股票价格的期权定价模型分析

二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。

基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。

因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。

期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。

本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。

8.1 一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。

例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。

在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。

由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。

这是最简单的二叉树模型。

一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。

经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。

我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。

为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。

构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。

如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。

根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。

在这种情况下，该组合是无风险的。

以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。

对期权定价模型的偏微分方程分析--Black-Scholes期权定
价模型
Black-Scholes（BS）期权定价模型是20世纪70年代由Fisher Black、Myron Scholes和Robert Merton独立发明和发展的。

BS模型将期权定价问题转化为偏微分方程问题，并提供了一种通过经济因素来解决期权定价的方法。

BS模型假设股票价格服从几何布朗运动，并使用随机微分方程来描述它们的漂移和随机波动性。

该模型还假定期权的价格服从Black-Scholes PDE：
$$\\frac{\\partial V}{\\partial
t}+\\frac{1}{2}\\sigma^2S^2\\frac{\\partial^2 V}{\\partial S^2}+rS\\frac{\\partial V}{\\partial S}-rV=0$$
其中，$V(S,t)$是期权价格，$S$是标的资产价格，
$\\sigma$是波动率，$r$是无风险利率，$t$是时间。

该方程可以被解释为投资组合在动态套利环境中的漂移和随机波动性，其中投资组合由一单股票和一个期权组成。

该方程的求解需要使用特殊函数，如Black-Scholes方程的解析解。

这个解析解有助于我们理解期权价格如何受到各种因素的影响，例如股票价格、波动率、时间和无风险利率。

总之，BS模型的偏微分方程分析提供了一种方法，使我们能够根据标的资产价格、波动率、时间和无风险利率来定价期权。

第四讲BS期权定价模型统计与管理学院第四讲BS期权定价模型第一节BS期权定价模型的基本思路第二节BS期权定价公式第三节BS期权定价公式的精确度评价与拓展第一节BS期权定价模型的基本思路股票价格服从的随机过程由It ô引理可得期权价格相应服从的随机过程dS Sdt SdWm s =+222212f f f fdf S S dt SdWS t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø第一节BS期权定价模型的基本思路BS微分方程BS期权定价公式222212f f frS S rft S S s ¶¶¶++=¶¶¶()()()12r T t c SN d Xe N d --=-第二节BS期权定价公式一、模型基本假设二、BS方程的推导三、风险中性定价原理四、BS期权定价公式的推导五、BS期权定价公式的参数估计一、假设证券价格遵循几何布朗运动，即µ和σ为常数 允许卖空标的证券没有交易费用和税收，所有证券都完全可分 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会证券交易是连续的，价格变动也是连续的衍生证券有效期内，无风险利率r为常数二、BS微分方程的推导由于假设股票价格S遵循几何布朗运动，因此在一个小的时间间隔∆t中，S的变化值∆S为dS Sdt SdWm s =+S S t S Wm s D =D +D二、BS微分方程的推导设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S 和t的函数，根据伊藤引理可得：在一个小的时间间隔∆t中，f的变化值∆f满足：222212f f f f df S S dt SdW S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø222212f f f f f S S t S W S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷D =++D +D ç÷ç÷綶¶¶èø二、BS微分方程的推导为了消除风险源∆W，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。

布莱克-舒尔斯期权定价模型布莱克-舒尔斯期权定价模型是一种用于计算欧式期权的理论定价模型。

该模型于1973年由费舍尔·布莱克和麦伦·舒尔斯提出，并且在同年被罗伯特·默顿-米勒进一步完善和发展。

布莱克-舒尔斯期权定价模型的基本原理是通过建立股票和债券的投资组合，获得一个无风险的合成证券，该合成证券与欧式期权具有相同的收益率。

该模型的关键假设包括资产价格满足几何布朗运动、市场无摩擦、无交易成本和无道德风险等。

根据这些假设，布莱克-舒尔斯期权定价模型的基本公式可以表示为：C = S*N(d1) - X*e^(-rt)*N(d2)，其中C表示期权的价格，S是标的资产（如股票）的当前价格，X是期权的行权价格，r是无风险利率，t是期权的剩余期限，e是自然常数（约等于2.71828），N(d1)和N(d2)分别表示标准正态分布的累积分布函数。

在该公式中，d1=(ln(S/X) + (r+σ^2/2)t) / (σ*√t)，d2=d1-σ*√t。

其中σ是标的资产的波动率，它衡量标的资产的波动程度。

布莱克-舒尔斯期权定价模型的优点是可以较为准确地计算欧式期权的理论定价，并且可以用于不同类型的期权，如看涨期权、看跌期权等。

它在金融市场中得到了广泛的应用，并为投资者和金融机构提供了重要的参考依据。

然而，布莱克-舒尔斯期权定价模型也存在一些限制。

首先，该模型基于一系列假设，不一定适用于所有市场和资产。

其次，该模型仅适用于欧式期权，而不适用于美式期权等其他类型的期权。

最后，该模型假设市场无摩擦和无道德风险，这在实际市场中并不总是成立。

综上所述，布莱克-舒尔斯期权定价模型为计算欧式期权的理论价格提供了一个重要的工具，但在实际应用中需要对假设进行谨慎评估，并结合其他方法进行综合分析和决策。

布莱克-舒尔斯期权定价模型是金融领域中非常重要且广泛应用的一种定价模型。

它的提出对于金融市场的发展和期权的交易产生了巨大的影响。

期权定价模型介绍期权是指其中一方在合约规定的时间内，以合约规定的价格购买（或出售）一定数量的标的资产的权利。

期权作为一种金融衍生品，其价格可以由期权定价模型来确定。

期权定价模型的目标是为了找出一个公平的价格，使买方和卖方在交易中没有不利的地位。

最早的期权定价模型是1973年由Black、Scholes和Merton提出的Black-Scholes-Merton模型（BSM模型）。

该模型假设市场中不存在无风险套利的机会，并且标的资产的价格满足几何布朗运动。

BSM模型使用了随机微分方程与偏微分方程的方法，利用股票价格、期权执行价格、无风险利率、标的资产波动率以及到期时间等变量来计算期权的价格。

BSM模型的基本原理是将期权的价值分解为两个部分：delta和vega。

Delta表明期权价格对标的资产价格的变动的敏感度，而vega则表明期权价格对波动率的变动的敏感度。

BSM模型通过动态对冲策略来调整delta的大小，并通过对冲操作来避免无风险套利的机会。

BSM模型的假设条件是非常严格的，因此它并不适用于所有的情况。

后续的研究对BSM模型进行了改进和扩展，提出了多种不同的期权定价模型。

其中比较有代表性的是二叉树模型、蒙特卡洛模型和波动率曲面模型等。

二叉树模型使用一个二叉树来模拟标的资产价格的随机过程。

从根节点开始，每一步向上或向下移动，直到到达期权到期日。

通过计算每一步的价格和概率，可以得到到期时期权的价值。

二叉树模型相对于BSM模型的优势是更加灵活，可以处理更加复杂的市场情况。

蒙特卡洛模型通过模拟大量的随机路径来估计期权的价格。

在每一个时间步骤上，生成一个随机数，根据随机数和标的资产价格的变动方程计算出未来的价格。

重复这一过程，最终可以得到到期时期权的价值的分布。

蒙特卡洛模型的优势是可以处理更加复杂的市场情况，但计算量较大。

波动率曲面模型使用波动率曲面来刻画标的资产价格波动率与期限之间的关系。

该模型认为波动率并不是恒定的，而是根据期限的不同而变化的。

金融市场的股票定价模型在金融市场中，股票定价模型是投资者和分析师用来估计股票价格的一个重要工具。

通过研究股票的基本面和市场环境，运用股票定价模型可以帮助我们确定一个合理的股票价格，并作出相应的投资决策。

本文将介绍几种常用的股票定价模型，并对其原理和应用进行分析。

一、股票定价模型的作用股票定价模型是在分析资本资产定价模型（CAPM）的基础上发展起来的。

它的主要作用是帮助投资者预测股票的未来价格，并根据这一预测做出相应的买入或卖出决策。

股票定价模型的核心思想是通过分析股票的风险和回报之间的关系，来确定股票的合理价格。

二、常用的股票定价模型1. 价值投资模型价值投资模型是根据股票的内在价值来进行估值的一种方法。

其核心思想是通过研究公司的财务数据和经营状况，确定公司的真实价值，然后根据市场价格与真实价值之间的差异来决定买入或卖出股票。

著名的价值投资者沃伦·巴菲特就是运用这种模型来选择股票的。

2. 相对估值模型相对估值模型是将股票的价值与同行业或同类资产进行比较，从而确定股票的相对价值。

常用的方法包括市盈率、市净率等。

例如，如果某个公司的市盈率较同行业低，那么可以认为该股票的相对价值较高，有投资价值。

3. 期权定价模型期权定价模型是用来确定股票期权合理价格的一种方法。

该模型主要用于衍生品市场中，通过考虑时间价值、波动率等因素，计算出股票期权的合理价格。

著名的期权定价模型包括布莱克-斯科尔斯模型等。

三、股票定价模型的应用股票定价模型广泛应用于金融市场中的投资分析和风险管理中。

投资者可以根据股票定价模型提供的合理价格，进行股票选择和买卖决策。

同时，金融机构和分析师也可以利用股票定价模型进行投资组合管理和风险分析，帮助他们做出明智的投资策略。

四、股票定价模型的局限性股票定价模型虽然在投资分析中起到重要作用，但也存在一些局限性。

首先，股票定价模型往往基于一些假设，如市场有效性假设等，这些假设在实际市场中可能并不成立。

布莱克斯克尔斯期权定价模型汇报人：日期:目录CATALOGUE•引言•布莱克斯克尔斯模型原理•模型应用•模型优势与局限•布莱克斯克尔斯模型与其他模型的比较•未来展望与研究方向01 CATALOGUE引言1背景介绍23布莱克斯克尔斯模型起源于1973年，由费雪·布莱克斯克尔斯（Fischer Black）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）提出。

当时，该模型是为了解决金融衍生品，特别是期权定价的问题而建立的。

金融衍生品是一种金融合约，其价值取决于其他金融资产或指标。

模型发展历程布莱克斯克尔斯模型的发展得益于许多重要的突破，其中包括无套利原则：模型利用无套利原则，这意味着在市场上不能通过买卖资产来赚取无风险利润。

欧式期权定价：该模型适用于欧式期权，即只能在到期日行使的期权。

随机过程：模型运用随机过程来描述股票价格的变化。

模型应用领域布莱克斯克尔斯模型被广泛应用于金融衍生品市场，包括期权：该模型用于定价欧式和美式期权。

互换：该模型用于定价利率互换和其他类型的互换合约。

其他衍生品：该模型还可用于定价其他金融衍生品，如期货、认股权证等。

02CATALOGUE布莱克斯克尔斯模型原理基础概念布莱克斯克尔斯模型是一种用于定价欧式期权的数学模型，该模型基于随机过程，并使用偏微分方程来描述。

在该模型中，期权价格被表示为时间t和股票价格S的函数，用C(t,S)表示。

股票价格服从几何布朗运动，即dS = μSdt + σSdwt，其中μ是股票的预期收益率，σ是股票的波动率，wt是威纳过程。

布莱克斯克尔斯模型的期权定价公式为：C(t, S) = SN(d1) - Ke^(-r)(T-t)N(d2)，其中N是正态分布函数，d1和d2是由模型参数确定的公式。

d2 = d1 - σ√(T - t)K 是期权的执行价格，r 是无风险利率，T 是到期时间，t 是当前时间，σ是股票的波动率。

d1 = (ln(S/K) + (r + 0.5σ^2)(T - t)) / (σ√(T - t))期权定价公式参数确定方法参数σ（波动率）通常由历史数据估计得出，也可以使用市场波动率作为其近似值。