某工程队有六项工程

2022-2023学年小学六年级思维拓展专题用“组合法”解工程问题知识精讲在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。

典例分析【典例01】一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的730，乙队单独完成全部工程需要几天？【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是115，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量730-115×3=130，从而求出甲队的工作效率。

所以1÷【115-730-115×3÷(5-3)】=20(天)答：乙队单独完成全部工程需要20天。

【典例02】一项工程，甲队独做12天可以完成。

甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的12。

现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。

做完后发现两段所用时间相等。

求两段一共用了几天？【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：12-112×3÷2=18；再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。

（1）乙队每天完成这项工程的1 2-112×3÷2=18（2）两段时间一共是1÷18×2+112×2=6(天)答：两段时间一共是6天。

【典例03】移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的1116没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。

共要移栽西红柿苗多少棵？【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。

《分式方程应用题》中考常见题型练习1．随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高某公司根据市场需求代理A，B 两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多300元，用4万元购进A 型净水器与用3.4万元购进B型净水器的数量相等（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？（2）该公司计划购进A、B两种型号的净水器共50台进行试销，购买资金不超过9.85万元，其中A型净水器为x台试销时A型净水器每台售价2499元，B型净水器每台售价2099元．公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a元（80＜a＜100）作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设该公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W （元），求W的最大值．2．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，改造总费用不超过220万元，至少安排甲队工作多少天？3．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．（1）这两次各购进这种衬衫多少件？（2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于2100元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？4．在开任公路改建工程中，某工程段将由甲，乙两个工程队共同施工完成，据调查得知，甲，乙两队单独完成这项工程所需天数之比为2：3，若先由甲，乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队做15天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）此项工程由两队合作施工，甲队共做了m天，乙队共做了n天完成．已知甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费用为8万元，若工程预算的总费用不超过840万元，甲队工作的天数与乙队工作的天数之和不超过80天，请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？5．某书店在图书批发中心选购A、B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多25元，若用2000元购进A种科普书的数量是用750元购进B种科普书数量的2倍．（1）求A、B两种科普书每本进价各是多少元；（2）该书店计划A种科普书每本售价为130元，B种科普书每本售价为95元，购进A 种科普书的数量比购进B种科普书的数量的还少4本，若A、B两种科普书全部售出，使总获利超过1240元，则至少购进B种科普书多少本？6．哈市某段地铁工程由甲、乙两工程队合作30天可完成，若单独施工，甲工程队比乙工程队多用45天．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1.5万元，乙工程队施工每天需付施工费2.4万元，甲工程队最多要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过127万元？7．某超市准备购进A，B两种品牌台灯，其中A每盏进价比B每盏进价贵30元，A每盏售价120元，B每盏售价80元．已知用1040元购进A的数量与用650元购进B的数量相同．（1）求台灯A、B每盏的进价是多少元；（2）超市打算购进A，B台灯共100盏，要求售出A，B的总利润不少于3400元，问至少需购进A台灯多少台？8．某超市预测某品牌饮料有销售前景，用1200元购进一批该饮料，试销售后果然供不应求，又用5400元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价为多少元？（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于5400元，那么销售单价至少为多少元？9．某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克．已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元．（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元．现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？10．2018年“清明节”前夕，宜宾某花店用1000元购进若干菊花，很快售完，接着又用2500元购进第二批花，已知第二批所购花的数量是第一批所购花数的2倍，且每朵花的进价比第一批的进价多0.5元．（1）第一批花每束的进价是多少元．（2）若第一批菊花按3元的售价销售，要使总利润不低于1500元（不考虑其他因素），第二批每朵菊花的售价至少是多少元？11．某修理厂需要购进甲、乙两种配件，经调查，每个甲种配件的价格比每个乙种配件的价格少0.4万元，且用16万元购买的甲种配件的数量与用24万元购买的乙种配件的数量相同．（1）求每个甲种配件、每个乙种配件的价格分别为多少万元；（2）现投入资金80万元，根据维修需要预测，甲种配件要比乙种配件至少要多22件，问乙种配件最多可购买多少件．12．安排甲、乙两队绿化面积为1800m2的区域．已知甲队每天可绿化面积为乙队的一半，且在独立绿化面积为400m2的区域时比乙队多用4天．（1）求甲、乙两队每天可绿化面积；（2）若每天需付甲队0.25万元，乙队0.4万元，要使总费用不超过8万元，至少应安排乙队绿化多少天？13．有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？14．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备A型B型价格（万元/台）m m﹣3月处理污水量（吨/台）220 180（1）求m的值；（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过156万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．15．在石家庄地铁3号线的建设中，某路段需要甲乙两个工程队合作完成．已知甲队修600米和乙队修路450米所用的天数相同，且甲队比乙队每天多修50米．（1）求甲队每天修路多少米？（2）地铁3号线全长45千米，若甲队施工的时间不超过120天，则乙队至少需要多少天才能完工？16．小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？17．有一项工程，乙队单独完成所需的时间是甲队单独完成所需时间的2倍，若两队合作4天后，剩下的工作甲单独做还需要6天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天；（2）若甲队每天的报酬是1万元，乙队每天的报酬是0.3万元，要使完成这项工程时的总报酬不超过9.6万元，甲队最多可以工作多少天？18．时代天街某商场经营的某品牌书包，6月份的销售额为20000元，7月份因为厂家提高了出厂价，商场把该品牌书包售价上涨20%，结果销量减少50个，使得销售额减少了2000元．（1）求6月份该品牌书包的销售单价；（2）若6月份销售该品牌书包获利8000元，8月份商场为迎接中小学开学做促销活动，该书包在6月售价的基础上一律打八折销售，若成本上涨5%，则销量至少为多少个，才能保证8月份的利润比6月份的利润至少增长6.25%？19．荔枝上市后，某水果店的老板用500元购进第一批荔枝，销售完后，又用800元购进第二批荔枝，所购件数是第一批购进件数的2倍，但每件进价比第一批进价少5元．（1）求第一批荔枝每件的进价；（2）若第二批荔枝以30元/件的价格销售，在售出所购件数的50%后，为了尽快售完，决定降价销售，要使第二批荔枝的销售利润不少于300元，剩余的荔枝每件售价至少多少元？20．为落实“美丽城区”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造480米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过66万元，至少安排甲队工作多少天？参考答案1．解：（1）设每台B型净水器的进价为x元，则每台A型净水器的进价为（x+300）元，依题意，得：＝，解得：x＝1700，经检验，x＝1700是原方程的解，且符合题意，∴x+300＝2000．答：每台A型净水器的进价为2000元，每台B型净水器的进价为1700元．（2）∵购进x台A型净水器，∴购进（50﹣x）台B型净水器，依题意，得：W＝（2499﹣2000﹣a）x+（2099﹣1700）（50﹣x）＝（100﹣a）x+19950．∵购买资金不超过9.85万元，∴2000x+1700（50﹣x）≤98500，解得：x≤45．∵80＜a＜100，∴100﹣a＞0，∴W随x值的增大而增大，∴当x＝45时，W取得最大值，最大值为（24450﹣45a）元．2．解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝40，经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.5x＝60．答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据题意得：7m+5×≤220，解得：m≥10．答：至少安排甲队工作10天．3．解：（1）设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫2x件，依题意，得：﹣＝10，经检验，x＝15，经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意，∴2x＝30．答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件．（2）由（1）可知，第一次购进衬衫的单价为150元/件，第二次购进衬衫的单价为140元/件，设第二批衬衫的售价为y元/件，依题意，得：（200﹣150）×30+（y﹣140）×15≥2100，解得：y≥180．答：第二批衬衫每件至少要售180元．4．解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要2x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，依题意，得：+＝1，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，∴2x＝60，3x＝90．答：甲工程队单独完成这项工程需要60天，乙工程队单独完成这项工程需要90天．（2）由题意，得：+＝1，∴n＝90﹣m．设施工总费用为w万元，则w＝15m+8n＝15m+8×（90﹣m）＝3m+720．∵两队施工的天数之和不超过80天，工程预算的总费用不超过840万元，∴，∴20≤m≤40．∵15＞0，∴w 值随m 值的增大而增大，∴当m ＝20时，完成此项工程总费用最少，此时n ＝90﹣m ＝60，w ＝780万元．答：甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元．5．解：（1）设B 种科普书每本的进价为x 元，则A 种科普书每本的进价为（x +25）元， 根据题意得：＝2×，解得：x ＝75，经检验，x ＝75是所列分式方程的解，∴x +25＝100．答：A 种科普书每本的进价为100元，B 种科普书每本的进价为75元．（2）设购进B 种科普书m 本，则购进A 种科普书（m ﹣4）本，根据题意得：（130﹣100）（m ﹣4）+（95﹣75）m ＞1240，解得：m ＞45，∵m 为正整数，且m ﹣4为正整数，∴m 为3的倍数，∴m 的最小值为48．答：至少购进B 种科普书48本．6．解：（1）设乙工程队单独完成此项工程需要x 天，则甲工程队单独完成此项工程需要（x +45）天， 依题意，得：+＝， 整理，得：x 2﹣15x ﹣1350＝0，解得：x 1＝45，x 2＝﹣30，经检验，x 1＝45，x 2＝﹣30是原方程的解，x 1＝45符合题意，x 2＝﹣30不符合题意，舍去，∴x ＝45，x +45＝90．答：甲工程队单独完成此项工程需要90天，乙工程队单独完成此项工程需要45天．（2）设甲工程队单独施工m天后，则甲、乙两工程队需合作施工天才能完成任务，依题意，得：1.5×（m+）+2.4×≤127，解得：m≤50．答：甲工程队最多要单独施工50天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过127万元．7．解：（1）设B台灯每盏的进价为x元，则A台灯每盏的进价为（x+30）元，依题意，得：＝，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴x+30＝80．答：A台灯每盏的进价为80元，B台灯每盏的进价为50元．（2）设购进A台灯m台，则购进B台灯（100﹣m）台，依题意，得：（120﹣80）m+（80﹣50）（100﹣m）≥3400，解得：m≥40．答：至少需购进A台灯40台．8．解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第一批饮料进货单价为（x+2）元，依题意，得：＝3×，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．答：第一批饮料进货单价为4元．（2）第一批饮料进货数量为1200÷4＝300（瓶），第二批饮料进货数量为5400÷（4+2）＝900（瓶）．设销售单价为y元，依题意，得：（300+900）y﹣（1200+5400）≥5400，解得：y≥10．答：销售单价至少为10元．9．解：（1）设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为（x+10）元，依题意，得：1.2（x+10）+x≤34，解得：x≤10．答：购入的B种原料每千克的价格最高不超过10元．（2）设这种产品的批发价为a元，则零售价为（a+30）元，依题意，得：＝，解得：a＝50，经检验，a＝50是原方程的解，且符合题意．答：这种产品的批发价为50元．10．解：（1）设第一批花每束的进价是x元，则第二批花每束的进价是（x+0.5）元，根据题意得：×2＝，解得：x＝2，经检验：x＝2是原方程的解，且符合题意．答：第一批花每束的进价是2元．（2）由（1）可知第二批菊花的进价为2.5元．设第二批菊花的售价为m元，根据题意得：×（3﹣2）+×（m﹣2.5）≥1500，解得：m≥3.5．答：第二批花的售价至少为3.5元．11．解：（1）设每个乙种配件的价格为x万元，则每个甲种配件的价格为（x﹣0.4）万元，根据题意得：＝，解得：x＝1.2，经检验，x＝1.2是原分式方程的解，∴x﹣0.4＝1.2﹣0.4＝0.8．答：每个甲种配件的价格为0.8万元、每个乙种配件的价格为1.2万元．（2）设购买甲种配件m件，购买乙种配件n件，根据题意得：0.8m+1.2n＝80，∴m＝100﹣1.5n．∵甲种配件要比乙种配件至少要多22件，∴m﹣n≥22，即100﹣1.5n﹣n≥22，解得：n≤31.2，∵m，n均为非负整数，∴n的最大值为30．答：乙种配件最多可购买30件．12．解：（1）设甲队每天可绿化面积为xm2，则乙队每天可绿化面积为2xm2，根据题意得：﹣＝4，解得：x＝50，经检验，x＝50是所列分式方程的解，∴2x＝100．答：甲队每天可绿化面积为50m2，乙队每天可绿化面积为100m2．（2）设应安排乙队绿化m天，则安排甲队绿化天，根据题意得：0.25×+0.4m≤8，解得：m≥10．答：至少应安排乙队绿化10天．13．解：（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，∴2x＝600．答：甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米．（2）设甲队先单独工作y天，则甲乙两工程队还需合作＝（﹣y）天，依题意，得：7000（y+﹣y）+5000（﹣y）≤79000，解得：y≥1，∴﹣y≤﹣＝6．答：两工程队最多可以合作施工6天．14．解：（1）依题意，得：＝，解得：m＝18，经检验，m＝18是原方程的解，且符合题意．∴m＝值为18．（2）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（10﹣x）台，依题意得：18x+15（10﹣x）≤156，解得：x≤2，∵x是整数，∴有3种方案．当x＝0时，y＝10，月处理污水量为180×10＝1800吨，当x＝1时，y＝9，月处理污水量为220+180×9＝1840吨，当x＝2时，y＝8，月处理污水量为220×2+180×8＝1880吨，答：有3种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为1880吨．15．解：（1）设甲队每天修路x米，则乙队每天修路（x﹣50）米，依题意，得：＝，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．答：甲队每天修路200米．（2）设乙队需要y天才能完工，依题意，得：45000﹣（200﹣50）y≥200×120，解得：y≤140．答：乙队至少需要140天才能完工．16．解：（1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，依题意，得：＝，解得：x＝0.5，经检验，x＝0.5是原方程的解，且符合题意，∴x+0.3＝0.8．答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，依题意，得：0.8m+0.5×2m≤15，解得：m≤．∵m为正整数，∴m的最大值为8．答：大本作业本最多能购买8本．17．解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要2x天，依题意，得：+＝1，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，∴2x＝24．答：甲队单独完成这项工程需要12天，乙队单独完成这项工程需要24天．（2）设甲队工作m天，则乙队工作天，依题意，得：m+0.3×≤9.6，整理，得：0.4m≤2.4，解得：m≤6．答：甲队最多可以工作6天．18．解：（1）设6月份该品牌书包的销售单价为x元，则7月份该品牌书包的销售单价为（1+20%）x元，依题意，得：﹣＝50，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．答：6月份该品牌书包的销售单价为100元．（2）6月份该品牌书包的销售数量为20000÷100＝200（个），6月份该品牌书包的进价为（20000﹣8000）÷200＝60（元）．设8月份该品牌书包的销售数量为y个，依题意，得：[100×0.8﹣（1+5%）×60]y≥8000×（1+6.25%），解得：y≥500．答：销量至少为500个时，才能保证8月份的利润比6月份的利润至少增长6.25%．19．解：（1）设第一批荔枝每件的进价为x元，则第二批荔枝每件的进价为（x﹣5）元，依题意，得：2×＝，解得：x＝25，经检验，x＝25是原分式方程的解，且符合题意．答：第一批荔枝每件的进价为25元．（2）第二批购进荔枝的件数为800÷（25﹣5）＝40（件）．设剩余的荔枝每件售价为y元，依题意，得：[30﹣（25﹣5）]×40×50%+[y﹣（25﹣5）]×40×50%≥300，解得：y≥25．答：剩余的荔枝每件售价至少为25元．20．解：（1）设乙工程队每天能改造道路x米，则甲工程队每天能改造道路x米，依题意，得：﹣＝4，解得：x＝40，经检验，x＝40是分式方程的解，且符合题意，∴x＝60．答：甲工程队每天能改造道路60米，乙工程队每天能改造道路40米．（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，依题意，得：3m+2.4×≤66，解得：m≥10．答：至少安排甲队工作10天．。

1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法； 2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理； 3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换； 4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。

工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一． 工程问题的基本概念定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．知识精讲 教学目标工程问题模块一、工程问题基本题型【例1】（难度等级※）一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？【例2】（难度等级※※）甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了225小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个?【巩固】（难度等级※※）一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？【例3】（难度等级※※）一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙单独做需要30天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？【巩固】（难度等级※※）一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？【例4】（难度等级※※※）一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？例题精讲【例5】（难度等级※※※）(2007年四中考题)某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放小时．【例6】（难度等级※※※）一项工程，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？【例7】（难度等级※※※）（2009年十三分小升初入学测试题）一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成．现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成．问甲休息了几天？【巩固】（难度等级※※※）有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?【例8】（难度等级※※※）(2007年十一学校考题)有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成．现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天．那么丙休息了天．【例9】(2007年人大附中考题)一些工人做一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要20天才能完成，那么调走2人后，完成这项工程需要天．模块二、工程问题方法与技巧（一）整体分析法【例10】（难度等级※※※）甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，若甲队先挖4天后，再由乙队单独挖16天，共挖了这条水渠的25．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？【例11】（难度等级※※※）（2009年第七届“希望杯”六年级第2试）有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小时．甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮甲小时，帮乙小时．【巩固】（难度等级※※※）搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时．有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？【例12】（难度等级※※※※）甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加14，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所需要的时间分别是20天，24天，30天．现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？【例13】（难度等级※※※※）甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在A仓库搬了多长时间？【例14】（难度等级※※※※）一项工程，乙单独做要17天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？【例15】（难度等级※※※※）一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【例16】（难度等级※※※※※）一件工程甲单独做50小时完成，乙单独做30小时完成．现在甲先做1小时，然后乙做2小时，再由甲做3小时，接着乙做4小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？【例17】（难度等级※※※※※）甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用12天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用13天．已知甲单独完成这件工作需10.75天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？（二）等量代换法【例18】（难度等级※※※）一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？【例19】（难度等级※※※）抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的15．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？【例20】（难度等级※※※）一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成．两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成？【例21】（难度等级※※※）打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成．甲、乙两人合做需要几天完成？【例22】（难度等级※※※）一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？（三）比例法【例23】（难度等级※※※）一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作5小时，共完成这批零件的23。

今天,老师让每位同学当公司经理,看哪位经理最精明.出示：假如你是某工程队的经理,要修一段路,现有甲、乙两个工程队,甲队单独修10天完成,乙队单独修15天完成.你想承包给哪个队为什么学生分组讨论,派代表发言生1：给甲队做,因为他完工时间比乙队少,……师：仅考虑时间少行吗生2：给乙队做,虽然他时间较长,可能修路质量好,……师：有没有更好的方案呢生3：由甲乙两队合做,完工时间更短,可让两队优势互补,……师：若甲乙两队合做,猜猜看,大约需要几天完工生1：小于10天,但大于5天.生2：6天,可假设一段路长120千米,……师：我们不妨计算一下,具体是几天从实际事例入手,学生成为“经理”,突出了学习的主动性.选择的素材紧密联系本课时的内容,学生在探讨解决问题的同时,兴趣盎然地进入学习新知的准备状态.二、教学例91．出示例9：一段公路长30千米60千米用黑卡纸盖住,甲队单独修10天完成,乙队单独修15天完成,两队合修几天修完师：各位“经理”算一算,几天完成呢同学们议论纷纷,跃跃欲势,都想当个精明的“经理”.学生汇报计算的方法：30÷30÷10+30÷15=6天板书师：请你说说每步计算的含义.教师依次对应板书“甲的工效”“乙的工效”“工作总量”“合做时间”并小结数量关系式：工作总量÷工作效率和=合做时间师：如果把30千米改成60千米,其他条件不变,合做时间是多少呢揭去黑卡纸同学们思考片刻,纷纷举手生：60÷60÷10+60÷15=6天板书师：仔细比较这两道题,你发现了什么生1：合做时间都是6天.生2：无论公路长多少,只要各自单独做的时间不变,合做时间不变.师：是这样吗同学们用不同的公路长度试一试.学生为了得到证实,即刻得出了结论.学生有了展现自我的机会,同时启发了学生探索数学奥秘的方法.师板书省略号师：为什么会这样呢生1：工作总量扩大了,工作效率也在扩大,而且扩大的倍数相同,所以时间不变……生2：无论公路长多少,甲乙两队每天修的各自占总长的几分之几没变,……师：擦去30千米和60千米如果没有具体的公路长度,这题还能解答吗学生陷入了沉思可以把这段路看作什么学生立即恍然大悟生：把这段公路看成单位“1”.师：甲乙的工作效率又如何表示呢生：1/10,1/15师：同学们算一算,合做时间是几天呢学生列出算式：1÷1/10+1/15=6天板书2．师：这就是我们今天学习的新知识“工程问题”板书课题师：你觉得工程问题有哪些特点呢生1：把工作总量看成单位“1”……生2：工作效率用时间的倒数表示.三、练习1．投影出示：教材第80页练习二十第1题.指名学生回答.2．导入部分加一个条件,假如现有三个工程队,丙单独修需12天完成,想一想经理安排合做的方式有几种每种合做方式各需几天只列式,不计算有4种,分别是甲乙合做,甲丙合做,乙丙合做,三队合做哪种合做方式时间最少呢请你把他们从时间少到时间多排列一下.不计算本题既巩固了新知,又渗透了简单的排列组合问题,同时让学生领悟工效与所用时间的关系.3．如果仅修这段路的一半,那么这几种合做方式各需几天呢四、应用工程问题的解题方法,在生活中有着广泛的应用.1．投影出示：有一批布,如果只做西服的上衣可做20件,只做西服的裤子可做30条,请你算一算,这批布可以做几套这样的西服本题的意图是学生能运用类比的数学方法解.即看成例92．你还能想到类似的问题吗课后教感：整个教学环节努力渗透了数学课程标准的思想,立足数学要生活化,倡导学生为主体等,创设了解决实际问题的情境,让学生充分展现自我.学习数学的实际应用要比学纯数学知识有价值.教学内容：小学数学教材六年级上册第42～43页例7及相关练习.教学目标：1．让学生经历用“假设法”解决分数工程问题的过程,理解并掌握把工作总量看作单位“1”的分数工程应用题的基本特点、解题思路和解题方法.2．通过猜想验证、自主探究、评价交流等学习活动,培养学生分析、比较、综合、概括的能力.教学重点：认识工程问题的特点,掌握其数量关系、解题思路和方法.教学难点：学会用“工程问题”的方法解决实际问题.教学准备：课件.教学过程：一、复习旧知师：今天,我们将继续解决生活中的数学问题.先来看看,你能解决下面的问题吗ppt课件出示.1修一条360米的公路,甲队修12天完成,平均每天修多少米360÷12=30米.师：你是怎样列式的为什么教师板书：工作总量÷工作时间＝工作效率.2修一条360米的公路,甲队每天修18米,多少天能完成360÷18=20天.师：你是怎样列式的为什么教师板书：工作总量÷工作效率＝工作时间.3加工一批零件,计划8小时完成,平均每小时加工这批零件的几分之几1÷8=.师：你是根据什么来列式的师小结：不知道工作总量时,我们可以用单位“1”来表示,相对应的工作效率就用时间分之一来表示.4一项工程,施工方每天完成,几天可以完成全工程1÷=6天.师：你又是根据什么来列式的设计意图小学生学习数学的过程就是新知识同原有知识相互作用,发展形成新的数学认识结构的过程.因此,在复习准备阶段,设计了上述4道基本练习题,帮助学生激发原有的知识记忆,使学生能进一步熟练运用工作总量、工作时间、工作效率这三个量之间的关系解决实际问题,并适当渗透工作总量、工作效率不是具体的数量时应该怎样表示,为学习新知做好铺垫.二、创设情境,设疑导入为了建设新农村,各地都在进行乡村公路的建设.张村也准备新修一条公路.两个工程队,一队单独修12天完成,二队单独修要18天完成.ppt出示.师：从以上条件,我们可以获得什么信息预设：一队每天修这条公路的；二队比一队多用6天完成；二队每天修这条公路的……师：假如你是负责人,你会承包给谁为什么如果要修得又快又好,怎么办预设：让甲队修；可以让两个队一起修.师：如果两队合修,多少天能修完PPT出示完整题目.张村准备新修一条公路.两个工程队,一队单独修12天完成,二队单独修要18天完成.如果两队合修,多少天能修完设计意图教材中的例题设计了学生熟悉的修路情境,合理利用情境激发学生的学习兴趣,逐步展开,并在设疑中生成有教学价值的问题——“如果两队合修,多少天能修完”,展开新课教学.三、猜想验证,合作探究一猜想.师：请同学们先猜一猜两个队一起修路,大约几天能修完教师随机板书学生所说的天数.师：在这些天数中,哪些天数可以排除你是怎样想的得出“两队合修的天数比12天少”的结论.二讨论.师：到底是几天呢观察题目,想一想,要知道合修的时间,需要知道什么预设：需要知道工作总量和工作效率.师：可这里的工作总量也就是道路全长是未知的,怎么解决可以假设道路全长是多少根据学生的回答,老师随机板书假设的长度预设单位“1”,如36千米等.如果是假设具体数量,考虑12和18的公倍数会方便些.师：请你选择其中一个道路全长的值,试一试解决这道题吧.三验证,辨析各种解法.1．学生用假设法解题,老师巡视,抽取不同假设的同学板书演示.2．全班交流评价各种方法,让学生说说自己解决的思路与方法.预设：1假设道路全长36千米,36÷36÷12+36÷18＝7.2天；2假设道路全长720米,720÷720÷12+720÷18＝7.2天；3假设道路全长为单位“1”,1÷＝天.对于假设具体数据的解法,分析一种,让学生说一说数量关系.先分别求出两队的效率,再用工作总量除以合作工作效率,即两队效率之和,求出合作修路所需的工作时间.对用单位“1”及分率解题的方法,老师结合PPT进行重点追问：这里的1指什么,,各指什么代表什么为何用1÷请学生结合工作总量、工作效率与工作时间的关系说一说.同桌互相讨论这种解法的思路.预设：如果有同学用1÷1÷12+1÷18,肯定并说明可以直接写作的形式.设计意图猜想与验证是学生自主探究的有效方法,让学生发散思维,在猜测中预测结果,提高学生参与验证的热情.另外,因为学生的认知基础不同,允许验证的方法多样化,对于正确的答案都能给予肯定,让学生享受成功的喜悦.四小结建模,策略优化.1．同学们各自假设的道路总长不同,但答案都是7.2天,说明什么说明完成时间和道路总长没有关系.在道路总长发生变化的时候,哪些量在变,哪些量没有变引导小结：他们单独修的时间不变,无论假设道路全长是多少,两个队每天修的始终占道路全长的和.也就是说对这条公路的全长而言,他们每天修路的米数在变化,但他们每天修这条路的“几分之几”没有变.2．比较这几种解法,哪种解法更简便一些小结：这道题没有给出具体的工作总量,我们可以把工作总量看作单位“1”.根据“一队单独修12天完成”可知一队每天修全长的也就是一队的工作效率,根据“二队单独修18天完成”可知二队每天修全长的也就是二队的工作效率,所以表示两队工作效率之和.用工作总量单位“1”除以工作效率之和,即可求得两队合修所需的工作时间.设计意图在验证过程中,学生发现“工作总量变了,工作时间还是不变”,教师要引导学生悟出其中的算理,使每一个学生自主有效地形成新知.从上一环节的算法多样化,到这一环节的方法小结优化,使学生的思维“量”“质”兼备.五点明课题：这就是我们今天要学习的“工程问题”板书课题.六针对性练习.师：咱们一起来试试解题吧 ppt出示教材第43页“做一做”.交流解题方法,说一说“把工作总量看作单位1,效率就是次数分之一”.PPT直观演示线段图.设计意图发挥多媒体计算机辅助教学的优势,出示情境,绘制线段图,为学生提供形象直观的演示,让学生在观察、比较中解决疑难问题,进一步突破本课教学难点,提高教学效率.四、实践应用一辨析性练习判断题.在正确算式后面的括号内打“√”,错误算式后面的括号内打“×”.并说明理由.解答时出现了如下几种列式：①300÷8+10……；②300÷300÷8+300÷10……；③300÷……；④1÷300÷8+300÷10……；⑤1÷…….设计意图学生对知识的理解容易出现片面性和笼统性,会把刚学的新知识与相似的旧知识混淆,通过辨析,进一步明确工作总量和工作效率必须要相对应,从而促进学生对工程问题本质特征的理解.二变式训练,类推应用1．甲车从A城市到B城市要行驶2小时,乙车从B城市到A城市要行驶3小时.两车同时分别从A城市和B城市出发,几小时后相遇改变问题情境,将工程问题转化为行程问题.2．某水库遭遇暴雨,水位已经超过警戒线,急需泄洪.这个水库有两个泄洪口.只打开A口,8小时可以完成任务,只打开B口,6小时可以完成任务.如果两个泄洪口同时打开,几小时可以完成任务设计意图通过变式训练,引导学生寻找知识间的联系,进行迁移、类推,加强学生对本节课的理解与对知识的消化,有效巩固工程问题的解题思路和解题方法,从而提高解题能力.五、全课总结说一说本节课你有什么收获今天学习工程问题,这类题目的特点是：①把工作总量看作单位“1”；②谁几天完成,谁的工作效率就是几分之一；③用工作总量除以工作效率和就得到工作时间.六、课外作业1．教材第45页第6题；2．阅读教材第45页“你知道吗”内容.。

2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第10讲工程问题知识精讲工程问题是小升初数学应用题中的重点，是分数应用题的引申与补充。

工程问题可分为两大类：一类是已知具体工作量，另一类是未给出具体工作量；本讲重点研究没有具体给出工作量的工程问题。

一、基本概念：定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题1.工作总量:完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示.2.工作时间：完成工作总量所需的时间。

3.工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。

二、基本关系：1．一般公式：工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。

2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。

我们把工作总量假设为单位“1”，这个巧解方法的公式有：。

（1）一般给出工作时间，工作效率＝1工作时间，就可以知道工作时间为a。

（2）一般给出工作效率1a三、工程问题的类型和常用方法：类型：双人工程问题多人工程问题周期工程问题水管问题计算工程费用问题方法：基本关系法，整体转化法、对比分析法、方程法、比例法提高达标百分练一、精挑细选(共5题；每题2分，共10分)1．（2分）（2020六上·舒兰期末）修一条330米的公路，甲单独修要5天完成，乙单独修要6天完成，两队合修要多少天完成？列式是（）A．1÷（15+16）B．330÷（5+6）C．330÷（15+16）2．（2分）（2020六上·和平期中）加工64个零件，由师傅单独做需用4小时，由徒弟单独做需用8小时，师徒合做需用几小时?正确的列式是（）.A．64÷4＋64÷8 B．11 64()48÷+C．111()48÷+D．111()48÷-3．（2分）录入一篇书稿，甲单独录完要13小时，乙单独录完要14小时，甲乙合作（）小时能完成．A．712B．127C．174．（2分）（2020六上·巩义期末）挖一条长1200米的水渠．王叔叔每天挖整条水渠的112，李叔叔单独10天可以挖完．两人合作，几天挖完？下面列式正确的是（）A．1÷（112+110）B．1200÷（12+10）C．1200÷（112+110）5．（2分）（2019六上·微山期中）一项工程，甲队单独做4 天完成，乙队单独做6 天完成。

初二数学工程问题试题及答案【试题一】某工程队计划修建一条长1200米的隧道，原计划每天修建50米。

由于技术改进，实际每天修建60米。

问工程队实际用了多少天完成这项工程？【答案一】设工程队实际用了x天完成这项工程。

根据题意，我们可以得到方程：60x = 1200。

解这个方程，我们得到 x = 1200 / 60 = 20。

所以，工程队实际用了20天完成这项工程。

【试题二】一个工厂需要生产一批零件，原计划每天生产100个零件，预计30天完成。

现在工厂决定提高效率，每天生产120个零件。

问实际需要多少天可以完成生产任务？【答案二】设实际需要y天完成生产任务。

根据题意，我们可以得到方程：120y = 100 * 30。

解这个方程，我们得到 y = (100 * 30) / 120 = 25。

所以，工厂实际需要25天可以完成生产任务。

【试题三】某建筑公司承包了一个工程，原计划每天投入6个工人，预计40天完成。

现在公司决定增加人手，每天投入8个工人。

问实际需要多少天可以完成工程？【答案三】设实际需要z天完成工程。

根据题意，我们可以得到方程：8z = 6 * 40。

解这个方程，我们得到 z = (6 * 40) / 8 = 30。

所以，实际需要30天可以完成工程。

【试题四】一个农场计划种植一批果树，原计划每天种植50棵，预计20天完成。

现在农场决定加快进度，每天种植70棵。

问实际需要多少天可以完成种植？【答案四】设实际需要a天完成种植。

根据题意，我们可以得到方程：70a = 50 * 20。

解这个方程，我们得到 a = (50 * 20) / 70 = 14.2857...由于天数必须是整数，我们取最接近的整数，即15天。

所以，实际需要15天可以完成种植。

【试题五】某工厂原计划每天生产500个产品，预计60天完成生产任务。

现在工厂决定提高效率，每天生产600个产品。

问实际需要多少天可以完成生产任务？【答案五】设实际需要b天完成生产任务。

工程问题计算有关工程的工作总量、工作时间、工作效率的问题叫“工程问题”。

工程问题是分数应用题的特例。

但它同整数应用题中的工程问题一样，同样是研究工作效率、工作时间、工作总量三者之间的关系。

所不同的是在整数应用题中的工程问题，工作总量、工作效率都告诉我们具体的数量，而分数应用题中的工程问题，一般不告诉具体的工作总量，也不告诉具体的工作效率。

解题的关键是根据分数的意义，把工作总量看作“1”，用完成工作总量所需时间的倒数表示工作效率。

工程问题的特点：一般工程问题都是，已知独做的工作时间（或合作的工作时间），求合作的时间（或独做的工作时间）。

分析方法：从问题入手，确定是求谁来完成哪一部分工作量所需要的时间，就用要完成的那部分工作量除以谁的工作效率。

工程问题的基本数量关系式：工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间练 习 题（一）例1、一袋米，甲一人可吃24天，乙一人可吃36天，丙一人可吃18天。

若三人一起吃，这袋米可吃几天？练习：1、一项工程，甲独做15天完成，乙独做10天完成。

现在甲先干一天后，乙接替甲再干一天，然后甲接替乙干一天，乙再接替甲干一天……如此往复，直到完成任务。

这项任务需多少天完成？2、做一批零件，若单独做甲需要6小时，比乙所用的时间多1小时，比丙所用的时间少52。

如果三人合作，多少小时可以完成？ 例2、打印一份文件，甲打字员独做要16小时，乙打字员独做需24小时。

如果乙打字员先做了9小时，然后两人合作，打印完这份稿件一共用了多少小时？练习：1、一份稿件，甲独抄需15小时，乙独抄需12小时，丙独抄需20小时。

如果三人合作了2小时后，剩下的由甲、乙两人合抄，还需几小时才能抄完？2、一项工程，甲队单独做需要14天完成，乙队单独做需要7天完成，丙队单独做需要6天完成，现在乙、丙两队合做3天后，剩下的由甲队单独做，还要几天才能完成任务？3、一条公路，甲、乙两队合修30天可以完成，如果甲、乙两队合修12天后。

工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。

⑴解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。

⑵利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。

抛开“工作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。

有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。

两人工程问题1.一件工作，甲独做9天可以完成，乙独做6天可以完成。

现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成。

乙还需要做几天可以完成全部工作？2.一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成。

现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）。

问开始到完工共用了多少天时间？3.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。

现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天。

从开始到完成共用了16天。

问乙队休息了多少天？4.一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的4/5，乙只能完成原来的9/10。

现在要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？5.一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰可完成一半。

现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等，则共用多少天？6.甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资。

按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元。

第三讲巧解工程问题A级竞赛初阶一、常规工程问题从条件入手[例1] 一项工程,甲、乙两人合做需6天完成,乙、丙两人合做需9 天完成,甲、丙两人合做需15天完成。

问:甲、乙、丙三人合做需多少天完成?分析与解：先求出三人合做一天完成这项工程的几分之几,再求三人合做这项工程需要多少天完成。

做一做1 一项工作,甲、乙两人合做8天完成,乙、丙两人合做9天完成，丙,甲两人合做18天完成.那么,丙一个人来做,需要多少天完成这项工作?[例2] 制作一批零件,由师、徒两人合做8天可完成,由师傅单独做12天可完成。

现在先由徒弟做了若干天后,再由师傅继续做,全部完成共用了15天。

师、徒两人各工作了多少天?做一做2 一件工作,甲单独做要20天完成,乙单独做要12天完成。

如果这件工作先由甲做了若干天后,再由乙继续做完,那么共用了14天。

甲、乙两人各做了多少天?[例3] 甲乙丙三队合做一项工程,甲,乙合做10天完成,乙、丙合做12天完成,甲、丙合做15天完成。

现在先由甲、乙、丙合做3天,余下的由甲队单独完成,则甲队还要做几天?做一做3 一件工作,甲、乙两人合做30天可以完成。

他们俩共同做了6天后甲离开了,剩下的工作由乙继续做了40天才完成。

如果这件工作由甲或乙单独完成,问各需要做多少天?B 级 更上层楼二、“代换法”解工程问题[例4] 某工程先由甲单独做63天,再由乙单独做28天即可完成;如果由甲、乙两人合做,需48天完成。

现在甲先单独做42天,然后再由乙单独完成, 那么乙还需要做多少天?做一做4 一项工程,甲做5小时以后由乙来做,3小时可以完成;乙做9小时以后由甲来做,也是3小时可以完成。

那么,甲做1小时以后由乙来做,多少小时可以完成?[例5] 加工一批零件,甲、乙合做24天可以完成;由甲先做16天,然后由乙再做12天后,还剩下这批零件的52没有完成. 已知甲每天比乙多加工3个零件,问这批零件共有多少个?做一做5 一项工程,甲乙合做12小时完成.甲先单独做8小时,乙再单独做6小时,共完成全部任务的号。