从位移的合成到向量的加法

向量加法运算及其几何意义向量加法是指将两个或多个向量相加的运算。

在数学中，向量加法遵循以下规则：1.向量加法是可交换的。

即，对于任意向量a和b，a+b=b+a。

2.向量加法是可结合的。

即，对于任意向量a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。

3.零向量是向量加法的单位元素。

即，对于任意向量a，a+0=0+a=a。

几何意义方面，向量加法可以用于描述物体的位移、力的合成以及速度的合成等。

下面以位移和力的合成为例进行解释：1.位移的合成：假设有一辆汽车沿东西方向行驶了100米，然后又沿南北方向行驶了50米。

我们可以将汽车的东西方向的位移表示为向量a=100i，南北方向的位移表示为向量b=50j。

那么，汽车的总位移可以表示为向量c=a+b，即c=100i+50j。

这个向量c表示汽车最终的位置相对于起始位置的位移。

2.力的合成：假设有两个力F1和F2作用在一个物体上，F1的大小为10牛顿，方向为东，F2的大小为5牛顿，方向为北。

我们可以将力F1表示为向量a=10i，力F2表示为向量b=5j。

那么，两个力的合力可以表示为向量c=a+b，即c=10i+5j。

这个向量c表示两个力的合力的大小和方向。

在几何上，向量加法的结果可以通过平行四边形法则进行图示。

以位移为例，我们可以将向量a和向量b的起点放在同一位置，然后将向量a按照其方向和大小绘制出来，再将向量b按照其方向和大小绘制出来。

通过平行四边形法则，我们可以找到一个平行四边形，其两条对角线的交点即为向量a和向量b的和向量c的终点。

总结起来，向量加法是一种将多个向量相加的运算，它遵循可交换和可结合的规则，并且零向量是其单位元素。

在几何上，向量加法可以用于描述位移和力的合成等。

通过平行四边形法则，我们可以找到向量加法的结果的几何意义。

从位移的合成到向量的加法编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量.2．能结合图形进行向量的计算．3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．【要点梳理】要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则1.向量加法的概念及三角形法则已知向量,a b ，在平面内任取一点A ，作,A B a BC b ==，再作向量AC ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b AB BC AC +=+=．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．2．向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量,a b ，作,AB a AD b ==，则,,A B D 三点不共线，以,AB AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线AC a b =+．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a ，我们规定00a a a +=+=．要点诠释：两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点. 要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律1.向量求和的多边形法则的概念已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．112231n n n A A A A A A A A -=++⋅⋅⋅+特别地，当1A 与n A 重合，即一个图形为封闭图形时，有1223110n n n A A A A A A A A -++⋅⋅⋅++=2．向量加法的运算律（1）交换律：a b b a +=+；（2）结合律：()()a b c a b c ++=++要点三：向量的三角形不等式由向量的三角形法则，可以得到(1)当,a b 不共线时，||||||a b a b +<+；(2)当,a b 同向且共线时，,,a b a b +同向，则||||||a b a b +=+；(3) 当,a b 反向且共线时，若||||a b >，则a b a +与同向，||||||a b a b +=-；若||||a b <，则a b b +与同向，||||||a b b a +=-．要点四：向量的减法1．向量的减法（1）如果b x a +=，则向量x 叫做a 与b 的差，记作a b -，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量．（2）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即()a b a b -=+-．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．要点诠释：（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．（2）对于相反向量有()0a a +-=；若a ，b 互为相反向量，则,0a b a b =-+=．（3）两个向量的差仍是一个向量．2．向量减法的作图方法（1）已知向量a ，b （如图），作,OA a OB b ==，则BA a b =-=OA OB -,即向量BA 等于终点向量（OA ）减去起点向量（OB ）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出a b -．作,,OA a OB b AC b ===-，则()OC a b =+-，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．【典型例题】类型一：向量加法的几何运算例1．如图所示，已知三个向量a 、b 、c ，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a +b +c ．【解析】 利用三角形法则作a +b +c ，如图1所示，作=OA a ，以A 为起点，作=AB b ，再以B 为起点，作=BC c ，则=+=++=++OC OB BC OA AB BC a b c ． 利用平行四边形法则作a +b +c ，如图2所示，作=OA a ，=OB b ，=OC c ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OADB ，则=+OD a b ，再以OD 、OC 为邻边作平行四边形ODEC ，则=+=++OE OD OC a b c ．【总结升华】题中，要求作三个向量的和，首先求作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．例2.化简下列各式：(1)AB DF CD BC FA ++++；(2)()AB MB BO OM +++．【思路点拨】可根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，再利用向量加法的结合律求和．【答案】（1）0（2）AB【解析】(1)：AB DF CD BC FA AB BC CD DF FA ++++=++++0AC CD DF FA AF FA =+++=+=．(2)解法一：()AB MB BO OM +++()()AB BO OM MB =+++AO OB AB =+=．解法二：()()AB MB BO OM AB MB BO OM +++=+++0AB MO OM AB AB =++=+=． 解法三：()()AB MB BO OM AB BO OM MB +++=+++AM MB AB =+=．【总结升华】(1)求向量的和的关键是利用三角形法则，将“首尾相接”的两个向量分在一组．(2)第(2)题有三种解法，都利用了向量加法的交换律和结合律进行化简．举一反三：【变式1】化简下列各式（1）PB OP OB ++；（2）()AC MC CO OM +++.【思路点拨】求向量的和要考虑用向量的加法法则和运算律.【答案】（1）2OB （2）AC【解析】（1）PB OP OB ++=()OP PB OB ++=OB +OB =2OB .（2）()AC MC CO OM +++=()()AC CO OM MC +++=AO OC AC +=.【总结升华】求和的关键是利用三角形法则，将“首尾相接”的两个向量分在一组.类型二：向量减法的几何运算例3．如图，解答下列各题：（1）用a ，d ，e 表示DB ；（2）用b ，c 表示DB ；（3）用a ，b ，e 表示EC ；（4）用d ，c 表示EC ．【答案】（1）d e a ++（2）b c --（3）a b e ++（4）c d --【解析】 ∵AB a =，BC b =，CD c =，DE d =，EA e =，∴（1）DB DE EA AB d e a =++=++．（2）DB CB CD BC CD b c =-=--=--．（3）EC EA AB BC a b e =++=++．（4）()EC CE CD DE c d =-=-+=--．【总结升华】在本题中，我们看到DB ，EC 这两个向量的表示并不唯一．在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用．当运用三角形法则时，要注意两向量首尾相接，当两个向量起点相同时，可以考虑用减法．举一反三：【高清课堂：向量的线性运算 395568 例1】【变式1】O 为正六边形ABCDEF 的中心，设OA a =,OB b =，则DE 等于（ ）．（Ａ）a b + （Ｂ）a b - （Ｃ）b a - （Ｄ）a b --【答案】Ｂ【变式2】如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设 AB a =，DA b =，OC c =．求证：b c a OA +-=．【解析】∵b c DA OC OC CB OB +=+=+=，OA a OA AB OB +=+=，∴b c OA a +=+，即b c a OA +-=．例4．化简：(1)AB AD DC --；(2)()()AB CD AC BD ---．【思路点拨】根据向量的减法法则，适当运用运算律将式子变形可得化简结果.(1)(方法一)AB AD DC DB DC CB --=-= ．(方法二)()AB AD DC AB AD DC AB AC CB --=-+=-=．(方法三)()AB AD DC AB DA CD AB CA CB --=++=+=．(2)(方法一)()()AB CD AC BD AB CD AC BD ---=--+AB DC CA BD =+++AB DC CA BD =+++()()AB BD DC CA AD DA =+++=+=0．(方法二)()()AB CD AC BD AB CD AC BD ---=--+=()()AB AC DC DB CB BC -+-=+=0． (方法三)设O 为平面内任意一点，则()()AB CD AC BD AB CD AC BD ---=--+()()()()OB OA OD OC OC OA OD OB =-----+-0OB OA OD OC OC OA OD OB =--+-++-=．【总结升华】对于用有向线段表示的向量的加减运算的四点技巧：(1)加法：首尾连，起点到终点()AB BC CD AD ++=；(2)减法：共起点，连终点，指被减()AB AC CB -=；(3)化减为加()AB AC AB CA -=+；(4)凑零法(相反向量的和为0)．类型三：与向量的模有关的问题例5．设a 和b 的长度均为6，夹角为23π，则||a b -等于( )A ．36B ．12C ．6D ．【思路点拨】根据向量的三角形法则或平行四边形法则作出a b -，然后根据图形中的几何关系求出||a b -．【答案】D【解析】如图所示，作OA a =，OB b =，平行四边形OADB ，则||||a b BA -=．在△BCO 中， 3BOC π∠=，2BCO π∠=，||6BO =，∴ ||3BC = ||||2||63a b B A B C -===． 例6． 已知非零向量a ，b 满足||71a =+，||71b =-，且|a －b |=4，求|a +b |的值．【答案】4 【解析】 如图，OA a =，OB b =，则||BA a b =-．以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ，则||||OC a b =+．由于2221)1)4++=．故222||||||OA OB BA +=，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形，从而OA ⊥OB ，所以OACB 是矩形．根据矩形的对角线相等有||||4OC BA ==，即|a +b |=4． 【总结升华】 （1）向量a +b ，a －b 的几何意义在证明、运算中具有重要的应用．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．（2）关于向量的加减法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量、共线向量等．要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模不一定等于这两个向量的模的和．因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量，模的加法是数量的加法．举一反三：【变式1】若||9AB =，||4AC =，则||BC 的取值范围是多少？【答案】5||13BC ≤≤【解析】BC AC AB =-．当AB ，AC 同向时，|||94|5BC =-=，当AB ，AC 反向时，|||94|13BC =+=；当AB ，AC 不共线时，5||13BC <<．。

2023-11-01•位移的合成•向量的加法•向量的减法•平面向量的基本定理•平面向量的坐标表示目录01位移的合成位移的概念与性质位移是指从初始位置到末位置的向量，它描述了一个物体在空间中移动的位置变化。

位移的定义位移的矢量性位移的方向位移的大小位移是一个矢量，具有大小和方向两个属性。

位移的方向与移动的方向一致。

位移的大小等于物体移动的直线距离。

同向位移可以直接相加，即向量加法。

位移的合成规则同向位移合成反向位移可以相互抵消，即向量减法。

反向位移合成通过三角形法则或平行四边形法则进行合成。

任意角度位移合成位移合成在物理中的应用力的合成在动力学中，多个力的合成可以用位移的合成来进行类比和理解。

电场和磁场中粒子的运动在电场和磁场中，粒子的运动可以用位移的合成来进行分析和计算。

质点运动的合成在物理学中，位移的合成可以帮助我们分析质点的运动情况。

02向量的加法总结词平面向量，加法，减法，几何意义详细描述平面向量是具有方向和大小的量，可以用几何图形表示，向量的加法与减法是通过位移合成与三角形法则实现的，具有其独特的几何意义。

向量的定义与性质平行四边形法则，三角形法则总结词平面向量的加法运算规则有两种，分别是平行四边形法则和三角形法则。

平行四边形法则是将两个向量首尾相连，以这两个向量为邻边作一个平行四边形，其共同起点与终点的对角线的向量就是这两个向量的和；三角形法则则是将两个向量首尾相连，以这两个向量为边作一个三角形，从第一个向量的起点到第二个向量的终点的向量就是这两个向量的和。

详细描述向量的加法运算规则总结词位移合成，向量加法的直观意义详细描述在几何中，平面向量的加法可以用于表示物体的位移合成。

比如在一个封闭的图形中，所有向量的和可以表示为这个图形的位移合成。

此外，平面向量的加法还可以用于直观地理解向量的性质，比如平行四边形法则和三角形法则。

向量加法在几何中的应用03向量的减法向量减法运算可以通过将两个向量的起点重合，然后从第二个向量的终点指向第一个向量的终点的向量来定义。

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平面向量的线性运算考点解析向量的线性运算是向量的基础部分，考查主要在选择题、填空题形式出现，侧重于对向量的基本概念、向量运算的关系的考查；在解答题中侧重于向量与其他章节的综合考查，预计高考中向量的内容所占的比重还会较大。

下面对平面向量的线性运算的考点作简单的探究:考点一、平面向量基本概念的考查：例1、（06年烟台模拟)给出下列命题：⑴两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等； ⑵若=，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四各顶点；⑶若,a b b c ==，则a c =；⑷若//,//a b b c ，则//a c其中所有正确命题的序号为 .解析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点与终点的位置无关,故⑴不正确;当=时，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故⑵不正确；由=,则a b =，且a 与b 的方向相同；由b c =，则b c =,且b 与c 的方向相同，则a 与c 的长度相等且方向相同，故c a =，⑶是正确的；对于⑷，当0=b 时，a 与c 不一定平行，故⑷是不正确的。

所以正确命题的序号为⑶。

《向量的加法运算》教学反思
《向量的加法运算》教学反思
向量的加法运算是向量运算的基础，它在学生已学物理知识后，以力的合成、位移的合成等物理模型为背景抽象出的一种数学运算．向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则通过画图求和法，是一种全新的数学技术，是学习向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，向量的加法在这里起着承上启下的作用。

我在进行向量加法教学之前，首先引入物理中合位移的概念从学生角度来理解向量的加法，为了充分运用学生已有的认知基础，为了给抽象以足够的实例背景，以有助于学生理解向量加法的本质，引导学生运用图形语言刻画加法法则，继而，通过例题，“思考”“探究”“练习”中的问题从三个层次理解加法的运算法则。

在具体的分析过程中，使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比能力。

在教学中，突出向量加法的两个法则及其应用这个重点，并通过小组合作探究的模式突破共线向量的难点。

总的来说，本节课还是比较成功的，在师生互动和学生活动上做的比较好，体现出了新课程的本质。

但成功的同时
也有不足之处，时间的控制上还需紧凑，在语言表达上还稍显拖沓，这些都需要我在今后的教学中加以改进。

向量的加减运算向量的加减运算是线性代数中的重要内容，它在很多科学和工程领域有着广泛的应用。

在本文中，我将介绍向量的加减运算的基本概念和性质，并结合具体实例来解释它们的意义和用途。

首先，我们来定义什么是向量。

在几何上，向量是具有大小和方向的量。

它可以用一个有序实数组成的列来表示。

例如，我们可以用(x, y)来表示二维平面上的向量，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

同样地，我们可以用(x, y, z)来表示三维空间中的向量。

现在我们来讨论向量的加法。

向量的加法是指将两个向量按照对应分量相加得到一个新的向量。

具体而言，对于两个n维向量u和v，它们的和u + v定义为(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn)。

可以看出，向量的加法满足交换律和结合律。

换句话说，无论向量的顺序如何，它们的和始终相同，并且多个向量按任意顺序相加的结果也是相同的。

向量的减法是向量加法的逆运算。

给定两个向量u和v，它们的差u - v定义为(u1-v1, u2-v2, ..., un-vn)。

可以看出，向量的减法实际上是将减数的对应分量取反后与被减数进行加法运算。

类似地，向量的减法也满足交换律和结合律。

向量的加减运算在现实生活中有着广泛的应用。

一个典型的例子是力的合成。

假设我们有两个力F1和F2作用在物体上，我们可以将它们表示为二维向量(F1x, F1y)和(F2x, F2y)。

根据向量的加法，我们可以通过将它们对应分量相加得到合力F = (F1x + F2x, F1y + F2y)。

这样，我们就可以用一个向量来表示两个力的合力。

另一个例子是位移的合成。

假设我们有两个位移向量d1和d2，分别表示两段运动的位移。

我们可以通过将它们对应分量相加得到总位移d = (d1x + d2x, d1y + d2y)。

这个向量表示了从起始点到终点的总位移。

除了向量的加减运算，我们还可以进行向量的数乘运算。

向量的数乘是指将一个实数与向量的每个分量相乘，得到一个新的向量。