人教版初中数学二次函数解析
一、选择题
1．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2（m ＞0）与x 轴交于点A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是（ ）
A ．12≤m ＜1
B ．12＜m ≤1
C ．1＜m ≤2
D ．1＜m ＜2 【答案】B
【解析】
【分析】 画出图象，利用图象可得m 的取值范围
【详解】 ∵y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2＝m （x ﹣2）2﹣2且m ＞0，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x ＝2．
由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．
①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意． 将（1，﹣1）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1＝m ﹣4m +4m ﹣2．解得m ＝1． 此时抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +2．
由y ＝0得x 2﹣4x +2＝0．解得12120.622 3.42
x x ==-
≈+≈，． ∴x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意． 则当m ＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．
∴m ≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】
答案图1（m ＝1时） 答案图2（ m ＝时）
②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意． 此时x 轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．
将（0，0）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0＝0﹣4m +0﹣2．解得m ＝12
．
此时抛物线解析式为y＝1
2
x2﹣2x．
当x＝1时，得
13
1211
22
y=⨯-⨯=-<-．∴点（1，﹣1）符合题意．
当x＝3时，得
13
9231
22
y=⨯-⨯=-<-.∴点（3，﹣1）符合题意．
综上可知：当m＝1
2
时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、
（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴m＝1
2
不符合题．
∴m＞1
2
．
综合①②可得：当1
2
＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域（含边界）内有七个
整点，
故选：B．
【点睛】
考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键.
2．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）
A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x＜4时﹣4≤y＜5，进而求解；
【详解】
解：∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x，
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，∵﹣1＜x＜4，
∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，
∴﹣4≤t＜5；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
3．如图，二次函数()2
00y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：
①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()2
00ax bx c a ++=≠有一个根为1a
-，其中正确的结论个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】 由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣1a 代入方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案.
【详解】
由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣2b a
＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣
1a ，把﹣1a 代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0， 即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.
4．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）
