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第三章 随机过程学习目标通过对本章的学习，应该掌握以下要点： 随机过程的基本概念随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）；平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度；高斯过程的定义和性质、一维概率密度函数；随机过程通过线性系统、输出和输入的关系；窄带随机过程的表达式和统计特性；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。
3.1 内容概要3.1.1 随机过程的基本概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知性，不能用确切的时间函数来描述。
1.定义角度一：随机过程ξ(t )是随机试验的全体样本函数{ξ1 (t ), ξ2 (t ), …, ξn (t )}的集合。
角度二：随机过程ξ(t )是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
这说明，在任一观察时刻t 1，ξ(t 1)是一个不含t 变化的随机变量。
可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
研究随机过程正是利用了它的这两个特点。
2.分布函数和概率密度函数 一维分布函数：ξ(t )在11111(,)[()]F x t P t x ξ=≤含义：随机过程ξ(t )在t 1时刻的取值ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率。
如果存在1111111),(),(x t x F t x f ∂∂=则称111(,)f x t 为ξ(t )的一维概率密度函数。
同理，任意给定12n t t t T ∈ ，，，，则ξ(t )的n 维分布函数为{}12121122(,,,;,,)(),(),,()n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤如果此能在n21n 21n 21n n n 21n 21n x )t x ()t x (∂∂∂∂= x x t t x x F t t x x f ，，，；，，，，，，；，，，则称其为ξ(t )的n 维概率密度函数。
显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。
随机过程的概念及分类方法随机过程的概念及分类方法随机过程是描述随机现象的数学模型。
它可以看作是一个随机函数，它的输出值依赖于时间和样本空间中的随机变量。
随机过程的研究可追溯到19世纪末20世纪初，当时数学家们开始研究大量的样本统计规律。
随机过程在经济学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
随机过程的分类方法主要有以下几种：1. 马氏性质：马氏性质是指在一个随机过程中，给定过去的状态和未来的状态，当前的状态与过去的状态是独立的。
如果一个随机过程满足马氏性质，那么它被称为马氏过程。
常见的马氏过程有马尔可夫链、泊松过程等。
2. 独立增量：独立增量是指在一个随机过程中，任意两个时间点上的增量是独立的。
如果一个随机过程满足独立增量性质，那么它被称为独立增量过程。
常见的独立增量过程有布朗运动和泊松过程。
3. 平稳性：平稳性是指随机过程的统计特性在时间上是不变的。
如果一个随机过程满足平稳性质，那么它被称为平稳过程。
常见的平稳过程有伊索和无记忆过程。
4. 高斯过程：高斯过程是指随机过程中的任意有限个随机变量满足多维高斯分布。
高斯过程在概率论和统计学中有着重要的应用，常见的高斯过程有布朗运动和高斯白噪声过程。
5. 跳跃过程：跳跃过程是指随机过程中存在不连续的跳跃现象。
跳跃过程在金融学和通信工程中有着重要的应用，常见的跳跃过程有泊松过程和利维过程。
除了以上的分类方法，随机过程还可以按照时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。
连续时间随机过程是指随机变量的索引集为连续集合，如实数集；离散时间随机过程是指随机变量的索引集为离散集合，如整数集。
另外，在实际应用中，为了更好地描述随机过程的行为，人们还可以使用数学方法对随机过程进行建模。
常见的建模方法有马尔可夫模型、自回归模型、移动平均模型等。
总结起来，随机过程是描述随机现象的数学模型，可以分为马氏过程、独立增量过程、平稳过程、高斯过程和跳跃过程等。
此外，随机过程还可根据时间的连续性分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。
1 随机信号处理笔记：白噪声1 随机信号处理笔记：白噪声1.1 关于白噪声1.1.1 白噪声的概念1.1.2 白噪声的统计学定义1.1.3 白噪声的自相关函数1.2 白噪声通过LTI系统1.2.1 限带白噪声1.2.1.1 低通白噪声1.2.1.2 带通白噪声1.3 等效噪声带宽1.3.1 等效原则1.3.2 等效公式引言在几乎所有的电子通信中，都不可避免地会有噪声干扰正常的通信质量。
因此对噪声统计特性的研究就显得很重要。
在分析通信系统的抗噪声性能时，常用高斯白噪声作为通信信道的噪声模型。
常见的电子热噪声近似为白噪声。
本文就‘白噪声’统计特性及其通过线性时不变系统的输出特性做简要总结。
1.1 关于白噪声1.1.1 白噪声的概念“白噪声”，Additive White Gaussian Noise(AWGN)，符合高斯分布。
“白”的概念来自于光学，和白光的“白”是同一个意思，指的是包含所有频率分量的噪声，且这所有的频率分量是等值的。
1.1.2 白噪声的统计学定义如果白噪声的功率谱密度在所有频率上都是一个常数：其中，；，。
则称该噪声为白噪声。
白噪声的单边功率谱密度：其中，；，。
1.1.3 白噪声的自相关函数根据维纳-辛钦定理，平稳随机过程的功率谱密度函数和自相关函数是傅里叶变换对。
白噪声的自相关函数：对于所有的，都有，说明白噪声仅在时刻才是相关的，而在其他时刻（）的随机变量都是不相关的。
白噪声的平均功率：因此真正“白”的噪声是不存在的。
实际工程应用中，只要噪声的功率谱密度均匀分布的频率范围远大于通信系统的工作频带（3dB带宽），就可将其视作白噪声。
1.2 白噪声通过LTI系统尽管白噪声是具有均匀功率谱的平稳随机过程，当它通过线性系统后，其输出端的噪声功率就不再均匀。
假设白噪声的功率谱密度，系统传函是，则LTI系统输出端的噪声功率谱密度函数为：由于LTI系统的传输函数，不是“白”的。
1.2.1 限带白噪声限带白噪声即，在一定的频带范围内，噪声功率谱是白的。
2.7 高斯过程与白噪声2.7.1 高斯过程中心极限定理已证明：大量独立的、均匀微小的随机变量之和都近似地服从正态分布。
高斯过程定义：如果对于任意时刻),,2,1(n i t i =，随机过程的任意n 维随机变量),,2,1)((n i t X X i i ==服从高斯分布，则X(t)就是高斯过程。
高斯过程的n 维概率密度函数为：2)()(21221211)2(1),,,;,,,(m x C m x n n n T eCt t t x x x f ----=π式中m,x 为n 维向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n x x x x t m t m t m t X E t X E t X E m 212121)()()()]([)]([)]([C 为协方差矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(),(),(),(),(1212111n n X n X n X X n X X t t C t t C t t C t t C t t C t t C C由此可见，正态随机过程的n 维概率分布仅取决于其一、二阶矩函数。
广义平稳正态过程定义：若正态随机过程X(t)的均值和方差都是与时间无关的常数，即2)]([,)]([XXt X D m t X E σ==；而自相关函数只取决于时间间隔τ，n k i t t R t t R i k i k i k X k i X ,,2,1,;,)(),( =-==--ττ，则称此正态过程为广义平稳正态过程。
高斯过程有许多特殊性质：性质1：宽平稳高斯过程一定是严平稳过程。
性质2：若平稳高斯过程在任意两个不同时刻j i t t ,是不相关的，那么也一定是互相独立的。
证明：由不相关性，可得平稳高斯过程的二维概率密度函数为2222)()(221),;,(σπσm x m x j i j i j i et t x x f -+--=n 维分布为)()()(21),,,;,,,(212)(1212122n m x ni n n x f x f x f et t t x x x f i ==--=∏σσπ这说明任何时刻都不相关的高斯过程一定是独立高斯过程。
维纳-辛钦定理人们常说“最小相干系数”，今天我来谈谈最小相干系数。
也就是“维纳-辛钦定理”。
它主要讨论了物理学中的波粒二象性问题。
下面我们先简单介绍一下维纳-辛钦。
维纳-辛钦定理的内容是： 1、如果存在某个波，则由这个波产生的所有的光子都具有该波的频率。
2、由一个光子激发出的所有波，其频率总和为最小相干系数。
3、如果某个波是一个包含所有可能的光子的系统的波源，那么，可以写成包含最小相干系数的波源的“白噪声”之和的形式。
比如，如果把一个钟放在某个地方，则钟每隔一段时间会敲响一次。
这种声音的频率就是这个钟的周期，而这个钟的频率取决于这个钟里存储着多少粒可能的光子。
我们也可以用最小相干系数来描述这种现象。
因为存储的光子越多，则所产生的频率越大；反之，则频率越小。
所以，从这个定义上看，由一个光子产生的光子就具有该光子的频率。
2007年，两名荷兰物理学家：伊利亚·维纳和罗伯特·辛钦首次提出了“最小相干系数”的概念。
这个定理与我们在电视节目上听到的“相干性”非常类似。
但不同的是： 1、由一个光子激发出的所有波，其频率总和为最小相干系数。
2、由一个光子激发出的所有波，其频率总和为最小相干系数。
3、如果某个波是一个包含所有可能的光子的系统的波源，那么，可以写成包含最小相干系数的波源的“白噪声”之和的形式。
维纳--辛钦将最小相干系数称为“费曼熵”，并作了解释。
“当一个信号或者噪声在量子层面上越强的时候，意味着更少的光子能够占据一个原子或者量子位置，即占据更多的状态空间。
因此，相互抵消的几率越大，信号和噪声的融合也越难。
”试想一下，在海拔2万米的高空上，你向下看去，将会发现什么？或许你会惊讶地发现：下面是白茫茫的一片，除了山顶和海面之外，没有任何东西。
但是，在海平面上，你仍然可以看见一座城市，但这座城市却被隐藏在一团雾中，不仔细观察根本发现不了。
维纳和辛钦认为，这正是最小相干系数在起作用。
高斯随机过程高斯随机过程（GaussianRandomProcess，GRP）是一种常见的随机过程，它由作为时间或空间的变量的永久的高斯噪声的函数组成。
高斯随机过程有着丰富的应用，如数据处理、图像处理、信号处理、机器学习等。
本文将介绍高斯随机过程的概念、定义、特性以及应用场景，并对计算和绘图进行详细讨论。
1. 什么是高斯随机过程高斯随机过程是一种随机模型，它由作为时间或空间变量的永久高斯噪声函数组成。
它是一个随机现象，它的像素点时间/空间和随机变量之间有着特定关系。
它可以用来描述复杂的现象，但又比普通的概率分布拥有更丰富的特性。
高斯随机过程具有两个主要特性：转移性（stationarity）和可预测性（predictability）。
(1)移性：高斯随机过程具有转移性，即无论何时何地，这个过程的随机期望值（Expectation Value）都是一个定值，也就是说，这个过程的随机情况在空间上是一致的，在时间上也是一致的。
(2)预测性：高斯随机过程可以通过观察其连续时间点的值，利用代数运算和概率论，对未来的结果进行预测。
2.斯随机过程的定义高斯随机过程由一个实数序列，每一个取值都是随机变量X的一个实例，称为一个随机函数（Random Function）X。
X的取值不仅受到时间的影响，而且还受到空间的影响，从而构成了一个随机过程。
设X是在某一范围[0,T]上的高斯随机过程，那么X可以定义为：X(t) =(t) (t [0,T])其中，ε(t)是具有零期望值和高斯分布的均匀随机变量，即： E [ε(t)] = 0E [(ε(t)-ε(t))] =(t,tγ(t,tX(t)与X(t之间的协方差函数，即X(t)与X(t之间的统计相关性。
3.斯随机过程的应用场景高斯随机过程拥有广泛的应用场景，可以用于模拟各种复杂的场景。
其中，最常见的应用场景有：(1)据处理：高斯随机过程可以用来处理原始的数据，用来实现数据增强，数据降维以及数据去噪等；(2)像处理：利用高斯随机过程可以进行图像分类，图像检索，目标检测，图像修复，图像降噪等；(3) 信号处理：高斯随机过程在信号处理中可以用于过滤噪声，多信号融合，模式识别，信号传输，信号分离，信号恢复，变换等；(4)器学习：高斯随机过程可以用于机器学习，如聚类，回归，分类，联想推理，强化学习，机器翻译等等。
通信原理知识点串讲第1章 绪论一、数字通信系统的模型框图及各部分的作用 考点预测：简答题（1）信源编码与译码：作用有两个，一个是将模拟信号转换为数字信号，即通常所说的模数转换；二是设法降低数字信号的数码率，即通常所说的数据压缩。
信源译码是信源编码的逆过程。
（2）信道编码与译码：数字信号在信道上传输时，由于噪声、干扰等影响，将会引起差错。
信道编码的目的就是提高通信系统的抗干扰能力，尽可能地控制差错，实现可靠通信。
译码是编码的逆过程。
（3）加密与解密：为保证所传信息的安全。
将输入的明文信号人为干扰，即加上密码。
这种处理过程称为加密。
在接收端对收到的信号进行解密，恢复明文。
（4）调制与解调：其作用是在发端进行频谱的搬移，在收端进行频谱的反搬移。
二、 信息及其度量：信息量、熵 考点预测：填空选择（1）信息量I 与消息出现的概率P(x)之间的关系为：（2）说明： a=2时，信息量的单位为比特（bit ）； a=e 时，信息量的单位为奈特（nit ）； a=10时，信息量的单位为十进制单位，叫哈特莱。
（3）信源熵H ：统计独立的M 个符号的离散信息源的平均信息量为：11logMi i iH p p ==å例题1：某信源符号集由A 、B 、C 、D 、E 、F 组成，设每个符号独立出现，其概率分别为1/4、1/4、1/16、1/8、1/16、1/4，试求该信息源输出符号的平均信息量。
解：222222111111log 4log 4log 16log 8log 16log 444168164H =+++++ 2.375/bit =符号三、主要性能指标：有效性和可靠性 考点预测：填空选择噪声信 道 调 制 器信道 编码器加 密 器信源 编码器信源解 调 器信道 译码器解 密 器信源 译码器信宿()1log log ()a a I P x P x ==-∑数字通信系统1. 有效性：信息速率、码元速率、频带利用率有效性：指在给定信道内所传输的信息内容的多少，用码元传输速率或信息传输速率或频带利用率来度量。
维纳随机过程范文维纳随机过程（Wiener process）又称布朗运动（Brownian motion），是一种随机过程，最早由罗伯特·维纳（Robert Wiener）在1923年引入，用来描述随机运动的数学模型。
维纳随机过程被广泛应用于金融、物理学、工程学等领域，具有重要的理论和实际意义。
1.W(0)=0，即在t=0时刻，随机过程的取值为0；2. 对于任意的t1<t2<...<tn，随机变量W(t2)-W(t1)，W(t3)-W(t2)，...，W(tn)-W(tn-1)是相互独立的；3.对于任意的t1<t2，随机变量W(t2)-W(t1)服从均值为0，方差为(t2-t1)的正态分布。
1. 增量独立性：对于任意的s<t1<t2<...<tn，W(t1+s)-W(s)，W(t2+s)-W(t1+s)，...，W(tn+s)-W(tn-1+s)是相互独立的；2. 高斯性：对于任意的t1<t2<...<tn，W(t1)，W(t2)，...，W(tn)是服从正态分布的随机变量；3.零均值：对于任意的t，E[W(t)]=0，即维纳随机过程的期望值为0。
维纳随机过程在金融领域的应用非常广泛，特别是在金融风险管理和衍生产品定价中起到重要作用。
它被用来模拟股票价格、汇率、利率等金融指标的随机波动。
维纳随机过程假设价格的波动是由无数个微小的随机因素叠加产生的，这些随机因素的大小和方向是随机的，并且无法预测。
维纳随机过程的一个重要特征是随机性，这使得它成为金融市场的波动和不确定性的有效描述工具。
在金融风险管理中，通过模拟维纳随机过程来计算股票、指数、期货等的价值变动，可以帮助投资者评估风险水平并制定相应的风险管理策略。
在衍生产品定价中，维纳随机过程被用来计算期权、期货、利率互换等衍生产品的价格。
维纳随机过程还被应用于金融工程学中的套利交易和对冲策略的设计。
随机过程中的维纳过程及其应用随机过程是指在一定时间内，由于涉及到不确定性因素，而存在着随机变化的现象。
维纳过程是随机过程中的一种，它是由维纳-伊钦霍金方程推导而来的，能够描述一些随机现象，如分子热运动、股票价格随机波动等。
本文将介绍维纳过程及其应用。
一、维纳过程的定义维纳过程是一种与时间有关的连续随机过程。
它由两个部分组成：马尔科夫过程和高斯白噪声。
其中，马尔科夫过程是一种随机过程，其状态在任一时刻只与前一时刻的状态有关；高斯白噪声则是一种均值为0、方差为1的高斯过程。
维纳过程有如下特征：1. 维纳过程的随机性：由于存在白噪声，每个时刻的变化是随机的。
2. 维纳过程的连续性：在任意两个时刻之间，维纳过程都是连续的。
3. 维纳过程的无界性：在任意的时间间隔内，维纳过程可能取到任意大的值。
4. 维纳过程的无可导性：由于存在白噪声，维纳过程在任意一点处不可导。
二、维纳过程的应用1. 金融学中的应用维纳过程在金融学中具有广泛的应用。
以股票价格为例，其价格波动往往呈现出一定的规律性，但也存在大量的随机波动。
维纳过程能够很好地描述这种随机波动的特征。
另外，维纳过程在期权定价模型中也有应用。
期权的价格往往会受到很多因素的影响，如股票价格、利率、波动率等。
通过对这些因素进行建模，能够更准确地计算期权的价格。
2. 物理学中的应用维纳过程在物理学中也有各种应用，如分子扩散、布朗运动等。
分子的运动轨迹通常是随机的，维纳过程能够很好地描述这种随机运动的特征。
布朗运动是一种与温度、粘滞系数有关的粒子的运动，也可以通过维纳过程进行建模。
3. 工程学中的应用在工程学中，维纳过程可以应用于可靠性分析、控制系统设计等领域。
对于一些复杂的工程系统，其随机变化往往很难预测，这时就需要使用维纳过程进行建模，从而更好地掌握系统的特征。
三、维纳过程及其应用存在的问题1. 遇到很多现象时，维纳过程难以进行建模。
如一些反复出现的周期性现象、有限时间存在的随机现象等。
