三角函数的平移与伸缩变换-整理

三角函数中的平移与伸缩变换三角函数是数学中的重要概念之一，通过平移和伸缩变换可以对三角函数图像进行调整和变化。

本文将探讨三角函数中的平移与伸缩变换，并说明它们对函数图像的影响。

一、平移变换平移变换是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的过程。

在三角函数中，平移变换会改变函数的水平位置。

具体而言，对于三角函数y = f(x)，平移变换可以表示为y = f(x ± b)，其中b为平移量。

1. 正弦函数的平移变换正弦函数y = sin(x)在平移变换下，可以写作y = sin(x ± b)。

当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。

平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。

2. 余弦函数的平移变换余弦函数y = cos(x)的平移变换形式为y = cos(x ± b)。

与正弦函数类似，当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。

平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。

3. 正切函数的平移变换正切函数y = tan(x)在平移变换下，可以写作y = tan(x ± b)。

与正弦函数和余弦函数不同，正切函数的平移变换会导致图像的水平拉伸与压缩。

当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。

平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。

二、伸缩变换伸缩变换是指将函数图像在x轴或y轴上进行拉伸或压缩的过程。

在三角函数中，伸缩变换会改变函数图像的形状和振幅。

具体而言，对于三角函数y = f(x)，伸缩变换可以表示为y = af(bx)，其中a为纵向伸缩因子，b为横向伸缩因子。

1. 正弦函数的伸缩变换正弦函数y = sin(x)在伸缩变换下，可以写作y = a sin(bx)。

纵向伸缩因子a决定了函数图像的振幅，a越大，则振幅越大；a越小，则振幅越小。

横向伸缩因子b决定了函数图像的周期，b越大，则周期越短；b越小，则周期越长。

2. 余弦函数的伸缩变换余弦函数y = cos(x)的伸缩变换形式为y = a cos(bx)。

三角函数的图象变换与性质三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在数学的应用中，三角函数的图象变换与性质是非常重要的内容。

接下来，我将详细介绍三角函数的图象变换与性质，包括平移、伸缩、翻转等操作以及周期性、奇偶性等性质。

三角函数的图象变换主要包括平移、伸缩和翻转三种操作。

平移是指将函数图象沿横轴或纵轴方向移动一定的距离，可以通过改变函数中的自变量来实现平移。

伸缩是指将函数图象在横轴或纵轴方向上拉伸或压缩，可以通过改变自变量或函数值来实现伸缩。

翻转是指将函数图象关于条直线对称翻转，可以通过改变自变量或函数值的正负来实现翻转。

通过这三种变换操作，可以得到各种不同形态的三角函数图象。

正弦函数是最基本的三角函数之一，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标所得。

正弦函数的周期为2π，并且其图象在[-π/2,π/2]处取得最大值1，在[-3π/2,-π/2]和[π/2,3π/2]取得最小值-1、正弦函数的图象关于y轴对称，并且具有奇函数的性质，即f(-x)=-f(x)。

余弦函数是正弦函数的平移变换，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的横坐标所得。

余弦函数的周期也是2π，并且其图象在[0,π/2]处取得最大值1，在[π/2,π]处取得最小值-1、余弦函数的图象关于x轴对称，并且具有偶函数的性质，即f(-x)=f(x)。

正切函数是正弦函数和余弦函数的商，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标与横坐标的比值所得。

正切函数的周期为π，其图象在[-π/2,π/2]处为正无穷大，在[π/2,3π/2]处为负无穷大。

正切函数的图象关于原点对称，但不满足奇偶性。

除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等。

它们的图象可以通过适当的变换得到。

例如，余切函数是正切函数的倒数，而正割函数是余弦函数的倒数，余割函数是正弦函数的倒数。

数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放三角函数图像的平移与缩放是数学中常见的一个话题，也是高中数学课程中的重要内容。

三角函数是数学中的基本概念之一，在大学数学中被广泛应用到各种领域。

三角函数具有一定的规律性和对称性，三角函数图像的平移和缩放是基于这些规律性和对称性而实现的，因此掌握三角函数图像的平移和缩放是理解三角函数及其应用的前提。

一、三角函数图像的基本概念三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数三种函数的统称，它们都是以角度或弧度为自变量的函数，其中正弦函数的函数值为对边与斜边之比，余弦函数的函数值为邻边与斜边之比，正切函数的函数值为对边与邻边之比。

三角函数关系着三角形中的几何关系，因此在三角形几何中也十分重要。

三角函数图像是把三角函数的函数值和自变量进行映射后得到的图像，它可以帮助我们更好的理解三角函数的性质和应用。

二、三角函数图像的平移平移是指在坐标系中把图形沿着固定的方向移动一定的距离，平移前后图形形状不会改变，只是位置改变了。

对于三角函数图像的平移，其实就是在自变量上加或减一个常数，或在函数值上加或减一个常数，使得图像整体向左、向右、向上或向下平移。

这样可以使得图像的位置在坐标系上发生变化，但是形状不会发生变化。

三角函数图像的平移可以用下列公式来描述：1、正弦函数图像的平移设f(x)为正弦函数，a为常数。

当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。

当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。

2、余弦函数图像的平移设f(x)为余弦函数，a为常数。

当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。

当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。

3、正切函数图像的平移设f(x)为正切函数，a为常数。

当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。

当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。

三、三角函数图像的缩放缩放是指把图形沿着某个方向缩小或放大一定的比例，缩放后图形的形状和位置都会发生变化。

三角函数的平移伸缩变换规律三角函数是数学中非常重要的一部分，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

在三角函数中，平移和伸缩变换是非常常见的操作，通过对三角函数的平移和伸缩变换，我们可以得到不同的函数图像，从而更好地理解和分析函数的性质。

接下来，我们将详细介绍三角函数的平移伸缩变换规律。

首先，让我们来了解一下什么是三角函数的平移和伸缩变换。

在数学中，平移变换是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行平移，而伸缩变换则是指对函数图像进行拉伸或压缩。

对于三角函数而言，平移和伸缩变换会改变函数图像的周期、振幅、相位等性质。

对于正弦函数和余弦函数而言，它们的平移和伸缩变换规律如下：1. 正弦函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*sin(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A控制振幅的变化，当|A|>1时，振幅增大；当0<|A|<1时，振幅减小。

B控制周期的变化，周期T=2π/|B|。

C控制相位的变化，向右平移C个单位；向左平移-C个单位。

D控制上下平移，向上平移D个单位；向下平移-D个单位。

2. 余弦函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*cos(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A、B、C、D的作用与正弦函数相似，只是对于余弦函数而言，A控制振幅的变化，B控制周期的变化，C控制相位的变化，D控制上下平移。

除了正弦函数和余弦函数外，切线函数和余切函数也有类似的平移和伸缩变换规律：3. 切线函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*tan(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A控制纵向拉伸或压缩。

B控制周期的变化，周期T=π/|B|。

C控制横向平移。

D控制上下平移。

4. 余切函数的平移和伸缩变换规律：设y = A*cot(B(x-C)) + D，其中A、B、C、D为常数，则：A、B、C、D的作用与切线函数相似，只是对于余切函数而言，A控制纵向拉伸或压缩，B控制周期的变化，C控制横向平移，D控制上下平移。

三角函数图象的平移和伸缩函数s i n()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象 得sin()y x ϕ=+的图象得sin()y x ωϕ=+的图象 得sin()y A x ωϕ=+的图象 得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移 sin y x =的图象 得sin y A x =的图象 得sin()y A x ω=的图象得sin ()y A x x ωϕ=+的图象 得sin()y A x k ωϕ=++的图象．例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．xy sin =)3s in(π+=x y )32sin(π+=x y )32sin(3π+=x y)32sin(3π+=x y xy sin =xy 2sin =)32sin(π+=x y例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．练习1.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =2.（2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象A 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度3．（07山东文）4．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位 4．（06江苏卷）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点 （A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）5、（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6、（2010辽宁文数）（6）设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（A ）23 （B ） 43（C ）32（D ） 37（2010福建）将函数()()ϑω+=x x f sin 的图像向左平移2个单位，若所得图像与原图重合，则ω的值不可能是（ ）（A ）423 （B ） 643 （C ） 832（D ） 12作业 1.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ）（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位2.函数f (x )=2sin x cos x 是（ ）(A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数3.设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ）（A ）23 （B ） 43 （C ） 32（D ） 34.将函数y=sin(x+π/6) (x 属于R)的图象上所有的点向左平行移动π/4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为( )(A) y=sin(2x+5π/12) (x 属于R) (B) y=sin(x/2+5π/12) (x 属于R) (C) y=sin(x/2+π/12) (x 属于R) (D) y=sin(x/2+5π/24) (x 属于R)5.将函数y=sin(x-π/3)的图像上所有的点的横坐标伸长带原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π/3个单位，得到的图象对应的解析式为（ ）(A)y=sin(x/2)(B)y=sin(x/2-π/2)(C) y=sin(x/2-π/6) (D)sin(2x-π/6) 6.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）（A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=-（D ）1sin()220y x π=-7.5yAsin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点（ ）12(A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8、将函数y=sin2x 的图象向左平移π/4个单位，再向上平移1个单位所得到函数解析式（ ） y=cos2x y=2(cosx)*(cosx) y=1+sin(2x+π/4) y=2(sinx)*(sinx)。

三角函数变换公式三角函数是初等数学中的重要概念，在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。

在三角函数中，最常见的函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都具有周期性和较为规律的变化。

然而，在实际应用中，有时我们需要对三角函数进行一些变换，以适应特定的需求。

这些变换包括平移、伸缩和反转等操作，可以使得函数图像更加灵活和有用。

一、平移变换平移变换是指在函数图像中将其整个图像沿横轴或纵轴方向平移一定距离。

平移变换可以改变函数图像的位置，使其整体向左或向右移动，或者向上或向下移动。

1.横向平移：设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿横轴方向平移h个单位，得到函数g(x)=f(x-h)。

根据平移的定义，可知g(x)的图像在x轴上的任意点P(x,y)的坐标变为P(x+h,y)。

因此，横向平移后的函数g(x)相当于在f(x)的图像上每个点向右平移h个单位。

2.纵向平移：设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿纵轴方向平移k个单位，得到函数g(x)=f(x)+k。

根据平移的定义，可知g(x)的图像在y轴上的任意点P(x,y)的坐标变为P(x,y+k)。

因此，纵向平移后的函数g(x)相当于在f(x)的图像上每个点向上平移k个单位。

二、伸缩变换伸缩变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。

伸缩变换可以改变函数图像的形状和走向，使其更加符合实际情况或数学要求。

1.横向伸缩：设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿横轴方向进行伸缩，得到函数g(x)=f(kx)。

根据伸缩的定义，可知g(x)的图像在x轴上的任意点P(x, y)的坐标变为P(x/k, y)。

因此，横向伸缩后的函数g(x)相当于在f(x)的图像上每个点的横坐标缩小k倍。

2.纵向伸缩：设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿纵轴方向进行伸缩，得到函数g(x)=kf(x)。

根据伸缩的定义，可知g(x)的图像在y轴上的任意点P(x, y)的坐标变为P(x, ky)。

高二数学三角函数的平移与伸缩变换的应用三角函数是高中数学中重要的概念和工具，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。

在高二数学学习中，我们不仅仅学习了基本的正弦、余弦、正切函数，还学习了三角函数的平移与伸缩变换。

这些变换对于解决实际问题和分析函数图像都起着重要的作用。

本文将介绍三角函数平移与伸缩变换的概念和应用，并通过实例展示其在实际问题中的具体运用。

1. 三角函数的平移变换平移是指将函数图像沿x轴或y轴方向的移动，使得图像的位置发生变化。

在三角函数的平移变换中，我们可以通过改变函数中的常数项来实现平移效果。

以正弦函数y = sin(x)为例，我们可以将其平移h个单位，得到新的函数y = sin(x - h)。

当h大于0时，函数图像沿x轴正方向移动；当h小于0时，函数图像沿x轴负方向移动。

平移变换可以使得函数图像在横向上发生移动，从而改变函数的相位。

平移变换在实际问题中的应用非常广泛。

比如，在物理学中，我们经常研究物体的周期性运动。

通过平移变换，我们可以调整物体的运动起始位置，从而分析其周期性变化规律。

在经济学中，平移变换可以用来分析市场需求和供给的变化，从而预测市场走势。

平移变换还可以用于图像处理、信号处理等领域，通过调整图像或信号的位置，实现目标检测、降噪、滤波等操作。

2. 三角函数的伸缩变换伸缩变换是指改变函数图像在横向和纵向上的形状和尺寸。

在三角函数的伸缩变换中，我们可以通过改变函数中的系数来实现伸缩效果。

以正弦函数y = sin(x)为例，我们可以将其在横向上压缩或拉伸a倍，得到新的函数y = sin(ax)。

当a大于1时，函数图像在横向上被压缩；当0 < a < 1时，函数图像在横向上被拉伸。

伸缩变换还可以改变函数在纵向上的振幅，从而调整函数图像的高度。

伸缩变换在实际问题中也有着重要的应用。

比如，在物理学中，我们经常研究波的传播和干涉现象。

通过伸缩变换，我们可以调整波长和振幅，从而分析波的传播规律和干涉效应。

三角函数角的变换总结三角函数是数学中重要的一部分，它们能够描述直角三角形中的各种关系以及周期性现象。

三角函数角的变换是指将一个角按照一定的规律进行平移、伸缩、翻转等操作，得到新的角。

这些变换可以帮助我们更好地理解三角函数的性质、图像以及应用。

一、平移变换平移变换是指将角按照一定的规律在坐标平面上沿着横轴或者纵轴进行移动。

平移变换可以通过改变角的坐标来实现。

具体来说，设原始角为θ，平移后的角为θ+a。

对于三角函数来说，平移变换的规律如下：1. 正弦函数的平移变换：y = sin(θ+a) = sinθcosa + sinacosθ平移量a的正负方向决定了平移的方向，平移量a的大小决定了平移的距离。

2. 余弦函数的平移变换：y = cos(θ+a) = cosθcosa - sinasina平移量a的正负方向决定了平移的方向，平移量a的大小决定了平移的距离。

3. 正切函数的平移变换：y = tan(θ+a) = (tanθ + tana) / (1 - tanθtanα)平移量a的正负方向决定了平移的方向，平移量a的大小决定了平移的距离。

二、伸缩变换伸缩变换是指将角按照一定的规律进行拉伸或者收缩操作。

伸缩变换可以通过改变角度的系数来实现。

具体来说，设原始角为θ，伸缩后的角为kθ。

对于三角函数来说，伸缩变换的规律如下：1. 正弦函数的伸缩变换：y = sin(kθ) = sinθ / k伸缩系数k大于1时，表示角度增加，图像上下收缩；伸缩系数k小于1时，表示角度减小，图像上下拉伸。

2. 余弦函数的伸缩变换：y = cos(kθ) = cosθ / k伸缩系数k大于1时，表示角度增加，图像左右收缩；伸缩系数k小于1时，表示角度减小，图像左右拉伸。

3. 正切函数的伸缩变换：y = tan(kθ) = tanθ / k伸缩系数k大于1时，表示角度增加，图像上下收缩；伸缩系数k小于1时，表示角度减小，图像上下拉伸。

)(A > 0,3> 0) ,x € [0,+ s)表示一个振动量时，A1图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的-，得到函数）图像的横坐标不变， 纵坐标向上（k 0）或向下（k 0），要特别注意，若由y sin x 得到y sin x 的图像，则向左或向右平移应平 移|—|个单位。

对y sin （x ）图像的影响一般地，函数y sin （x ）的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向 ____ 当＞0时）或向 ______ 当 ＜0时）平移| |个单位长度得到的 注意：左右平移时可以简述成“ _____________ ”_ 对y sin x 图像的影响函数y sin x x R （ 0且 1），的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的1横坐标 ______ 1）或 _____ 0 1）到原来的一倍（纵坐标不变）。

A 对y A sin x 的影响函数y A sinx , x R(A 0且 A 1)的图像可以看成是把正弦函数上所有的点 的纵坐标 ______ (A 1)或 ________ _0 A 1)到原来的A 倍得到的函数 y A sin( x）的图像2 称为振幅，T = 一-称为频率，x 称为相位，称为初相。

T(2)函数 y Asin( x）k 的图像与ysin x 图像间的关系:① 函数y sin x 的图像纵坐标不变, 横坐标向左（＞0 ）或向右（＜0 ）平移||个（1）物理意义：y Asin （ x② 函数y sin xy sin x的图像；③ 函数ysin xy As in( x）的图像;④ 函数y Asin( x得到 y Asi n x图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数k 的图像。

单位得y sin x 的图像;由y si nx到y A si n( x )的图像变换先平移后伸缩：先伸缩后平移：【典型例题】例1 将y sin x的图象怎样变换得到函数y 2sin 2x n1的图象.4练习：将y cosx的图象怎样变换得到函数y cos 2x」的图象.44例2、把y 3cos(2x )作如下变换：(1)向右平移一个单位长度；21(2)纵坐标不变，横坐标变为原来的-；33(3)横坐标不变，纵坐标变为原来的；4(4)________________________________________________ 向上平移1.5个单位长度，则所得函数解析式为_____________________________ .4练习：将y 2sin(2x ) 2做下列变换：(1)向右平移—个单位长度；2(2)横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变;(3)纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变；(4)沿y轴正方向平移1个单位，最后得到的函数y f(x) ________________ . 例3、把y f (x)作如下变换：(1)横坐标伸长为原来的1.5倍，纵坐标不变；(2)向左平移—个单位长度；33(3)纵坐标变为原来的-，横坐标不变；53 3(4)沿y轴负方向平移2个单位，最后得到函数y —sin(—x -),求y f (x).练习1 ：将y4sin( x8 才)作何变换可以得到y sinx. 练习2:对于y 3sin(63|x)作何变换可以得到y si nx.例4、把函数y sin( x )(0,112)的图象向左平移 A. 1,B.61, -6C.2,—D.2, —33练习：7、 右图是函数 y Asin( x )(x R)在区间5(-,—)上的图象，只要将 6 6(1) y si nx 的图象经过怎样的变换?(2) y cos2x 的图象经过怎样的变换?【课堂练习】1、为了得到函数y sin(3x —)的图象，只需把函数y sin 3x 的图象曲线的一部分图象如图所示，则() 3个单位长度，所得3、要得到函数y sinx 的图象，只需将函数y cos x —的图象( )A 、向右平移-个单位B 、向右平移-个单位C 、向左平移-个单位D 、向 左平移-个单位4、为了得到函数y sin(2x )的图象，可以将函数y cos2x 的图象( )6A 、向右平移-个单位长度B 、向右平移-个单位长度63C 、向左平移-个单位长度D 、向左平移-个单位长度636、为了得到函数y sin(2x —)的图像，只需把函数y sin(2x —)的图像()g(x) cos x 的图象，只要将y f (x)的图象 ( )A 、向左平移6B 向左平移18C 向右平移云D 、向右平移182、为得到函数yncos 2x3的图像'只需将函数ysin 2x 的图像(A 、向左平移55个长度单位12C 、向左平移 乞个长度单位6B 、向右平移55个长度单位12D 、向右平移55个长度单位65、把函数y sin x ( x所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 示的函数是()A 、y sin(2 x) , x R 3C 、 y sin(2x ) , x R 3 R )的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把312倍(纵坐标不变)，得到的图象所表xB 、y sin( ) , x R2 6 2D 、 y sin(2x ) , x R3A 、向左平移-个长度单位4 C 、向左平移-个长度单位27、已知函数 f (x) sin( x )(x R,4B 、向右平移-个长度单位4 D 、向右平移-个长度单位20)的最小正周期为，为了得到函数A 、 向左平移-个单位长度8B 、 向右平移一个单位长度8C 、 向左平移一个单位长度4D 、 向右平移一个单位长度48.将函数 y=s inx 的图象向左平移 (0V 2）的单位后，得到函数y=sin (x -）的图象，则等于（)A.—B. 5C. 7D.116 6 6 6专练：1. （2009山东卷理）将函数y sin2x 的图象向左平移；个单位,再向上平移1个 单位，所得图象的函数解析式是（ ）.A. y cos2xB. y cos2x 1C. y 1 sin （2x ）4D. y 2sin 2 x2. （2009天津卷理）已知函数f （x ） sin （ x -）（x R, 0）的最小正周期为4 为了得到函数g （x ） cos x 的图象，只要将y f （x ）的图象A 、向右平移—个单位B 、向右平移—个单位C 、向左平移—个单位D 、向左平移—个单位4（ （ 10江苏卷）为了得到函数y 2sin （Z ）,x R 的图像，只需把函数3 6y 2 si nx,x R 的图像上所有的点A 、向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐63标不变）A 向左平移一个单位长度8 C 向左平移一个单位长度4B 向右平移一个单位长度8 D 向右平移一个单位长度43.（09山东）要得到函数y sin x 的图象，只需将函数y cos x 的图象（）B、向右平移—个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐6 3标不变）C、向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D、向右平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵6坐标不变）5、（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数y sin（2x -）的图像，只需把函3数y sin(2x -)的图像A、向左平移一个长度单位4C、向左平移一个长度单位26、（ 2010辽宁）设0,函数y sin(原图像重合，则的最小值是A、-3 B、-3B、向右平移一个长度单位4D、向右平移-个长度单位2x -） 2的图像向右平移—个单位后与3 3C、-D、 32。

三角函数图像变换总结‎三角函数图像变换总‎结‎篇一：‎三角函数图像变换小‎结(修订版) ★三角‎函数图像变换小结★‎相位变换：①‎y?sinx?y?s‎i n(x??)‎0? 将y?sinx‎图像沿x轴向左平移?‎个单位②y?‎s inx?y?sin‎(x??)0?‎将y?sinx图像‎沿x轴向右平移?个单‎位周期变换：‎①y?sinx?y‎?sinx(0??1‎)将y?sinx图‎像上所有点的纵坐标不‎变，横坐标伸长为原来‎的 1 倍②‎y?sinx?y?s‎i nx(?1)将y?‎s inx图像上所有点‎的纵坐标不变，横坐标‎缩短为原来的 1 倍‎振幅变换：‎①y?sinx?y?‎A sinx的A倍‎②y?sinx?‎y?Asinx A倍‎?0?纵坐标缩短为‎原来A?1?将y?s‎i nx图像上所有点的‎横坐标不变， ?A?‎1?将y?sinx图‎像上所有点的横坐标不‎变，纵坐标伸长为原来‎的【特别提醒】由‎y＝sinx的图象变‎换出y ＝Asin(?‎x＋?)的图象一般有‎两个途径，只有区别开‎这两个途径，才能灵活‎进行图象变换。

途径‎一：先平移变‎换再周期变换(伸缩变‎换) 先将y＝sin‎x的图象向左(?＞0‎)或向右（??0）平‎移｜?｜个单位，再将‎图象上各点的横坐标变‎为原来的途径二：‎先周期变换(伸‎缩变换)再平移变换‎先将y＝sinx的图‎象上各点的横坐标变为‎原来的移 |?| 1‎? 倍(?＞0)，‎便得y＝sin(ωx‎＋?)的图象 1 ?‎倍(?＞0)，再沿‎x轴向左(?＞0)或‎向0?右平 ?‎个单位，便得y＝s‎i n(?x＋?)的图‎象 ?? |个单位‎【特别提醒】若由y?‎s in?x 得到y?s‎i n??x的图‎象，则向左或向右平移‎应平移| 1 为了得‎到函数y?3sin?‎x? ?? ?? 5‎? ?的图像，只要把‎y?3sin?x? ‎? ? ?? ?上所‎有的点（） 5? ‎（A）向右平行移动（‎C）向右平行移动 ?‎52?5 个单位长‎度（B）向左平行移‎动个单位长度（D）‎向左平行移动 ? 5‎2?5 个单位长度‎个单位长度（201‎X·朝阳期末）要得到‎函数y?sin(2x‎?（A）向左平移（C‎）向右平移 (09山‎东文)将函数y?si‎n2x的图象向左平移‎( ). ? 4 ?‎4 )的图象，只要‎将函数y?sin2x‎的图象 ( ) 单位‎（B）向右平移单位‎（D）向左平移 ?‎4 单位单位 ?‎8 ? 8 ? 4‎个单位, 再向上平‎移1个单位,所得图象‎的函数解析式是 A.‎y?2cs2x B‎. y?2sin2x‎C.y?1?sin‎(2x? 【方法总结‎】 ? 4 ) D.‎y?cs2x‎①将y?f?x?图‎像沿x轴向左平移a个‎单位 y?f?x??‎y?f(x?a)‎②将y?f(x)‎图像沿x轴向右平移a‎个单位 y?f?x?‎?y?f(x?a) ‎为了得到函数y?3s‎i n?2x? ?? ‎?? 5? ?的图像‎，只要把y?3sin‎?x? ? ? ??‎?上所有的点（）‎5? 1212 （‎A）横坐标伸长到原来‎的2倍，纵坐标不变‎（B）横坐标缩短到原‎来的（C）纵坐标伸长‎到原来的2倍，横坐标‎不变（D）纵坐标缩‎短到原来的（201‎X四川文）将函数y?‎s inx 的图像上所有‎的点向右平行移动 ?‎10 倍，纵坐标不‎变倍，横坐标不变‎个单位长度，再把所得‎各点的横坐标伸长到‎原来的2倍（纵坐标不‎变），所得图像的函数‎解析式是（）（A‎）y?sin(2x?‎（C）y?sin( ‎2?10 ) （‎B）y?sin(2x‎?) （D）y?si‎n( 12 ? 5 ‎)) 12 x? ‎? 10 x? ? ‎20 (201X·广‎州期末)若把函数y?‎f?x?的图象沿x轴‎向左平移 ? 4 个‎单位,沿y轴向下平移‎1个单位,然后再把‎图象上每个点的横坐标‎伸长到原来的2倍(纵‎坐标保持不变),得到‎函数y?sinx的图‎象,则y?f?x?的‎解析式为( ) A．‎y?sin?2x? ‎??? ??‎?B．?1y?si‎n2x1 ‎4?2?? C．y?‎s in?2x? 【方‎法总结】 ?? ??‎?D．?1y?si‎n2x1 ‎4?2?? 将y?f‎?x?图像上所有点的‎纵坐标不变，横坐标变‎为原来的y?f(x)‎?y?f?x 1 倍‎? (?0) 为了‎得到函数y?4sin‎?x? ?? ?? ‎5? ?的图像，只要‎把y?3sin?x?‎? ? ?? ?上‎所有的点（） 5?‎34 （A）横坐标‎伸长到原来的（C）纵‎坐标伸长到原来的【‎方法总结】 4343‎倍，纵坐标不变（‎B）横坐标缩短到原来‎的倍，纵坐标不变 3‎4倍，横坐标不变‎（D）纵坐标缩短到原‎来的倍，横坐标不变‎将y?f?x?图像上‎所有点的横坐标不变，‎横坐标变为原来的A倍‎y?f(x)?y?‎A f?x ? (A?‎0) 为了得到函数y‎?sin?2x? ?‎??? ?的图像，‎可以将函数y?cs2‎x的图像（） 6?‎A 向右平移 ? ‎6B 向右平移 ?‎3 C 向左平移‎?6 D向左平移‎?3 试述如何由y‎=sin（2x+ 3‎1π3 ）的图象得‎到y=sinx的图象‎3 函数y?Asi‎n(?x??)表达式‎的确定：A由‎最值确定；?由周期确‎定；?由图象上的特殊‎点确定，（201X‎重庆理）（6）‎已知函数y?sin(‎?x??)(??0,‎??A. ?=1 ?‎= ? 6 ? 2 ‎)的部分图象如题‎（6）图所示，则（‎） ? 6 B. ‎?=1 ?= —C.‎?=2 ?= ? ‎6? 6 D. ?‎=2 ?= —（2‎01X天津文）（8）‎右图是函数y?Asi‎n(?x??)?A?‎0,??0,?? ?‎? ?? 2? ?‎在区间?? ? ??‎5?? 上的图像为‎?66?, 了得到这‎个函数的图象，只要将‎y?sinx（x?R‎）的图象上所有的点（‎） (A)向左平移‎? 3 个单位长度‎，再把所得各点的横坐‎标缩短到原来的 12‎倍，纵坐标不变(‎B) 向左平移 ? ‎3个单位长度，再把‎所得各点的横坐标伸长‎到原来的2 倍，纵坐‎标不变 (C) 向左‎平移 ? 6 个单位‎长度，再把所得各点的‎横坐标缩短到原来的‎12 倍，纵坐标不变‎(D) 向左平移‎?6 个单位长度，‎再把所得各点的横坐标‎伸长到原来的2 倍，‎纵坐标不变【规律总‎结】 y?Asin(‎?x??)的图像（‎１）相邻的对称轴之间‎的距离为半个周期；‎（２）相邻对称中心间‎的距离是半个周期；‎（３）相邻的对称轴和‎对称中心之间的距离为‎14 个周期。

三角函数伸缩变换法则
三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。

三角函数平移伸缩变换口诀：左加右减，上加下减。

一个点作左右平移时，纵坐标不发生任何改变，而是横坐标在发生变化。

当点向右平移时，横坐标变大，当点向左平移时，横坐标变小，这就是平移的左加右减。

一个点作上下平移时，横坐标不发生任何改变，而是纵坐标在发生变化。

当点向上平移时，纵坐标变大，当点向下平移时，纵坐标变小，这就是平移的上加下减。

三角函数图象的平移和伸缩河北 张军红函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A kωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下:先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x=的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解:（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x=的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．分析:应先通过诱导公式化为同名三角函数．解:ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 根据题意,有ππ22224x a x --=-,得π8a =-．所以将sin 2y x=的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。

三角函数图像变换总结三角函数是高中数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

在学习三角函数时，我们经常会接触到三角函数的图像变换。

图像变换是指通过对原始函数的一系列操作，得到一个新的函数的过程。

一、平移变换平移变换是指将函数的图像沿着横轴或纵轴方向平移一定的距离。

当我们将函数沿着横轴平移时，可以通过将自变量加上一个常数来实现。

例如，若将函数f(x)沿着横轴向右平移a个单位，则新函数为f(x-a)。

同样，当我们将函数沿着纵轴平移时，可以通过将因变量加上一个常数来实现。

二、伸缩变换伸缩变换是指通过改变函数的自变量或因变量的取值范围来改变函数的图像形状。

当我们将函数的自变量进行伸缩时，可以通过改变自变量的比例系数来实现。

例如，若将函数f(x)的自变量x进行伸缩，新函数为f(kx)，其中k是一个正常数。

当k 大于1时，函数图像会水平压缩；当0<k<1时，函数图像会水平拉伸。

同样，我们可以将函数的因变量进行伸缩，通过改变因变量的比例系数来实现。

三、翻折变换翻折变换是指通过改变函数的自变量或因变量的正负号来改变函数的图像形状。

当我们将函数的自变量进行翻折时，可以通过将自变量取相反数来实现。

例如，若将函数f(x)的自变量进行翻折，新函数为f(-x)。

同样，我们可以将函数的因变量进行翻折，通过将因变量取相反数来实现。

四、迭加变换迭加变换是指将多个变换效果叠加在一起，从而得到一个新的函数的图像。

例如，我们可以将平移、伸缩和翻折等变换操作应用于原始函数，得到一个经过多次变换的新函数的图像。

通过迭加变换，我们可以获得更加丰富多样的函数图像。

总结起来，三角函数的图像变换是通过对函数的自变量和因变量进行平移、伸缩、翻折等操作来改变函数的图像形状。

通过合理地应用这些图像变换，我们可以更好地理解和应用三角函数，并在解决实际问题时提供便利。

因此，掌握三角函数的图像变换是非常重要的数学技能之一，也是我们在数学学习中需要重点关注和掌握的内容之一。

三角函数图像变换总结三角函数是数学中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

三角函数的图像变换是三角函数研究中的一个重要内容，通过对三角函数图像的变换，可以更直观地理解三角函数的性质和特点。

本文将对三角函数图像的平移、垂直伸缩和水平伸缩等变换进行总结，希望能够帮助读者更好地理解三角函数图像的变换规律。

1. 平移变换。

平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行平移。

对于三角函数图像而言，平移包括水平平移和垂直平移两种情况。

水平平移是指将函数图像沿着横坐标轴的方向进行平移，而垂直平移则是指将函数图像沿着纵坐标轴的方向进行平移。

对于三角函数y=sin(x)而言，将其图像沿着横坐标轴平移a个单位，则新的函数图像为y=sin(x-a)；将其图像沿着纵坐标轴平移b个单位，则新的函数图像为y=sin(x)+b。

同样的规律也适用于三角函数y=cos(x)和y=tan(x)的图像平移变换。

2. 垂直伸缩变换。

垂直伸缩是指将函数图像沿着纵坐标轴的方向进行伸缩。

对于三角函数图像而言，垂直伸缩可以分为垂直方向的拉伸和压缩两种情况。

对于三角函数y=sin(x)而言，将其图像沿着纵坐标轴方向进行拉伸k倍，则新的函数图像为y=ksin(x)；将其图像沿着纵坐标轴方向进行压缩k倍，则新的函数图像为y=(1/k)sin(x)。

同样的规律也适用于三角函数y=cos(x)和y=tan(x)的图像垂直伸缩变换。

3. 水平伸缩变换。

水平伸缩是指将函数图像沿着横坐标轴的方向进行伸缩。

对于三角函数图像而言，水平伸缩可以分为水平方向的拉伸和压缩两种情况。

对于三角函数y=sin(x)而言，将其图像沿着横坐标轴方向进行拉伸k倍，则新的函数图像为y=sin(kx)；将其图像沿着横坐标轴方向进行压缩k倍，则新的函数图像为y=sin(x/k)。

同样的规律也适用于三角函数y=cos(x)和y=tan(x)的图像水平伸缩变换。

通过以上对三角函数图像变换的总结，我们可以发现三角函数图像的变换规律其实并不复杂。

三角函数图象的平移和伸缩函数 y Asi n ( x) k的图象与函数 y sin x 的图象之间可以通过变化 A，，，k来相互转化． A，影响图象的形状，，k影响图象与x 轴交点的位置．由 A 引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩y sin x 的图象向左 ( >0) 或向右 (0)平移个单位长度得 y sin( x) 的图象横坐标伸长 (0<<1) 或缩短 ( >1)到原来的1(纵坐标不变 )得 y sin(x) 的图象纵坐标伸长 ( A 1) 或缩短 (0< A <1)为原来的 A倍 (横坐标不变 )得 y Asin(x) 的图象向上 ( k 0) 或向下 ( k 0)平移 k 个单位长度得 y Asin( x) k 的图象．y sin x纵坐标不变横坐标向左平移π/3个单位纵坐标不变横坐标缩短为原来的 1/2横坐标不变纵坐标伸长为原来的 3倍先伸缩后平移y sin x 的图象纵坐标伸长 ( A 1)或缩短 (0 A 1)为原来的 A倍( 横坐标不变 )y sin(x)3y sin(2x)3y 3sin(2x)3得 yAsin x 的图象 横坐标伸长 (0 1) 或缩短 ( 1)到原来的 1(纵坐标不变 )得 yAsin( x) 的图象向左 ( 0)或向右 ( 0)平移个单位得 yAsin x( x ) 的图象向上 ( k 0) 或向下 ( k 0)平移 k 个单位长度得 yA sin( x ) k 的图象．纵坐标不变y sin x横坐标缩短为原来的 1/2纵坐标不变横坐标向左平移π /6个单位横坐标不变纵坐标伸长为原来的 3倍y sin 2xy sin(2x)3y 3sin(2x ) 3例 1 将 y sin x 的图象怎样变换得到函数y 2sin2 xπ1 的图象．4解：（方法一）①把y sin x 的图象沿 x 轴向左平移π个单位长度，得y sin xπ的图象；②将所得44图象的横坐标缩小到原来的1，得 y sin 2xπ的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2 倍，得24y 2sin 2xπ的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移 1 个单位长度得到y2sin 2xπ 1 的图象．44（方法二）①把 ysin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2 倍，得 y 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1，得 y 2sin2 x 的图象； ③将所得图象沿 x 轴向左平移 π个单位长度得 y 2sin 2 x π 的 2 88 图象；④最后把图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到 y π 1 的图象．2sin 2 x4说明： 无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由 ysin 2x 的图象向左平移π个单位长度得到的函数图象8的解析式是 y sin 2xπ而不是 ysin 2 xπ ，把 ysin xπ的图象的横坐标缩小到原来的1，得到884 2的函数图象的解析式是y sin 2xπ而不是y sin 2 x π ．44 对于复杂的变换，可引进参数求解．例 2将 y sin 2 x 的图象怎样变换得到函数y cos 2 xπ的图象．4分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解： y sin 2 x cos π2x cos 2x π ，22在 y cos 2xπ中以 x a 代 x ，有 y cos 2( x a)πcos 2x2a π ．222 根据题意，有 2 x 2a π 2x π，得 a π．2 4 8所以将 y sin 2 x 的图象向左平移π个单位长度可得到函数y cos 2xπ 的图象．84。

三角函数平移伸缩变换公式
三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。

三角函数平移伸缩变换口诀：左加右减，上加下减。

左加右减
一个点作左右平移时，纵坐标不发生任何改变，而是横坐标在发生变化。

当点向右平移时，横坐标变大，当点向左平移时，横坐标变小，这就是平移的左加右减。

上加下减
一个点作上下平移时，横坐标不发生任何改变，而是纵坐标在发生变化。

当点向上平移时，纵坐标变大，当点向下平移时，纵坐标变小，这就是平移的上加下减。