04 命题的概念及符号化

第一节：命题符号化及联结词※引言命题逻辑是数理逻辑的基本组成部分，是谓词逻辑的基础，而数理逻辑是一门用数学方法研究推理过程的科学。

逻辑学主要研究各种论证，建立逻辑学的主要目的在于探索出一套完整的规则，按照这些规则就可以确定任何特定论证是否有效，这些规则通常称为推理规则。

在逻辑学中与其说注重的是论证本身，不如说注重的是论证形式，这样可以依据各项规则并使用机械方法，不难确定论证的有效性，但是，使用这种方法推理时，所遵循的规则一定不能具有二义性。

为表示任何成套规则或者理论，都需要为其配置一种语言。

所以，应制定一种形式语言，在这种形式语言中必须明确地和严格地定义好它的语义和语法，为了避免出现二义性，在形式语言种将使用一些符号，并给这些符号做出明确的定义，同时使用符号还有另外的含义：符号容易书写和处理。

※命题符号化及联结词数理逻辑研究的中心问题是推理，而推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，所以，表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。

【定义1】命题：能判断真假的陈述叫做命题注意：(1)命题的判断只有两种可能：正确的判断与错误的判断，前者称为命题的真值为真；后者称为命题的真值为假，(2)命题的真值通常使用大写英文字母T和F表示，或使用1和0表示(3)命题必须是具有唯一真值的陈述句【例题1】判断下列语句中哪些是命题(1)2是素数(2)雪是黑色的(3)532=+(4)明年十月一日是晴天(5)3 能被2整除(6)这朵花真好看呀！(7)明天下午有会吗？(8)请关上门！(9)5>+y x(10)地球外的星球上也有人其中：(1)(2)(3)(4)(5)(10)为命题【方法】(1)命题必须是陈述句，所以：非陈述句不是命题(2)命题必须有确定的真值，凡无确定真值的陈述句不是命题，特别注意：真值是否确定与我们是否知道它的真值是两码事(3)注意悖论：如：我正在说谎。

【定义2】原子命题：不能分解为更简单的陈述句叫做原子命题或简单命题【定义3】命题常项：对于简单命题如果它的真值是确定的，则：称其为命题常项或命题常元命题变项：真值可以变化的陈述句成为命题变项或命题变元，用小写的英文字母表示注意：命题变项不是命题【定义4】复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合构成的命题叫做复合命题【定义5】联结词类型(1)否定：设P为一个命题，P的否定是一个新的命题，记做：P如果P为T，则：P⌝为F；如果P为F，则：P⌝为T〖注意〗自然语言常用“非”、“不是”等(2)合取：两个命题P和Q的合取是一个复P∧合命题，记做：Q当且仅当P和Q同时为T时，QP∧的真值为T，否则为F〖注意〗自然语言常用“既……又……”、“不仅……而且……”、“虽然……但是……”等【例题2】将下列命题符号化(1)李平既聪明又用功(2)李平虽然聪明，但不用功(3)李平不但聪明，而且用功(4)李平不是不聪明，而是不用功〖解答〗用p：表示李平聪明，q：表示李平用功则：(1)(2)(3)(4)分别符号化为：∧⌝⌝⌝∧(∧)q∧qppqqpp⌝【练习】将下列命题符号化(1)苹果是红的与香蕉是黄的(2)他打开箱子，并拿出一件衣服(3)张小明和张小华是堂兄弟(4)4是偶数且是素数注意：(3)是简单命题(3)析取：两个命题P和Q的析取是一个复P∨合命题，记做：Q当且仅当P和Q同时为F时，QP∧的真值为F，否则为T〖注意〗自然语言常用“或”表示，注意或具有双义性，可以是兼容或，也可以是排斥或【例题3】将下列命题符号化(1)我选修英文课或数学课(2)灯泡有故障或开关有故障(3)通过电视看杂技或到剧场看这场杂技（异或）(4)小李或小张可以解答这个问题(4)条件：两个命题P和Q，其条件命题是P→一个复合命题，记做：Q当且仅当P的真值为T，且Q的真值为F时，QP→的真值为F，否则为T〖注意〗自然语言常用“只要……就……”、“……仅当……”、“只有……才……”、“如果……则……”等【例题4】将下列命题符号化(1)只要不下雨，我就骑车上班(2)只有不下雨，我才骑车上班(3)如果422=+，则：太阳从东方升起(4) 如果422≠+，则：太阳从东方升起(5)双条件（等价）：两个命题P和Q，其复P↔叫做等价命题合命题Q当且仅当与Q的真值相同时QP↔的真值为T，否则为F〖注意〗自然语言常用“当且仅当”等【例题5】将下列命题符号化3是奇数(1) 4+当且仅当22=(2) 422=+当且仅当3不是奇数(3) 422≠+当且仅当3是奇数(4) 422≠+当且仅当3不是奇数(5)两圆的面积相等当且仅当他们的半径相等(6)两角相等当且仅当它们是对顶角上述介绍的五种联结词成为逻辑联结词，在命题逻辑中，可用这些联结词将各种各样的复合命题符号化，其具体步骤是：(1)分析出各简单命题，将其符号化(2)使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起来，组成复合命题的符号化表示【例题6】将下列命题符号化(1)小王是游泳冠军或百米赛冠军(2)小王现在宿舍或在图书馆(3)选小王或小李中的一个人当班长(4)如果我上街，我就去书店看看，除非我很累(5)小王是计算机系的学生，他生于1968年或1969年，他是三好学生〖解答〗(1) 用p：表示小王是游泳冠军，q：表示小王是百米冠军，命题可符号化为：qp∨(2) 用p：表示小王在宿舍，q：表示小王在图书馆，命题可以符号化为：qp∨(3) 用p：表示小王当班长，q：表示小李当班长，命题可以符号化为：⌝p∧∧⌝∨(q)q()p(4)用p：表示我上街，q：表示我去书店看看，r：表示我很累则：命题可以符号化为：)⌝(q→r→p (5) 用p：表示小王是计算机系的学生，q：表示小王生于1968年，r：表示小王生于1969年，s ：表示他是三好学生 则：命题可以符号化为：()p q r s ∧∨∧五种联结词符也称为逻辑运算符，它与普通的数的运算符一样，可以规定运算的优先级，规定：优先级的运算顺序是：↔→∨∧⌝，如果出现的联结词相同，又无括号时，按从左到右的顺序运算；如果有括号，先进行括号中的运算第二节：命题公式及分类 ※命题公式由联结词q p q p q p q p p ↔→∨∧⌝,,,,和多个命题常项可以组成更复杂的复合命题，如果在复合命题中，r q p ,,等不仅可以代表命题常项，也可以代表命题变项，这样组成的复合命题形式叫做命题公式 抽象的讲，命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串【定义1】合式公式：(1)单个命题常项或变项1,0,,,,,,,, i i i r q p r q p 是合式公式(2)如果A 是合式公式，则：)(A ⌝也是合式公式(3)如果B A ,是合式公式，则：也是合式公式(4)只有有限次使用(1)、(2)、(3)组成的符号串才是合式公式可以将合式公式称为命题公式，简称公式〖注意〗(1)为方便起见，规定：)(A ⌝，)(),(),(),(B A B A B A B A ↔→∨∧的外层括号可以省略不写(2)根据定义，可知：r q p r q p q p ↔∧→→∨⌝)(),(),(等是命题公式，但r q p r pq →∨⌝→),等不是命题公式一个含有命题变项的命题公式的真值是不确定的，只有对它的每个命题变项用指定的命题常项代替后，命题公式才变成命题，此时其真值唯一确定，由此引出解释或赋值的定义【定义2】解释或赋值设A 为一个命题公式，n p p p ,,,21 为出现在A中的所有的命题变项，给n p p p ,,,21 指定一组真值，称为对A 的一个解释或赋值。

厦门大学数学科学学院命题及其符号化第1讲推理是由一系列的“命题”构成的。

推理“命题”“命题”“命题”前提结论能够判断真假（更确切地说，具有真假意义的）的陈述句。

即命题的判断结果。

真值只取两个值:真（用1表示）假（用0表示）真命题真值为真的命题。

假命题真值为假的命题。

命题命题的真值罗纳尔多是球星。

简单命题不能被分解成更简单的命题的陈述句。

简单命题的符号化用小写英文字母p,q,r,…或带有下标的小写英文字母p 1,p 2,p 3，…来表示。

例1.1复合命题由简单命题通过联结词联结而成的陈述句。

该假命题包含了两个简单命题，“如果…,则…”是联结词。

如果“3>2”,则“3=2”。

例1. 2定义1.1设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作⎤p，符号⎤称为否定联结词。

规定⎤p为真当且仅当p为假。

运算规则属于单目运算符p p 10 01定义1.2设p,q为二命题，复合命题“p并且q”（或“p与q”）称为p与q的合取式，记作p∧q，符号∧称为合取联结词。

规定p∧q为真当且仅当p和q 均为真。

pq p ∧q 000010100111类似求最小运算规则属于双目运算符定义1.3设p,q为二命题，复合命题“p或q”称为p与q的析取式，记作p∨q，符号∨称为析取联结词。

规定p∨q为假当且仅当p和q均为假。

运算规则属于双目运算符类似求最大p q p ∨q000011101111注意自然语言中的“或”“相容或”“排斥或”p ∨q(p ∨q )∧⎤( p ∧q )符号化为符号化为(p ∧⎤q) ∨(⎤p ∧q)定义1.4设p，q为二命题，复合命题“如果p，则q”称为p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p为蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件，符号→称为蕴涵联结词。

规定p→q为假当且仅当p为真q为假。

运算规则属于双目运算符p q p q 001 011 100 111难点为什么规定前件为假时，不论后件真假与否，蕴含式都为真呢？其实我们平时也采用这种思维方式，譬如，说“如果太阳从西边出来，我就不姓张。

第1 章命题逻辑第1 章命题逻辑授课内容知识点1：命题、联结词及命题符号化知识点2：命题公式、真值表及公式分类知识点3：等价式与等价演算知识点4：对偶式与蕴涵式知识点5：范式第1 章命题逻辑授课内容知识点6：主析取范式与主合取范式知识点7：命题演算的推理理论知识点8：有效结论证明方法知识点9：命题演算推理实例解析知识点1：命题、联结词及命题符号化一问题的引入命题逻辑是研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。

那么，什么是命题？如何表示和构成？如何进行推理的？例如：已知：如果今天星期三，那么公鸡会下蛋。

今天是星期三。

问题：根据以上前提你能推出什么结论？二命题、联结词及命题符号化1 命题的概念定义1.1.1：能够判断真假的陈述句称作命题。

命题仅有两种可能的真值：真和假，且二者只能居其一。

真用1或T表示，假用0或F表示。

由于命题只有两种真值，所以称这种逻辑为二值逻辑。

例1.1.1 判断下列语句哪些是命题①-1是整数。

②地球是围绕月亮转的。

③3+5=8。

④木星的表面温度是20 F。

⑤不要讲话！⑥你吃饭了吗？⑦本命题是假的。

（他正在说谎。

等）解①-④都是命题，①和③的真值为真，②真值是假，④不知真和假，但真值是可以确定的。

⑤⑥都不是命题。

⑦无法确定它的真值，当它假时，它便真；当它真时，它便假。

这种断言叫悖论。

2 命题的分类与表示•命题分为两类，第一类是原子命题，它是由再也不能分解成更为简单的语句构成的命题，称为原子命题。

用英文字母P，Q，R，…或带下标Pi，Qi，Ri，…表示之。

例如，用P表示武汉是一座美丽的城市，记为P：武汉是一座美丽的城市。

冒号：代表表示的意思•第二类是复合命题，它由原子命题、命题联结词和圆括号组成。

3 联结词1.3.1 否定联结词﹁P定义1.1.2设P表示一个命题，由命题联结词⎤和命题P连接成⎤P，称⎤P为P的否定式复合命题，⎤P读“非P”。

称⎤为否定联结词。

⎤P是真当且仅当P为假；否定联结词“⎤”的定义可由表1-1表示。

命题符号化举例命题符号化是一种将自然语言中的语句转化为符号语言的方法，它可以帮助我们更加准确地表达和理解逻辑命题。

下面我将以一个简单的例子来说明命题符号化的基本原理和应用。

假设我们要表达以下语句：如果今天下雨，那么我就不去打篮球。

我们可以使用命题符号化的方法将其转化为如下形式：p：今天下雨q：我不去打篮球则原语句可以表示为：p→q在这个例子中，p和q分别代表了原语句中的“今天下雨”和“我不去打篮球”，而箭头“→”则表示了“如果……，那么……”这个条件语句的关系。

这样，我们就可以用简洁明了的符号语言来表达原语句的逻辑含义，避免了自然语言中可能存在的歧义和模糊性。

除了简化语言表达之外，命题符号化还可以帮助我们进行逻辑推理和证明。

例如，我们可以利用命题符号化的方法来证明以下命题：如果一个数是偶数，那么它的平方也是偶数。

我们可以将其符号化为：p：一个数是偶数q：它的平方也是偶数则原命题可以表示为：p→q接下来，我们可以利用逻辑推理的方法来证明这个命题的真假。

假设p为真，则存在一个整数k，使得p可以表示为p：2k。

那么，q也可以表示为q：4k^2，即q为真。

因此，当p为真时，q也为真，原命题成立。

通过这个例子，我们可以看到命题符号化的应用不仅仅局限于简化语言表达，还可以帮助我们进行逻辑推理和证明，从而更加深入地理解逻辑命题的本质。

总之，命题符号化是一种非常有用的逻辑工具，它可以帮助我们更加准确地表达和理解逻辑命题，同时也可以帮助我们进行逻辑推理和证明。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择不同的符号化方法，以便更好地适应不同的逻辑问题。

11.1 命题及其符号化[教学重点] 命题的概念和六个联结词的定义[教学目的]1：使学生了解逻辑的框架，命题逻辑的基本要素是命题。

2：通过示例理解命题的概念。

3：通过示例理解合取、析取、异或、蕴涵、等价的含义，了解逻辑语言的精确性，为学习逻辑学打好基础。

4：学会命题符号化的方法。

[教学准备][教学方法]讲述法[课时安排]二课时。

[教学过程]讲述：逻辑是解决推理方法的学科，中心是推理，基本要素是命题，称为命题逻辑。

数理逻辑则是用数学方法研究推理；首先要理解命题是什么，然后了解怎样用数学方法描述命题，甚至逻辑推理。

后者式命题符号化的问题。

板书：第一章命题基本概念1.1 命题及其符号化讲述：首先讨论命题。

板书：一命题A) 概念：在二值逻辑中，命题是或真或假，而不会同时又真又假的陈述句。

判断要点：a 陈述句；b 或真或假，唯一真值；讲述：例：(1)地球是圆的；真的陈述句，是命题(2)2+3=5；真的陈述句，是命题(3)你知道命题逻辑吗？非陈述句，故非命题(4)3-x=5；陈述句,但真假随x的变化而变化，非命题(5)请安静！非陈述句，故非命题(6)火星表面的温度是800 C；现时不知真假的陈述句，但只能要么真要么假，故是命题(7)明天是晴天；尽管要到第二天才能得知其真假，但的确是要么真要么假，故是命题2(8) 我正在说谎；无法得知其真假，这是悖论注意到(4)不是命题，后续章节中会提到，这被称为谓词，命题函数或命题变项。

讲述：类似一般的事物，也有不同的命题，分成不同的类型。

板书：B) 分类：a 简单命题，通常用p,q,r,…,等表示命题变项，命题常项用1(T)，0(F)表示；b 复合命题，由简单命题和联结词构成；讲述：简单命题可以简单地用单个字母表示，但复合命题还包含了联结词，多个命题变项由联结词联结起来成为复合命题。

所以还需要考虑联结词的问题。

板书：二逻辑联结词讲述：首先最为简单的一种情况，就是日常语言中所说的“不”，这是对原有意思的的否定，所以称为否定式板书：1)否定式和否定联结词：命题p⌝p；符号⌝即为否定联结词。

命题逻辑的基本概念和符号命题逻辑作为逻辑学的一个重要分支，研究的是命题及其之间的关系。

在命题逻辑中，有一些基本概念和符号是我们必须要了解的。

一、命题命题是一个陈述性的句子，它要么是真的，要么是假的，不存在中间值。

比如，“天空是蓝色的”和“2加2等于5”都是命题。

我们可以用大写字母P、Q、R等来表示命题。

二、命题变项命题变项是指用小写字母p、q、r等来表示具体的命题。

它们通常用来表示多个具体的命题，而不是单个的命题。

三、命题运算符命题运算符是用来表示命题之间关系的符号。

常见的命题运算符有如下几种：1. 否定运算符（¬）：表示取反，即命题的否定。

若P为一个命题，那么¬P表示P的否定。

2. 合取运算符（∧）：表示逻辑“与”，即两个命题同时为真时结果才为真。

若P和Q都是命题，那么P∧Q表示P与Q同时为真。

3. 析取运算符（∨）：表示逻辑“或”，即两个命题其中一个为真时结果就为真。

若P和Q都是命题，那么P∨Q表示P或Q至少一个为真。

4. 条件运算符（→）：表示逻辑“如果...那么”，即若一个命题成立，则另一个命题也成立。

若P和Q都是命题，那么P→Q表示如果P成立，则Q也成立。

5. 双条件运算符（↔）：表示逻辑“当且仅当”，即两个命题同时为真或同时为假时结果为真。

若P和Q都是命题，那么P↔Q表示当且仅当P和Q同时为真或同时为假。

四、真值表真值表是用来列出命题在不同情况下的真值的表格。

通过真值表，我们可以确定命题在各种情况下的真假情况，从而帮助我们进行逻辑推理。

五、重言式和矛盾式重言式是指在所有情况下都为真的命题，矛盾式是指在所有情况下都为假的命题。

根据命题逻辑的基本规则，我们可以通过真值表判断一个命题是重言式还是矛盾式。

六、命题公式命题公式是由命题和命题运算符组成的复合命题。

常见的命题公式可以通过命题运算符的组合得到，如(P∧Q)→R。

综上所述，命题逻辑的基本概念和符号对于我们理解和分析命题之间的逻辑关系非常重要。

命题和命题符号命题，指的是陈述句，即具有真值（真或假）的陈述。

在逻辑学中，命题是推理的基本单位，是逻辑推理的对象和研究的焦点。

为了表达命题并对其进行逻辑推理，人们引入了命题符号系统。

一、命题符号的定义命题符号，也称为逻辑符号，是用来表示命题的符号。

在命题符号系统中，我们常用拉丁字母或希腊字母来表示命题。

如p、q、r、…、α、β、γ、…等。

二、命题符号的分类根据逻辑运算的类型，命题符号可以分为以下几类：1. 逻辑连接词逻辑连接词用来连接两个或多个命题，形成复合命题。

常见的逻辑连接词有：否定、合取、析取、条件、双条件等。

它们分别用以下符号表示：- 否定：¬（或 ~）- 合取：∧（或˄）- 析取：∨（或˅）- 条件：→（或→）- 双条件：↔（或↔）2. 括号括号是用来改变逻辑运算次序的符号，用来分组命题，明确运算的优先级。

常见的括号有小括号（）和方括号 [ ]。

三、命题符号的运算规则命题符号在逻辑推理中有着一定的运算规则，下面是常见的几种规则：1. 否定的规则命题p的否定为¬p，即p为真时，¬p为假；p为假时，¬p为真。

2. 合取的规则命题p合取q表示为p∧q，表示p和q同时为真时，p∧q为真；否则，p∧q为假。

3. 析取的规则命题p析取q表示为p∨q，表示p和q至少有一个为真时，p∨q为真；否则，p∨q为假。

4. 条件的规则命题p条件q表示为p→q，表示p为真且q为假时，p→q为假；否则，p→q为真。

5. 双条件的规则命题p双条件q表示为p↔q，表示p和q的真值相等时，p↔q为真；否则，p↔q为假。

四、命题符号的应用命题及其符号在逻辑学、数学、计算机科学等领域具有广泛的应用。

通过运用命题符号的运算规则，可以进行逻辑推理、证明论断的真假、构造和分析算法等。

总结：命题和命题符号是逻辑学中基本的概念。

命题是陈述语句，命题符号则是用来表示命题的符号。

命题符号存在不同的类型，包括逻辑连接词和括号。

离散数学命题符号化证明
将离散数学中的命题符号化证明分为两个部分：命题符号化和证明。

命题符号化是将离散数学中的概念和问题转化为形式化的符号表示。

在这一步骤中，我们需要定义命题符号化的语言和符号系统，并将离散数学中的概念及其关系用符号表示出来。

常用的符号包括逻辑连接词（如“与”、“或”、“非”）、量词（如“存在”、“全称”）以及特定的符号表示概念（如集合运算符号、关系运算符号等）。

在进行命题符号化时，我们还需要考虑符号系统的规范性和一致性，以确保符号表示的准确性和易读性。

证明是在命题符号化的基础上，利用逻辑推理方法进行推导，从已知的命题出发，通过逻辑推理推导出所要证明的命题。

证明可以采用直接证明、间接证明、数学归纳法等不同的证明方法。

在进行证明时，需要使用逻辑推理规则和定理，如分析规则、合取规则、析取规则、双重否定规则、蕴含规则、假言推理规则等。

证明过程中还需要小心地注意到每一步推理的合法性，避免出现逻辑错误。

总的来说，离散数学中的命题符号化证明是将离散数学中的概念和问题转化为符号表示，并通过逻辑推理方法推导出所要证明的命题。

这一过程需要严密的逻辑思维和推理能力，以确保证明的正确性和严谨性。