人教A版高中数学必修4《第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 阅读与思考 三角学与天文学》_14

1.2.1 《任意角的三角函数》教学设计 课 题 1.2.1 任意角的三角函数 课 型 新授课 核心素养 培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力重点难点 三角函数的定义；任意角的三角函数在各象限的符号；教法学法 启发式教学，自主探究，合作交流教学过程一、导入课题问题提出：如果旋转轮的半径为r ,圆心O 到地面的高度为h ，主持人的右脚与圆心的交点记为A ，当OA 与水平线所成的角为α时，你能求出点A 到地面的高度吗？二、自主学习1、如图：在ABC Rt ∆中，A sin = A cos = A tan =2、前面我们学习了任意角，如果将A 与原点重合，AC 边与x 轴的非负半轴重合，B 的坐标为 ？设B 到原点的距离为r ，即______==r OB （用B 的坐标表示），你能用B 的坐标表示角A 的三角函数吗？_____tan _____,cos _____,sin ===A A A问题：在OB 上移动B 点，角A 的三角函数值会不会改变？3、如果将A 终边上的点B 特殊为让它到原点的距离为单位长度“1”，你能说出点B 的轨迹吗？三、新知点拨单位圆：以 圆心， 为半径的圆叫单位圆设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点中),(y x P ，那么：（1）y 叫做α的正弦，即αsin =y（2）x 叫做α的正弦，即αsin =x（3）x y 叫做α的正切，即αtan =xy 我们把 、 、 统称为三角函数。

四、互动探究 根据上面三角函数的定义，填出下表中三角函数的定义域及各三角函数在每个象限的符号：三角函数 定义域αsinαcosαtanαsin αcos αtan五、新知应用例1：求π35的正弦、余弦和正切值学以致用1：求π47的三角函数值。

例2：已知角α的终边经过点P (－3,-4)，求角α的正弦、余弦、正切值.一般地，α是一个任意角，）（y x P ,为α终边上的任意一个点，r 为点P 到原点的距离，则： αsin = αcos = αtan = 其中：r =学以致用2：已知角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＋cos α等于例3 求证：当下列不等式组成立时，角α为第三象限角。

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1.2.1任意角的三角函数（1）一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一;（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法，最终得到任意角三角函数的定义。

根据角终边所在位置不同，分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合"的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到,这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数。

1.2 任意角的三角函数知识梳理一、任意角的三角函数1.定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r=22y x +＞0)，那么sinα=r y ,cosα=r x ,tanα=xy . 2.在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数.如图1-2-1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么图1-2-1（1）y 叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y;（2）x 叫做α的余弦，记作cosα，即cos=x ；（3）x y 叫做α的正切，记做 tanα，即tanα=xy (x≠0). 3.三角函数的定义：正弦、余弦、正切等以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称三角函数. 函 数定义域 值域 y=sinαR ［-1,1］ y=cosαR ［-1,1］ y=tanα {α|α≠2π+kπ,k ∈Z } R 三、三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知：（1）正弦值ry 对于第一、二象限为正（y ＞0,r ＞0），对于第三、四象限为负（y ＜0,r ＞0）； （2）余弦值rx 对于第一、四象限为正（x ＞0,r ＞0），对于第二、三象限为负（x ＜0,r ＞0）； （3）正切值x y 对于第一、三象限为正（x,y 同号），对于第二、四象限为负（x,y 异号）. 四、诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同.即有sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα，其中k ∈Z .这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0—2π间角的三角函数值问题.五、正弦线、余弦线、正切线1.有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.规定：与坐标轴轴方向一致时为正，与坐标轴方向相反时为负.2.三角函数线的定义：在单位圆中，设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P （x,y ）,过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A （1，0）作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T.图1-2-2由图1-2-2看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段OM=x,MP=y,于是有sinα=MP, cosα=OM,tanα=AT.我们就分别称有向线段MP\,OM\,AT 为正弦线、余弦线、正切线.六、同角的三角函数的基本关系1.平方关系：sin 2α+cos 2α=1.2.商数关系：ααcos sin =tanα. 知识导学要学好本节内容，可从复习初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数入手.把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.总结方法,通过做练习,巩固所学知识.疑难突破1.求任意角的三角函数值时应注意的几点.剖析：(1)以后在平面直角坐标系内研究角的问题的，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.(2)α是任意角，射线OP 是角α的终边，α的各三角函数值与α绕x 轴转了几圈，按什么方向旋转到OP 的位置无关.(3)sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积，其余五个符号也是这样.(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值.所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.(5)为了便于记忆，可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.2.三角函数线的几点说明.剖析：（1）三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点.（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值.（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面.。

三角函数在生活中的应用
知识目标：能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴涵的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据。

能力目标：体会由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解决现实问题的数学建模学习过程，使学生逐步养成运用信息技术工具解决实际问题的意识和习惯；使学生进一步提升对函数概念的完整认识，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力，培养学生理论与实践相结合，用科学、辩证的眼光观察事物，进而抓住事物的本质。

情感目标：体验探索和创造过程，从中获得成功的快乐，体会学习数学知识的重要性，激发对数学的兴趣和树立自信心，渗透数学与现实统一和谐之美。

教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化的规律，用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。

教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题。

由于这堂课当时是沈虎跃老师开的公开课，因此在这里我给大家演示的绝大部分也是沈老师的课件，稍做改动。

我觉得他是从五个步骤来实现教学过程的。

考纲要求：
1.正弦定理和余弦定理：
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2.应用：
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

教学过程：1.复习知识
1.正弦定理
2.余弦定理
3.面积公式
4.常用结论
二．例题讲解
例1：
三．课堂练习1 2 3 四．课堂总结
五．布置作业六．。

4-1.2.1 任意角的三角函数（二）方案二：【学情分析】：（适用于平行班）三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，……可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.【教学目标】：（1）复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；（2）掌握利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，对三角函数的定义域、值域有更深的理解；（3）能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题，如利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围；（4）培养学生善于观察、勇于探索的数学能力，学习转化思想，提高解题能力.【教学重点】：三角函数线的作法及其简单应用.【教学难点】：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.【教学突破点】：通过对有向线段的复习，分解教学难点，同时引导学生动手画图操作，通过观察、分析，获得新知.【教法、学法设计】：（1）教法选择：“引出问题、温故知新、分解难点、引导讨论、巩固应用”——启发式教学（2）学法选择：类比，达到知识迁移；动手实验，以理解知识；分析讨论，学会应用知识.【课前准备】：课件教学环节教学活动设计意图一、复习回顾1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.巩固上节课内容，并为本节课的学习作铺垫二、设置疑问，点明主题前面我们学习了角的弧度制，角α弧度数的绝对值rl=α，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径.特别地, 当r =1时，l=α,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.既可以引出单位圆，又可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式.起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）.六、巩固训练，提高能力例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）3π；（2）136π-．学生先做,然后投影展示一个学生的作品,并强调三角函数线的位置和方向.解：图略．例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)32sinπ与54sinπ;(2) cos32π与cos54π; (3) tan32π与tan54π解：如图可知：32sinπ>54sinπcos32π>cos54πtan32π< tan54π学生先做，教师引导学生利用三角函数线解题，并投影展示一个学生作品，强调数形结合思想．例3利用三角函数线画出适合下列条件的角α的终边：（1）21sin=α；（2）21cos-=α；（3）1tan=α.共同分析（1），设角α的终边与单位圆交于P(yx,),则αsin=y,所以要作出满足21sin=α的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为21的巩固练习,准确掌握三角函数线的作法.巩固新知，提高运用知识的能力体会三角函数线的用处和实质.逆向思维,灵活运用三角函数线,并为利用三角函数线求解三角函数不等式(组)作铺垫.oBAT2T1P2 P1M2M1。