三角函数的平移、伸缩变换(一)(人教A版)(含答案)

解三角函数的平移与伸缩的练习题三角函数是数学中重要的概念，它们在物理、工程、计算机图形等领域起着重要的作用。

本文将提供一些练习题，帮助读者巩固和理解三角函数的平移与伸缩。

一、平移平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向上移动一定距离。

对于一般的三角函数，可通过函数表达式中的参数来实现平移。

下面是一道练习题：练习题1：已知函数y = sin(x)的图像，将其向左平移π/2个单位，并画出平移后的图像。

解答：将函数向左平移π/2个单位，意味着函数图像中的所有点的横坐标都减去π/2。

因此，平移后的函数可以表示为y = sin(x - π/2)。

接下来我们画出平移后的图像。

（插入图像，图像为sin(x)的图像向左平移π/2个单位）从绘制的图像我们可以看出，平移后的图像与原图像相比，整体向左平移了π/2个单位。

这是因为我们将函数中的每个x都减去了π/2。

二、伸缩伸缩是指将函数图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩。

对于一般的三角函数，可以通过参数来实现伸缩。

下面是一道练习题：练习题2：已知函数y = cos(x)的图像，将其在纵轴方向上进行伸缩，并画出伸缩后的图像。

解答：将函数在纵轴方向上进行伸缩，可以通过在函数表达式中引入一个参数来实现。

我们可以将函数表示为y = a*cos(x)，其中a表示伸缩的比例因子。

如果a>1，代表向上拉伸；如果0<a<1，代表向下压缩。

接下来我们画出伸缩后的图像。

（插入图像，图像为cos(x)的图像在纵轴方向上拉伸/压缩后的图像）从绘制的图像可以观察到，伸缩后的图像相对于原图像在纵轴方向上进行了拉伸或压缩。

伸缩因子a的大小决定了图像的变化程度。

三、综合练习题练习题3：已知函数y = 2sin(3x - π/4)，请画出该函数的图像，并描述它的平移和伸缩特点。

解答：函数y = 2sin(3x - π/4)可以看做是函数y = sin(x)的平移和伸缩的组合。

根据函数的形式，可以得到以下推断：- 函数图像在横轴方向上向右平移π/12个单位（3x中的系数3意味着横坐标放大了3倍，因此平移距离也放大3倍）；- 函数图像在纵轴方向上进行了拉伸，拉伸因子为2（系数2的作用）。

第14 课时平移变换、伸缩变换课时目标掌握y＝sin x 与y＝A sin( ωx＋φ) 图象之间的关系，会用“五点法”和变换法作y ＝A sin( ωx＋φ) 的图象，并会由函数的图象与性质求y＝A sin( ωx＋φ) 的解析式．识记强化y＝sin x 图象上所有点向左( φ>0) 或向右( φ<0) 平移| φ| 个单位得C1 ：y＝sin( x＋φ) ；C1 上各点的横坐标缩小( 当ω>1 时) 或伸长( 当0<ω<1) 到原来的1ω倍( 纵坐标不变) 得C2：y＝sin( ωx＋φ) ；C2 上各点纵坐标伸长( 当A>1 时) 或缩小(0<A<1) 到原来的A倍得到C3：y＝A sin( ωx＋φ)( Δ>0，ω>0) ．课时作业一、选择题1．要得到函数y＝sin 2x＋π3 的图象，只要将函数y＝sin2 x 的图象( )A．向左平移π个单位长度 B ．向右平移3π3个单位长度C．向左平移答案：C π个单位长度 D ．向右平移6π6个单位长度解析：因为y＝sin 2x＋π3π＝sin2 x＋6，所以将函数y＝sin2 x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，就可得到函数y＝sin2 x＋ππ6 ＝sin 2x＋3 的图象．2．把函数y＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1( 纵坐标不变) ，得到的图象所对应的函数是( ) 2πA．y＝sin 2x－3B ．y＝sinx2＋π6πC．y＝sin 2x＋答案：C3D ．y＝sin 2x＋2π3解析：把函数y＝sin x 的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y＝πsin x＋3的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y＝πsin 2x＋3的图象．3．将函数y＝sin2 x 的图象向左平移π个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得到4的图象对应的函数是( )1A．y＝cos2x B．y＝1＋cos2xC．y＝1＋sin 2x＋D．y＝cos2x－1答案：B π4解析：将函数y＝sin2 x 的图象向左平移π个单位长度，得到函数y＝sin2 x＋4π4的图π象，即y＝sin 2x＋数为y＝1＋cos2 x.2＝cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位长度，所得到的图象对应的函4．为了得到函数y＝sin 2x－π6的图象，可以将函数y＝cos2x 的图象( )A．向右平移π个单位长度6B．向右平移π个单位长度3C．向左平移π个单位长度6D．向左平移答案：B π个单位长度3解析：y ＝sin 2x－π6＝cosπ2π－2x－6＝cos2π3－2x ＝cos 2x－2π3＝πcos2 x－3.5．将函数y＝sin(2 x＋φ) 的图象沿x 轴向左平移π个单位后，得到一个偶函数的图象，8则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C．0 D ．－答案：B π4左移解析：y＝sin(2 x＋φ) ―个―单→位y＝sin 2 x ＋π8π8＋φ＝sin 2x＋π4＋φ若为偶函数，则ππ＋φ＝4 2＋kπ，k∈Zπ经验证当k＝0 时，φ＝4.6．将函数y＝sin x－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍( 纵坐标不变) ，再将所得的图象向左平移π3个单位长度，得到的图象对应的解析式是( )A．y＝sin 12x B ．y＝sin1x－2π22C．y＝sin 答案：C 1πx－2 6D ．y＝sin 2x－π6解析：y ＝sin x－π3横坐标伸长到原来的2倍的图象――→y ＝sin12x－π3的图象y＝sin 12πx＋3π－3＝sin 12x－π6的图象，故所求解析式为y＝sin1πx－2 6.二、填空题7．如果将函数y＝sin π－4x 的图象向左平移φ个单位后正好与原函数的图象重合，6那么最小正数φ＝______________.答案：π2解析：y＝sin π向左平移－4x ――→6φ个单位y＝sinπ6－x＋φ＝sinπ6－4x－4φπ若与原函数图象重合，则需满足－4φ＝2kπ，k∈Z，当k＝－1 时，最小正数φ＝28．函数y＝12πsin 2x－4 的图象可以看作把函数y＝12sin2 x 的图象向________平移________个单位长度得到的．答案：右π81π解析：∵y＝sin 2x－2 4＝12sin2 x－π8，∴由y＝12sin2 x 的图象向右平移π8个单位长度便得到y＝12sin 2x－π4的图象．9．先将函数y＝sin2 x 的图象向右平移π个单位长度，再作所得图象关于y 轴的对称图3形，则最后所得图象的解析式是________．2π答案：y＝－sin 2x＋3解析：向右平移2ππ个单位长度得到y＝sin 2x－3 3，2π关于y 轴对称则y＝sin －2x－3＝－sin 2x＋2π3.三、解答题π10．用五点法画出函数y＝2sin 2x＋解：(1) 列表3的图象，并指出函数的单调区间．x －π6π12π37π125π6π2x＋30π2π3π22πy 0 2 0 －2 03π列表时由2x＋3的取值为0，π，π，23π2，2π，再求出相应的x 值和y 值．(2) 描点．(3) 用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得的简图向左、向右扩展，得到y＝2sin 2x＋π3 ( x∈R)的简图( 图略) ．可见在一个周期内，函数在7π，12π上递减，又因函数的周期为π，所以函数的递12减区间为kπ＋7ππ，kπ＋12 12( k∈Z) ．同理，递增区间为kπ－5π，kπ＋12π12( k∈Z)．11．先将函数y＝sin x 的图象向右平移π5个单位，再变化各点的横坐标( 纵坐标不变) ，得到最小正周期为2π的函数y＝sin( ωx＋φ)( 其中ω>0) 的图象，求ω和φ .3解：将函数y＝sin x 的图象向右平移ππ个单位，得到y＝sin x－5 5的图象，再变化y＝sin x－π5的图象各点的横坐标( 纵坐标不变)，得到最小正周期为23π的函数y＝sin( ωx2π＋φ)( 其中ω>0) 的图象，得到ω＝＝T 2π2π3＝3，所以ω＝3，φ＝－π5.能力提升12．要得到函数y＝cos 2x－π4的图象，只要将y＝sin2 x 的图象( )A．向左平移π个单位8B．向右平移π个单位8C．向左平移π个单位4D．向右平移答案：A π个单位4解析：y＝cos 2x－π4＝cosπ4－2x＝sin π－2ππ－2x ＝sin 2x＋4 44＝sin 2 x＋π8.13．函数y＝sin x 的图象可由y＝cos 2x－π6的图象经过怎样的变化而得到？解：∵y＝cos 2x－π6 ＝cosπ6－2x ＝sin π－2π6－2x＝sin 2x＋π3＝sin2 x＋π6.∴y＝cos 2x－π6＝sin2 x＋π6y横坐标变为原来的2倍＝sin2 x 纵坐―标―不→变y＝sin x.5。

三角函数的平移及伸缩变换一、单选题(共8道，每道12分)1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( )A.πB.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换7.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换8.将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换。

三角函数的平移伸缩变换题型一：已知开始和结果，求平移量ϕω【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 （C ） 向上平行移动3π个单位长度 （D ） 向下平行移动3π个单位长度【】为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度【】要得到函数cos y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）（A ）．向右平移π6个单位 （B ）．向右平移π3个单位 （C ）．向左平移π3个单位 （D ）．向左平移π6个单位【】要得到函数(21)y cos x ＝＋的图象，只要将函数2y cos x ＝的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位【】要得到sin(2)3y x π=-的图象，只需将sin 2y x =的图象 （ ）（A ）向左平移3π个单位 （B ）向右平移3π个单位 （C ）向左平移6π个单位 （D ）向右平移6π个单位【】.将函数sin 2y x =的图象作平移变换，得到函数sin(2)6y x π=-的图象，则这个平移变换可以是 （ ）A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【】为了得到函数4sin(3)()4y x x R π=+∈的图象，只需把函数4sin()()4y x x R π=+∈的图象上所有点（ ）A 、横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B 、横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变C 、纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D 、纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变．【2015山东】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【】为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位【】要得到cos(2)4y x π=-的图像，只需将sin 2y x =的图像（ ）A 向左平移8π个单位B 向右平移8π个单位C 向左平移4π个单位D 向右平移4π个单位【】已知函数()sin 4πf x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()R 0x ω∈>，的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度题型二：已知开始，平移量，求结果【】. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=-（C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-【】函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） （A ）sin(2),3y x x R π=-∈ （B ）sin(),26x y x R π=+∈（C ）sin(2),3y x x R π=+∈ （D ）2sin(2),3y x x R π=+∈【】函数3sin(2)3y x π=+的图象，可由y sinx =的图象经过下述哪种变换而得到 ( )（A ）向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍（B ）向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍（C ）向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的31倍（D ）向左平移6π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标缩小到原来的31倍【】.将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 . 【】. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是____________▲________________ .【】把函数sin(2)4y x π=+的图像向左平移8π个单位长度，再将横坐标压缩到原来的12，所得函数的解析式为（ ）。

3.4函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换【知识网络】1．函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义；２．函数sin()y A x ωϕ=+图象的变换（平移平换与伸缩变换） 【典型例题】 ［例1］(1)函数3sin()226x y π=+的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ．（１）32； 14π；26x π+；6π （2）函数2sin(2)3y x π=-的对称中心是 ；对称轴方程是；单调增区间是 ． （２）(,0),26k k Z ππ+∈；5,212k x k Z ππ=+∈； ()5,1212k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- （３）C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=． (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点 （ ）（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （４）C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像(5)将函数x x f y sin )(= 的图象向右平移4π个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 的表达式是 （ ）（A ）x cos （B ）x cos 2 （C ）x sin （D ）x sin 2 （５）B 提示: 212sin cos 2y x x =-=的图象关于x 轴对称的曲线是cos 2y x =-,向左平移4π得cos 2()sin 24y x x π=-+=2sin cos x x =［例2］已知函数2()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3x π=为其一条对称轴。

一、选择题1．将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π6个单位，则所得图像对应的解析式为（ ） A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭3．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）． A ．34-B ．43-C ．53-D ．45-4．在ABC 中，tan sin cos A B B <，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定5．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．已知函数()22sin cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距离为4π，则当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为（ ）A ．1-B ．C ．D ．-7．若函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能为（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．28．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A ．sin 6()22x x x f x -=- B ．sin 6()22x x x f x -=- C ．cos6()22x xx f x -=- D ．cos6()22x x xf x -=-9．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且1sin 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()tan απ+=（ ）A ．22-B ．2C ．24-D ．2410．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（ ） A ．13-B ．13C ．22D 2211．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当π取3.1416时可得cos89︒的近似值为（ ） A ．0.00873 B ．0.01745C ．0.02618D ．0.0349112．已知2cos 432θπ⎛⎫= ⎪⎝⎭-，则sin θ=（ ） A ．79 B ．19C ．－19D ．－79二、填空题13．角θ的终边经过点(1,3)P -，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________. 14．已知()tan 3πα+=，则2tan 2sin αα-的值为_______. 15．若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数ϕ=_____；16．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，且在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则ω的取值范围为______.17．若3sin 5αα=，是第二象限角，则sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．18．已知函数()cos 2f x x =，若12,x x 满足12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的一个取值为________．19．已知sin θ＋cos θ＝15，则tan θ＋cos sin θθ的值是____________________. 20．若πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=________. 三、解答题21．已知α，β为锐角，4tan 3α=，()tan 2αβ+=-. （1）求cos2α的值. （2）求()tan αβ-的值. 22．已知sin ,2sin 212a x x π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2cos ,sin 112b x x π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x a b =⋅ （1）求函数()y f x =的单调减区间和对称轴； （2）若关于x 的不等式()1f x m +<在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求m 的取值范围. 23．如图，以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴相交于点A ，点B ，P 在单位圆上，且525,B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，AOB α∠=.（1）求4cos 3sin 5cos 3sin -+αααα的值；（2）若四边形OAQP 是平行四边形，（i ）当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（ii ）设0)2(POA θθπ∠=≤≤，点(,)Q m n ，且()3f m n θ=+.求关于θ的函数()f θ的解析式，并求其单调增区间. 24．已知22sin 2sin12αα=-.（1）求sin cos cos2ααα+的值；（2）已知()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2tan 6tan 1ββ-=，求2αβ+的值.25．已知函数2()2sin )sin ()2f x x x x x ππ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭R .（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 26．已知函数()4cos sin (0)6f x x x πωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π． （1）求函数()f x 在区间(0,)π上的单调递增区间； （2）求()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】 将函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位，得到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C2．C解析：C 【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式． 【详解】解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象；将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．3．A解析：A 【分析】 由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】 ∵π3cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-． 故选：A ．4．C解析：C 【详解】∵tan sin cos A B B <，∴sin sin cos cos A BB A<，若A 是钝角，此不等式显然成立，三角形为钝角三角形，若A 是锐角，则sin sin cos cos A B A B <，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+>，,A B 是三角形内角，∴02A B π<+<，从而()2C A B ππ=-+>，C 为钝角，三角形仍然为钝角三角形． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断．解题过程中，由sin sin cos cos A BB A<常常直接得出sin sin cos cos A B A B <，然后可判断出C 是钝角，三角形是钝角三角形，也选择了正确答案，但解题过程存在不全面．即应该根据A 角是锐角还是钝角分类讨论．实际上就是不等式性质的应用要正确．5．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】 解：3sin7a π=>；427πππ<<， 4cos coscos 72πππ∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 6．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω+=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=，所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭，所以函数()f x 的最小值为-． 故选：D.7．A解析：A 【分析】先求解出sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭右移6π个单位后的函数解析式，然后根据诱导公式求解出ω的可取值. 【详解】因为sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭右移6π个单位后得到sin 63y x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 又因为sin 63y x ωππω⎛⎫=-+⎪⎝⎭与cos sin 2y x x πωω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象重合， 所以令2,632k k Z ωππππ-+=+∈，所以121,k k Z ω=--∈，所以ω可取1-，此时0k =， 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据三角函数的图象重合求解参数ω或ϕ的思路： （1）先根据诱导公式将函数名统一； （2）然后分析三角函数初相之间的关系；（3）对k 进行取值（有时注意结合所给范围），确定出满足条件的ω或ϕ的值.8．D解析：D 【分析】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，依次判断每个函数即可得出. 【详解】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，对于A ，当x 从右趋近于0时，sin60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误； 对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B对于C ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C错误； 对于D ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===---，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.9．A解析：A 【分析】由条件可得1cos 3α=-，然后可得sin α=，然后()sin tan tan cos ααπαα+==，即可算出答案. 【详解】因为1sin cos 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α=所以()sin tan tan cos ααπαα+===-故选：A10．A解析：A 【分析】 运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】 解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-， 即有1sin[()]243ππα-+=-， 即1cos()43πα+=-.11．B解析：B 【分析】根据cos89sin1︒=，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解. 【详解】因为()cos89cos 901sin1︒=-=，所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为1︒， 所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，即2136011sin112π⨯⨯⨯⨯≈，所以 3.1416sin10.01745180180π≈≈≈， 故选：B12．C解析：C 【分析】根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角公式，即可求出结果. 【详解】 因为2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-， 所以241sin cos 2cos 12124299ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C二、填空题13．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算 【详解】由题意sin 2θ=，1cos 2θ=，所以，1sin cos 62πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-， 故答案为：12-14．【分析】利用诱导公式求出再利用二倍角公式求出以及同角三角函数的基本关系求出即可得解；【详解】解：由题意所以所以所以故答案为： 解析：3320-【分析】利用诱导公式求出tan α，再利用二倍角公式求出tan2α，以及同角三角函数的基本关系求出2sin α，即可得解； 【详解】解：由题意()tan 3πα+=，所以tan 3α=，所以22tan 3tan 21tan 4ααα==--，222222sin tan 9sin sin cos tan 110αααααα===++，所以23933tan 2sin 41020αα-=--=-. 故答案为：3320-15．【分析】根据函数奇偶性表示出进而可得结果【详解】因为函数为奇函数所以只需又即所以时取最小值故答案为：解析：2π 【分析】 根据函数奇偶性，表示出ϕ，进而可得结果. 【详解】因为函数cos()y x ϕ=+为奇函数， 所以只需,2k k Z πϕπ=+∈，又0ϕ>，即0,2k k Z ππ+>∈，所以0k =时，ϕ取最小值2π. 故答案为：2π. 16．【分析】由函数图象关于原点对称可得再由在区间上是增函数可得解不等式即可【详解】由函数的图象关于原点对称得即因为在区间上是减函数所以在区间上是增函数又是函数的单调递增区间所以又解得故答案为：解析：30,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由函数图象关于原点对称可得2ϕπ=，再由2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解不等式即可.【详解】由函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，得2ϕπ=， 即()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数， 所以2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，又,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数2sin y x ω=的单调递增区间， 所以22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，又0>ω，解得304ω<≤.故答案为：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦17．【分析】根据条件分别求再代入求两角和的正弦【详解】且是第二象限角故答案为：解析：50-【分析】根据条件分别求cos α，sin 2α，cos2α，再代入求两角和的正弦 【详解】3sin 5α=，且α是第二象限角，4cos 5α∴==- 27cos 22cos 125αα∴=-=，3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，)sin 2sin 2cos 24πααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：18．（答案不唯一）【分析】根据的值域为可知若满足则必有的值分别为再根据三角函数的性质分析即可【详解】因为的值域为故若满足则必有的值分别为故的最小值当且仅当为相邻的两个最值点取得此时为的半个周期即故答案为解析：π2（答案不唯一） 【分析】根据()cos2f x x =的值域为[]1,1-可知若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,再根据三角函数的性质分析即可.【详解】因为()cos2f x x =的值域为[]1,1-,故若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,故12x x -的最小值当且仅当12,x x 为()cos2f x x =相邻的两个最值点取得.此时12x x -为()cos2f x x =的半个周期,即12222ππ⨯=. 故答案为：2π【点睛】关键点点睛：相邻的两个最值点的横坐标的距离为半个周期是解题的突破点.19．【分析】先通过已知求出再化简tanθ＋即得解【详解】由sinθ＋cosθ＝得tanθ＋故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把sinθ＋cosθ＝两边平方得到 解析：2512-【分析】先通过已知求出12sin cos 25θθ=-，再化简tan θ＋cos sin θθ即得解. 【详解】 由sin θ＋cos θ＝15得1121+2sin cos ,sin cos 2525θθθθ=∴=-. tan θ＋cos sin θθsin cos 125cos sin sin cos 12θθθθθθ=+==-.故答案为：2512-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把sin θ＋cos θ＝15两边平方得到12sin cos 25θθ=-. 20．或【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开再进行平方再根据正弦的二倍角公式可答案得【详解】由得即所以或当时两边同时平方得所以解得；当时所以所以所以故答案为：或解析：1-或12【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开，再进行平方，再根据正弦的二倍角公式可答案得． 【详解】 由πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得)22cos +sin cos sin 2αααα=-，即)()()cos +sin cos sin cos +sin αααααα=-，所以cos sin =αα-或cos +sin 0αα=，当cos sin =2αα-时，两边同时平方得112sin cos =2αα-，所以11sin2=2α-.解得sin 2α=12； 当cos +sin 0αα=时，tan 1α=-，所以()+,4k k Z παπ=-∈所以()2+2,2k k Z παπ=-∈所以sin 21α=-，故答案为：1-或12. 三、解答题21．（1）725-；（2）211-.【分析】（1）利用同角三角函数的关系以及二倍角公式即可求值； （2）先求出24tan 27α=-，再利用()()tan tan 2αβααβ-=-+⎡⎤⎣⎦即可求解. 【详解】解：（1）由题意知：α为锐角，且22sin 4tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得：4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，229167cos 2cos sin 252525ααα∴=-=-=-； （2）由（1）知，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=， 则24sin 22425tan 27cos 2725ααα===--， ()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+，()()241022775524111277----===-⎛⎫+-⨯- ⎪⎝⎭， 故()2tan 11αβ-=-. 22．（1）单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；对称轴为23k x ππ=+，k ∈Z ；（2）()1,+∞. 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可令()()sin 261g f x x x π⎛⎫-== ⎝+⎪⎭，依题意可得()m g x >在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.根据正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：（1）()()22sin cos 2sin 11212a b x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 22cos sin 2cos 2166x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 21sin 2126x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+， 所以()f x 的单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 再令262x k πππ-=+，解得23k x ππ=+，所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+，k ∈Z （2）令()()sin 261g f x x x π⎛⎫-== ⎝+⎪⎭因为()1f x m +<在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()m g x >在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()max 13x g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭所以1m ，于是m 的取值范围是()1,+∞ 【点睛】本题解答的关键是三角恒等变换及三角函数的性质的应用，利用恒等变换公式及辅助角公式()sin cos a x b x x ϕ+=+，其中（tan baϕ=） 23．（1）10-；（2）（i ）22(1)1x y -+=；（ii ）()2sin 16f πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由三角函数定义得tan 2α，再弦化切代入计算，即可求4cos 3sin 5cos 3sin -+αααα的值；（2）（i ）设PA 中点为H ，()11,P x y ，(),Q x y ，则22111x y +=，111,22x y H +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此可求点O 的轨迹方程；（ii）确定()cos 12sin 16f πθθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，即可求其单调增区间. 【详解】解：（1）由三角函数定义得tan 25α==-，所以44cos 3sin 5cos 3si 3tan 1010tan 1n 53αααααα-===-+--+.（2）∵四边形OAQP 是平行四边形，∴PA 与OQ 互相平分，（i ）设PA 中点为H ，()11,P x y ，(),Q x y ，则22111x y +=，111,22x y H +⎛⎫⎪⎝⎭，又,22x y H ⎛⎫⎪⎝⎭，所以111x x y y =-⎧⎨=⎩，代入上式得点Q 的轨迹方程为22(1)1x y -+=. （ii ）因为0)2(POA θθπ∠=≤≤，所以11cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，又由（i ）知111x m y n =-⎧⎨=⎩，∴cos 1sin m n θθ=+⎧⎨=⎩，∴()cos 12sin 16f πθθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∵22,26202k k k ππππθπθπ⎧-≤+≤+∈⎪⎨⎪≤≤⎩Z ， ∴03πθ≤≤或423πθπ≤≤， ∴()fθ的增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程. 24．（1）15；（2）74π. 【分析】（1）先求出1tan 2α=-，再化简22tan 1tan sin cos cos 2tan 1αααααα+-+=+即得解；（2）先求出1tan 23β=-，再求出tan(2)1αβ+=-，求出52,23παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，即得解. 【详解】（1）由已知得2sin cos αα=-，所以1tan 2α=-222222sin cos cos sin tan 1tan 1sin cos cos 2sin cos tan 15αααααααααααα+-+-+===++ （2）由2tan 6tan 1ββ-=，可得22tan 1tan 21tan 3βββ==--，则11tan tan 223tan(2)1111tan tan 2123αβαβαβ--++===---⨯. 因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,βπ∈，又1tan 23β=->52,6πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因为()0,απ∈，1tan 23α=->-， 则5,6παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则52,23παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以724παβ+=. 【点睛】易错点睛：本题容易得出两个答案，724παβ+=或34π.之所以得出两个答案，是没有分析缩小,αβ的范围，从而得到52,23παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭.对于求角的大小的问题，一般先求出角的某三角函数值，再求出角的范围，再得到角的大小.25．（1）最小正周期为π；（2）单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（3）[0,3].【分析】（1）逆用二倍角公式化简整理可得()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用2T ωπ=即可求得()f x 的最小正周期；（2）令26z x π=-，利用函数2sin 1y z =+的图像与性质，列出不等式，即可求得()f x 的单调递减区间；（3）由20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图像与性质，即可求得()f x 的取值范围.【详解】 （1）由已知可得()1cos 2cos f x x x x =-+2cos 21x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）令26z x π=-，函数2sin 1y z =+的单调递减区间是32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .所以3222262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z 得536k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z . 所以()f x 的单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()[0,3]f x ∈， 即()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是[0,3]. 【点睛】本题考查二倍角公式的逆用，辅助角公式的应用，正弦型函数的单调区间、周期和值域问题，综合性较强，考查计算化简，数形结合的能力，考查整体性的思想，属基础题. 26．（1）0,3π⎛⎤⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）1. 【分析】（1）利用两角和差的三角公式结合辅助角公式进行化简，结合周期公式求出ω的值，结合单调性进行求解即可；（2）根据3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得到7212612x πππ≤-≤可得()f x 最大值. 【详解】（1）1()4cos cos 22f x x x x ωωω⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos 21x x x x x ωωωωω=-=--2sin 216x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π，所以22T ππω==． 又0>ω，所以1ω=， 所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令222()262k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，得()63k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间为0,3π⎛⎤⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． （2）当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，7212612x πππ≤-≤．当226x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合两角和差的三角公式以及辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合的函数的性质是解决本题的关键，难度中等.。

一、选择题1．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则错误的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 2．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点()0,0x 成中心对称，00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x 等于（ ） A ．512πB ．4π C ．3π D ．6π 3．sin 3π=（ ）A ．12B ．12-C ．2D ． 4．已知3sin 5α=-，则cos2=α（ ） A ．15-B ．15C ．725-D ．7255．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6．在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．形状无法确定7．函数()[sin()cos()]f x A x x ωθωθ=+++部分图象如图所示，当[,2]x ππ∈-时()f x 最小值为（ ）A ．1-B ．2-C ．2-D ．3-8．已知函数()()2sin 3cos ,0,2f x x x x π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（ ）. A ．3-B ．12-C ．3 D ．1210．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<11．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()32sin 34f x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭12．要得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像（ ） A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 二、填空题13．若ππ2α<<，π02β<<，且5sin α=，3π3cos 85β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3πcos 8αβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭______.14．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+，对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭成立，则a =_______.15．若tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= ________． 16．在半径为2米的圆形弯道中，56π角所对应的弯道为_________． 17．若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数ϕ=_____； 18．若()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，则()()tan 06g x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为______．19．已知tan 2α=，则cos2=α__． 20．已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin sin 2αα+=______. 三、解答题21．某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC ，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长； （2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．22．已知函数)(23sin cos cos 2f x x x x =+.（1）求)(f x 的最小正周期和值域.（2）求)(f x 的单调区间.23．已知函数()3cos 22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期和单调减区间； （2）求证：当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-.24．函数[)()()sin()0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式； （2）若[]0,x π∈且6()2f x ≥，求x 的取值范围. 25．已知()()sin23cos2f x x x x R =∈（1）求56f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的取值范围． 26．已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+.（1）化简()fα；（2）若()18f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可. 【详解】A. 1C 上各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向左平移6π个单位长度，得到2sin 2+=2sin 2+63y x x ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确； B. 1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向右平移56π个单位长度，得到5552sin 2=2sin 2=2sin 222sin 26333y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确； C. 1C 向左平移3π个单位长度，得到2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，正确； D. 1C 向左平移6π个单位长度，得到2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，错误.故选：D2．A解析：A 【分析】由已知条件求得函数()f x 的最小正周期T ，可求得ω的值，再由已知可得()026x k k Z ππ+=∈，结合00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得0x 的值. 【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期T 满足22T π=，T π∴=，22T πω∴==，()sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 的图象关于点()0,0x 成中心对称，则()026x k k Z ππ+=∈，解得()0212k x k Z ππ=-∈， 由于00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0512x π=. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行： （1）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于直线0x x =对称()02x k k Z πωϕπ⇔+=+∈；（2）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于点()0,0x 对称()0x k k Z ωϕπ⇔+=∈.3．C解析：C 【分析】根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果. 【详解】sin32π=. 故选：C.4．D解析：D 【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】 因为3sin 5α=-， 所以297cos 212sin 122525αα=-=-⨯=. 故选：D.5．C解析：C 【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式． 【详解】 解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象； 将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．6．A解析：A 【分析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得． 【详解】∵在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，∴sin sin()2sin cos C A B A B =+=，∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，in 0()s A B -=， 又,(0,)A B π∈，∴0A B -=，A B =，三角形为等腰三角形． 故选：A ．7．D解析：D 【分析】首先结合图像求得()f x 的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间[],2ππ-上的最小值.【详解】由已知()()sin 04f x x πωθω⎛⎫=⋅++> ⎪⎝⎭，由图象可知取A =，52433T πππ=-=，故最小正周期4T π=，所以212T πω==， 所以()12sin 24f x x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由55152sin 2sin 0332464f πππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，及图象单调性知，取564ππθπ++=，则46ππθ+=所以()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[],2x ππ∈-，17,2636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ()f x 最小值为()2sin 3f ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：D8．A解析：A 【分析】根据三角恒等变换公式化简()f x ，结合x 的范围，可得选项. 【详解】因为()()2sin ,0,2f x x xx π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以 ()()222sin sin cos +3cos f x x xx x x x +==222cos +12cos 2+22sin 2+26x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72+,666x πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以由2+662x πππ≤≤，解得06x π≤≤， 所以()f x 的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：A.9．C解析：C 【分析】 直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒= 故选：C.10．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】 解：3sin7a π=>；427πππ<<， 4cos coscos 72πππ∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 11．B解析：B 【分析】根据函数图象得到3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T Tππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求解. 【详解】由函数图象知：3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭， 所以2,2T Tππω===， 又函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以 522,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得 2,3k k Z πϕπ=-∈，又因为 0πϕ-<<， 所以3πϕ=-，所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12．B解析：B 【分析】化简函数cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即可判断. 【详解】cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴需将函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位.故选：B.二、填空题13．【分析】先根据题意求出和再根据两角和的余弦公式求解即可【详解】由可得因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考和角公式的应用解题时会判断所求角所在的象限属于基础题解析：25【分析】先根据题意求出cos α和3πsin 8β⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据两角和的余弦公式求解即可. 【详解】由ππ2α<<，sin α=，可得cos α==，因为π3π3π7π02888ββ<<⇒<+<，3π3cos 85β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以3π4sin 85β⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以3π3π3πcos cos cos sin sin 888αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭34555525⎛⎛⎫=-⨯--= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考和角公式的应用，解题时会判断所求角所在的象限，属于基础题.14．1【分析】利用辅助角公式和为的形式：根据已知可得是f(x)的图象的对称轴进而求得利用的关系和诱导公式求得的值【详解】解：其中∵对成立∴是f(x)的图象的对称轴即∴故答案为：1【点睛】本题考查三角函数解析：1 【分析】利用辅助角公式和为()Asin x ωϕ+的形式：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，根据已知可得π8x =是f(x)的图象的对称轴，进而求得ϕ，利用,a ϕ的关系tan a ϕ=和诱导公式求得a 的值. 【详解】解：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+， 其中sin tan a ϕϕϕ===.∵对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立， ∴π8x =是f(x)的图象的对称轴，即π2,82k k Z πϕπ⨯+=+∈, ∴,4k k Z πϕπ=+∈，tan 1a ϕ==，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前提，理解,a ϕ的关系是基础，由对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，得出π8x =是f(x)的图象的对称轴是关键.15．1【分析】把求值式转化为关于的二次齐次分式然后转化为代入求值【详解】∵∴故答案为：1【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式考查同角间的三角函数关系在已知求值时对关于的齐次式一般转化为关于的式子再代入值解析：1 【分析】把求值式转化为关于sin ,cos αα的二次齐次分式．然后转化为tan α，代入求值． 【详解】 ∵tan 4α=，∴222222cos 4sin cos 14tan 144cos 2sin 21sin cos tan 141ααααααααα+++⨯+====+++．故答案为：1． 【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数关系．在已知tan α求值时，对关于sin ,cos αα的齐次式，一般转化为关于tan α的式子．再代入tan α值计算．如一次齐次式：sin cos sin cos a b c d αααα++，二次齐次式：2222sin sin cos cos sin sin cos cos a b c d e f αααααααα++++， 另外二次式22sin sin cos cos m n p αααα++也可化为二次齐次式．16．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为： 解析：53π【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为55263ππ⨯=. 故答案为：53π. 17．【分析】根据函数奇偶性表示出进而可得结果【详解】因为函数为奇函数所以只需又即所以时取最小值故答案为：解析：2π【分析】 根据函数奇偶性，表示出ϕ，进而可得结果. 【详解】因为函数cos()y x ϕ=+为奇函数， 所以只需,2k k Z πϕπ=+∈，又0ϕ>，即0,2k k Z ππ+>∈，所以0k =时，ϕ取最小值2π.故答案为：2π. 18．【分析】先由的最小正周期求出的值再由的最小正周期公式求的最小正周期【详解】的最小正周期为即则所以的最小正周期为故答案为：解析：8π 【分析】 先由()f x 的最小正周期，求出ω的值，再由()tan y x ωϕ=+的最小正周期公式求()g x 的最小正周期. 【详解】()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，即24ππω=，则8ω=所以()tan 86g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为8T π=故答案为：8π 19．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为： 解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35． 20．1【分析】首先根据已知条件求得再结合齐次方程求得【详解】由已知得解得所以故答案为：1解析：1 【分析】首先根据已知条件求得tan α，再结合齐次方程求得2sin sin 2αα+. 【详解】 由已知得1tan 31tan αα+=-，解得1tan 2α=.所以22222211sin 2sin cos tan 2tan 4sin sin 211sin cos tan 114αααααααααα++++====+++. 故答案为：1三、解答题21．（1）3百米；（2）7百米． 【分析】（1）先在三角形PBC 中利用已知条件求出PC 的长度，再在三角形PAC 中利用余弦定理求出PA 的长度，即可求解；（2）设出等腰三角形的边长以及角CEF ，则可求出CF 的长度，进而可得AF 的长度，再利用角的关系求出角ADF 的大小，然后在三角形ADF 中利用正弦定理化简出a 的表达式，再利用三角函数的最值即可求出a 的最小值，进而可以求解． 【详解】解：（1）因为P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=， 又1BC =，所以π6PCB ∠=，3PC =，又因为π2ACB ∠=，所以π3ACP ∠=， 则在三角形PAC 中，由余弦定理可得：222π72cos33AP AC PC AC PC =+-⋅=，解得3AP =，所以连廊3AP PC +=百米； （2）设正三角形DEF 的边长为a ，()0πCEF αα∠=<<， 则sin CF a α=，sin AF a α=，且EDB α∠=，所以2π3ADF α∠=-， 在三角形ADF 中，由正弦定理可得：sin sin DF AF A ADF =∠∠，即πsin sin 63a α=- ⎪⎝⎭即1sin 23a α=- ⎪⎝⎭，化简可得2π2sin sin 3a αα⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以7a ===≥（其中θ为锐角，且tan 2θ=），百米，所以三角形DEF 连廊长的最小值为7百米． 【点评】方法点睛：在求三角形边长以及最值的问题时，常常设出角度，将长度表示成角度的三角函数，利用三角函数的值域求最值.22．（1）周期为π，值域为]2,2⎡-⎣；（2）单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝，则可求出周期和值域；（2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得单调递增区间，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得单调递减区间. 【详解】（1）∵)(cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫==+⎪ ⎭⎝， 所以，函数)(y f x =的周期为22T ππ==，值域为]2,2⎡-⎣. （2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得)(36k k k Z ππππ-≤+∈， 所以，函数)(y f x =的单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣， 解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得)(263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因比，函数)(y f x =的单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 23．（1）最小正周期π，单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用两角差余弦公式、正弦倍角公式及辅助角公式可得()sin 23f x x，即可求最小正周期，整体代入求单调减区间； （2）由44x ππ-≤≤得52636x πππ-≤+≤，即可得()f x 的值域，进而判断()12f x ≥-是否成立. 【详解】解：（1）3()sin 2sin 22f x x x x =+-1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 令3222232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由44x ππ-≤≤，知：52636x πππ-≤+≤，则有()f x 的值域为1[,1]2-，∴1sin 232x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，即当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-得证. 【点睛】关键点点睛：（1）利用三角恒等变换：两角和差公式、辅助角公式化简三角函数式，并确定函数性质. （2）根据（1）的三角函数解析式结合已知定义域范围确定值域，判断函数不等式是否成立.24．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}0,6ππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由图可得：A =724123T πππω=-=可求ω的值，再令2(21)3k πϕπ⨯+=+()k Z ∈结合[)0,2ϕπ∈可求ϕ的值，进而可求()f x 的解析式；（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以结合正弦函数的图象和[]0,x π∈即可求解.【详解】（1）由题意知：A =741234T πππ=-=，所以2T ππω==即=2ω，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，02ϕπ≤<，所以=3πϕ，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 所以()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 令0k =可得22333x πππ≤+≤，解得06x π≤≤，令1k =可得2222333x πππππ+≤+≤+，解得：76x ππ≤≤， 因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或x π=，即{}0,6x ππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦ 【点睛】关键点点睛：利用五点法求函数解析式，关键是3x π=是下降零点，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，结合[)0,2ϕπ∈即可求ϕ23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈对k 取值，再与[]0,x π∈求交集即可. 25．（1）0；（2）[]1,2. 【分析】（1）本题可直接将56x π=代入函数()f x 中，通过计算即可得出结果； （2）本题首先可根据两角和的正弦公式将函数()f x 转化为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，最后根据正弦函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）555sin 063322f πππ⎛⎫==-+=⎪⎝⎭，（2）()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 则1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的取值范围为[]1,2.26．（1）sin cos αα⋅；（2）. 【分析】（1）由诱导公式运算即可得解；（2）由平方关系可得()23cos sin 4αα-=，再由cos sin αα<即可得解. 【详解】（1）由诱导公式()2sin cos tan ()sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-； （2）由()1sin cos 8f ααα==可知 ()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+1312sin cos 1284αα=-=-⨯=，又∵42ππα<<，∴cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴cos sin 2αα-=-.。

三角函数的平移、伸缩变换（一）（人教A版）一、单选题(共15道，每道6分)1.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )A.向左平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换2.为了得到函数的图象，只需把的图象上所有的点( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度|答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换3.把函数图象所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则新的函数为( )..答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换4.把函数图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则新的函数为( )..`答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换5.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为( )..答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换6.由的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则为( )..%答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换7.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )..答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换8.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为( )..$答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换9.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )..答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换10.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )..~答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换11.将函数的图象上每点的横坐标缩小为原来的，再向下平移2个单位，所得图象的函数解析式是( )..答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换12.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的倍，将所得图象向左平移2个单位，纵坐标不变，所得图象的函数解析式是( )..|答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换13.由函数的图象得到函数的图象，下列变换错误的是( )A.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍B.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度C.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍D.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的答案：D解题思路：根据三角函数变换的性质，选D.试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换14.由函数的图象得到函数的图象，下列变换正确的是( )A.将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍B.将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位长度C.将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位长度D.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍》答案：C解题思路：根据三角函数变换的性质，选C.试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换15.由函数的图象得到函数的图象，下列变换错误的是( )A.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的B.将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位C.将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位D.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的答案：C解题思路：根据三角函数变换的性质，选C.试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。

三角函数图象的平移和伸缩函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．练习1、要得到函数y=2cos （x+）sin （﹣x ）﹣1的图象，只需将函数y=sin2x+cos2x 的图象（ ）A 、向左平移个单位B 、向右平移个单位C 、向右平移个单位 D 、向左平移个单位2、将函数y=3sin （2x+θ）的图象F 1按向量平移得到图象F 2，若图象F 2关于直线对称，则θ的一个可能取值是（ ）A 、B 、C 、D 、3、将函数的图象按向量平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A、B、C、D、sin（2x）+34、把函数y=（cos3x﹣sin3x）的图象适当变化就可以得到y=﹣sin3x的图象，这个变化可以是（）A、沿x轴方向向右平移B、沿x轴方向向左平移C、沿x轴方向向右平移D、沿x轴方向向左平移5、为了得到函数y=的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A、向右平移个单位长度B、向右平移个单位长度C、向左平移个单位长度D、向左平移个单位长度6、把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得到图象对应的函数解析式为（）A、B、C、D、1、D2、A3、D．4、D．5、A．6、D。

高二数学三角函数图象变换试题答案及解析1.将奇函数的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知可知f（x）的图象过点，则即，答案选B.【考点】三角函数的图象与变换2.在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是（）【答案】C【解析】将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx即y′=sinx′，横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是：，故选C．【考点】函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换.3.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】D【解析】三角函数的左右平移就是x的值的变化，相应y值的变化.所以要将函数中的x变为，就可得函数，所以图像是向右平移了个单位.即选D.【考点】三角函数图像的平移.4.要得到函数的导函数的图象，只需将的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）【答案】D【解析】根据题意，由于函数的导函数=2cos(2x+)的图象，那么可以将的图象向左平移个单位，得到2sin（(2（x+)+)，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到=2cos(2x+)，故答案为D.【考点】三角函数图象的变换点评：主要是考查了三角函数图象的变换，属于基础题。

5.要得到函数的导函数的图象，只需将的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）【答案】D【解析】根据题意，由于=，根据三角函数的变换规律可知只需将的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到函数的导函数的图象，故选D【考点】三角函数的图像变换点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于基础题．6.根据市气象站对春季某一天气温变化的数据统计显示，气温变化的分布可以用曲线拟合（，单位为小时,表示气温，单位为摄氏度，，），现已知这天气温为4至12摄氏度，并得知在凌晨1时整气温最低，下午13时整气温最高。

高三数学三角函数图象变换试题答案及解析1.将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．【答案】.【解析】将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，故所得的图象的函数解析式为．【考点】三角函数图象变换．2.将函数图象所有的点向右移动个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数图象所有的点向右移动个单位长度后所得图象的函数解析式为，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为.故C正确.【考点】三角函数的伸缩平移变换.3. (2014·大同模拟)为了得到函数y=3sin的图象,只要把函数y=3sin的图象上所有的点()A．向右平行移动个单位长度B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度【答案】C【解析】因为y=3sin=3sin,所以要得到函数y=3sin的图象,应把函数y=3sin的图象上所有点向右平行移动π个单位长度.4.将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的函数对应的表达式为，则函数的表达式可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可化为.依题意等价于将函数向下平移一个单位得到，再向右平移个单位即可得到.【考点】1.三角函数的平移.2.三角函数诱导公式.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【答案】C【解析】将函数的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到，然后向左平移个单位得到函数，选C.6.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】依题意，把函数左右平移各单位长得函数的图象，即函数的图象，∴，解得，故选C.7.如图是函数y=Asin(x+)(x∈R)在区间[-,]上的图象,为了得到这个函数图象,只要将y=sinx(x∈R)的图象上所有点( )A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由图像可得: -+=0且+=="2," =∵函数的最大值为1,∴y=sin(2x+)8.设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】C【解析】由题意可得最小正周期T＝,所以===.故选C9.已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于的说法正确的是( )A．图象关于点中心对称B．图象关于轴对称C．在区间单调递增D．在单调递减【答案】C【解析】函数向左平移个单位后，得到函数即令，得，不正确；令，得，不正确；由，得即函数的增区间为减区间为故选.【考点】三角函数图象的平移，三角函数的图象和性质.10.已知函数的图象经过点.（1）求实数的值；（2）设，求函数的最小正周期与单调递增区间.【答案】（1）；（2）最小正周期为，单调递增区间为.【解析】（1）将点代入函数的解析式即可求出实数的值；（2）根据（1）中的结果，先将函数的解析式进行化简，化简为或，再根据周期公式计算函数的最小正周期，再利用整体法对施加相应的限制条件，解出的取值范围，即可求出函数的单调递增区间.试题解析：（1）由于函数的图象经过点，因此，解得，所以；（2），因此函数的最小正周期，由，解得，故函数的单调递增区间为.【考点】1.二倍角公式；2.三角函数的周期性与单调性11.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数f(x)的图象,则f(－π)等于( )A．B．C．D．－【答案】D【解析】因为将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，得到的函数解析式为.再把函数各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到.所以.【考点】1.三角函数的左右平移.2.三角函数的伸缩变换.12.要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos 2x的图像()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】C【解析】把函数y＝cos 2x的图像向左平移个单位，得y＝cos 2的图像，即y＝cos(2x ＋1)的图像，因此选C.13.函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________.【答案】π【解析】y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位，得函数y＝cos(2x＋φ－π)的图象．又y＝sin＝cos＝cos，依题意，φ－π＝2kπ－，k∈Z.由于－π≤φ≤π，因此φ＝π.14.为了得到函数y＝sin 的图象，只需把函数y＝sin 的图象()．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】注意到把y＝sin 的图象向右平移个单位长度得到y＝sin [2(x－)＋]＝sin 的图象，故选B.15.函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 3x的图象，只需将f(x)的图象()．A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】C【解析】由图象可知A＝1，，即T＝＝，所以ω＝3，所以f(x)＝sin (3x＋φ)，又f＝sin ＝sin ＝－1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<所以φ＝，即f(x)＝sin，又g(x)＝sin 3x＝sin＝sin ，所以只需将f(x)的图象向右平移个单位长度，即可得到g(x)＝sin 3x的图象．16.把函数的图象按向量=（－，0）平移，所得曲线的一部分如图所示，则，的值分别是（）A．1，B．2，－C．2，D．1，－【答案】B【解析】把函数的图象按向量=（－，0）平移，得.由图得函数的周期.又.选B.【考点】三角函数图象的变换.17.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】由函数图像知函数的周期为，则，排除A、D，当时，函数值为1，则C正确．【考点】三角函数的图像及其性质．18.函数的部分图像如图，其中,且，则f(x)在下列哪个区间中是单调的（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当图像过原点时，即时，，在上为减函数，上为增函数当图像的最高点在轴上时，，在上是减函数，上为增函数，所以在上是单调的.【考点】1.三角函数的单调区间；2.三角函数图像.19.为了得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【答案】D【解析】由于，所以，为了得到函数的图像，只需将函数的图像，向左平移个单位，选D.【考点】三角函数图像的平移20.已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中常数(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，用五点法作出函数在区间的图像.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析.【解析】(Ⅰ)由向量的数量积的坐标表示将表示出来，并利用正弦和余弦的二倍角公式将其表示为的形式，再由对称轴为，所以在处函数值取到最大值或最小值，从而得，代入并结合求的值，再利用和的关系，求；(Ⅱ)用代换得，先由，确定，从中取特殊点，，，，，再计算相应的自变量和函数值，列表，描点连线，即得在给定区间的图象.试题解析：(Ⅰ)，；(Ⅱ)0-2020【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、正弦和余弦的二倍角公式；3、五点作图法.21.已知函数（其中）的部分图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【答案】A【解析】由图可知，则，，所以，而，所以，因而，要想得到，只需将向右平移个单位，故选择A.【考点】1.根据函数图像确定函数解析式；2.三角函数图像的平移.22.若函数的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的，再将整个图象向右平移个单位，沿轴向下平移个单位，得到函数的图象，则函数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将的图象向上平移1个单位得，再将整个图象向左平移个单位，得，然后将横坐标扩大到原来的2倍得，，选A.【考点】三角函数图象平移变换.23.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图像，将函数图象上所有点再向右平移个单位长度得到函数的图像.【考点】三角函数的周期变换和平移变换.24.将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得函数的图象；再向右平移个单位，得到的函数为.由得：.结合选项知，它的一个对称中心是，选 A.【考点】1、三角函数图象的变换；2、三角函数的对称中心.25.将函数的图像平移后所得的图像对应的函数为，则进行的平移是（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【答案】B【解析】，因此需将函数的图像向左平移个单位.【考点】三角函数的图像变换.26.将函数图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图像的解析式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图像向左平移个单位长度，得到,横坐标扩大为原来的2倍，得，故选B.【考点】三角函数图像的平移.27.已知的图象与的图象的两相邻交点间的距离为，要得到的图象，只须把的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】C【解析】，，由于函数的图象与的图象的两相邻交点的距离为，即函数的最小正周期为，，，故得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位.【考点】辅助角变换、三角函数周期、三角函数图象变换28.将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则的解析式为 () A．B．C．D．【答案】A【解析】将图像向左平移个单位，得到.【考点】三角函数图像的平移.29.设把的图象按向量 (>0)平移后，恰好得到函数=()的图象，则的值可以为（）A．B．C．πD．【答案】D【解析】利用三角函数图象变换规律，以及利用函数求导得出 y=- sin（x-φ-）与f′（x）=-sinx-cosx=-sin（x+）为同一函数．再利用诱导公式求解．解：f（x）=cosx-sinx=-sin（x-），f′（x）=-sinx-cosx=-sin（x+），把y=f（x）的图象按向量（φ＞0）平移，即是把f（x）=cosx-sinx的图象向右平移φ 个单位，得到图象的解析式为y=-sin（x-φ-），由已知，与f′（x）=-sinx-cosx=-sin（x+）为同一函数，所以-φ-=2kπ+，取k=-1，可得φ=故选D．【考点】三角函数图象变换点评：本题考查了三角函数图象变换，函数求导，三角函数的图象及性质．30.函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将g(x)=sin2x的图象A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位【答案】B【解析】由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，我们易分析出函数的周期、最值，进而求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式，设出平移量a后，根据平移法则，我们可以构造一个关于平移量a的方程，解方程即可得到结论。

三角函数的平移、伸缩变换（人教A版）一、单选题(共14道，每道7分)1.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为( )A. B.C. D.2.由的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则为( )A. B.C. D.3.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )A. B.C. D.4.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为( )A. B.C. D.5.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )A. B.C. D.6.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A. B.C. D.7.将函数的图象上每点的横坐标缩小为原来的，再向下平移2个单位，所得图象的函数解析式是( )A. B.C. D.8.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将其图象向右平移2个单位长度，所得函数图象对应的解析式为( )A. B.C. D.9.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的倍，将所得图象向左平移2个单位，纵坐标不变，所得图象的函数解析式是( )A. B.C. D.10.由函数的图象得到函数的图象，下列变换错误的是( )A.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的B.将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位C.将函数的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位D.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的11.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增12.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数图象向右平移个单位长度，得到的函数图象的一个对称中心是( )A. B.C. D.13.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数的图象为( )A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线对称D.关于直线对称14.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度长。

三角函数第七课 §三角函数图像变换复习：指出y = sin x 的图像变换为)32sin(π+=x y 的图像的两种方法平移法过程：两种方法殊途同归(1) y=sinx相位变换y=sin(x+φ)周期变换y=sin(ωx+φ)振幅变换 )sin(ϕ+ω=x A y (2)y=sinx 周期变换y=sin ωx 相位变换y=sin(ωx+φ)振幅变换)sin(ϕ+ω=x A y三种变换： 1. 平移变换①对“x ”左加右减; ②对“y ”上加下减。

2. 翻折变换 ①关于x 轴翻折 ②关于y 轴翻折 ③关于原点翻折 ④对“x ”加绝对值 ⑤对“y ”加绝对值 3. 伸缩变换②周期变换巧求初相角，最高点法例题如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)，｜ϕ｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式.练习：1.(1)y ＝sin(x ＋4π)是由y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. (2)y ＝sin(x －4π)是由y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. (3)y ＝sin(x －4π)是由y ＝sin(x ＋4π)向 平移 个单位得到的.2.要得到函数y ＝sin(2x －3π)的图象，只须将函数y ＝sin2x 的图象 A.向左平移3πB.向右平移3πC.向左平移6πD.向右平移6π3.若将某函数的图象向右平移2π以后所得到的图象的函数式是y ＝sin(x ＋4π)，则原来的函数表达式为( )A.y ＝sin(x ＋43π) B.y ＝sin(x ＋2π) C.y ＝sin(x －4π) D.y ＝sin(x ＋4π)－4π4.将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移3π，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )A.y ＝sin(2x ＋3π)B.y ＝sin(2x －3π)C.y ＝sin(2x ＋32π)D.y ＝sin(2x －32π)5. 函数y ＝cos(432ππ+x )的最小正周期是__________. 6.要得到函数y ＝cos(2x －4π)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象A.向左平移8π个单位B.向右平移8π个单位 C.向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位7.把函数y ＝cos(3x ＋4π)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( ) A.向右平移4π B.向左平移4π C.向右平移12π D.向左平移12π8.如图b 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )A.A ＝3，Ｔ＝34π，φ＝－6πB.A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－43πC.A ＝1，Ｔ＝32π，φ＝－43πD.A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－6π9.如图c 是函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图象的一段，它的解析式为( )A.)32sin(32π+=x yB.)42sin(32π+=x yC.)3sin(32π-=x yD.)322sin(32π+=x y10.函数y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）在同一周期内，当x ＝3π时，有y ｍa x ＝2，当x ＝0时，有y min ＝－2，则函数表达式是 .11.如图d 是f （x ）＝A sin （ωx ＋φ），A ＞0，｜φ｜＜2π的一段图象，则函数f （x ）的表达式为 .12.如图e ，是f （x ）＝A sin （ωx ＋φ），A ＞0，｜φ｜＜2π的一段图象，则f （x ）的表达式为 .13.如图f 所示的曲线是y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的图象的一部分，求这个函数的解析式.图c图d图e图f14.函数y ＝A sin （ωx ＋φ）＋ｋ（A ＞0，ω＞0）在同一周期内，当x ＝35π时，y 有最大值为37π，当x ＝311π时，y 有最小值－32，求此函数的解析式.15．由图g 所示函数图象，求y ＝A sin （ωx ＋φ）（｜φ｜＜π）的表达式.16．函数y ＝Asin(ωx ＋φ）（｜φ｜＜π）的图象如图h ，求函数的表达式.图g图h。

三角函数的平移、伸缩变换（二）（人教A版）一、单选题(共13道，每道7分)1.将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数图象对应的解析式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换2.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将其图象向右平移2个单位长度，所得函数图象对应的解析式为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换3.将函数的图象向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，最后将其图象向左平移个单位长度，所得函数图象对应的解析式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换4.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换5.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数图象向右平移个单位长度，得到的函数图象的一个对称中心是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换6.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变，所得函数的一条对称轴的方程是直线( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换7.若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换8.若将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为( )A.1B.2C. D.6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换9.若将函数的图象向左平移个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则的最小值为( )A.1B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换10.若将函数的图象向左平移个单位长度后，得到一个新的函数图象，它的一条对称轴为直线，则的最小值为( )A. B.C. D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换11.若将函数的图象向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( )A. B.C.0D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换12.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数的图象为( )A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线对称D.关于直线对称答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换13.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。

第04讲三角函数的伸缩平移变换（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分【备考策略】1理解并掌握三角函数的图象与性质2会先平移后伸缩或先伸缩后平移来综合解决三角函数的伸缩平移变换【命题预测】本节内容是新高考卷的载体内容，一般会结合三角函数的图象与性质综合考查三角函数的伸缩平移变换，需加强复习备考1.三角函数的伸缩平移变换（1）伸缩变换（A ，ω是伸缩量）hx A y ++=)sin(ϕωA 振幅，决定函数的值域，值域为[]A A ,-；若A ↗，纵坐标伸长；若A ↘，纵坐标缩短；∴A 与纵坐标的伸缩变换成正比ω决定函数的周期，ωπ2=T 若ω↗，T ↘，横坐标缩短；若ω↘，T ↗，横坐标伸长；∴ω与横坐标的伸缩变换成反比（2）平移变换（ϕ，h 是平移量）平移法则：左+右-，上+下-（3）伸缩平移变换①先平移后伸缩x y sin =向左平移3π个单位→)3sin(π+=x y ，横坐标变为原来的21，纵坐标变为原来的3倍→)32sin(3π+=x y ②先伸缩后平移x y sin =横坐标变为原来的21，纵坐标变为原来的3倍→x y 2sin 3=，向左平移6π个单位→)32sin(62sin 3ππ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 2.三角函数图象的变换3.常用结论（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )．若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，可得()sin 2(sin(263g x x x ππ=-=-.故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为ππ2sin 32sin 3155y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin 3y x =的图象．故选：D.【分析】根据三角函数平移和伸缩变换原则依次判断各个选项即可.【详解】记()2sin f x x =，变换后所得函数为()g x ，对于A ，()ππ32sin 366g x f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错误；对于B ，()ππ32sin 366g x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，()1ππ2sin 3636x g x f x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 正确；对于D ，()1ππ2sin 3636x g x f x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误.故选：C.【分析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式.【详解】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B.【详解】将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x－10π);再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是1sin(210y x π=-.故选C.【分析】根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.【详解】sin y x =向左平移3π个单位得：sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标缩短为原来的12得：sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭本题正确选项：C【点睛】本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题.【分析】设出向左平移ϕ个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.【详解】πππ5πcos 2sin 2sin 23326y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将函数sin 2y x =向左平移ϕ个长度单位，得到()sin 22y x ϕ=+，故2π65ϕ=，解得125πϕ=，即向左平移5π12个长度单位.故选：A【详解】令，当函数图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）时，函数为，若图象再向左平行移动4π个单位长度，则函数为，于是选A.【分析】由三角函数的诱导公式可得sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的平移变换即可得解.【详解】解：由sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，即为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，故选：B.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.【分析】用诱导公式化为同名函数，同时x 的系数不变，然后再由平移变换得结论．【详解】sin cos cos cos 2263x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴只要把cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位即得．故选：A ．【点睛】本题考查三角函数图象变换，解题时应用诱导公式化函数为同名函数（不改变自变量x 的系数），然后再由平移变换求得结论．也可以对各选项进行代入验证．【详解】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos （2x+π6）=sin （2x+2π3）的图象，即曲线C 2，故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又C 关于y 轴对称，则,232k k ωππππ+=+∈Z ，解得12,3k k ω=+∈Z ，又0ω>，故当0k =时，ω的最小值为13.故选：C.【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】因为1()sin 22f x x =，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，①不正确；令ππ2,22t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，而1sin 2y t =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，所以()f x 在ππ[,44-上单调递增，②正确；因为π2π2,33t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，sin ,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()1,42f x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，③不正确；由于1π1πg()sin(2)sin 22428x x x ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象可由1πg()sin(224x x =+的图象向右平移π8个单位长度得到，④不正确．故选：A ．．．【详解】得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，显然.4πϕ=【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦选择合适的ϕ值通过诱导公式把sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦转化为余弦函数是考查的最终目的.【分析】根据三角函数的图象性质、图象变换和三角恒等变换公式，以及诱导公式求解.【详解】函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后，所得函数的解析式为π2sin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为所得函数为奇函数，所以π2sin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有ππ,Z 3k k ϕ+=∈，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 2sin 223f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()π()sin 2cos 2sin 24f x g x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，因为[)0,πx ∈，所以ππ9π2,444x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，所以由()π1()sin 242f x g x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，可得πsin 24x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以ππ3π2223π442αβ+++=⨯=，且πsin 244β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5π4αβ+=，所以5ππcos()cos(2)sin(2)44αβββ-=-=-+故选:B.【分析】化简可得()π2sin 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而根据已知求出2ω=，()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.根据图象变换可得()2sin π3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.求出()g x -即可判断A 项；代入检验，结合正弦函数的性质，即可判断B 、C 、D.【详解】因为()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由ππ,3x k k ω-=∈Z 可得，ππ,3kx k ωω=+∈Z .由已知可得，1ππ=2ω，所以2ω=，()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π3个单位，可得πππ2sin 22sin 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以()2sin π3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A 项，因为()()π2sin 3g x x g x ⎛⎫-=-+≠ ⎪⎝⎭，所以函数()g x 不是偶函数，故A 项错误；对于B 项，因为ππ033-+=，所以()g x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 项正确；对于C 项，因为ππ33x -≤≤，所以π2π033x ≤+≤.因为函数sin y x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 项错误；对于D 项，因为ππ66x -≤≤，所以πππ632x ≤+≤.因为函数sin y x =在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1πππsin sin sin 12632x ⎛⎫=≤+≤= ⎪⎝⎭，所以，()π12sin 23g x x ⎛⎫≤=+≤ ⎪⎝⎭，故D 项正确.故选：BD.【分析】由题意，由函数sin(+)y A x ωϕ=的图象变换规律，求得()y g x =的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各选项得出结论.【详解】把函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得到sin 2y x =的图象；再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数()πsin(23y g x x ==+的图象，π5π(,)36x ∈时，π2(π,2π)3x +∈，则()g x 在π7π(,312单调递减，在7π5π(,)126单调递增，故A 错误；令()0g x =，得π2π(Z)3x k k +=∈，即ππ26k x =-，因为[0,π]x ∈，所以ππ0π26k ≤-≤，解得1733k ≤≤，因为Z k ∈，所以1k =或2k =，所以()g x 在[]0,π上有2个零点，故B 正确；因为ππππ()sin(2)sin 1121232g =⨯+==，为()g x 的最大值，所以直线π12x =是()y g x =的图象的一条对称轴，故C 正确；当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,333x ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，()2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故D 错误.故选：BC【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为()sin(3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51(sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.【分析】根据三角函数的变换规则求出()g x 的解析式，依题意可得()g x 关于点,12θ⎛⎫⎪⎝⎭对称，即可得到π2π23k θ⨯+=，Z k ∈，即可得解.【详解】将函数()πsin 13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上的点横坐标变为原来的12（纵坐标变）得到()πsin 213g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，若存在()0,πθ∈，使得()()2g x g x θ+-=对任意x ∈R 恒成立，所以()g x 关于点,12θ⎛⎫⎪⎝⎭对称，则π2π23k θ⨯+=，Z k ∈，解得ππ3k θ=-+，Z k ∈，因为()0,πθ∈，所以2π3θ=.故选：C【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用三角函数图象变换可得出函数()g x 的解析式，由()0g x k +=可得出2sin 2k x -=，求出函数sin 2y x =在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，即可得出实数k 的不等式，解之即可.【详解】因为π1sin cos sin cos cos 32y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)2211sin cos sin 22cos 122444x x x x x =+-+-11πsin 2cos 2sin 24423x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将函数1πsin 223y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()1ππ1sin 2sin 22632g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2π023x ≤≤，则0sin 21x ≤≤，由()0g x k +=得1sin 202x k +=，可得2sin 2k x -=，所以，021k ≤-≤，解得102k -≤≤，故选：CD.【基础过关】【分析】利用三角函数的平移法则求解即可.【详解】因为()ππsin2sin 2126g x x x ⎡⎤⎛⎫==+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以要得到函数()sin2g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象向左平移π12个单位即可，故选：C.【分析】先由图象平移变换得到()g x ，再由正弦函数的性质求出()g x 的单调递增区间.【详解】将()1π3sin 312⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x 的图象向右平移12π个单位长度后，得到()1ππ3sin 31212⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g x x ，即()1π3sin 318⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 的图象，令π1ππ2π2π23182-≤+≤+k x k ，k ∈Z ，解得5π4π6π6π33-≤≤+k x k ，k ∈Z ，所以()g x 的单调递增区间为5π4π6π,6π33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ，k ∈Z .故选：C.【分析】根据三角函数的图像变换及单调性计算即可.【详解】π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭向左平移π2ω，得()ππ5πsin sin 236g x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5π5ππ5π,6626x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，即π5π3π42623ωω+≤⇒≤，故40,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：C【分析】先把()f x 的解析式化成()sin()f x A x b ωϕ=++的形式，然后根据平移求出()g x 解析式，从而根据正弦函数的对称中心求出()g x 的对称中心，进而可得答案.【详解】21π()sin cos =sin 22sin 223f x x x x x x x ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭因为()f x 的图像向右平移5π6个单位长度得函数()g x 的图像，所以()5ππ4π2πsin 2sin 2sin 26333g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为sin y x =的对称中心为()π,0()k k ∈Z ，所以当2π2π3x k +=时，ππ,()23k x g x =-=，即函数()g x 的对称中心为()ππZ 232k k ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，当1k =时，对称中心为π62⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：A.【分析】先利用三角恒等变换得到π()sin 232f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得到平移后的解析式，结合三角函数诱导公式求出6ππk ϕ=--，Z k ∈，得到最小正值.【详解】)21π()sin cos sin 2cos 2sin223f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，故图象向右平移ϕ个单位长度得到π()sin 223f x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭又π2πcos 2sin 26322y x x ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令π2π22π33k ϕ-=+，Z k ∈，解得6ππk ϕ=--，Z k ∈，当1k =-时，ϕ取得最小正值，最小正值为5π6ϕ=.故选：AA ．12B ．【答案】D【分析】先根据函数的图象求出函数()y f x =的解析式，然后再根据平移得到()g x ，最后求出43g ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】由图象可知，()1124T =--=，得2π8T ω==，所以π4ω=，所以，()os π4c x f x A ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为()1,0-在函数()f x 的图象上，所以cos 0π4A ϕ⎛⎫⎝-+=⎪⎭，所以π2π2π4k ϕ+=-+-，Z k ∈，即π2π4k ϕ=-+，Z k ∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-，即()4c ππ4os f x x A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.又()0,2在函数()f x 的图象上，所以πcos 24A -⎛⎫=⎪⎝⎭，即2A =，即()ππ2cos 44f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()()()2cos 2πππ114s 4c 4o g x f x x x ⎡⎤=+=+-=⎢⎥⎣⎦，所以4π4π12cos 24cos 333g ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意求出函数()g x 的解析式，然后通过函数()g x 是偶函数求出ϕ的取值范围，最后与3π8ϕ=进行对比，即可得出“3π8ϕ=”与“()g x 为偶函数”之间的关系．【详解】因为函数()f x 的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图像，所以()πsin 224g x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为()g x 为偶函数，所以()ππ2πZ 42k k ϕ-+=+∈，即()ππZ 82k k ϕ=--∈，当1k =-时，3π8ϕ=可以推导出函数()g x 为偶函数，而函数()g x 为偶函数不能推导出3π8ϕ=，所以“3π8ϕ=”是“()g x 为偶函数”的充分不必要条件.故选：AA ．π3π()3sin 44f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．ππ()3sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．点(2023,0)是()f x 的一个对称中心D ．函数()f x 的图象向左平移【答案】AC【分析】根据函数图象可得A =42T=，即可求出ω，再根据函数过点()1,0-求出ϕ，即可求出函数解析，再根据正弦函数的性质及三角函数的变换规则判断即可.【详解】由图可知()312T =--，A =8T =，即2π8ω=，解得π4ω=，所以()π4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()π104f ϕ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 4k k ϕ-+=+∈，解得5π2π,Z 4k k ϕ=+∈，又||πϕ<，所以3π4φ=-，所以()π3π44f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确，B 错误；()2023π3π2023505π044f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以点()2023,0是()f x 的一个对称中心，故C 正确；将函数()f x 的图象向左平移π4个单位得到2ππ3πππ3π4444164y x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，显然函数2ππ3π4164y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭不是偶函数，故D 错误；故选：AC【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的性质逐项判断作答.【详解】211cos 21()cos cos sin 2222x f x x x x x +-+-+1π2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故A 正确；函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故B 正确；由ππ2π()62x k k Z -=+∈，得ππ(Z)32k x k =+∈，故C 错误；由cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度，得ππcos 2cos 2cos 212623ππy x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πsin sin π2π2π223sin 33x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝+⎭⎝⎦-⎭⎣，故D 错误.故选：AB【分析】利用三角函数图象变换求出函数()f x 的解析式，可判断A 选项；利用正弦型函数的对称性可判断B 选项；代值计算可判断C 选项；利用正弦型函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，将函数sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数()f x 的图象，则()ππsin 2sin 263f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，A 错；对于B 选项，πsin 006f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，B 对；对于C 选项，()max ππsin 1122f f x ⎛⎫⎛⎫-=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错；对于D 选项，当5ππ4x ≤≤时，5ππ13π2336x ≤-≤，所以，函数()f x 在区间5π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 对.故选：BD.【能力提升】一、单选题1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数()()sin f x A x b ωϕ=++(0,ω>0,0A ϕπ><<),b R ∈的部分图象如图，则（）A ．π6ϕ=B ．π26f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．点5π,018⎛⎫- ⎪⎝⎭为曲线D ．将曲线y f =【答案】D【分析】由函数图象求出42A b =⎧⎨=⎩，将点()0,4的坐标代入()()4sin 2f x x ωϕ=++求出ϕ可判断A ；求出()f x 的解析式，求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令5π3π,6x k k Z +=∈，求出x ，可判断C ；由图象的平移变换可判断D.【详解】由图象知：62A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得42A b =⎧⎨=⎩，将点()0,4的坐标代入()()4sin 2f x x ωϕ=++得1sin 2ϕ=，由图象可知，点()0,4在()y f x =的下降部分上，且0πϕ<<，所以5π6ϕ=，所以A 不正确；将点2π,29⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入()5π4sin 26f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得2π5π3π2π962k ω⋅+=，即3ω=，所以()5π4sin 326f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以ππ5π4sin 322666f ⎛⎫⎛⎫=⨯++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 不正确；令5π3π,6x k k Z +=∈，解得π5π,318k x k Z =-∈，取0k =，则5π18x =-,所以对称中心为5π,218⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以C 不正确；将曲线向右平移π9个单位长度得到曲线()π5π4sin 3296f x x ⎡⎤⎛⎫=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4cos32x =+，所以D 正确；故选：D.【分析】结合选项按照先伸缩，再平移的过程，结合诱导公式，即可判断选项.【详解】曲线1π:sin 2cos22C y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，把1:cos2C y x =上各点的横坐标缩短到原来的23，纵坐标不变，可得cos3y x =的图象；再把得到的曲线向左平移π18个单位长度，可以得到曲线2π5π:cos 3cos 366C y x x ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象.故选：C.【分析】根据函数图象，求解参数A ϕ、，代入()g x 的表达式中，利用正弦型函数的图象及性质，依次判断各项正误.【详解】由题意结合函数图象可得1311A A +=⎧⎨-=⎩，解得2A =，故()()2cos 21f x x ϕ=++，由()02cos 12f ϕ=+=，所以1cos 2ϕ=，又0πϕ<<，所以π3ϕ=，所以()π2cos 213f x x ⎛⎫ +⎪⎝⎭=+，()π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，因为πππ2sin 21263g ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()g x 的图象关于直线π12x =对称，故A 正确；对于B ，因为πππ2sin 0633g ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点π,06⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()g x 的图象的对称中心，故B 错误；对于C ，由π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得πππ2,332x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；对于D ，将函数()π12cos 23y f x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度，得()π2cos 2π2cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=-≠+ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC.【分析】依题意可求出a =π()2sin()6f x x =-+，结合函数的图象性质逐一判断即可.【详解】因为函数()sin cos ()f x a x x x =-∈R 的图象关于π3x =对称，所以πππ1()sin cos 3332f a a =--=a =所以π()cos 2sin(6f x x x x =-=-+，其最大值为2，故A 正确；令ππππ()()2sin(2sin()2cos 3362f xg x x x x +==-++=-+=-，()g x 定义域为R ，()2cos()2cos ()g x x x g x -=--=-=，所以()g x 即π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，故B 正确；2,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π,622x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，π2sin(6y x =+在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，π()2sin()6f x x =-+在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，故C 错误；把()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数πππ()2sin[()]2sin()663h x x x =-++=-+的图象，因为3π3ππππ()2sin()2sin(π2sin 04431212h =-+=-+=≠，所以()h x 的图象不关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误.故选：AB【分析】根据题意可求出ω的值，从而可得到()f x 的解析式，再根据解析式逐项分析即可．【详解】依题可知π23T T <<，于是36ω<<，于是πππ0263ππ3ππ632ωω⎧-≤-+<⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩，∴45ω<≤，又N ω*∈，∴5ω=，∴()π2sin 53f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由2π2π==5T ω，则()f x 的最小正周期为25π，故A 错误；对于B ，因为ππ4π4π2π2sin 552sin 52π2sin 533333x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得()2π2sin 53g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2π02sin 3g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()g x 不关于原点对称，故B 错误；对于C ，由π7π2sin 166f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 图象的一个对称中心，故C 错误；对于D ，由π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πππ5,323x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．故选：ABC ．【分析】根据已知条件求出函数()f x 的解析式，然后计算π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值即可判断A 项；利用整体思想及正弦函数的单调性求函数()f x 的单调递减区间即可判断B 项；由三角函数图象的平移变换法求出函数()g x 的解析式即可判断C 项；由x 范围求得π26x +的范围，进而求得()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域即可判断D 项．【详解】由题意知π6ϕ=，所以()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于选项A ，π33f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线π3x =-对称，故A 项正确；对于选项B ，由ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+，Z k ∈，得π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈，则当1k =-时，函数()f x 的一个单调递减区间为5ππ,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故B 项正确；对于选项C ，()f x 的图象向右平移π12个单位长度得到函数()ππ3sin 23sin2126g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，所以()g x 为奇函数，故C 项错误；对于选项D ，因为ππ64x -≤≤，所以ππ2π2663x -≤+≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以π3sin 23263x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即：()f x 在区间ππ[,]64-上的值域为3[,3]2-，故D 项错误．故选：AB.【分析】根据给定条件，求出ω的值并代入函数式，再结合三角函数的性质逐项分析判断作答.【详解】因函数π()sin()3f x x ω=-的图象关于点4π(,0)9中心对称，则4πππ,Z 93k k ω-=∈，即93,Z 44k k ω=+∈，当0πx <<时，ππππ333x ωω-<-<-，依题意，5ππ7ππ232ω<-≤，解得1723<66ω≤，因此3ω=，π()sin(33f x x =-，对于A ，当ππ99x -<<时，2ππ3033x -<-<，而正弦函数sin y x =在2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，A 不正确；对于B ，当π0x -<<时，10πππ3333x -<-<-，则{}π33π,2π,π3x -∈---时()0f x =，即函数()f x 在区间()π,0-内有3个零点，B 正确；对于C ，因11π11π1811π3πsin 3sin 328f ⎛⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯-==- ⎪⎝⎭，即直线11π18x =是曲线()y f x =的对称轴，C 正确；对于D ，()f x 图象向左平移π3个单位，所得图象对应的函数()ππ2πsin 3sin 3333g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()2π0sin 3g ==()g x 不是奇函数，D 不正确.故选：BC【分析】根据相邻对称轴间的距离为π2，可得π22T =，可求ω，根据点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是其中的一个对称中心及π2ϕ<可求ϕ，从而可得()f x 的解析式，再逐项判断即可.【详解】因为函数()f x 图象相邻对称轴间的距离为π2，则π22T =，即πT =，所以A 正确；因为πT =，则2ω=，即()()2sin 2x x f ϕ=+，且点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是对称中心，当π3x =-时，()π2π3k k ϕ=-+∈Z ，即2ππ3k ϕ=+()k ∈Z ，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-，即()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令()ππ2π32x k k -=+∈Z ,解得()5ππ122k x k =+∈Z ，所以函数()f x 的对称轴为()5ππ122k x k =+∈Z ，所以B 错误；令()πππ2π22π232k x k k -+≤-≤+∈Z ,解得()π5πππ1212k x k k -+≤≤+∈Z ，函数()f x 的单调增区间为：()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以C 正确；函数()f x 图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，得到π3sin y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得函数()sin g x x =，所以D 正确.故选:ACD.【分析】由三角函数的平移和伸缩变换可判断A ，B ；由三角函数的性质可判断C ；由导数的几何意义可判断D.【详解】()()π2ππππ2sin 22sin 22sin 22cos 233626h x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，()h x 是由()g x 横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长2倍，再把得到的曲线向左平移π12，故A 错误；函数()cos g x x =图象将横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得cos2y x =，再向右平移π6个长度单位，得πcos 26y x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 正确；因为()π2cos 26h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π62x k +=+，Zk ∈则ππ,Z 26k x k =+∈，则()h x 的对称中心坐标是ππ,0,Z 26kk ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为()π2cos 26h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π4sin 26h x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'，由导数的几何意义令()π4sin 246h x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭'，可得：πsin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ22π,Z 62x k k +=+∈，解得:ππ,6x k =+πππ2cos 2π0666h k k π⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以切点为ππ,06k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而ππ,06k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不在42y x =-+上，故D 错误.故选：BC.【分析】利用三角恒等变换化简函数()f x 的解析式，利用三角函数图象变换可得出()g x 的解析式，代值计算可得出π16g ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()πππππsin 4sin 4sin 4sin 436323f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ7πsin 4cos 4sin 4sin 4333412x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()π7ππ4412124g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，πππ01644g ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：0.【真题感知】【详解】试题分析：记函数(26y sin x f x π+=＝（），则函数(2[2()]3464y sin x sin x f x ππππ-=-+=-＝（∵函数f （x ）图象向右平移4π单位，可得函数4f x π-（的图象∴把函数(2)6y sin x π+＝的图象右平移4π单位，得到函数(23y sin x π-＝的图象,故选B.考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【详解】由题意将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.【解析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可．【详解】因为()f x 为奇函数，∴(0)sin 0=,0,f A k k ϕϕπ==∴=，0ϕ=；又12()sin ,2,122g x A x T πωπω=∴==2ω=，2A =，又()4g π=∴()2sin 2f x x =，3()8f π=故选C ．【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ．【详解】函数tan(0)4y x πωω=+>的图像向右平移6π个单位得tan[(]tan()6464y x x ππωππωω=-+=-+，所以,646k k Zωππππ-+=+∈16,2k k Z ω=-+∈，所以ω得最小值为12．【答案】C【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.【答案】24x =-/24π-【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】3sin[2()3sin(26412y x x πππ=-+=-72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.【答案】【详解】试题分析：由题意())4f x x π=+，将其图象向右平移个单位，得)244x x ππϕϕ-+=-+，要使图象关于y 轴对称，则242k ππϕπ-=+，解得82k ππϕ=--，当1k =-时，取最小正值.考点：1.三角函数的平移；2.三角函数恒等变换与图象性质.【答案】6【详解】因为y ＝cos(2x ＋φ)＝cos(－2x －φ)＝sin ()22x πϕ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦＝sin 22x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，图象向右平移2π个单位后为y ＝sin 22x πϕ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，与y ＝sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭重合，所以φ－2π＝3π，解得φ＝56π.。

一、选择题1．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（ ） A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2．函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（ ）A ．sin 6x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭B ．sin 3x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 6x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．sin 3x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭3．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（ ）. A ．3 B ．12-C ．32D ．124．函数πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） A ．2π B ．πC ．2πD ．4π5．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．已知函数()cos 2cos sin(2)sin f x x x ϕπϕ=⋅-+⋅在3x π=处取得最小值，则函数()f x 的一个单调递减区间为（ ）A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 7．已知将向量13,2a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭绕起点逆时针旋转4π得到向量b ，则b =（ ） A ．6262,⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．6262,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．2662,⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭D ．2626,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭8．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A ．sin 6()22x x x f x -=- B ．sin 6()22x x x f x -=- C ．cos6()22x xx f x -=- D ．cos6()22x x xf x -=- 9．已知3cos()45x π-=-，177124x ππ<<，则2sin 22sin 1tan x xx-+的值为（ ） A ．2875B ．21100-C ．2875-D ．2110010．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（ ）A ．2425-B ．35C ．2425D ．3511．已知tan 2α=，则sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．310-B ．310 C ．35D ．3512．函数()log 44a y x =++（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则7πcos 2θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35 B ．35C ．45-D ．45第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．将函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移4π单位，所得到的函数解析式是_________. 14．已知定义在[],a a -上的函数()cos sin f x x x =-是减函数，其中0a >，则当a 取最大值时，()f x 的值域是______.15．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>，若()f x 在()π,π-上有且只有3个零点，则ω的取值范围为______. 16．若3sin θ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则cos 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.17．若1cos()2αβ-=，3cos()5αβ+=-，则tan tan αβ=__________. 18．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，且在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则ω的取值范围为______. 19．方程21sin 3sin cos 2x x x +=在[0,]4π上的解为___________20．设α、β都是锐角，且()53cos ,sin 5ααβ=+=，则cos β=____________. 三、解答题21．某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC ，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长； （2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．22．已知函数()()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤<⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求ω和ϕ的值； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()y f x =的最大值和最小值.23．已知函数1()sin 2cos 244f x x x =+ （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 24．已知 3sin 5α=，12cos13，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 求sin()αβ+，cos()αβ-，tan2α的值. 25．设1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求2βα-以及2αβ-的取值范围．（2）求cos2αβ+的值．26．在①函数()()sin 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图像，()g x 图像关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()()12cos sin 062f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在下而问题中，并解答.已知______，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）若()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式． 【详解】 解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象； 将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．2．C解析：C 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而得到函数的解析式. 【详解】解：由图象可得1A =，再根据35134362T =-=，可得2T =， 所以22πωπ==， 再根据五点法作图可得1,6k k Z πϕπ⨯+=∈，求得6πϕ=-， 故函数的解析式为()sin 6f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C.3．C解析：C 【分析】 直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒= 故选：C.4．B解析：B 【分析】按照三角函数的周期公式求最小正周期即可. 【详解】解：函数πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==. 故选：B.5．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】 解：3sin07a π=>；427πππ<<， 4cos coscos 72πππ∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 6．D解析：D 【分析】先化简()f x 并根据已知条件确定出ϕ的一个可取值，然后根据余弦函数的单调递减区间求解出()f x 的一个单调递减区间. 【详解】 因为()()()cos2cos sin 2sin cos2cos sin 2sin cos 2f x x x x x x ϕπϕϕϕϕ=⋅-+⋅=⋅+⋅=-，且()f x 在3x π=处有最小值，所以2cos 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22,3k k Z πϕππ-=+∈， 所以2,3k k Z πϕπ=--∈，取ϕ的一个值为3π-， 所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，所以,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，所以此时单调递减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故选：D. 【点睛】思路点睛：求解形如()()cos f x A x ωϕ=+的函数的单调递减区间的步骤如下： （1）先令[]2,2+,k k k x Z ωϕπππ+∈∈；（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 的单调递减区间.7．C解析：C 【分析】先求出a 与x 轴正方向的夹角为3πθ=，即可得b 与x 轴正方向的夹角为73412πππα=+=， 再利用向量坐标的定义即可求解. 【详解】设a 的起点是坐标原点，a 与x 轴正方向的夹角为θ，1a =由13,2a ⎛= ⎝⎭可得2tan 12θ==3πθ=， 设b 与x 轴正方向的夹角为α，则73412πππα=+=且1b =因为7sinsin sin cos cos sin 12434343y πππππππ⎛⎫==+=⨯+⨯=⎪⎝⎭7coscos cos cos sin sin 12434343x πππππππ⎛⎫==+=⨯-⨯=⎪⎝⎭故2b ⎛-=⎝⎭， 故选：C.8．D解析：D 【分析】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，依次判断每个函数即可得出. 【详解】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，对于A ，当x 从右趋近于0时，sin60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误； 对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B 错误； 对于C ，()()cos 6cos 6()2222x x x x x xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C错误； 对于D ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===---，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.9．A解析：A 【分析】 根据177124x ππ<<以及3cos()45x π-=-求出4sin()45x π-=-，进而求出4tan()43x π-=，根据诱导公式和二倍角的余弦公式得7sin 225x =-，然后利用恒等变换公式将2sin 22sin 1tan x xx-+化简为sin 2tan()4x x π-⋅-后，代入计算可得结果.【详解】 因为177124x ππ<<，所以73642x πππ<-<， 因为3cos()45x π-=-，所以4sin()45x π-===-， sin()4tan()4cos()4x x x πππ--==-4535--43=， sin 2cos(2)cos 2()24x x x ππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦2972cos 12142525x π⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭，所以2sin 22sin 1tan x x x-+2sin (cos sin )sin 1cos x x x x x-=+2sin cos (cos sin )cos sin )x x x x x x -=+sin 2(1tan )1tan x x x -=+tantan 4sin 21tan tan 4xx x ππ-=⋅+sin 2tan()4x x π=-⋅-7428()25375=--⨯=.故选：A 【点睛】本题考查了同角公式，考查了诱导公式，考查了二倍角的正弦公式，考查了两角差的正切公式，属于中档题.10．C解析：C 【分析】由已知求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，进而可得到sin 2α的值 【详解】解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)， 所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ，所以34sin ,cos 55αα====， 所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=， 故选：C11．B解析：B 【分析】利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222211sin cos sin cos 22sin cos αααααα-=-=⨯+ 221tan 114132tan 124110αα--=⨯=⨯=++. 故选：B12．D解析：D 【分析】先利用对数函数图象的特点求出点()3,4A -，再利用三角函数的定义求出sin θ的值，利用诱导公式可得7πcos sin 2θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求解. 【详解】 对数函数log ay x =恒过点()1,0，将其图象向左平移4个单位，向上平移4个单位可得()log 44a y x =++的图象，点()1,0平移之后为点()3,4-，所以()3,4A -，令3x =-，4y =，则5OA ===，所以4sin 5y OA θ==， 由诱导公式可得：7π4cos sin 25θθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出()3,4A -，会利用三角函数的定义求出θ的三角函数值，会利用诱导公式化简7πcos 2θ⎛⎫+⎪⎝⎭. 二、填空题13．【分析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案【详解】函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的倍得到再向右平移个单位得到故最终所得到的函数解析式为：故答案为： 解析：()sin f x x =【分析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案. 【详解】 函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍， 得到sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移4π个单位，得到sin sin 44y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故最终所得到的函数解析式为：()sin f x x =. 故答案为：()sin f x x =.14．【分析】先求出函数单调减区间的一般形式根据函数在的单调性可得利用整体法可求当取最大值时的值域【详解】令则故的减区间为由题设可得为的子集故且故故当时故故的值域为故答案为：【点睛】关键点点睛：正弦型函数解析：⎡⎣【分析】先求出函数单调减区间的一般形式，根据函数在[],a a -的单调性可得max 4a π=，利用整体法可求当a 取最大值时，()f x 的值域． 【详解】()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令22,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，则322,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 故()f x 的减区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 由题设可得[],a a -为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦的子集， 故0k =且4340a a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎪⎩，故04a π<≤，故max 4a π=，当44x ππ-≤≤时，024x ππ-≤-≤，故0sin 4x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭故()f x的值域为⎡⎣．故答案为：⎡⎣．【点睛】关键点点睛：正弦型函数在给定范围（含参数）上的单调性可由单调区间的一般形式得到参数满足的条件，这是解决此类问题的通法．15．【分析】利用辅助角公式对进行化简得令解得故即可解得答案【详解】解：令解得的零点为：……若在上有且只有3个零点则需满足解得：故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是：将的解析式利用辅助角公式化为解析：5744ω<≤ 【分析】利用辅助角公式对()sin cos f x x x ωω=+进行化简，得()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()4x k k z πωπ+=∈，解得()4k x k z ππωω=-+∈，故37449544πππωωπππωω<≤-≤-<-⎧⎨⎩，即可解得答案. 【详解】 解：()sin cos f x x x ωω=+，()4f x x πω⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，令()4x k k z πωπ+=∈，解得()4k x k z ππωω=-+∈， ()f x ∴的零点为：…，94πω-，54πω-，4πω-，34πω，74πω，…若()f x 在()π,π-上有且只有3个零点，则需满足37449544πππωωπππωω<≤-≤-<-⎧⎨⎩， 解得：5744ω<≤. 故答案为：5744ω<≤. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是：将()f x 的解析式利用辅助角公式化为()sin y A ωx φ=+的形式，或者()cos y A x ωϕ=+，再结合正余弦函数的图象计算即可.16．0【分析】先求出再利用差角的余弦公式求解【详解】因为所以所以故答案为：0解析：0 【分析】 先求出1cos 2θ=-，再利用差角的余弦公式求解. 【详解】因为sin 2θ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2θ=-，所以11cos 062222πθ⎛⎫-=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：017．【分析】由已知利用两角和与差的余弦公式可求的值进而根据同角三角函数基本关系式即可求解【详解】解：因为所以因为所以所以则故答案为： 解析：11-【分析】由已知利用两角和与差的余弦公式可求cos cos αβ，sin sin αβ的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解． 【详解】解：因为1cos()2αβ-=， 所以1cos cos sin sin 2αβαβ+=， 因为3cos()5αβ+=-， 所以3cos cos sin sin 5αβαβ-=-，所以1131cos cos ()22520αβ=-=-，11311sin sin ()22520αβ=+=，则1120tan tan 11120αβ==--． 故答案为：11-．18．【分析】由函数图象关于原点对称可得再由在区间上是增函数可得解不等式即可【详解】由函数的图象关于原点对称得即因为在区间上是减函数所以在区间上是增函数又是函数的单调递增区间所以又解得故答案为：解析：30,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由函数图象关于原点对称可得2ϕπ=，再由2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解不等式即可.【详解】由函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，得2ϕπ=， 即()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数， 所以2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 又,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数2sin y x ω=的单调递增区间， 所以22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，又0>ω，解得304ω<≤.故答案为：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦19．【分析】由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论【详解】由得得∴又∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查求解三角方程解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为的形式然后解析：12π 【分析】 由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论． 【详解】由21sin cos 2x x x =得1cos 21222x x -+=，得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴26x k ππ-=，,212k x k Z ππ=+∈， 又0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12x π=．故答案为：12π．【点睛】方法点睛：本题考查求解三角方程，解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为sin()x k ωϕ+=的形式，然后由正弦函数的定义得出结论．（2）用换元法，如设sin x t =，先求得方程()0f t =的解0t ，然后再解方程0sin x t =．20．【分析】由α是锐角求出的值再由β是锐角得出的值将角转化成利用两角和差的余弦公式化简计算并验证即可【详解】因为α是锐角所以因为β是锐角所以又所以所以当时此时即与矛盾舍去当时符合要求故答案为：【点睛】本【分析】由α是锐角，cos α=求出sin α的值，再由β是锐角，()3sin 5αβ+=得出()cos αβ+的值，将β角转化成()αβα+-，利用两角和差的余弦公式化简计算，并验证即可. 【详解】因为α是锐角，cos α=，所以sin α==， 因为β是锐角，所以0αβ<+<π，又()3sin 5αβ+=，所以()4cos 5αβ+==±， 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++当()4cos 5αβ+=时， 43cos 55β==，此时cos sin βα=，即2παβ+=，与()3sin 5αβ+=矛盾，舍去，当()4cos 5αβ+=-时， 43cos +555525β=-⨯⨯=，符合要求.【点睛】本题主要考查了两角和与差的正余弦公式以及同角三角函数基本关系，属于中档题，熟练掌无公式并应用是解题的关键.三、解答题21．（1）3百米；（2）7百米． 【分析】（1）先在三角形PBC 中利用已知条件求出PC 的长度，再在三角形PAC 中利用余弦定理求出PA 的长度，即可求解；（2）设出等腰三角形的边长以及角CEF ，则可求出CF 的长度，进而可得AF 的长度，再利用角的关系求出角ADF 的大小，然后在三角形ADF 中利用正弦定理化简出a 的表达式，再利用三角函数的最值即可求出a 的最小值，进而可以求解． 【详解】解：（1）因为P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=， 又1BC =，所以π6PCB ∠=，3PC =，又因为π2ACB ∠=，所以π3ACP ∠=， 则在三角形PAC 中，由余弦定理可得：222π72cos33AP AC PC AC PC =+-⋅=，解得3AP =，所以连廊3AP PC +=百米； （2）设正三角形DEF 的边长为a ，()0πCEF αα∠=<<， 则sin CF a α=，sin AF a α=，且EDB α∠=，所以2π3ADF α∠=-， 在三角形ADF 中，由正弦定理可得：sin sin DF AF A ADF=∠∠，即πsin sin 63a α=- ⎪⎝⎭即sin 12πsin 23a a αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简可得2π2sin sin 3a αα⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以7a ===≥（其中θ为锐角，且tan θ=），即边长的最小值为7百米， 所以三角形DEF连廊长的最小值为7百米．【点评】方法点睛：在求三角形边长以及最值的问题时，常常设出角度，将长度表示成角度的三角函数，利用三角函数的值域求最值.22．（1）2ω=，6πϕ=-；（2）max ()f x =min ()f x = 【分析】（1）由图象上相邻两个最高点的距离为π得()f x 的最小正周期T π=，故2ω=，由函数图象关于直线3x π=对称得232k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，再结合范围得6πϕ=-；（2）由（1）得()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而得52666x πππ-≤-≤，再结合正弦函数的性质即可得答案. 【详解】（1）因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==. 又因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以232k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，又22ππϕ-≤<，所以2236ππϕπ=-=-. 综上，2ω=，6πϕ=-.（2）由（1）知()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可知52666x πππ-≤-≤.故当226x ππ-=，即3x π=时，max ()f x =当266x ππ-=-，即0x =时，min ()2f x =-. 【点睛】本题解题的关键在于先根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得52666x πππ-≤-≤，进而结合正弦函数的性质，采用整体思想求解，考查运算求解能力，是中档题. 23．（1）π；（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用周期公式即可求解； （2）由50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出26x π+的范围，再利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为1111()2cos 22cos 2sin 242226f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ==， （2）因为5012x π≤≤， 所以5026x π≤≤，所以266x πππ≤+≤所以0sin 216x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以110sin 2262x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 24．1665-；3365；247- 【分析】由已知条件，利用同角三角函数基本关系结合角所在的象限求出cos α，sin β，以及tan α的值，再利用两角和的正弦公式，两角差的余弦公式，正切的二倍角公式即可求解.【详解】 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos 5α===-，因为3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12cos 13，所以5sin 13β===-， 所以3124516sin()sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为sin 3tan cos 4ααα==-，所以22322tan 244tan 21tan 7314ααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 综上所述：16sin()65αβ+=-，33cos()65αβ-=，24tan 27α=-. 25．（1）22πβαπ<-<，022απβ<-<；（2【分析】 （1）由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及不等式知识求出,24βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，,242αππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,再根据1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭． （2）根据cos cos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式可求得结果.【详解】（1）,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ,242αππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，0,24βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ,224αππ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，,024βπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，,24βπαπ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，,242αππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 又1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22πβαπ<-<，022απβ<-<.（2）coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 29βα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭， 又2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，cos 23αβ⎛⎫∴-==⎪⎝⎭，12cos293αβ+∴=-+=【点睛】关键点点睛：将所求角拆成两个已知角进行求解是解题关键. 26．（1）,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】先选条件①或条件②，结合函数的性质及图像变换，求得函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭， （1）由[]0,x α∈，得到2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，根据由正弦函数图像，即可求解； （2）根据函数正弦函数的形式，求得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，进而得出函数的单调递增区间. 【详解】 方案一：选条件①由函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，可得22T ππω==，解得1ω=， 所以()()sin 2f x x ϕ=+， 又由函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到πsin 2φ3g x x， 又函数()g x 图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得6k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.（1）由[]0,x α∈，可得2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 根据由正弦函数图像，可得52266ππαπ≤+≤，解得63ππα≤≤，所以α的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，可得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，当0k =时，可得66x ππ-≤≤；当1k =时，可得2736x ππ≤≤； 当2k =时，可得51336x ππ≤≤，所以函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.方案二：选条件②： 由()12cos sin 62f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12cos sin cos cos sin 662x x x ππωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭211cos cos 2cos 222x x x x x ωωωωω=+-=+sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，可得22T ππω==，所以1ω=， 可得()()sin 2f x x ϕ=+， 又由函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到πsin 2φ3g x x， 又函数()g x 图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得6k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.（1）由[]0,x α∈，可得2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 因为函数()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 根据由正弦函数图像，可得52266ππαπ≤+≤，解得63ππα≤≤，所以α的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，可得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，当0k =时，可得66x ππ-≤≤；当1k =时，可得2736x ππ≤≤； 当2k =时，可得51336x ππ≤≤，所以函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】解答三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先将已知条件化为()sin()f x A wx ϕ=+或()cos()f x A wx ϕ=+的形式，然后再根据三角函数的基本性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质.。