第2讲第1课时利用导数研究函数的单调性 (1)

利用导数判断函数的单调性教案一、教学目标：1. 让学生理解导数的定义和几何意义。

2. 学会利用导数判断函数的单调性。

3. 能够运用导数解决实际问题。

二、教学内容：1. 导数的定义和几何意义。

2. 利用导数判断函数的单调性。

3. 导数在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义，导数与函数单调性的关系。

2. 难点：利用导数判断函数的单调性，解决实际问题。

四、教学方法与手段：1. 教学方法：讲解法，案例分析法，讨论法。

2. 教学手段：黑板，PPT。

五、教学过程：1. 导入：回顾导数的定义和几何意义，引导学生思考导数与函数单调性的关系。

2. 新课讲解：讲解如何利用导数判断函数的单调性，通过示例让学生理解并掌握方法。

3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用导数判断函数的单调性，解决实际问题。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂练习环节，观察学生对利用导数判断函数单调性的掌握程度。

2. 课后作业的完成情况，评估学生对知识的巩固程度。

3. 学生参与讨论的积极性和对实际问题分析的能力。

七、教学反思：2. 根据学生的反馈调整教学方法，提高教学效果。

3. 针对学生的掌握情况，适当调整教学内容和难度。

八、教学拓展：1. 引导学生思考导数在其他数学领域的应用，如微分方程、优化问题等。

2. 介绍导数在物理学、经济学等学科中的应用，拓宽学生的视野。

九、教学资源：1. PPT课件：包含导数定义、几何意义、判断函数单调性的方法及实际案例。

2. 练习题：涵盖不同难度的题目，用于巩固所学知识。

3. 实际问题案例：涉及多个领域的实际问题，用于引导学生运用导数解决实际问题。

十、教学进度安排：1. 本节课共计45分钟，具体安排如下：导入：5分钟新课讲解：15分钟案例分析：15分钟课堂练习：10分钟作业布置：5分钟2. 课后作业：布置课后练习，要求学生在下次课堂上提交。

《4.3.1 利用导数研究函数的单调性》教案教学目标：知识与技能：借助函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性的方法；情感、态度与价值观：通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性；教学难点：利用导数的符号判断函数的单调性；判断复合函数的单调区间及应用. 教学过程：一、自学导航1．情境：(1) 必修一中，如何定义函数单调性的？（2）如何用定义判断一些函数的单调性？一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x) 在这个区间上是减函数．问题：能否用定义法讨论函数()xf x e x=-的单调性？学生活动讨论函数342+-=x x y 的单调性. 解：取x1＜x2，x1、x2∈R ， 取值 f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差 ＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)， 定号 ∴y ＝f(x)在(－∞, 2)单调递减． 判断 当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，∴y ＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y ＝f(x)在(－∞, 2)单调递减，y ＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增.2. 研究函数342+-=x x y 的导函数值的符号与单调性之间的关系. 二、探究新知1.导数符号与函数单调性之间的关系我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即y '>0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即y '<0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数. 如果在这个区间内y '>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y '<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数.说明：（1）如果某个区间内恒有y '=0，则f(x)等于常数；（2）y '>0（或y '<0）是函数在(a ，b ）上单调增（或减）的充分不必要条件.2.利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f(x)的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x)＜0，得函数的单调递减区间．三、例题精讲：例1 求函数()23252x f x x x =--+的单调区间.解：()f x '=3x2－x －2=0，得x=1，23-.在（－∞，－32）和［1，+∞)上()f x '>0，f （x ）为增函数；在［－32，1］上f '（x ）<0，f （x ）为减函数.所以所求f （x ）的单调增区间为（－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］.变式题1：求函数2()2ln f x x x =-的单调区间． 答案：增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 变式题2：设函数()(0)kx f x xe k =≠．求函数()f x 的单调区间； 解：由()()'10kxf x kx e =+=，得()10x k k =-≠，若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减..w.k.s.5.u.c.o点评：（1）注意定义域和参数对单调区间的影响； （2）同一函数的两个单调区间不能并起来；（3）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一种一般性的方法.例2 若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是答案：1[,)3+∞变式题1:若函数123+++=mx x x y 有三个单调区间，则实数m 的取值范围是 .答案：1(,)3-∞ 变式题2:若函数123+++=mx x x y 在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则实数m 的值是 . 答案：-5变式题3：若函数123+++=mx x x y 在1(0,)2上既不是单调递增函数也不是单调递减函数，则整数m 的值是 . 答案：-1.m 变式题4：若函数123+++=mx x x y 的单调递减区间是4[2,]3-，则则实数m 的值是 .答案：-8例3 设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为 答案：④变式题1：如果函数()y f x =的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间1(3,)2--内单调递增； ②函数()y f x =在区间1(,3)2-内单调递减；③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④函数()y f x =的单调递增区间是xyO图xyO①xyO ② xyO ③yO④x-2 2xyO1-1 -11[2,2][4,)-+∞则上述判断中正确的是____________．答案：③变式题2：已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中()f x '是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是 答案：③备选例题：已知函数()ln 3(R)f x a x ax a =--∈．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45︒，对于任意的]2,1[∈t ，函数32()['()]2mg x x x f x =++在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；(3)求证：ln 2ln3ln 4ln 1(2,N )234n n n n n *⨯⨯⨯⨯<≥∈．解：(1)(1)'()(0)a x f x x x -=>当0>a 时，)(x f 的单调增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞；当0<a 时，)(x f 的单调增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1；O-22xy1 -1-2 12Oxy-2-2 21-112O-2 4xy1-1 -212 O-22xy-124 ①② ③ ④当0=a 时，)(x f 不是单调函数(2)12)2('=-=a f 得2-=a ，()2ln 23f x x x =-+- ∴x x mx x g 2)22()(23-++=，∴2)4(3)('2-++=x m x x g ∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g 由题意知：对于任意的]2,1[∈t ，'()0g t <恒成立，所以，'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴3793m -<<-(3)令1-=a 此时3ln )(-+-=x x x f ，所以2)1(-=f ，由(Ⅰ)知3ln )(-+-=x x x f 在),1(+∞上单调递增，∴当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >，即01ln >-+-x x ，∴1ln -<x x 对一切),1(+∞∈x 成立，∵2,N*n n ≥∈，则有1ln 0-<<n n ，∴n n n n 1ln 0-<<ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n *-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈四、课堂精练1. 设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 .答案：(0,)342. 已知函数()y f x =在定义域[4,6]-内可导，其图象如图，记()y f x =的导函数为'()y f x =，则不等式'()0f x ≥的解集为 .411[4,][1,]33-- 3. 若函数()321f x x ax =-+在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为 .答案：a≥3 讨论函数1()cos 2f x x x =-的单调性.答案：函数在7[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈上单调递增；在711[2,2]()66k k k Z ππππ++∈上单调递增五、回顾小结判断函数单调性的方法；2.导数符号与函数单调性之间的关系；3.利用导数确定函数的单调性的步骤. 分层训练1.函数y=8x2-lnx 的单调递增区间是 . 答案：1[,)4+∞2．已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条件是 ． 答案：a=c=0,3b ≤3.已知函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在（－∞，+∞）上是增函数，则m 的取值范围是 . 答案：2＜m ＜44.若函数2()2ln f x x x =-在定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数,则实数k 的取值范围是 .答案：33(,)22-5. 已知函数()ln f x x =,()a g x x =,设()()()F x f x g x =+．求函数()F x 的单调区间；解：()()()()ln 0aF x f x gx x=+=+>，()()221'0a x aF x x x x x -=-=>（1）若0a >，由()()'0,F x x a >⇒∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增.由()()'00,F x x a <⇒∈，∴()F x 在()0,a 上单调递减.∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞.（2）若0a ≤，则()'0F x >在()0,+∞上恒成立，∴()F x 在()0,+∞上单调递增.6.已知函数32()(1)(2)(,)f x x a x a a x b a b R =+--++∈．若函数()f x 在区间（-1,1）上不单调，求a 的取值范围．答案：（-5，-1） 六、拓展延伸1.已知函数32()f x x bx cx d =+++在(,0)-∞上是增函数，在（0，2）上是减函数，且方程f (x)=0有三个根，它们分别是,2,αβ.(1)求c 的值； （2）求证：(1)2f ≥； （3）求||αβ-的取值范围.（1）解：2()32f x x bx c '=++，由条件知(0)0f '=，0c ∴=.（2）证明：由2()320f x x bx '=+=得1220,3bx x ==-，∵ f (x)在（0，2）上是减函数，2223b x ∴=-≥即3b ≤-，又(2)84f b d =++=(1)13f b d b ∴=++=--≥. （3）解：322()(84)(2)[(2)24]f x x bx b x x b x b =+-+=-++++由 f (x)=0有三个根分别是,2,αβ，,αβ∴是方程2(2)240x b x b ++++=的两根2||(2)16b αβ∴-=-+，由（2）可知3b ≤-||3αβ∴-≥. 2.已知a R ∈,函数3211()2()32f x x ax ax x R =-++∈. （1）当a=1时，求函数f (x)的单调递增区间；（2）函数f (x)是否在R 上单调递减，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由； （3）若函数f (x)在[1,1]-上单调递增，求a 的取值范围.解: (1) 当a=11a =时,3211()232f x x x x=-++,2()2f x x x ∴'=-++. 令()0,f x ∴'>即2()2f x x x ∴'=-++, 即220x x -++>， 解得12x -<<.所以函数f (x)的单调递增区间是(1,2)-.(2) 若函数f(x)在R 上单调递减,则()0f x ∴'≤对x R ∈都成立,所以220x ax a -++≤对x R ∈都成立, 即220x ax a --≥对x R ∈都成立.280a a ∴∆=+≤, 解得80a -≤≤.∴当80a -≤≤时, 函数f (x)在R 上单调递减.(3) 解法一：∵函数f(x)在[-1,1]上单调递增,()0f x ∴'≥对[1,1]x ∈-都成立, 220x ax a --≤对[1,1]x ∈-都成立.令2()2g x x ax a =--，则(1)120(1)120g a a g a a =--≤⎧⎨-=+-≤⎩， 解得1a ≥. 解法二： 函数f (x)在[1,1]-上单调递增,()0f x ∴'≥对[1,1]x ∈-都成立, 220x ax a --≤对[1,1]x ∈-都成立.即22x a x ≥+对[1,1]x ∈-都成立. 令2()2x g x x =+, 则2(4)()(2)x x g x x +'=+. 当10x -≤<时，()0g x '<；当01x <≤01x <≤时，()0g x '>. ()g x ∴在[1,0]-上单调递减,在[0,1]上单调递增.1(1)1,(1)3g g -==，()g x ∴在[1,1]-上的最大值是1.1a ∴≥.七、课后作业八、教学后记：。

第2讲导数在研究函数中的应用第1课时导数与函数的单调性条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)<0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f (x)在(a，b)内是常数函数[提醒](1)利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；(2)对函数划分单调区间时，需确定导数等于零的点、函数的不连续点和不可导点；(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么单调区间之间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接；(4)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．() 答案：(1)×(2)√(3)√函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是()A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数解析：选D.因为f′(x)＝－sin x－1<0.所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：①f′(x)＞0时，－1＜x＜2；②f′(x)＜0时，x＜－1或x＞2；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.则函数f(x)的大致图象是()解析：选 C.根据信息知，函数f(x)在(－1，2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C.(教材习题改编)函数f(x)＝e x－x的单调递增区间是________．解析：因为f(x)＝e x－x，所以f′(x)＝e x－1，由f′(x)>0，得e x－1>0，即x>0.答案：(0，＋∞)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的最大值是________．解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.答案：3利用导数判断或证明函数的单调性讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．【解】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1x＋2ax＝2ax2＋a－1x.①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③当0<a<1时，令f′(x)＝0，解得x＝1－a2a，则当x∈(0,1－a2a)时，f′(x)<0；当x∈( 1－a2a，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0,1－a2a)上单调递减，在(1－a2a，＋∞)上单调递增．(2019·温州模拟)设函数f (x )＝x ln(ax )(a ＞0)．设F (x )＝12f (1)x 2＋f ′(x )，讨论函数F (x )的单调性．解：f ′(x )＝ln(ax )＋1，所以F (x )＝12(ln a )x 2＋ln(ax )＋1，函数F (x )的定义域为(0，＋∞)，F ′(x )＝(ln a )x ＋1x ＝（ln a ）x 2＋1x.①当ln a ≥0，即a ≥1时，恒有F ′(x )＞0，函数F (x )在(0，＋∞)上是增函数； ②当ln a ＜0，即0＜a ＜1时，令F ′(x )＞0，得(ln a )x 2＋1＞0，解得0＜x ＜ －1ln a ； 令F ′(x )＜0，得(ln a )x 2＋1＜0，解得x ＞ －1ln a. 所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1ln a 上为增函数， 在⎝⎛⎭⎫－1ln a ，＋∞上为减函数．求函数的单调区间(1)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)(2)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．【解】 (1)选B.y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2－1x＝（x －1）（x ＋1）x (x >0)．令y ′<0，得0<x <1， 所以单调递减区间为(0，1)．(2)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上，Δ＝4－4a ＝4(1－a )．①当1－a ≤0，即a ≥1时，f ′(x )≥0恒成立， f (x )在R 上单调递增．②当1－a >0，即a <1时，令f ′(x )＝0， 解得x 1＝－2－4（1－a ）2＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ，令f ′(x )>0，解得x <－1－1－a 或x >－1＋1－a ；令f ′(x )<0，解得－1－1－a <x <－1＋1－a ， 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)；f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．综上所述：当a ≥1时，f (x )在R 上单调递增； 当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．1．已知函数f (x )＝exx －m .则函数y ＝f (x )在x ∈(m ，＋∞)上的单调递减区间为________，单调递增区间为________．解析：f ′(x )＝e x （x －m ）－e x （x －m ）2＝e x （x －m －1）（x －m ）2，当x ∈(m ，m ＋1)时，f ′(x )＜0， 当x ∈(m ＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(m ，m ＋1)上单调递减，在(m ＋1，＋∞)上单调递增． 答案：(m ，m ＋1) (m ＋1，＋∞)2．设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，求函数f (x )的单调区间．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2－mx，当m ≤0时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间． 当m ＞0时，f ′(x )＝（x ＋m ）（x －m ）x，当0＜x ＜m 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ＞m 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．综上：当m ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m ＞0时，函数f (x )的单调递增区间是(m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m )．利用导数研究函数单调性的应用(高频考点)利用导数根据函数的单调性(区间)求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考向，常以解答题的形式出现．主要命题角度有：(1)函数y ＝f (x )与y ＝f ′(x )图象的相互判定； (2)已知函数单调性求参数的取值范围； (3)比较大小或解不等式．角度一 函数y ＝f (x )与y ＝f ′(x )图象的相互判定 (1)(2017·高考浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )(2)设函数y ＝f (x )的图象如图，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )【解析】 (1)原函数先减再增，再减再增，且x ＝0位于增区间内，故选D. (2)由y ＝f (x )图象可知，当x ∈(－∞，x 1)时，y ＝f (x )单调递增，所以f ′(x )>0. 当x ∈(x 1，x 2)时，y ＝f (x )单调递减，所以f ′(x )<0. 当x ∈(x 2，＋∞)时，y ＝f (x )单调递增，所以f ′(x )>0. 所以y ＝f ′(x )的图象在四个选项中只有D 符合． 【答案】 (1)D (2)D角度二 已知函数单调性求参数的取值范围(1)(2019·浙江省高中学科基础测试)若函数f (x )＝2x ＋ax(a ∈R )在[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[0，4]C ．(－∞，2]D ．(－∞，4] (2)函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递减，则k 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意得f ′(x )＝2－ax 2≥0在[1，＋∞)上恒成立，则a ≤(2x 2)min ＝2，所以a ≤2，故选C.(2)因为函数f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x ，函数在区间(1，＋∞)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k －1x≤0在区间(1，＋∞)上恒成立，故k ≤1x 在区间(1，＋∞)上恒成立，因为在区间(1，＋∞)上0＜1x ＜1，故k ≤0.【答案】 (1)C (2)(－∞，0] 角度三 比较大小或解不等式(2019·宁波市效实中学月考)定义在R 上的函数f (x )的导函数是f ′(x )，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫1e (e 为自然对数的底数)、b ＝f (2)、c ＝f (log 28)，则a 、b 、c 的大小关系为________(用“＜”连接)．【解析】 因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，得f ′(x )＞0，所以函数在(－∞，1)上单调递增，又f (x )＝f (2－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )图象上的点距离直线x ＝1越近函数值越大，又log 28＝3，所以log 28＞2－1e ＞2＞1，得f (2)＞f ⎝⎛⎭⎫1e ＞f (log 28)，故c ＜a ＜b .【答案】 c ＜a ＜b(1)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[a ，b ]上单调递增(减)可知f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间[a ，b ]上恒成立列出不等式．②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题．③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f ′(x )在整个区间恒等于0，若f ′(x )恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f ′(x )＝0，则参数可取这个值．(2)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．[提醒] (1)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(2)注意函数的单调区间与函数在某区间上具有单调性是不同的．设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________．解析：设g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，所以当x ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (2)＝f （2）2＝0，所以f (x )＞0的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故填(－2，0)∪(2，＋∞)．答案：(－2，0)∪(2，＋∞)利用导数研究函数单调性的方法(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解，并注意函数f (x )的定义域．(2)含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性．(3)已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决．利用导数研究函数的单调性应注意4点 (1)求单调区间应遵循定义域优先的原则．(2)注意两种表述“函数f (x )在(a ，b )上为减函数”与“函数f (x )的减区间为(a ，b )”的区别．(3)在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． (4)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒为零．[基础达标]1．函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞) 解析：选D.由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D. 2．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．先减后增解析：选A.在(0，2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0恒成立，所以f (x )在(0，2π)上单调递增． 3．(2019·台州市高三期末质量评估)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2＋x (a ∈R )，下列选项中不可能是函数f (x )图象的是( )解析：选D.因f ′(x )＝ax 2＋ax ＋1，故当a ＜0时，判别式Δ＝a 2－4a ＞0，其图象是答案C 中的那种情形；当a ＞0时，判别式Δ＝a 2－4a ＞0，其图象是答案B 中的那种情形；判别式Δ＝a 2－4a ≤0，其图象是答案A 中的那种情形；当a ＝0，即y ＝x 也是答案A 中的那种情形，应选答案D.4．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 解析：选A.因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )．所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以此时函数是增函数．所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3.所以f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A. 5．函数f (x )的定义域为R .f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 解析：选B.由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2. 因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1，选B.6．(2019·温州七校联考)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －3)f ′(x )≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (6)≤2f (3)B ．f (0)＋f (6)＜2f (3)C ．f (0)＋f (6)≥2f (3)D ．f (0)＋f (6)＞2f (3)解析：选A.由题意知，当x ≥3时，f ′(x )≤0，所以函数f (x )在[3，＋∞)上单调递减或为常数函数；当x ＜3时，f ′(x )≥0，所以函数f (x )在(－∞，3)上单调递增或为常数函数，所以f (0)≤f (3)，f (6)≤f (3)，所以f (0)＋f (6)≤2f (3)，故选A.7．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是________．解析：因为f (x )＝(x －3)e x ，则f ′(x )＝e x (x －2)，令f ′(x )＞0，得x ＞2，所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)8．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，则当a ＜0时，f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．解析：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x )＝a ＋1x ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1a x，所以当x ≥－1a时f ′(x )≤0，当0＜x ＜－1a 时f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫0，－1a ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞ 9．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．答案：(－3，0)∪(0，＋∞)10．(2019·浙江省名校协作体高三联考)已知函数f (x )＝x 2e x ，若f (x )在[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意得，f ′(x )＝e x (x 2＋2x )，所以f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，又因为f (x )在[t ，t ＋1]上不单调，所以⎩⎪⎨⎪⎧t <－2t ＋1>－2或⎩⎨⎧t <0t ＋1>0，即实数t的取值范围是(－3，－2)∪(－1，0)．答案：(－3，－2)∪(－1，0)11．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．故函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0，5)．12．(1)设函数f (x )＝x e 2－x ＋e x ，求f (x )的单调区间．(2)设f (x )＝e x (ln x －a )(e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28…)，若函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(2)由题意可得f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x －a ≤0在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立． 因为e x >0，所以只需ln x ＋1x －a ≤0，即a ≥ln x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x. 因为g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，由g ′(x )＝0，得x ＝1. x ⎝⎛⎭⎫1e ，1 (1，e) g ′(x )－ ＋ g (x )g ⎝⎛⎭⎫1e ＝ln 1e ＋e ＝e －1，g (e)＝1＋1e ，因为e －1>1＋1e，所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －1. 故a ≥e －1.[能力提升]1．(2019·丽水模拟)已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)．则下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C.由条件可知当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，所以f ′(x )＜0，函数递减．当x ＞1时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＞0，函数递增，所以当x ＝1时，函数取得极小值．当x ＜－1时，xf ′(x )＜0，所以f ′(x )＞0，函数递增，当－1＜x ＜0时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＜0，函数递减，所以当x ＝－1时，函数取得极大值．符合条件的只有C 项．2．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知定义在R 上的偶函数f (x )，其导函数f ′(x )．当x ≥0时，恒有x 2f ′(x )＋f (－x )≤0，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )＜g (1－2x )的解集为( ) A ．(13，1) B ．(－∞，13)∪(1，＋∞)C ．(13，＋∞) D ．(－∞，13) 解析：选A.因为定义在R 上的偶函数f (x )，所以f (－x )＝f (x )因为x≥0时，恒有x2f′(x)＋f(－x)≤0，所以x2f′(x)＋2xf(x)≤0，因为g(x)＝x2f(x)，所以g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)≤0，所以g(x)在[0，＋∞)上为减函数，因为f(x)为偶函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上为增函数，因为g(x)＜g(1－2x)所以|x|＞|1－2x|，即(x－1)(3x－1)＜0＜x＜1，选A.解得133.已知定义在R上的函数f(x)满足f(－3)＝f(5)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，且导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜1的解集是________．解析：依题意得，当x>0时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数．又f(－3)＝f(5)＝1，因此不等式f(x)<1的解集是(－3，5)．答案：(－3，5)4．(2019·绍兴、诸暨高考模拟)已知函数f(x)＝x3－3x，函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程是________；函数f(x)在区间[0，2]内的值域是________．解析：函数f(x)＝x3－3x，切点坐标(0，0)，导数为y′＝3x2－3，切线的斜率为－3，所以切线方程为y＝－3x；3x2－3＝0，可得x＝±1，x∈(－1，1)，y′＜0，函数是减函数，x∈(1，＋∞)，y′＞0函数是增函数，f (0)＝0，f (1)＝－2，f (2)＝8－6＝2，函数f (x )在区间[0，2]内的值域是[－2，2]．答案：y ＝－3x [－2，2]5．已知函数g (x )＝13x 3－12ax 2＋2x . (1)若g (x )在(－2，－1)内为减函数，求实数a 的取值范围；(2)若g (x )在区间(－2，－1)内不单调，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为g ′(x )＝x 2－ax ＋2，且g (x )在(－2，－1)内为减函数，所以g ′(x )≤0，即x 2－ax ＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ′（－2）≤0，g ′（－1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋2≤0，1＋a ＋2≤0，解之得a ≤－3， 即实数a 的取值范围为(－∞，－3]．(2)因为g (x )在(－2，－1)内不单调，g ′(x )＝x 2－ax ＋2，所以g ′(－2)·g ′(－1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧－2<a 2<－1，Δ>0，g ′（－2）>0，g ′（－1）>0.由g ′(－2)·g ′(－1)<0，得(6＋2a )·(3＋a )<0，无解．由⎩⎪⎨⎪⎧－2<a 2<－1，Δ>0，g ′（－2）>0，g ′（－1）>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <－2，a 2－8>0，6＋2a >0，3＋a >0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <－2，a >22或a <－22，a >－3，解之得－3<a <－22，即实数a 的取值范围为(－3，－22)．6．设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 此时f ′(x )＝2（x ＋1）2， 可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0， 所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2（x ＋1）2＝ax 2＋（2a ＋2）x ＋a x （x ＋1）2. 当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．①当a ＝－12时，Δ＝0， f ′(x )＝－12（x －1）2x （x ＋1）2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a <－12时，Δ<0，g (x )<0， f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12<a <0时，Δ>0， 设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－（a ＋1）＋2a ＋1a， x 2＝－（a ＋1）－2a ＋1a .由于x 1＝a ＋1－2a ＋1－a＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a >0，所以当x ∈(0，x 1)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减， 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12<a <0时， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－（a ＋1）＋2a ＋1a ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）－2a ＋1a ，＋∞上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）＋2a ＋1a ，－（a ＋1）－2a ＋1a 上单调递增．。

利用导数研究函数的单调性教案教案：利用导数研究函数的单调性一、教学目标1.了解函数的单调性概念，以及单调递增和单调递减的定义；2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法；3.能够通过导数的正负性分析函数的单调区间，并作出相应的图像。

二、教学准备1.教师准备：书本、黑板、白板、彩色粉笔、计算器、实例练习题；2.学生准备：笔记本、课本。

三、教学过程1.引入导入（10分钟）导师通过提问等方式，引导学生回顾函数的增减性、最值点等概念，为接下来的学习做铺垫。

2.学习讲解（25分钟）1)导师先通过实例展示导数与函数单调性之间的关系，比如分别给出函数f(x)=x^2和函数g(x)=-x^2的导数，并解释导数大于零时函数单调递增，导数小于零时函数单调递减。

2)导师详细讲解如何利用导数分析函数的单调性：首先，对函数f(x)求导，得到它的导函数f'(x)；其次，求出f'(x)的零点，即导数为零的点。

这些点将把函数f(x)的定义域划分为若干个开区间；然后，对每个开区间分别求取f'(x)的正负性，从而得到导数f'(x)在各开区间的取值范围；最后，结合导数f'(x)的正负性来分析函数f(x)的单调性。

3.实例训练（35分钟）导师通过多个实例进行讲解和学生训练，帮助学生熟悉和掌握利用导数研究函数单调性的方法。

4.小结提问（10分钟）导师通过提问进行小结，确保学生对函数的单调性及利用导数分析函数单调性的方法有一个深入的理解。

五、作业布置给定函数f(x)=2x^3+3x^2-12x+1，设置一个问题，让学生利用导数分析函数的单调性，并解决问题。

六、板书设计函数的单调性单调递增：导数大于零单调递减：导数小于零怎样利用导数研究函数的单调性？1.求导函数2.导函数的零点3.导函数的正负性导函数的正负性与函数的单调性的关系七、教学反思通过本堂课的教学，学生基本能够理解函数的单调性概念，知道如何利用导数研究函数的单调性。

利用导数研究函数的单调性（一）编辑：赵辉、李勤涛、王芳 学习要求： 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.会求单调区间 复习回顾 定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有 或（ ），那么函数f (x )就是区间I 上的 或（ ）函数. 自主、合作学习：探究1 画出函数342+-=x x y 的图像，观察函数的单调性和函数的导数正负有什么关系？探究2 观察函数图像探讨函数单调性与其导数正负的关系。

思考 如何用导数求图象未知函数的单调区间呢？-------请阅读课本24页回答下列问题 之后再解决 （1） 利用导数判断单调性的法则： 设函数y=f(x) 在某个区间（a,b ）内有导数， 如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在 ； 如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在 （2）用函数曲线的的切线的斜率理解上述法则:当切线斜率为正时 ；当切线斜率为负时 。

（3）若函数y=f(x) 在某个区间内总有 ，则f(x)在这个区间上是增函数；若函数y=f(x) 在某个区间内总有 ，则f(x)在这个区间上是减函数。

探究3：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？典型例题例1 判断下列函数的单调性，并求出单调区间 （1）x x x f 3)(3+= （2） ()sin f x x x =-+ ),0(π∈x(3) x e x f x -=)( (4) x x x f ln )(-= 反思：用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ).②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 注意：定义域优先；两（或多）部分单增区间的书写。

例2 已知导函数)('x f 的下列信息； 当–2<x<2时)('x f <0；当x>2或x<–2时)('x f >0；当x=2或x=–2时)('x f =0。

第2节导数在研究函数中的应用知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷f(x)为极大值f(x)为极小值(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点与所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数的极大值一定大于其极小值.()(4)对可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x0为极值点.()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.(3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导函数异号.2.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是()A.(0，1]B.[1，＋∞)C.(－∞，－1]D.[－1，0)∪(0，1]答案A解析由题意知f′(x)＝2x－2x＝2x2－2x(x>0)，由f′(x)≤0，得0<x≤1.3.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1B.2C.3D.4答案A解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正.4.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案D解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.5.(多选题)(2021·济南调研)如果函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则以下关于函数y＝f(x)的判断正确的是()A.在区间(2，4)内单调递减B.在区间(2，3)内单调递增C.x＝－3是极小值点D.x＝4是极大值点答案BD解析A项，函数y＝f(x)在区间(2，4)内f′(x)＞0，则函数f(x)在区间(2，4)上单调递增，故A不正确；B项，函数y＝f(x)在区间(2，3)内的导数f′(x)＞0，则函数f(x)在区间(2，3)上单调递增，故B正确；C项，由图象知当x＝－3时，函数f′(x)取得极小值，但是函数y＝f(x)没有取得极小值，故C错误；D项，当x＝4时，f′(x)＝0，当2＜x＜4时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)为增函数，当x＞4时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)为减函数，则x＝4是函数f(x)的极大值点，故D正确.6.(2021·青岛检测)已知函数f(x)＝sin 2x＋4cos x－ax在R上单调递减，则实数a 的取值范围是________.答案[3，＋∞)解析f′(x)＝2cos 2x－4sin x－a＝2(1－2sin2x)－4sin x－a＝－4sin2x－4sin x＋2－a＝－(2sin x＋1)2＋3－a.由题设，f′(x)≤0在R上恒成立.因此a≥3－(2sin x＋1)2恒成立，则a≥3.第一课时 利用导数研究函数的单调性考点一 不含参函数的单调性1.函数f (x )＝x 2－2ln x 的递减区间是( ) A.(0，1)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－1，1)答案 A解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x (x >0)，∴当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数. 2.函数f (x )＝(x －3)e x 的递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4)D.(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.3.已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的递增区间是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.感悟升华 确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 考点二 讨论含参函数的单调性【例1】已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性. 解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－（a ＋1）x ＋1x＝（ax －1）（x －1）x .①当0<a <1时，1a >1，∴x ∈(0，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 上单调递减；②当a ＝1时，1a ＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③当a >1时，0<1a <1，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(1，＋∞)时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1上单调递减.综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1上单调递减.感悟升华 1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数.【训练1】已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R )，求f (x )的单调区间. 解 由已知得f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)， ①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0， 所以f (x )的单调递增区间(0，＋∞). ②当a <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－1a .在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞. 考点三 根据函数单调性求参数【例2】(经典母题)已知x ＝1是f (x )＝2x ＋bx ＋ln x 的一个极值点. (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)设函数g(x)＝f(x)－3＋ax，若函数g(x)在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围.解(1)f(x)＝2x＋bx＋ln x，定义域为(0，＋∞).∴f′(x)＝2－bx2＋1x＝2x2＋x－bx2.因为x＝1是f(x)＝2x＋bx＋ln x的一个极值点，所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.所以f′(x)＝2－3x2＋1x＝2x2＋x－3x2，令f′(x)<0，得0<x<1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1).(2)g(x)＝f(x)－3＋ax＝2x＋ln x－ax(x>0)，g′(x)＝2＋1x＋ax2(x>0).因为函数g(x)在[1，2]上单调递增，所以g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，即2＋1x ＋ax2≥0在[1，2]上恒成立，所以a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，所以a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2].因为在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3.所以实数a的取值范围是[－3，＋∞).【迁移1】本例(2)中，若函数g(x)在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围.解 依题意g ′(x )＝2＋1x ＋ax 2在[1，2]上满足g ′(x )≤0恒成立， ∴当x ∈[1，2]时，a ≤－2x 2－x 恒成立，又t ＝－2x 2－x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋18，x ∈[1，2]是减函数，∴当x ＝2时，t ＝－2x 2－x 取得最小值－10. 所以a ≤－10，即实数a 的取值范围为(－∞，－10].【迁移2】在本例(2)中，若函数g (x )在区间[1，2]上不单调，求实数a 的取值范围.解 ∵函数g (x )在区间[1，2]上不单调， ∴g ′(x )＝0在区间(1，2)内有解，则a ＝－2x 2－x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋18在(1，2)内有解，易知该函数在(1，2)上是减函数， ∴a ＝－2x 2－x 的值域为(－10，－3)， 因此实数a 的取值范围为(－10，－3).感悟升华 1.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围.(2)如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.2.若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解. 考点四 与导数有关的函数单调性的应用角度1 比较大小【例3】 (多选题)(2021·重庆抽测)定义在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )＜0成立，则有( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3D.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 答案 CD解析 构造函数g (x )＝f （x ）cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2.则g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin x （cos x ）2＜0，即函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，同理，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故选CD. 角度2 解不等式【例4】已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有f (x )>f ′（x ）ln 2成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x －1的解集为( ) A.(－2，＋∞) B.(2，＋∞) C.(－∞，－2) D.(－∞，2) 答案 D解析 f (x )>f ′（x ）ln 2⇔f ′(x )－ln 2·f (x )<0.令g (x )＝f （x ）2x ，则g ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）·ln 22x ，∴g ′(x )<0，则g (x )在(－∞，＋∞)上是减函数. 由f (－2)＝2，且f (x )在R 上是奇函数， 得f (2)＝－2，则g (2)＝f （2）22＝－12， 又f (x )>－2x －1⇔f （x ）2x >－12＝g (2)，所以x <2.感悟升华 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f (x )与f ′(x )的不等关系时，常构造含f (x )与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.【训练2】 (1)(2021·新高考8省联考)已知a <5且a e 5＝5e a ，b <4且b e 4＝4e b ，c <3且c e 3＝3e c ，则( )A.c <b <aB.b <c <aC.a <c <bD.a <b <c(2)(2021·武汉模拟)定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意实数x ，都有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 021为奇函数，则不等式f (x )＋2 021e x <0的解集为( )A.(－∞，0)B.(0，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 答案 (1) D (2)B解析 (1)法一 由已知e 55＝e a a ，e 44＝e b b ，e 33＝e cc ，设f (x )＝e x x ，则f ′(x )＝（x －1）e x x 2， 所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (3)<f (4)<f (5)，f (c )<f (b )<f (a )，所以a <b <c .法二 设e x＝e 55x ，① e x ＝e 44x ，②e x＝e 33x ，③ a ，b ，c 依次为方程①②③的根，结合图象，方程的根可以看作两个图象的交点的横坐标，∵e 55>e 44>e 33，由图可知a <b <c .(2)由题意，构造新函数g (x )＝f （x ）e x ，则g ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）e x， 因为f (x )>f ′(x )，所以g ′(x )<0，所以函数g (x )在R 上单调递减.因为f (x )＋2 021为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＋2 021＝0，所以f (0)＝－2 021，则g (0)＝－2 021，所以不等式f (x )＋2 021e x <0等价于g (x )<g (0)，所以x >0，所以不等式f (x )＋2 021e x <0的解集为(0，＋∞).以“函数凹凸性”为背景的导数问题一般地，函数f (x )的定义域为R ，若∀x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，都有f （x 1）＋f （x 2）2≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则f (x )为凸函数，其图象向上凸出；若∀x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，都有f （x 1）＋f （x 2）2≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则f (x )为凹函数，其图象向下凸出. 【典例】(2020·青岛检测)丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数f (x )在(a ，b )上的导函数为f ′(x )，f ′(x )在(a ，b )上的导函数为f ″(x )，若在(a ，b )上f ″(x )<0恒成立，则称函数f (x )在(a ，b )上为“严格凸函数”.已知f (x )＝e x －x ln x －m 2x 2在(1，4)上为“严格凸函数”，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，2e －1]B.[e －1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 4－14，＋∞ D.(e ，＋∞)答案 C解析 因为f (x )＝e x －x ln x －m 2x 2，所以f ′(x )＝e x －ln x －1－mx ，所以f ″(x )＝e x －1x －m .因为f (x )＝e x －x ln x －m 2x 2在(1，4)上为“严格凸函数”，所以f ″(x )＝e x －1x －m <0在(1，4)上恒成立，即m >e x －1x 在(1，4)上恒成立.令g (x )＝e x －1x ，x ∈(1，4)，所以g ′(x )＝e x ＋1x 2>0，所以g (x )在(1，4)上单调递增，所以g (x )<e 4－14，所以m ≥e 4－14，即实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 4－14，＋∞. 思维升华 1.f (x )＝e x －x ln x －m 2x 2在(1，4)上为“严格凸函数”，等价于f ″(x )<0在(1，4)上恒成立，利用分离参数法即可得m 的取值范围.2.本题是以函数的凹凸性为背景考查函数的二阶导数的符号的问题，考查了直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养.破解本题的关键是明确严格凸函数的定义，求出所给函数的二阶导数，判断其是否在给定的区间上恒为负值.【训练】 (多选题)(2021·山东名校联考)设f ′(x )是函数f (x )的导函数，若f ′(x )>0，且∀x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则下列选项中一定正确的是( ) A.f (2)<f (e)<f (π)B.f ′(π)<f ′(e)<f ′(2)C.f (2)<f ′(2)－f ′(3)<f (3)D.f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)答案 ABD解析 因为f ′(x )>0，所以f (x )在R 上单调递增.∀x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，恒有f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即f （x 1）＋f （x 2）2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22， 所以y ＝f (x )的图象是向上凸起的，大致图象如图所示.由图可知f (2)<f (e)<f (π)，故A 项正确.因为f ′(x )反映了函数f (x )图象上各点处的切线的斜率，由图可知，随着x 的增大，f (x )的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以f ′(π)<f ′(e)<f ′(2)，故B 项正确.因为f (3)－f (2)＝f （3）－f （2）3－2表示点A (2，f (2))与B (3，f (3))连线所在直线的斜率k AB ，所以结合图可知f ′(3)<k AB <f ′(2)，故D 正确.显然只有f (2)<f ′(2)－f ′(3)<f (3)无法判断正误，即C 不一定正确.A 级 基础巩固一、选择题1.函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )答案 D解析 由函数f (x )的图象可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f ′(x )>0；在(0，＋∞)上，f ′(x )<0，选项D 满足.2.函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，eB.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 答案 B 解析 因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，令f ′(x )<0，解得0<x <1e ，故f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e . 3.(2020·江南十校联考)已知函数f (x )＝ax 2－4ax －ln x ，则f (x )在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件可以是( )A.a >－12B.0<a <116C.a >116或－12<a <0D.a >116 答案 D解析 f ′(x )＝2ax －4a －1x ＝2ax 2－4ax －1x， 令g (x )＝2ax 2－4ax －1，则函数g (x )＝2ax 2－4ax －1的对称轴方程为x ＝1，若f (x )在(1，4)上不单调，则g (x )在区间(1，4)上有零点.当a ＝0时，显然不成立；当a ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，g （1）＝－2a －1<0，g （4）＝16a －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，g （1）＝－2a －1>0，g （4）＝16a －1<0，解得a >116或a <－12.∴a >116是f (x )在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件.4.已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( )A.4f (1)<f (2)B.4f (1)>f (2)C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)答案 B解析 设函数g (x )＝f （x ）x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′（x ）－2xf （x ）x 4＝xf ′（x ）－2f （x ）x 3<0， 所以函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，因此g (1)>g (2)，即f （1）12>f （2）22，所以4f (1)>f (2).5.已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋2e x －2e －x ，其中e 为自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 答案 D解析 f ′(x )＝x 2－4＋2e x ＋2e －x ≥x 2－4＋24e x ·e －x ＝x 2≥0，∴f (x )在R 上是增函数.又f (－x )＝－13x 3＋4x ＋2e －x －2e x ＝－f (x )，知f (x )为奇函数.故f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤f (－2a 2)，∴a －1≤－2a 2，解之得－1≤a ≤12.6.(多选题)(2021·重庆调研)已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则对于任意的x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，下列结论正确的是( )A.f (x )＜0恒成立B.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞f （x 1）＋f （x 2）2 D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2 答案 BD解析 由导函数的图象可知，导函数f ′(x )的图象在x 轴下方，即f ′(x )＜0，故原函数为减函数，并且递减的速度是逐渐减慢.所以f (x )的示意图如图所示：f (x )＜0恒成立，没有依据，故A 不正确；B 表示(x 1－x 2)与[f (x 1)－f (x 2)]异号，即f (x )为减函数，故B 正确；C ，D 左边的式子意义为x 1，x 2中点对应的函数值，即图中点B 的纵坐标值， 右边式子代表的是函数值的平均值，即图中点A 的纵坐标值，显然有左边小于右边，故C 不正确，D 正确.二、填空题7.已知a 为实数，f (x )＝ax 3＋3x ＋2，若f ′(－1)＝－3，则函数f (x )的单调递增区间为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 解析 f (x )＝ax 3＋3x ＋2，则f ′(x )＝3ax 2＋3，又f ′(－1)＝3a ＋3＝－3，解得a ＝－2，∴f ′(x )＝－6x 2＋3，由f ′(x )>0，解得－22<x <22.故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 8.(2020·长沙质检)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 解析 f ′(x )＝4x －1x ＝（2x －1）（2x ＋1）x(x >0)， 令f ′(x )>0，得x >12；令f ′(x )<0，得0<x <12.依题意，⎩⎨⎧k －1≥0，k －1<12<k ＋1，解之得1≤k <32. 9.设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′（x ）－f （x ）x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是________________.答案 (－∞，－2)∪(0，2)解析 令φ(x )＝f （x ）x ，∵当x >0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝x ·f ′（x ）－f （x ）x 2<0， ∴φ(x )＝f （x ）x 在(0，＋∞)上为减函数，又f (2)＝0，即φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数，由数形结合知x ∈(－∞，－2)时，f (x )>0.故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2).三、解答题10.已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)f′(x)＝1x－ln x－ke x(x>0).又由题意知f′(1)＝1－ke＝0，所以k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝1x－ln x－1e x(x>0).设h(x)＝1x－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－1x2－1x<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，所以f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.综上f(x)的单调增区间是(0，1)，减区间为(1，＋∞).11.已知函数f(x)＝12x2－2a ln x＋(a－2)x.(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.解(1)当a＝－1时，f(x)＝12x2＋2ln x－3x，则f′(x)＝x＋2x －3＝x2－3x＋2x＝（x －1）（x －2）x (x >0).当0<x <1或x >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当1<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.所以f (x )的单调增区间为(0，1)和(2，＋∞)，单调减区间为(1，2).(2)假设存在实数a ，使g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上是增函数， 则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝x －2a x －2≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立.即x 2－2x －2a x ≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立.所以x 2－2x －2a ≥0在x >0时恒成立，所以a ≤12(x 2－2x )＝12(x －1)2－12恒成立.令φ(x )＝12(x －1)2－12，x ∈(0，＋∞)，则其最小值为－12.所以当a ≤－12时，g ′(x )≥0恒成立.又当a ＝－12时，g ′(x )＝（x －1）2x ，当且仅当x ＝1时，g ′(x )＝0.故当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12时，g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增.B 级 能力提升12.已知a ＝ln 33，b ＝e －1，c ＝3ln 28，则a ，b ，c 的大小关系为() A.b >c >a B.a >c >bC.a >b >cD.b >a >c答案 D解析 依题意，得a ＝ln 33＝ln 33，b ＝e －1＝ln e e ，c ＝3ln 28＝ln 88.令f (x )＝ln x x (x >0)，则f ′(x )＝1－ln x x 2，易知函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减.所以f (x )max ＝f (e)＝1e ＝b ，且f (3)>f (8)，即a >c ，所以b >a >c .13.(多选题)(2021·日照模拟)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞m ＞1，则下列成立的有( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＞1－m m B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＜－1 C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －1＞1m －1D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －1＜0 答案 AC解析 由已知条件，构造函数g (x )＝f (x )－mx ，x ∈R ，则g ′(x )＝f ′(x )－m ＞0，所以函数g (x )＝f (x )－mx 在R 上单调递增，且1m ＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＞g (0)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －1＞－1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＞0，故B 错误；又1m ＜1，1－m m ＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＞1－m m ，故A 正确；1m －1＞0，故g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －1＞g (0)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －1－m m －1＞－1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －1＞1m －1＞0，故C 正确，D 错误，故选AC.14.已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0.f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减， 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增. (2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].。

利用导数判断函数的单调性教案一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义2. 学会利用导数判断函数的单调性3. 能够运用单调性解决实际问题二、教学内容1. 导数的定义和几何意义2. 导数与函数单调性的关系3. 利用导数判断函数单调性的方法4. 单调性在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义，导数与函数单调性的关系，利用导数判断函数单调性2. 难点：导数的几何意义，利用导数判断函数单调性的方法四、教学方法与手段1. 讲授法：讲解导数的定义和几何意义，引导学生理解导数与函数单调性的关系2. 案例分析法：分析实际问题，让学生学会运用单调性解决实际问题3. 练习法：让学生通过练习，巩固利用导数判断函数单调性的方法4. 教学手段：多媒体课件，黑板，粉笔五、教学过程1. 导入：复习导数的定义和几何意义，引导学生思考导数与函数单调性的关系2. 新课：讲解导数与函数单调性的关系，引导学生学会利用导数判断函数单调性3. 案例分析：分析实际问题，让学生学会运用单调性解决实际问题4. 练习：让学生通过练习，巩固利用导数判断函数单调性的方法六、教学设计1. 教学流程：a. 导入：复习导数的基本概念和几何意义b. 新课：讲解导数与函数单调性的关系c. 案例分析：分析实际问题，让学生学会运用单调性解决实际问题d. 练习：让学生通过练习，巩固利用导数判断函数单调性的方法2. 教学时间安排：45分钟七、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度，提问和回答问题的积极性2. 练习完成情况：检查学生完成的练习情况，评估学生对利用导数判断函数单调性的掌握程度3. 案例分析：评估学生在案例分析中的表现，判断学生能否运用单调性解决实际问题八、教学反思1. 课堂讲解：反思导数与函数单调性关系的讲解是否清晰易懂，是否引导学生充分理解2. 案例分析：反思案例分析环节是否有效地引导学生运用单调性解决实际问题3. 练习环节：反思练习题的设计是否合理，是否有助于巩固学生对导数判断函数单调性的掌握九、课后作业1. 复习导数的基本概念和几何意义2. 复习导数与函数单调性的关系3. 完成课后练习题，巩固利用导数判断函数单调性的方法十、拓展学习建议1. 深入学习导数的应用，如求函数的极值、最值等2. 研究导数在其他数学领域中的应用，如微分方程、微积分等3. 了解导数在实际问题中的应用，如物理学、经济学等领域重点和难点解析六、教学设计补充和说明：案例分析环节是学生将理论知识应用于实际问题的重要环节。