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第十课 二次函数的解析式一、知识点：二次函数的三种表示方式：⑴ 一般式：____________________________________；⑵ 顶点式：____________________________________；⑶ 交点式：____________________________________．二、例题例1 已知二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线1+=x y 上，并且图象经过点)1,2(，求此二次函数的解析式．例2 已知二次函数的图象过点)0,3(-、)0,1(，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．例3 已知二次函数的图象的顶点为)18,2(-，它与x 轴的两个交点之间的距离为6，求该函数的解析式．例4 已知二次函数的图像关于直线3=y 对称，最大值是0，在y 轴上的截距是1-，求这个二次函数的解析式．变式 已知y 是x 的二次函数，当2=x 时，4-=y ，当4=y 时，x 恰为方程0822=--x x 的根，求这个函数的解析式．例５ 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．例６ 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x ＝－1； （2）直线y ＝1．三、练习：1.填空：（1）已知二次函数的图象经过点)2,1(-，)3,0(-，)6,1(--,则它的解析式是__________．（2）已知二次函数当3=x 时，函数有最小值5，且经过点)11,1(,则它的解析式是__________．（3）已知二次函数的图像与x 轴的两交点间的距离是8，且顶点为)5,1(M ，则它的解析式是________．（4）函数4)1(2+--=x y 的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位后的图象的解析式是_______．（5）函数3)3(22-+-=x y 的图象关于直线1-=x 对称的图象对应的解析式为______________．2. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图像经过点)1,1(--，其对称轴为2-=x ，且在x 轴上截得的线段长为22，求函数的解析式．3. 已知二次函数25)21(2+-=x a y 的最大值为25，且方程025)21(2=+-x a 两根的立方和为19，求函数表达式．4. 已知二次函数22-+-=m mx x y 。
二次函数总复习经典练习题1．抛物线y=－3x2＋2x－1 的图象与坐标轴的交点情况是( )(A) 没有交点．(B) 只有一个交点．(C) 有且只有两个交点．(D) 有且只有三个交点．2．已知直线y=x 与二次函数y=ax2－2x－ 1 图象的一个交点的横坐标为1，则 a 的值为( )(A)2 ．(B)1 ．(C)3 ．(D)4 ．3．二次函数y=x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ ABC的面积为( ) (A)6 ．(B)4 ．(C)3 ．(D)1 ．24．函数y=ax 2＋bx＋ c 中，若a> 0，b< 0，c<0，则这个函数图象与x 轴的交点情况是( )(A) 没有交点．(B) 有两个交点，都在x 轴的正半轴．(C) 有两个交点，都在x 轴的负半轴．(D) 一个在x 轴的正半轴，另一个在x 轴的负半轴．5．已知(2 ，5) 、(4 ，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c 上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是( ) a(A) x= ．(B) x=2．(C) x=4．(D) x=3．b6．已知函数y=ax2＋bx＋ c 的图象如图 1 所示，那么能正确反映函数y=ax＋ b 图象的只可能是( )7．二次函数y=2x2－4x＋5 的最小值是_____ ．28．某二次函数的图象与x轴交于点( －1，0) ，(4 ，0) ，且它的形状与y=－x2形状相同．则这个二次函数的解析式为_____ ．9．若函数y=－x2＋4 的函数值y> 0，则自变量x 的取值范围是______ ．10．某品牌电饭锅成本价为70 元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：801001101008060为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为元．11．函数y=ax 2－（a－3）x＋ 1 的图象与x 轴只有一个交点，那么 a 的值和交点坐标分别为12．某涵洞是一抛物线形, 它的截面如图3 所示, 现测得水面宽AB 1.6m, 涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m, 在图中的直角坐标系内, 涵洞所在抛物线的解析式为13．（本题8 分）已知抛物线y=x2－2x－2 的顶点为A，与y 轴的交点为B，求过A、B 两点的直线的解析式．14．（本题8分）抛物线y=ax2＋2ax＋a2＋2的一部分如图3所示，求该抛物线在y 轴左侧与x 轴的交点坐标．15．（本题8 分）如图4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a> 0）的顶点是C（0，1），直线l ：y＝－ax＋3 与这条抛物线交于P、Q两点，且点P 到x 轴的距离为2．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）求点Q的坐标．16．（本题8 分）工艺商场以每件155 元购进一批工艺品．若按每件200 元销售，工艺商场每天可售出该工艺品100 件；若每件工艺品降价 1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？17．（本题10 分））杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第 1个月到第x 个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y=ax2＋bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元) ，g也是关于x 的二次函数．(1) 若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元．求y 关于x 的解析式；(2) 求纯收益g 关于x 的解析式；(3) 问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？18(本题10分)如图所示，图4- ①是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A3B3=50m，5 根支柱A1B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5 之间的距离均为15m，B1B5∥ A1A5，将抛物线放在图4- ②所示的直角坐标系中．(1) 直接写出图4- ②中点B1、B3、B5的坐标；(2) 求图4- ②中抛物线的函数表达式；(3) 求图4- ①中支柱A2B2、A4B4 的长度．B319、如图5，已知A(2，2)，B(3，0)．动点P( m，0)在线段OB上移动，过点P作直线l 与x 轴垂直．(1) 设△ OAB中位于直线l 左侧部分的面积为S，写出S与m之间的函数关系式；(2) 试问是否存在点P，使直线l 平分△ OAB的面积？若有，求出点P 的坐标；若无，请说明理由．更多学习方法和中高考复习资料，免费下载，扫一扫关注微信：答案：一、1．B 2 ．D 3 ．C 4 ．D 5 ．D 6．B二、 7．3 8 ．y =－ x ＋3x ＋4 9 ．－ 2< x <2 10 ．1301 115 211． a =0， （ ，0）；a =1，（－1，0）；a =9，（ ，0） 12 ． y x 23 3 413．抛物线的顶点为 （1，－ 3），点 B 的坐标为 （0，－ 2）．直线 AB 的解析式为 y =－x －2 14．依题意可知抛物线经过点 （1，0） ．于是 a ＋ 2a ＋ a 2＋ 2=0，解得 a 1=－1，a 2=－2．当 a = －1 或 a =－2 时，求得抛物线与 x 轴的另一交点坐标均为 （ －3，0）2 15． （1） 依题意可知 b =0，c =1，且当 y =2 时，ax 2＋1=2①，－ ax ＋3=2②．由①、②解得 a =1， x =1．故抛物线与直线的解析式分别为： y =x 2＋ 1，y =－ x ＋3；（2） Q （ －2，5）216．设降价 x 元时，获得的利润为 y 元．则依意可得 y =（45－x ）（100 ＋4x ）= －4x 2＋80x ＋4500， 即 y =－4（x －10）2＋4900．故当 x =10时， y 最大=4900（元）2217． （1） 将（1，2）和（2，6） 代入 y =ax 2＋bx ，求得 a =b =1．故 y =x 2＋x ；（2） g =33x －150－y ， 22即 g =－x 2＋32x －150；（3） 因 y =－（x －16） 2＋106，所以设施开放后第 16 个月，纯收益最大．令 g =0，得－ x 2＋ 32 x － 150=0．解得 x =16± 106 ，x ≈16－ 10.3=5.7（ 舍去 26.3） ．当 x =5 时， g <0， 当 x =6 时， g >0，故 6 个月后，能收回投资18．（1） B 1（ 30，0）， B 3 （0，30） ， B 5 （30，0） ；（2）设抛物线的表达式为 y a （x 30）（x 30） ，把 B 3 (0，30) 代入得 y a(0 30)(0 30) 30．1∴ a ．30∵所求抛物线的表达式为： y3）∵ B 4 点的横坐标为 15， 1 45∴B 4 的纵坐标 y 4 (15 30)(15 30) ．4 30 2∵ A 3B 3 50 ，拱高为 30，1 (x 30)(x 30) ． 30∴立柱A4B445 8520 (m) ．22由对称性知：85A2B2 A4B4 (m) ．2四、1 2 1 119．（1）当0≤m≤2时，S= m2；当2<m≤3时，S= ×3×2－（3 －m）（－2m＋6）= －m22 2 2＋6m－6．（2）若有这样的P点，使直线l 平分△ OAB的面积，很显然0<m<2．由于△ OAB3 1 3的面积等于3，故当l 平分△ OAB面积时，S= ．∴ m2．解得m= 3 ．故存在这样2 2 2的P点，使l 平分△ OAB的面积．且点P的坐标为（3 ，0）．。
第二课时一、教学目标1． 使学生会用描点法画出二次函数k h x a y +-=2)(的图像； 2． 使学生知道抛物线k h x a y +-=2)(的对称轴与顶点坐标；3．通过本节的学习，继续培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力；4．通过本节的教学，继续向学生进行数形结合的数学思想方法的教育，同时向学生渗透事物间互相联系、以及运动、变化的辩证唯物主义思想；5．通过本节课的研究，充分理解并认识到二次函数图像可运动变化的和谐美，通过数学思维的审美活动，提高对数学美的追求。
二、教学重点会画形如k h x a y +-=2)(的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。
三、教学难点：确定形如 k h x a y +-=2)(的二次函数的顶点坐标和对称轴。
4．解决办法：四、教具准备 三角板或投影片1．教师出示投影片，复习222)(,,h x a y k ax y ax y -=+==。
2．请学生动手画1)1(212-+-=x y 的图像，正好复习图像的画法，完成表格。
3．小结k h x a y +-=2)(的性质⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧平移顶点坐标对称轴开口方向4．练习五、教学过程提问：1．前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图像？ 答：形如222)(,h x a y k ax y ax y -=+==和。
（板书）2．这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图像及其相关问题，你能先猜测一下我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗？由学生参考上面给出的三个类型，较容易得到：讨论形如k h x a y +-=2)(的二次函数的有关问题．（板书）一、复习引入首先，我们先来复习一下前面学习的一些有关知识．（出示幻灯） 请你在同一直角坐标系内，画出函数222)1(21,121,21+-=--=-=x y x y x y 的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．这里之所以加上画函数2)1(21+-=x y 的图像，是为了使最后通过图像的观察能更全面一些，也更直观一些，可以同时给出图像先沿y 轴，再沿x 轴移动的方式，也可以给出图像 先沿x 轴再沿y 轴移动的方式，使这部分知识能更全面，知识与知识之间的联系能更清晰、更具体．画这三个函数图像，可由学生在同一表中列值，但是要根据各自的不同特点取自变量x 的值，以便于学生进行观察．教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板，由一名同 学上黑板完成，其他同学在练习本上完成，待同学们基本做完之后加以总结，然后再找三名 同学，分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标，填入事先准备好的表格中． 然后提问：你能否在这个直角坐标系中，再画出函数1)1(212-+-=x y 的图像？ 由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像，学生对画图已经有了一定的经验， 同时可在画这个图时，把这些经验形成规律，便于学生以后应用．（l ）关于列表：主要是合理选值与简化运算的把握，是教学要点．在选值时，首先要考虑的是函数图像的对称性，因此首先要确定中心值，然后再左，右取相同间隔的值；其次，选值时尽量选取整数，便于计算和描点．在选取x 的值之后，计算y 的值时，考虑到对称性，只需计算中心值一侧的值，另一侧由对称性可直接填入，但一定要保证运算正确．（2）关于描点：一般可先定顶点（即中心值对应的点，然后利用对称性描出各点，以逐步提高速度．）（3）关于连线：特别要注意顶点附近的大致走向。
最后画的抛物线应平滑，对称，并符合抛物线的特点．由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值，然后画出它的图像，同样 找一名同学板演．学生画完，教师总结完之后，让学生观察黑板上画出的四条抛物线，提问：（1）你能否指出抛物线1)1(212-+-=x y 的开口方向，对称轴，顶点坐标？（2）我们已知抛物线的开口方向是由二次函数k h x a y +-=2)(中的a 的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？这个问题由于是本节课的重点问题，而且不是很容易说清楚，可由学生进行广泛的讨论，先得出对称员的表示方法，再得出顶点坐标。
若学生在讨论时没有头绪，教师可适当引导，让学生把这四个函数都改写成k h x a y +-=2)(的形式，可得0)0(212122+--=-=x x y ；[]0)1((21)1(211)0(211212222+---=+-=---=--=x x y x x y[])1()1((21)1(2122-+---=+-=x x y 。
然后从这四个式子中加以观察，分析，得出结论；（板书）一般地，抛物线k h x a y +-=2)(有如下特点： ①0>a 时，开口向上；0<a 时，开口向下； ②对称轴是直线h x =； ③顶点坐标是),(k h 。
（3）抛物线1)1(21,)1(21,121,212222-+-=+-=--=-=x y x y x y x y 有什么关系？答：形状相同，位置不同。
（4）它们的位置有什么关系？这个问题可视学生的程度来决定问还是不问，以及回答到什么程度。
根据上节课的学习，学生能想到是平移科来的，可把这四个图像分成以下几个问题来讨论：①抛物线1212--=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？ ②抛物线2)1(21+-=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？③抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线1212--=x y 怎样移动得到的？④抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线2)1(21+-=x y 怎样移动得到的？⑤抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？这个问题分两种方式回答：先沿y 轴，再沿x 轴移动；或先沿x 轴，再沿y 轴移动。
通过这5个问题可使学生由浅入深地得到这四者之间的关系，如图所示：注意：基本形式中的符号，特别是h 。
练习：P120练习口答，及时纠正错误。
（四）总结、扩展一般的二次函数，都可以变形成k h x a y +-=2)(的形式，其中： 1．a 能决定什么？怎样决定的？答：a 的符号决定抛物线的开口方向；a 的绝对值大小抛物线的开口大小。
2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？ 六、布置作业教材P124中1（3）；P124中3（1）、（2）；P125中1B 13．7 二次函数c bx ax y ++=2的图像（二）抛物线k h x a y +-=2)(的特点：例： （1）（2） （3）二次函数试题题号 一 二三 总分 1920 21 22 23 24 25 26分数成功！ 一选择题：1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系D 圆的周长与半径之间的关系3、在Rt △ABC 中,∠C=90。
,AB=5,AC=3.则sinB 的值是( ) A53 B 54 C 43 D 34 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y=21 x 2-6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,①abc 〈０ ②a ＋c 〈b③a+b+c 〉０ ④A １B ２C ３D ４7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =ca b + =ba c+ 的值是（ ）A -1B 1C 21D -218、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） 9、如图所示，二次函数y=x 2-4x+3的图象交x 轴于A 、B 的面积为（ ）A 6B 4C 3 D1 10、如图所示，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且cos α= 53, AB=4,则AD 的长为（ ）A 3 B316 C 320 D 51611 某学校的围墙上端由一段段相同的拱形栅栏组面，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的路径A B 间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固,拱高ＯＣ为０.6米,以ＯA CDE为原点, ＯＣ所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系,根据以上的数据,则一段栅栏所需立柱的总长度(精确到0.1米)为( )米A 1.5B 1.9C 2.3D 2.512、如图所示，已知△ABC 中，BC ＝８，BC 上的高h=4,Ｄ为ＢＣ上一点．ＥＦ∥ＢＣ，交ＡＢ与点Ｅ，交ＡＣ于点Ｆ（ＥＦ不过Ａ、Ｂ），设Ｅ到ＢＣ的距离为x ，则△ＤE Ｆ的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ ）A BC D二填空题：13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋２mx ＋m 上的点的坐标是———————————————。
14、函数y=x--211中的自变量的取值范围是———————————————。
15、已知α为等边三角形的一个内角，则sin α等于———————————————。
16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c＝－２的根为———————————————。
17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 18、如图，在直角坐标系中，将矩形ＯＡＢＣ沿ＯＢ对折，使点Ａ落在点Ａ１处，已知ＯＡ＝3，ＡＢ＝１，则点Ａ１的坐标是———————、解答题：19 计算：2cos60°+3sin60°-3tan45°20、 如图，河对岸有古塔ＡＢ，小敏在Ｃ处测得塔顶Ａ的仰角α，向塔前进s 米到达Ｄ点，在Ｄ处测得A 的仰角为β，则塔高是多少米？C BD FAE C D B A21 已知抛物线y=x2+（n-3）x+n+1经过坐标原点O。
⑴求这条抛物线的顶点P的坐标⑵设这条抛物线与x轴的另外一个交点为A，求以直线PA为图象的一次函数解析式22 已知：在△ABC中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上，G、H 分别在AC、AB上，求内接矩形EFGH的最大面积。
