下载文档原格式
课堂指导三点剖析一、排列数组合数的运算【例1】 已知61-m n C =14mn C =211-m n C .解析：已知条件可化为)1()!1(6!+--∙m n m n=)!(!14!m n m n -∙=)!1()!1(21!--+∙m n m n ，又n!,（m-1）!（n-m-1）!都是正整数，故有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+-,)1(211)(141,141)1(61m m n m m n 即 ⎩⎨⎧=--=+-.0352,03103m n m n 解得⎩⎨⎧==.3,9m n 所以m n C 1-=38C =56.温馨提示要注意依据排列数与组合数公式及其变形，在计算过程中要注意阶乘的运算，组合数性质的使用和提取公因式等方法的运用. 二、排列与组合的差别【例2】某天某班的课程表要排语文、数学、外语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？ 解析：把六门课程看成六个元素，把顺序看成位置（1）位置分析法：依第一节课的情况进行分类，有以下情况排法： ①第一节课排数学，第六节课排体育，共有44A 种排法. ②第一节课排数学，第六节课不排体育，共有14A 44A 种排法. ③第一节课不排数学，第六节课排体育，共有14A 44A 种排法. ④第一节课不排数学，第六节课不排体育，共有24A 44A 种排法. 由分类计数原理，所求的不同排法共有44A +142A 44A +24A 44A =504种.（2）元素分析法：依数学课的排法进行分类，有以下情况的排法：①数学课排在第一节，体育课排在第六节，共有44A 种排法. ②数学课排在第一节，体育课不排在第六节，共有14A 44A 种排法. ③数学课不排在第一节，体育课排在第六节，共有14A 44A 种排法. ④数学课不排在第一节，体育课不排在第六节，共有24A 44A 种排法. 由分类计数原理，所求的不同排法共有44A +142A 44A +24A 44A =504种. 温馨提示排列组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序.不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思路是“先选之，再排队”. 三、排列、组合的综合应用【例3】从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参加一种竞赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学.思路分析：若设共有n 名同学，则我们可以用n 把参赛方法种数表示出来，从而得到一个关于n 的方程，解方程可求出n 的值.解：设共有n 名同学，首先从这n 名同学中选出4人，然后再分别参加竞赛，按同学甲进行分类：第一类，不选甲，则从剩下的n-1名同学中选出4人分别参加4种竞赛，有41-n A 种参赛方式；第二类，选甲，首先安排甲，有12A 种方法，再从剩下的n-1名同学中选出3人参加剩下的3种竞赛，有31-n A 种方法，共有12A ·3n A 种参赛方式，由分类计数原理共有41-n A +12A ·31-n A 种方法，根据题意，得 41-n A +12A ·31-n A =72解得n=5. 温馨提示对于这类较为复杂的问题，往往会感到无从下手，如果从竞赛学科角度来思考，则需分很多情况，容易出错，而我们可以采取“先取后排”的原则，即首先取出符合条件的元素，再按要求把它们排起来，这样解答条理性强，有利于问题的解决.各个击破类题演练 1化简11A +222A +333A +…+nn nA . 解析：由于-n n A =n n n A ,则11A +222A +333A +…+n n n A=（22A -11A ）+（33A -22A ）+（44A -33A ）+…+11+-n n A -n n A=11++n n A -1=（n+1）!-1.变式提升 1求n n C 313++1312-+n n C +2311-+n n C +…+n n C -172的值. 解析：由n n C 313+知n 满足3n≤13+n ① 由n n C -112知n 满足17-n≤2n.②联立①②得317≤n≤213,而n ∈N *,所以n=6所以原式=1819C + 1718C +…+1112C =119C +118C +…+112C=19+18+…+12=124. 类题演练 2用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数. （1）可组成多少个不同的四位数？ （2）可组成多少个不同的四位偶数？解析：（1）直接法：15A 35A =300；间接法：46A -35A =300； （2）由题意知四位数个位数上必须是偶数；同时暗含了首位不能是0，因此该四位数的个位和首位是“特殊位置”，应优先处理，另一方面，0既是偶数，又不能排在首位，属“特殊元素”应重点对待.方法一：（直接法）0在个位的四位偶数有35A 个；0不在个位时，先从2，4中选一个放在个位，再从余下的四个数（不包括0）中选一个放在首位，应有12A ·14A ·24A 个.综上所述，共有35A +12A ·14A ·24A =156个.方法二：（间接法）从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有13A ·35A ，其中第一位是0的有12A ·24A 个，故适合题意的数有13A ·35A ·24A =156个.变式提升 2将4个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中. （1）有多少种放法？（2）每盒至多一球，有多少种放法？（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？ 解析：（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个地放入盒子，共有4×4×4×4=44=256种放法.（2）为全排列问题，共有44A =24种方法.（3）方法一：先将四个小球分为三组，有22111224A C C C 种， 再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有34A 种投放方法，故共有22112224A C C C 34A =144（种）. 方法二:先取4个球中的两个“捆”在一起，有24C 种选法，把它与其他两个球，共3个元素分别放入4个盒子中的3个中，有34A 种， 所以共有24C 34A =144（种）. 类题演练 3从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（ ）A.140种B.84种C.70种D.35种解析：从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台，有24C ·15C 种取法；从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有25C ·14C 种取法，所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各一台的取法共有24C ·15C +14C ·25C =70（种）.答案：C 变式提升 34个不同的小球，全部放入3个不同的盒子中，要求不能有空盒，则有多少种不同的放法？解析：从4个小球中取出2个看成一个“大球”，有24C 种取法，再把这“3个球”全部放入3个盒子中，有33A 种方法，共有24C ·33A =36种放法.。
第二课时摆列的综合应用数字摆列问题[典例 ]用0,1,2,3,4,5这六个数字能够构成多少个切合以下条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是 5 的六位数；(3)不大于 4 310 的四位偶数．[解 ] (1)第一步，排个位，有A13种排法；第二步，排十万位，有 A 41种排法；第三步，排其余位，有 A 44种排法．114个六位奇数．故共有 A3A4A4＝ 288(2) 法一：(直接法 )十万位数字的排法因个位上排0 与不排 0 而有所不一样，所以需分两类．第一类，当个位排 0 时，有 A55个；第二类，当个位不排0时，有 A41A 41A44个．故切合题意的六位数共有5114个 )．A5＋A 4A4A4＝ 504(法二： (清除法 )0 在十万位和 5 在个位的摆列都不对应切合题意的六位数，这两类摆列中都含有0 在十万位和 5 在个位的状况．故切合题意的六位数共有A66－ 2A55＋ A44＝ 504(个 )．(3)分三种状况，详细以下：①当千位上排1,3 时，有 A1A1A 2个．2 3 4②当千位上排 2 时，有 A 12A24个．③当千位上排 4 时，形如40××， 42××的各有 A13个；形如 41××的有 A12A13个；形如 43××的只有 4 310 和 4 302 这两个数．故共有 A12A13A24＋ A21A24＋ 2A13＋ A12A13＋ 2＝ 110(个 )．[一题多变 ]1． [变设问 ]本例中条件不变，能构成多少个被 5 整除的五位数？解：个位上的数字一定是 0 或 5．若个位上是0，则有 A54个；若个位上是 5，若不含 0，则有 A 44个；若含 0，但 0 不作首位，则0 的地点有 A31种排法，其余各位有 A43种排法，故共有 A 54＋ A44＋ A31 A43＝ 216(个 )能被 5 整除的五位数．2． [变设问 ] 本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的次序构成一个数列{a n}，则240 135 是第几项？解：因为是六位数，首位数字不可以为0，首位数字为 1 有 A55个数，首位数字为2，万位240 135的项数是A55＋ 3A44＋ 1＝ 193，即240 135是数上为0,1,3 中的一个有3A44个数，所以列的第193 项．3． [变条件，变设问]用0,1,3,5,7五个数字，能够构成多少个没有重复数字且 5 不在十位地点上的五位数．解：此题可分两类：第一类：0 在十位地点上，这时， 5 不在十位地点上，所以五位数的个数为A44＝ 24；第二类： 0 不在十位地点上，这时，因为 5 不可以排在十位地点上，所以，十位地点上只好排 1,3,7 之一，有 A13＝ 3(种 )方法．又因为 0 不可以排在万位地点上，所以万位地点上只好排 5 或 1,3,7 被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，有 A 13＝ 3(种 )．十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全摆列即可，有 A33＝ 6(种 )．依据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为A13·A 13·A33＝ 54．由分类加法计数原理，切合条件的五位数共有24＋ 54＝ 78(个 )．数字摆列问题的解题原则、常用方法及注意事项(1) 解题原则：摆列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的摆列问题的限制条件主要表此刻某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类摆列问题的方法主假如按“优先”原则，即优先排特别元素或优先知足特别位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类议论．(2)常用方法：直接法、间接法．(3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，适合地进行分类和分步，特别注意特别元素“0”的办理．排队问题[典例 ] 3 名男生， 4 名女生，依据不一样的要求排队，求不一样的排队方案的方法种数．(1)全体站成一排，此中甲只好在中间或两头；(2)全体站成一排，此中甲、乙一定在两头；(3)全体站成一排，此中甲不在最左端，乙不在最右端；(4) 全体站成两排，前排 3 人，后排 4 人，此中女生甲和女生乙排在前排，还有 2 名男生丙和丁因个子高要排在后排．116 [解 ] (1)先考虑甲有 A3种方案，再考虑其余六人全摆列，故N ＝ A3A6＝2 160(种 )．(2)先安排甲、乙有 A 22种方案，再安排其余 5 人全摆列，故 N＝ A22·A55＝ 240(种 )．(3)[ 法一特别元素优先法]按甲能否在最右端分两类：第一类，甲在最右端有N 1＝ A66(种 )，第二类，甲不在最右端时，甲有 A 15个地点可选，而乙也有 A 15个地点，而其余全摆列5 1 1 5A5，有 N2＝ A5A5A 5，6 1 1 5故 N＝ N 1＋ N2＝ A6＋ A5A 5A5＝ 3 720(种 )．[法二间接法]无穷制条件的摆列数共有A77，而甲在左端或乙在右端的排法都有A66，且甲在左端且乙在右端的排法有 A 55，故 N ＝ A77－ 2A66＋ A 55＝ 3 720(种 ) ．[法三特别地点优先法 ]按最左端优先安排分步．关于左端除甲外有 A61种排法，余下六个地点全排有A66，但减去乙在最右端的排法 A51A55种，故 N＝ A 61A66－ A51 A55＝ 3 720(种 )．(4) 将两排连成一排后原问题转变为女生甲、乙要排在前 3 个地点，男生丙、丁要排在后 4个地点，所以先排女生甲、乙有A 32种方法，再排男生丙、丁有A42种方法，最后把节余的 3名同学全摆列有 A33种方法．故 N＝ A 32·A42·A33＝ 432(种 )．排队问题的解题策略(1)合理归类，要将题目大概归类，常有的种类有特别元素、特别地点、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采纳相应的方法解题．(2)适合联合，摆列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要适合联合两个计数原理．(3)正难则反，这是一个基本的数学思想，奇妙应用清除法可起到事半功倍的成效．[活学活用]排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单．(1) 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2) 歌唱节目与舞蹈节目间隔摆列的方法有多少种？解： (1)先排歌唱节目有A55种，歌唱节目之间以及两头共有 6 个空位，从中选 4 个放入舞蹈节目，共有A46种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A55·A 46＝ 43 200种方法．(2) 先排舞蹈节目有 A 44种方法，在舞蹈节目之间以及两头共有 5 个空位，恰巧供 5 个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔摆列的排法有A44·A55＝ 2 880种方法．层级一学业水平达标1． 6 名学生排成两排，每排 3 人，则不一样的排法种数为 ()A． 36B． 120C． 720D． 240分析：选C因为 6 人排两排，没有什么特别要求的元素，故排法种数为A66＝ 720．2．用 0到 9这十个数字，能够构成没有重复数字的三位数共有()A． 900 个B． 720 个C． 648 个D． 504 个分析：选 C 因为百位数字不可以是0，所以百位数字的取法有A91种，其余两位上的数字取法有 A92种，所以三位数字有A91·A92＝ 648(个 )．3．数列 {a n}共有 6 项，此中 4 项为 1，其余两项各不同样，则知足上述条件的数列{a n}共有()A．30个B．31 个C．60个D．61 个分析：选A在数列的 6 项中，只需考虑两个非1 的项的地点，即可得不一样数列共有A62＝ 30 个．4． 6 名同学排成一排，此中甲、乙两人一定排在一同的不一样排法有()A． 720 种B． 360 种C． 240 种D． 120 种分析：选C(捆绑法)甲、乙看作一个整体，有A22种排法，再和其余 4 人，共 5 个元素全摆列，有A55种排法，故共有排法A 22·A 55＝ 240 种．5． (辽宁高考)6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A． 144B． 120C． 72D． 24分析：选 D节余的3个座位共有3坐法种数为A4＝ 4×3×2＝ 24．4 个缝隙供 3 人选择就座，所以任何两人不相邻的6．从班委会的 5 名成员中选出 3 名分别担当班级学习委员、娱乐委员与体育委员，其中甲、乙二人不可以担当娱乐委员，则不一样的选法共有________种． (用数字作答)分析：娱乐委员有 3 种选法，则安排学习委员、体育委员有A24＝ 12种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝ 36 种选法．答案： 367．将红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色的小口袋中，若不一样意空袋且红口袋中不可以装入红球，则有________种不一样的放法．分析：(清除法)红球放入红口袋中共有 A 44种放法，则知足条件的放法种数为A55－ A 44＝96(种 )．答案：968．用 0,1,2,3,4 这 5 个数字构成无重复数字的五位数，此中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有______种．23不夹在 1,3之间又不在首位有1212分析：0 夹在 1,3 之间有 A 2A3种排法，0A2A 2A 2A2种排法．所以一共有A22A 33＋ A12A 22A12A22＝ 28 种排法．答案： 289．一场晚会有 5 个演唱节目和 3 个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3 个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解： (1)先从 5 个演唱节目中选两个排在首尾两个地点有A52种排法，再将节余的 3 个演唱节目， 3 个舞蹈节目排在中间6 个地点上有 A66种排法，故共有不一样排法 A52A66＝14 400种．(2) 先不考虑摆列要求，有A88种摆列，此中前四个节目没有舞蹈节目的状况，可先从5个演唱节目中选 4 个节目排在前四个地点，而后将节余四个节目摆列在后四个地点，44有 A5A4种排法，所从前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A 88－ A 54A44)＝ 37 440 种．10．从 5 名短跑运动员中选出 4 人参加4×100 米接力赛，假如 A 不可以跑第一棒，那么有多少种不一样的参赛方法？解：法一：当 A 被选上时，共有 A13A34种方法，此中 A13表示 A 从除掉第一棒的其余三棒中任选一棒； A 34表示再从剩下 4 人中任选 3 人安排在其余三棒．当 A 没有被选上时，其余四人都被选上且没有限制，此时有A44种方法．故共有 A31A43＋ A44＝ 96(种 )参赛方法．法二：接力的一、二、三、四棒相当于有四个框图，第一个框图不可以填A，有 4种填法，其余三个框图共有A43种填法，故共有4×A43＝ 96(种 )参赛方法．法三：先不考虑 A 能否跑第一棒，共有 A54＝ 120( 种 )方法．此中 A 在第一棒时共有A 43种方法，故共有A54－ A43＝ 96(种 )参赛方法．层级二应试能力达标1． (四川高考 )用数字 1,2,3,4,5 构成没有重复数字的五位数，此中奇数的个数为() A． 24B． 48C． 60D． 72分析：选D第一步，先排个位，有A31种选择；第二步，排前 4 位，有 A 44种选择．由分步乘法计数原理，知有A31·A44＝ 72(个 )．2．从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三种不一样的工作，若这 3 人中起码有1 名女生，则选派方案共有()A． 108 种B． 186 种C． 216 种D． 270 种分析：选 B 可采纳间接法解决： A 73－ A43＝ 186( 种 )，应选 B．3．用数字 0,1,2,3,4,5 能够构成没有重复数字，而且比20 000 大的五位偶数共有 ()A． 288 个B． 240 个C． 144 个D． 126 个分析：选 B 个位上是0 时，有 A41A43＝ 96(个 )；个位上不是 0 时，有 A21 A31A 43＝ 144( 个 )．∴由分类加法计数原理得，共有96＋ 144＝ 240(个 )切合要求的五位偶数．4． (四川高考 )六个人从左至右排成一行，最左端只好排甲或乙，最右端不可以排甲，则不一样的排法共有()A． 192 种B． 216 种C． 240 种D． 288 种分析：选B当最左端排甲时，不一样的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只好排在中间四个地点之一，则不一样的排法共有4A 44种．故不一样的排法共有A55＋4A 44＝ 120＋ 4×24＝216 种．5． 8 名学生和 2 位老师站成一排合影， 2 位老师不相邻的排法种数为________．分析： (插空法 )8 名学生的摆列方法有A88种，分开了 9 个空位，在 9 个空位中摆列 2 位2 8 2答案： 2 903 0406．某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共 4 节课，假如第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有不一样排法________种．3种排法，最后一节有 2 种排法，中间两节随意排，有2×2×2＝ 8 种方法，依据分类加法计数原理，共有6＋ 8＝ 14 种，故答案为14．法二：间接法： 4 节课所有可能的排法有A44＝ 24 种，此中体育排第一节的有A33＝ 6 种，3数学排最后一节的有A3＝ 6 种，体育排第一节且数学排最后一节的有2×1＝ 2 种，故切合要求的排法种数为24－ 6－ 6＋ 2＝ 14种．答案：147．某次文艺晚会上共演出8 个节目，此中 2 个唱歌、 3 个舞蹈、 3 个曲艺节目，求分别知足以下条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2 个唱歌节目互不相邻；(3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻．解：(1) 先排唱歌节目有A 22种排法，再排其余节目有 A 66种排法，所以共有 A22·A66＝ 1 440(种 )排法．(2) 先排 3 个舞蹈节目， 3 个曲艺节目有A66种排法，再从此中7 个空 (包含两头 )中选 2个排唱歌节目，有 A72种插入方法，所以共有A66·A72＝ 30 240(种 )排法．(3) 把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素，与 3 个曲艺节目摆列共A44种排法，再将 3 个舞蹈节目插入，共有 A53种插入方法，最后将 2 个唱歌节目交换地点，有A22种排法，故所求排法共有 A44·A53·A 22＝ 2 880(种)排法．8．从 1 到 9 这 9 个数字中拿出不一样的 5 个数进行摆列．问：(1)奇数的地点上是奇数的有多少种排法？(2)拿出的奇数一定排在奇数地点上有多少种排法？解： (1)奇数共 5 个，奇数地点共有 3 个；偶数共有 4 个，偶数地点有 2个．第一步先在奇数地点上排上奇数共有A53种排法；第二步再排偶数地点， 4 个偶数和余下的 2 个奇数能够排，排法为 A 62种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A53·A 62＝ 1 800．(2) 因为偶数地点上不可以排奇数，故先排偶数位，排法为A42种，余下的2个偶数与 5 个奇数全可排在奇数地点上，排法为 A73种，由分步乘法计数原理知，排法种数为 A42·A73＝ 2 520种．。
教案
例4 用1,2,3,4,5中的数字组成5位数，并按要求计
算出符合条件的五位数的个数.
问题一 1不在万位且各数位数字无重复. 直接法： 14C 种. 先排1：再排其余数： 有4
4A 种.
所以总共有14
4
496C A =种. 间接法：
总的情况55A ，不符合要求的是1在万位，另外四
个数全排列有44A 种.所以符合要求的有54
5
496A A -=种.
问题二 各数位的数字无重复，并且1与2相邻，1与
3不相邻. 罗列枚举：将12捆绑，再选择3的位置
一共有2
2
(26+32)36A ⨯⨯=种. 直接法：核心是先排特殊元素1,2,3. 12相邻，2可
以与3相邻，也可以与3不相邻.与3相邻就把123或
321捆绑，
加上顺序，所以是3
32A .再考虑1与2捆绑之后的整体与3不相邻，所以从4,5造的三个空中选
两个放入12和3这两组数，有顺序，所以是2
3A ，1,2可以调换顺序，4,5可以调换顺序，乘在一起
222322A A A ，两种情况再一加就是3222
3322236A A A A +=.。
第二课时组合的综合应用课堂讲练设计，举一能通类题皿。
有限制条件的组合问题I典例I课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法?(1)只有一名女生3(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选;(4)至多有两名女生当选.［解］(1)一名女生，四名男生，故共有a・Cil=350(种)选法.(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类,故共有a・Ch=165(种)选法.(3)至少有一名队长当逸含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选.故共有C1-C11+ C心=825(种)选法.或策用间接法：Ch-C和=825(种).(4)至多有两名女生舍有三如有两名女生，只有一名女生，没有女生.故共有C&CS+ aa+ci=966(种)选法.Ii有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：>•!一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出.“不含”I:的可把所指元素去掉再取，分步计数；;二是“至多”“至少〃问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注Ii意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏,L_________.________________.________________....._____________....._____________.................................................................J 【活学活用］有，个不同的球，】个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个空盒，有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？解：⑴先从4个小球中取2个放在一起，有C3种不同的取法，再把取出的2个小球与另外2个小球看成三堆，并分别放入4个尘子中的3个盒子里，有A］种放法，根据分步来法计数原理，共有CiM=144(种)不同的放法.(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中.有两妾放法：第一如1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C9种，再放到2个盒子中有A1种放法，共有CLM种放法；第二美，2个金子中各放2个小球有CK4种放法.故恰有2个金子不放球的方法有C1U+C3G=84(种).几何中的组合问题［典例1平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线.以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？［解］法一：以从共线的，个点中取点的多少作为分类的标准.第一英：共线的4个点中有2个点为三角形的项点，共有CSC4=48个不同的三角形；第二美：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C」C&=112个不同的三角形；第三类：关线的4个点中没有，&为三角形的顶点，去有=56个不同的三角形.由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48+112+56=216个.法二：(间接法)：从12个点中任意取3个点，有Cf2=220种取法,而在共蝶的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况t C4=4种.故这12个点构成三角形的个数为Ch-Ci=216个.「一—一一—一一—一一慈曾冗丽合向丽而一—一一—一一―:(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、;线、面的位置关系为背景的排列、组合.这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综!合牲强.:(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样,只要把图形的限制条件!视为组合问题的限制条件即可.!(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计.;算符合题意的组合数.…一了薛话而■i■i■■i■i■■i■i■■i■i■i—i■i—i■i—i■正六边形的顶点和中心共7个点，可组成个三角形.解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是过中心的3条对角线，即共有3种情况，故坦成三南形的个数为弓一3=32.答案：32［典例I用。
排列组合应用问题（第1课时）【教学目标】1.强化综合运用两个计数原理解决计数问题的能力。
2.能运用排列组合知识分析实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。
【基础练习】1.将3名同学安排到2个工厂去实习,共有______________种不同的分配方案.2.用0到9这10个数字,可组成______________个没有重复数字的四位偶数.3.一个小组共有组长2人,组员7人,现在要求选出5人参加一项活动,要求这5人中至少一名组长,共有_________________种不同的选法.【合作探究】例1．高二（1）班有30名男生，20名女生。
从50名学生中选3名男生、2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？例2．2名女生、4名男生排成一排，问：（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？（2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？变式：七个家庭一起外出旅游，若其中四家分别是一个男孩，三家分别是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
（1）一共用多少种站法？（2）甲站在正中间的排法有几种？（3）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？（4）甲只能排头或排尾，共有几种排法？（5）甲不站排头，乙不站排尾，共有多少种排法？（6) 若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？（7）若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？（8) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？（9）若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？（10）若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？例3．从0,1,2，...,9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的共有多少个？例4六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法?(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分成三份，每份2本；(3)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少1本.【学以致用】1.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的数(1)有多少个五位数(2)有多少个五位数的奇数(3)有多少个大于31250的五位数？2.从6双不同的颜色的鞋子中任取4只，其中恰有两只可以配成一双鞋子的取法有多少种？3.按下列条件,各有多少种不同的送书方法?(1)5本不同的书送给6个人.(2)5本不同的书送给6个人,每人最多1本.(3)6本不同的书送给5人.(4)6本不同的书送给5人,每人最少1本.(5)3本相同的书送给5人,每人最多1本.(6)3本相同的书送给5人.4.有一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对位置不变，再添入3个节目，那么共有多少种不同的安排方法？5.有一张节目表上原有6个节目,如果保持这些节目的相对位置不变,再添入3个节目,共有多少种不同的安排方法？排列组合应用问题（第1课时练习）【基础训练】1.如果有20个代表出席一次会议，每位代表与其他代表握一次手，那么一共握手_______次.2.200件产品中有3件是不合格品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件是不合格品的抽法的种数为___________________________（列出算式）.3.若从一个小组中选出正、副组长各1人与选出4名学生代表的选法种数之比为2:13，则这个小组的人数是_________.4.以正六边形的顶点为顶点的直角三角形共有_______个.5.若不同的5种商品在货架上排成一排，其中,a b两种必修排在一起，而,c d两种不能排在一起，则不同的排法种数共有______种.6.6个男生和4个女生排成一排，若女生既不相邻又不能在两端，则有_____种不同的排法.【思考应用】7.7人站成一排，下列情况中各有多少种不同的站法？（1）甲站在正中间，乙站在排头，丙站在排尾；（2）甲站在乙得右边（不一定相邻）；（3）甲、乙、丙三人中任何两人均不相邻.8.用数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个比4032大且没有重复数字的四位数？9.要举办一台文艺晚会，现从高一年级的4个文艺节目中选出2个，高二年级的5个文艺节目中选出3个，高三年级的3个文艺节目中选出2个编制节目，问：有多少种不同的演出顺序？Ð的OA边上有4个异于O点的点，以这10个点（含O点）为顶点，能得到多少个不同的三角10.在AOB形？【拓展提升】A B C D这4所中学任教，每校2人，其中甲、乙两人不得分配到A11.有8名师范大学毕业生被分配到,,,中学去，问：不同的分配方法有多少种？12.空间7个点最多能确定多少对异面直线？排列组合综合应用(第2课时)【教学目标】1.强化综合运用两个计数原理解决计数问题的能力。
第2课时排列的综合应用1．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点) 2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理排列的综合应用阅读教材P18例3～P20，完成下列问题．1．解简单的排列应用题的基本思想2．解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解．1．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．【解析】从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A34种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A34＝48个．【答案】482．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．【解析】把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A44＝24种．【答案】243．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．【解析】翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有A35种选法，由分步乘法计数原理知共有4×A35＝240种选派方案．【答案】2404．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．【解析】可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A37－A34＝186(种)．【答案】186[小组合作型]无限制条件的排列问题(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【精彩点拨】(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．【自主解答】(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A35＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．[再练一题]1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．【解析】问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720.【答案】720排队问题7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)老师甲必须站在中间或两端；(2)2名女生必须相邻而站；(3)4名男生互不相邻；(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．【精彩点拨】解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论．【自主解答】(1)先考虑甲有A13种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：A13A66＝2 160(种)．(2)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22·A 66＝1 440(种)． (3)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33·A 44＝144(种)．(4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·A 77A 44＝420(种)．解决排队问题时应注意的问题1．对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的元素作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列．2．对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的元素，再将不相邻的元素以插空的方式排入．3．对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可．4．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．[再练一题]2．3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须站两端.【导学号：29472015】【解】 (1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A 36种站法，然后再排其他位置，有A 44种站法，所以共有A 36·A 44＝2 880种不同站法．(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A 22种站法，其余5人全排列，有A 55种站法．故共有A 22·A 55＝240种不同站法．[探究共研型]数字排列问题探究1偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？【提示】偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．探究2在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?【提示】在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？【精彩点拨】这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．【自主解答】(1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的六位数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有A44个．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A55个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．解排数字问题常见的解题方法1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．[再练一题]3．用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字的四位数．(1)这些四位数中偶数有多少个？能被5整除的有多少个？(2)这些四位数中大于6 500的有多少个？【解】(1)偶数的个位数只能是2,4,6，有A13种排法，其他位上有A36种排法，由分步乘法计数原理知，共有四位偶数A13·A36＝360(个)．能被5整除的数个位必须是5，故有A36＝120(个)．(2)最高位上是7时大于6 500，有A36个；最高位上是6时，百位上只能是7或5，故有2A25个．故由分类加法计数原理知，这些四位数中大于 6 500的共有A36＋2A25＝160(个)．1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．240【解析】由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.【答案】 C2．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有() A．720 B．360C．240 D．120【解析】因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A55种排法，但甲、乙两人之间有A22种排法．由分步乘法计数原理知，共有A55A22＝240种不同的排法．【答案】 C3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个.【导学号：29472016】【解析】先排奇数位有A44种，再排偶数位有A33种，故共有A44A33＝144个．【答案】1444．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．【解析】分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．【答案】245．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？【解】法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240种．法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240种．。
