【小初高学习】七年级数学下册课后补习班辅导角与角平分线讲学案苏科版

期中复习及考前模拟【本讲教育信息】一. 教学内容：期中复习及考前模拟二、知识点1、“三线八角”（1）如何由线找角：一看线，二看型。

同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。

（2）如何由角找线：组成角的三条线中的公共直线就是截线。

2、平行公理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

简述：平行于同一条直线的两条直线平行。

补充定理：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也平行。

简述：垂直于同一条直线的两条直线平行。

3、平行线的判定和性质：旁内角互补4、图形平移的性质：图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一直线上）并且相等。

5、三角形三边之间的关系：三角形的任意两边之和大于第三边； 三角形的任意两边之差小于第三边。

若三角形的三边分别为a 、b 、c ，则b a c b a +<<- 6、三角形中的主要线段：三角形的高、角平分线、中线。

[注意]：①三角形的高、角平分线、中线都是线段。

②高、角平分线、中线的应用。

7、三角形的内角和：三角形的3个内角的和等于180°； 直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

8、多边形的内角和：n 边形的内角和等于（n －2）•180°； 任意多边形的外角和等于360°。

9、同底数幂的乘法法则 nm nmaa a +=⋅(m 、n 是正整数)10、幂的乘方法则 ()mn nma a =(m 、n 是正整数)11、积的乘方法则()n n nb a b a ⋅=⋅(n 是正整数)12、同底数幂的除法法则 nm nma a a -=÷(m 、n 是正整数，m >n )13、扩展 pn m pnmaa a a -+=÷⋅ ()np mp pnm b a b a = (m 、n 、p 是正整数)14、零指数和负指数法则10=a ()0≠a nn na a a ⎪⎭⎫⎝⎛==-11(0≠a ，n 是正整数) 15、科学记数法na N 10⨯=(1≤a <10，a 为整数) 16、单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2019-2020学年七年级数学下册课后补习班辅导余角、补角、对顶角讲学案苏科版【本讲教育信息】一. 教学内容：余角、补角、对顶角本周主要内容是学习互为余角和互为补角的概念及其性质，对顶角的概念及其特征。

并要求在经历观察、操作、推理、交流等过程中，进一步发展空间概念，培养推理能力、有条理的表达能力，并要求能解决一些实际问题。

［目标］1. 在现实背景下了解余角、补角、对顶角的概念。

2. 知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相等；能利用对顶角相等的性质进行计算。

二. 重、难点：本周的重点是互为余角和互为补角的概念及其性质，以及利用学习过的知识解决一些实际问题。

三. 知识要点1. 余角、补角。

（1）如果两个角的和等于90°，那么称这两个角互为余角。

（2）如果两个角的和等于180°，那么称这两个角互为补角。

（3）定理：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。

说明：①互余与互补角是研究两个角的关系，单独一个角不能说是余角或补角，就像称呼两兄弟一样，而且不会随位置改变。

②“互为余角”和“互为补角”是指具有特殊关系的两个角. 如同代数中的“互为倒数”和“互为相反数”一样，是指具有特殊关系的两个数，而且只能是两个角之间的特殊关系。

如果三个角的和是180°，我们不能说这三个角互为补角2. 对顶角（1）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

如：两条直线相交形成∠1，∠2，∠3，∠4四个角，如图：∠1和∠3叫做对顶角，∠2和∠4也是对顶角。

（2）定理：对顶角相等。

【典型例题】例1. 如图，直线m 和l 交于O 点，已知∠1的余角与它的补角的比为1：3，求∠2的度数。

分析：本题可以利用题目中所给的条件列方程（设∠1为x°），求出∠1的度数，而∠1和∠2是对顶角，利用对顶角的性质可以求出∠2的度数。

解：设∠1的度数为x°，则它的余角为(90－x) °，它的补角为(180－x) °，根据题意： （90－x ）：（180－x ）＝1：3 解之得x ＝45又因为∠1和∠2是对顶角， 所以∠1＝∠2 （对顶角相等） 答：这个角的度数为45 °。

暑假专题：三角形【本讲教育信息】一. 教学内容：暑假专题：三角形［目的］：1. 理解三角形三边之间的关系以及三角形的内角和。

2. 掌握两个三角形全等的条件以及全等三角形的性质，并能解决一些实际问题，发展分析问题和解决问题的能力。

二. 重点与难点：应用三角形全等的条件及全等三角形的性质解题，从而发展分析问题和解决问题的能力是本节的重点与难点。

三. 知识点回顾：1. 三角形的分类①三角形按边分类：三角形不等边三角形等腰三角形腰和底不相等的等腰三角形等边三角形⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪②三角形按角分类：三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形或三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎩⎪注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，切记不能将三角形按边分成不等边三角形、等腰三角形和等边三角形三类。

2. 三角形各角之间的关系：①三角形的内角和等于180︒②三角形的外角和等于360︒（每个顶点处只取一个外角）③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3. 三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。

） 4. 多边形的内角和与外角和①n 边形的内角和等于()n -⋅︒2180，n 边形的外角和等于360︒ ②正n 边形的每个内角都等于()n n -⋅︒2180，每个外角都等于360︒n③n 边形从一个顶点出发有()n -3条对角线，n 边形共有n n ()-32条对角线 5. 三角形全等的条件（1）三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS ”。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA ”。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS ”。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS ”。

【关键字】数学点线面体的基本认识、立体图形的分类与图形的变化【本讲教育信息】一. 教学内容：点线面体的基本认识、立体图形的分类与图形的变化［目标］1. 从现实世界中抽象出几何图形，即只看物体的形状、大小和位置关系．2. 认识到图形是由点、线、面构成的，认识点、线、面、体之间的关系，即“面与面相交成线，线与线相交成点”．3. 认识圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、正方体、长方体与球等立体图形的基本特征并能对简单几何体进行分类．4. 能把一些简单的平面图形（如三角形、多边形等）按要求（或自由的）拼成较复杂的图形．5. 会将图形平移、翻折和旋转．二. 重点、难点：1. 认识几何体的基本特征及其分类．2. 图形的变化三. 知识要点：（一）点线面的基本认识1. 图形由点、线、面构成（1）棱柱、棱锥1）相关概念：①棱柱、棱锥中任何相邻两面的交线叫做棱，（相邻两正面的交线叫做侧棱）②棱柱棱与棱的交点叫做棱柱的顶点③棱锥各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点［注意］①除三棱锥外，棱锥的顶点只有1个，三棱锥4个顶点；②棱锥底面上棱与棱的交点不能称为棱锥的顶点，应称为棱锥的底面顶点．2）特点①棱柱的侧棱长相等②棱柱的上下底面是相同的多边形，棱柱正面都是平行四边形（特别地，直棱柱的正面都是长方形）③棱锥的正面都是三角形（2）圆柱、圆锥1）构成：①圆柱由3个面围成，其中2个面是平的，1个面是曲的；②圆锥由2个面围成，其中1个面是平的，；另一个面是曲的．2）异同点：①相同点：圆柱、圆锥底面都是圆（平面），正面都是曲面②不同点：圆柱有两个相同的底面，且互相平行；圆锥只有一个底面（二）立体图形的分类1. 分类标准：1）按柱、锥、球来分2）按几何体的面中是否有曲面2. 几种立体图形的分类：（2）（3）（6）是柱体（1）（5）是锥体（1）（3）（6）都是平面图形围成的几何体（2）（4）（5）都是曲面图形围成的几何体（1）（3）底面都是五边形（2）（5）底面都是圆面（1）（6）都是由6个平面图形围成的几何体（三）图形的变化1. 剪拼如：三角形拼图（1）、（2）等腰三角形；（3）、（4）平行四边形；（5）矩形；（6）筝形2. 平移由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向运动，且运动相等的距离．这样的图形改变叫做图形的平移变换．3. 旋转（1）由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点或一条线，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形改变叫做图形的旋转变换．（2）点动成线，线动成面，面动成体4. 翻折如下图（1）到（2）【典型例题】例1. 在下列两行图形中，分别找出相互对应的图解：如下图：例2. 下列图形都是由半圆经过变化而得到的，请说出它们最简单的变化过程．答：图（1）是先沿AB翻转，再沿AB平移；图（2）是以MN为轴翻转；图（3）是以O为中心旋转180°．例3. 将以下方格图图（1）中阴影图形围绕点O，按顺时针方向依次旋转90°，看看会得到什么图形？（1）（2）分析：找准关键点的位置．答：如图（2）．说明：旋转中图形的形状、大小与原图相同．通过平移、旋转、翻转可以得到很多美丽的图案，而变化前后仅仅是图形位置变化，形状、大小不变．例 4. 小明用如下左图的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，右边所给的四个图案中符合胶滚的图案的是（）答：选C．例5. 适当地剪几刀，可以把图中的十字变成一个正方形，有人说用两刀就可以，你试试看．解：剪法如下图所示：例 6. 由平的面围成的立体图形又叫做多面体，有几个面，就叫做几面体．三棱锥有四个面，所以三棱锥又叫四面体；正方体又叫做六面体，有五条侧棱的棱柱又叫做七面体．（1）探索：如果把一个多面体的顶点数记为V，棱数记为E，面数记为F，填表：多面体V F E V＋F–E四面体长方体五棱柱（2）猜想：由上面的探究你能得到一个什么结论？（3）验证：在课本的插图中再找出一个多面体，数一数它有几个顶点，几条棱，几个面，看看面数、顶点数、棱数还是否满足上述关系．（4）应用：（2）的结果对所有的多面体都成立，伟大的数学家欧拉证明了这个关系式，上述关系式叫做欧拉公式．根据欧拉公式，想一想会不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点？解：（1）多面体V F E V＋F–E四面体 4 4 6 2长方体8 6 12 2五棱柱10 7 15 2（2）V＋F–E＝2（3）略（4）20＋10－30＝0≠2，所以不会有这样的多面体．【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 判断题：1）长方形绕任意一条直线旋转一周形成圆柱．（）2）直角三角形绕着任一条直线旋转总成一个圆锥．（）3）一个圆绕着其直径旋转半周形成一个球面．（）4）电风扇的三个叶片高速旋转时看到的是一整个圆面．（）2. 下列图形不是立体图形的是（）A. 球B. 圆柱C. 圆锥D. 圆3. 下列说法正确的是（）A. 有六条侧棱的棱柱的底面一定是三角形B. 棱锥的侧面是三角形C. 长方体和正方体不是棱柱D. 柱体的上、下两底面可以大小不一样4. 下图几何体是由哪个图形旋转形成的？（）5. 将下列几何体分类，柱体有：，锥体有（填序号）6. 长方体ABCD－A′B′C′D′有个面，条棱，个顶点．与棱AB垂直相交的棱有条，与棱AB平行的棱有条．7. 若一个棱柱的底面是一个七边形，则它的侧面必须有个长方形，它一共有个面．8. 有一个面是曲面的立体图形有（列举出三个）．9. 从一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，分割下面的多边形，数一数它的边数，再数一数分割所得的三角形的个数，看一看多边形的边数与三角形的个数之间的关系．10. 一位父亲有4个儿子，他有一块正方形的土地，其中的四分之一留给了自己，如图，余下的分给他的4个儿子，他想使每个儿子获得的土地面积相等，形状相同，这位父亲应怎样完成这件事？【想一想】如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是【试题答案】1. 1）×；2）×；3）√；4）√；2. D3. B4. B5. (1)(2)(3) ；(5)(6)6. 6 ；12；8；4；37. 7；98. 圆柱，圆锥，球（答案不唯一）9. 分割如下图，边数为n，分割成的三角形个数为n－2．10. 分割方法如下图所示：此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

全等三角形及其判定的初步熟悉【本讲教育信息】一. 教学内容：全等三角形及其判定的初步熟悉［目标］1. 熟悉全等图形与全等三角形，能把握其性质，并能画出全等图形。

2. 初识全等三角形的判定二. 重、难点：1. 全等图形与全等三角形及其性质2. 全等三角形的几种判定三. 知识要点1. 全等图形：能够完全重合的图形。

形状、大小都相等说明：一个图形通过平移、旋转、翻折后取得的图形必然与原图形全等2. 全等三角形:两个能重合的三角形。

“全等”用符号“≌”表示（1）两个全等三角形重合时：相互重合的极点叫对应极点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

（2）性质：全等三角形的对应边、对应角相等注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应极点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的判定：①三边对应相等（“边边边”或“SSS”）性质：三角形的稳固性——若是一个三角形三边的长度确信，那么那个三角形的形状和大小就完全确信。

专门地，四边形和其它多边形都不具有稳固性。

②两边及夹角对应相等（“边角边”或“SAS”）注意：那个角必然为两个边的夹角③两角及夹边对应相等（“角边角”或“ASA”）④两角及一角对边对应相等（“角角边”或“AAS”）⑤一直角边及一斜边对应相等（“斜边、直角边”或“HL”）——只用于直角△注意：角平分线上的点到角的两边距离相等注意：①AAA—三角对应相等的两个三角形不必然全等；SSA—两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不必然全等；②三角形全等经常使用于证明线段、角相等【典型例题】例1. 如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图（1），请在以下图中沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形。

解：如图：说明：画法并非唯一。

例2. 已知△ABC≌△A’C’B’，∠B与∠C’，∠C与∠B’是对应角，那么以下说法中①BC=C’B’②∠C的平分线与∠B’的平分线相等；③AC边上的高与A’B’边上的高相等；④AB边上的中线与A’B’边上的中线相等，其中正确说法的个数（）A、1个B、2个C、3个D、4个分析：通过作图观看那么一目了然。

全等三角形及其判定的初步认识【本讲教育信息】一. 教学内容：全等三角形及其判定的初步认识［目标］1. 认识全等图形与全等三角形，能把握其性质，并能画出全等图形。

2. 初识全等三角形的判定二. 重、难点：1. 全等图形与全等三角形及其性质2. 全等三角形的几种判定三. 知识要点1. 全等图形：能够完全重合的图形。

形状、大小都相等说明：一个图形经过平移、旋转、翻折后得到的图形一定与原图形全等2. 全等三角形:两个能重合的三角形。

“全等”用符号“≌”表示（1）两个全等三角形重合时：互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

（2）性质：全等三角形的对应边、对应角相等注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的判定：①三边对应相等（“边边边”或“SSS”）性质：三角形的稳定性——如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定。

特别地，四边形和其它多边形都不具有稳定性。

②两边及夹角对应相等（“边角边”或“SAS”）注意：这个角一定为两个边的夹角③两角及夹边对应相等（“角边角”或“ASA”）④两角及一角对边对应相等（“角角边”或“AAS”）⑤一直角边及一斜边对应相等（“斜边、直角边”或“HL”）——只用于直角△注意：角平分线上的点到角的两边距离相等注意：①AAA—三角对应相等的两个三角形不一定全等；SSA—两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等；②三角形全等常用于证明线段、角相等【典型例题】例1. 如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图（1），请在下图中沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形。

解：如图：说明：画法并不唯一。

例2. 已知△ABC≌△A’C’B’，∠B与∠C’，∠C与∠B’是对应角，那么下列说法中①BC=C’B’②∠C的平分线与∠B’的平分线相等；③AC边上的高与A’B’边上的高相等；④AB 边上的中线与A’B’边上的中线相等，其中正确说法的个数（）A、1个B、2个C、3个D、4个分析：通过作图观察则一目了然。

2019-2020学年七年级数学下册课后补习班辅导三角形的内角和讲学案苏科版【本讲教育信息】一. 教学内容：三角形的内角和二. 教学目标：1. 掌握三角形内角和定理及外角有关性质。

2. 掌握多边形内角和的计算公式及其应用。

3. 三角形外角和的规律及其简单应用。

三. 重、难点：1. 三角形内角和与三角形外角的有关性质的应用。

2. 多边形内角和的计算公式及其应用。

3. 三角形外角和的特点及其应用。

四. 知识要点1. 三角形的内角：（1）三角形的三个内角的和等于180°。

（2）推论：直角三角形的两个锐角互余。

2. 三角形的外角：（1）三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。

图中的∠CBD称为△ABC的一个外角注意：“外角”是三角形的外角，不是它相邻内角的外角。

对三角形的外角,称某个角是某个三角形的外角,而不称三角形某个角的外角（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

C三角形的外角和等于360°。

3. 多边形的外角：（1）多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。

（2）任意多边形的外角和等于360°。

4. 多边形的内角：n 边形的内角和等于（n －2）·180°【典型例题】例 1. （1）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4，那么这个四边形中最大角的度数是 。

（2）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角都是n °，则n ＝ 。

（3）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则这个六边形的每个内角是多少？ （4）在四边形ABCD 中，∠A 与∠C 互补，那么∠B 与∠D 有什么关系呢？为什么？ 分析：本题考察的是多边形内角和为（n －2）·180°解：（1）四边形的内角和为360°，所以四边形中最大角为︒=+++⨯︒14443214360（2）五边形的内角和为540°，所以︒=︒⨯+︒⨯5402903n ，解得：︒=︒135n ，即135=n （3）六边形的内角和为720°，所以其每个内角都＝︒=︒1206720 （4）四边形的内角和为360°，因为∠A 与∠C 互补，所以∠A ＋∠C ＝180°， 所以∠B ＋∠D ＝360°－180°＝180°，即∠B 与∠D 互补。

期中复习【本讲教育信息】一. 教学内容：期中复习1. 了解有理数、相反数、数轴、绝对值等概念，会比较有理数的大小。

2. 会运用有理数的运算法则、运算律，按照规定的运算顺序，熟练地进行简单的有理数的加、减、乘、除、乘方及其混合运算。

3. 能把简单的表示数量关系的语句写成代数式。

4. 根据代数式中的字母的给定的值，能准确地求出代数式的值。

5. 能用合并同类项，去括号等法则进行整式运算。

6. 了解近似数与有效数字概念，会用四舍五入法求有理数的近似数。

7. 能解简易方程，并能列出简易方程解简单的应用题。

二. 教学重难点：1. 重点：有理数基本概念的理解及有理数的混合运算、列代数式。

2. 难点：列代数式、列方程解应用题。

三. 知识要点：1. 知识结构总结：（1）有理数的意义数轴倒数绝对值大小比较相反数有理数的分类（2）有理数的运算有理数的混合运算乘方：科学记数法乘除法法则的统一除法乘法加减法法则的统一减法加法（3）用字母表示数简易方程公式求代数式的值列代数式代数式2. 思想方法总结：（1）观察方法（2）整体思想（3）分类思想（4）数形结合思想（5）用字母表示数和方程的思想3. 概念总结：（1）有理数的分类（2）数轴（3）相反数（4）绝对值（5）有理数加、减、乘、除、乘方的计算（6）代数式4. 需注意的问题：（1）在学了负数后，要注意克服字母只表示正数或0的局限性。

（2）“a 表示负数”是错误的。

当0a 时，a 为非负数，实际上a 表示任意有理数。

（3）如果|a|=|b|，那么b a 是错误的，它忽略了a 和b 互为相反数的情况。

（4）在运算中要注意正负号、运算顺序等，以提高准确性。

期末复习【本讲教育信息】一. 教学内容：期末复习二、教学目标与要求：1、总结平行是直线间的基本关系，直线平行的条件和性质，图形平移的性质2、回顾三角形以及任意多边形的内角、外角和公式及探索过程3、回顾幂的运算法则进行运算的过程及其应用4、回顾整式乘法运算法则进行运算的过程及其应用5、总结运算的基本方法以及整式变形的技能6、总结因式分解的基本方法，比较因式分解与整式乘法运算的区别和联系7、总结解二元一次方程组的基本方法8、回顾从丰富情景中抽象出二元一次方程组的过程，并能用二元一次方程组解决现实问题．9、总结回顾三角形全等的判断方法及其应用10、总结收集数据的方式及其应用对象11、总结三种统计图的特征，及其如果根据实际问题选择合适的统计图12、区分条形统计图和频率分布直方图13、回顾确定事件、随机事件的概念，总结区分这两类事件的方法14、总结判断不同事件发生可能性大小的方法，并思考用试验来估计随机事件发生的概率时需要注意的问题三、教学重、难点：1、直线平行的判断与条件2、三角形的认识及其全等判定3、幂的运算、整式的运算、因式分解与二元一次方程组的解法4、统计与概率的应用四、知识结构总结：1、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧平分线、中线、高三角形中特殊线段：角角和定理任意多边形的内角、外系三角形边、角之间的关角三角形、直角三角形分类：锐角三角形、钝认识三角形平移的简单应用平移的性质概念图形的平移互补两直线平行，同旁内角等两直线平行，内错角相等两直线平行，同位角相直线平行的性质平行同旁内角互补，两直线行内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平直线平行的条件两直线平行平面图形的认识 2、⎪⎩⎪⎨⎧零指数幂、负指数幂—同底数幂的除法幂的乘方与积的乘方同底数幂的乘法幂的运算3、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯⨯⨯运用公式法提公因式法因式分解乘法公式多项式多项式多项式单项式单项式单项式整式的乘法4、二元一次方程（1）二元一次方程的定义（含有二个未知数，并且未知数的次数都是1）（2）二元一次方程的解法：代入消元法，加减消元法． （3）二元一次方程组的一般式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 解的情况： ①当2121b b a a ≠时，方程组有唯一解； ②当212121c c b b a a ==时，方程组有无数组解； ③当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解． 5、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→）（斜边和直角边对应相等—条件两个直角三角形全等的）边边边（）角角边（）角边角（）边角边（两个三角形全等的条件等对应边相等，对应角相全等三角形图形的全等HL SSS AAS ASA SAS6、7、【典型例题】例1、如图，四边形ABCD 中，点E 在边CD 上，连结AE 、BE 并延长交BC 于点 F ．给出下列五个关系式：①AD ∥BC ； ②DE=EC ； ③ ∠1=∠2； ④∠3＝∠4； ⑤AD+BC=AB 将其中的三个关系式作为已知条件．另外两个作为结论，构成正确的结论．（1）用序号写出三个正确的结论（书写形式如：如果x x x ，那么x x ）； A ：如果①那么 B ： C ：（2）我选择 进行说明其中的道理．分析：本题涉及到①两直线平行的条件与性质②等腰三角形的性质③全等三角形的判定与性质．把握好这些条件之间的关系是解题的关键．解：（1）A ：如果①②③，那么④⑤ B ：如果①②④，那么③⑤ C ：如果①②⑤，那么③④（2）我选择A 进行说明其中的道理：如果①AD ∥BC ；②DE=EC ；③∠1=∠2；那么④∠3＝∠4；⑤AD+BC=AB 证明：∵AD ∥BC ∴∠1=∠F （两直线平行，内错角相等） 又∵∠1=∠2 ∴ ∠F=∠2∴ ΔBAF 为等腰三角形而⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EC DE FEC AED F )(1对顶角相等 ∴ΔAED ≌ΔFEC （AAS ） ∴AE=FE ，CF=DA ∴BE 为等腰ΔBAF 中线 ∴BE 也为等腰ΔBAF 的角平分线∴∠3＝∠4∵BF=BC+CF，CF=DA而AB=BF∴AD+BC=AB说明：此题答案并不唯一，只要利用充分即可．例2、如图，△ABC是等边三角形，又DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，问△DEF是等边三角形吗？请简要说明理由．分析：判定等边三角形的方法：①三条边相等②三个内角相等③有一个角为60°的等腰三角形．这里我们采用②三个内角相等答：△DEF是等边三角形．证明：∵∠A=60°又∵FD⊥AB∴∠AFD=30°而EF⊥AC∴∠DFE+∠AFD＝90°∴∠DFE＝60°，同理∠FED＝∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形．说明：直角三角形的两锐角互余．例3、求010110410011100.753 2.13 (3)0.37--⨯⨯⨯-⨯⨯的值解：原式=101104100103 2.1330.3(0.37)--⨯⨯⨯⨯⨯=14330.3-⨯=330.3=90说明：灵活运用乘法法则可使得我们在运算中简便很多．例4、王老师让同学们计算：“当31,21-==b a 时，求()()()()b a a b a b a b a +-++-+22的值”．小明同学指出题目中所给的条件“31,21-==b a ”是多余的，他们的说法有道理吗？为什么？答：有道理．∵()()()()b a a b a b a b a +-++-+22=022222222=--+++-ab a b ab a b a∴无论b a ，取何值，()()()()b a a b a b a b a +-++-+22都为0例5、已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-k y x ky x 2332的解满足方程13=+y x ，求k 的值．分析：把k 看成是一个数，用它表示出y x ，，代入后面的方程中就能得到一个关于k 的一元一次方程． 解：⎩⎨⎧=+-=-）（）（223132k y x k y x由（1）－2（2）得：k y 77-=- ∴k y =代入（2）得：k x -= ∵13=+y x ∴13=+-k k ∴21=k 说明：此题也可用消元法解方程．例6、学校书法兴趣小组准备到文具店购买A 、B 两种类型的毛笔，请你根据下面三位同学的对话，求出文具店的A 、B 两种类型毛笔的零售价各是多少？解：设文具店的A 种类型毛笔的零售价是x 元，B 种类型毛笔的零售价是y 元，由题意得：⎩⎨⎧=⨯--+⨯--=⨯--+1296.0)1520(204.0)2040(401456.0)1540(4020y x y x 上面二元一次方程组可化为：⎩⎨⎧=-+=-+072082y x y x 解得：⎩⎨⎧==32y x答：文具店的A 种类型毛笔的零售价是2元，B 种类型毛笔的零售价是3元例7、某中学组织初一同学春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元，试问：（1）初一年级人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？ （2）要使每个同学都有座位，怎样租用车辆更合算？ 解：（1）设原计划租用45座客车x 辆，由题意得：)1(601545-=+x x解得：5=x而初一年级人数是240)15(60)1(60=-⨯=-x （人） （2）设45座的租y 辆，60座的租z 辆更合算2406045=+z y求非负整数解得：⎩⎨⎧==40z y 或⎩⎨⎧==14z y当⎩⎨⎧==4z y 时，1200300220=+z y当⎩⎨⎧==14z y 时，1180300220=+z y∵1180<1200∴45座的租4辆，60座的租1辆更合算答：（1）初一学生240人，计划租5辆（2）45座的租4辆，60座的租1辆．例8、近年来，某市旅游事业蓬勃发展，吸引大批海内外游客前来观光旅游、购物度假，下面两图分别反映了该市2001－2004年游客总人数和旅游业总收入情况． 根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）2004年游客总人数为 ________万人次，旅游业总收入为________万元；（2）在2002年，2003年，2004年这三年中，旅游业总收入增长幅度最大的是_________年，这一年的旅游业总收入比上一年增长的百分率为_______（精确到0.1%）；（3）2004年的游客中，有国内游客和国外游客，据统计，国内游客的人均消费约为700元，国外游客人均消费约为4000元，问国内和国外游客各多少人？（注：旅游收入＝游客人数×游客的人均消费）解：（1）由图①知：2004年游客总人数为1225万人次，由图②知：旅游业总收入为940000万元；（2）观察图②的趋势知：在2002年，2003年，2004年这三年中，旅游业总收入增长幅度最大的是2004年，这一年的旅游业总收入比上一年增长的百分率为41.4%%4.41%100665000665000940000=⨯-（3）设国内游客x 万人，国外游客y 万人，由题意得：⎩⎨⎧=+=+94000040007001225y x y x 解得：⎩⎨⎧==251200y x答：国内游客1200万人，国外游客25万人．例9、为了让学生了解环保知识，增强环保意识．某中学进行一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解此次竞赛成绩，从中抽取了部分学生的成绩（得分为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成频数分布表和频数分布直方图．回答下列问题（将答案直接填在横线上，单位：分）：（1）填充频数分布表的空格；（2）补全频数分布直方图，并在频数分布直方图中绘制频数分布折线图；（3）全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多？（4）若成绩在90分以上（不含90分）为优秀，则该校成绩优秀的约有多少人？解：（1）（2）图略（3）由频率分布直方图知：竞赛成绩落在80.5~90.5的人数最多（4）该校成绩优秀的约有900×0.24=216人说明：（4）是由样本估计总体情况．例10、求出下列事件发生的概率，并标在图中：⑴投掷一枚普通骰子，投出7点的概率P（1）；⑵“月亮绕着地球转”的概率P（2）；⑶任掷一枚硬币，正面朝上的概率P（3）．解：P（1）=0（普通骰子只有1－6六种点数，没有7，所以此为不可能事件）P（2）=1（此为自然现象，为必然事件）1P（3）=2如图三点从左往右依次为P（1），P（3），P（2）．例11、杂题：（1）如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB=∠DBA，又知AC＝18，△CDB的周长为28，那么BD的长为（）A、7B、8C、9D、10（2）下图中的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是（）A 、一个锐角 一个钝角；B 、两个锐角；C 、一个锐角 一个直角；D 、一个直角 一个钝角（3）三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是 （ ） A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、等腰三角形（4）光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜AB 和CD 之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4．若已知∠1=55°，∠3=75°，那么∠2等与（ ）A 、50°B 、55°C 、66°D 、65°（5）“抢30”游戏规则是：第一个人先说“1”或“1、2”，第二个要接着往下说一个或两个数，然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数，这样两人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但是不可以连说三个数，谁先抢到30，谁就得胜，若改成抢“32”，那么采取适当策略，其结果是（ ）A 、先报数者胜B 、后报数者胜C 、两者都可能胜D 、很难预料（6）有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们11个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”、“08”，和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”，则他们就给婴儿奖励．假设该婴儿不能辨别字块中的内容，但能将字块横着正排．现让该婴儿随机地拼排2次，那么他能得到奖励的概率是 （ ） A 、32B 、21 C 、1 D 、以上都不对（7）如图，有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制成的，黑皮可以看作正五边形，白皮可看作正六边形．设白皮有x 块，黑皮有y 块，每块白皮有3条边和黑皮连在一起，依据题意，可列出方程组为 ．分析：（1）∵∠DAB=∠DBA ∴BD=AD=AC －CD=18－CD ① ∵CE 平分∠ACB ，且CE ⊥DB ∴△CDB 为等腰三角形 ∴CD=BC而CD+BC+BD=28，即2CD+BD=28② 由①②得：BD=8 （2）直角+钝角>180° （3）直角三角形特点（4）∠6=∠1=55°，∠5=∠3=75° ∴180°－∠2－∠4=180°－∠5－∠6 又∠2=∠4∴∠2=（55°+75°）÷2=65°（5）“抢30”游戏只要保证自己所说的个数+前面所说的个数=3的倍数即可获胜．而“32”不是3的倍数，因此是无法确定的．（6）“20”、“08”，和“北京”拼起来有6种可能，而“2008北京”或者“北京2008”占了2种，所以拼到的可能性为3162=．又婴儿拼两次，只要有一次对就可得到奖励，所以能得到奖励的概率是323131=+ （7）抓住两个等量关系：总块数和黑白相邻的边数． 答：（1）B （2）D （3）A （4） D（5）D（6）A（7）⎩⎨⎧==+yx y x 5332例12、下图从左到右：图1，把△ABC 沿直线CB 平行移动线段CB 的长度，可以变到△EDB 的位置； 图2，以BC 为轴把△ABC 翻折90°，可以变到△DBC 的位置； 图3，以点Ｂ为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△FBD 的位置．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改．．变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做全等变换．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．解答下列各问题：①图4中，△ABC 为等腰直角三角形，AB=AC ，AD ⊥AE ，且AD=AE ，请问△ACD 与△ABE 全等吗？为什么？②图4中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，如何变换才能使△ACD 变换到△ABE 的位置？③指出上面图4中，线段BE 与CD 之间的关系，为什么？ 解：①△ACD 与△ABE 全等∵△ABC 为等腰直角三角形，AD ⊥AE ∴∠CAD=90°－∠MAB ，∠BAE=90°－∠MAB ∴∠CAD=∠BAE而)(SAS ABE ACD AE AD BAE CAD BACA ∆=∆⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠= ②旋转 过程略 ③由①知：BE=CD【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一、选择题1、下面式子正确的是（ ） A 、623x x x =⋅B 、1055x x x =+C 、236x x x =÷D 、933)(x x =2、下列不是等腰三角形的对称轴是（ ） A 、顶角的平分线B 、一边的中线C 、底边上的中线D 、底边上的高线3、下列算式能用平方差公式计算的是（ ） A 、)2)(2(a b b a -+ B 、)121)(121(--+x x C 、))((n m n m +---D 、)3)(3(y x y x +--4、纳米是一种长度单位，1纳米= 109-米．已知某种植物的花粉的直径约为45000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（ ）米。