2019年高考数学一轮复习理科：随机事件的概率学案

随机事件的概率1．概率与频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )． 2．事件的关系与运算定义符号表示 包含关系 如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B ) B ⊇A (或A ⊆B ) 相等关系 若B ⊇A 且A ⊇B ，那么称事件A 与事件B 相等 A ＝B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件) A ∪B (或A ＋B ) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)A ∩B (或AB )互斥事件 若A ∩B 为不可能事件，那么称事件A 与事件B 互斥 A ∩B ＝∅ 对立事件若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件A ∩B ＝∅且A ∪B ＝Ω3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率：P (A )＝1. (3)不可能事件的概率：P (A )＝0. (4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件．P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B )．1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[试一试]1．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么甲是乙的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不分也不必要”)．2．在2013年全国运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为________．利用集合方法判断互斥事件与对立事件1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．2．事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．[练一练]1．(2014·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________．2．1人在打靶中连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是________．考点一事件关系的判断1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，则乙不输的概率为________．2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件有________．①至少有一个红球，都是红球②至少有一个红球，都是白球③至少有一个红球，至少有一个白球④恰有一个红球，恰有两个红球3．给出下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②A，B是两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则事件A，B是对立事件．其中所有不正确命题的序号为________．[类题通法]判断事件关系时要注意(1)利用集合观点判断事件关系(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系．考点二随机事件的概率[典例](2013·广州模拟)将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．(1)求点数之积是4的概率；(2)设a，b分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数，求式子2a－b＝1成立的概率．在本例条件不变的情况下求：(1)在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率；(2)两颗骰子向上的点数均大于等于4的概率.[类题通法]求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有： (1)列举法， (2)列表法， (3)利用树状图列举． [针对训练](2013·江苏高考)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．考点三互斥事件与对立事件的概率[典例] (2014·唐山统考)已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为________．[类题通法]求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便． [针对训练](2014·北京东城模拟)有编号为1,2,3的三个白球，编号4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球． (1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两个球颜色不相同的概率．[课堂练通考点]1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．2．(2014·昆明调研)从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是________．3．(2014·黄冈一模)设集合A ＝B ＝{1,2,3,4,5,6}，分别从集合A 和B 中随机取数x 和y ，确定平面上的一个点P (x ，y )，我们记“点P (x ，y )满足条件x 2＋y 2≤16”为事件C ，则C 的概率为________．4．(2014·潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则P (A )最大时，m ＝________.5．(2014·绍兴调研)黄种人人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型A B AB O 该血型的人所占的比例/%2829835已知同种血型的人可以互相输血，O 型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若他因病需要输血，问 (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？。

第1讲 随机事件的概率板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 概率1．在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的频率会在某个常数附近，记作概率的A 我们把这个常数叫做随机事件稳定性．发生的频率具有A 摆动，即随机事件．)A (P是一个确定的值，概率．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而2作为随机事件概率的频率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用概率因此，人们用估计值．3．概率的几个基本性质.)≤1A (P 0≤概率的取值范围：(1) .1＝)A (P ：必然事件的概率(2).0＝)A (P 不可能事件的概率：(3)(4)概率的加法公式 ．)B (P ＋)A (P ＝)B ∪A (P 互斥，则B 与事件A 如果事件(5)对立事件的概率．)B (P －1＝)A (P ，1＝)B ∪A (P 为必然事件．B ∪A 互为对立事件，则B 与事件A 若事件考点2 事件的关系与运算[必会结论]1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“下周六会下雨”是随机事件．( )(2)事件发生的频率与概率是相同的．( )(3)随机事件和随机试验是一回事．( )(4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )(5)两个事件的和事件是指两个事件同时发生．( )。

学案23 随机事件的概率班级_____ 姓名__________导学目标：1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．自主梳理1．事件的分类(1)一般地，我们把在条件S下，____________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．(2)在条件S下，____________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．(3)在条件S下__________________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．事件一般用大写字母A，B，C…表示．2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)=_______为事件A出现的频率．(2)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个________附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________，这个常数叫事件A的概率．3．事件的关系与运算(1)概率的取值范围：________. (2)必然事件的概率：P(E)＝____.(3)不可能事件的概率：P(F)＝____.(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝________.(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝____，P(A)＝________.自我检测1．下列说法正确的是( )A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的2．如果把必然事件和不可能事件看做随机事件的极端情形，随机事件A的概率取值范围是( )A．P(A)>0 B．P(A)≥0C．0<P(A)<1 D．0≤P(A)≤13．从12个同类产品(其中有10个正品，2个次品)中，任意抽取3个的必然事件是( )A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品4．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为( )A．① B．② C．③ D．④5．关于互斥事件的理解，错误的是( )A．若A发生，则B不发生；若B发生，则A不发生B．若A发生，则B不发生，若B发生，则A不发生，二者必具其一C．A发生，B不发生；B发生，A不发生；A、B都不发生D．若A、B又是对立事件，则A、B中有且只有一个发生探究点一随机事件的概念例1一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一只球．(1)“取出的球是红球”是__________事件，它的概率是__________;(2)“取出的球是黑球”是__________事件，它的概率是__________;(3)“取出的球是白球或是黑球”是_________事件，它的概率是___________.变式1某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E 为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.探究点二随机事件的频率与概率例2某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“频数分布直方图”如图，请回答：(1)该中学参加本次高中数学竞赛的学生有多少人？(2)如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是多少？(结果保留分数)变式2某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：(1)探究点三互斥事件与对立事件的概率例3一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．变式3一个箱子内有5张票，其号数分别为1,2，…，5，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？【课后练习与提高】1．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( )①恰好有1件次品和恰好有两件次品；②至少有1件次品和全是次品； ③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少1件次品和全是正品．A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④2．下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率mn 就是事件A 发生的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； ⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 其中正确的是( )A ．①②③④B ．①④⑤C ．①②③④⑤D ．②③3．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件4．某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( )A ．至多有1次中靶B ．2次都中靶C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶5．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g )：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g ～501.5g 之间的概率约为________．6．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．7．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．8．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？9．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求A 1被选中的概率； (2)求B 1和C 1不全被选中的概率．精品教案可编辑10.（2014湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中a a ，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败． （1）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．。

第四节随机事件的概率事件与概率了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．了解两个互斥事件的概率加法公式．知识点一概率与频率1．在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．我们把这个常叫作随机事件A的概率，记作P(A)．2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．3．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.易误提醒易将概率与频率混淆，频率随着试验次变而变，而概率是一个常．[自测练习]1．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：02．某城市2015年的空气质量状况如下表所示：为良；100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2015年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2015年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35. 答案：35知识点二 互斥事件和对立事件易误提醒互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[自测练习]3．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”．A．①②B．①③C．②③ D．①②③解析：从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．4．运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )A.310B. 5 8C.710D. 2 5解析：从1,2,3,4,5中任取三个的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝310.答案：A考点一事件的关系|1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇点，事件B表示向上的一面出现的点不超过3，事件C表示向上的一面出现的点不小于4，则( )A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件解析：根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点1或3}，事件A，B不互斥也不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．2．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件． 答案：A3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡解析：至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.答案：A集合法判断互斥事件与对立事件的方法1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．2．事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．考点二 随机事件的概率|(2015·高考陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴日期16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率． [解] (1)在容量为30的样本中，不下雨的天是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为1315. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78. 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.1．某中学部分学生参加全国高中学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如图所示)，则该中学参加本次学竞赛的人为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．解析：由题图可知，参加本次竞赛的人为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为1432＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.答案：32 0.437 5考点三 互斥事件与对立事件的概率|某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C .求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解] (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120. (2)因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11 000＋1100＋120＝611 000. 故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)P (A ∪B )＝1－P (A ＋B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P (A )＝1－P (A )求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解：记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.31.正难则反思想求互斥事件的概率【典例】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)[思路点拨] 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．[解] (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)． (2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110. P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710. [思想点评] (1)要准确解题意，善于从图表信息中提炼据关系，明确字特征含义．(2)正确判定事件间的关系，善于将A 转为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．(3)需准确解题意，特别留心“至多…”“至少…”“不少于…”等语句的含义．[跟踪练习] 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.答案：CA组考点能力演练1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么( ) A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：根据对立事件与互斥事件的关系知，甲是乙的必要但不充分条件．答案：B2．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )A．0.5 B．0.3C．0.6 D．0.9解析：依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.答案：A3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析：A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系．故选D.答案：D4．(2016·云南一检)在2,0,1,5这组据中，随机取出三个不同的，则字2是取出的三个不同的中位的概率为( )A.34B.58C.12D.14解析：分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12. 答案：C5．(2015·孝感二模)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝12. 答案：A6．(2016·温州十校联考)记一个两位的个位字与十位字的和为A .若A 是不超过5的奇，从这些两位中任取一个，其个位为1的概率为________．解析：根据题意，个位字与十位字之和为奇且不超过5的两位有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为29. 答案：297．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是________．解析：设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A 、B 、C ，由条件知P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.65，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.6，又P (A ∪B )＝1－P (C )，∴P (C )＝0.35，∴P (B )＝0.25.答案：0.258．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.答案：19289．近年，某市为促进生活垃圾的分类处，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，据统计如下(单位：吨)：(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23. (2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.10．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人及相应的概率如下：(2)至少3人排队等候的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.B组高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.2．(2015·高考北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3. (3)与(1)同，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1. 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．。

2019-2020年高考数学一轮复习随机事件的概率与古典概型教学案一、考点要求：学习目标：了解随机事件与概率；理解古典概型；理解互斥事件的概率；能熟练掌握用穷举法解古典概型问题。

二、知识要点：2．古典概型：（1）基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果；（2）等可能基本事件：若在一次实验中，每个基本事件发生的 相同；（3）具有以下两个特点：① ；② ， 称这样的随机试验的概率模型为古典概型。

（4）如果一次实验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是 。

若果某个事件A 包含了其中m 各等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为 3．互斥事件：（1） 的两个事件叫做互斥事件； 的互斥事件叫做对立事件． （2）从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此 ．事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集． （3）由于集合是可以进行运算的，故可用集合表示的事件也能进行某些运算．设A 、B 是两个事件，那么A+B 表示这样一个事件：在同一试验中，A 或B 中 就表示A+B 发生．我们称事件A+B 为事件A 、B 的和．它可以推广如下：“12A A A n+++”表示这样一个事件，在同一试验中，,,,12A A A n中 即表示12A A A n+++发生，事实上，也只有其中的某一个会发生．（4）如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生的概率，等于 ．即P(A+B)＝ ．（5）由于A A +是一个必然事件，再加上P(A+B)=P(A)+P(B)，故1P(A A )P (A )P (A )+=+=，于是P( A)= ，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率．三、课前热身：1. 下列说法正确的是_________（1）某事件发生的频率为P （A ）=1.1；（2）不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1；（3）小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件；（4）某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的。

10．1 随机事件的概率[知识梳理]1．事件的分类2．频率和概率(1)在相同的条件S下重复n次实验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n An为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f n(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．3．事件的关系与运算4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )． [诊断自测] 1．概念思辨(1)若事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )(3)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．( ) (4)事件A 的对立事件A －所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含结果组成集合的补集．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A3P 113T 1)下列事件中不可能事件的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①是必然事件；②⑤是不可能事件；③④是随机事件．故选B.(2)(必修A3P 124A 组T 6)一袋中装有100个除颜色不同外其余均相同的红球、白球、黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别为0.40和0.35，那么黑球共有________个．答案 25解析 设红球、白球各有x 个和y 个，则⎩⎪⎨⎪⎧x100＝0.40，y100＝0.35，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝35，所以黑球的个数为100－40－35＝25.3．小题热身(1)(2015·广东高考)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 答案 B解析 记3件合格品分别为A 1，A 2，A 3,2件次品分别为B 1，B 2，从5件产品中任取2件，有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，共10种可能．其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型概率公式得所求事件概率为610＝0.6.故选B.答案5108解析 将这颗骰子抛掷三次，共63＝216(种)情况．而三次点数之和等于15的有10个(555共1个，456共6个，366共3个)．所以三次点数之和等于15的概率P ＝10216＝5108.题型1 随机事件(1)A 与C ；(2)B 与E ；(3)B 与C ；(4)C 与E .用集合的观点分析．A ∩B ＝∅，则A ，B 为互斥事件；A ∩B ＝∅且A ∪B ＝U ，则A ，B 为对立事件．解 (1)由于事件C “至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥事件．(2)事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故事件B 与E 是互斥事件；由于事件B 发生会导致事件E 一定不发生，且事件E 发生会导致事件B 一定不发生，故B 与E 还是对立事件．(3)事件B “至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”，事件C “至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件．(4)由(3)的分析，事件E “一种报纸也不订”是事件C 的一种可能，即事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥事件．方法技巧1．准确把握互斥事件与对立事件的概念(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．见典例．2．判别互斥、对立事件的方法判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．见典例．冲关针对训练口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A ＝“取出的2球同色”，B ＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C ＝“取出的2球至少有1个白球”，D ＝“取出的2球不同色”，E ＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________．①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件；④P (C ∪E )＝1；⑤P (B )＝P (C )．答案 ①解析 当取出的2个球中一黄一白时，B 与C 都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C 与E 都发生，则③不正确．显然A 与D 是对立事件，①正确；C ∪E 不一定为必然事件，P (C ∪E )≤1，④不正确．由于P (B )＝45，P (C )＝35，所以⑤不正确.题型2 随机事件的频率与概率(3)求续保人本年度平均保费的估计值． 采用公式法f n (A )＝n A n.解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得0．85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.1925a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a .[结论探究1] 若本例条件不变，结论变为“试求一续保人本年度的保费高于基本保费的估计值”．解 1－60＋50200＝0.45或30＋30＋20＋10200＝0.45.[结论探究2] 若本例条件不变，结论变为“试求一续保人本年度的保费不低于基本保费的估计值”．解 1－60200＝0.7或50＋30＋30＋20＋10200＝0.7.方法技巧1．计算简单随机事件频率或概率的解题思路 (1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数． (2)由频率与概率的关系得所求．见典例．2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键，由所给频率分布表，频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求．冲关针对训练(2018·福建基地综合)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元．概解 (1)当日需求量n ≥10时，日利润为y ＝50×10＋(n －10)×30＝30n ＋200， 当日需求量n <10时，利润y ＝50×n －(10－n )×10＝60n －100.所以日利润y 与日需求量n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30n ＋200，n ≥10，n ∈N ，60n －100，n <10，n ∈N.(2)50天内有9天获得的日利润为380元，有11天获得的日利润为440元，有15天获得日利润为500元，有10天获得的日利润为530元，有5天获得的日利润为560元．所以380×9＋440×11＋500×15＋530×10＋560×550＝477.2.P ＝11＋15＋1050＝1825.题型3 互斥事件与对立事件的概率典例 (2014·陕西高考)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．赔付金额大于2800元的有3000元，4000元，且两事件互斥．解 (1)设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501000＝0.15，P (B )＝1201000＝0.12. 由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，知样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.方法技巧求复杂的互斥事件的概率的两种方法1．直接求解法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．如典例．2．间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A －)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．冲关针对训练经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：(2)至少3人排队等候的概率．解 记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ， 则G ＝A ＋B ＋C ，所以P (G )＝P (A ＋B ＋C ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ＋E ＋F ，所以P (H )＝P (D ＋E ＋F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.解法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.1．(2016·天津高考)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56B.25C.16D.13 答案 A解析 设“两人下成和棋”为事件A ，“甲获胜”为事件B .事件A 与B 是互斥事件，所以甲不输的概率P ＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12＋13＝56，故选A.2．(2018·湖南衡阳八中模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3 答案 C解析 ∵事件A ＝{抽到一等品}，且P (A )＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.故选C.3．(2014·全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．答案23解析 设2本不同的数学书为a 1，a 2,1本语文书为b ，在书架上的排法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中2本数学书相邻的有a 1a 2b ，a 2a 1b ，ba 1a 2，ba 2a 1，共4种，因此2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.4．(2017·安徽池州模拟)小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A ，a ，B ，b 中的一个，另一位是数字4,5,6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是________．答案112解析 小明输入密码后两位的所有情况为(4，A )，(4，a )，(4，B )，(4，b )，(5，A )，(5，a )，(5，B )，(5，b )，(6，A )，(6，a )，(6，B )，(6，b )，共12种，而能成功登陆的密码只有一种，故小明输入一次密码能够成功登陆的概率是112.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·湖南十三校二模)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( )A.13B.12C.23D.56 答案 B解析 分别记《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》为A 1，A 2，A 3，A 4，从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 2A 3，A 2A 4, A 3A 4，共6个，其中A 1未被选取的结果有3个，所以所求概率P ＝36＝12.故选B.和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③ 答案 C数．其中至少有一个是奇数包含一奇一偶，两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件，而①②④中的事件可能同时发生，不是对立事件，故选C.中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 D解析 令选取的a ，b 组成实数对(a ，b )，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15种情况，其中b >a 的有(1,2)，(1,3)，(2,3)3种情况，所以b >a 的概率为315＝15.故选D.4．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，向量m ＝(a ，b )，n ＝(1,2)，则向量m 与向量n 不共线的概率是( )A.16B.1112C.112D.118 答案 B解析 若m 与n 共线，则2a －b ＝0.而(a ，b )的可能性情况为6×6＝36个．符合2a ＝b 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三个．故共线的概率是336＝112，从而不共线的概率是1－112＝1112.故选B. 5．一个袋子里装有编号为1,2，…，12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是( )A.116 B.316 C.14 D.716答案 B解析 据题意由于是有放回地抽取，故共有12×12＝144种取法，其中两次取到红球且至少有一次号码是偶数的情况共有6×6－3×3＝27种可能，故其概率为27144＝316.故选B.子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.1136 答案 D解析 将这枚骰子先后抛掷两次的基本事件总数为6×6＝36(个)，这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，共11个．∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率P ＝1136.故选D.作为三角形的三边边长的概率是( ) A.310 B.15 C.12 D.35答案 A(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10个，取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，共3个，故所求概率P ＝310.故选A.机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( )A.13B.23C.710D.310 答案 C解析 从5张卡片中随机抽2张的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，2张卡片上的数字之积为偶数的有7种，故所求概率P ＝710. 9．(2018·河南商丘模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3中任取的一个数，b 是从0,1,2中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79B.13C.59D.23 答案 D解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2>0，即a 2>b 2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2>b 2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为69＝23.故选D.10．(2017·湖南郴州三模)从集合A ＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为a ，从集合B ＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为( )A.29B.13C.49D.14 答案 A解析 (a ，b )所有可能的结果为(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种．由ax －y ＋b ＝0得y ＝ax ＋b ，当⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0时，直线不经过第四象限，符合条件的(a ，b )的结果为(2,1)，(2,3)，共2种，∴直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率P ＝29，故选A.二、填空题11．(2017·陕西模拟)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．答案35解析 如图，从A ，B ，C ，D ，O 这5个点中任取2个，共有(A ，B )，(A ，C )，…，(D ，O )10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )共6种，因此所求概率P ＝610＝35.12．(2017·云南昆明质检)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．答案1928解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.13．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．答案815 1415解析 (1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因此事件C “取得两个同色球”，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P (C )＝715＋115＝815. (2)由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415.14．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25. 三、解答题以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.16．(2015·北京高考)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解 (1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1. 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．。

2019—2020年兴义地区重点中学高考一轮复习教学案——随机事件的概率一、明确复习目标1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义;2.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的差不多公式运算一些等可能性事件的概率.二．建构知识网络1.事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必定事件：在一定条件下必定发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.2.随机事件的概率：一样地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它邻近摆动，这时就把那个常数叫做事件A 的概率，记作P(A).3.概率的性质：(由定义知,0≤m ≤1,01mn≤≤) ∴ 0()1P A ≤≤; 必定事件的概率为1,不可能事件的概率为0.必定事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形. 4.等可能性事件：假如一次试验中有n 个可能的结果——称为差不多事件，且每个差不多事件显现的可能性都相等，即每个差不多事件的概率差不多上1n，这种事件叫等可能性事件.5.等可能性事件的概率：在等可能事件中,假如事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()mP A n=. 6.求概率的方法:(1)等可能性事件的概率,步骤:①明确事件A 的意义,确定是否等可能性事件. ②求出一次实验可能显现的结果的总数n;求m,n 时,要注意是否与顺序、位置有关，是〝有放回〞依旧〝无放回〞抽取，正确排列、组合公式或计数原理求出分母n 和分子m;(分子、分母能够与顺序同时有关或无关，解题时能够灵活处理)。

③用等可能性事件概率公式P =nm求出概率值. (2)通过进行大量的重复试验，用那个事件发生的频率近似地作为它的概率. 三、双基题目练练手1.(2005广东)先后抛掷两枚平均的正方体骰子〔它们的六个面分不标有点数1、2、3、4、5、6〕，骰子朝上的面的点数分不为X 、Y ，那么1log 2=Y X 的概率为 〔 〕A ．61 B ．365 C ．121 D ．21 2. (2006安徽)在正方体上任选3个顶点连成三角形，那么所得的三角形是直角非等腰．．．三角形的概率为 〔 〕A ．17B ．27C ．37 D ．473.〔2006江西〕将7个人(含甲、乙)分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为a ，甲、乙分在同一组的概率为P ，那么a 、P 的值分不为 〔 〕A ．5105,21a P ==B . 4105,21a P ==C . 5210,21a P ==D . 4210,21a P ==4. (2004辽宁)口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，假设从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .5．在两个袋中各装有分不写着0，1，2，3，4，5的6张卡片.今从每个袋中任取一张卡片，那么取出的两张卡片上数字之和恰为7的概率为________.6.将1，2，…，9这9个数平均分成三组，那么每组的三个数都成等差数列的概率为________;7.把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内〔每盒装球数不限〕，那么 恰有一个空盒的概率等于_______.◆练习简答:A; 3. a=C 73C 42÷2=105,1235452510521C C C p ÷+==，选A4.数字和但是0、1、4、5，概率为14415555510111363C C C C C +++= ; 5. P =1616C C 4⋅=91. 6.分母为33963!C C ⋅÷，求分子时先确定一组有:〔123〕，〔135〕，〔147〕，〔159〕，再定另两组…,答:561. 7.选一盒空C 41种，把4球分三组C 42种,再把三组放入三盒有A 33种,故恰有一个空盒的结果数为C 41C 42A 33,所求概率P 〔A 〕=1234434C C A 4=169.四、经典例题做一做【例1】一个口袋里共有2个红球和8个黄球，从中随机地接连取3个球，每次取一个.设{恰有一个红球}=A ，{第三个球是红球}=B .求在以下条件下事件A 、B 的概率.〔1〕不返回抽样；〔2〕返回抽样. 解：〔1〕不返回抽样,P 〔A 〕=310281312A A C C =157, (与顺序有关),或1228310715C C C = (与顺序无关)P 〔B 〕=3102912A A C =51. 〔2〕返回抽样, P 〔A 〕=C 13102〔108〕2=12548, P 〔B 〕=32121010C ⨯= 51. 【例2】 某油漆公司发出10桶油漆，其中白漆5桶，黑漆3桶，红漆2桶.在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些标签重新贴上，咨询一个定货3桶白漆、2桶黑漆和1桶红漆的顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？解：随意贴上的标签等于没贴标签,从10桶油漆中随意取.P 〔A 〕=610122335C C C C =72. 答：顾客按所定的颜色得到定货的概率是72. 【例3】将甲、乙两颗骰子先后各抛一次,a 、b 分不表示抛掷甲、乙两颗骰子所显现的点数.〔1〕假设a+b<4的事件记为A ,求事件A 的概率;〔2〕假设点P 〔a ,b 〕落在直线x +y=m 〔m 为常数〕上,且使此事件的概率最大,求m 的值.解：〔1〕差不多事件总数为6×6=36. 当a =1时,b =1,2,3;当a =2时,b =1,2;当a =3时,b =1.共有〔1,1〕,〔1,2〕,〔1,3〕,〔2,1〕,〔2,2〕,〔3,1〕6个点适合题设,∴P 〔A 〕=366=61. 〔2〕由表可知,m=7所含的差不多事件最多,发生的概率最大现在P =366= 61最大.【例4】 〔2004全国Ⅱ〕8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支.求：〔1〕A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； 〔2〕A 组中至少有两支弱队的概率.解:〔1〕A 组中恰有两支弱队,或一只弱队,概率为2213353548C C 6C 7C C +=,(也可按对立事件求: 11548C 62C 7-⨯=) 〔2〕解法一：A 组中至少有两支弱队的概率为2231353548C C 1C 2C C +=(也可分为互斥的的两部分算:482523C C C +481533C C C =21) 解法二：A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A 组和B 组来讲，至少有两支弱队的概率是相同的，因此A 组中至少有两支弱队的概率为21. 【研讨.观赏】〔1〕从0、2、4、6、8这五个数字中任取2个，从1、3、5、7、9这五个数字中任取1个。

第4节随机事件的概率最新考纲 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式.知识梳理1.概率与频率(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n An为事件A出现的频率.(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A).2.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B) 相等关系若B⊇A且A⊇B A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B) 交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB) 互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅P(A∪B)＝1 3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ). ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B ). [常用结论与微点提醒]1.频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数.2.对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.( )(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.( ) (3)若随机事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1.( )(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(教材习题改编)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( ) A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件 C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件解析 “至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件. 答案 C3.(2016·天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( ) A.56B.25C.16D.13解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56. 答案 A4.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( ) A.0.5B.0.3C.0.6D.0.9解析 依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 答案 A5.(2018·北京东城区调研)经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率0.10.160.30.30.10.04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________.解析 由表格知，至少有2人排队的概率P ＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74. 答案 0.74考点一 随机事件间的关系【例1】 (1)袋中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，则：①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中，是对立事件的为( ) A.①B.②C.③D.④(2)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率为710的事件是( )A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡解析 (1)至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生.故②中两事件是对立事件.③④不是互斥事件，①是互斥事件，但不是对立事件，因此是对立事件的只有②，选B.(2)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，因此“至多有一张移动卡”的概率为710.答案(1)B (2)A规律方法 1.准确把握互斥事件与对立事件的概念(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生.(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.2.判别互斥、对立事件的方法判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.【训练1】从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是( )A.①B.②④C.③D.①③解析从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数.其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件.又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件.答案 C考点二随机事件的频率与概率【例2】(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率.解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6.所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y ＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100； 若最高气温位于区间[20，25)，则Y ＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300； 若最高气温不低于25，则Y ＝450×(6－4)＝900， 所以，利润Y 的所有可能值为－100，300，900.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8.因此Y 大于零的概率的估计值为0.8. 规律方法 1.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值. 2.随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.提醒 概率的定义是求一个事件概率的基本方法.【训练2】 (2018·武汉调研)某鲜花店将一个月(30天)某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表，将日销售量在各区间的销售天数占总天数的值视为概率.(1)求这30天中日销售量低于100枝的概率；(2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择两天做促销活动，求这两天恰好是在日销售量低于50枝时的概率.解(1)设鲜花店日销售量为x枝，则P(0<x<50)＝330＝110，P(50≤x<100)＝530＝16，所以这30天中日销售量低于100枝的概率P＝110＋16＝415.(2)日销售量低于100枝共有8天，从中任选两天做促销活动，共有28种情况；日销售量低于50枝共有3天，从中任选两天做促销活动，共有3种情况.所以所求事件发生的概率P＝3 28 .考点三互斥事件与对立事件的概率【例3】 (一题多解)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率.解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.规律方法 1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A－)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.【训练3】 某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝11 000＋1100＋120＝611 000. 故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是( ) A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.相互独立事件D.以上都不对解析 由于每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时不发生，故是互斥事件，但不是对立事件. 答案 A2.设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A.两个任意事件B.互斥事件C.非互斥事件D.对立事件解析 因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件.答案 B3.(2018·石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( ) A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08解析 记“抽检的产品是甲级品”为事件A ，是“乙级品”为事件B ，是“丙级品”为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.答案 C4.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( ) A.17B.1235C.1735D.1解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥. 由于P (A )＝17，P (B )＝1235.所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.答案 C5.掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，若B －表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ∪B －发生的概率为( ) A.13B.12C.23D.56解析 掷一个骰子的试验有6种可能结果. 依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B －)＝1－P (B )＝1－23＝13.∵B －表示“出现5点或6点”的事件， 因此事件A 与B －互斥，从而P (A ∪B －)＝P (A )＋P (B －)＝13＋13＝23.答案 C 二、填空题6.给出下列三个命题，其中正确命题有________个.①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.解析 ①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念. 答案 07.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.解析 20组随机数中，恰有两次命中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P ＝520＝14.答案 148.如果事件A 与B 是互斥事件，且事件A ∪B 发生的概率是0.64，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的3倍，则事件A 发生的概率为________.解析 设P (A )＝x ，则P (B )＝3x ， 又P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝x ＋3x ＝0.64，所以x ＝0.16，则P (A )＝0.16. 答案 0.16 三、解答题9.某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x 的值；(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y ，z 的值. 解 记事件“在竞赛中，有k 人获奖”为A k (k ∈N ，k ≤5)，则事件A k 彼此互斥. (1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56， ∴P (A 0)＋P (A 1)＋P (A 2)＝0.1＋0.16＋x ＝0.56. 解得x ＝0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P (A 5)＝1－0.96＝0.04，即z ＝0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＝0.44，即y ＋0.2＋0.04＝0.44.解得y ＝0.2.10.(2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(1)记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P (A )的估计值； (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费 0.85a a1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )A.25B.710C.45D.910解析 设被污损的数字为x ，则x －甲＝15(88＋89＋90＋91＋92)＝90， x －乙＝15(83＋83＋87＋99＋90＋x )，若x －甲＝x －乙，则x ＝8.若x －甲＞x －乙，则x 可以为0，1，2，3，4，5，6，7， 故P ＝810＝45.答案 C12.某城市2017年的空气质量状况如表所示：污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P1101613730215130其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50＜T ≤100时，空气质量为良，100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________. 解析 由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案3 513.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率).解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟).(2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P(A3)＝25100＝14.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.。

必修Ⅲ—08 随机事件的概率１、在条件S下必然发生的事件叫；在条件S下不可能发生的事件叫；在条件S下可能发生也可能不发生的事件叫 .２、必然事件和不可能事件统称为，确定事件和随机事件统称为，一般用大写字母A，B，C，,表示.３、频率本身是一个的量，而概率是一个的数，它反映了一个事件发生的的大小.频率是概率的，概率是频率的 .４、对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B事件A（或称事件A 事件B）. 记作:BÊA（或AÍB）５、一般地，若BÊA，且AÊB ，那么称事件A与事件B .记作:A=Ｂ．6、若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的事件（或事件）.记作：AÈB（或A+B）.7、若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的事件（或事件）.记作：AÇB（或AB）.8、若AÇB为不可能事件（AÇB =f）那么称事件A与事件B .其含义是：.9、若AÇB为不可能事件，AÈB为必然事件，那么事件A与事件B互为事件.其含义是：.１0、对立事件_ 互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件对立事件.１１、概率的几个基本性质：（１）概率P （A ）的取值范围：<１>()P A ∈ ；<２>必然事件的概率是 .<３>不可能事件的概率是 ；<４>若A ⊆ B, 则 P （A ） P （B ）.（２）概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P （A È B ）= .（３）对立事件的概率公式：若事件A ，B 为对立事件,则P （B ）= .例1、 盒中有４个白球５个黑球，从中任取一个球，问：（１）“取出的球是黄球”是什么事件？（２）“取出的球是白球”是什么事件？（３）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？例2、 某人用一枚骰子向桌面连续投掷600次，骰子落稳于桌面时，向上的点的数i 以及i 出现的次数如下：（1） 写出该人投掷骰子的总次数n ；（2） 记点数１出现的频数为A n ，求A n .（3） 记点数１或２出现的频数为B n ,求B n ;（4） 求点数３或４或５或6出现的频率.例3、 已知使用一剂某种药物治愈疾病的概率为90%，则下列说法正确的是.（ ）A、如果有１00个这种病人各使用一剂这样的药物则有90人被治愈.B、如果一个人这样的病人服用两剂这样的药物就一定被治愈.C、说明一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%.D、以上说法都不正确.例4、根据统计，某射手在每次射击训练中，射中１0环、9环、8环、7环的概率分别为0．２１，0．２３，0．２５，0．２8．计算这名射手在一次射击中；（环数只为整数环）（１）射中１0环或7环的概率；（２）成绩不够7环的概率.。

第十一章 概率●网络体系总览 ●考点目标定位1.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合公式计算一些等可能性事件的概率.2.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.3.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.●复习方略指南概率是新课程中新增加部分的主要内容之一.这一内容是在学习排列、组合等计数知识之后学习的,主要内容为等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时发生的概率.这一内容从2000年被列入新课程高考的考试说明.在2000,2001,2002,2003,2004这五年高考中,新课程试卷每年都有一道概率解答题,并且这五年的命题趋势是：从分值上看,从10分提高到17分,从题目的位置看,2000年为第（17）题,2001年为第（18）题,2002年为第（19）题,2003年为第（20）题即题目的位置后移,2004年两题分值增加到17分.从概率在试卷中的分数比与课时比看,在试卷中的分数比（12∶150=1∶12.5）是在数学中课时比（约为11∶330=1∶30）的2.4倍.概率试题体现了考试中心提出的“突出应用能力考查”以及“突出新增加内容的教学价值和应用功能”的指导思想,在命题时,提高了分值,提高了难度,并设置了灵活的题目情境,如普法考试、串联并联系统、计算机上网、产品合格率等,所以在概率复习中要注意全面复习,加强基础,注重应用.11.1 随机事件的概率●知识梳理1.随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.2.必然事件：在一定条件下必然要发生的事件.3.不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.4.事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm总接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）.由定义可知0≤P （A ）≤1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.5.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n 1.如果某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）=nm . 6.使用公式P （A ）=nm计算时,确定m 、n 的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏.●点击双基1.（2004年全国Ⅰ,文11）从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是A.95B.94C.2111D.2110解析：基本事件总数为C 39，设抽取3个数,和为偶数为事件A ,则A 事件数包括两类：抽取3个数全为偶数,或抽取3数中2个奇数1个偶数,前者C 34,后者C 14C 25.∴A 中基本事件数为C 34+C 14C 25.∴符合要求的概率为39251434C C C C +=2111. 答案：C 2.（2004年重庆,理11）某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参加,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位.若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为A.101 B.201 C.401 D.1201解析：10位同学总参赛次序A 1010.一班3位同学恰好排在一起,而二班的2位同学没有排在一起的方法数为先将一班3人捆在一起A 33,与另外5人全排列A 66,二班2位同学不排在一起,采用插空法A 27,即A 33A 66A 27.∴所求概率为1010276633AA A A =201. 答案：B3.（2004年江苏,9）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是A.2165 B.21625 C.21631 D.21691 解析：质地均匀的骰子先后抛掷3次,共有6×6×6种结果.3次均不出现6点向上的掷法有5×5×5种结果.由于抛掷的每一种结果都是等可能出现的,所以不出现6点向上的概率为666555⨯⨯⨯⨯=216125,由对立事件概率公式,知3次至少出现一次6点向上的概率是1－216125=21691. 答案：D4.一盒中装有20个大小相同的弹子球，其中红球10个，白球6个，黄球4个，一小孩随手拿出4个，求至少有3个红球的概率为________.解析：恰有3个红球的概率P 1=420110310C C C =32380. 有4个红球的概率P 2=420410C C =32314.至少有3个红球的概率P =P 1+P 2=32394. 答案：323945.在两个袋中各装有分别写着0，1，2，3，4，5的6张卡片.今从每个袋中任取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和恰为7的概率为________.解析：P =1616C C 4⋅=91. 答案：91 ●典例剖析【例1】用数字1，2，3，4，5组成五位数，求其中恰有4个相同数字的概率.解：五位数共有55个等可能的结果.现在求五位数中恰有4个相同数字的结果数：4个相同数字的取法有C 15种，另一个不同数字的取法有C 14种.而这取出的五个数字共可排出C 15个不同的五位数，故恰有4个相同数字的五位数的结果有C 15C 14C 15个，所求概率P =51514155C C C =1254. 答：其中恰恰有4个相同数字的概率是1254. 【例2】 从男女生共36人的班中，选出2名代表，每人当选的机会均等.如果选得同性代表的概率是21，求该班中男女生相差几名？ 解：设男生有x 名，则女生有（36－x ）人，选出的2名代表是同性的概率为P =2362-362C C C xx +=21, 即3536)1(⨯-x x +3536)35)(36(⨯--x x =21,解得x =15或21.所以男女生相差6人.【例3】把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），计算： （1）无空盒的概率；（2）恰有一个空盒的概率.解：4个球任意投入4个不同的盒子内有44种等可能的结果. （1）其中无空盒的结果有A 44种，所求概率P =4444A =323.答：无空盒的概率是323. （2）先求恰有一空盒的结果数：选定一个空盒有C 14种，选两个球放入一盒有C 24A 13种，其余两球放入两盒有A 22种.故恰有一个空盒的结果数为C 14C 24A 13A 22,所求概率P （A ）=4221324144A A C C =169. 答：恰有一个空盒的概率是169. 深化拓展把n +1个不同的球投入n 个不同的盒子（n ∈N *）.求： （1）无空盒的概率；（2）恰有一空盒的概率. 解：（1）121A C ++n nnn n.（2）111222121311A )A C C C (C +---++⋅⋅+⋅n n n n n n n n.【例4】某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把.于是，他逐把不重复地试开，问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？ （2）三次内打开的概率是多少？（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？解：5把钥匙，逐把试开有A 55种等可能的结果. （1）第三次打开房门的结果有A 44种，因此第三次打开房门的概率P （A ）=5544A A =51. （2）三次内打开房门的结果有3A 44种，因此，所求概率P （A ）=5544A A 3=53. （3）方法一：因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有A 33A 22种，从而三次内打开的结果有A 55－A 33A 22种，所求概率P （A ）=55223355A A A A -=109. 方法二：三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有C 12A 13A 12A 33种；三次内恰有2次打开的结果有A 23A 33种.因此，三次内打开的结果有C 12A 13A 12A 33+A 23A 33种，所求概率P （A ）=55332333121312A A A A A A C +=109. 特别提示1.在上例（1）中,读者如何解释下列两种解法的意义.P （A ）=3524A A =51或P （A ）=54·43·31= 51. 2.仿照1中,你能解例题中的（2）吗?●闯关训练夯实基础1.从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为A.51B.52C.103D.107 解析：P =25C 4=52. 答案：B2.（2004年湖北模拟题）甲、乙二人参加法律知识竞赛,共有12个不同的题目,其中选择题8个,判断题4个.甲、乙二人各依次抽一题,则甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是A.256 B.2521 C.338 D.3325 解析：甲、乙二人依次抽一题有C 112·C 111种方法, 而甲抽到判断题,乙抽到选择题的方法有C 14C 18种.∴P =1111121814C C C C =338. 答案：C3.（2004年全国Ⅰ,理11）从数字1、2、3、4、5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为A.12513 B.12516 C.12518 D.12519解析：从数字1、2、3、4、5中，允许重复地随机抽取3个数字，这三个数字和为9的情况为5、2、2；5、3、1；4、3、2；4、4、1；3、3、3.∴概率为32333332351C A A C ++++=12519. 答案：D4.一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇.若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是________.（结果用分数表示）解析：总的排法有A 88种.最先和最后排试点学校的排法有A 25A 66种.概率为886625A A A ⋅=145. 答案：1455.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 分析：（1）是等可能性事件，求基本事件总数和A 包含的基本事件数即可.（2）分类或间接法，先求出对立事件的概率.解：（1）基本事件总数甲、乙依次抽一题有C 110C 19种，事件A 包含的基本事件数为C 16C 14，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为191101416C C C C =154. （2）A 包含的基本事件总数分三类：甲抽到选择题,乙抽到判断题有C 16C 14； 甲抽到选择题,乙也抽到选择题有C 16C 15; 甲抽到判断题,乙抽到选择题有C 14C 16. 共C 16C 14+C 16C 15+C 14C 16. 基本事件总数C 110C 19，∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为19110161415161416C C C C C C C C ++=1513或P （A ）=191101314C C C C =152，P （A ）=1－P （A ）=1513. 6.把编号为1到6的六个小球，平均分到三个不同的盒子内，求： （1）每盒各有一个奇数号球的概率； （2）有一盒全是偶数号球的概率.解：6个球平均分入三盒有C 26C 24C 22种等可能的结果.（1）每盒各有一个奇数号球的结果有A 33A 33种，所求概率P （A ）=2224463333C C C A A =52. （2）有一盒全是偶数号球的结果有（C 23C 13）·C 24C 22，所求概率P （A ）=22242622241323C C C C C )C (C ⋅=53. 培养能力7.（2004年全国Ⅱ,18）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支.求：（1）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； （2）A 组中至少有两支弱队的概率.（1）解法一：三支弱队在同一组的概率为4815C C +4815C C =71， 故有一组恰有两支弱队的概率为1－71=76. 解法二：有一组恰有两支弱队的概率为482523C C C +482523C C C =76. （2）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率为482523C C C +481533C C C =21. 解法二：A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A 组和B 组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A 组中至少有两支弱队的概率为21. 8.从1，2,…,10这10个数字中有放回地抽取3次，每次抽取一个数字，试求3次抽取中最小数为3的概率.解：有放回地抽取3次共有103个结果，因最小数为3又可分为：恰有一个3，恰有两个3，恰有三个3.故最小数为3的结果有C 13·72+C 23·7+C 33,所求概率P （A ）=3332321310C 7C 7C +⋅+⋅=0.169.答：最小数为3的概率为0.169.探究创新9.有点难度哟！将甲、乙两颗骰子先后各抛一次,a 、b 分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数. （1）若点P （a ,b ）落在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+>>4,0,0y x y x 表示的平面区域的事件记为A ,求事件A 的概率;（2）若点P （a ,b ）落在直线x +y=m （m 为常数）上,且使此事件的概率最大,求m 的值. 解：（1）基本事件总数为6×6=36. 当a =1时,b =1,2,3; 当a =2时,b =1,2; 当a =3时,b =1.共有（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3,1）6个点落在条件区域内,∴P （A ）=366=61. （2）当m =7时,（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共有6种,此时P =366= 61最大. ●思悟小结求解等可能性事件A 的概率一般遵循如下步骤：（1）先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A . （2）再确定所研究的事件A 是什么,事件A 包括结果有多少,即求出m . （3）应用等可能性事件概率公式P =nm计算. ●教师下载中心 教学点睛1.一个随机事件的发生既有随机性（对单次试验）,又存在着统计规律（对大量重复试验）,这是偶然性和必然性的对立统一.2.随机事件A 的概率P （A ）满足0≤P （A ）≤1.（3）P （A ）=nm既是等可能性事件的概率的定义,又是计算这种概率的基本方法. 拓展题例【例1】 某油漆公司发出10桶油漆，其中白漆5桶，黑漆3桶，红漆2桶.在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些标签重新贴上，问一个定货3桶白漆、2桶黑漆和1桶红漆的顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？解：P （A ）=610122335C C C C =72. 答：顾客按所定的颜色得到定货的概率是72. 【例2】 一个口袋里共有2个红球和8个黄球，从中随机地接连取3个球，每次取一个.设{恰有一个红球}=A ，{第三个球是红球}=B .求在下列条件下事件A 、B 的概率.（1）不返回抽样； （2）返回抽样. 解：（1）不返回抽样,P （A ）=310281312A A C C =157,P （B ）=3102912A A C = 51. （2）返回抽样,P （A ）=C 13102（108）2=12548,P （B ）=32121010C = 51.。