C．36种 D．54种7．(2015·泉州市南安一中高二期中)A，B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有________种(用数字作答)．8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B，若BA＝213，则这组学生共有________人．9．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)课后作业1 某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )A．120 B．84 C．52 D．48答案小试牛刀1 B2 C3 C例一(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．跟踪训练1(1)可按a →b →c →d 顺序写出，即∴所有组合为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd.(2)可按AB →AC →AD →BC →BD →CD 顺序写出，即∴所有组合为ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE .例2 {6,7,8,9}跟踪训练2 A例3 333298跟踪训练3 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3n ≥38－n ，3n ≤n ＋21，n ∈N *，得⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤212，n ∈N *，∴n ＝10，∴原式＝C 2830＋C 3031＝30！28！(30－28)！＋31！30！(31－30)！＝30×292＋31＝466.(2)据排列数和组合数公式，原方程可化为3·(x －3)！(x －7)！4！＝5·(x －4)！(x －6)！，即3(x －3)4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40. ∴x 2－9x －22＝0，解之可得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11时原式成立．(3)①右边＝n m ·(n －1)！(m －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！[m ·(m －1)！](n －m )！＝n ！m ！(n －m )！③左边＝(C 0n ＋1＋C 1n ＋1)＋C 2n ＋2＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 1n ＋2＋C 2n ＋2)＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 2n ＋3＋C 3n ＋3)＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 3n ＋4＋C 4n ＋4)＋…＋C m －1n ＋m －1＝……＝C m －2n ＋m －1＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ＝右边，∴原式成立．＝C m n ＝左边，∴原式成立；②右边＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！[(n ＋1)－(m ＋1)]！ ＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！ ＝n ！m ！(n －m )！＝C m n ＝左边，∴原式成立； 当堂检测1 C 1 C 3 C 4 A 5 D 6 B 7 10 8 15 9 140 10 45 90 120 课后作业1 C2 B3 D4 A5 1446 357 24 81 318 60 121。