2017-2018北京市第十五中学高三(理科)数学12月摸底试卷答案

2020届北京市西城区十五中2017级高三一模考试数学试卷★祝考试顺利★一、选择题1.若集合{}2|20A x x x =+<,{}|||1B x x =>,则A B =I ( )A. {}|21x x -<<-B. {}|10x x -<<C. {}|01x x <<D. {}|12x x <<【答案】A【分析】分别求出集合A 、B,再取其交集得出答案.【详解】因为集合{}2|20A x x x =+< 解之得{}20A x x =-<<{}1B x x = 所以{}11B x x x =><-或所以{}|21A B x x ⋂=-<<-故选A.2.已知a 、b R ∈,且a b >,则（ ） A. 11a b < B. sin sin a b > C. 1133a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 22a b >【答案】C【分析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.【详解】对于A 选项,取1a =,1b =-,则a b >成立,但11a b>,A 选项错误； 对于B 选项,取a π=,0b =,则a b >成立,但sin sin0π=,即sin sin a b =,B 选项错误；对于C 选项,由于指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减,若a b >,则1133a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,C 选项正确；对于D 选项,取1a =,2b =-,则a b >,但22a b <,D 选项错误.故选：C.3.已知直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=没有公共点,则实数a 的取值范围为（ ）A. (,0]-∞B. [0,)+∞C. ()0,2D. (,2)-∞ 【答案】C【分析】首先得出圆的圆心和半径,然后由圆心到直线的距离大于半径建立不等式求解.【详解】圆22220x y x y a ++-+=即为22(1)(1)2x y a ++-=-．所以圆心为()1,1-,因为直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=没有公共点,所以直线与圆相离0>>,解得02a <<． ∴实数a 的取值范围为()0,2故选：C【点睛】设圆的半径为r ,圆心到直线的距离为d ,当直线与圆相离时有d r >,当直线与圆相切时有d r =,当直线与圆相交时有d r <.4.设a r 是单位向量,b r 是非零向量,则“a b ⊥r r ”是“()1a a b ⋅+=r r r ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【分析】 由向量的数量积运算可得a b ⊥r r ,即可得到答案.。

北京市西城35中2018届高三12月月考数学（理）试题一、选择题1．极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（）．A ．直线、直线B ．圆、圆C ．直线、圆D ．圆、直线【答案】D【解析】由cos ρθ=，得2cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入上式得220x y x +-=，故极坐标方程表示的图形为圆；由123x ty t =--⎧⎨=+⎩消去参数t 整理得310x y ++=，故参数方程表示的图形为直线．故选D ．2．直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线（）．A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+【答案】A【解析】试题分析：将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒所得到的直线为13y x =-，再向右平移1个单位，所得到的直线1(1)3y x =--，即1133y x =-+．故选A ．【考点】图象的变换．3．若集合{}|23M x x =-<<，{}1|21x N x +=≥，则M N = （）．A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．[)1,3-D ．(]2,1--【答案】C【解析】由题意得{}{}{}1|21|10|1x N x x x x x +==+=-≥≥≥，{}|13M N x x =-< ≤．故选C ．【点睛】研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是不等式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系．4．为了得到函数3lg 10x y +=的图象，只需要把函数lg y x =的图象上所有的点（）．A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C【解析】试题分析：因为3lglg(3)110x y x +==+-，所以得到函数3lg 10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点左平移3个单位再向下平移1个单位．故选C ．【考点】1对数的运算；2图像平移．5．设函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（）．A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 向右平移π2个单位后关于原点对称 D ．函数()f x 的区间ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数【答案】B【解析】A 项．()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 项错误； B 项．πππ2sin 20663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点对称π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 项正确；C 项．π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向右平移π2个单位后得到π2sin 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，不关于原点对称，故C 项错误；D 项．ππ,122x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,323x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当πππ2,322x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，即π5π,1212x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，当ππ2π2,323x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即5ππ,122x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，故D 错误；综上． 故选B ．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题；最小正周期为2πϕ，正弦函数的图象过对称中心，正弦函数sin y u =的增区间满足ππ2π2π22k u k -++≤≤，k ∈Z 等．6．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且n ，n a ，n S 成等差数列()n +∈N ，则4a =（）．A ．1B ．4C ．7D ．15【答案】D【解析】∵n ，n a ，n S 成等差数列，∴2n n a n S =+，当1n =时，1121a S =+，11a =， 当2n ≥时，1211n n a n S -=-+-，， ∴1221n n n a a a --=+，即121n n a a -=+， ∴112(1)n n a a +-=+，∴1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a +=， ∴21n n a =-， ∴442115a =-=． 故选D ．7．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m n ∥，m n αα⊥⇒⊥ ②αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥ ③m n ∥，m n αα⇒∥∥④αβ∥，m n ∥，m n αβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（）．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③【答案】C【解析】命题②m ，n 结果可能异面，故②错误；命题③结果可能n α⊂，故③错误；命题①显然正确；命题④m n ∥，n m n ααβαβ⊥⎫⊥⇒⇒⊥⎬⎭∥，故④正确；综上正确命题为①④． 故选C ．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质、线面平行的性质和面面平行的性质等知识，涉及数形结合思想和分类与整合思想，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题型．解决此种主要采取特例法和排除法，例如：命题②m ，n 结果可能异面，故②错误；命题③结果可能n α⊂，故③错误．8．在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，则该四面体的体积为（）．A ．2B ．43C D ．23【答案】D【解析】112212323V =⨯⨯⨯⨯=．故选D ．9．设命题:p n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（）．A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n <【答案】C【解析】∵命题:p n ∃∈N ，22n n >， ∴p ⌝为：n ∀∈N ，22n n ≤． 故选C ．10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()0xf x >的解集为（）．A ．(,4)(4,)-∞-+∞B ．(4,0)(4,)-+∞C ．(,4)(0,4)-∞-D ．(4,4)-【答案】A【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，∴当0x <时，()(4)f x x x =-+，当0x >时，2()0()0404xf x f x x x x >⇔>⇔->⇔>，当0x <时，()0()0(4)04xf x f x x x x >⇔<⇔-+<⇔<-，∴不等式()0xf x >的解集为(,4)(4,)-∞-+∞ ． 故选A ．二、填空题11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =4c =，60A =︒，则b =__________． 【答案】1或3【解析】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，将a =4c =，60A =︒，代入得2430b b -+=，解得1b =或3b =，故答案为1或3．【点睛】此题考查了余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在ABC △中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解． 12．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是__________． 【答案】500π35=，故球的体积为34π500π533⨯=，故答案为500π3．13．已知向量a ，b 满足||||1a b == 且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则a 与b 的夹角为__________．【答案】120︒【解析】∵||||1a b == 且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴22()||||2||||cos 1a b a b a b θ+=++=，∴1cos 2θ=-，120θ=︒，即a 与b的夹角为120︒， 故答案为120︒．14．已知方程22240x y x y m +--+=表示圆，则m 的取值范围为__________． 【答案】(,5)-∞【解析】若方程22240x y x y m +--+=表示圆，则41640m +->，解得5m <，故m 的取值范围为(,5)-∞．故答案为(,5)-∞．15．如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作E F A E⊥交BCD ∠的外角平分线于F ．设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是__________．【答案】(]0,4【解析】如图，作FG BC ⊥，交BC 延长线于G ，则CG FG =，D A BCE F易证得E ABE GF ∽△△， ∴AB BEEG FG=， 设FG CG m ==，则4EG EC CG x m =+=-+， ∴44xm x x m m===-+．∴π()(4)cos (4)4f x EC CF x x x =⋅=-⋅=- ，由题知04x <<，所以0()4f x <≤，故()f x 的值域是(]0,4． 故答案为(]0,4．16．已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≤≤，使(0)z x ay a =+>取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为__________．【答案】1【解析】∵z x ay =+，则11y x z a a =-+，z a 为直线1zy x a a=-+在y 轴上的截距，要使目标函数的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个，∵0a >，把x ay z +=平移，使之与可行域的边界AC 重合即可， ∴1a -=-，1a =，故答案为1．【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用、二元一次不等式（组）与平面区域等知识，解题的关键是明确z 的几何意义，属于中档题；先根据约束条件画出可行域，由z x ay =+，利用z 的几何意义求最值，要使得取得最小值的最优解有无数个，只需直线z x ay =+与可行域的边界AC 平行时，从而得到a 值即可．GFE C BA D17．已知平面量(2,1)a ，(1,3)b =-，若向量()a a b λ⊥+ ，则实数λ的值是__________．【答案】5-【解析】∵(2,1)a = ，(1,3)b =-， ∴(2,13)a b λλλ⊥=-+， ∵()a a b λ⊥+ ， ∴()0a a b λ⋅+=，∴2(2)130λλ-++=，解得5λ=-， 故答案为5-．18．如图中的曲线为2()2f x x x =-，则阴影部分面积为__________．【答案】83【解析】由定积分的几何意义可得：0210448()d ()d 333S f x x f x x -⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰⎰， 故答案为83．三、解答题19．设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间．（2）若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围． （3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切点的横坐标为l ．【答案】（1）单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）1a -≤．（3）见解析．【解析】（1）当1a =时，2()ln (0)f x x x x x =+->，1(21)(1)()21x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '>，则12x >，令()0f x '<，则102x <<，∴函数()f x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）1()2f x x a x '=+-，∵()f x 在区间(]0,1上是减函数，∴()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，即12a x x-≤对任意(]0,1x ∈恒成立，令1()2g x x x =-，则min ()a g x ≤，易知()g x 在(]0,1上单调递减，∴min ()(1)1g x f ==-， ∴1a -≤．（3）设切点为(,())M t f t ，1()2f x x a x'=+-，∴切线的斜率12k t a t =+-，又切线过原点，()f t k t=，∴()12f t t a t t =+-，即22ln 21t at t t at +-=+-， ∴21ln 0t t -+=，存在性，1t =满足方程21ln 0t t -+=， 所以1t =是方程21ln 0t t -+=的根唯一性，设2()1ln t t t ϕ=-+，则1()20t t tϕ'-+>，∴()t ϕ在(0,)+∞上单调递增，且(1)0ϕ=，∴方程21ln 0t t -+=有唯一解1t =，综上，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，则切点的横坐标为1．【分析】（1）当1a =时，求出函数的导函数(21)(1)()x x f x x -+'=，分别令()0f x '>和()0f x '<，解出不等式得单调区间．（2）函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，即()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，利用分离参数法可得最后结果．（3）设切点为(,())M t f t ，对函数进行求导，根据导数的几何意义得12k t a t=+-，根据切线过原点，可得斜率为()f t k t =，两者相等化简可得21ln 0t t -+=，先证存在性，再通过单调性证明唯一性．【点睛】本题主要考察了导数与函数单调性的关系，导数的几何意义，属于中档题；由()0f x '>，得函数单调递增，()0f x '<得函数单调递减；函数单调递减等价于()0f x '≤恒成立，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即max ()a h x >或min ()a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出max ()h x 或min ()h x 即得解．20．已知圆C 过点(0,1)，，且圆心C 在y 轴上． （1）求圆C 的标准方程．（2）若过原点的直线l 与圆C 无交点，求直线l 斜率的取值范围．【答案】（1）22(3)4x y +-=．（2）k <<． 【解析】（1）∵圆心C 在y 轴上， ∴可设的标准方程为222()x y b γ+-=，∵圆C 过点(0,1)和点，∴2222(1)3(4)b r b r⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得32b γ=⎧⎨=⎩， ∴圆C 的标准方程为22(3)4x y +-=．（2）设过原点的直线l 的方程为y kx =，即0kx y -=， ∵l 与圆C 无交点，∴圆心(0,3)到直线l 的距离大于γ，2>，解得k <<．【分析】（1）由于圆心在y 轴上，利用待定系数法可设标准方程为222()x y b γ+-=，将点代入方程． 可得方程组，解出方程组即可； （2）设直线的方程为y kx =，直线与圆无交点，等价于圆心到直线的距离大于半径，列出不等式即可．21．已知向量(sin ,2)a x =- ，(1,cos )b x = 互相垂直，其中π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求sin x ，cos x 的值．（2）若5cos()x θθ-=，π02θ<<，求cos θ的值．【答案】（1．（2． 【解析】（1）∵a b ⊥， ∴sin 2cos 0a b x x ⋅=-=，即sin 2cos x x =，又∵22sin cos 1x x +=，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin x =cos x =．（2）∵5cos()5(cos cos sin sin )x x x θθθθθθ-=+=-=， ∴sin cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，π02θ<<，∴cos θ=【分析】（1）两向量垂直等价于数量积为0，即s i n2c o s x x =，结合三角恒等式及x 的取值范围可得sin x ，cos x 的值．（2）利用两角差的余弦展开可得sin cos θθ=，结合三角恒等式可得结果．22．如图，在三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AC AB AA ==，E ，F 分别是棱BC ，1A A 的中点，G 为棱1CC 上的一点，且1C F ∥平面AEG ．（1）求1CGCC 的值．（2）求证：1EG AC ⊥． （3）求二面角1A AG E --的余弦值． 【答案】（1）12．（2）见解析．（3）． 【解析】（1）因为1C F ∥平面AEG ，又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面AEG AG =， 所以1C F AG ∥．因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形， 所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =． （2）因为1AA ⊥底面ABC ， 所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得(2,0,0)C ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)C ，1(0,0,2)A ，因为E ，G 分别是BC ，1CC 的中点， 所以(1,1,0)E ，(2,0,1)G ．1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=．所以1EG CA ⊥ ， 所以1EG AC ⊥．（3）设平面AEG 的法向量(,,)n x y z =，则G AB CEF C 1B 1A110,0,n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x y x z +=⎧⎨+=⎩ 令1x =，则1y =-，2z =-，所以(1,1,2)n =--． 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)m =．所以cos ,||||n m n m n m ⋅==⋅，由题意知二面角1A AG E --为钝角， 所以二面角1A AG E --的余弦值为． 【分析】（1）求1CGCC 的值，关键是找G 在1CC 的位置，注意到1C F ∥平面AEG ，有线面平行的性质，可得1C F AG ∥，由已知F 为1AA 中点，由平面几何知识可得G 为1CC 中点，从而可得1CGCC 的值． （2）求证：1EG AC ⊥，有图观察，用传统方法比较麻烦，而本题由于1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又AB AC ⊥，这样建立空间坐标比较简单，故以A 为原点，以AC ，AB ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，取2AB =，可写出个点坐标，从而得向量EG ，1CA的坐标，证10EG CA ⋅=即可．（3）求二面角1A AG E --的余弦值，由题意可得向量AB是平面1A AG 的一个法向量，只需求出平面AEG 的一个法向量，可设平面AEG 的法向量(,,)n x y z =，利用0,0,n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即可求出平面AEG 的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求出二面角1A AG E -=的余弦值． 【考点】线面平行的性质，线线垂直的判断，二面角的求法．23．已知等比数列{}n a 中，11a =，48a =． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第6项和第8项，求123||||||||()n b b b b n +++∈N *． 【答案】（1）12n n a -=．（2）21232329,5,||||||||329140,6,n n n n n b b b b n n n n ⎧-+∈⎪+++=⎨++∈⎪⎩NN **≤≥． 【解析】（1）∵在等比数列{}n a 中，11a =，48a =， ∴2q =，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，n ∈N *．（2）∵3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第6项和第8项， ∴634b a ==，8516b a ==，设等差数列{}n b 的公差为d ，则：1171654b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得126b =-，6d =，∴等差数列{}n b 的通项公式1(1)632n b b n d n =+-=-，当5n ≤时，21212||||||()329n n b b b b b b n n +++=-+++=-+ ，当6n ≥时，22121256||||||()70(32970)329140n n b b b b b b b b n n n +++=-++++++=+-+=-+ ．综上所述：21232329,5,||||||||329140,6,n n n n n b b b b n n n n ⎧-+∈⎪++++=⎨++∈⎪⎩N N≤≥**． 【分析】（1）利用等比数列的定义可得2q =，故而可得等比数列通项公式． （2）根据3a ，5a 的值可求出等差数列{}n b 的通项公式632n b n =-，分为5n ≤和6n ≥两种情况可得数列前n 项和．。

北京市2017届高三综合练习数学（理）选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B A I A. {}32<<x x B. {}32<≤x x C. {}322<≤-≤x x x 或 D. R2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S A ．10 B ．16 C ．20 D ．243. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是 A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C ．32,4π⎫⎪⎭D ． 52,4π⎫⎪⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为A ．0B ．1C ．2D ．11 5．已知平面l =I αβ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中 错误．．的是 A ．若β//m ，则l m // B ．若l m //，则β//m C ．若β⊥m ，则l m ⊥ D ．若l m ⊥，则β⊥m6. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120o，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为A ．︒60B ．︒90C ．︒120D ． ︒1507.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为A ．1B ．2C ． 3 D. 48．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，21x x =+是否3n ≤1n n =+x输入开始1n =x 输出结束112yOx0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i-+= . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ， D 是CE 与⊙O 的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ， 则=CD .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ .13.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点是 .CBD乙丙O频率组距0.00020.00040.00080.0006甲三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积.16. （本小题共14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==， G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ；(Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.17. （本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.18. （本小题共13分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.A DFEB G C19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a L ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅， 设j j k k k b +++=Λ21 (1,2,3)j =L ，12()m g m b b b nm =+++-L (1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ；（Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-=L ，求函数)(m g 的最小值.答案及评分参考选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70o ； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分） 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分因为180A B C =--o , …………………4分所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=-o . (5)分（II ）因为0180A <<o o ，由（I ）结论可得：135A =o . …………………7分 因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<<o o . …………8分 所以sin 5B =sin 10C =. (9)分 由sin sin a cA C=得a = (11)分 所以ABC∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分 (Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，又,AE EB EB EF E ⊥=I ，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥，∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ………………………7分又,BH DH H BH =⊂I 平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分 ∵BD ⊂平面BHD ,∴BD EG ⊥. ………………………9分 解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分HA DFEB G C以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………6分∴(2,2,0)EG =u u u r ，(2,2,2)BD =-u u u r，………7分∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r, ………8分∴BD EG ⊥. …………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =u u u r是平面EFDA 的法向量. …………………………10分设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=u u u r u u u r，∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分 设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,6EB =<>==u u u r θn ， …………………………13分 ∴二面角C DF E --的余弦值为6- …………………………14分17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分(Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. (8)分……………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ……………13分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分 当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x-'=-=， ………………………2分………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分（Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分 ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>， 所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分 （III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分 由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+< 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分 综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b += ② ……………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得2m =±，所以||OP =……6分 当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->③ ……………8分设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k=+=-=+=++=++. ……………9分由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP ===== ………………………12分因为102k <≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+，2OP <≤. ………………………13分综上，所求OP的取值范围是. ………………………14分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、， 由,A B在椭圆上，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩①②………………………6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ ………………………7分由已知可得OP OA OB=+u u u r u u u r u u u r ，所以120120x x x y y y +=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分 由已知当1212y y k x x -=- ,即1212()y y k x x -=-⑥ ………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- ………………………10分与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+ ……………………11分 由22003412x y +=得2200443x y =-， 所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分 因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有2331443k ≤≤+，故2OP ≤≤. ………………………13分 所求OP的取值范围是. ………………………14分 20. （共13分） 解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)j k k k k k j ======L12342,213,2103,4,4(5,6,7,)m b b b b b m ==+==++====L112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)45 4.g b g b b g b b b g b b b b g b b b b b =-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-（2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g ① …………………7分 另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a =L ，则当m M ≥时必有m b n =，所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥≥-==+=L L所以()g m 的最小值为(1)g M -. …………………9分 下面计算(1)g M -的值：1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--L1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++-L233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-L L L L 23[2(1)]M k k M k =-+++-L12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++L L123()n M a a a a b =-+++++L123()n a a a a n =-+++++L …………………12分 ∵123100n a a a a n ++++-=L ， ∴(1)100,g M -=-∴()g m 最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

北京十五中高三数学理科期中考试试卷2017.11考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；把答案填涂在机读卡上．．．．．．．．．．） 1．设集合A ＝{x |－12＜x ＜2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∪B ＝( )A ．{x |－1≤x ＜2}B ．{x |－12＜x ≤1} C ．{x |x ＜2} D ．{x |1≤x ＜2}2．复数1－i1－2i的虚部为( )A ．15B ．35C ．－15D ．－353．函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是( )A ．1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭B ．1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭ C ．1|12x x x ⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且 D ．1|12x x x ⎧⎫>-≠⎨⎬⎩⎭且4．在平面直角坐标系xoy 中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，B ，则OA AB ⋅uu r uu u r的值为( )A ．1B 1C D 15．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则3a = ( )A ．1-B ．2-C ．4-D ．8-6．sin15cos15︒+︒的值为 ( )A ．12B ．4C ．2D ．27．“0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．一张报纸，其厚度为a ，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7次，这时，报纸的厚度为( )A ．8aB ．64aC ．128aD ．256a9．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．22B ．42C ．2D ．410．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D ．5212．某地某年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与11．某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能．．．是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）正视图招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )(A)计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业.(C) 机械行业最紧张. (D) 营销行业比贸易行业紧张.第Ⅱ卷 （非选择题，共25分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案作答在答题纸上．．．．．．．．．．） 13．等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝2，则a 5＝________．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，log 3x ，x >0， 则f [f (－3)]＝________．15．函数()sin(2)4f x x π=+的单调递增区间是________．16．设,其中实数满足,若的最大值为12,则实数．17．已知95个数a 1，a 2，a 3，…，a 95， {1,1},195,i a i ∈-≤≤则a 1a 2+a 1a 3+…+a 94a 95的最小正值是 ．三、解答题：（本大题共5个小题，共65分）18．（本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．y kx z +=y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x z =k 2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--x R ∈()f x ()f x [,]44ππ-已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，52=b ，4B π=，552cos =C ． （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积．20．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 中点. AB BC =，2AC =，1AA =（Ⅰ）求证：1B C //平面1A BM ；（Ⅱ）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（Ⅲ）在棱1BB 的上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面C C AA 11？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，说明理由．21．（本题满分13分）设()y f x =是()xg x e =在点(0,1)处的切线．（Ⅰ）求()y f x =的解析式； （Ⅱ）求证：()()f x g x ≤；（Ⅲ）设()()ln[()]h x g x f x ax =+-，其中a ∈R ．若()1h x ≥对[0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．ABCC 1A 1B 1M对于数集},,,,1{21n x x x X Λ-=，其中n x x x <<<<Λ210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X具有性质P ．例如}2,1,1{-=X 具有性质P ．（Ⅰ）若x ＞2，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值； （Ⅱ）若X 具有性质P ，求证：1X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（Ⅲ）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21Λ的通项公式．北京十五中高三年级、数学理科试卷答案2017.11一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D B D C A C 题号9101112二、填空题13、1 14、2 15、3[,],88k k k Z ππππ-+∈ 16、2 17、13三、解答题18、解：（Ⅰ），∴ 的最小正周期．……………6分（Ⅱ）由44x ππ-≤≤，得32444x πππ-≤+≤，所以sin(2)124x π≤+≤，1)4x π-≤+∴ 函数在区间，最小值为．………13分19、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，π<<C 0，且552cos =C ，所以55sin =C ． 因为B bC c sin sin =，且 52=b ，4B π=， 所以22225552sin sin =⨯==BCb c ．所以c = ……………………6分（Ⅱ）因为B ac c a b cos 2222-+=，所以01242=--a a ，所以6=a 或2-=a （舍）．()=sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333f x x x x x x ππππ++-+sin 2cos 2)4x x x π=+=+()f x 22T ππ==()f x [,]44ππ-1-所以6sin 21==∆B ac S ABC ． ……………………13分 20、解：（Ⅰ）连结1AB 交1A B 于O ，连结OM ．在1B AC ∆中，因为M ，O 分别为AC ， 1AB 中点， 所以OM //1B C ．又因为OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ， 所以1B C //平面1A BM ． ……………………3分（Ⅱ）因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以1AA BM ⊥．又因为M 为棱AC 中点，AB BC =， 所以BM AC ⊥． 因为1AA AC A =I ，所以BM ⊥平面11ACC A ． 所以1BM AC ⊥．因为M 为棱AC 中点，2AC =，所以1AM =． 又因为1AA =，所以在1Rt ACC ∆和1Rt A AM∆中，11tan tan AC C AMA ∠=∠． 所以11AC C A MA ∠=∠，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=o．所以11A M AC ⊥． 因为1BM A M M =I ，所以1AC ⊥平面1A BM ． ……………………8分 （Ⅲ）当点N 为1BB 中点时，即112BN BB =，平面1AC N ⊥平面11AAC C ． OMB 1A 1C 1CB A设1AC 中点为D ，连结DM ，DN ． 因为D ，M 分别为1AC ，AC 中点，所以DM //1CC ，且112DM CC =．又因为N 为1BB 中点，所以DM //BN ，且DM BN =． 所以BM //DN ， 因为BM ⊥平面11ACC A ， 所以DN ⊥平面11ACC A ．又因为DN ⊂平面1AC N ，所以平面1AC N ⊥平面11ACC A ．……………13分21、解：（Ⅰ）设()e x g x =，则'()e xg x =，所以'(0)1g =．所以()1f x x =+． ……………3分 （Ⅱ）令()()()m x g x f x =-．()m x 满足(0)0m =，且'()'()1e 1x m x g x =-=-．当<0x 时，'()<0m x ，故()m x 单调递减； 当0x >时，'()0m x >，故()m x 单调递增． 所以，()(0)0m x m ≥=(x ∀∈R ）． 所以()()f x g x ≤．……………8分（Ⅱ）()h x 的定义域是{|1}x x >-，且1()e 1xh x a x '=+-+． ① 当2a ≤时，由（Ⅰ）得 e 1xx ≥+，MB 1A 1C 1CBADN所以 11()e 12011xh x a x a a x x '=+-≥++-≥-≥++． 所以 ()h x 在区间[0,)+∞上单调递增，所以 ()(0)1h x h ≥=恒成立，符合题意． ② 当2a >时，由[0,)x ∈+∞，且()h x '的导数2221(1)e 1()e 0(1)(1)x xx h x x x +⋅-''=-=≥++， 所以 ()h x '在区间[0,)+∞上单调递增．10分因为 (0)20h a '=-<，1(ln )01ln h a a'=>+，于是存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0h x '=．12分所以 ()h x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增， 所以 0()(0)1h x h <=，此时()1h x ≥不会恒成立，不符合题意．综上，a 的取值范围是(,2]-∞．13分22、．[解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -.所以x =2b ，从而x =4. ……3分 （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a . 由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1X . 假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ， 则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则11x t tx x n ≥>=，矛盾； 若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1. ……8分（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .记},,,1,1{2k k x x A Λ-=，k =2, 3, …, n . 先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P .任取),(1t s a =，s 、tk A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ；当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t 1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t 1+k A 且1t k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与sk A 矛盾.所以1t k A .从而k A 也具有性质P .现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A Λ-=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A Λ有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A Λ-=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A Λ.取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s与t 中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1≥s ，所以q x sq k ≤=+1，这不可能；所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以kk q x =+1. 综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……13分[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于 原点对称.注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ΛI 共有n -1个数，所以),0(∞+I B 也只有n -1个数. 由于1221x x x x x x x x n n n n n n<<<<--Λ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--Λ113121x x x x x x n n n n n -----<<<Λ……12x x注意到12111x x x x x x n n >>>-Λ，所以12211x x x x x x n n n n ===---Λ，从而数列的通项公式为111)(12--==k k x xk q x x ，k =1, 2, …, n . ……13分精品文档随意编辑。

7 83 5 5 72 38 9 4 5 5 6 1 2 9 7 8 乙甲北京市2017届高三综合练习数学（理）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1）23sin()6π-= （A ） （B ）12-（C ）12（D ）2（2）设4log a =π，14log b =π，4c =π，则a ，b ，c 的大小关系是（A ） b c a >> （B ）a c b >> （C ） a b c >> （D ）b a c >>（3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）64（4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有 （A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >（5）已知p ，q 是简单命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的取值范围是（A ）[1,3]- （B ）[1,11] （C ）]3,1[ （D ）]11,1[-（7）定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+.当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++= （A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012a a a ，其中{0,1}i a ∈（0,1,2i =），传输信息为00121h a a a h ，001h a a =⊕，102h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．例如原信息为111，则传输信息为01111．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（A ）11010 （B ）01100 （C ）10111 （D ）00011第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）若1)nx的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n = ，展开式中的常数项为 ．（用数字作答）（10）已知正数,x y 满足x y xy +=，那么x y +的最小值为 ．（11）若直线12(32x t t y t =-+⎧⎨=-⎩，为参数)与曲线4cos (sin x a y a θθθ=+⎧⎨=⎩，为参数，0a >)有且只有一（12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a = ．（13）已知非零向量,a b 满足||1=b ，a 与-b a 的夹角为120，则||a 的取值范围是 ． （14）如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”．(p ,q )给出下列四个命题：① 若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个．② 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个． ③ 若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个． ④ 若p q =，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线． 其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题（共6小题，共80分。

2017-2018年高三理科会考模拟练习二一、选择题：1. 函数的最小正周期是（）A. 1B. 2C.D.【答案】D【解析】最小正周期是 ,选D.2. 已知集合，，如果，那么实数等于（）A. B. 0 C. 2 D. 4【答案】C【解析】因为,所以,选C.3. 如果向量，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,选B.4. 在同一直角坐标系中，函数与的图象之间的关系是A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】因为函数任一点关于轴对称点在上,反之亦然,所以函数与的图象之间的关系是关于轴对称,选A.5. 执行如图所示的程序框图．当输入时，输出的值为（）A.B. 0C. 2D.【答案】C【解析】执行循环为，输出2，选C.6. 已知直线经过点，且与直线平行，那么直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】A7. 某市共有初中学生270000人，其中初一年级，初二年级，初三年级学生人数分别为99000，90000，81000，为了解该市学生参加“开放性科学实验活动”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为3000的样本，那么应该抽取初三年级的人数为（）A. 800 B. 900 C. 1000 D. 1100【答案】B【解析】由分层抽样得应该抽取初三年级的人数为，选B.8. 在中，，AC=2，BC=3，那么AB等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由余弦定理得，选C.9. 口袋中装有大小和材质都相同的6个小球，其中有3个红球，2个黄球和1个白球，从中随机模出1个小球，那么摸到红球或白球的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据题意，口袋中有6个球，其中3个红球、2个黄球和1个白球，则红球和白球共有4个，故从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是=，故选D．考点：本题主要考查古典概型的概率计算。

点评：简单题，古典概型概率的计算，关键是明确基本事件总数及导致事件发生的基本事件数，此类问题，可借助于“树图法”不重不漏地写出各个基本事件。

2 3．若 x ,y 满足 ⎨ x + y ≤ 0 ,则 x + 2 y 的最大值为（ ）⎪ y ≥ 0 2D ．216B．北京市东城区 2017 届高三下学期二模数学试卷（理科）一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知集合 A = {x | x ﹣4＜0} ,则 RA =（ ）A ． {x | x ≤ -2或x ≥ 2}B ． {x | x ＜-2或x ＞2}C ．{x | -2＜x ＜2}D ．{x | -2 ≤ x ≤ 2}2．下列函数中为奇函数的是（ ）A ． y = x + cosxB ． y = x + sin xC ． y = xD ． y = e - x⎧ x - y + 1 ≥ 0⎪ ⎩A ． -1B ．0C ． 14．设 a, b 是非零向量,则“ a, b 共线”是“ | a + b |=| a | + | b | ”的（）A ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{a n }为递增数列, S n 是其前 n 项和．若 a + a = 1 5 17 2, a a = 4 ,则 S =（ ） 2 4 6A ． 2727 863 63 C ． D ．4 26．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n = 5,v = 1, x = 2 ,则程序框图 计算的是（）A ． 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1B ． 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 5C ． 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1D ． 24 + 23 + 22 + 2 + 147．动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A,P两点间的距离Y与动点P所走过的路程X的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是（）A．B．C．D．8．据统计某超市两种蔬菜A,B连续n天价格分别为a,a,a,⋯,a,和b,b,b,,令123n123M={m|a＜b,m=1,2,,n},若M中元素个数大于3n,则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格, m m记作：A,B,现有三种蔬菜A,B,C,下列说法正确的是（）A．若A<B,B<C,则A<CB．若A<B,B<C同时不成立,则A<C不成立C．A<B,B<A可同时不成立D．A<B,B<A可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分,共30分．9．复数i(2-i)在复平面内所对应的点的坐标为_______．10．在极坐标系中,直线ρcosθ+3ρsinθ+1=0与圆ρ=2a cosθ(a＞0)相切,则a=_______．11．某校开设A类选修课4门,B类选修课2门,每位同学需从两类选修课中共选4门,若要求至少选一门B类课程,则不同的选法共有_______种．（用数字作答）12．如图,在四边形ABCD中,∠ABD=45︒,∠ADB=30︒,BC=1,DC=2,cos∠BCD=角形ABD的面积为_______．14,则BD=_______；三13．在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点14．已知函数f(x)⎨min{|x-1|,|x-3|},x∈(2,4]{}⎩min|x-3|,|x-5|,x∈(4,+∞)（Ⅱ）若（x）在⎢,⎥上单调递减,求f(x)的最大值．flE A B,A在x轴上方．若直线的倾斜角为60︒,则OA=_______．⎧|x-1|,x∈(0,2]⎪⎪①若f(x)=a有且只有一个根,则实数a的取值范围是_______．②若关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是_______．三、解答题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．15．已知函数f(x)=3sin2x+a cos2x(a∈R)．（Ⅰ）若f(π)=2,求a的值；6⎡π7π⎤⎣1212⎦16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,40%以下为舒适,40%﹣60%为一般,60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园,并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数,求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17．如图,在几何体ABCDEF中,平面A D⊥平面C四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60︒,EA=ED=AB=2EF,EF∥AB,M为BC中点．（Ⅰ）求证：FM∥平面BDE；（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G,使BG⊥DE？若存在,求CGCF的值；若不存在,说明理由．n维T向量．对于两个n维T向量A,B,定义（A,B）=∑|a-b|．d,),0),A为12维T向量序列中的项,求出所有的m．18．设函数f(x)=(x2+ax-a)e-x(a∈R)．（Ⅰ）当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(-1))处的切线方程；（Ⅱ）设g(x)=x2-x-1,若对任意的t∈[0,2],存在s∈[0,2]使得f(s)≥g(t)成立,求a的取值范围．19．已知椭圆C：x2y2+a2b2=1(a＞b＞0)的短轴长为23,右焦点为F(1,0),点M是椭圆C上异于左、右顶点A,B的一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段B N的中点为E．证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF 上．20．对于n维向量A=(a,a,⋯,a),若对任意i∈{1,2,12n,n}均有a=0或a=1,则称A为i ini ii=1（Ⅰ）若A=(1,0,1,0,1)，B=(0,1,1,1,0)，求d(A B的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A,A,A,⋯,若A1=(1,1,1,1,1)且满足：d(A,A+1)=2,i∈N*．求证：1231i i该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0)．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A,A,A,,若A(1,1,,1)且满足：d(A,A)=m,m∈N*,i=1,2,3,,1231i i+112个若存在正整数j使得A(0,0,j12个j北京市东城区2017届高三下学期二模考试（理）数学试卷答案1．A2．B3．C4．B5．D6．A7．C8．C9．(1,2)10．111．1412．2；3-113．2114．①(1,+∞)；②(-4,-2)(2,4)15．解（Ⅰ）因为f(π)=3sin2631+a=2．22故得：a=1．ππ+a cos2=2, 66（Ⅱ）由题意：f(x)=3+a2sin(2x+θ),其中tanθ=a 3 ,∴函数的周期T=π,且7πππ-=, 12122所以当x=π12时,函数f(x)取得最大值,即f(x)maxππ=f()=3+a2sin(+θ)=3+a2,126π∴sin(+θ)=1,6πa∴θ=+2kπ,k∈Z.∴tanθ==3,∴a=3.33因此f(x)的最大值为23．16．解：设A表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1,2, i1根据题意,P(A)=,且事件A与A互斥．i i j ,9)．993 故 X 的期望 E( X ) = 0 ⨯ + 1⨯（Ⅰ）设 B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则 B = AA ．47所以 P(B) = P( A4A ) = P( A ) + P( A ) = 27 4 7． （Ⅱ）由题意,可知 X 的所有可能取值为 0,1,2,P( X = 0) = P( A 4A71A ) = P( A ) + P( A ) + P( A ) = ,8 4 7 8P( X = 1) = P( A3A 5A6A ) = P( A ) + P( A ) + P( A ) + P( A ) = 9 3 5 6 9 4 9, P( X = 2) = P( A1A ) = P( A ) + P( A ) = 2 1 2 2 9．所以 X 的分布列为X0 1 2P13 4 9 2 91 3 42 8+ 2 ⨯ = ．9 9 9（Ⅲ）从 8 月 16 日开始连续三天游览舒适度的方差最大．17．证明：（Ⅰ） 取CD 中点 N , 连结 M N 、FN ．因为 N , M 分别为 C D, BC 中点, 所以MN ∥BD ．又BD ⊂ 平面BDE, 且MN ⊄ 平面BDE, 所以MN ∥平面BDE ,因为 EF / / AB, AB = 2EF , 所以EF ∥CD, EF = DN ．所以四边形 EFND 为平行四边形．所以 FN ∥ED ． 又 ED ⊂ 平面BDE 且FN ⊄ 平面BDE , 所以 FN ∥平面BDE , 又 FNMN = N , 所以平面MFN ∥平面BDE ．又 FM ⊂ 平面MFN , 所以FM ∥平面BDE ． 解：（Ⅱ） 取AD 中点O , 连结EO, BO ．因为 EA = ED, 所以EO ⊥ AD ．因为平面 ADE ⊥ 平面ABCD, 所以EO ⊥ 平面ABCD, EO ⊥ BO ． 因为 AD = AB, ∠DAB = 60︒, 所以△ADB 为等边三角形．因为 O 为AD 中点, 所以AD ⊥ BO ．因为 EO, BO, AO 两两垂直, 设AB = 4,以 O 为原点, O A, O B, O E 为x, y , z 轴,如图建立空间直角坐标系 O - xyz ．-6-/15⎪ ⎩ ⎩由题意得, A (2,0,0 ), B(0,2 3,0) , C (-4,2 3,0) , D (-2,0,0 ), E (0,0,2 3) , F (-1, 3,2 3) ．CF = (3,- 3,2 3) , CE = (2,0,2 3) , BE = (3,-2 3,2 3) ．设平面 BDE 的法向量为 n =(x, y , z ),⎧n BE = 0 ⎧⎪ y - z = 0 则 ⎨ ,即 ⎨ ,⎪n DE = 0⎪ x + 3z = 0令 z = 1,则y = 1 , x = - 3 ．所以 n = (- 3,1,1) ．设直线 CF 与平面 BDE 成角为 α , sin α =| cos < CF ,n >|= 10 10,所以直线 CF 与平面ADE 所成角的正弦值为 10 10．（Ⅲ）设 G 是CF 上一点,且 CG = λ CF , λ ∈[0,1] ．因此点 G(3λ - 4, - 3λ + 2 3,2 3λ) ．BG = (3λ - 4, - 3λ,2 3λ) ．由 BG DE = 0 ,解得 λ = 49．所以在棱 CF 上存在点G 使得BG ⊥ DE ,此时CG 4= ．CF 9' ' ' ' ' 2] 2] '18．解：（Ⅰ）当 a = 0时,f (x )= x 2e - x ,∴ f (x )=( - x 2 + 2 x )e - x ,∴ f ( - 1)= - 3e ．又∵ f ( - 1)= e ,∴曲线 y = f ( x )在点(-1, f (-1)) 处的切线方程为：y - e = -3e(x + 1),即3ex + y + 2e = 0 ．（Ⅱ）“对任意的 t ∈ [0,2 ], 存在 s ∈ [0, 2]使得 f (s )≥ g (t )成立”,等价于“在区间[0,2 ]上, f (x )的最大值大于或等于g (x )的最大值”．∵ g ( x ) = x 2 - x - 1 = ( x - 1 )2 - 25 4,∴ g (x )在[0,2 ]上的最大值为g (2)= 1 ．f (x )=(2 x + a ) e - x -(x 2 + ax - a ) e - x = -e x [ x 2 +(a - 2)x - 2a] = e - x (x - 2)(x + a ) ,令 f (x )= 0, 得x = 2, 或x = -a ．①当 -a ＜0,即a ＞0时,f (x )＞0在[0，上恒成立 ,f (x )在[0， 上为单调递增函数,f (x )的最大值为f (2)=(4 + a ) 1 e 2,由(4 + a ) 1 e 2≥ 1,得a ≤ e 2 - 4②当 0＜ - a ＜2,即 - 2＜a ＜0 时,当 x ∈(0,- a )时,f (x )＜0, f (x )为单调递减函数,当 x ∈ (-a, -2)时,f '(x)＞0, f ( x ) 为单调递增函数．∴ f ( x )的最大值为f (0) = -a 或f (2) = (4 + a) 1e 2,-8-/15设点 M (x , y ),由 ⎨x 2 y 2 ,整理得(4k 2 + 3)x 2 + 16k 2 x + 16k 2 - 12 = 0 , ⎪ + = 1 ' 2] 2] , 3 + 4k 3 + 4k ①当 MF ⊥ x 轴时, x = 1,此时k = ± ．2 则 M (1,± ), N (2, ±2), E (2, ±1)．时,直线 MF 的斜率为 k=y 16k 2 + (4k 2 - 1)2 =由 -a ≥ 1,得a ≤ -1;由(4 + a)1≥ 1 ,得 a ≤ e 2-4 ．e 2又∵ -2＜a ＜0,∴- 2＜a = 1 ．③当 -a ＞2,即a ＜-2 时,f (x )＜0在[0，上恒成立 ,f (x )在[0， 上为单调递减函数,f (x )的最大值为f (0)= -a ,由 -a ≥ 1, 得a ≤ -1 ,又因为 a ＜-2,所以a ＜-2 ．综上所述,实数 a 的值范围是{x | a ≤ -1或a ≥ e 2 - 4} ．19．解：（Ⅰ）由题意得 2b = 2 3 ,则 b = 3 , c = 1,则a 2 = b 2 + c 2 = 4, 则a = 2 ,x 2 y 2 ∴椭圆 C 的方程为+= 1；43（Ⅱ）证明：“ 点B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上”等价于 “ E F 平分 ∠MFB ”．设直线 AM 的方程为y = k (x + 2)(k ≠ 0),则N (2,4 k ) E (2,2 k ) ．⎧ y = k ( x + 2)⎪ 0 0⎩ 4 316k 2 - 12 -8k 2 + 6由韦达定理可知 -2 x = ,则 x =0 2 0 2, y = k (x + 2)= 0 0 12k 3 + 4k 2 ,132此时,点 E 在∠BFM 的角平分线所在的直线 y = x - 1或y = - x + 1 ,即 EF 平分∠MFB ．②当 k ≠ 1 4k 0 = ,2 x - 1 1 - 4k 2 0所以直线 MF 的方程为4kx +(4k 2 - 1)y - 4k = 0 ．所以点 E 到直线 MF 的距离d = | 8k + 2k (4k 2 - 1) - 4k | | 4k + 2k (4k 2 - 1)| (4k 2 + 1)2=| 2k(4k 2 + 1)| | 4k 2 + 1| = 2k = BE ．即点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上,20．解：（Ⅰ）由于 A = (1,0,1,0,1) , B = (0,1,1,1,0) ,由定义 d ( A,B) = ∑ | a - b | , i + = 2 ,0) , A 为 12 维 T 向 量 序 列 中 的 项 , 此 时 m综上可知：点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上．n i ii =1可得 d (A, B )= 4 ．（Ⅱ）反证法：若结论不成立,即存在一个含 5 维 T 向量序列, A , A , A ,123, A ,n使得 A = (1,1,1,1,1) A = (0,0,0,0,0,0) ．1m因为向量 A = (1,1,1,1,1)的每一个分量变为 0,都需要奇数次变化,1不妨设 A 的第 (i = 1,2,3,4,5 )个分量1变化了2n -1 次之后变成 0, 1i所以将 A 中所有分量 1 变为 0 共需要:1(2 n - 1) + (2 n - 1) + (2 n - 1) + (2 n - 1) （2n -1） （n + n + n + n + n - 2）-1次,此数为奇数．1234512345又因为 d (A , A )= m , m ∈ N * ,说明 A 中的分量有 2 个数值发生改变,ii +1i进而变化到 A , 所以共需要改变数值 2(m -1)次,此数为偶数,所以矛盾．i +1所以该序列中不存在 5 维 T 向量(0,0,0,0,0 )．（ Ⅲ ） 存 在 正 整 数 j 使 得 A = (0,0,j12个=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．j3．解：作出 x ，y 满足 ⎨ x + y ≤ 0 表示的平面区域,⎪ y ≥ 0 得到如图的三角形及其内部,由 ⎨, x + y = 0 F = ∴ z 最大值 = F (- , ) = (26 - 1)解 析1．解：集合 A = {x | x 2-4＜0} = {x | -2＜x ＜2} ,则 RA = {x | x ≤ -2或x ≥ 2} ．故选：A ．2．解：对于 A 非奇非偶函数,不正确； 对于 B ,计算,正确,对于 C ,非奇非偶函数,不正确； 对于 D ,偶函数,不正确, 故选：B ．⎧ x - y + 1 ≥ 0 ⎪⎩⎧ x - y + 1 = 0 ⎩1 1解得 A (- , ) ,2 2设 z = （x ，y ） x + 2 y ,将直线 l ：z = x + 2 y 进行平移,当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最大值1 12 2 1 2．故选：C ．4．解：“ | a + b |=| a | + | b | ” “ a, b 共线”,反之不成立,例如 a = -b ≠ 0 ．∴ a , b 是非零向量,则“ a , b 共线”是“ | a + b |=| a | + | b | ”的必要不充分条件．故选：B ．5．解：设递增的等比数列{a1解得 a =, a = 8 ．125n }的公比为 q ,∵ a 1+ a = 5 172 , a a = 4 = a a ,2 4 1 5解得 q = 2 ,1 则 S = 2663= ．2 - 1 2故选：D ．-11-/1512 i 2 i ．2) θ θ 2 0) θn = 5，v = 1，x = 2，i = 4 满足条件 i ≥0,执行循环体,v =3,i =3满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 7，i = 2满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 15，i = 1 满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 31，i = 0 满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 63，i =﹣ 不满足条件 i ≥ 0 ,退出循环,输出 v 的值为 63 ．由于 25+24+23+22+2+1=63．故选：A ．7．解：由题意可知：对于 A 、B ，当P 位于A ，B 图形时,函数变化有部分为直线关系,不可能全部是曲线, 由此即可排除 A 、B ,对于 D ,其图象变化不会是对称的,由此排除 D , 故选 C ．8．解：若 a = b ，i = 1，， n ,ii则 A < B ，B < A 同时不成立,故选 C ．9．解：复数（﹣）= 2i + 1 在复平面内所对应的点的坐标为（1,2） 故答案为： (1， ．10．解：直线 ρ=2acosθ（a ＞0）化为直角坐标方程： x + 3 y + 1 = 0 ．圆 ρ = 2a cos （a ＞0）即 ρ 2 = 2ρ a cos （a ＞0）, 可 得 直 角 坐 标 方 程 ： x 2 + y 2 = 2ax , 配 方 为 ：（x - a ） + y 2 = a 2 ．可得圆心 (a ，，半径 a ．∵直线 ρcos θ + 3ρsin θ + 1 = 0 与圆 ρ = 2acos （a ＞0）相切,∴ | a + 1|= a ，a ＞0 ,解得 a = 1 ．2故答案为：1．11．解：根据题意,分 2 种情况讨论：①．选择 1 门 B 类课程,需要选择 A 类课程 3 门,则 B 类课程有 C 1 = 2 种选法,A 类课程有 C 3 = 4 种选法,24此时有 2 ⨯ 4 = 8 种选择方法；②．选择 2 门 B 类课程,需要选择 A 类课程 2 门,则 B 类课程有 C 2 = 1 种选法,A 类课程有 C 2 = 6 种选法,24此时有 1×6=6 种选择方法；3 y + 1 ,⎪⎪ y = 3 y + 1 ,解得： ⎨ 3 , , ⎨ 解：① f ( x ) ⎨| x - 3|, x ∈ (2,4] , ⎪| x - 5|, x ∈ (4, +∞) x ⎩2则一共有 8+6=14 种不同的选法；故答案为：14．12．解： △CBD 中,由余弦定理,可得, BD = 1 + 4 - 2 ⨯1⨯ 2 ⨯ 1= 2 ,4△ABD 中,利用正弦定理,可得 AD = 2sin 45︒ sin105︒= 2 3 - 2 ,1 1∴三角形 ABD 的面积为 ⨯ 2 ⨯ (2 3 - 2) ⨯ = 3 - 1,2 2故答案为 2, 3 - 1．13．解：抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F 的坐标为（1,0）∵直线 l 过F ,倾斜角为 60︒ ,即斜率 k = tan α = 3 ,∴直线 l 的方程为： y =3( ﹣1) ,即 x =3⎧ 3 ⎧ 2 3⎪ x = ⎧⎪ y = 2 3 ⎨⎪ y 2 = 4 x⎪⎩ x = 3 ⎪ x = 1 ⎪⎩ 3由点 A 在x 轴上方，则A(3， 3) ,则 OA = (3)2 + (2 3) 2 = 21 ,则 OA = 21 ,故答案为： 21 ．14．⎧| x - 1|, x ∈ (0,2]⎪ ⎩作出 f (x) 的函数图象如图所示：f42+4)15．（Ⅰ）根据f()=2，即可求a的值；⎢12,12⎥上单调递减,可得最大值．（29)此时CG1]'=f2]2]f≥g2]f x g g2]由图象可知当a＞1时，f(x)=a只有1解．②∵关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,∴将（x）的图象向左或向右平移T个单位后与原图象有3个交点,∴2＜T＜4,即﹣＜T＜﹣或2＜T＜4．故答案为：①(1，∞)，②(﹣4,-2)(2，．π6（Ⅱ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asinωx+ϕ）的形式,结合三角函数的图象和性质,f(x)在⎡π7π⎤⎣⎦16．设A表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1，，，．根据题意P(A)=i i 且事件A与A互斥．i j 1 9,,（Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则B=A4A．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．7（Ⅱ）由题意,可知X的所有可能取值为0,1,2,结合图象,利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出．（Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．17．（Ⅰ）取CD中点N，连结M N、FN，推导出四边形EFND为平行四边形．从而FN//ED．进而FN//平面BDE，由此能证明平面MFN//平面BDE，从而FM//平面BDE．（Ⅱ）取AD中点O，连结EO，BO．以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出直线CF与平面ADE所成角的正弦值．（Ⅲ）设G是CF上一点,且CG=λCF,λ∈[0，．利用向量法能求出在棱CF上存在点G使得BG⊥DE, 4=．CF918．（Ⅰ）当a=0时，f（x）（-x2+2x）e-x,由此能求出曲线y=（x）在点（-1，f(-1))处的切线方程．（Ⅱ）“对任意的t∈[0，，存在s∈[0，使得（s）（t）成立”,等价于“在区间[0，上，（x）的最大值大于或等于（）的最大值”．求出（x）在[0，上的最大值为g = ' = = ' + (4k - 1) 20．（Ⅰ）由于 A =（10101，），B =（01110，）,由定义 d ( A,B) = ∑ | a - b |,求 d （A ，B ）的值． ，，， ，，，（2） 1．f （x ） e - （x - 2）（x + a ），令f （x ） 0，得x = 2，或x = -a ．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数 a 的值范围．19．（Ⅰ）由题意可知 b = 3，c = 1，a = b + c = 4 ,即可求得椭圆方程；222（Ⅱ）由“点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上”等价于 “ E F 平分∠MFB ”设直线 A M 的方程,代入椭圆方程 , 由 韦 达 定 理 求 得 M 点坐标，分类讨论，当 MF ⊥ x 轴时，求得 k 的 值 , 即 可 求 得N 和E 点坐标，求得点E 在∠BFM 的角平分线所在的直线 y = x - 1或y = - x + 1 ,则 EF 平分∠MFB ,当 k ≠ 12时,即可求得直线 MF 的斜率及方程 ,利用点到直线的距离公式 ,求得 d = | 8k + 2k (4k 2 - 1)- 4k|16k 2 2 2=| BE | ,则点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上．n iii =1（Ⅱ）利用反证法进行证明即可；（Ⅲ）根据存在正整数 j 使得 A = (0,0,j12个,0) , A 为12维T 向量序列中的项，求出所有的 m ．j-15-/15。

北京十五中高三年级数学理科月考试卷2018.5考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。

第Ⅰ卷 （选择题，共40分）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；把答案填涂在机读卡上．．．．．．．．．．） 1．已知集合{}101，，A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B = （ ）(A){}0 (B){}1,0- (C){}0,1 (D){}1,0,1- 2．设,,a b c R ∈,且a b >,则( )（A ）ac bc >（B ）11a b< （C ）22a b > （D ）33a b >3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 ( )（A ）1y x= (B) x y e -= （C ）21y x =-+ (D) lg ||y x =4．在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于 ( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限5．在△ABC 中，3,5a b ==,1sin 3A =,则sin B = ( )（A ）15 （B ）59 （C （D ）16．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( )（A ）1 （B ）23（C ）1321（D ）610987北京市第十五中学2018年高三月考试题 班级___________ 姓名____________ 学号___________----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7．双曲线221y x m-=的充分必要条件是 ( )A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m > 8．在平面上，，,.若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 （非选择题，共30分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案作答在答题纸上．．．．．．．．．．） 9．若抛物线22y px =的焦点坐标为（1,0）则p =____；准线方程为_____. 10．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________.11．若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=，则公比q =__________；前n 项n S =_____.12．设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，表示的平面区域，区域D 上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为___________.13．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝_________.14．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号）12AB AB ⊥121OB OB ==12AP AB AB =+12OP <OA 0,2⎛ ⎝⎦,22⎛ ⎝⎦2⎛ ⎝2⎛ ⎝三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知函数2(=sin cos sin f x x x x -），R x ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若函数()f x 在区间[,]16a π上递增，求实数a 的取值范围.16．（本小题满分13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC // AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =，2BC CD EA ED ====. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由.1235567889 135567罗非鱼的汞含量（ppm ）18．（本小题满分13分）设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)2y e x =-+.（Ⅰ）求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.19．（本小题满分14分）抛物线2:4C y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）设l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； （Ⅱ）设||2||FA BF =，求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ， 记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b . （Ⅰ）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值；（Ⅱ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a ； （Ⅲ）设p a q =，12p a a a A +++=，求12q b b b +++的值.（用,,p q A 表示）北京十五中高三数学理科月考答案2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（I ）21cos 21(=sin cos sin sin 222x f x x x x x --=+），…………………………2分 1)42x π=+-，…………………………4分 ()f x 的最小正周期为π，…………………6分（II ）当16x π=时，则322416482x πππππ+=⨯+=<，…………………8分又函数()f x 在[,]16a π上递增，则242a ππ+≥-，即38a π≥-，…………………10分则实数a 的取值范围为3[,)816a ππ∈-. ………………13分 (16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ==，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591. ……………4分 （Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==， ………5分 ξ可能取0，1，2，3. ……………6分则3318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．…………10分 其分布列如下：……………12分所以842101231279927Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………13分 (17)（本小题满分14分）解：（I）由BC CD⊥，2BC CD==.,可得BD=2分由EA ED⊥，且2EA ED==，可得AD=又4AB=．所以BD AD⊥．…………………4分又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD=，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…………………6分（II）如图建立空间直角坐标系D xyz-，则(0,0,0)D，B，(C ，E，(2,BE=-，(2,0,DE=，(DC=．设(,,)x y z=n是平面CDE的一个法向量，则0DE⋅=n，0DC⋅=n，…………………8分即0,0.x zx y+=⎧⎨-+=⎩令1x=，则(1,1,1)=-n．…………………9分设直线BE与平面CDE所成的角为α，则||sin|cos,|||||BEBEBE⋅=<>===⋅αnnn．所以BE和平面CDE所成的角的正弦值3．…………………10分（III）设CF CE=λ，[0,1]λ∈．(DC=，CE=，DB=.x则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ． 设(,,)x'y'z'=m 是平面BEF 一个法向量， 则0EB ⋅=n ，0EF ⋅=n ，…………………12分 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ令1x'=，则21(1,0,)λλ-=-m ．若平面BEF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BEF ⊥平面CDE .……………14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)函数f (x )的定义域为(0,+∞), f '(x)=ae x ln x+e x -e x-1+e x-1. ……………2分 由题意可得f(1)=2,f '(1)=e. 故a =1,b =2. ……………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f(x)=e x ln x+e x-1,从而f(x)>1等价于xln x>xe -x -. ……………5分设函数g(x)=xln x,则g'(x)=1+ln x. ……………6分 所以当x ∈时,g'(x)<0;当x ∈∞ 时,g'(x)>0.故g(x)在上单调递减,在∞ 上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-. ……………8分设函数h(x)=xe -x -,则h'(x)=e -x (1-x). ……………10分 所以当x ∈(0,1)时,h'(x)>0;当x ∈(1,+∞)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-. ……………12分综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1. ……………13分 (19)（本小题满分14分）方法一：（Ⅰ）解：由题意，得(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-.由214y x y xì=-ïïíï=ïî, 得2610x x -+=, 设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , AB 中点M 的坐标为00(,)M x y ,则121122331212x x y x y x =+=-=-=+=-=-,故点(3(3A B ++-- --------------------------3分 所以120003,122x x x y x +===-=, 故圆心为(3,2)M ,直径||8AB =,所以以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=；----------------------6分 （Ⅱ）解：因为||2||FA BF =, 三点A , F , B 共线且点A , B 在点F 两侧, 所以2FA BF =,设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , 则1122(1,),(1,)FA x y BF x y =-=--,所以121212(1),2.x x y y ì-=-ïïíï=-ïî ○1 因为点A , B 在抛物线C 上,所以2211224,4y x y x ==, ○2 -------------------------10分 由○1○2，解得111122222,2,11,,22x x y y x x y y 祆==镲镲镲镲==-镲镲镲眄镲==镲镲镲镲镲=-=镲铑或所以11(2,(,(2,(22A B A B --或, ------------------------13分故直线l的方程为0,y --或0y +-.-------------------------14分 方法二：（Ⅰ）解：由题意，得(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-.由214y x y xì=-ïïíï=ïî, 得2610x x -+=, 设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , AB 中点M 的坐标为00(,)M x y , 因为264320,D =-=>所以12126,1x x x x +==,所以120003,122x x x y x +===-=, 故圆心为(3,2)M , ------------------------3分 由抛物线定义，得1212||||||()()822p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=, 所以12||8AB x x p =++=(其中p =2).所以以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=； -------------------6分 （Ⅱ）解：因为||2||FA BF =, 三点A , F , B 共线且点A , B 在点F 两侧, 所以2FA BF =,设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , 则1122(1,),(1,)FA x y BF x y =-=--,所以121212(1),2.x x y y ì-=-ïïíï=-ïî ○1 -----------------------9分 设直线AB 的方程为(1)y k x =-或1x =(不符合题意，舍去). 由2(1)4y k x y xì=-ïïíï=ïî，消去x 得 2440ky y k --=， 因为直线l 与C 相交于A , B 两点，所以0k ¹,则216160k D =+>, 12124,4y y y y k+==-, ○2 由○1○2，得方程组121212442y y k y y y y ìïï+=ïïïï=-íïï?-ïïïïî，解得12k y y ìï=-ïïï=-íïïï=ïïî或12k y y ìï=ïïï=íïïï=-ïïî-----------13分 故直线l的方程为0,y --或0y +-.---------------14分 (20)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. ……………… 4分 又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. ……………… 5分 设2 a k =，则 2k ≥.假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥. 所以21b =，2k b =. 因为{}n b 为等差数列， 所以公差210d b b =-=， 所以1n b =，其中*n ∈N . 这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. ……………… 6分 又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . ……………… 7分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， 所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. ……………… 8分 （Ⅲ）解：设2 (1)a k k =>，因为123n a a a a <<<<<，所以1211k b b b -====，且2k b =，所以数列{}n b 中等于1的项有1k -个，即21a a -个； ……………… 9分 设3 ()a l l k =>， 则112l k k b b b -+====， 且3l b =，所以数列{}n b 中等于2的项有l k -个，即32a a -个； ……………… 10分 ……以此类推，数列{}n b 中等于1p -的项有1p p a a --个. ……………… 11分第 11 页（共11页）所以1221321(1())))2((p q p b b b a a a a a p a p -++=-+--+-+++ 121(1)p p a a p a a p -=-----++ 121()p p p pa p a a a a -=+-++++ (1)p q A =+-.即12(1)q q A b b b p ++++=-. ……………… 13分。