离散数学第一章命题逻辑知识点总结

数理逻辑部分第1章命题逻辑命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。

简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，p q为假当且仅当p 为真q 为假.p q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p q. 称作等价联结词.并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),, , , ,同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合{, , , , }，联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.命题常项命题变项命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)也是合式公式(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=B, B是n层公式；(b) A=B C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层p 1层p q 2层(p q)r 3层((p q) r)(r s) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定一组真值称为对A的一个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值12…n是指p1=1, p2=2, …, p n=nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值123…是指p=1,q=2 , r= 3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q p) q p的真值表例 B = (p q) q的真值表例C= (p q) r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q p)q p，B =(p q)q，C= (p q)r等值演算等值式定义若等价式A B是重言式，则称A与B等值，记作A B，并称A B是等值式说明：定义中，A,B,均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p q) ((p q) (r r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p(q r) (p q) rp(q r) (p q) r基本等值式双重否定律 : A A等幂律：A A A, A A A交换律: A B B A, A B B A结合律: (A B)C A(B C)(A B)C A(B C)分配律: A(B C)(A B)(A C)A(B C) (A B)(A C)德·摩根律: (A B)A B(A B)A B吸收律: A(A B)A, A(A B)A零律: A11, A00同一律: A0A, A1A排中律: A A1矛盾律: A A0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A B, 则(B)(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p(q r) (p q)r证p(q r)p(q r) （蕴涵等值式，置换规则）(p q)r（结合律，置换规则）(p q)r（德摩根律，置换规则）(p q) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p(q r) (p q) r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q(p q)解q(p q)q(p q) （蕴涵等值式）q(p q) （德摩根律）p(q q) （交换律，结合律）p0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p q)(q p)解 (p q)(q p)(p q)(q p) （蕴涵等值式）(p q)(p q) （交换律）1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1？(3) ((p q)(p q))r)解 ((p q)(p q))r)(p(q q))r（分配律）p1r（排中律）p r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) A(p1,p2,…,p n) A* (p1, p2,…, p n) (2) A(p1, p2,…, p n) A* (p1,p2,…,p n) 定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A B，则A* B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, q, p q, p q r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, q, p q, p q r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单合取式合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单析取式范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p q r, p q r既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的, （若存在）(2) 否定联结词的内移或消去(3) 使用分配律对分配（析取范式）对分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去）p q r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去第一个）(p q)r（消去第二个）(p q)r（否定号内移——德摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p q)r(p r)(q r) （对分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1i n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i 表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: m i M i , M i m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(p q r)(p q r) m1m3是主析取范式(p q r)(p q r) M1M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p q)r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p q)r(p q)r , （析取范式）①(p q)(p q)(r r)(p q r)(p q r)m 6m7,r(p p)(q q)r(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m 1m3m5m7③②, ③代入①并排序，得(p q)r m1m3m5m6m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p q)r(p r)(q r) , （合取范式）①p rp(q q)r(p q r)(p q r)M 0M2,②q r(p p)q r(p q r)(p q r)M 0M4③②, ③代入①并排序，得(p q)r M0M2M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p q)r m1m3m5m6m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式A的主析取范式含2n个极小项A的主合取范式为1.A为矛盾式A的主析取范式为0A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p q)(2) (s u)(3) ((q r)(q r))(4) ((r s)(r s))(5) (u(p q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p q)(s u)((q r)(q r))((r s)(r s))(u(p q))④ A (p q r s u)(p q r s u)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A (p q)((q r)(q r))(s u)(u(p q)) ((r s)(r s)) （交换律) B1= (p q)((q r)(q r))((p q r)(p q r)(q r)) （分配律）B2= (s u)(u(p q))((s u)(p q s)(p q u)) （分配律）B 1B2(p q r s u)(p q r s u) (q r s u)(p q r s)(p q r u)再令B3 = ((r s)(r s))得A B1B2B3(p q r s u)(p q r s u)注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p r, r s结论：s q证明① s附加前提引入②p r前提引入③r s前提引入④p s②③假言三段论⑤p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。

离散数学第一章命题逻辑知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数理逻辑部分第1章命题逻辑1.1 命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。

简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“⌝”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作⌝p. 符号⌝称作否定联结词，并规定⌝p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧⌝q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假. 例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧⌝u) ∨(⌝t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧⌝w)∨(⌝v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么4.蕴涵式与蕴涵联结词“→”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. →称作蕴涵联结词，并规定，p→q为假当且仅当p 为真q 为假.p→q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p→q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“↔”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p↔q. ↔称作等价联结词.并规定p↔q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p↔q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p↔q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),⌝, ∧, ∨, →, ↔同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：⌝, ∧, ∨, →, ↔，组成一个联结词集合{⌝, ∧, ∨, →, ↔}，联结词的优先顺序为：⌝, ∧, ∨, →, ↔; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.⏹命题常项⏹命题变项1.2 命题公式及分类▪命题变项与合式公式▪命题常项：简单命题▪命题变项：真值不确定的陈述句▪定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：▪(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1▪是合式公式▪(2) 若A是合式公式，则 (⌝A)也是合式公式▪(3) 若A, B是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是合式公式▪(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式▪说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=⌝B, B是n层公式；(b) A=B∧C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B∨C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B→C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B↔C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层⌝p 1层⌝p→q 2层⌝(p→q)↔r 3层((⌝p∧q) →r)↔(⌝r∨s) 4层▪公式的赋值▪定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定▪一组真值称为对A的一个赋值或解释▪成真赋值: 使公式为真的赋值▪成假赋值: 使公式为假的赋值▪说明：▪赋值α=α1α2…αn之间不加标点符号，αi=0或1.▪A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值α1α2…αn是▪指p1=α1, p2=α2, …, p n=αn▪A中仅出现p,q, r, …, 给A赋值α1α2α3…是指▪p=α1,q=α2 , r=α3 …▪含n个变项的公式有2n个赋值.▪真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q→p) ∧q→p的真值表例 B = ⌝ (⌝p∨q) ∧q的真值表例C= (p∨q) →⌝r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q→p)∧q→p，B =⌝(⌝p∨q)∧q，C= (p∨q)→⌝r1.3 等值演算⏹等值式定义若等价式A↔B是重言式，则称A与B等值，记作A⇔B，并称A⇔B是等值式说明：定义中，A,B,⇔均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p→q) ⇔ ((⌝p∨q)∨ (⌝r∧r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p→(q→r) ⇔ (p∧q) →rp→(q→r) (p→q) →r⏹基本等值式双重否定律 : ⌝⌝A⇔A等幂律：A∨A⇔A, A∧A⇔A交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)分配律: A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔ (A∧B)∨(A∧C) 德·摩根律: ⌝(A∨B)⇔⌝A∧⌝B⌝(A∧B)⇔⌝A∨⌝B吸收律: A∨(A∧B)⇔A, A∧(A∨B)⇔A零律: A∨1⇔1, A∧0⇔0同一律: A∨0⇔A, A∧1⇔A排中律: A∨⌝A⇔1矛盾律: A∧⌝A⇔0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A⇔B, 则Φ(B)⇔Φ(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r证p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) （蕴涵等值式，置换规则）⇔(⌝p∨⌝q)∨r（结合律，置换规则）⇔⌝(p∧q)∨r（德⋅摩根律，置换规则）⇔(p∧q) →r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p→(q→r) (p→q) →r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q∧⌝(p→q)解q∧⌝(p→q)⇔q∧⌝(⌝p∨q) （蕴涵等值式）⇔q∧(p∧⌝q) （德⋅摩根律）⇔p∧(q∧⌝q) （交换律，结合律）⇔p∧0 （矛盾律）⇔ 0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p→q)↔(⌝q→⌝p)解 (p→q)↔(⌝q→⌝p)⇔ (⌝p∨q)↔(q∨⌝p) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p∨q)↔(⌝p∨q) （交换律）⇔ 1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1(3) ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)解 ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)⇔ (p∧(q∨⌝q))∧r（分配律）⇔p∧1∧r（排中律）⇔p∧r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A⇔0A为重言式当且仅当A⇔1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些1.5 对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词⌝, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) ⌝A(p1,p2,…,p n) ⇔A* (⌝p1, ⌝p2,…, ⌝p n)(2) A(⌝p1, ⌝p2,…, ⌝p n) ⇔⌝A* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A ⇔ B，则A*⇔ B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, ⌝q, p∨⌝q, p∨q∨r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, ⌝q, p∧⌝q, p∧q∧r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A∨A2∨⋯∨A r, 其中A1,A2,⋯,A r是简单合取式1合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A∧A2∧⋯∧A r , 其中A1,A2,⋯,A r是简单析取式1范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p∧⌝q∧r, ⌝p∨q∨⌝r既是析取范式，又是合取范式(为什么)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的→, ↔（若存在）(2) 否定联结词⌝的内移或消去(3) 使用分配律∧对∨分配（析取范式）∨对∧分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p→⌝q)∨⌝r解 (p→⌝q)∨⌝r⇔ (⌝p∨⌝q)∨⌝r（消去→）⇔⌝p∨⌝q∨⌝r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p→⌝q)→r解 (p→⌝q)→r⇔ (⌝p∨⌝q)→r（消去第一个→）⇔⌝(⌝p∨⌝q)∨r（消去第二个→）⇔ (p∧q)∨r（否定号内移——德⋅摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p∧q)∨r⇔ (p∨r)∧(q∨r) （∨对∧分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1≤i≤n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称i为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: ⌝m i ⇔M i , ⌝M i ⇔m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r) ⇔m1∨m3是主析取范式(p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨q∨⌝r) ⇔M1∧M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p→⌝q)→r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∧q)∨r , （析取范式）①(p∧q)⇔ (p∧q)∧(⌝r∨r)⇔ (p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)⇔m6∨m7 ,r⇔(⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔m1∨m3∨m5∨m7 ③②, ③代入①并排序，得(p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∨r)∧(q∨r) , （合取范式）①p∨r⇔p∨(q∧⌝q)∨r⇔ (p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)⇔M0∧M2,②q∨r⇔ (p∧⌝p)∨q∨r⇔ (p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨r)⇔M0∧M4 ③②, ③代入①并排序，得(p→⌝q)→r⇔M0∧M2∧M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式⇔A的主析取范式含2n个极小项⇔A的主合取范式为1.A为矛盾式⇔A的主析取范式为0⇔A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式⇔A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项⇔A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p→q)(2) (s∨u)(3) ((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))(4) ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))(5) (u→(p∧q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p→q)∧(s∨u)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))∧(u→(p∧q))④ A ⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A⇔ (⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧(s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))∧((r∧s)∨(⌝r∧⌝s)) （交换律) B= (⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))1⇔ ((⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(q∧⌝r)) （分配律）B= (s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))2⇔ ((s∧⌝u)∨(p∧q∧s)∨(p∧q∧u)) （分配律）B∧B2 ⇔ (⌝p∧q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)1∨(q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧s)∨(p∧q∧⌝r∧u) 再令B3 = ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))得A⇔B1∧B2∧B3⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u) 注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍1.6 推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p→r, r→⌝s结论：s→q证明① s附加前提引入②p→r前提引入③r→⌝s前提引入④p→⌝s②③假言三段论⑤⌝p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。

注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。

也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。

选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。

如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。

关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。

当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。

蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。

注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。

也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。

选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。

如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。

关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。

当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。

蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。

注：克里特岛是希腊东南沿海的一个岛屿，位于地中海东部。 它的迈诺斯文明是世界是最早的文明之一，是欧洲文明的发 源地，并在公元前17世纪纪达到其财富和权势的顶峰。克里 特岛先后被希腊人、罗马人、拜占廷人、阿拉伯人、威尼斯 人和奥托曼土耳其人攻陷。岛上居民在1908年宣布与现代的 希腊结成联盟。
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二、命题的分类
定义1.4 设p、q为任意命题，复合命题“如 果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p 是蕴涵式的前件（hypothesis or premise），q为 蕴涵式的后件（conclusion or consequence）。 →称为蕴涵联结词。
规定：p→q为假当且仅当p为真q为假。即当 p为真q为假时，p→q为假；其它情况都为真。
（4）如果2是素数，则3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：如果，则
（5）2是素数当且仅当3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：当且仅当
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解：简单命题的符号化为：
p：3是偶数。 q：2是偶数。 r：2是素数。 s：4是素数。
为了得到复合命题的符号化 形式，我们还必须对五个联 结词进行符号化！
（6）a能被4整除仅当a能被2整除。 p→q
（7）除非a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（8）除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 p→q
（9）只有a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（1）3不是偶数。 Î 非3是偶数。
简单命题：3是偶数。
联结词：非
（2）2是偶素数。
Î 2是偶数并且2是素数。
简单命题：2是偶数。2是素数。 联结词：并且
（3）2或4是素数。
Î 2是素数或4是素数。
简单命题：2是素数。4是素数。 联结词：或

离散数学章节总结离散数学章节总结第⼀章[命题逻辑]1.逻辑运算1.否定:Negation? NOT2.交:Conjunction AND3.并:Disjunction OR4.蕴含:Implication IMPLIES5. Biconditional ? IFFXOR2.逆/否/逆否1.逆:converse2.否:inverse3.逆否:conytrapositive3.问题的⼀致性[逻辑等价]→q 等价于?p q 等价于? q→?p2. p q 等价于?p→qp q 等价于?( p→?q)3.(p→q)(p→r) 等价于p→(q r)(p→r)(q→r) 等价于(p q)→r(p→r)(q→r)等价于(p q) →r4.证明等价: 真值表逻辑符号证明找反例(假设左为假右必为假假设右为假左必为假)[ 谓词逻辑]1.量词存在任意量词顺序不能随机改变不全为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x )没有⼀个为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x ) [ 推理][ 证明]1.证明⽅法:直接证明间接证明反证列举证明(列举所有情况) 构造证明(构造出满⾜结论的元素)2.证明步骤:正向证明反向证明第⼆章[ 集合及运算]1.特殊集合: R Q Z ⽆穷/有限集2.集合表述⽅法: 列举法描述法图表法3.集合运算: 交/并/补/差/取⼦集P(S)/元素数|S|/乘积P ×Q /BA B A B A B A ?=??=? n i iA 1= X A A ∈ ni iA 1= XA A∈容斥原理A i i =1n=Ai1≤i ≤n ∑-A iAj1≤inA ii =1n4.证明集合相等:1.证明互为⼦集 2.从属表 3.逻辑证明[ 函数]1.函数的定义2.术语：定义域，值域，象，原象，范围， (a)/f(A)第五章[序、归纳]1.序：在某种关系下存在最⼩元素则为well-ordered2.第⼀数学归纳法：basic step P(C)成⽴and inductive step P(k)→P(k+1)3.第⼆数学归纳法:basic step:P(c)成⽴ and inductive step: 任意k⼩于等于nP(k) 成⽴→P(n+1) [递归]1.递归：以相同形式⽤⼩的项来定义的⼤的项不能⼀直递归下去（存在初始项）必须存在可以直接解决问题的⼀项①basic step:原有元素② recursive step:原有元素如何产⽣新元素2.字符串的定义：空字符，回⽂3.结构归纳：⽤于证明递归结构对所有元素都成⽴：①basic step:原有元素成⽴②recursive step:⽤递归式导出的新元素成⽴[递归算法]1.定义：把问题转化为相同形式但值更⼩的算法2.递归算法有初始步骤（是可终⽌的）并且递归时⾄少改变⼀个参数值使之向初始步骤靠拢3.递归时间复杂度⾼，可以⽤⾮递归（loop或 stack）来代替[程序的正确性]1.测试与证明：证明更有说服⼒2.证明：①程序会终⽌②（部分正确）程序只要可以终⽌得出的结论都是正确的正确的程序：对任意可能的输⼊都有正确的输出部分正确，完全正确triple：P{S}QP: precondition S: assertion Q:postconditionP{S}Q:当PQ正确时为部分正确当证明了S的可终⽌性为完全正确4.程序的基本语句：赋值，命题，条件，循环5.弱化结论：P{S}R R→Q：P{S}Q强化条件Q→R R{S}P：Q{S}P复合：P{S1}R R{S2}Q: P{S1;S2}Q第六章[加法乘法原理]1.加法乘法原理：⽅法不重复，互不影响，做1or2 m+n 做1and2 mn2.容斥原理：⽅法有重叠：|A B |=|A ||B ||A B |3.包含条件的问题。

离散数学笔记总结一、命题逻辑。

1. 基本概念。

- 命题：能够判断真假的陈述句。

例如“2 + 3 = 5”是真命题，“1 > 2”是假命题。

- 命题变元：用字母表示命题，如p,q,r等。

2. 逻辑联结词。

- 否定¬：¬ p表示对命题p的否定，若p为真，则¬ p为假，反之亦然。

- 合取wedge：pwedge q表示p并且q，只有当p和q都为真时，pwedge q才为真。

- 析取vee：pvee q表示p或者q，当p和q至少有一个为真时，pvee q为真。

- 蕴含to：pto q表示若p则q，只有当p为真且q为假时，pto q为假。

- 等价↔：p↔ q表示p当且仅当q，当p和q同真同假时，p↔ q为真。

3. 命题公式。

- 定义：由命题变元、逻辑联结词和括号按照一定规则组成的符号串。

- 赋值：给命题变元赋予真假值，从而确定命题公式的真值。

- 分类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式。

4. 逻辑等价与范式。

- 逻辑等价：若A↔ B是重言式，则称A与B逻辑等价，记作A≡ B。

例如¬(pwedge q)≡¬ pvee¬ q（德摩根律）。

- 范式：- 析取范式：由有限个简单合取式的析取组成的命题公式。

- 合取范式：由有限个简单析取式的合取组成的命题公式。

- 主析取范式：每个简单合取式都是极小项（包含所有命题变元的合取式，每个变元只出现一次）的析取范式。

- 主合取范式：每个简单析取式都是极大项（包含所有命题变元的析取式，每个变元只出现一次）的合取范式。

二、谓词逻辑。

1. 基本概念。

- 个体：可以独立存在的事物，如人、数等。

- 谓词：用来刻画个体性质或个体之间关系的词。

例如P(x)表示x具有性质P，R(x,y)表示x和y具有关系R。

- 量词：- 全称量词∀：∀ xP(x)表示对于所有的x，P(x)成立。

- 存在量词∃：∃ xP(x)表示存在某个x，使得P(x)成立。

命题逻辑的基本概念命题与联结词命题：非真即假的陈述句。

真值：命题的陈述句所表达的判断结果，真值只取真或假两种情况。

假命题：真值为假的命题。

真命题：真值为真的命题。

简单命题（原子命题）：无法继续拆分的命题。

复合命题：多个原子命题通过联结词联结而成的命题。

悖论：自相矛盾的陈述句。

否定联结词：符号﹁（复合命题非p称作p的否定式，记作﹁p）合取联结词：符号∧（复合命题p且q称作p与q的合取式记作p∧q）析取联结词：符号∨（复合命题p或q称作p与q的析取式记作p∨q）蕴涵联结词：符号→（复合命题如果p，则q称为p与q的蕴涵式记作p→q，p为蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件）蕴涵联结词的使用及判定方法：使用：1：因为p所以q这类直抒胸臆的表达时可以直接看作：p→q2：只有p才q这类具有转折性的表达时可以直接看作：q→p判定：1：同假时为真2：后件为真前件为假时为真3：后件为真前件为真时为真其他情况皆为假等价联结词：符号↔（复合命题p当且仅当q称为p与q的等价式）等价联结词的判定：1：当p与q同时为真时为真2：当p与q同时为假时为假命题公式及其赋值命题常项（命题常元）：可以直接理解为原子命题或简单命题命题变项（命题变元）：真值可以变化的陈述句，因此命题变项不是命题合式公式：命题变项使用联结词组合成的符号串（可以当作命题用联结词组合成的复合命题）合式公式层数的判定：下面p和q都是公式或者命题常项1：当个命题变项为0层公式。

2：﹁p为1层公式3：p∧q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）4：p∨q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）5：p→q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）6：p↔q为n+1层公式，n=max（p的层数，q的层数）赋值（解释）：对公式中的命题变项指定一个真值，真值为1即该命题变项为成真赋值，真值为0即该命题变项为成假赋值。

重言式（永真式）：即该合式公式在任意赋值下取值都是真矛盾式（永假式）：即该合式公式在任意赋值下取值都是假可满足式：即至少存在一种赋值下取值为真故重言式必是可满足式，可满足式不一定是重言式，可满足式必不是矛盾式，矛盾式必不是可满足式。

数理逻辑部分第1章命题逻辑1.1 命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。

简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“Ø”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作Øp. 符号Ø称作否定联结词，并规定Øp为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧Øq.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧Øu) ∨(Øt∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧Øw)∨(Øv∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“®”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p®q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. ®称作蕴涵联结词，并规定，p®q为假当且仅当p 为真q 为假.p®q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p®q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“«”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p«q. «称作等价联结词.并规定p«q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p«q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p«q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),Ø, Ù, Ú, ®, «同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：Ø, Ù, Ú, ®, «，组成一个联结词集合{Ø, Ù, Ú, ®, «}，联结词的优先顺序为：Ø, Ù, Ú, ®, «; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.⏹命题常项⏹命题变项1.2 命题公式及分类▪命题变项与合式公式▪命题常项：简单命题▪命题变项：真值不确定的陈述句▪定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：▪(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1▪是合式公式▪(2) 若A是合式公式，则 (ØA)也是合式公式▪(3) 若A, B是合式公式，则(AÙB), (AÚB), (A®B), (A«B)也是合式公式▪(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式▪说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=ØB, B是n层公式；(b) A=BÙC, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=BÚC, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B®C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B«C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层Øp 1层Øp®q 2层Ø(p®q)«r 3层((ØpÙq) ®r)«(ØrÚs) 4层▪公式的赋值▪定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定▪一组真值称为对A的一个赋值或解释▪成真赋值: 使公式为真的赋值▪成假赋值: 使公式为假的赋值▪说明：▪赋值a=a1a2…a n之间不加标点符号，a i=0或1.▪A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值a1a2…a n是▪指p1=a1, p2=a2, …, p n=a n▪A中仅出现p,q, r, …, 给A赋值a1a2a3…是指▪p=a1,q=a2 , r=a3 …▪含n个变项的公式有2n个赋值.▪真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q®p) Ùq®p的真值表例 B = Ø (ØpÚq) Ùq的真值表例C= (pÚq) ®Ør的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q®p)Ùq®p，B =Ø(ØpÚq)Ùq，C= (pÚq)®Ør1.3 等值演算⏹等值式定义若等价式A«B是重言式，则称A与B等值，记作AÛB，并称AÛB是等值式说明：定义中，A,B,Û均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p®q) Û ((ØpÚq)Ú (ØrÙr))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p®(q®r) Û (pÙq) ®rp®(q®r) (p®q) ®r⏹基本等值式双重否定律 : ØØAÛA等幂律：AÚAÛA, AÙAÛA交换律: AÚBÛBÚA, AÙBÛBÙA结合律: (AÚB)ÚCÛAÚ(BÚC)(AÙB)ÙCÛAÙ(BÙC)分配律: AÚ(BÙC)Û(AÚB)Ù(AÚC)AÙ(BÚC)Û (AÙB)Ú(AÙC)德·摩根律: Ø(AÚB)ÛØAÙØBØ(AÙB)ÛØAÚØB吸收律: AÚ(AÙB)ÛA, AÙ(AÚB)ÛA零律: AÚ1Û1, AÙ0Û0同一律: AÚ0ÛA, AÙ1ÛA排中律: AÚØAÛ1矛盾律: AÙØAÛ0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若AÛB, 则F(B)ÛF(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p®(q®r) Û (pÙq)®r证p®(q®r)ÛØpÚ(ØqÚr) （蕴涵等值式，置换规则）Û(ØpÚØq)Úr（结合律，置换规则）ÛØ(pÙq)Úr（德×摩根律，置换规则）Û(pÙq) ®r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p®(q®r) (p®q) ®r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) qÙØ(p®q)解qÙØ(p®q)Û qÙØ(ØpÚq) （蕴涵等值式）Û qÙ(pÙØq) （德×摩根律）Û pÙ(qÙØq) （交换律，结合律）Û pÙ0 （矛盾律）Û 0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p®q)«(Øq®Øp)解 (p®q)«(Øq®Øp)Û (ØpÚq)«(qÚØp) （蕴涵等值式）Û (ØpÚq)«(ØpÚq) （交换律）Û 1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1？(3) ((pÙq)Ú(pÙØq))Ùr)解 ((pÙq)Ú(pÙØq))Ùr)Û (pÙ(qÚØq))Ùr（分配律）Û pÙ1Ùr（排中律）Û pÙr（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当AÛ0A为重言式当且仅当AÛ1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些1.5 对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词Ø, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) ØA(p1,p2,…,p n) ÛA* (Øp1, Øp2,…, Øp n)(2) A(Øp1, Øp2,…, Øp n) ÛØA* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A Û B，则A*Û B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, Øq, pÚØq, pÚqÚr, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, Øq, pÙØq, pÙqÙr, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式AÚA2Ú¼ÚA r, 其中A1,A2,¼,A r是简单合取式1合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式AÙA2Ù¼ÙA r , 其中A1,A2,¼,A r是简单析取式1范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式pÙØqÙr, ØpÚqÚØr既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的®, «（若存在）(2) 否定联结词Ø的内移或消去(3) 使用分配律Ù对Ú分配（析取范式）Ú对Ù分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p®Øq)ÚØr解 (p®Øq)ÚØrÛ (ØpÚØq)ÚØr（消去®）Û ØpÚØqÚØr（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p®Øq)®r解 (p®Øq)®rÛ (ØpÚØq)®r（消去第一个®）Û Ø(ØpÚØq)Úr（消去第二个®）Û (pÙq)Úr（否定号内移——德×摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (pÙq)ÚrÛ (pÚr)Ù(qÚr) （Ú对Ù分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1£i£n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为i极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: Øm i Û M i , ØM i Û m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(ØpÙØqÙr)Ú(ØpÙqÙr) Û m1Úm3是主析取范式(pÚqÚØr)Ù(ØpÚqÚØr) Û M1ÙM5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p®Øq)®r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p®Øq)®rÛ (pÙq)Úr , （析取范式）①(pÙq)Û (pÙq)Ù(ØrÚr)Û (pÙqÙØr)Ú(pÙqÙr)Û m6Úm7 ,rÛ(ØpÚp)Ù(ØqÚq)ÙrÛ(ØpÙØqÙr)Ú(ØpÙqÙr)Ú(pÙØqÙr)Ú(pÙqÙr)Û m1Úm3Úm5Úm7 ③②, ③代入①并排序，得(p®Øq)®rÛ m1Úm3Úm5Ú m6Úm7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p®Øq)®rÛ (pÚr)Ù(qÚr) , （合取范式）①pÚrÛ pÚ(qÙØq)ÚrÛ (pÚqÚr)Ù(pÚØqÚr)Û M0ÙM2,②qÚrÛ (pÙØp)ÚqÚrÛ (pÚqÚr)Ù(ØpÚqÚr)Û M0ÙM4 ③②, ③代入①并排序，得(p®Øq)®rÛ M0ÙM2ÙM4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p®Øq)®rÛ m1Úm3Úm5Ú m6Úm7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式ÛA的主析取范式含2n个极小项ÛA的主合取范式为1.A为矛盾式Û A的主析取范式为0Û A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式ÛA的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项ÛA的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p®q)(2) (sÚu)(3) ((qÙØr)Ú(ØqÙr))(4) ((rÙs)Ú(ØrÙØs))(5) (u®(pÙq))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p®q)Ù(sÚu)Ù((qÙØr)Ú(ØqÙr))Ù((rÙs)Ú(ØrÙØs))Ù(u®(pÙq))④ A Û (ØpÙØqÙrÙsÙØu)Ú(pÙqÙØrÙØsÙu)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:AÛ (ØpÚq)Ù((qÙØr)Ú(ØqÙr))Ù(sÚu)Ù(ØuÚ(pÙq))Ù((rÙs)Ú(ØrÙØs)) （交换律) B= (ØpÚq)Ù((qÙØr)Ú(ØqÙr))1Û ((ØpÙqÙØr)Ú(ØpÙØqÙr)Ú(qÙØr)) （分配律）B= (sÚu)Ù(ØuÚ(pÙq))2Û ((sÙØu)Ú(pÙqÙs)Ú(pÙqÙu)) （分配律）BÙB2 Û (ØpÙqÙØrÙsÙØu)Ú(ØpÙØqÙrÙsÙØu)1Ú(qÙØrÙsÙØu)Ú(pÙqÙØrÙs)Ú(pÙqÙØrÙu)再令B3 = ((rÙs)Ú(ØrÙØs))得AÛ B1ÙB2ÙB3Û (ØpÙØqÙrÙsÙØu)Ú(pÙqÙØrÙØsÙu)注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍1.6 推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p®r, r®Øs结论：s®q证明① s附加前提引入②p®r前提引入③r®Øs前提引入④p®Øs②③假言三段论⑤Øp①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。

离散数学总复习第1章命题逻辑一、命题的判断例：1、仁者无敌！2、x+y<23、如果雪是红的，那么地球是月亮的卫星。

4、我正在说谎。

二、命题符号化例：1、蓝色和黄色可以调成绿色。

2、付明和杨进都是运动员。

3、刘易斯是百米游泳冠军或百米跨栏冠军。

4、李飞现在在宿舍或在图书馆。

5、只要天不下雨，我就步行上学校。

6、只有天不下雨，我才步行上学校。

7、并非只要你努力了，就一定成功。

三、主范式1、会等值演算；2、主合取和主析取范式的相互转换。

例：求命题公式P∨Q的主析取范式和主合取范式。

3、根据主范式进行方案的选择例1：某科研所要从3名科研骨干A,B,C中挑选1-2名出国进修，由于工作需要，选派需同时满足条件：（1）若A去，则C同去；（2）只有C不去，B才去；（3）只要C不去，则A或B就可以去。

问有哪些选派方案？例2：甲、乙、丙、丁四人有且仅有两个人参加比赛，下列四个条件均要满足：（1）甲和乙有且只有一人参加；（2）丙参加，则丁必参加；（3）乙和丁至多有一人参加；（4）丁不参加，甲也不会参加。

问哪两个人参加了比赛？四、简单的推理例1：如果明天天气好我们就去爬长城。

明天天气好。

所以我们去爬长城。

例3：课后习题16第2章谓词逻辑一、谓词逻辑中的命题符号化例：1、所有运动员都是强壮的2、并非每个实数都是有理数3、有些实数是有理数二、量词的辖域，约束变元换名、自由变元代替例：1、∀x(P(x)∨∃yR(x,y))→Q(x)2、∀x(P(x,z)∨∃yR(x,y))→Q(x)中量词的辖域，重名情况，改名等三、命题逻辑永真式的任何代换实例必是谓词逻辑的永真式。

同样，命题逻辑永假式的任何代换实例必是谓词逻辑的永假式。

例：1、(∀xP(x)→∃xQ(x))↔(⌝∀xP(x)∨∃xQ(x))2、(∀xP(x)→∃xQ(x))∧(∃xQ(x))→∀zR(z)))→(∀xP(x) →∀zR(z))1-2是永真式（重言式）3、⌝(∀xF(x) ∃yG(y)) ∧ ∃yG(y) 永假式（矛盾式）四、消量词例：个体域D={1,2}，对∀x∀y(P(x)→Q(y))消量词五、简单的前束范式会判断即可。

离散数学结构第1章命题逻辑基本概念第1章命题逻辑基本概念主要内容1. 命题与真值（或真假值）。

2. 简单命题与复合命题。

3. 联结词：否定联结词┐，合取联结词∧，析取联结词∨，蕴涵联结词→，等价联结词。

4. 命题公式（简称公式）。

5. 命题公式的层次和公式的赋值。

6. 真值表。

7. 公式的类型（重⾔式（或永真式），⽭盾式（或永假式），可满⾜式）。

学习要求1. 在5种联结词中，要特别注意蕴涵联结的应⽤，要弄清三个问题：① p→q的逻辑关系② p→q的真值③ p→q的灵活的叙述⽅法2. 写真值表要特别仔细认真，否则会出错误。

3. 深刻理解各联结词的逻辑含义。

4. 熟练地将复合命题符号化。

6. 会⽤真值表求公式的成真赋值和成假赋值。

1.1 命题与联结词 (2)⼀、命题的概念 (2)⼆、复合命题与联结词 (2)三、复合命题真假值 (5)1.2 命题公式及其赋值 (6)⼀、命题公式的定义 (6)⼆、公式的层次 (6)三、公式的赋值 (6)四、真值表 (7)五、公式的真假值分类 (8)1.1 命题与联结词⼀、命题的概念引⾔中的例⼦就是要对“我戴的是⿊帽⼦”进⾏判断。

这样的陈述句称为命题。

作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。

真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。

真命题表达的判断正确，假命题表达的判断错误。

任何命题的真值都是唯⼀的。

判断给定句⼦是否为命题，应该分两步：⾸先判定它是否为陈述句，其次判断它是否有唯⼀的真值。

例1.1 判断下列句⼦是否为命题。

(1) 4是素数。

(2) 是⽆理数。

(3) x⼤于y。

(4) ⽉球上有冰。

(5) 2100年元旦是晴天。

(6) π⼤于吗？(7) 请不要吸烟！(8) 这朵花真美丽啊！(9) 我正在说假话。

解:本题的(9)个句⼦中，(6)是疑问句，(7)是祈使句，(8)是感叹句，因⽽这3个句⼦都不是命题。

剩下的6个句⼦都是陈述句，但(3)⽆确定的真值，根据x,y的不同取值情况它可真可假，即⽆唯⼀的真值，因⽽不是命题。

离散数学重点笔记第一章，0命题逻辑素数=质数，合数有因子和或假必真同为真(p T q) A (q <--> r) , (p A q) An r, p A (q An r)等都是合式公式，而若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式n p A q) T r , (n (p q)) A ((r V s)斥甬p)分别为3层和4层公式r, ( p r (r T q)等不是合式公式。

p A q) Tn r【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。

公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值(1)双重否定律(2)等幂律A A; A V(3)交换律A A A A ; A V V A(4) 结合律(A A B) A A(BA C);(5) 分配律(A A B)V C(A V C)A(B V C)(6) 德•摩根律(A V B)A A B;(7) 吸收律A V( A A B)A; A A(A V B)(8)零一律A V 1 1 ； A A 00(9) 同一律A V 0A A A 1A(10) 排中律A V A1(11) 矛盾律A A A0(12) 蕴涵等值式A T V B(13) 假言易位A T A(14) 等价等值式(A T B)A( B T A)第二章，命题逻辑等值演算A(A V B)V；(A V B)(A A B)V( B V C)A C (A A C) V(B A C)A V B离散数学重点笔记(15) 等价否定等值式 (16) 归缪式 (A T B )A( A TB )A一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 主范式【A 小真，V 大假】 A 成真 小写极小项极大项1 盘我真赋值 名称舍式1成假赋值 名称-1 pA~i qA~i T 0 0 0P V<J V TI 0 0 0 n pAn 小工0 0 1pVqVn r 0 0 1 pAqAn T 0 1 0 血2 pV n qVr 0 1 0 n P A<I A T 0 1 1 口3 pVn qVn T 0 1 1pAn 10 0n pV-iVr 10 0 P A~I 1 0 1TLI5 1 pVqVn T 1 0 1 r 1 1 0 ms t pVn qVr 1 1 0 pA-qAr111 IDy n pVn aVn r ill【例】(p T q)T (n qp) =n (n p V q) V (q V n =(p An q) Vn p V q =(p An q) V (n p Anp) (消去宀) (n 内移)(已为析取范式) q) V (n p A q) V (n p A q) V (p A q) ( *) = m2 V m0 V ml V ml V m3 =m0 V ml V m2 V m3(幂等律、排序) (*)由n p 及q 派生的极小项的过程如下: n p = n p A (n q V q) =(n p An q)V (n p A q)q = (n p V p) A q =(n p A q) V (p A q)熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。

离散数学知识点总结（1）-命题逻辑⼀、命题命题：陈述句，有唯⼀真值/⾮真既假（不⼀定知道）简单命题/命题常元：真值确定。

命题变元p：常⽤来表⽰命题。

只有明确表⽰某个命题时才有具体的含意和确定的真值。

命题联结词/命题运算符：否定联结词┐、合取联结词∧、析取联结词∨、蕴含联结词→、与⾮联结词、或⾮联结词p→q：当且仅当p真q假时，p→q为假（因此它和┐p∨q等值）。

即p为假时，p→q必定为真⟷：当且仅当、充要条件、反之亦然⼆、命题公式命题公式/命题形式/合式公式/公式：（1）可满⾜式：⾮重⾔的可满⾜式重⾔式/永真式（2）⽭盾式/永假式（不存在成真指派）命题公式不是命题，只有当公式中的每⼀个命题变项都被赋以确定的真值时，公式的真值才被确定，从⽽成为⼀个命题。

三、命题逻辑的等值演算A⟺B：A和B有等值关系。

对任意真值指派，A与B取值相同。

A⟷B为永真式。

等值关系⼀般通过真值表法或者等值演算法得到。

⽽不等值，只能通过真值表法，找到某个真值指派使得⼀个为真⼀个为假德摩根律：┐(A∨B)⟺┐A∧┐B、┐(A∧B)⟺┐A∨┐B蕴含等值式：A→B⟺┐A∨B吸收律：A∨(A∧B)⟺A、A∧(A∨B)⟺A归谬式：(A→B)∧(A→┐B)⟺┐A例题：p→(q→r)⟺┐p∨(┐q∨r)⟺(┐p∨┐q)∨r⟺┐(p∧q)∨r⟺(p∧q)→r四、范式由有限个⽂字的析取所组成的公式称为析取式；由有限个⽂字的合取所组成的公式称为合取式形如A1∨A2∨…∨A n的公式称为析取范式DNF（其中A i为合取式）；形如A1∧A2∧…∧A n的公式称为合取范式CNF（其中A i为析取式）任⼀命题公式都存在着与之等值的析取范式和合取范式，但析取范式和合取范式可能不是惟⼀的。

极⼩项q1∧q2∧…∧q n：⼀共2n种解释，每个极⼩项只在⼀个解释下为真。

每个极⼩项对应⼀个⼆进制数，该⼆进制数正是该极⼩项真值为真的指派，即m0可表⽰┐q1∧┐q2∧…∧┐q n极⼤项q1∨q2∨…∨q n：⼀共2n种解释，每个极⼤项只在⼀个解释下为假。

大一离散数学一知识点总结一、集合论1.集合与元素：集合是由对象组成的整体，元素是集合中的个体。

2.集合的表示方法：列举法、描述法和图表法。

3.集合间的关系：包含关系、相等关系、空集和全集。

4.集合的运算：并集、交集、差集、补集和对称差集。

5.集合的基本定理：德摩根定律、分配律和交换律等。

6.集合的基数：集合中元素的个数（有限集和无限集）。

二、命题逻辑1.命题：能够判断真假的陈述句。

2.逻辑联结词：非、析取、合取、条件和双条件。

3.命题公式：由命题和逻辑联结词组成的公式。

4.真值表：列出所有可能的真值组合。

5.命题等价和命题蕴含：两个命题具有相同的真值时为命题等价，一个命题的真值在另一个命题真值为真的时候也为真则为命题蕴含。

6.逻辑等价式：两个命题公式具有相同的真值。

三、谓词逻辑1.谓词：含有变元的命题，变元通过谓词来确定。

2.量词：全称量词和存在量词。

3.谓词逻辑公式：由谓词、量词和逻辑联结词组成的公式。

4.真值表：列出所有可能的变元代入组合。

5.谓词等价和谓词蕴含：两个谓词公式具有相同的真值时为谓词等价，一个谓词公式的真值在另一个谓词公式真值为真的时候也为真则为谓词蕴含。

6.量词之间的分配律和德摩根定律。

四、数理逻辑1.永真式和重言式：在所有可能的真值组合下都为真的公式为永真式，只有真的真值组合下为真的公式为重言式。

2.可满足和不可满足：存在至少一个真值组合使得公式为真时为可满足，所有真值组合下都为假时为不可满足。

3.命题逻辑和谓词逻辑的相互转化。

4.归结法：通过使用归结规则进行推理。

5.形式化证明：使用公理和推理规则进行证明。

6.正确性和完备性：一个证明系统是正确的是指该系统能够证明所有真的命题，一个证明系统是完备的是指该系统能够证明所有可满足的公式。

五、代数结构1.半群：满足结合律的代数结构。

2.群：满足结合律、单位元和逆元的代数结构。

3.环：满足加法和乘法封闭性、结合律、分配律的代数结构。

例1.3 张明正在睡觉或游泳。
解：设P：张明正在睡觉。Q：张明正在游泳。本
例的“或”是“不可兼或”，而析取联结词是“ 可兼或”，因此不能直接对两命题析取。构造表 1-2如下：
1.2.2 命题的翻译
P Q 原命题 P→← Q
TT F
T
TF T
F
FT T
F
FF F
T
┐(P→← Q) F T T F
1.1.2 联结词
④ 关于→和⇆ 有的数学书或逻辑学的书籍中有其 他的说法，如称→为蕴含，称⇆ 为等价等，本书 中将避免使用这种称呼，因为在后面的章节我们 将另外定义“蕴含”和“等价”这两个概念。
1.2 命题公式与翻译
命题公式 命题的翻译
1.2.1 命题公式
联结词、原子命题变元、圆括号“(”、“)”， 可进行有限次地连接，得到许多字符串，那些有 意义的字符串，称为命题逻辑中的合式公式， 简 称命题公式或公式。
(A→B)和(A ⇆B)都是合式公式。
④ 经过有限次地使用①、②、③所得到的包含原 子命题公式、联结词和圆括号的字符串都是合式 公式。
1.2.1 命题公式
例1.1 (┐P)∨Q，(P→(Q∧R))都是合式公式，而 (P→Q)→(∧Q)，(P，( P→Q)⇆(∧R))都不是合式公
式。 为方便计，对于圆括号的使用和联结词的优先级
1.1.2 联结词
关于这五个联结词的定义，可以通过如表1-1的 真值表给出，关于真值表的定义，我们将在1.3节
详细说明。 表1-1 五个联结词的真值表
P Q ┐P P∧Q P∨Q P→Q P→Q←
TT F T T T
T
TF F F T F
F
FT T F T T
F

大一离散数学一知识点总结1. 集合- 集合的定义：无序的元素的集合。

集合中的元素是唯一的。

- 集合的表示方法：列举法和描述法。

- 集合的运算：交集、并集、差集和补集。

- 集合的性质：空集、全集、子集和真子集。

2. 命题与逻辑- 命题的定义：陈述句，可以判断其真假的陈述。

- 命题的逻辑运算：非、与、或、异或。

- 命题的真值表：列出不同情况下命题的真假值。

- 命题的合取、析取和蕴含关系。

3. 命题的等值演算- 等值式：两个命题具有相同的真值表。

- 等价命题：具有相同真值的命题。

- 等值演算定律：反身律、交换律、结合律、分配律等。

4. 数理归纳法- 数学归纳法的原理：若证明某个命题对于所有正整数成立，可以通过证明其基础情况成立以及在一个正整数上成立时，它在下一个正整数上成立的归纳步骤来实现。

- 数学归纳法的应用：证明等式、不等式、性质和结论等。

5. 集合运算的恒等式证明- 集合恒等式的性质：交换律、结合律、分配律等。

- 集合恒等式的证明：使用集合运算的定义和等值演算定律进行推导和变换。

6. 关系- 关系的定义：集合之间的对应关系。

- 关系的性质：自反性、对称性、传递性等。

- 关系的表示方法：矩阵、有序对、有向图等。

7. 函数- 函数的定义：一种特殊的关系，每个元素都唯一对应另一元素。

- 函数的性质：定义域、值域、单射、满射等。

- 函数的表示方法：映射图、表格、公式等。

8. 图论基础- 图的定义：由顶点和边构成的数学模型。

- 图的性质：有向图、无向图、路径、回路等。

- 图的表示方法：邻接矩阵、邻接表、图的遍历算法等。

以上是大一离散数学一的一些重要知识点的总结，通过学习和理解这些内容，能够奠定离散数学的基础并为进一步的学习打下坚实的基础。

Q）
(MQ) P（附加前提）
(2) SR
P
第一章命题逻辑
本题即证：M Q, MS, SR R→Q (3) RS T(2)E (4) S T(1)(3)I (5) MS P (6) M T(4)(5)I (7) (MQ) P (8) MQ T(7)E (9) (MQ)∧(QM) T(8)E (10) QM T(9)E (11) MQ T(10)E (12) Q T(6)(11)E (13) R→Q CP
第一章命题逻辑
请根据下面事实，找出凶手：
1. 清洁工或者秘书谋害了经理。 2. 如果清洁工谋害了经理，则谋害不会发生在午夜前。 3.如果秘书的证词是正确的，则谋害发生在午夜前。 4.如果秘书的证词不正确，则午夜时屋里灯光未灭。 5. 如果清洁工富裕，则他不会谋害经理。 6.经理有钱且清洁工不富裕。 7.午夜时屋里灯灭了。 令A:清洁工谋害了经理。 B:秘书谋害了经理。 C:谋害发生在午夜前。 D:秘书的证词是正确的. E:午夜时屋里灯光灭了。 H:清洁工富裕. G:经理有钱. 命题符号为： A∨B,AC,DC,DE,HA,G∧H,E ?
第一章命题逻辑
例题1-8.2 用命题逻辑推理方法证明下面推理的 有效性： 如果我学习，那么我数学不会不及格。如果我不 热衷于玩朴克，那么我将学习。但是我数学不 及格。因此，我热衷于玩朴克。 解 设 P：我学习。 Q：我数学及格。 R：我热衷于玩朴克。 于是符号化为： P→Q，R→P，Q R
1-8 推理理论
第一章得出一个新 的判断的思维过程。称这些已知的判断为前提。 得到的新的判断为前提的有效结论。 实际上，推理的过程就是证明永真蕴含式的过程， 即令H1，H2，…，Hn是已知的命题公式(前提)， 若有 H1∧H2∧....∧Hn C 则称C是H1，H2，…Hn的有效结论，简称结论。